高中数学 人教A版 必修3 优秀教案 2示范教案(112 弧度制)
最新人教新课标A版高中数学必修三全册教案
12学过程及方法程序框图包含下面三种逻辑结构可以用如下程序框图表示：顺序结构条件结构循环结构探究（三）:顺序结构任何一个算法各步骤之间都有明确的顺序性，在算法的程序框图中，由若干个依次执行的步骤组成的逻辑结构，称为顺序结构。
顺序结构描述的是是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的。
【例3】已知一个三角形三条边的边长分别为a，b，c，利用海伦—秦九韶公式设计一个计算三角形面积的算法，并画出程序框图表示. 算法分析：这是一个简单的问题，只需先算出p的值，再将它代入分式，最后输出结果.因此只用顺序结构应能表达出算法.算法步骤如下：第一步，输入三角形三条边的边长a,b,c.第二步，计算p=2cba++.第三步，计算S=))()((cpbpapp---.第四步，输出S.程序框图如下：点评：很明显，顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，它是教问题与情境及教师活动学生活动学过程及方法用程序框图表示条件结构如下．图1 图2 条件结构：先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构就称为条件结构（或分支结构），如图1所示.执行过程如下：条件成立，则执行A框；不成立，则执行B框．注：无论条件是否成立，只能执行A、B之一，不可能两个框都执行．A、B两个框中，可以有一个是空的，即不执行任何操作，如图2. 条件结构的两种形式的区别：一种是在两个“分支”中均包含算法的步骤，符合条件就执行“步骤A”，否则执行“步骤B”；另一种是在一个“分支”中均包含算法的步骤A，而在另一个“分支”上不包含算法的任何步骤，符合条件就执行“步骤A”，否则执行这个条件结构后的步骤【例4】任意给定3个正实数，设计一个算法，判断以这3个正实数为三边边长的三角形是否存在，并画出这个算法的程序框图.算法分析：判断以3个任意给定的正实数为三条边边长的三角形是否存在，只需验证这3个数中任意两个数的和是否大于第3个数.这个验证需要用到条件结构.算法步骤如下：第一步，输入3个正实数a，b，c.第二步，判断a+b>c，b+c>a，c+a>b是否同时成立.若是，则存在这样的三角形；否则，不存在这样的三角形.程序框图如右图：教问题与情境及教师活动学生活动问题与情境及教师活动学生活动（2）在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构.反复执行的步骤称为循环体.显然，循环结构中一定包含条件结构。
黑龙江省哈尔滨市高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制教案 新人教A版必修3
C．扇形的面积增大到原来的 2 倍
D．扇形的圆心角增大到原来的 2 倍
的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的
定值．
y
y
B
α
O
A xx
Ｄ
α
O
Ｃ xx
（１）
（２）
当圆心角一定时，它所对弧长与半径的
比值是一定的，与所取圆的半径大小无关。
周角的弧度数是2π，而在角度制 下的度数是360。
∴ 360°= 2πrad； 180°= πrad.
180°= πrad
1° = π rad ≈ 0.01745rad 180
O
A
若l=2r，则∠AOB= l = 2弧度； r
若l= 3r，则∠AOB=Leabharlann l r= 3弧度。
B
l=2r
2弧度
O rA
3r
3 rad
r
OrA
B
-3弧度
l=3r
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所
对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度数的绝对
值是 l r
= 3，即∠AOB=－ l =－3弧度。
r
一般地，我们规定： 正角的弧度数是正数。 负角的弧度数是负数。 零角的弧度数是0。
第三象限的角的集合 第四象限的角的集合
y 用弧度表示终边在轴线上的角的集合
o x { 2k , k z}
y
{ 2k , k z}
o
x
2
y
22kk,k,k ZZ
o
x
y o
x
32
22kk,
k, kZZ
课堂练习
将下列弧度转化为角度：
（1） 12 = 15°； （2）- 7p = －157 ° 30 ′；
人教版A版高中数学必修三教案新部编本 全册
例1：（课本第9页例3）
练习1：交换两个变量A和B的值，并输出交换前后的值.
解：算法如下：程序框图：
第一步：输入A，B的值.
第二步：把A的值赋给x.
第三步：把B的值赋给A.
第四步：把x的值赋给B.
第五步：输出A，B的值.
四、条件结构
根据条件判断，决定不同流向.
2.写出解方程 的一个算法.
3.利用二分法设计一个算法求 的近似值（精确度为0.005）.
4.已知 ， ，写出求直线AB斜率的一个算法.
5.已知函数 设计一个算法求函数的任一函数值
1.1.2程序框图（第2课时）
【课程标准】通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程.在具体问题的解决过程中（如三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.
四、知识应用
例5：（课本第3页例1）（难点是由质数的定义判断一个大于1的正整数 是否为质数的基本方法）
练习1：（课本第4页练习2）任意给定一个大于1的正整数 ，设计一个算法求出 的所有因数.
解：根据因数的定义，可设计出下面的一个算法：
第一步：输入大于1的正整数 .
第二步：判断 是否等于2，若 ，则 的因数为1， ；若 ，则执行第三步.
