1.1.2 弧度制--讲义
课件5：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
例 3.已知扇形的周长为 20 cm，当它的半径和圆心角各取什么 值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解:设扇形的半径为 r，弧长为 l，面积为 S. 则 l＝20－2r， ∴S＝12lr＝12(20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25(0＜r＜10)． ∴当半径 r＝5 cm 时，扇形的面积最大，为 25 cm2. 此时 α＝rl＝20－52×5＝2(rad)． ∴当它的半径为 5 cm，圆心角为 2 rad 时， 扇形面积最大，最大值为 25 cm2.
π 12
π 6
π 4
π5 π 3 12π 2
2 3 5π 3π 4π 6
角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
弧度 π
7 6π
5π 4
4π 3
3 2π
5π 3
7 4π
11π 6
2π
知识点3：弧度制下的扇形的弧长及面积公式
(1)弧度数公式：α＝
2.弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化时， 可牢记以下公式：1π80＝弧 角度 度，只要将已知数值填入相应位置， 解出未知的数值，再添上相应的单位即可．
3．弧度制下的扇形面积公式可类比三角形的面积公式来记忆． 4．引入弧度制后，就有两种度量角的单位制，不仅使扇形的弧 长和面积公式变得更加简洁，也建立了角与实数间的一一对应 关系，为后面学习三角函数的定义打下了基础.
知识点2：角度制与弧度制的换算 问题导思 角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换 算呢？ 利用 1 弧度角的定义进行换算．
总结 (1)角度制与弧度制的换算
2π
2π
π
π
(2)特殊角的弧度数
1.1.2 弧度制[概述PPT课件
3.弧度制与角度制之间如何换算？ 利用：
角度制与弧度制的换算公式：
[例1]把下列各角化为弧度
（1）30°（2）-45°（3）6730
解：∵
6730
67
1 2
∴
6730
π 180
rad
67
1 2
3πrad 8
例2 角度与弧度互化
(1)22 30'
(4)
12
(2)-210
(5)- 4
3
(3)1200
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
2rad
A
r
Oo
AOB=1rad
AOC=2rad
1弧度：α
L r
?
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角
叫做1弧度的角．
完成下列填空：若圆的半径为 r；弧长为 L．
当L取下列值时写出对应的 圆心角
(1)L r
α _1_r__a__d;
(2)L 2.5r α2_._源自_r__a_d;(3)L πr α __r__a_d_;
(4)L 2πr α2___r__a_d;
思考：若角α是一个负 角；它的弧度数如何表示？
若L 4πr;α 0则：
L 4r 4
rr
|α|
L r
结论：正角的弧度数是 正数；
负角的弧度数是一个负 数；
零角的弧度数是0。
2.周角是多少度？多少弧度？平角呢？ 直角呢？
(最终讲解)1.1.2弧度制(1)
180 1 rad 57.30 57 18
1
180
rad 0.01745 rad
180 rad
精确值
近似值
180 1 rad 57.30 57 18
例1、按照下列要求,把67030'化成弧度. (1)精确值; (2)精确到0.001的近似值.
所有与角 终边相同的角，连同角 在内， 可构成一个集合
S = = +k 360 , k Z
即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和。
1、什么叫角度制 ？
用度作单位来度量角的单位制叫做角度 制。单位为“度”（即“ º ”）。
2、1º 的角是怎样规定的？
135 (1)因为 67 30 解： ， 2
所以
135 3 67 30 rad rad. 180 2 8
(2)由于 1 所以
180
rad 0.01745 rad ，
67 30 67.5 67.5 0.01745 rad 1.178 rad.
三、弧度与角度的换算
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但 数量相同（都是0）；用角度制和弧度制来度量任一 非零角，单位不同，数量也不同。 因为周角的弧度数是 2 ，而在角度制下的度数 是 360 。所以有：
360 2 rad 180 rad 1 rad 0.01745 rad 180
例2、把3.14rad换算成角度(用度数表示,精确 到0.001).
