1.1.2弧度制
课件13： 1.1.2 弧度制
跟踪训练 1.将下列角度与弧度进行互化． ①20°＝________；②－15°＝________；③－151π＝________． 解析：①20°＝20×18π0＝π9. ②－15°＝－15×18π0＝－1π2. ③－151π＝－151π×180π°＝－396°. 答案：π9 －1π2 －396°
(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化
已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心 角的弧度数． 【解】 设扇形圆心角的弧度数为 θ(0<θ<2π)，弧长为 l，半径为 r，
l＋2r＝10，① 依题意有12lr＝4，②
①代入②得 r2－5r＋4＝0，解得 r1＝1，r2＝4. 当 r＝1 cm 时，l＝8 cm，此时 θ＝8 rad>2π rad(舍去)； 当 r＝4 cm 时，l＝2 cm，此时 θ＝24＝12(rad)．
自我尝试
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1 弧度指的是 1 度的角．( × )
(2)弧长为 π，半径为 2 的扇形的圆心角是直角．( √ )
解析：(1)错误.1 弧度指的是长度等于半径长的弧所对的圆心角． (2)正确．若弧长为 π，半径为 2，则|α|＝π2，故其圆心角是直角．
2.85π弧度化为角度是(
c 所以当 l＝2c时，Smax＝1c62 ，此时 α＝rl＝c－2 2c＝2，
2
所以当扇形圆心角为 2 弧度时，扇形的面积有最大值1c62 .
规律方法 (1)求扇形的弧长和面积 ①记公式：弧度制下扇形的面积公式是 S＝12lr＝12αr2(其中 l 是 扇形的弧长，α 是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π)． ②找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的 计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵 活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
1.1.2弧度制
-180° 0° 180° 360°
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数 是一个负数，零角的弧度数是0。如果半径为r的圆 的圆心角α 所对弧的长为 l ，那么，角 的弧度数 的绝对值是 对应角的 l 弧度数 r
这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定 正角 零角 负角 角的弧度数 正实数 零 负实数 实数集R
180 rad
n n rad 180
(2)将弧度化为角度
2 360
180
180 1rad ( ) 57 .30 57 18'
一般地，我们只需根据
1
180
rad 0.01745 rad
180°=πrad
180 1rad 57.30
例3 利用弧度制证明下列关于扇形面积的公式：
(1)l R
其中R是半径， 是弧长， 0 2 为圆心角， l S是扇形的面积
1 2 (2) S R 2
1 (3) S lR 2
l 证明:(1)由公式 = r 得l=αR
知圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积 2 公式分别是 n R n R
2
°′″ SHIFT DRG 1
67
=
30
1.178097245
因此,67°30′≈1.178 rad
例2 将3.14 rad换算成角度(用度数表示,精确到0.001)
解:利用计算器
MODE MODE
1
=
3.14
SHIFT DRG 2
179.909
今后用弧度表示角时，“弧度”二字或“rad”通 常略去不写，而只写该角对应的弧度数。例如， 角α =2就表示α 是2rad的角， sin 就 示 rad 的 表 角 3 3 3 的 弦 即 sin sin 60 正， 3 2
1.1.2弧度制
圆心角和弧长的关系
正角的弧度数是正数， 负角的弧度数是负数，
零角的弧度数零。
如果半径为r的圆的圆心角a所对的弧的长为L，那 么角a的弧度数的绝对值是
l a r
a的正负由角a的终边的旋转方向决定。
思考：
周角的弧度数是2π，角度制下的度数是360°， 所以360°=2πrad 180°=πrad 1度角等于多少弧度？
探究新知
度量长度有哪些单位？米、英尺、码 度量重量又有哪些单位？千克、磅
问题一：
问题二：
什么叫1度角？是圆周的 所对的圆 心角的大小。
1 360
1o为圆周的
1 360
。
这种用度为单位来度量角的制度叫做角度制。
定义：
1rad
L
r
长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角，记作1rad.
用弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。
3.用弧度制表示各种类型的角； 4.用弧度制表示各种与角相关的公式； 5.用弧度制表示角并求角的三角函数值。
0
2 3 5
4 3 2 3 4 6
6
3 2
2
一一对应
1、角度制与弧度制：
正角
零角 负角
正实数
零 负实数
l 2、求弧长： R
3、求扇形的面积：
1 S扇 l r 2 S扇 S圆 2 1 1 2 2 r r l r 2 2 2
弧度制
思考：
(3)将终边在坐标轴上的角用弧度来表示； (4)将四个象限的角用弧度来表示； (5)将第一或第三象限角平分线上的角用弧度来表 示； (6)将第一或第三象限的角用弧度来表示； (7) 用弧度来表示终边在直线 y 集合。
必修4 1.1.2 弧度制
弧度
角度
π
弧度
270° 300° 315° 330° 360° 3
2
2π
例4. 扇形AOB中， ，半 AB 所对的圆心角是60º 径是50米，求 AB 的长l（精确到0.1米）。
解：因为60º = 3 ,所以
l=α· r=
3×50≈52.5 .
AB 的长约为52.5米. 答：
5 合 36
例7. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于 所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？合多少度？扇形的面积是多少？ 解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合(
360( 1)
)º
2
扇形面积是 ( 1) R
如=2表示是2rad的角
3. 弧度制与角度制相比：
弧度制 角度制 度（ 60进制 ： 1°=60′， 1′=60″ ）
（10进制） 度量单位 弧度
等于半径长的圆 1 单位规定 弧所对的的角叫 周角 为1度的角 360 1 rad的角 π =180°
180 1rad= 57.30 57°18′， 换算关系
1.1.2 弧度制
角度制
在初中几何里,我们学习过角的度量,1度的角
是怎样定义的呢？ 1 周角的 为1度的角。 360
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其
他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系：
角是由射线绕它的端点旋转而成的,在旋转的过 程中射线上的点必然形成一条圆弧,不同的点所形成 的圆弧的长度是不同的,但都对应同一个圆心角。 设α =nº， AB 弧长为l,半径OA为r，则
1.1.2弧度制
弧 度 制基础归纳：1、弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．2、弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2. 其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S 是扇形面积．知识点一 弧度制的概念1、 定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad ，读作1弧度.2、 如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值|α|＝lr3、 约定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.4、用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．例1、在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角（ C ） A ．所对弧长相等 B ．所对的弦长相等C ．所对弧长等于各自半径D ．所对弧长等于各自半径知识点二 角度制与弧度制互换1、将角度化为弧度2、将弧度化为角度例1A. 6π radB.－6π rad C. 12πrad D.－12πrad例2、将下列弧度转化为角度： （1）12π= °；（2）－87π= ° ′；（3）613π= °； 例3、将下列角度转化为弧度：（1）36°= rad ；（2）－105°= rad ；（3）37°30′= rad ； 答案： 15 -157 30； 390 5π；127π-；245π．知识点三 弧长及扇形面积公式1、弧长公式2、扇形面积公式 例1、半径为πcm ，中心角为120o 的弧长为（ D ）rad π2360=︒rad π=︒18001745.01801≈=︒rad πrad n 0=︒=3602π︒=180π(0=n rl •=α22121r r l S •=•=αA ．cm 3πB ．cm 32π C ．cm 32πD ．cm 322π 例2、(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？(1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋rθ＝1012θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，θ＝8(舍)，⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，故扇形圆心角为12. (2)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40.S ＝12θ·r 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100， 当且仅当r ＝10时，S max ＝100.