结构力学课件 第6章 图乘法
合集下载
结构力学PPT 第6章
（1）计算支座反力
X1 0
Y1 50kN()
Y9 20kN()
（2）计算指定杆件内力 沿截面Ⅰ—Ⅰ将a、b、c三杆截断，取截面右边部分 为隔离体，如图所示。
20kN F xa X F a NN a 8 F Yya a F NNb
b a
F yb Y b F X xb
b
10
FN Nc
c
例题1
B D E
A
XA=120kN YA=45kN 4m
C
F
G
15kN 4m
15kN 4m
15kN
a.求支座反力 YA=45kN
XA=120kN
（对于这种悬臂型结构可不必先求反力）
3m XB=120kN
XB=120kN
B
D
E
3m
NGE XGE NGF
YGE
G
A C F G
4m
15kN 4m
15kN 4m
例题1
3.041 3 0.5
某屋架的计算简图如图所示，试用截 面法计算a、b、c三杆的内力。
Ⅰ 20kN 20kN a 8 3m c Ⅰ 7 6× 3m=18m 9 FY 9y 1.5m
9
10kN 2
20kN 4
6
b 1 3 5
F1x F1y Y 1
解：该屋架可采用结点法求解，但必须从端部开始，共 需求解6个结点后才能求出a、b、c三杆的内力。在这种 情况下，直接采用截面法将大大提高计算效率。
6.1.2 桁架按几何组成分类
按几何组成分为： 1）简单桁架——从基础或者从一个基本的铰接三 角形开始，依次用两根不在同一直线上的链杆固 定一个结点的方法组成的桁架称为简单桁架。
结构力学图乘法课件
THANKS
感谢观看
工程实践应用
探讨结构力学图乘法在工程实践中的应用，包括结构分析和设计、损伤识别与健康监测、物理实验模拟等领域，以帮 助学员了解该领域的实际应用和未来发展方向。
对个人发展的启示 总结学习结构力学图乘法的经验和方法，提出对个人发展的启示和建议，包括思维方式、分析问题和解 决问题的能力以及团队协作等方面的提升。
图乘法的扩展应用
建筑结构分析
图乘法在建筑结构分析中有着广泛的应用，可以用于分析建筑结构的强度、刚度和稳定性。 通过图乘法，工程师可以快速求解出建筑结构的响应和性能，为建筑设计和施工提供依据。
桥梁结构分析
图乘法在桥梁结构分析中也有着重要的应用，可以用于分析桥梁的承载能力和稳定性。通 过图乘法，工程师可以得出桥梁在不同载荷条件下的响应和性能，为桥梁的设计和施工提 供依据。
选择实例
选择具有代表性的扭转结构作 为分析对象。
建模分析
建立结构模型，进行静力分析 和动力学分析。
结果比较
比较不同设计方案和参数下的 结果，分析优劣。
结论总结
总结分析结果，提出优化方案 和结论。
06
图乘法的应用与扩展
图乘法在结构设计中的应用
01
简化复杂结构分析
图乘法可以用于求解复杂结构的内力和位移，通过将结构分解为简单部
教学方法评析
对采用的教学方法和策略进行反 思和评析，包括案例分析、课堂 讲解、小组讨论和习题练习等， 以帮助学员更好地掌握知识和技
能。
学员收获与感受
分享学员在学习过程中的收获和 感受，包括对基本概念的理解、 解决问题的能力和实践应用能力
的提升等方面。
展望与启示
前沿技术发展
介绍结构力学图乘法领域的前沿技术和研究动态，包括新理论、新方法和新应用等，以激发学员对该领域的兴趣和研 究热情。
《结构力学图乘法》PPT课件
EI
E1I1 E2 I 2 E3 I3
Ei Ii
对于等直杆有
Δ
1 EI
l M ( x)M ( x)dx
M(x)
MC
EI
ω
C
即 积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x)
xc
x
图形心C对应的 Mc 的乘积来代替
M(x)
当M图为正弯矩时，
Δ MC
EI
ω应代以正号. 当M图为负弯矩时， ω应代以负号.
