类周期函数
函数周期性公式大总结
函数周期性公式大总结1.余弦函数的周期性公式余弦函数是最常见的周期性函数之一，它的周期为2π。
余弦函数的周期性公式为：cos(x + 2π) = cos(x)。
这意味着，在余弦函数中，如果将自变量增加2π，那么函数值将保持不变。
2.正弦函数的周期性公式正弦函数也是一个常见的周期性函数，它的周期也是2π。
正弦函数的周期性公式为：sin(x + 2π) = sin(x)。
这和余弦函数的周期性公式非常类似，只是函数的定义域和值域略有不同。
3.周期函数的性质周期函数有许多重要的性质。
首先，一个函数是否是周期函数可以通过其函数图像进行观察。
如果函数的图像在一个特定的区间内重复出现，那么它就是一个周期函数。
其次，如果一个函数是周期函数，那么它的周期不止一个，可以有无穷多个。
最后，对于周期函数f(x)，如果T是其一个周期，那么对任意整数n，T/n也是其周期。
4.指数函数的周期性公式指数函数通常不会具有显式的周期，因为它会以指数的速度增长或减小。
然而，当指数函数的自变量乘以一个虚数单位i时，它可以变成周期函数。
具体来说，e^(ix)是一个周期为2π的函数。
周期性公式为：e^(i(x + 2π)) = e^(ix)。
这个公式被称为欧拉公式，它在电子工程、信号处理等领域有广泛的应用。
5.对数函数的周期性公式对数函数也是一个常见的函数类型。
对数函数的周期性公式和指数函数非常相似，但具体形式有所不同。
对数函数的周期公式为：ln(x + e) = ln(x)。
这意味着，当自变量增加e时，对数函数的函数值保持不变。
6.周期函数的图像性质周期函数的图像通常具有一些特殊的性质。
首先，周期函数的图像可以在一个周期内进行平移，而不改变函数的形状。
其次，对于奇函数，其图像关于原点对称；对于偶函数，其图像关于y轴对称。
最后，周期函数的图像可以进行幅度的调整，即通过乘以一个常数来改变图像的振幅。
7.周期函数的应用周期函数在各个领域都有广泛的应用。
函数周期知识点总结
函数周期知识点总结一、函数的周期性函数的周期性是指函数在特定区间内具有重复性的性质。
如果函数在一个区间内满足f(x+T)=f(x)，其中T为正数，则称函数f(x)在该区间上有周期T，T称为函数f(x)的周期。
函数的周期性是函数中非常重要的一种性质，对于周期函数而言，其周期性是其定义的本质。
二、周期函数的性质1. 周期函数的定义周期函数是指函数的取值在每个周期内具有重复性。
周期函数的周期是指函数在一个区间内具有重复性。
设f(x)是定义在一定区间上的函数，如果存在正数T，使得任意x∈[a,a+T]，都有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为周期。
周期函数的周期一般是不唯一的。
2. 周期函数的图像特点周期函数的图像表现出在一个周期内具有重复性的特点。
周期函数的图像通常是具有规律的波动，在一定周期内呈现出反复的形状。
3. 周期函数的基本性质周期函数在一个周期内具有相同的性质，包括最大值、最小值、零点等。
周期函数还具有周期平移、镜像对称等性质。
周期函数的和、差、积、商也是周期函数。
4. 周期函数的分类周期函数根据周期的不同可以分为正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等等。
根据周期的形式还可以分为奇函数和偶函数。
5. 周期函数的应用周期函数在自然界和各种科学领域有着非常广泛的应用，如物理学、工程学、生物学等等。
周期函数的研究对于理解自然规律和解决实际问题具有重要的意义。
三、常见周期函数1. 正弦函数正弦函数是最基本的周期函数之一。
其函数表达式为y=Asin(Bx+C)+D，其中A，B，C，D为常数，A为振幅，B为角频率，C为相位差，D为垂直位移。
正弦函数的图像是一条连续的曲线，具有周期性。
2. 余弦函数余弦函数也是最基本的周期函数之一。
其函数表达式为y=Acos(Bx+C)+D，其中A，B，C，D为常数，A为振幅，B为角频率，C为相位差，D为垂直位移。
3. 正切函数正切函数的函数表达式为y=A tan(Bx+C)+D，其中A，B，C，D为常数，A为振幅，B为角频率，C为相位差，D为垂直位移。
几种类周期函数处理方法