例2：（课本第10页例4）
练习2：有三个整数 ， ， ，由键盘输入，输出其中最大的数.
解：算法1
第一步：输入 ， ， ；
第二步：若 ，且 ；则输出 ；否则，执行第三步；
第三步：若 ，则输出 ；否则，输出 .
算法2
第一步：输入 ， ， ；
第二步：若 ，则 ；否则， ；
第三步：若 ，则输出 ；否则，输出 .
新人教A版数学必修3全套教案
新人教A版数学必修3全套教案教案一：平面向量教学目标：1.理解平面向量的概念及基本性质。
2.掌握平面向量的加法、减法、数量乘法及向量的线性运算。
3.利用向量的性质解决实际问题。
教学重点：1.向量的基本概念和性质。
2.向量的加法和减法。
3.向量的数量乘法和线性运算。
教学难点：1.向量的线性运算和应用。
2.解决实际问题的向量运算方法。
教学步骤：一、引入新知识（20分钟）教师通过引入平面向量的概念和基本性质，以及向量的几何表示和坐标表示，引发学生对向量的兴趣。
二、向量的加法和减法（30分钟）1.向量的几何表示和坐标表示。
2.向量加法和减法的定义和性质。
3.通过例题讲解向量加法和减法的具体运算方法。
三、向量的数量乘法和线性运算（30分钟）1.向量数量乘法的定义和性质。
2.讲解向量的数乘和向量的线性运算。
3.通过例题加深学生对向量数量乘法和线性运算的理解。
四、应用实例（30分钟）1.结合实际问题讲解向量运算在解决实际问题中的应用。
2.利用向量运算解决实际问题的步骤和方法。
五、巩固练习（20分钟）教师布置一些巩固练习，让学生运用所学知识解决一些相关问题。
教学反思：通过本节课的教学，学生对平面向量的概念和基本性质有了初步的了解，并且掌握了向量的加法、减法、数量乘法及向量的线性运算。
通过实际应用例题的解析，学生对向量运算在解决实际问题中的应用有了更深入的理解。
整个教学过程中，教师注重启发式教学，通过提问和引导，激发学生的思维和创造力，培养学生的问题解决能力。
同时，教师还通过巩固练习，对学生所学知识进行巩固和拓展，帮助学生更好地掌握和应用向量的相关知识。
高中数学弧度制角教案
高中数学弧度制角教案
一、教学目标
1. 了解弧度制角的概念；
2. 掌握角度与弧度的相互转换方法；
3. 能够运用弧度制角解决实际问题。
二、教学内容
1. 弧度制角的定义及表示方法；
2. 角度与弧度的转换关系；
3. 利用弧度解决三角函数和圆的相关问题。
三、教学步骤
1. 引入：通过展示一个圆的半径为1，绕圆心旋转的弧长为1所对应的角度，介绍弧度的概念；
2. 探究：让学生自己尝试将角度转换为弧度，并找出两者之间的关系；
3. 拓展：通过解决一些实际问题，引导学生掌握如何运用弧度解决相关问题；
4. 练习：让学生完成一些练习题，巩固所学的知识；
5. 总结：总结弧度制角的重点知识，强化学生的理解。
四、教学设计
1. 课堂活动设计：
（1）小组讨论：让学生分组讨论角度与弧度之间的转换方法；
（2）实际应用：请学生在实际问题中运用弧度解决相关计算；
（3）互动讨论：通过互动讨论，梳理弧度制角的重要知识点。
2. 学生作业设计：
（1）完成课堂练习题，巩固所学知识；
（2）解答一些弧度制角相关的实际问题；
（3）预习下节课内容，准备讨论。
五、教学评估
1. 学生表现评估：通过学生的课堂表现和作业完成情况，评估学生对弧度制角的掌握情况；
2. 教学效果评价：通过学生的考试成绩和课后反馈，评价本节课的教学效果，及时调整教
学方法。
（以上为高中数学弧度制角教案范本，仅供参考）。
高中数学 1.1.2弧度制教案 新人教A版必修3
1.1.2弧度制教学目的：认识弧度制，并能解决实际问题。
教学重点：理解弧度制的意义，并能进行弧度与角度的换算。
教学难点：弧度的概念及其与角度的关系。
教学方法：启发式。
教具：多媒体。
教学过程：一问题提出1.角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形，其中正角、负角、零角分别是怎样规定的？2.在直角坐标系内讨论角，象限角是什么概念？3.与角α终边相同的角的一般表达式是什么？4.长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单位度量，物体的重量可以用千克、磅等不同的单位度量.不同的单位制能给解决问题带来方便，以度为单位度量角的大小是一种常用方法，为了进一步研究的需要，我们还需建立一个度量角的单位制.探究1：弧度的概念思考1：在平面几何中，1°的角是怎样定义的？思考2：在半径为r的圆中，圆心角n°所对的圆弧长如何计算？思考3：如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad，读作1弧度. 那么，1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小是否有关？为什么？思考4：约定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.如果将半径为r圆的一条半径OA，绕圆心顺时针旋转到OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB的大小为多少弧度？思考5：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？思考6：半径为r的圆的圆心与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B，下表中∠AOB的弧度数分别是多少？-1-2探究（二）：度与弧度的换算思考1：一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？思考2：根据上述关系，1°等于多少弧度？1rad等于多少度？思考3：根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应的弧度数分别是多少？今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数.如α=2表示α是2rad的角.思考4：在弧度制下，角的集合与实数集R之间可以建立一个一一对应关系，这个对应关系是如何理解的？思考5：在弧度制下，与角α终边相同的角如何表示？终边在坐标轴上的角如何表示？知识迁移例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度：（1）精确值；（2）精确到0.001的近似值.例2 (1) 已知扇形的圆心角为72°，半径等于20cm，求扇形的弧长和面积；（2）已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形的圆心角的弧度数.小结作业1.用度为单位来度量角的单位制叫做角度制，用弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制.3.利用弧度制，使得弧长公式和扇形的面积公式得以简化，这体现了弧度制优点.作业：P10 习题1.1 A组：6，7，8，9，10.板书设计弧度制1探究1：弧度的概念例12探究（二）：度与弧度的换算例2。
