文科数学一轮复习第4章 第19-20讲：三角函数的图象和性质
北师版高考总复习一轮文科数学精品课件 第4章 三角函数、解三角形 第4节 三角函数的图像与性质
π
6
,其中 x∈
.
π
π
x,-3 ≤x≤ 6 ,则
π
−3 ,
f(x)的最大值为
,若 f(x)的值域是
1
−2,1
,则实
答案:(1)C (2)
π
,π
3
解析:(1)f(x)=(1+ 3tan x)cos x=cos x+ 3sin x=2sin +
π
因为3
≤x≤
(2)由 x∈
π
π
,所以6
6
π
−3 ,
π
2x+
6
(k∈Z)
π
≠kπ+ (k∈Z),即
2
x≠
π
2
π
+ (k∈Z).
6
(2)要使函数有意义,必须使sin x-cos x≥0.利用图像,在同一直角坐标系中
画出[0,2π]上函数y=sin x和函数y=cos x的图像,如图所示.
在[0,2π]内,满足 sin x=cos x 的 x
性,可得原函数的定义域为
π 2π
f(x)在( , )
6 3
上是递减的.
考向2由单调性求参数
例 4(1)(2022 河南名校联盟一模)已知函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在区间
2π π
- ,
3 3
上是递增的,且|f(x)|=1 在区间[0,π]上有且仅有一个解,则 ω 的取值范围是
(
)
A.
3
0,
4
B.
3 3
,
4 2
C.
π 5π
为4 , 4 ,再结合正弦函数、余弦函数的周期
高考数学一轮复习 第20讲 三角函数的图像与性质课件
固
基
础
解析式
y＝sin x
y＝cos x
图像
y＝tan x
定义域 值域
R [－1，1]
R [－1，1]
{x x∈R，且 x≠k
π ＋π2 ，k∈Z} R
返回目录
第20讲 三角函数的图像与性质
•
双 向
固
基
础
解析式
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
当
x ＝ 2k π
－
π 2
当 x＝2kπ (k∈Z)时，
(k∈Z)时，ymin＝－ ymax ＝1；
最值 1；
当 x ＝ 2k π ＋ π 无最大、最小值
当
x ＝ 2k π
＋
π 2
(k∈Z)时，ymin＝ －1
(k∈Z)时，ymax ＝1
周期 __2_π_____
__2__π____
__π______
奇偶性 __奇____函数
__偶____函数
__奇____函数
返回目录
第20讲 三角函数的图像与性质
•
双 向
固
基
础
解析式
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
在[2kπ
－
π 2
，2kπ
＋
π 2
]上是__增____函
在[2kπ －π ，2k
π ]上是_____增___函
在（kπ
－
π 2
，
单调性
数；
在[2kπ
＋
π 2
，2kπ
数； 在[2kπ ，2kπ ＋
π ]上是____减__函数
高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第4节三角函数的图象和性质课件理
知识
梳理诊断
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数 y＝sinx，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是： (0，0)，π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0). 余弦函数 y＝cosx，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是： (0，1)，π2，0，(π，－1)，32π，0，(2π，1).
考点
题型突破
考点一 三角函数的定义域、值域——自练型
(1)(2016·重 庆 巴 南 区 质 检 ) 函 数 f(x) ＝ －
π
2tan2x＋6的定义域是(
)
π A.xx≠6
B.xx≠－1π2
C.xx≠kπ＋π6（k∈Z） D.xx≠k2π＋π6（k∈Z）
(1)y＝sinx 在第一、四象限是增函数.(
)
(2)所有的周期函数都有最小正周期.(
)
(3)y＝ksinx＋1(x∈R)的最大值为 k＋1.(
)
(4)y＝sin|x|为偶函数.(
)
(5)y＝tanx 在整个定义域上是增函数.(
)
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
2.函数 y＝
[解析] 由 y＝cos2x＋π2＝－sin2x，可知该函数的最小 正周期为 π 且为奇函数，故选 A.
[答案] A
5.(2016·临沂测试)函数 f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的
最小值为(
)
A.－1
B.－
2 2
C.