解： 因为
180 180 1 rad 57.2956 , 3.1416 所以
1.1.2弧度制(一)
2、弧度与角度的换算
L 若L=2 π r，则∠AOB= = 2π弧度 r
此角为周角 即为360° 即为 °
L=2 π r
2π弧度 弧度
360° 360°= 2π 弧度 180° 180°= π 弧度
O
r
（B） ） A
180°= 1°× 180 ° °×
由180°= π 弧度 还可得 ° π 1°= —— 弧度 ≈ 0．01745弧度 ° ． 弧度 180 180）°≈ 57．30°= 57°18′ 57．30° 57° 1弧度 =（——） π
（ 2）终边在 y 轴上的角的集合
（3）终边在坐标轴上的角的集合 ） （4）第Ⅱ象限角的集合 ）
例4将下列各角化成 0到2π的角加上 2 kπ （ k ∈ Z）的形式。 23 23 （1） π（2） − π（3） （4） 450 ° 450 ° − 3 3
已知四边形的四个内角之比是1： ： ： ， 例5已知四边形的四个内角之比是 ：3：5：6， 已知四边形的四个内角之比是 分别用角度制和弧度制将这些内角的大小表 示出来。
4.若三角形的三个内角之比是2： 3：4，求其三个内角的弧度数．
5.下列角的终边相同的是（
）．
kπ π 与 kπ + ，k ∈ Ζ C． 2 2
D．
π π A． kπ + 与 2kπ ± ，k ∈ Ζ 4 4 π 2π B． 2kπ − 与 π + ，k ∈ Ζ 3 3
(2k +1)π 与 3kπ，k ∈ Ζ
四、课堂小结： 课堂小结：
1.弧度制定义 弧度制定义 2.角度与弧度的互化 角度与弧度的互化 3.特殊角的弧度数 特殊角的弧度数
360° ° 度 0° 30 °45 ° 60 ° 90 ° 180 270° ° 弧 0 度
人教版数学必修4第一章1.1.2弧度制课件
（二）弧度制的绝对值公式
完成下列表格,你能得出哪些结论？
弧AB的长 OB旋转的方向 AOB 的弧度数 AOB 的度数
r
逆时针方向
2 r 逆时针方向
r
逆时针方向
1
2r
顺时针方向
-2
顺时针方向
未旋转
0
逆时针方向
180
逆时针方向
运用新知
根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应 的弧度数分别是多少？
注意：用弧度制表示角时，“弧度”二字或 “rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧 度数.如α=2表示α是2rad的角.
随堂练习： 1.根据条件完成下列度和弧度的转化；
（1）把 - 35 化成弧度；
（2）把 - 弧度化成度； 2.把下列角化成 0 到 2 的角加上 2 k 的形式；
4.在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的圆弧长 如何计算？
l 2r n nr
360 180
5. 圆心角的大小是否与圆半径的大小有关?
探究新知
（一）弧度制的概念
讨论：角除了以度为单位，还有分和秒，他们 是六十进制的，计算不方便，角的度量是否也 能用不同的单位制？（类比长度的度量单位）
新知1：弧度制的定义
3.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一 个负数，零角的弧度数是0.
4.如果半径为R的圆的圆心角 所对弧的长为l，
那么，角的弧度数的绝对值是 l.
r
5.角度制与弧度制换算 ：180°=π rad
运用新知
例1按照下列要求，把67°30′化成弧度：
（1）精确值；
（2）精确到0.001的近似值.
1.1.2弧度制课件
导出关系
∴平角的弧度数= RR= 同理,弧是整圆，圆心角是周角， 周角的弧度数为2
360°=2 rad 180°= rad
1°= 180 rad 0.01745 rad
1
rad=
180
57.30=57°18′
（1）设一个角的弧度数为 rad
则
（180）o
rad =
（2）设一个角的角度数为no
则 no = n rad
解：∵
6730
=
135
2
6730' = rad 135 = 3 rad
180
28
例2 把 3.14 rad化成度.(精确到0.001)
180 = 3.14 = 3.14 (180) 179.909
1 = rad
180
1rad
=
180
写出一些特殊角的弧度数
角 度
0 30 45 60 90 120135150180 270 360
弧长与半径的比值是唯一 确定的,与半径大小无关
弧长等于半径长度的弧所对的圆心角为 1弧度的角
单位：弧度，单位符号：rad， 读作弧度.
B
l =r
Oo r A
AOB=1rad
C这种以l 弧= 2度r 作为单位来A
r
度量O角o的单 位制叫做弧 度制。
AOC=2rad
角度制与弧度制的比较
单位 1
角度制
解 : 设扇形半径为 r,弧长为l,则由
2r l = 8 1 lr = 4 2
l
r
解得 R = 2 l = 4
故该扇形的圆心角的弧度数为
= l =4 =2
1.1.2弧度制(讲授课)
2
270
3 2
o
角 o o o 135 150 180 度 弧 度
3 4
360
o
5 6
2
常规写法:
① 用弧度数表示角时，常常把弧度数
写成多少 的形式，不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用．
使用弧度制，写出各象限角的集合:
第一象限角的集合:
{ | 2k 2k , k Z } 2 第二象限角的集合: { | 2k 2k , k Z }
π θ 0， 2 π θ -， 2
θ 0，π
θ 0， 2π
小结
（1） 180 弧度；
(2）“角化弧”时, 将n乘以 180 ； “弧化角”时，将α乘以
（3）弧长公式： l
180
1 1 2 扇形面积公式： S lr r 2 2 （其中l为圆心角α所对的弧长,α为圆心 角的弧度数,r为圆半径.)