人教课标版高中数学必修3《弧度制》教学设计
《弧度制》教学设计一、教学目标：（一）核心素养通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，理解弧度制的定义，熟练角度制与弧度制的换算，掌握并运用弧度制的弧长公式和扇形的面积公式；在类比和数学运算过程中，更好的形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应的关系.（二）教学目标1.“为什么”——为什么要引入弧度制，理解引入弧度制的必要性；2.“是什么”——弧度是什么，理解弧度的定义；3.“如何化”——如何进行弧度与角度的转化，掌握弧度与角度之间的相互转化；4.“怎么用”——如何使用弧度制，学会使用弧度制下的新的弧长与扇形面积公式求解有关问题（三）学习重点1．理解弧度“是什么”；2．熟练弧度和角度之间“如何化”；3．掌握弧度制来计算弧长和扇形面积“怎么用”；（四）学习难点1．理解弧度“是什么”；2．理解角的集合与实数之间一一对应的关系二、教学过程（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第6页至第11页．（2）想一想：弧度制是如何定义的？弧度制和角度制之间是如何让转化的？如何将弧度制应用于弧长公式和扇形的面积公式中？2．预习自测=____________（1）已知圆O的半径为2，弧AB的长为2，则AOB【答案】1rad．（2）2π rad =（）A．180°B．200°C．270°D．360°【答案】D．（3）把50°化为弧度制（）A．50B．5 18πC．18 5πD．9000π【答案】B．（4）扇形的圆心角为72°，半径为5，则它的弧长为______，面积为________ 【答案】2π；5π(二)课堂设计1．知识回顾（1）角的概念的推广；（2）终边相同的角的表示2．问题探究探究一结合实例，引入弧度制，理解引入弧度制的必要性；●活动结合实例，引入弧度制有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约270.4公里，但也有人回答约169英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程．探究二 弧度是什么，理解弧度的定义 ●活动① 回顾角度制的定义1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等. 【设计意图】从1角度过度到1弧度，更加的自然. ●活动② 探究弧度制的定义弧度制的定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角， 记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).A【设计意图】让学生掌握弧度制的定义 探究三 探究如何进行弧度与角度的转化●活动① 通过具体的数据，探究弧度制和角度制之间的关系如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A,终边与圆交于点B.请完成表格.xyαBOA【答案】我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角的正负主要由角的旋转方向来决定.【设计意图】一方面可以让学生加深对弧度制的理解，也为接下来推导弧度制和角度制的转化公式做准备.●活动② 在掌握了弧度制定义的基础上推导弧长，半径，和圆心角（弧度制）之间的关系思考：如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么α的弧度数是多少? 角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 【设计意图】既是对弧度制定义的巩固强化，加深学生对于弧长，半径以及圆心角（弧度数）三者关系的理解.●活动③ 通过活动①中表格的数据，推导出弧度制和角度制的转化公式.'360=2rad 180rad 1801rad 1rad=57.3=5718180ππππ︒∴︒=⎛⎫∴︒=︒≈︒︒ ⎪⎝⎭反过来【设计意图】通过已有的数据推出角度制和弧度制相互转化的公式更容易被学生理解和接受. ●活动④ 快速抢答抢答特殊角的度数与弧度数的对应表:【答案】【设计意图】通过抢答环节，让学生迅速掌握弧度制和角度制的相互转换，也让学生熟悉特殊角对应的角度制和弧度制.探究四 探究弧度制下的弧长与扇形面积公式求解有关问题.●活动① 回顾初中已学的用角度制表示的弧长公式和扇形的面积公式.已知扇形的圆心角为n °，半径为R则弧长180n Rl π=，扇形的面积公式为2360n R S π=【设计意图】通过对已有知识的回顾，对接下来推出弧度制下的弧长与扇形面积公式做准备.●活动② 利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12S lR =.其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积.lRl R αα==立即可得：证明：由公式 2ππ=360180n R n S α=又，221121802n S R R πα∴=⋅⋅= 1122l R S R R lRαα=∴=⋅⋅=又【设计意图】以证明题的形式将弧度制应用于弧长和扇形的面积公式，有了推导过程，学生更容易理解和记忆.●活动③ 利用计算器比较sin1.5和sin85°的大小.【设计意图】弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别. ●活动④ 巩固基础，检查反馈 例1 下列说法不正确的是（ ）A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1度的角是圆周角的1360，1弧度的角是圆周角的12πC ． 