20中学数学研究2021 年第 1 期 (上)几种类周期函数处理方法黄石市第七中学(435000) 谷文俊武汉第十一中学(430000) 凌才元周期性是函数的重要性质,也是高考的高频考点之一.有些题目中会碰到在解析式或图像特征与周期函数类似的 函数，我们称之为类周期函数,对这类函数问题的解决比周 期函数难度大•本文总结了几种类周期函数的一些处理方法 与大家一起探讨.一、f (x + T ) = f (x ) + m 类线性型(一) 周期原理1. 若函数g(x)是以T 为周期的函数，则f (x)=g(x ) + ax + b 为该类型的类周期函数.即周期函数加上一次函数构成的新函数为类周期函数•其中周期函数的周期T 为类周期函数的周期.证明 f (x + T) = g(x + T) + a(x + T) + b =g(x) + ax + aT + b ,则 f (x + T) = f (x) + aT 且直线的斜率为a = m .注一次函数可以看做周期为任意实数的类周期函数.2. 若函数f (x), g(x)是以T i ,T 2为周期的类周期函数,则f(x) + g(x)也是类周期函数，且周期为T i ,T 2的最小公 倍数.证明 令 h(x) = f (x) + g(x), T = k i T i , T = k 2T 2.由题可知：f(x + T i ) = f(x) + m i ,g(x + T 2)=g(x) + m 2.所以,h(x + T ) = f (x + k i T i ) + g(x + k 2T 2)= f (x) + g(x) + k i m i + k 2m 2.(二) 函数图像变化与特征若0 c x< 1时f (x) = x 12,则f (x)图像为图2.(1) 若 f (x)为奇函数，当 x > 0 时 f (x + 1) = f (x) + 1,若0 c x c 1时f (x) = x 2则f (x)图像为图1.(2) 定义在R 上的函数f (x)满足：f (x + 1) = f (x) - 2,1函数图像沿着某直线展开上面两图函数图像分别沿着y = x , y = -2x 展开•类比 可知，满足f (x + T ) = f (x) + m 关系的类周期函数图像沿着斜率为a = m 的直线展开•即满足f (x) = g(x) + ax + b 的类周期函数图像沿直线y = ax + b 展开.2函数图像以周期为单位平移(T> 0)类周期函数图像从左至右以周期为单位，后一个周期 的图像在前一个周期的基础上向上(m > 0)平移或向下(m < 0)平移|m|个单位.(三)对称性1. 若函数f (x), g(x)是均以T 为周期的类周期函数，且函数f (x)关于(x o ,y i )对称，函数g(x)关于(x °,y 2)对称, 则 f (x) + g(x)关于(x o , y i + y 2)对称.证明 由对称可知：f (x) + f (2x o - x) = 2y i , g(x) +g (2x o - x) = 2y 2,令 h(x) = f (x) + g(x),则 h(x) +h (2x o - x) = f (x) + g(x) + f (2x o - x) + g (2x o - x)=2(y i + y 2).证毕.2. f(x) = sin (wx + e) + ax + b 类型函数对称性的探讨这类函数为典型的类周期函数，其图像是沿直线y = ax + b 展开•则函数y = sin (wx + 0)与函数y = ax + b 的交点(竺二^,a kn —^ + b)为类周期函数对称中心.\ w w 丿证明f (g + x) + f(g - x)ww=sin (kn + wx) + sin (kn — wx) + 2a ——-+ 2b小 kn — e “ c / kn — e A 、〒“=2a -----------2b = 2 [ a --------------+ b ).证毕.ww例1设g(x)定义在R 上以1为周期的周期函数, 若 f (x) = g(x ) + x 在[3,4]上值域为[-2, 5],则 f (x)在[-10, 10] 上的值域.分析 由题可得：f(x + 1) = f(x) + 1,则f(x)以1为周期的类周期函数.