所以当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大．若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．解析：设圆半径为R ，则圆内接正方形的对角线长为2R ， ∴正方形边长为2R ，∴圆心角的弧度数是2RR＝ 2. 答案： 2巩固练习：1、圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )A ．扇形的面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 2、如图，用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界）．3、某种蒸汽机上的飞轮直径为1.2m ，每分钟按逆时针方向转300周，求: （1）飞轮每秒钟转过的弧度数。
1.1.2弧度制
1.定义：把长度等于半径长的弧所对的圆 心角叫做1弧度的角. l | a |= 用符号rad表示。
r r
r
其中 : 1、l是以角 作为圆心角时所对弧的长，r是半径； 2、正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是 一个负数，零角的弧度数是0； 2 r 3、圆心角 为周角时，l 2 r，则 2 r r 4、圆心角 为半角时，l r，则 r
退出
§1.1.2 弧度制
温故 知新1 角的分类 知新2 知新3 知识应用 小结 作业
180 rad
360 2 rad
退出
§1.1.2 弧度制
温故 知新1 知新2 关系换算 知新3 知识应用 小结 作业
360 2 rad
180 rad
y 0
x
5 4
退出
§1.1.2 弧度制
温故 知新1 弧度制 知新2 知新3 知识应用 小结 作业
弧度制的作用：
1、求弧长：
l l r r
l = ar 1 2 S = ar 2
2、求扇形的面积：
S扇 S圆 2 1 2 2 r r 2 2
1 1 r r lr 2 2
l = 2p r S = pr
2
退出
§1.1.2 弧度制
温故 知新1 知新2 知新3 知识应用 小结 作业
例：已知4弧度的圆心角所对的弦长为2， 那么这个圆心角所对的弧长是 ？
O C A 分析：l r r ? 解：过O作弦的垂线OC，所以 建立直角三角形 1 B
角为2弧度，对边为1 r= 1 sin2
1.1.2 弧度制
L=2r
O A
A
l=αr
把长度等于半径长的圆弧所对的圆心 角叫做1弧度的角。
角α的弧度数的绝对值:
|α| = — r
(其中l为以角α为圆心角时所对圆弧的长,
l
r为圆的半径. )
α的正负由角α的终边的旋转方向决定．
正角的弧度数
负角的弧度数
零角的弧度数
正数 负数
零
角的弧度数
实数集R
若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多 少？若弧是一个整圆呢？
课堂小结
1. 什么叫1弧度角? 2. 任意角的弧度的定义.
3. “角度制”与“弧度制”的联系与区别．
课后作业
1. 阅读教材P.6-P.8；
2. 教材P.9练习第1、2、3、4题； 3. 教材P.10习题1.1A组第7、8题
B组第2、3题.
一条弦的长等于半径，这条弦所对 的圆心角等于1弧度吗？为什么？
l ) 180
1
0
r
180
rad
180 rad
360 2 rad
180 o 1 rad ( ) 57.30 0 57 018 '
角度制与弧度制的互换：
180 rad
这个角的弧度数 0 180 这个角的角度数
练习：在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角( C A.所对弧长相等 B.所对的弦长相等 57.3R C.所对弧长等于各自半径 D.所对的弧长为
)
180
练习
1、已知扇形的周长为 8cm，面积为 4cm 2 ，求扇 形的中心角的弧度数．
4 2.半径为10的圆中, 的圆心角所对的弧长 ( ) 3 40 20 200 400 A. B. C. D. 3 3 3 3 3.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的 边长 , 则其圆心角的弧度数为( ) 2 A. B. C. 3 D .2 3 3 4.圆的半径是 6, 则15的圆心角与圆弧围成的扇 形面积是________________.
1.1.2弧度制
0
π π 6 4
π π 3 2
2π 3π 5π 3 4 时候，“弧度” 二字或者“rad”通常省略不写，而只写这个角 。 所对应的弧度数.但如果以度（ ）为 单位表 。 示角时，度（ ）不能省略.
1 例1:利用弧度制证明扇形面积公式 S = lR 2
其中是l扇形弧长，R是圆的半径。
π rad=0.01745 rad 1°= 180
课堂练习
1、－300°化为弧度是（ Ｂ ）
Ａ. - 4π
3
Ｂ．- 5π
3
Ｃ．- 7π
4
Ｄ．- 7π
6
2、计算
tan1.5
解： 1.5rad = 57.30按 1.5 = 85.95 = 85 57'
所以 tan1.5 = tan 85 57 ' = 14.12
周角的弧度数是2π，而在角度制 下的度数是360。 ∴ 360°= 2πrad； 180°= πrad.