2 2
D.0
[解析] 由已知 x∈0，π2，得 2x－π4∈－π4，34π，所以 sin2x－π4∈－ 22，1，故函数 f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2
三角函数的图像和性质
三角函数的图像和性质三角函数是数学中的一类特殊函数，以其图像的周期性和性质的多样性而被广泛研究和应用。
本文将介绍三角函数的图像特点和基本性质。
一、正弦函数的图像和性质正弦函数是最基本的三角函数之一，用sin(x)表示。
其图像为周期性曲线，其周期为2π。
在一个周期内，正弦函数的值在[-1,1]之间变化。
图像在x轴上的零点是正弦函数的特殊点，记为x=kπ，其中k为整数。
正弦函数的图像在x=kπ时经过极大值或极小值。
正弦函数的性质：1. 周期性：sin(x+2π)=sin(x)，即正弦函数在过一周期后会重复。
2. 奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即正弦函数关于原点对称。
3. 对称性：sin(π-x)=sin(x)，即正弦函数关于y轴对称。
二、余弦函数的图像和性质余弦函数是另一个常见的三角函数，用cos(x)表示。
余弦函数的图像也是周期性曲线，其周期同样为2π。
在一个周期内，余弦函数的值同样在[-1,1]之间变化。
与正弦函数不同的是，余弦函数的图像在x=kπ时经过极大值或极小值。
余弦函数的性质：1. 周期性：cos(x+2π)=cos(x)，即余弦函数在过一周期后会重复。
2. 奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即余弦函数关于y轴对称。
3. 对称性：cos(π-x)=-cos(x)，即余弦函数关于原点对称。
三、正切函数的图像和性质正切函数是三角函数中另一个常见的函数，用tan(x)表示。
正切函数的图像为周期性曲线，其周期为π。
正切函数的图像在x=kπ+π/2时会出现无穷大的间断点，即tan(x)在这些点是无界的。
正切函数的性质：1. 周期性：tan(x+π)=tan(x)，即正切函数在过一个周期后会重复。
2. 奇偶性：tan(-x)=-tan(x)，即正切函数关于原点对称。
四、其他三角函数除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有其他与它们密切相关的三角函数。
1. 反正弦函数：用arcsin(x)表示，表示一个角的正弦值等于x，返回值在[-π/2, π/2]之间。
2023年高考数学(文科)一轮复习——三角函数的图象与性质
令12x－π6＝π2＋kπ(k∈Z)， 得 x＝43π＋2kπ(k∈Z)， 故 f(x)图象的对称中心为2kπ＋43π，0，k∈Z. 令12x－π6＝kπ(k∈Z)， 得 x＝2kπ＋π3(k∈Z)， 故 f(x)图象的对称轴方程是 x＝2kπ＋π3，k∈Z.
索引
考点三 三角函数的单调性
角度1 求三角函数的单调区间
索引
解析 (1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条. (2)正切函数 y＝tan x 在每一个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上都是增函数，但在定 义域内不是单调函数，故不是增函数. (3)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.
索引
2.函数 f(x)＝－2tan2x＋π6的定义域是( D )
索引
(2)已知函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为 4π，且∀x∈R 有 f(x)≤fπ3成立，则 f(x)图象的对称中心是__2_k_π_＋__43_π_，__0_，__k_∈__Z___，对称轴方程是 ___x_＝__2_k_π_＋__π3_，__k_∈__Z______. 解析 由 f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为 4π，得 ω＝12， 因为 f(x)≤fπ3恒成立，所以 f(x)max＝fπ3，即21×π3＋φ＝2kπ(k∈Z). 又∵|φ|<π2，所以 φ＝－π6， 故 f(x)＝cos12x－π6，
∴当 sin x＝21时，ymax＝54.
当sin x＝－1时，ymin＝－1.
索引
5.函数 f(x)＝cos2x＋π4的最小正周期是___π_____.
索引
6.(易错题)函数 y＝tanx＋π4的图象的对称中心是__k2_π_－__π4_，__0_，__k_∈__Z_____. 解析 由 x＋π4＝k2π，k∈Z，得 x＝k2π－π4，k∈Z， ∴对称中心是k2π－π4，0，k∈)
2025版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第4讲三角函数的图象与性质课件
(2)y＝3tanπ6－4x＝－3tan4x－π6， 由 kπ－π2<4x－π6<kπ＋π2， 解得 4kπ－43π<x<4kπ＋83π(k∈Z)． ∴函数的单调递减区间为 4kπ－34π，4kπ＋83π(k∈Z)．无增区间．
(3)画图知单调递减区间为kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)．
2．(2023·洛阳模拟)若 f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间－π2，23π上是增函数， 则 ω 的取值范围是_____0_，__34_ ___.