16 11 （ 1） ；（2） 315 ；（3） ． 3 7
[例2]
例3 利用弧度制证明下列关于扇形公式:
1 l R
1 2 2 S R 2
1 3 S lR 2
其中R是半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心 角,S是扇形面积.
l 证明:(1)由公式 = r 得l=αR
2π弧度
L=2 π r O r （B) A
360°= 2π 弧度 180°= π 弧度
由180°= 1° = 180
π 弧度 还可得
π —— 弧度 ≈ 0．01745弧度 π
180 1弧度 =（——）°≈ 57．30°= 57°18′
360°=2 rad 180°= rad
苏教数必修四同步讲义：1.1 1.1.2 弧度制 Word含答案
1．1.2 弧度制1.了解弧度制的意义．2.能正确的将弧度与角度互化．3.掌握弧长公式和扇形面积公式．1．角度制规定周角的1360为1度的角，记作1°.用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2．弧度制(1)长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad ．用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．(2)弧度数①正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0．②角α的弧度数的绝对值|α|＝lr (其中l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的弧长，r 为圆半径)．3．角度与弧度之间的互化及关系(1)度化弧度：360°＝2π rad ，180°＝π rad ，1°＝π180 rad ≈0.017 45 rad.(2)弧度化度：2π rad ＝360°，π rad ＝180°，1 rad ＝180°π≈57.30°.4．扇形的弧长及面积公式(1)弧长公式：l ＝|α|·r ，(r 为圆半径，|α|为圆心角的弧度数)，两个变形：|α|＝l r ，r ＝l|α|.(2)面积公式：S 扇形＝12l ·r (r 为扇形半径，l 为扇形的弧长)，两个变形：S 扇形＝12|α|·r 2，S 扇形＝12l 2|α|(α为扇形圆心角的弧度数)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度指的是1度的角．( )(2)弧长为π，半径为2的扇形的圆心角是直角．( )解析：(1)错误.1弧度指的是长度等于半径长的弧所对的圆心角． (2)正确．若弧长为π，半径为2，则|α|＝π2，故其圆心角是直角．★答案★：(1)× (2)√ 2.8π5弧度化为角度是( ) A ．278° B ．280° C ．288° D ．318°★答案★：C3．半径为2，圆心角为π3的扇形的面积是( )A ．4π3B ．πC ．2π3D ．π3★答案★：C4．(1)18°＝________rad ；(2)310π＝________．★答案★：(1)π10(2)54°角度与弧度的互化(1)将下列各角度化成弧度： ①1 080°，②－750°； (2)将下列各弧度化成角度： ①－7π9，②512.【解】 (1)①1 080°＝1 080×π180 rad ＝6π rad ，②－750°＝－750×π180 rad ＝－25π6 rad.(2)①－7π9 rad ＝－7π9×180°π＝－140°，②512 rad ＝512×180°π＝75°π.角度制与弧度制的互化原则(1)角度与弧度的换算关系式是角度与弧度互化的重要依据，其中应记住关系式：π＝180°，它能够帮助我们更快、更准确地进行运算．(2)如果角度以度、分、秒的形式给出时，应先将它化为度，再转化为弧度；如果弧度给出的是实数，如2弧度，化为度应是2×180°π＝360°π.1.将下列角度与弧度进行互化．①20°＝________； ②－15°＝________； ③－115π＝________．解析：①20°＝20×π180＝π9.②－15°＝－15×π180＝－π12.③－115π＝－115π×180°π＝－396°.★答案★：π9 －π12－396°终边相同的角和区域角的弧度制表示(1)设角α1＝－570°，α2＝750°，将α1，α2用弧度制表示出来 ，并指出它们各自所在的象限；(2)用弧度制表示第二象限角的集合，并判断－10π3 是不是第二象限角．【解】 (1)因为－570°＝－19π6＝－4π＋5π6， 750°＝25π6＝4π＋π6.所以α1在第二象限，α2在第一象限． (2)在[0，2π)范围内，第二象限角α∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以终边落在第二象限的所有角可表示为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z ，而－10π3＝－4π＋2π3∈⎝⎛⎭⎫－4π＋π2，－4π＋π， 所以－10π3是第二象限角．熟练掌握角度与弧度的互化，准确判断角所在的象限是学习三角函数知识的必备基本功．若需要在某一指定范围内求具有某种特性的角时，通常转化为解不等式去求对应的k 值．[注意] 用弧度制表示角时，不能与角度制混用，如β＝2k π－60°(k ∈Z )这种写法是不正确的．2.(1)在区间(0，2π)内，与－34π5终边相同的角是( )A ．π5B ．2π5C ．4π5D ．6π5(2)①把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π；②在[0，4π]中找出与2π5角终边相同的角．解：(1)选D ．