根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D ．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大【知识点】考察了弧度制和角度制的相互转换，弧度制的定义，以及弧度制和角度制都是度量角的两种方式 【数学思想】转换的思想【解题过程】当圆心角一定时，它所对的弧长与半径的比值是一定的，与所取圆的半径大小无关【思路点拨】通过弧度制的定义去判断 【答案】D同类训练 若扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也扩大到原来的2倍，则（ ） A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ． 扇形的面积扩大到原来的2倍D ．扇形的圆心角扩大到原来的2倍【知识点】扇形的圆心角，弧长，半径三者之间的关系 【数学思想】【解题过程】由公式lRα=，因此圆心角应该不变 【思路点拨】所对的弧长与半径的比值是一定值，则圆心角就不变 【答案】B例2：（1）将下列各角化为弧度：①'11230︒；②315-︒（2）将下列各弧度化为角度：①512rad π-；②193rad π【知识点】弧度制和角度制换算公式的应用 【数学思想】【解题过程】'511230112.5112.51808rad rad ππ︒=︒=⨯= 7315(315)1804551807512121919180114033rad radrad rad ππππππππ-︒=-⨯=-⎛⎫-=-⨯︒=-︒⎪⎝⎭⎛⎫=⨯︒=︒ ⎪⎝⎭【思路点拨】公式 1801 1=180rad rad ππ⎛⎫︒=︒ ⎪⎝⎭的应用 【答案】58rad π，74rad π-，75-︒，1140︒同类训练 将下列各角度与弧度互化'9(1)67.5; (2)15730; (3); (4)34π︒-︒ 【知识点】弧度制和角度制换算公式的应用 【数学思想】【解题过程】367.567.51808rad rad ππ︒=⨯= '715730157.5(157.5)1808991804054418054033()rad rad rad πππππππ-︒=-︒=-⨯=-⎛⎫=⨯︒=︒ ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯︒=︒ ⎪⎝⎭【思路点拨】公式 1801 1=180rad rad ππ⎛⎫︒=︒ ⎪⎝⎭的应用 【答案】38rad π；78rad π-；405︒；540()π︒例3 半径为1cm ，圆心角为56π的弧长为（ ）A ．23cmB ．23cm πC ．56cmD ．56cm π【知识点】弧度制在弧长公式的应用 【数学思想】【解题过程】55166l aR cm ππ==⨯= 【思路点拨】公式l R α=的应用 【答案】D同类训练 若2rad 的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是（ ）A ．tan 2B ．1sin1 C ．21sin 1 D ．2cos1【知识点】圆中垂径定理的应用和三角函数以及弧度在扇形面积公式中的应用 【数学思想】【解题过程】半径1sin1R =，22112221sin1S R α⎛⎫==⨯⨯ ⎪⎝⎭【思路点拨】公式212S R α=的应用●活动5 强化提升、灵活应用例4 与1°角终边相同的角的集合为（ ）A ．360,180k k Z παα⎧⎫=⋅︒+∈⎨⎬⎩⎭B ．360,180k k Z παα⎧⎫=⋅︒+∈⎨⎬︒⎩⎭C ．2,180k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．2,180k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬︒⎩⎭【知识点】终边相同角的表示，同一个式子中角度制和弧度制不能混用 【数学思想】 【解题过程】1180π︒=，3602π︒=，13602180k k ππ∴︒+︒=+【思路点拨】将角度制转换为弧度制:1180π︒=【答案】C同类训练 第四象限角的集合可写为（ ）A ．360360,2k k k Z πααα⎧⎫=⋅︒-<<⋅︒∈⎨⎬⎩⎭B ．{}2902,k k k Z ααπαπ=-︒<<∈C ．,2k k k Z πααπαπ⎧⎫=-<<∈⎨⎬⎩⎭D ．22,2k k k Z πααπαπ⎧⎫=-<<∈⎨⎬⎩⎭【知识点】第四象限角的表示，同一个式子中角度制和弧度制不能混用 【数学思想】 【解题过程】{}36090360,k k k Z ααα=⋅︒-︒<<⋅︒∈3602,π︒=902π︒= 22,2k k k Z πααπαπ⎧⎫∴=-<<∈⎨⎬⎩⎭【思路点拨】将角度制转换为弧度制:1180π︒=【答案】D 3.课堂总结（1）长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).（2）弧度制和角度制之间的转换公式为：1801rad 1rad=180ππ⎛⎫︒=︒ ⎪⎝⎭（3）弧度制在扇形相关公式中的应用为：l R α= ；212S R α=； 12S lR =.重难点归纳（1）生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程． （2）当圆心角一定时，它所对的弧长与半径的比值是一定的，与所取圆的半径大小无关.（3）同一个式子中角度制和弧度制不能混用.（4）在选择弧长和扇形的面积公式时，一定要理清楚题目所给圆心角是弧度制还是角度制. （三）课后作业 基础型 自主突破1．在半径不相等的两个圆内，1弧度的圆心角（ ） A ．所对的弧长相等 B ．所对的弦长相等C ．所对的弦长等于各自的半径D ．所对的弧长等于各自的半径 【知识点】弧长的定义【解题过程】长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角 【思路点拨】1弧度的圆心角所对的弧长始终等于半径 【答案】D2．把'5615︒化为弧度是（ ）A ．58πB ．54πC ．56πD ．516π 【知识点】角度制和弧度制的相互换算 【解题过程】'5561556.2556.2518016rad rad ππ︒=︒=⨯= 【思路点拨】先将角度的单位化为“°”【答案】D3．若=4α-，则α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【知识点】了解每个象限角对应的范围【数学思想】数形结合 【解题过程】342ππ-<-<- 【思路点拨】342ππ-<-<- 【答案】B4．