【学练优】2016春九年级数学下册 3.6 切线的判定及三角形的内切圆(第2课时)课件 (新版)北师大版
北师大版九年级数学下册 3.6.2切线的判定与三角形的内切圆(含答案)
北师大版九年级数学下切线的判定与三角形的内切圆（含答案）一、选择题1．下列直线是圆的切线的是()A．和半径垂直的直线B．和圆有公共点的直线C．到圆心的距离等于直径的直线D．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线2．如图1，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是()图1A．AB＝4，AT＝3，BT＝5B．∠B＝45°，AB＝ATC．∠B＝55°，∠TAC＝55°D．∠A TC＝∠B3．如图2，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE.若∠CBD ＝33°，则∠BEC的度数为()图2A．66°B．114°C．123°D．132°4．如图3，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC＝140°，则∠BIC的度数为()图3A．110°B．125°C．130°D．140°5．如图4，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，下列补充的条件不正确的是()图4A．DE＝DO B．AB＝AC C．CD＝DB D．AC∥OD二、填空题6．如图5，⊙P的半径为2，圆心P在函数y＝6x(x＞0)的图象上运动，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为________．图57．如图6，已知⊙O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，则⊙O的面积为________．图68．如图7，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，3 cm长为半径作⊙A，当AB＝________cm 时，BC与⊙A相切.链接听P36例2归纳总结9．如图8，AC ＝AB ，CD ⊥AB ，垂足为D ，⊙E 是△ACD 的内切圆，连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数为________．图8三、解答题10．如图9，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°.(1)先作∠ACB 的平分线，设它交AB 于点O ，再以点O 为圆心，OB 长为半径作⊙O(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)求证：AC 是所作⊙O 的切线；(3)若BC ＝3，sinA ＝12，求△AOC 的面积．图911.如图10，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，D 为BC ︵的中点，过点D 作直线AC 的垂线，垂足为E ，连接OD.(1)求证：∠A ＝∠DOB ；(2)DE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由．12．如图11，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC.(1)如图①，连接OD，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；(2)如图②，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．图11附加题联想三角形内心的概念，我们可引入如下概念．定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．举例：如图12①，若PD ⊥AB ，PE ⊥BC ，垂足分别为D ，E ，PD ＝PE ，则点P 为△ABC 的准内心． 应用：如图②，BF 为等边三角形ABC 的角平分线，准内心P 在BF 上，PD ⊥AB ，PE ⊥BC ，垂足分别为D ，E ，且PF ＝12BP.求证：点P 是△ABC 的内心．探究：如图③，已知△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，准内心P 在AC 上，PD ⊥AB 于点D.若PC ＝12AP ，求∠A 的度数．图12参考答案1．[答案] D 2．[答案] D 3．[答案] C4．[解析] B ∵点O 为△ABC 的外心， ∴∠A ＝12∠BOC ＝70°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝180°－70°＝110°. ∵点I 为△ABC 的内心，∴BI 平分∠ABC ，CI 平分∠ACB ，∴∠IBC ＋∠ICB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝55°，∴∠BIC ＝180°－55°＝125°.故选B.。
【北师大版】九年级数学下册：3.6 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆1教案