当x G [9,10]时，x - 6 G [3,4], 则 f (x) = f (x - 6) + 6 G [4,11],当 x G [-10, -9]时,x + 13 G [3, 4],则 f (x) = f (x + 13) — 13 G [—15, — 8].所以2021年第1期(上)中学数学研究21/(x) e [一15,11].分析由题可得函数部 分图像如图3.设x e (2, 3] 则 x - 2 e (0, 1], f(x)—2f (x - 1) — 4f (x - 2)—84x 2 — 20x + 24.令 f (x)——-.9图3分析 该函数为类周期函数，其图像沿着直线y — |展开,显然只有C 满足要求.所以选项C 正确.例3函数f (x)为定义在R 上的奇函数，当x > 0时，f (x + 1) = f (x) + 1.当 0 < x < 1 时，f (x) — x 2.若 y — f (x) - kx 恰好有9个零点，求k 的值.分析 令f (x) — kx — 0,即f (x)与y — kx 恰好有9个 交点，由图1可知，当y — kx 与函数y — f (x)在x e [2, 3]内的图像相切时满足题目要求.设x e [2, 3],则x - 2 e [0,1],所以 f (x) — f (x — 2) + 2 — x 2 — 4x + 6.令 x 2 — 4x + 6 — kx ,△ — k 2 + 8k - 24 — 0, k — 2^6 - 4 或 k — -2^6 - 4(舍).二、f (x + T ) = kf (x ) (T > 0,k > 0)类指数型满足该类型的函数是以T 为周期的类周期函数.当则x — 7或x — 3,观察图像可得正确答案为选项B.三、f (kx ) = nf (x ) (k > 1)类幂指型这种类型的类周期函数它的周期不断变化，从左至右类 周期成以k 为公比等比数列变化.图像从左至右每个周期内的最值(且不为0)以n 为公比成等比数列.T > 0时，函数图像以周期为单位从左至右后一个周期图像上的点与前一周期对应点的纵坐标伸长(k > 1)或缩短(k < 1)为原的k 倍.例4已知f (x)定义在[0, +x)上的函数满足f (x)— 2f (x + 2),当 x e [0, 2)时 f (x) — —x 2 + 2x .设 f (x)在[2n - 2, 2n)上最大值为a ”,且｛a ”｝的前n 项和为S ”,若对任意n 有k (S ” + 1) 2 2n - 9恒成立，则k 的取值范围例6已知函数f(x)定义在(0, + x),满足f(2x)—2f (x),当 x e (1, 2], f (x) — 2 - x .若 f (a) — f (2020),则满足条件的最小正实数a 的值为()分析f (2020)= 2xo • / 般=2Xo (一 鴿=28,所以f (a) — 28,由于函数类周期成以2为公比的等比数列变化，即(2”t , 2”].设 a e (2”t , 2”],赏—i e (1, 2]时,有f (a) — 2”t • f (赏—i ) = 2” - a = 28,即 a = 2” - 28.当n — 1 时，f (x) e [0,1);当 n — 2 时，f (x) e [0, 2);当 n — k时,f (x) e [0, 2k-i );又f (a) — 28,则n 2 6,即从第六个周期开始，有等于28的值，所以a 2 36.3()7C - [645 +x) d .恰5 +xA. [0, +x)B. 325 +x)分析 由题可得：f (x + 2) = 2f (x),则函数是以2为周期的类周期函数，图像以周期为单位从左至右，后一个周期 的图像对应纵坐标伸长为上一个周期的2倍，则每个周期 内的最大值构成以2为公比的等比数列.由题可知：a i — 1, q — 2,所以 S ” — _半_ =2” — 1,所以 k • 2” 2 2n — 91—22n — 9即k 2642” •令b ” 一竺工,贝,2”2 i 5所以 5.5 < n < 6.5,2 -所以当n — 案为选项C.6时满足要求,代入不等式求出范围，则正确答例5设函数f (x)的定义域为R , f (x + 1) = 2f (x).