[解析] 依题意可知 f(x)＝cos2 x－sin2x＝cos 2x，对于 A 选项，因为 x ∈－π2，－6π，所以 2x∈－π，－π3，函数 f(x)＝cos 2x 在－π2，－6π上单 调递增,所以 A 选项不正确；对于 B 选项，因为 x∈－π4，1π2，所以 2x∈ －π2，π6,函数 f(x)＝cos 2x 在－π4，1π2上不单调,所以 B 选项不正确；对于 C 选项,因为 x∈0，π3，所以 2x∈0，23π,函数 f(x)＝cos 2x 在0，π3上单 调递减，所以 C 选项正确；对于 D 选项，因为 x∈π4，71π2，所以 2x∈π2，76π， 函数 f(x)＝cos 2x 在π4，71π2上不单调,所以 D 选项不正确,故选 C．
y＝tan x ___R___
单调性
在____－__π2_＋__2_k_π_，__2π_＋__2_k_π_ _， 在_[_(_2_k－__1_)_π_，__2_k_π_]_，
k∈Z 上递增；
k∈Z 上递增；
在____π2_＋__2_k_π_，__32_π_＋__2_k_π_ __，
在_[_2_k_π_，__(2_k_＋__1_)_π_]_， k∈Z 上递减
高考数学一轮复习讲义三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质一．【课标要求】1．能画出y=sin x, y=c os x, y=t a n x的图像，了解三角函数的周期性；2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；3．结合具体实例，了解y=A sin（w x+φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=A sin （w x+φ）的图像，观察参数A，w，φ对函数图像变化的影响二．【命题走向】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。
在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法预测2010年高考对本讲内容的考察为：1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）；2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y=A sin（w x+φ）的图象及其变换；三．【要点精讲】1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈， 递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
高三数学一轮复习讲义三角函数图像与性质
课题：三角函数的图像与性质知识点一、正弦、余弦、正切函数的图像与性质函数性质sinx y =cosx y =tanx y =定义域RR⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ图像值域[]1,1-[]1,1-R 对称性对称轴：()Z k k x ∈+=2ππ对称中心：()()Z k k ∈0,π对称轴：()z k k x ∈=π 对称中心：(,0)2k ππ+无对称轴对称中心：()Z k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛0,2π 周期 π2π2π奇偶性奇 偶奇单调性单调递增区间()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππ 单调递减区间()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππ单调递增区间[]()Z k k k ∈-πππ2,2单调递减区间[]()Z k k k ∈+πππ2,2单调递增区间Z k k k ∈+-)2,2(ππππ最值当22ππ+=k X 时，y 的最大值：1；22ππ-=k X 时，y 的最小值：1，其中Z k ∈当πk x 2=时，y 的最大值：1；当ππ+=k x 2时，y 的最小值：1，其中Z k ∈无最大值，无最小值求解三角函数：sin ()y A x x ωϕ=+性质常用结论与技巧； (1)运用整体换元法求解单调区间与对称性：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解．①令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，可求得对称轴方程；②令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，可求得对称中心的横坐标；(2)周期性：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|，注意y ＝Atan (ωx ＋φ)的周期T ＝π|ω|.(3)最值(或值域)：求最值(或值域)时，一般要确定u ＝ωx ＋φ的范围，然后结合函数y ＝sin u 或y ＝cos u 的性质可得函数的最值(值域)．【典型例题】【例1】函数cos()3y x π=-的单调增区间是（ ）A ．42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．22,2()33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．32,2()88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ D ．52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【例2】函数[]1sin ,2,223y x x πππ⎛⎫=+∈-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．52,,233ππππ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和 C ．5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【例3】函数)62cos()(π+=x x f 的一条对称轴为（ ）A ．6πB ．125πC ．32πD ．32π-【例4】函数2()cos cos f x x x x =+（[0,]x π∈）的单调递减区间为（ ）A ．[0,]3πB ．2[,]63ππC ．5[,]36ππD ．5[,]6ππ 【例5】函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A. 1-B.C.D. 0 【例6】已知函数2()sin 2+sin 22cos 1.33=+-+-∈f x x x x x R ππ（）（），（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.【举一反三】1．余弦函数cos()4y x π=+在下列哪个区间为减函数（ ）A ．3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[],0π-C ．3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．函数的最小正周期为（ ）A. B. C. D.3．