3.6 直线和圆的位置关系第2课时切线的判定及三角形的内切圆1．掌握切线的判定定理，并会运用它进行切线的证明；(重点)2．能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线；(难点)3．掌握画三角形内切圆的方法和三角形内心的概念. (重点)一、情境导入下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出．仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况．二、合作探究探究点一：切线的判定【类型一】已知直线过圆上的某一个点，证明圆的切线如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：CD是⊙O的切线．解析：要证明CD是⊙O的切线，即证明OC⊥CD.连接OC，由AC＝CD，∠D＝30°，则∠A＝∠D＝30°，得到∠COD＝60°，所以∠OCD＝90°.证明：连接OC，如图，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD.∴CD是⊙O的切线．方法总结：一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】直线与圆的公共点没有确定时，证明圆的切线如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．解析：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON即可．证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴CD与⊙O 相切．方法总结：如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型三】切线的性质和判定的综合应用如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB.(1)求证：AC是△BDE的外接圆的切线；(2)若AD＝23，AE＝6，求EC的长．解析：(1)取BD的中点O，连接OE，如图，由∠BED＝90°，可得BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心，再证明OE∥BC，得到∠AEO＝∠C＝90°，可得结论；(2)设⊙O的半径为r，根据勾股定理和平行线分线段成比例定理，可求答案．(1)证明：取BD的中点O，连接OE，如图所示，∵DE⊥EB，∴∠BED＝90°，∴BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴OE⊥AE，∴AC是△BDE的外接圆的切线；(2)解：设⊙O的半径为r，则OA＝OD＋DA＝r＋23，OE＝r.在Rt△AEO中，有AE2＋OE2＝AO2，即62＋r2＝(r＋23)2，解得r＝2 3.∵OE∥BC，∴AECE＝AOOB，即6CE＝4323，∴CE＝3.方法总结：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题探究点二：三角形的内切圆【类型一】利用三角形的内心求角的度数如图，⊙O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于()A．40°B．55°C．65°D．70°解析：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°.∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，∴∠OEA＝∠OF A＝90°，∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA－∠OF A＝110°，∴∠EDF＝12∠EOF＝55°.故选B.方法总结：解决本题的关键是理解三角形内心的概念，求出∠EOF 的度数． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题【类型二】 求三角形内切圆半径如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，CB ＝8，则△ABC 的内切圆半径r 为( )A ．1B ．2C ．1.5D ．2.5解析：∵∠C ＝90°，AC ＝6，CB ＝8，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝10，∴△ABC 的内切圆半径r ＝6＋8－102＝2.故选B.方法总结：记住直角边为a 、b ，斜边为c 的三角形的内切圆半径为a ＋b －c2，可以大大简化计算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】 三角形内心的综合应用如图①，I 是△ABC 的内心，AI的延长线交边BC 于点D ，交△ABC 的外接圆于点E .(1)BE 与IE 相等吗？请说明理由． (2)如图②，连接BI ，CI ，CE ，若∠BED ＝∠CED ＝60°，猜想四边形BECI 是何种特殊四边形，并证明你的猜想．解析：(1)连接BI ，根据I 是△ABC 的内心，得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据∠BIE ＝∠1＋∠3，∠IBE ＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，得出∠BIE ＝∠IBE ，即可证出IE ＝BE ；(2)由三角形的内心，得到角平分线，根据等腰三角形的性质得到边相等，由等量代换得到四条边都相等，推出四边形是菱形．解：(1)BE ＝IE .理由如下：如图①，连接BI ，∵I 是△ABC 的内心，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵∠BIE ＝∠1＋∠3，∠IBE ＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，∴∠BIE ＝∠IBE ，∴BE ＝IE ；(2)四边形BECI 是菱形．证明如下：∵∠BED ＝∠CED ＝60°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴BE ＝CE .∵I 是△ABC 的内心，∴∠4＝12∠ABC ＝30°，∠ICD ＝12∠ACB ＝30°，∴∠4＝∠ICD ，∴BI ＝IC .由(1)证得IE ＝BE ，∴BE ＝CE ＝BI ＝IC ，∴四边形BECI 是菱形．方法总结：解决本题要掌握三角形的内心的性质，以及圆周角定理．三、板书设计切线的判定及三角形的内切圆 1．切线的判定方法2．三角形的内切圆和内心的概念本节课多处设计了观察探究、分组讨论等学生活动内容，如动手操作“切线的判定定理的发现过程”，以及讲解例题时学生的参与，课堂练习的设计都体现了以教师为主导、学生为主体的教学原则.。