当4 — 8 x —-2 f ( 2丿，"沁则g(x) — xf (x) - 6在区间[1, 2”]内所有零点的和为()3 3A. nB. 2nC. 4 (2” - 1)D.㊁(2” - 1)6分析令g(x) — 0,化简得f(x) — x .由题可知：当x > 2时，f (2x) — 2f(x)为第三种类型的类周期函数.当 n — 1时,函数f (x)在[1, 2]内最高值点(2,4),当n — 2时，函数f (x)在[2, 4]内最高值点(3, 2).根据函数图像特点,从左至右在不同周期内最高值点横 坐标成以2为公比的等比数列，纵坐标成以2为公比的等比数列，即(2 • 2”t ,.显然这些点也在函数y — x 上,因此两函数的交点为每个周期内的最高点.所以g(x) — 0 时，所有的零点成以3为首项，2为公比的等比数列.在[1, 2”]内有n 个周期，即有n 个零点.因此正确答案为选项D.例7已知函数f (x)— <I 221 < x < 2;x e (0,1]时，f (x) — x(x — 1).若对任意 x e (—x , m],都有8f (x) 2 --,则m 的取值范围()9参考文献A.(-X , IB. 7C.(-X , 5D (-X ，I [1]许丽.再探“类周期”函数，性质现精彩[J].中学数学研究(华南师范大学版),2013(4):37-39.。
函数的周期性的知识点总结
函数的周期性的知识点总结一、周期函数的定义周期函数是指具有周期性的函数，即在一定的区间内，函数的数值在一定的时间间隔内重复出现。
更具体地说，对于函数f(x)来说，如果存在一个常数T>0，使得对任意的x，有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就是周期函数，而这个常数T被称为函数的周期。
二、周期函数的性质1. 周期函数的性质：周期函数的周期T是一个正数，且函数的周期性对于所有的自变量都成立，即对于任意的x，有f(x+T)=f(x)成立。
2. 周期函数的图像性质：周期函数的图像通常具有重复出现的特点，这使得它在图像上形成规律的波形。
3. 周期函数的特殊性质：有些周期函数具有特殊的对称性，比如正弦函数、余弦函数等。
三、周期函数的分类1. 固定周期函数：在一个确定的周期内，函数的数值是固定的，比如正弦函数、余弦函数等。
2. 变周期函数：在一个周期内，函数的数值是变化的，比如三角函数的变型函数、指数函数、对数函数等。
四、周期的求法对于周期函数，我们通常需要求解它的周期T，有以下几种方法：1. 观察法：通过观察函数的图像特征，找到函数的周期性。
2. 公式法：对于一些已知的周期函数，可以直接利用其性质和公式来求解周期。
3. 方程求解法：将周期函数的周期T代入函数的周期性公式中，得到关于T的方程，然后求解方程得到周期T。
五、周期函数的图像特征1. 周期函数的波形特点：周期函数的图像通常呈现出规律性的波形，如正弦函数、余弦函数的波形特点。
2. 周期函数的振幅：周期函数的振幅代表了波形的最大振幅，它决定了函数波形的高低。
3. 周期函数的相位：周期函数的相位代表了波形的平移特征，它决定了函数波形的水平位置。
六、周期函数的应用周期函数在很多领域都有重要的应用，如物理、工程、经济等，常见的应用包括：1. 物理波动：周期函数常常用于描述物理中的波动现象，如声波、光波等。
2. 电路分析：在电路分析中，周期函数可用于描述电流、电压的周期性变化。
高一必修二数学周期函数知识点
高一必修二数学周期函数知识点一、引言周期函数是数学中的一个重要概念，它在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将介绍高一必修二数学课程中的周期函数知识点，包括周期函数的定义、性质及常见的周期函数类型。
二、周期函数的定义与性质周期函数是指函数在某一段长度的自变量上有某种规律地重复出现的函数。
周期函数的周期是指最小正周期，即在一个完整周期内，函数值重复出现且函数值随自变量变化的规律相同。
周期函数具有以下性质：1. 周期函数的函数值在一个完整周期内重复出现；2. 周期函数的图像以某一点对称；3. 周期函数的奇偶性：如果一个周期函数满足 f(x+T)=f(x)，其中 T表示周期，那么函数是偶函数；如果一个周期函数满足 f(x+T)=-f(x)，那么函数是奇函数。