因为－34π5＝－8π＋6π5，则－34π5与6π5终边相同，选D ．(2)①因为－1 480°＝－1 480×π180 rad＝－749π rad ，又－749π＝－10π＋169π，其中α＝169π，所以－1 480°＝169π－10π.②终边与2π5角相同的角为θ＝2π5＋2k π(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝2π5；当k ＝1时，θ＝12π5，所以在[0，4π]中与2π5角终边相同的角为2π5，12π5.弧长与扇形面积公式的应用已知一扇形的圆心角是α，半径是r .(1)若α＝60°，r ＝10 cm ，求扇形的弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，则当α为多少弧度时，该扇形的面积最大？ 【解】 (1)设弧长为l ，弓形的面积为S 弓． 因为α＝60°＝π3，r ＝10 cm ，所以l ＝αr ＝103π(cm)，所以S 弓＝S 扇－S △＝12×103π×10－34×102＝50⎝⎛⎭⎫π3－32(cm2)．(2)由已知2r＋l＝c，所以r＝c－l2(l<c)，所以S＝12rl＝12·c－l2·l＝14(cl－l2)＝－14⎝⎛⎭⎫l－c22＋c216，所以当l＝c2时，S max＝c216，此时α＝lr＝c2c－c22＝2，所以当扇形圆心角为2弧度时，扇形的面积有最大值c216.(1)求扇形的弧长和面积①记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝12lr＝12αr2(其中l是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π)．②找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．(2)扇形周长及面积的最值问题①当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值．其求法是把面积S转化为关于r的二次函数，但要注意r的取值范围．特别注意一个扇形的弧长必须满足0＜l＜2πr.②当扇形面积一定时，扇形的周长有最小值，其求法是把周长C转化为关于r的函数，用基本不等式可求得扇形周长的最小值．特别注意一个扇形的弧长必须满足0＜l＜2πr.3.(1)在半径为12 cm的圆上，有一条弧的长是18 cm，求该弧所对的圆心角的弧度数和该扇形的面积．(2)已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：(1)设该弧所对的圆心角为α，则α＝lr＝1812＝32(rad)，该扇形面积为S＝12lr＝12×18×12＝108(cm2)．(2)设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，所以l ＝40－2r ，所以S＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝－(r －10)2＋100.所以当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm 2，这时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad.“度”与“弧度”的区别与联系 区别(1)定义不同 (2)单位不同．弧度制是以“弧度”为单位，单位可以省略，而角度制是以“度”为单位，单位不能省略(3)弧度制是十进制，而角度制是六十进制 联系(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值，仅和半径与所含的弧这两者的比值有关 (2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数． 【解】 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，①12lr ＝4，②①代入②得r 2－5r ＋4＝0， 解得r 1＝1，r 2＝4. 当r ＝1 cm 时，l ＝8 cm ， 此时θ＝8 rad>2π rad(舍去)； 当r ＝4 cm 时，l ＝2 cm ， 此时θ＝24＝12(rad)．有关扇形的弧长l ，圆心角α，面积S 的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用l ＝|α|r ，S ＝12lr ＝12|α|r 2两组公式，采用消元思想或二次函数思想加以解决．1．1 920°转化为弧度数为( )A ．163B ．323C ．163πD ．323π解析：选D ．因为1°＝π180，所以1 920°＝1 920·π180＝32π3.2．在半径为8 cm 的圆中，5π3的圆心角所对的弧长为( ) A ．403π cmB ．203π cmC ．2003π cmD ．4003π cm解析：选A ．根据弧长公式，得l ＝5π3×8＝40π3(cm)．3．一钟表的分针长为5 cm ，经过40分钟后，分针外端点转过的弧长是________cm. 解析：经过40分钟，分针转过的角是α＝－4×π3＝－43π，则l ＝|α|r ＝5×43π＝203π(cm)．★答案★：203π[学生用书P79(单独成册)])[A 基础达标]1.3π4对应的角度为( ) A ．75° B ．125° C ．135°D ．155°解析：选C ．由于1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°， 所以3π4＝34π×⎝⎛⎭⎫180π°＝135°，故选C ．2．