北师大九年级数学下 3.6 直线和圆的位置关系 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆 教案(2)
3.6 直线和圆的位置关系第2课时切线的判定及三角形的内切圆1．掌握切线的判定定理，并会运用它进行切线的证明；(重点)2．能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线；(难点)3．掌握画三角形内切圆的方法和三角形内心的概念. (重点)一、情境导入下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出．仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况．二、合作探究探究点一：切线的判定【类型一】已知直线过圆上的某一个点，证明圆的切线如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：CD是⊙O的切线．解析：要证明CD是⊙O的切线，即证明OC⊥CD.连接OC，由AC＝CD，∠D＝30°，则∠A＝∠D＝30°，得到∠COD＝60°，所以∠OCD＝90°.证明：连接OC，如图，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD.∴CD是⊙O的切线．方法总结：一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】直线与圆的公共点没有确定时，证明圆的切线如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．解析：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON即可．证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴CD与⊙O相切．方法总结：如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型三】切线的性质和判定的综合应用如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB.(1)求证：AC是△BDE的外接圆的切线；(2)若AD＝23，AE＝6，求EC的长．解析：(1)取BD的中点O，连接OE，如图，由∠BED＝90°，可得BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心，再证明OE∥BC，得到∠AEO＝∠C＝90°，可得结论；(2)设⊙O的半径为r，根据勾股定理和平行线分线段成比例定理，可求答案．(1)证明：取BD的中点O，连接OE，如图所示，∵DE⊥EB，∴∠BED＝90°，∴BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴OE⊥AE，∴AC是△BDE的外接圆的切线；(2)解：设⊙O的半径为r，则OA＝OD＋DA＝r＋23，OE＝r.在Rt△AEO中，有AE2＋OE2＝AO2，即62＋r2＝(r＋23)2，解得r＝2 3.∵OE∥BC，∴AECE＝AOOB，即6CE＝4323，∴CE＝3.方法总结：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题探究点二：三角形的内切圆【类型一】利用三角形的内心求角的度数如图，⊙O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于()A．40°B．55°C．65°D．70°解析：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°.∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，∴∠OEA＝∠OF A＝90°，∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA－∠OF A＝110°，∴∠EDF＝12∠EOF＝55°.故选B.方法总结：解决本题的关键是理解三角形内心的概念，求出∠EOF的度数．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题【类型二】求三角形内切圆半径如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，CB＝8，则△ABC的内切圆半径r为()A．1 B．2 C．1.5 D．2.5解析：∵∠C＝90°，AC＝6，CB＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝10，∴△ABC的内切圆半径r＝6＋8－102＝2.故选B.