三、正弦函数与余弦函数正弦函数和余弦函数是最常见的周期函数类型。
在高一必修二的数学课程中，我们学习到了正弦函数和余弦函数的基本性质和图像特点。
1. 正弦函数正弦函数的基本形式为 y = A sin(Bx + C) + D，其中 A、B、C、D都是常数。
其中 A 表示振幅，B 表示频率，C 表示相位差，D 表示纵向平移。
正弦函数的图像呈现出波形，振幅决定了波浪的高度，频率决定了波浪的密度和间距，相位差和纵向平移决定了波浪在坐标系中的位置。
2. 余弦函数余弦函数的基本形式为 y = A cos(Bx + C) + D，其中 A、B、C、D都是常数。
余弦函数和正弦函数非常相似，只是在相位差上有所差异。
余弦函数的图像也呈现出波形，与正弦函数相比，余弦函数的波峰和波谷的位置与振幅决定的相位差有关。
四、切线方程与图像变换在周期函数中，切线方程和图像变换是我们经常需要处理的问题。
下面我们详细讨论一下这两个问题。
1. 切线方程在周期函数图像中，切线方程是确定切线斜率的关键。
对于任意一点 P(x,y)，切线的斜率等于函数在该点的导数值。
在函数 y = A sin(Bx + C) + D 中，求得的导数为 f'(x) = AB cos(Bx + C)，因此切线的斜率为 AB cos(Bx + C)。
类周期函数
类周期函数
类周期函数是指一类函数，它们的值在固定的时间间隔内重复出现。
它们一般是正弦函数、余弦函数和正切函数等函数的一种，它们的研究可以帮助人们更好地理解和应用这些函数。
正弦函数是最常用的类周期函数，它可以用来描述一个振荡器的运动，比如一个钟摆。
正弦函数可以表示为y=Asin(ωt+φ)，其中A表示振幅，ω表示角速度，t表示时间，φ表示初相。
余弦函数也是一种类周期函数，它可以用来描述一个振荡器的运动，比如一个钟摆。
余弦函数可以表示为y=Acos(ωt+φ)，其中A表示振幅，ω表示角速度，t表示时间，φ表示初相。
正切函数也是一种类周期函数，它可以用来描述一个振荡器的运动，比如一个钟摆。
正切函数可以表示为y=Atan(ωt+φ)，其中A表示振幅，ω表示角速度，t表示时间，φ表示初相。
类周期函数可以用来解决很多工程问题，比如电力系统控制、信号处理等。
由于它们的周期性，可以用来模拟自然观测曲线，比如气温变化、洪水变化等。
此外，类周期函数还可以用来计算复杂的数学问题，比如椭圆，三角函数等。
类周期函数有许多应用，但是它们也有一些缺点。
由于周期性，它们可能会产生一些非常复杂的计算，这可能会耗费大量的计算资源。
另外，由于类周期函数的复杂性，它们很容易受到外部干扰，这可能会影响它们的精确度。
综上所述，类周期函数在工程、科学研究以及数学计算中都有着广泛的应用，但是由于它们的复杂性，也存在一定的缺点。
因此，在使用类周期函数时，我们应该更加谨慎，以确保它们能够高效地解决问题。
类周期函数
类周期函数例1：利用类周期性求值1、若函数)(x f 对于任意x 都有)()1()2(x f x f x f -+=+，且2lg 3lg )1(-=f ，5lg 3lg )2(+=f ，则 f(2019)=（ ）AA 、1B 、-2C 、2lg 3lg -D 、-12.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(2x)=2f(x)，当x ∈[1,2)时，f(x)=x 2，则f(10)=______.变式训练1.已知定义在()+∞,0上的函数)(x f 满足：对一切正数x 均匀)(3)3(x f x f =成立，且当31<≤x 时，21)(--=x x f ，则=)100(f 。
192、定义在R 上的函数)(x f 满足)(3)2(x f x f =+，当[]2,0∈x 时，x x x f 2)(2-=，则)(x f 在[]2,4--∈x 上的最小值为（ ） A A 、91-B 、91C 、31-D 、31 小结：)(x f 满足)()(x f a x f λ=+处理方法：将)(x f 平移a 个单位，再将纵坐标扩大为原来的λ倍。