下列函数中，周期为π，且在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上为减函数的是（ ）A.)2sin(π+=x y B.)2cos(π+=x y C.)22cos(π+=x y D.)22sin(π+=x y4．已知函数2()3cos sin f x x x x =-，则()f x 的最小正周期为 ；单调减区间为 ．5．若函数()()13cos ,36f x x x x ππ=+-≤≤，则()f x 的最大值为（ ）A.1B.2 3 31 6．已知函数()sin sin()6f x x x π=+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，求()f x 的取值范围.【课堂巩固】1．已知函数))(32cos(3)(R x x x f ∈-=π，下列结论错误的是（ ）A ．函数)(x f 的最小正周期为πB ．函数)(x f 图象关于点)0,125(π对称 C. 函数)(x f 在区间]2,0[π上是减函数 D ．函数)(x f 的图象关于直线6π=x 对称2．设函数()sin()3)f x x x ωϕωϕ=++（0ω>，||2πϕ<）的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A ．()f x 在(0,)2π单调递减 B ．()f x 在3(,)44ππ单调递减 C ．()f x 在(0,)2π单调递增 D ．()f x 在3(,)44ππ单调递增 3．函数3sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为_________.4．函数x x y 2cos 32sin -=的图象的一条对称轴方程为（ ） A ．12π=x B ．12π-=x C. 6π=x D ．6π-=x5．函数的最小正周期是__________ .6．函数2sin 2y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是 ． 7．已知函数3()2sin cos()32f x x x π=++. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值及最小值.【课后练习】正确率：________1．当函数（）取得最大值时，（ ）A. B. C. D.2．设函数()()()sin 30,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 3．已知函数()()()2sin 20f x x θθπ=-+<<，14f π⎛⎫=-⎪⎝⎭则()f x 的一个单调递减区间是（ ） A ．5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．7,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭4．函数()sin cos()6f x x x π=--的值域为（ ）A ．33⎡⎢⎣⎦B ．3,3⎡-⎣C ．[]2,2-D ．[]1,1-5．函数)2sin()(ϕ-=x A x f 的图象关于点)0,34(π成中心对称，则ϕ最小的ϕ的值为（ ） A ．3π B ．6πC ．3π-D ．6π- 6．已知角ϕ的终边经过点(3,4)P -，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π=（ ） A ．35- B ．35C ．45-D ．457．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则（ ）A 、()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称B 、()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称C 、()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D 、()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称8．函数sin 22y x x =的图象的一条对称轴方程为（ ） A. π12x =B.π12x =-C.π6x =D.π6x =-9．已知函数2()cos cos f x x x x =+，x R ∈．（1）求4()3f π；（2）求函数()f x 的最小正周期与单调减区间．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2）求函数
f ( x ) sin( x
f ( x ) tan(
4
) sin x
的周期。
3
3）求函数
3x)
的单调区间
4）求 y 2cos x 与 y 2 围成封闭图形的面积。
如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 8 对称, 求 a 的值.
变：若函数 f ( x ) sin( x ) 3 cos( x ) 的 图像关于原点对称，求 的值。
（08 江门）已知函数 f ( x ) sin x 3 cos x ，函数
y f ( x ) 的图像关于 x 0 对称，求 。
y sin x 2 cos x ,( x 0, 1）求函数 2 的值域。
2 f ( ) Hale Waihona Puke ，则 2 3f (0) =
2 （A） 3
2 (B) 3
1 (C)- 2
1 (D) 2
（08 福州）已知函数
y sin
x
3 在区间 [0, t ] 上
至少取得 2 次最大值，求正整数 t 最小值。 ．．．
变 上的最小值为-2，求 最小值。 1： 已知函数 y 2 sin x( 0) 在区间
[
, ] 3 4
变 2：最大值为 2，求 取值范围。
变 3：为单调函数，求 取值范围。
成立，求 t 的取值范围。
例 3 已知正弦曲线 y Asin( x ) k ，在同
一个周期内， 当
x
ymax 3 当 x 7 时， 12 时， 12
ymin 1 ，求解析式.
（09 辽）已知函数 f ( x) =Acos( x ) 的图象如图所示，
6 cos 4 x 5 sin 2 x 4 f ( x) 2）已知函数 ，求定义 cos 2 x 域，判断它的奇偶性，并求出其值域。
3） 函数 f ( x ) 是定义在 R 上的单调递减的奇函数，且
当
0
f (cos 2 2t ) f ( 4 sin 3) 0 2 时，恒有
例1 解不等式 |sinx|>cosx.
例：求下列函数的定义域：
y sin(cos x) 1）
lg(tan x 1) y 2） 2cos x 1
3） y sin x 16 x
2
例2、已知函数f(x)＝2sin x· x＋cos x)， (sin (1)求f(x)的最小正周期； (2)画出函数y＝f(x)在区间 上的图象．
练：求函数 y sin x 2 sin x cos x 3 cos x 的 定义域、值域、奇偶性，单调区间，周期， 对称中心，对称轴以及由 y sin x 怎么变换
2 2
得到的？
(2009浙江)已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的
图象不可能是( )
1）判断函数
3 f ( x ) sin( x ) cos( x ) 4 4 的奇偶性。