方法总结：记住直角边为a 、b ，斜边为c 的三角形的内切圆半径为a ＋b －c2，可以大大简化计算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】 三角形内心的综合应用如图①，I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交边BC 于点D ，交△ABC 的外接圆于点E .(1)BE 与IE 相等吗？请说明理由．(2)如图②，连接BI ，CI ，CE ，若∠BED ＝∠CED ＝60°，猜想四边形BECI 是何种特殊四边形，并证明你的猜想．解析：(1)连接BI ，根据I 是△ABC 的内心，得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据∠BIE ＝∠1＋∠3，∠IBE ＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，得出∠BIE ＝∠IBE ，即可证出IE ＝BE ；(2)由三角形的内心，得到角平分线，根据等腰三角形的性质得到边相等，由等量代换得到四条边都相等，推出四边形是菱形．解：(1)BE ＝IE .理由如下：如图①，连接BI ，∵I 是△ABC 的内心，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵∠BIE ＝∠1＋∠3，∠IBE ＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，∴∠BIE ＝∠IBE ，∴BE ＝IE ；(2)四边形BECI 是菱形．证明如下：∵∠BED ＝∠CED ＝60°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴BE ＝CE .∵I 是△ABC 的内心，∴∠4＝12∠ABC ＝30°，∠ICD ＝12∠ACB ＝30°，∴∠4＝∠ICD ，∴BI ＝IC .由(1)证得IE ＝BE ，∴BE ＝CE ＝BI ＝IC ，∴四边形BECI 是菱形．方法总结：解决本题要掌握三角形的内心的性质，以及圆周角定理．三、板书设计切线的判定及三角形的内切圆 1．切线的判定方法2．三角形的内切圆和内心的概念本节课多处设计了观察探究、分组讨论等学生活动内容，如动手操作“切线的判定定理的发现过程”，以及讲解例题时学生的参与，课堂练习的设计都体现了以教师为主导、学生为主体的教学原则.。
北师大版九年级数学下册3.6 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆(含答案)
A．130°
B．60°
C．70°
D．80°
3．下列图形中一定有内切圆的四边形是（ ）
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．平行四边形
4．如图，⊙O 内切于△ABC，切点为 D、E、F，若∠B＝50°，∠C＝60°，•连结 OE，OF，
DE，DF，∠EDF 等于（ ）
A．45°
B．55°
C．65°
D．70°
5.如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，∠CAD＝∠ABC，判断直线 AD 与⊙O 的位置关系， 并说明理由。
3.6 直线和圆的位置关系
第 2 课时 切线的判定及三角形的内切圆
1．OA 平分∠BOC，P 是 OA 上任意一点（O 除外），若以 P 为圆心的⊙P 与 OC 相切，那
么⊙P 与 OB 的位置位置是（ ）
A．相交
B．相切
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C．相离 D．相交或相切
2．O 是△ABC 的内心，∠BOC 为 130°，则∠A 的度数为（ ）
6.如图，BC 与⊙O 相切于点 B，AB 为⊙O 直径，弦 AD∥OC，求证：CD 是⊙O 的切线。
7.如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为 BC 延长线上一点，且 PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切.
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8.已知如图所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠D=90°，AD＋BC=AB，以 AB 为直径作 ⊙O，求证：⊙O 和 CD 相切.
9.如图，AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，且 OA2=OD·OP.求证：PC 是⊙O 的切线.
10.如图，⊙O 分别切△ABC 的三条边 AB、BC、CA 于点 D、E、F、若 AB＝7，AC＝5，BC＝6， 求 AD、BE、CF 的长。
3.6 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆
3.6 直线和圆的位置关系第2课时切线的判定及三角形的内切圆目标导航1、经历探索直线和圆位置关系的过程，理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系．2、直线和圆的三种位置关系，切线的概念和性质．3、探索切线的性质．4、能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线，会作三角形的内切圆．5、探索圆的切线的判定方法，作三角形内切圆的方法．基础过关1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=5cm，以点C为圆心，6cm 的长为半径的圆与直线AB的位置关系是________．2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，⊙A与BC相切于点D，与AB相交于点E，则∠ADE等于____度．