若角α与β的终边互相垂直，则α与β的关系是（ ）A ．2πβα=+B ．2πβα=±C ．2()2k k Z πβαπ=++∈ D ．2()2k k Z πβαπ=±+∈ 【知识点】对于角的表示【数学思想】【解题过程】B 选项忽略了终边相同应该加上圆周角2π的整数倍【思路点拨】角α与β的终边互相垂直的本质是将角α的终边绕着原点顺时针或者逆时针旋转90°，即2π±，但要注意终于边相同要加圆周角2π的整数倍【答案】D5．已知一扇形的圆心角3πα=，扇形所在圆的半径10R =，则这个扇形的弧长为____________，该扇形对应的弓形的面积为_________．【知识点】弧度制在弧长公式中的应用【数学思想】转化的思想，将弓形的面积转化为扇形的面积—三角形的面积 【解题过程】1010,33l R ππα==⨯= 110150==10102323S S S ππ-⨯⨯-⨯⨯=-弓扇三角形 【思路点拨】弓形的面积=扇形的面积—三角形的面积【答案】103π；503π- 6．在单位圆上有两个动点P Q ，，它们同时从(10)A ，出发沿圆周运动，已知点P 按逆时针方向每秒转3π，点Q 按顺时针方向每秒转6π，试求它们从出发后到第五次相遇时各自走过的弧长．【知识点】行程问题中的相遇问题【数学思想】数形结合 【解题过程】102036t t t πππ+=∴=201020203363P Q l l ππππ∴=⨯==⨯=， 【思路点拨】第五次相遇即两点的路程和恰好是圆周2π的5倍【答案】201033P Q l l ππ==， 能力型 师生共研7．已知扇形的周长为6cm ，面积为22cm 则扇形的圆心角的弧度数为（ ）A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4【知识点】12,2C l R S lR =+= 【数学思想】【解题过程】12,2C l R S lR =+=26121(62)2142222l R R R R R l l lR +=⎧==⎧⎧⎪∴∴⋅-⋅=∴⎨⎨⎨===⎩⎩⎪⎩或 =4(=1απα∴>舍）或【思路点拨】一定要考虑最终求出的圆心角的弧度数不能超过π【答案】A8．集合{}{}2(21),,44P k k k Z Q απαπαα=≤≤+∈=-≤≤，则P Q =（ ）A ．∅B ．{}40ααπαπ-≤≤-≤≤或C ．{}44αα-≤≤D ．{}0ααπ≤≤【知识点】交集的定义【数学思想】【解题过程】P 集合中的k 分别取0或1-，0απ≤≤或2παπ-≤≤-分别和Q 取公共部分【思路点拨】要找出P Q ，P 集合中的k 只能取0和1-【答案】B探究型 多维突破9．圆弧长等于其圆内接正方形的边长，则其所对的圆心角的弧度数为______ 【知识点】rl =α的应用 【数学思想】数形结合【解题过程】α==【思路点拨】有图有真相自助餐1．35π弧度化为角度是（ ） A ．110°B ．160°C ．108°D ．218°【知识点】弧度制化为角度制的应用【数学思想】 【解题过程】33180()10855πππ=⨯︒=︒ 【思路点拨】1801=rad π⎛⎫︒ ⎪⎝⎭【答案】C2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为（ ）A ．143π B ．143π- C ．718π D ．718π- 【知识点】分针每走一分钟，走过的弧度数为30π 【解题过程】14140303ππ⨯= 【思路点拨】分针走60分钟走过的弧度数为2π【答案】B3．角的集合2A x x k k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，与集合22B x x k k Z ππ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭，之间的关系为_____________【知识点】根据集合看角的终边所处的位置【解题过程】A ，B 集合表示的都是终边在y 轴上的角【思路点拨】注意“k π+”和“2k π+”的区别【答案】A B =4．若角α的终边与角6π的终边关于直线y x =对称，且(44)αππ∈-，，则α=_______【知识点】轴对称的特征以及终边相等的角的特征【数学思想】数形结合【解题过程】在0~2π中与角6π的终边关于直线y x =对称的是3π 在2~4ππ中与角3π终边相同的角是7233πππ+=在2~0π-中与角3π终边相同的角是5233πππ-=- 在4~2ππ--中与角3π终边相同的角是11433πππ-=- 【思路点拨】(44)αππ∈-，有4个圆周【答案】7511,,,3333ππππ-- 5．如图，圆上一点A 以逆时针方向作匀速圆周运动，已知点A 每分钟转过θ角(0)θπ<≤，经过2分钟到达第三象限，经过14分钟回到原来位置，求θ的大小． xyO A【知识点】象限角的范围【数学思想】【解题过程】14=2,,7k k k Z k Z πθπθ∈∴=∈3332224274721,24454577k k k Z k πππππππθθππθθ<<∴<<<<∴<<∈∴=∴==又即或或 【思路点拨】回到原位，即所走的角度是圆周2π的整数倍 【答案】4577ππθθ==或 6．在扇形AOB 中，90AOB ∠=°，弧AB 的长为l ，求此扇形内切圆的面积．【知识点】勾股定理，弧长公式l R α=以及圆的面积公式2S R π=【数学思想】数形结合【解题过程】设扇形AOB 所在圆半径为R ，此扇形内切圆的半径为r ，则有R r =，π2AB l R ==·．由此可得r =．则内切圆的面积22πS r ==． 【思路点拨】将内切圆的半径r 用弧长l 表示2。
人教版高中数学弧度制教案
人教版高中数学弧度制教案
教学内容：弧度制
教学目标：
1. 理解弧度制的概念及与角度制的转换关系；
2. 掌握弧度制的计算方法；
3. 能够运用弧度制解决相关问题。
教学重点：
1. 弧度制的概念及运用；
2. 弧度制和角度制的转换。
教学难点：
1. 弧度制与角度制的转换；
2. 弧度制的计算方法。
教学过程：
一、导入新知识（5分钟）
教师引导学生回顾角度制的概念及计算方法，并提出弧度制的定义。
二、讲解弧度制的概念及计算方法（15分钟）
1. 教师讲解弧度制的定义及计算方法，强调弧度制的优势和应用范围；