例2：类周期函数与零点的结合1、已知函数)(x f 满足条件：①定义为R ；②)(2)2(,x f x f R x =+∈∀有；③当[]1,1-∈x 时，x x f 2cos)(π=，则方程x x f 4log )(=在区间[]10,10-内的解的个数是（ ） CA 、20B 、12C 、11D 、102、已知函数)(x f 满足条件：①定义为R ；②)(2)2(,x f x f R x =+∈∀有；③当[]2,0∈x 时，222)(--=x x f ，记[])8,8(,)()(-∈-=x x x f x g 。
根据以上信息，可以得到函数)(x g 的零点个数为（ ） BA 、15B 、10C 、9D 、8例3：类周期性求解析式1. 定义在R 上的函数)(x f 满足)(2)2(x f x f =+，当]2,0[∈x 时，x x x f 2)(2-=，则当]2,4[--∈x 时，函数)(x f 的解析式_______________．例4:类周期函数相关的求参数取值范围1.若集合M 满足下列性质的函数)(x f 的全体，存在非零实数T ，对任意的R x ∈，有)()(x Tf T x f =+成立，若函数M kx x f ∈=sin )(，则实数k 的取值范围是 。
高三周期函数知识点
高三周期函数知识点周期函数是高中数学中的一个重要概念，它在解决各种实际问题时起着重要的作用。
本文将介绍高三周期函数的基本概念、性质以及常见的周期函数类型。
一、周期函数的基本概念周期函数是指在某个特定的区间内，函数值以相同的间隔重复出现的函数。
这个特定的区间称为函数的一个周期。
常见的周期函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
二、周期函数的性质1. 周期性：周期函数的最显著特点就是具有周期性，即函数的函数值在一个周期内重复出现。
2. 奇偶性：周期函数可以分为奇函数和偶函数。
若函数满足f(x) = -f(-x) 成立，则为奇函数；若函数满足 f(x) = f(-x) 成立，则为偶函数。
3. 对称性：周期函数通常具有某种对称性，如正弦函数和余弦函数是关于原点对称的。
三、常见的周期函数类型1. 正弦函数 y = A*sin(Bx+C)+D：正弦函数是高中数学中最常见的周期函数之一。
其中 A 表示振幅，B 表示角频率，C 表示相位差，D 表示平移量。
2. 余弦函数 y = A*cos(Bx+C)+D：余弦函数和正弦函数非常相似，只是相位差不同，其余的性质都相同。
3. 正切函数y = A*tan(Bx+C)+D：正切函数的图像具有周期性，但是它在某些点上会出现无穷大的间断点。
四、周期函数的图像特征周期函数的图像通常具有一些特征，进一步揭示了周期函数的性质：1. 周期性：图像在一个周期内重复出现。
2. 振幅：图像在纵轴上的最大值与最小值之间的差值。
3. 频率：图像在一个单位周期内震动的次数，与角频率相关。
五、周期函数在实际问题中的应用周期函数在实际问题中有着广泛的应用，如物理、电路等领域。
周期函数可以描述周期性的变化规律，帮助我们解决一些实际问题。
例如，通过正弦函数模型可以预测某地区的气温随时间的变化，从而指导人们做出合理的决策。
总结：周期函数是高三数学中的一个重要知识点，它具有周期性、奇偶性和对称性等基本性质。
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周期及类周期函数
周期问题的强化
例、函数)(x f 对任意实数x 满足条件)()2(x f x f -=+，若5)1(-=f ，则))5((f f 等于（ ）
A 、5
B 、-5
C 、51
D 、5
1- 变式练习：
1、定义在R 上的函数)(x f 满足条件13)()2(=•+x f x f ，2)1(=f ，则=)99(f （ ）
A 、13
B 、2
C 、213
D 、132
2、定义在R 上的函数)(x f 满足条件2)0(,1)1()2(),23
()(=-=-=-+-=f f f x f x f ，则
=+++++)2009()2008()3()2()1(f f f f f （ ）
A 、-2
B 、-1
C 、0
D 、1
3、已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足条件)()4(x f x f -=-，且在区间[]2,0上为增函数，则（ ）