AE C DPOBPC2题图3题图5题图3．如图，P A、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙A于点D、E，交AB于C．图中互相垂直的线段有_________（只要写出一对线段即可）．4．已知⊙O的半径为4cm，直线L与⊙O相交，则圆心O到直线L的距离d的取值范围是____．5．如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，且∠APB=50°，点C是优弧»AB上的一点，则∠ACB的度数为________．6．如图，⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，∠DOB=73°，∠DOE=120°，则∠DOF=_______度，∠C=______度，∠A=_______度．FO ECDBA OCDB A6题图 12题图7．若∠OAB =30°，OA =10cm ，则以O 为圆心，6cm 为半径的圆与直线AB 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定8．给出下列命题：①任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； ②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形， 并且只有一个外切三角形，其中真命题共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．如l 是⊙O 的切线，要判定AB ⊥l ，还需要添加的条件是（ ）A ．AB 经过圆心O B ．AB 是直径C ．AB 是直径，B 是切点D ．AB 是直线，B 是切点10．设⊙O 的直径为m ，直线L 与⊙O 相离，点O 到直线L 的距离为d ，则d 与m 的关系是（ ）A ．d =mB ．d >mC ．d >2m D ．d <2m 11．在平面直角坐标系中，以点（－1，2）为圆心，1为半径的圆必与（ ）A ．x 轴相交B ．y 轴相交C ．x 轴相切D ．y 轴相切12．如图，AB 、AC 为⊙O 的切线，B 、C 是切点，延长OB 到D ，使BD =OB ，连接AD ，如果∠DAC =78°，那么∠ADO 等于（ ）A ．70°B ．64°C ．62°D ．51°13．如图，AB 是半圆O 的直径，C 为半圆上一点，过C 作半圆的切线，连接AC ，作直线AD ，使∠DAC =∠CAB ，AD 交半圆于E ，交过C 点的切线于点D ．（1）试判断AD 与CD 有何位置关系，并说明理由； （2）若AB =10，AD =8，求AC 的长．14．如图，BC 是半圆O 的直径，P 是BC 延长线上一点，P A 切⊙O 于点A ，∠B =30°．（1）试问AB 与AP 是否相等?请说明理由．（2）若P A O 的直径．15．如图，∠P AQ是直角，半径为5的⊙O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B、C．（1）BT是否平分∠OBA?证明你的结论．（2）若已知AT=4，试求AB的长．P能力提升16．如图，有三边分别为0.4m、0.5m和0.6m的三角形形状的铝皮，问怎样剪出一个面积最大的圆形铝皮?请你设计解决问题的方法．AC17．如图，AB为半圆O的直径，在AB的同侧作AC、BD切半圆O于A、B，CD切半圆O 于E，请分别写出两个角相等、两条边相等、两个三角形全等、两个三角形相似等四个正确的结论．聚沙成塔如图，已知：⊙D 交y 轴于A 、B ，交x 轴于C ，过点C 的直线：y =－－8 与y 轴交于点P ．（1）试判断PC 与⊙D 的位置关系．（2）判断在直线PC 上是否存在点E ，使得4EOP CDO S S ∆∆=，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．。
北师大版九年级数学下册 3.6 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆
内心： 三角形 内切圆 的圆心
三角形三 条角平分 线的交点
B
A
1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分别
平分∠BAC、∠ABC、
O ∠ACB
C 3.内心在三角形内部．
典例精析
例4 △ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，∠ A=70°，
求∠ BOC的度数。 A
解：∵∠ A=70°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠ A=110°
∴DE＝4cm.
课堂小结
切线的 判定方法
定义法 1个公共点，则相切
数量关系法 d=r，则相切 判定定理 经过半径的外端并且垂直于
这条半径的直线是圆的切线
证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径.
三角形 内切圆
有关概念 内心概念及性质
课后作业
见本课时练习
第三章 圆
3.6 直线和圆的位置关系
第2课时 切线的判定及三角形的内切圆
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解并掌握圆的切线的判定定理及运用.（重点） 2.三角形的内切圆和内心的概念及性质.（难点）
导入新课
情境引入 下图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？
如何判断一条直线是否为切线呢？
(2) 不明确直线和圆有公共点，过圆心作直线的垂线，再 证圆心到直线的距离等于半径.简记“无交点，作垂直, 证半径”.