2. 带领学生进行弧度制与角度制的转换练习，并解释计算过程。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 学生自主练习弧度制计算方法，并相互讨论解题思路；
2. 教师布置相关练习题，让学生在课后进行巩固练习。
四、检测与总结（10分钟）
1. 教师让学生进行弧度制的应用题练习，并及时纠正；
2. 学生合作讨论，总结本节课的知识点，提出问题并解决。
五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，要求学生巩固掌握弧度制的概念和计算方法。
教学反思：
本节课主要围绕弧度制展开教学，通过讲解、练习和讨论，让学生充分理解弧度制的概念和计算方法，提高学生的数学运算能力和分析问题的能力。
在课后作业中，学生可以继续巩固弧度制的知识，提高解题的能力和速度。
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1.1.2 弧度制 整体设计教学分析在物理学和日常生活中,一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以满足我们不同的需要.现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制,度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制,度量角的大小可以用度为单位进行度量,并且一度的角等于周角的3601,记作1°. 通过类比引出弧度制,给出1弧度的定义,然后通过探究得到弧度数的绝对值公式,并得出角度和弧度的换算方法.在此基础上,通过具体的例子,巩固所学概念和公式,进一步认识引入弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制,并让学生在探究过程中,更好地形成弧度的概念,建立角的集合与实数集的一一对应,为学习任意角的三角函数奠定基础.通过探究讨论,关键弄清1弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但却是互相联系、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解,渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点. 三维目标1.通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制.2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣. 重点难点教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算. 教学难点:弧度的概念及其与角度的关系. 课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?度量角的大小除了以度为单位度量外,还可采用哪种度量角的单位制?它们是怎样换算的?思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷,或者利用普遍使用的钟表.实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法,度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中,已学过利用角度来度量角的大小,现在来学习角的另一种度量方法——弧度制.要使学生真正了解弧度制,首先要弄清1弧度的含义,并能进行弧度与角度换算的关键.在引入弧度制后,可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数.随着角的概念的推广,圆心角和弧的概念也随之推广:从“形”上说,圆心角有正角、零角、负角,相应的,弧也就有正弧、零弧、负弧;从“数”上讲,圆心角与弧的度数有正数、０、负数.圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”,就像三角函数值的正负可以用三角函数线(有向线段)的方向来表示一样.每一个圆心角都有一条弧与它对应,并且不同的圆心角对应着不同的弧,反之亦然.推进新课 新知探究 提出问题问题①:在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢?问题②:我们从度量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同单位制呢?图1活动:教师先让学生思考或讨论问题,并让学生回忆初中有关角度的知识,提出这是认识弧度制的关键,为更好地理解角度弧度的关系奠定基础.讨论后教师提问学生,并对回答好的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键.教师板书弧度制的定义:规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度记作1 rad.如图1中,的长等于半径r,AB 所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角,即rl =1. 讨论结果: ①1°的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关. ②能,用弧度制. 提出问题问题①:作半径不等的甲、乙两圆,在每个圆上作出等于其半径的弧长,连结圆心与弧的两个端点,得到两个角,将乙图移到甲图上,两个角有什么样的关系?问题②:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少?既然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间如何换算?活动:教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系,提问学生归纳的情况,让学生找出区别和联系.教师给予补充和提示,对表现好的学生进行表扬,对回答不准确的学生提示和鼓励.引入弧度之后,应与角度进行对比,使学生明确:第一,弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单位制;第二,1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小,而1°的角是周角的3601;第三,无论是以“弧度”还是以“度”为单位,角的大小都是一个与半径大小无关的定值.