π 1= rad ≈ 0.01745rad 180
°
180°= πrad
180 ° 1rad = （ ）≈ 57.30° π
角 度 弧 度
0
30 45 60 90 120 135 150 270 360 180
3 、不论是以“弧度”还是以“度”为单位 的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的 定值．
一般地，我们规定：
正角的弧度数是正数。 负角的弧度数是负数。
零角的弧度数是0。
弧度数的绝对值公式 角的弧度数的绝对值
l （l为弧长，r为半径） r
l |α|= r
r r
其中 : 1、l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是半径； 2、正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是 一个负数，零角的弧度数是0； 2 πr 3、圆心角θ为周角时，l = 2πr，则θ = = 2 π； r πr 4、圆心角θ为半角时，l = πr，则θ = = π。 r
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1. 1.2 弧度制
一、学习目标
1.理解弧度制的意义；
2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；
3.记住公式||l
r
α=
（l 为以.α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； 4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。
二、重点、难点
弧度与角度之间的换算；
弧长公式、扇形面积公式的应用。
三教学过程
(一) 复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？ (二) 为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。
<我们规定> 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。
练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、
2
r
的弧所对的圆心角分别为多少？ <思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？
由上可知：如果半径为r 的园的圆心角α所对的弧长为l ,那么，角α的弧度数的绝对值是：
，α的正负由 决定。
正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。
<说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角
的度量。
例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 4||4l r r r
παπ-=-=-=-． (三) 角度与弧度的换算
3602π=rad 180π=rad
1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π
5718'≈
例1、把下列各角从度化为弧度：
(1)0
252 （2）0
/
1115
变式练习 把下列各角从度化为弧度：
(1)22 º30′ （2）—210º (3)1200º (4) 0
30 (5)'3067︒
例2、把下列各角从弧度化为度：
（1）35
π (2) 3.5
变式练习 、把下列各角从弧度化为度：
（1）
12π （2）—34π （3）103π (4)4
π
(5) 2
归纳：把角从弧度化为度的方法是：
把角从度化为弧度的方法是：
(四) 在弧度制下分别表示轴线角、象限角的集合
（1）终边落在x 轴的非负半轴的角的集合为 ；
x 轴的非正半轴的角的集合为 ；
终边落在y 轴的非负半轴的角的集合为 ；
y 轴的非正半轴的角的集合为 ；
所以，终边落在x 轴上的角的集合为 ；
落在y 轴上的角的集合为 。
（2）第一象限角的集合为 ；
第二象限角的集合为 ；
第三象限角的集合为 ；
第四象限角的集合为 ．
(五) 弧度是一个量,弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建
立了一个一一对应关系.
(六) 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式
弧长公式：||l r α=⋅
因为||l r
α=（其中l 表示α所对的弧长），所以，弧长公式为||l r α=⋅． 扇形面积公式：．
说明：以上公式中的α必须为弧度单位．
例3、知扇形的周长为8cm ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积。
变式练习 若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积
是 ．
(七) 课堂小结： 1． 弧度制的定义；
2． 弧度制与角度制的转换与区别；
3． 牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；
(八) 作业布置 习题1.1A 组第7，8，9题。
(九) 课外探究题
已知扇形的周长为8cm ，求半径为多大时，该扇形的面积最大，并求圆心角的弧度数.
(2) ;R 21(1)S 2α=2
(1) 1(2) 21(3) 2l R
S R
S lR αα===
O
A
B
（十）课后检测
1、半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm ，求该弧所对的圆心角的弧度数。
2、半径变为原来的
1
2
，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。
3、在ABC ∆中，若::3:5:7A B C ∠∠∠=，求A ，B ，C 弧度数。
4、以原点为圆心，半径为１的圆中，一条弦AB
，AB 所对的圆心角α
的弧度数为 ．
5、直径为20cm 的滑轮，每秒钟旋转45，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？
6、选做题 如图，扇形OAB 的面积是2
4cm ，它的周长是8cm ，求扇形的中心角及弦AB 的长。