用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝－5π6＋2k π，k ∈Z B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋k ·360°，k ∈Z C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝2π3＋2k π，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋2k π，k ∈Z 解析：选D ．150°＝150×π180＝5π6，故与150°角终边相同的角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋2k π，k ∈Z .3．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为( )A ．π2B ．π3C ． 2D ． 3解析：选C ．设圆内接正方形的边长为a ，则该圆的直径为2a ，所以弧长等于a 的圆弧所对的圆心角α＝l r ＝a22a ＝2，故选C ．4．钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A ．143 πB ．－143πC ．718πD ．－718π解析：选B ．显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.5．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形的圆心角大小不变 B ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 C ．扇形的圆心角增大到原来的4倍 D ．扇形的圆心角减小到原来的一半解析：选A ．设扇形原来的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则变化后半径为2r ，弧长为2l ，圆心角为β，所以α＝l r ，β＝2l 2r ＝lr＝α，即扇形的圆心角大小不变．6．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为________． 解析：A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7， 所以A ＝3π3＋5＋7＝π5，B ＝5π3＋5＋7＝π3，C ＝7π15.★答案★：π5，π3，7π157．火车站钟楼上有座大钟，这座大钟的分针20 min 所走的圆弧长是π3 m ，则这座大钟分针的长度为________ m.解析：因为分针20 min 转过的角为－2π3，所以由l ＝|α|r ，得r ＝l|α|＝π32π3＝0.5(m)，即这座大钟分针的长度为0.5 m.★答案★：0.58．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km ，一列火车用30 km/h 的速度通过，10 s 内转过的弧度为________．解析：10 s 内列车转过的圆形弧长为103 600×30＝112(km)．转过的角α＝1122＝124(弧度)．★答案★：1249．一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形面积是多少？解：设弧长为l ，所对圆心角为α，则l ＋2r ＝πr ， 即l ＝(π－2)r . 因为|α|＝lr ＝π－2，所以α的弧度数是π－2， 从而S 扇形＝12lr ＝12(π－2)r 2.10．设集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z ， B ＝{x |x 2≤36}，试求集合A ∩B ． 解：由集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z ，可知A ＝…∪⎣⎡⎦⎤－9π4，－7π4∪⎣⎡⎦⎤－5π4，－3π4 ∪⎣⎡⎦⎤－π4，π4∪ ⎣⎡⎦⎤3π4，5π4∪⎣⎡⎦⎤7π4，9π4∪….由B ＝{x |x 2≤36}，可得B ＝{x |－6≤x ≤6}，在数轴上将两个集合分别作出，如图．可得集合A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤－6，－7π4∪ ⎣⎡⎦⎤－5π4，－3π4∪⎣⎡⎦⎤－π4，π4∪⎣⎡⎦⎤3π4，5π4∪⎣⎡⎦⎤7π4，6.[B 能力提升]1．设角α的终边为射线OP ，射线OP 1与OP 关于y 轴对称，射线OP 2与OP 1关于直线y ＝－x 对称，则以OP 2为终边的角的集合是( )A ．{β|β＝k ·2π＋α，k ∈Z }B ．{β|β＝(2k ＋1)·π＋α，k ∈Z }C ．{β|β＝k ·2π＋π2＋α，k ∈Z }D ．{β|β＝k ·2π＋32π＋α，k ∈Z }解析：选C ．依题意，射线OP 1所对应的角γ满足α＋γ＝k 1·2π＋π，k 1∈Z ，① 射线OP 2所对应的角β满足γ＋β＝k 2·2π－π2，k 2∈Z ，②②－①得β－α＝(k 2－k 1)·2π－32π，即β＝k ·2π＋π2＋α，k ∈Z .2．如图，动点P ，Q 从点A (4，0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，则(1)P ，Q 第一次相遇时所用的时间为________． (2)P ，Q 点各自走过的弧长为________，________． 解析：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t 秒， 则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π， 解得t ＝4.