教师要强调为了让学生习惯使用弧度制,本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制.讨论结果:①完全重合,因为都是1弧度的角. ②α=r 1;将角度化为弧度:360°=2π rad,1°=180πrad≈0.017 45 rad,将弧度化为角度:2π rad=360°,1 rad=(π180)°≈57.30°=57°18′.弧度制与角度制的换算公式:设一个角的弧度数为αrad=(πa180)°,n°=n180π(rad). 提出问题问题①:引入弧度之后,在平面直角坐标系中,终边相同的角应该怎么用弧度来表示?扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示?的长OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数∠AOB 的度数πr逆时针方向 2πr 逆时针方向R 1 2r -2 -π 0 180°360°些特殊角填表,然后概括出一般情况.教师让学生互动起来,讨论并总结出规律,提问学生的总结情况,让学生板书,教师对做正确的学生给予表扬,对没有总结完全的学生进行简单的提示.检查完毕后,教师做个总结.由上表可知,如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数的绝对值是a1这里,应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们一定可以换算.推而广之,同一个数学对象用不同方式表示时,它们之间一定有内在联系,认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一.教师给学生指出,角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立起一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.值得注意的是:今后在表示与角α终边相同的角时,有弧度制与角度制两种单位制,要根据角α的单位来决定另一项的单位,即两项所用的单位制必须一致,绝对不能出现k·360°+3π或者2kπ+60°一类的写法.在弧度制中,与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ(k ∈Z )的形式.如图2为角的集合与实数集R 之间的一一对应关系.图2讨论结果:①与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ(k ∈Z )的形式.弧度制下关于扇形的公式为l=αR,S=21αR 2,S=21lR. ②的长 OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数∠AOB 的度数πr 逆时针方向 Π 180° 2πr 逆时针方向 2π 360° R 逆时针方向 1 57.3° 2r 顺时针方向 -2 -114.6° πr 顺时针方向 -π -180° 0 未旋转 0 0° πr 逆时针方向 Π 180° 2πr逆时针方向2π360°应用示例例1 下列诸命题中,真命题是( ) A.一弧度是一度的圆心角所对的弧 B.一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位活动:本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别,以达到熟练掌握定义.从实际教学上看,弧度制不难理解,学生结合角度制很容易记住.根据弧度制的定义:我们把长度等于半径长的弧和所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各项,可知D 为真命题. 答案:D点评:本题考查弧度制下角的度量单位:1弧度的概念. 变式训练下列四个命题中,不正确的一个是( ) A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小是2πC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 答案:D例 2 将下列用弧度制表示的角化为2kπ+α(k ∈Z ,α∈［0,2π))的形式,并指出它们所在的象限:①-415π;②332π;③-20;④-32. 活动:本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角,教师给予指导并讨论归纳出一般规律.即终边在x 轴、y 轴上的角的集合分别是:{β｜β=kπ,k ∈Z },{β｜β2π=kπ,k ∈Z }.第一、二、三、四象限角的集合分别为: {β｜2kπ<β<2kπ+2π,k ∈Z }, {β｜2kπ+2π<β<2kπ+π,k ∈Z }, {β｜2kπ+π<β<2kπ+23π,k ∈Z },{β｜2kπ+23π<β<2kπ+2π,k ∈Z }.解:①415π-=-4π+4π,是第一象限角. ②432π=10π+32π,是第二象限角.③-20=-3×6.28-1.16,是第四象限角. ④-23≈-3.464,是第二象限角.点评:在这类题中对于含有π的弧度数表示的角,我们先将它化为2kπ+α(k ∈Z ,α∈［0,2π))的形式,再根据α角终边所在的位置进行判断,对于不含有π的弧度数表示的角,取π=3.14,化为k×6.28+α,k ∈Z ,｜α｜∈［0,6.28)的形式,通过α与2π,π,23π比较大小,估计出角所在的象限.变式训练(1)把-1 480°写成2kπ+α(k ∈Z ,α∈［0,2π))的形式; (2)若β∈［-4π,0),且β与(1)中α终边相同,求β.解:(1)∵-1 480°=-974π=-10π+916π,0≤916π<2π, ∴-1 480°=2(-5)π+916π.(2)∵β与α终边相同,∴β=2kπ+916π,k ∈Z .又∵β∈［-4π,0),∴β1=92π-,β2=920π-.例3 已知0<θ<2π,且θ与7θ相同,求θ.活动:本例目的是让学生在教师的指导下会用弧度制求终边相同的角,并通过独立完成课后练习真正领悟弧度制的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,用弧度制解决角的问题要很容易却难掌握,很有可能记错或者混淆或者化简错误,学生需多做些这方面的题来练基本功.