例1
例2
二 三角形的内切圆及内心
例3 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？ 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆O. A
分析：如果圆O与△ABC的三条边都
北师大版九年级数学下册优秀教案3.6第2课时切线的判定及三角形的内切圆1
3.6 直线和圆的位置关系第2课时切线的判定及三角形的内切圆1．掌握切线的判定定理，并会运用它进行切线的证明；(重点)2．能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线；(难点)3．掌握画三角形内切圆的方法和三角形内心的概念. (重点)一、情境导入下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出．仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况．二、合作探究探究点一：切线的判定【类型一】已知直线过圆上的某一个点，证明圆的切线如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：CD是⊙O的切线．解析：要证明CD是⊙O的切线，即证明OC⊥CD.连接OC，由AC＝CD，∠D＝30°，则∠A＝∠D＝30°，得到∠COD＝60°，所以∠OCD＝90°.证明：连接OC，如图，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD.∴CD是⊙O的切线．方法总结：一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】直线与圆的公共点没有确定时，证明圆的切线如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．解析：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON即可．证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴CD与⊙O 相切．方法总结：如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型三】切线的性质和判定的综合应用如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB.(1)求证：AC是△BDE的外接圆的切线；(2)若AD＝23，AE＝6，求EC的长．解析：(1)取BD的中点O，连接OE，如图，由∠BED＝90°，可得BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心，再证明OE∥BC，得到∠AEO＝∠C＝90°，可得结论；(2)设⊙O的半径为r，根据勾股定理和平行线分线段成比例定理，可求答案．(1)证明：取BD的中点O，连接OE，如图所示，∵DE⊥EB，∴∠BED＝90°，∴BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴OE⊥AE，∴AC是△BDE的外接圆的切线；(2)解：设⊙O的半径为r，则OA＝OD＋DA＝r＋23，OE＝r.在Rt△AEO中，有AE2＋OE2＝AO2，即62＋r2＝(r＋23)2，解得r＝2 3.∵OE∥BC，∴AECE＝AOOB，即6CE＝4323，∴CE＝3.方法总结：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题探究点二：三角形的内切圆【类型一】利用三角形的内心求角的度数如图，⊙O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于()A．40°B．55°C．65°D．70°解析：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°.∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，∴∠OEA＝∠OF A＝90°，∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA－∠OF A＝110°，∴∠EDF＝12∠EOF＝55°.故选B.方法总结：解决本题的关键是理解三角形内心的概念，求出∠EOF 的度数． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题【类型二】 求三角形内切圆半径如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，CB ＝8，则△ABC 的内切圆半径r 为( )A ．1B ．2C ．1.5D ．2.5解析：∵∠C ＝90°，AC ＝6，CB ＝8，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝10，∴△ABC 的内切圆半径r ＝6＋8－102＝2.故选B.方法总结：记住直角边为a 、b ，斜边为c 的三角形的内切圆半径为a ＋b －c2，可以大大简化计算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】 三角形内心的综合应用如图①，I 是△ABC 的内心，AI的延长线交边BC 于点D ，交△ABC 的外接圆于点E .(1)BE 与IE 相等吗？请说明理由． (2)如图②，连接BI ，CI ，CE ，若∠BED ＝∠CED ＝60°，猜想四边形BECI 是何种特殊四边形，并证明你的猜想．解析：(1)连接BI ，根据I 是△ABC 的内心，得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据∠BIE ＝∠1＋∠3，∠IBE ＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，得出∠BIE ＝∠IBE ，即可证出IE ＝BE ；(2)由三角形的内心，得到角平分线，根据等腰三角形的性质得到边相等，由等量代换得到四条边都相等，推出四边形是菱形．解：(1)BE ＝IE .理由如下：如图①，连接BI ，∵I 是△ABC 的内心，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵∠BIE ＝∠1＋∠3，∠IBE ＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，∴∠BIE ＝∠IBE ，∴BE ＝IE ；(2)四边形BECI 是菱形．证明如下：∵∠BED ＝∠CED ＝60°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴BE ＝CE .∵I 是△ABC 的内心，∴∠4＝12∠ABC ＝30°，∠ICD ＝12∠ACB ＝30°，∴∠4＝∠ICD ，∴BI ＝IC .由(1)证得IE ＝BE ，∴BE ＝CE ＝BI ＝IC ，∴四边形BECI 是菱形．方法总结：解决本题要掌握三角形的内心的性质，以及圆周角定理．三、板书设计切线的判定及三角形的内切圆 1．切线的判定方法2．三角形的内切圆和内心的概念本节课多处设计了观察探究、分组讨论等学生活动内容，如动手操作“切线的判定定理的发现过程”，以及讲解例题时学生的参与，课堂练习的设计都体现了以教师为主导、学生为主体的教学原则.。