所以第一次相遇时所用的时间是4秒，第一次相遇时点P 已经运动到角π3·4＝43π的终边与圆的交点位置，点Q 已经运动到角－2π3的终边与圆的交点位置，所以点P 走过的弧长为43π×4＝163π， 点Q 走过的弧长为⎪⎪⎪⎪－2π3×4＝23π×4＝83π. ★答案★：(1)4秒 (2)163π 83πRuize 3．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求：(1)AB ︵的长；(2)扇形所含弓形的面积．解：(1)因为120°＝120180π＝23π， 所以l ＝|α|·r ＝6×23π＝4π， 所以AB ︵的长为4π.(2)因为S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π， 如图所示有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3.(D 为AB 中点) 所以弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.4．(选做题)将一条绳索绕在半径为40 cm 的轮圈上，绳索的下端处悬挂着物体B ，如果轮子按逆时针方向每分钟旋转6圈，现将物体B 的位置向上提升100 cm ，那么需要多长时间才能完成？解：如图，设将物体向上提升100 cm ，需要的时间为t s.当BB ′＝100 cm 时，AA ′︵的长是100 cm ，AA ′︵所对的圆心角∠AOA ′＝10040＝52(rad)． 因为轮子每分钟匀速旋转6圈，所以每秒匀速转过6×2π60＝π5(rad)． 于是t s 转过π5t rad ， 所以π5t ＝52， 得t ＝252π≈4(s)．。
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1.1.2 弧度制
1.A 写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°~1080°范围内与75°角终边相同的角(用弧度制表示)．
2.A 已知某扇形圆心角为π3，且弧长为3，求扇形的半径与面积.
3.A 将下列角度与弧度进行互化：
105°=______;
3=______;
12
-=______; o 11230'=______.
4.B 用弧度制表示顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合(包括边界).
5.B 将一条绳索绕在半径为40 cm 的轮子上，绳索的下端B 处悬挂着物体W ，且轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转6圈，现在想将物体W 向上提升100 cm ，需要多长时间才能完成？
金题精讲
1.A 把下列各角的弧度制和角度制互化：
15︒；6730'︒；3rad 5π；5
rad
8π
2.A 已知扇形的圆心角为72︒，半径等于20cm ，求扇形的面积.
金题精讲
3.A 请回答关于任意角α的下列问题：
（1）若角α的终边位于y 轴的负半轴，则α=_____________；
（2）若角α是第二象限角，则α的取值满足____________ .
4.A 若角56βπ
=，锐角α与β的终边关于y 轴对称，则α=________________；
若任意角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系是________________.
5.A 已知角α的终边落在图示阴影部分区域，写出角α组成的集合．
（1） ；
（2） .
6.A 已知集合(){}221,A k k k Z αα=π≤≤+π∈，{}44B x =-≤≤α，则A B 的范围（
）
A ．∅
B ．{}4αα-≤≤π
C ．{}0αα≤≤π
D ．{}4,0ααα-≤≤-π≤≤π或
7.B 已知扇形的周长为10cm ，面积为24cm ，求扇形的圆心角的弧度数.
1.1.2 弧度制
参考答案
1.52,12k k π⎧⎫=+π∈⎨⎬⎩⎭
θθZ ；2912=πθ，5312=πθ． 2.9π；272π． 3.712π；540()π
；-75°；58π． 4.2722,36k k k ⎧⎫π+π≤θ≤π+π∈⎨⎬⎩⎭θZ ；,44k k k ππ⎧⎫-+π≤θ≤+π∈⎨⎬⎩⎭
θZ ． 5.252π
s ． 侯老师529539352整理
金题精讲 1.π12；3π8
；108°；112.5°. 2.α =72°=72×
180π=2π5，S =122ar = 12×2π5×202 = 80π cm 2 . 金题精讲
3.（1）3π2π,2
k k +∈Z （2）π2ππ2π,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭
Z 4.π6 π2πk k αβ=+∈，+Z
5.（1）3π3π2π2π,44k k k αα⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z (2)ππππ,63k k k αα⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭
Z 6. D
7.见详解.
详解：设扇形半径为r cm ，圆心角为α，弧长为l cm ，
根据题意得：
210
1
4
2
r l
lr
+=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
41
28
r r
l l
==
⎧⎧
⇒⎨⎨
==
⎩⎩
或，由
l
r
α=知，
1
(rad)
2
α=或8(rad)
α=
因为82π
>，说明不存在圆心角为8的扇形，舍掉.
答：扇形的圆心角的弧度数为1 2 .。