可先让学生多做相应的随堂练习,在黑板上当场演练,教师给予批改指导,对易出错的地方特别强调.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生的练习操作中一一纠正,这对以后学习大有好处.解:由已知,得7θ=2kπ+θ,k ∈Z ,即6θ=2kπ.∴θ=3k π. 又∵0<θ<2π,∴0<3kπ<2π. ∵k ∈Z ,当k=1、2、3、4、5时,θ=3π、32π、π、34π、35π.点评:本题是在一定的约束条件下,求与角α终边相同的角,一般地,首先将这样的角表示为2kπ+α(k ∈Z ,α∈［0,2π))的形式,然后在约束条件下确定k 的值,进而求适合条件的角.例4 已知一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求这个最大值. 活动:这是一道应用题,并且考查了函数思想,教师提示学生回顾一下用函数法求最值的思路与步骤,教师提问学生对已学知识的掌握和巩固,并对回答好的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予一定的提示和鼓励.教师补充,函数法求最值所包括的五个基本环节:(1)选取自变量;(2)建立目标函数;(3)指出函数的定义域;(4)求函数的最值;(5)作出相应结论.其中自变量的选取不唯一,建立目标函数结合有关公式进行,函数定义域要根据题意确定,有些函数是结构确定求最值的方法,并确保在定义域内能取到最值. 解:设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α,面积为S.由已知,2r+l=a,即l=a-2r.∴S=21l·r=21(a-2r)·r=-r 2+2a r=-(r-4a)2+162a .∵r>0,l=a-2r>0,∴0<r<2a. ∴当r=4a时,S max =162a .此时,l=a-2·4a =2a ,∴α=r1=2. 故当扇形的圆心角为2 rad 时,扇形的面积取最大值162a .点评:这是一个最大值问题,可用函数法求解,即将扇形的面积S 表示成某个变量的函数,然后求这个函数的最大值及相应的圆心角. 变式训练已知一个扇形的周长为98π+4,圆心角为80°,求这个扇形的面积. 解:设扇形的半径为r,面积为S,由已知知道,扇形的圆心角为80×180π=94π, ∴扇形的弧长为94πr,由已知,94πr+2r=98π+4,∴r=2. ∴S=21·94πr 2=98π.故扇形的面积为98π.点评:求扇形的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.相反,也可由扇形的面积结合其他条件,求扇形的圆心角、半径、弧长.解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用. 知能训练课本本节练习. 解答:1.(1)8π;(2)67m -;(3)320m .点评:能进行角度与弧度的换算.2.(1)15°;(2)-240°;(3)54°.点评:能进行弧度与角度的换算. 3.(1){α|α=kπ,k ∈Z };(2){α|α=2π+kπ,k ∈Z }. 点评:用弧度制表示终边分别在x 轴和y 轴上的角的集合. 4.(1)cos0.75°>cos0.75;(2)tan1.2°<tan1.2.点评:体会同数值不同单位的角对应的三角函数值可能不同,并进一步认识两种单位制.注意在用计算器求三角函数值之前,要先对计算器中角的模式进行设置.如求cos0.75°之前,要将角模式设置为DEG(角度制);求cos0.75之前,要将角模式设置为RAD(弧度制). 5.3πm.点评:通过分别运用角度制和弧度制下的弧长公式,体会引入弧度制的必要性.6.弧度数为1.2.点评:进一步认识弧度数的绝对值公式.课堂小结由学生总结弧度制的定义,角度与弧度的换算公式与方法.教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制,它们是互相联系的,辩证统一的;角度与弧度的换算,关键要理解并牢记180°=π rad这一关系式,由此可以很方便地进行角度与弧度的换算;三个注意的问题,同学们要切记;特殊角的弧度数,同学们要熟记.重要的一点是,同学们自己找到了角的集合与实数集R的一一对应关系,对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解,要把这两个公式记下来,并在解决实际问题中灵活运用,表扬学生能总结出引入弧度制的好处,这种不断总结,不断归纳,梳理知识,编织知识的网络,特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质,会使我们终生受用,这样持之以恒地坚持下去,你会发现数学王国的许多宝藏,以服务于社会,造福于人类.作业①课本习题1.1 A组6、8、10.②课后探究训练:课本习题1.1 B组题.设计感想本节课的设计思想是:在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点.因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究,不要让开始的探究成为一种摆设.如果学生一开始没有很好的理解,那么以后有些题怎么做就怎么难受.通过探究让学生明确知识依附于问题而存在,方法为解决问题的需要而产生.将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去,由此把学生的思维推到更宽的广度.本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难,这符合学生的认知规律;让学生在探究中积累知识,发展能力,对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪.但由于学生知识水平的限制,本节不能扩展太多,建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础.根据本节特点可考虑分层推进、照顾全体.对优等生,重在引导他们变式思维的训练,培养他们求同思维、求异思维的能力,以及思维的灵活性、深刻性与创造性.鼓励他们独立思考,勇于探索,敢于创新,对正确的要予以肯定,对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正,使课堂学习成为再发现再创造的过程.。