A 、)80()11()25(f f f <<-
B 、)25()11()80(-<<f f f
C 、)25()80()11(-<<f f f
D 、)11()80()25(f f f <<-
例、定义在R 上的函数)(x f 满足条件2)1()1(,4)2()2(+-≥++-≤+x f x f x f x f 且4)3(=f ，则=)2017(f 。
变式练习：
1、设定义在R 上的函数)(x f ，若2010)0(=f 对任意的y x ,都有x
x f x f 23)()2(•≤-+，
x x f x f 263)()6(•≥-+，则)2016(f = 。
2、定义在R 上的函数)(x f 满足条件)2
()3(,1)1()(x f x
f x f x f ==-+且0)0(=f ，当1021≤<≤x x 时，)()(21x f x f <，则)2010(f =（ ）
A 、2561
B 、1281
C 、641
D 、321
例、设x 是实数，定义[]x 表示不大于x 的最大整数，如[][]33.2,23.2-=-=，已知函数
[]2113)(++=x x f ，⎩⎨⎧<<+-≤≤-=-3
0,2)1(01,2)(x x g x x g x ，若方程02)(=-x x f 的解集为M ，方程02)(=-x x g 的解集为N ，则集合N M 中的所有元素之和为（ ）
A 、-1
B 、0
C 、1
D 、2
模型1：)(x f 满足)()()2(x f a x f a x f -+=+，则)(x f 周期a T 6=
例、定义在R 上的函数⎩⎨
⎧>---≤-=0),2()1(0),1(log )(2x x f x f x x x f ，则=)2012(f （ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、2
变式练习：
1、若函数)(x f 对于任意x 都有)()1()2(x f x f x f -+=+，且2lg 3lg )1(-=f ，5lg 3lg )2(+=f ，则=)2016(f （ ）
A 、1
B 、-2
C 、2lg 3lg -
D 、-1
2、已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()()()(4y x f y x f y f x f -++=，且41)1(=f ，则=)2016(f 。
3、已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++，且2
1)1(=f ，则
)2016()3()2()1(f f f f +++= 。
★模型2：)(x f 满足)()(x f a x f λ=+
处理方法：将)(x f 平移a 个单位，再将纵坐标扩大为原来的λ倍。
例、已知定义在[)+∞,0的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f ，当[)2,0∈x 是，x x x f 2)(2+-=，设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为)(*N n a n ∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则n S = 。
变式练习：
1、已知定义在()+∞,0的函数)(x f 满足条件：①对任意()+∞∈,0x ，恒有)(2)2(x f x f =成立；②当(]2,1∈x 时，x x f -=2)(。
以下结论正确的有 。
①对任意0)2(,=∈m
f Z m 有；
②函数)(x f 的值域为[)+∞,0 ③存在Z n ∈，使得9)12(=+n
f
④函数)(x f 在区间()b a ,上单调递减的虫咬条件是存在Z k ∈，使得())12,2(,+⊆k k b a 。
2、在平面直角坐标系中，如果不同两点),(b a A ，),(b a B --都在函数)(x h y =上，那么称[]B A ,为函数)(x h 的一组“友好点”（[]B A ,与[]A B ,看作一组）。
已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)(2)2(x f x f =+，且当[]2,0∈x 时，x x f 2sin )(π
=，则函数=
)(x g ⎩⎨⎧<≤---≤<0
8,80),(x x x x f 的“友好点”的组数是（ ） A 、4 B 、5 C 、6 D 、7
3、已知函数)(x f 满足条件：①定义为R ；②)(2)2(,x f x f R x =+∈∀有；③当[]1,1-∈x 时，x x f 2cos )(π
=，则方程x x f 4log )(=在区间[]10,10-内的解的个数是（ ）
A 、20
B 、12
C 、11
D 、10
4、已知函数)(x f 满足条件：①定义为R ；②)(2)2(,x f x f R x =+∈∀有；③当[]2,0∈x 时，
222)(--=x x f ，记[])8,8(,)()(-∈-=x x x f x g 。
根据以上信息，可以得到函数)(x g 的零点个数为（ ）
A 、15
B 、10
C 、9
D 、8
5、已知定义在[)+∞,1上的函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--=2),2
(2121,2384)(x x f x x x f ，给出下列结论，其中正确的
有 。
①函数)(x f 的值域为[]4,0；
②关于x 的方程)(,)21
()(*
N n x f n ∈=有42+n 个不等实根； ③当[]
n n x 2,21-∈时，函数)(x f 的图像与x 轴围成的面积2=S ； ④存在[]8,10∈x ，使得不等式6)(00>x f x 成立。
综合训练一下：
1、若定义在R 上的函数)(x f 满足：存在非零常数T ，使得：T x f T x f R x +=+∈∀)()(,，则称函数)(x f 是“类周期函数”。
关于“类周期函数”给出下列命题：①若函数x x f =)(，则)(x f 是“类周期函数”；②若)(x f 是“类周期函数”，则T x f T x f 2)()2(+=-；③若)(x f 是类周期为T 的类周期函数，且在[]T ,0上的值域为[]T T ,-，则)(x f 在[]T T 2,-上的值域为[]T T 3,2-；④若)()(x g x x f +=，则)(x f 是“类周期函数”的充要条件为)
(x g
是周期函数；⑤若)(x f 是“类周期函数”为T 的“类周期函数”，则)(x f y =的图像按向量),(T T a =平移后所得图像)(x f y =的图像重合。
其中正确的有 。
2、已知函数)(x f 是定义在R 上的函数，1)1(=f 且对任意R x ∈都有5)()5(+≥+x f x f ，1)()1(+≤+x f x f 。
若x x f x g -+=1)()(，则=)2002(g 。
3、已知函数)(x f 是定义在R 上以1为周期的函数，若函数)()(x g x x f +=在区间[]4,3上的值域为[]5,2-，则函数在区间[]10,10-上的值域为 。
4、已知定义在()+∞,0上的函数)(x f 满足：对一切正数x 均匀)(3)3(x f x f =成立，且当31<≤x 时，21)(--=x x f ，则=)100(f 。
5、定义在R 上的函数)(x f 满足)(3)2(x f x f =+，当[]2,0∈x 时，x x x f 2)(2
-=，则)(x f 在[]2,4--∈x 上的最小值为（ ）
A 、91-
B 、91
C 、31-
D 、3
1 6、若集合M 满足下列性质的函数)(x f 的全体，存在非零实数T ，对任意的R x ∈，有
)()(x Tf T x f =+成立，
若函数M kx x f ∈=sin )(，则实数k 的取值范围是 。
7、若)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意的实数0≥x ，总要正常数T ，使得
T x f T x f +=+)()(成立，则称)(x f 具有“性质P ”。
已知函数)(x g 具有“性质P ”。
且在[]T ,0上，2)(x x g =；若当[]T T x 4,-∈时，函数kx x g y -=)(恰有
8个零点，则实数k 是 。