（3）图 M 图 M P中至少有一个是直线
图形。
3、图乘法公式
KP
Ap yc EI
M M P ds EI
←杆轴为直线
M M P dx EI
←杆段EI为常数
1 EI
M M Pdx
(M x tan α)
1
EI x tan α M Pdx
tan α EI
注意
有时M(x)图为连续光滑曲线，而 M(x) 为折线，则应以 折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法， 然后求其和.
例1 求CV , EI等于常数。
解：
2kN/m
作 M 图 MP 图，如右图所示。 A 2m C 2m B
分段：M ，M P 分为AC、CB两段。16
分块： M P图的AC段分为两块。
还记得 吗？
（3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；
（4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解；
（5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
lb
la
3
结构力学图乘法
EI
E1I1 E2 I 2 E3 I3
Ei Ii
对于等直杆有
Δ
1 EI
l M ( x)M ( x)dx
M(x)
MC
EI
ω
C
即 积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x)
xc
x
图形心C对应的 Mc 的乘积来代替
M(x)
当M图为正弯矩时，
Δ MC
EI
ω应代以正号. 当M图为负弯矩时， ω应代以负号.
EI
EI
y3=4 ω2 2m MP图(kN.m)
ω3 y2
M图
4B 4
ω1
C 2
y1
1
作业：
4-3 (a)；(c)
§4-5 互等定理
互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的 是小变形，且杆件材料服从虎克定律。
一、 功的互等定理
功的互等本质上是虚功互等。
下图给出状态I和状态II。
FP1 FP2
(c
2d) 3
b c取负值
A
a A1
C
y1 c
B A2 b
D y2
d
MK 图 M图
（3）一般形式的二次抛物线图形相乘
（4）曲线图形与折线图形相乘
M i M K dx A1 y1 A2 y2 A3 y3 Ai yi
（5）阶形杆件图形相乘
M i M K dx A1 y1 A2 y2 A3 y3 Ai yi
12 22
1） δij也称为柔度系数，即单位力产生的位移。
I 产生位移的方位；j 产生位移的原因。
2） FP1和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，则相应 的δ12和δ21就是线位移影响系数或角位移影响系数。
材料力学-图乘法ppt课件
23
ml 逆时针
3EI
.
18
例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的 挠度和转角。
.
CL12T19U35
解：
ql2
vB
1 EI
l
ql2
3 2
3l 4
2
ql4 8E I
.
20
ql2
B
1 EI
l ql2 3 2
1
2
ql3 顺时针
6EI
.
21
例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的 铅垂位移。
3
I
3 2
1
13Pa 3
12E I
.
30
例：图示刚架，EI=const。求A截面的水 平位移 ΔAH 和转角θA 。
.
CL12T31U41
解：AHq E aI44 12 31 38 53 8q E aI4
qa 2
qa
q a 2 qa / 2 2
.
32
5l 32
5ql4 384E I
.
ql2 / 8
l/4
10
max
1 2lql2 EI3 8
1 2
ql3
24E I .
ql2 / 8
11
例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度 和最大转角。
.
CL12T12U33
解：
vmaxE2I212l P 4l6l
Pl3 48E I .
Pl /4
l/4
13
max E1I21lP 4l 21
Pl2
16E I .
Pl /4
14
例：试用图乘法求所示简支梁C截面的挠度 和A、B截面的转角。
图乘法
2、求ΔCV ① MP图如图(b)所示。 ② 单位弯矩图M如图(d)所示。 ③ 计算A、yC。 2×l/2=ql3/24 A=2/3×1/8ql yC=5/8×l/4=5l/32 ④ 计算ΔCV ΔCV=2(1/EI*A*yC)= 5ql4/384EI (↓)
【课后作业】习题8-6（用图乘法）
【预习】：静定结构的位计算习题课
三、几个规则图形的面积和形心位置
顶点：指曲线上切线平行于底边的点 标准抛物线：指顶点在中点或端点的抛物线
四、图乘法技巧
1、图形分解图乘 当图形的面积和形心不 便确定时，可以将其分 解成几个简单的图形， 分别与另一图形相应的 纵坐标相乘。
（1）梯-梯同侧组合（三角形为特殊情况）
（2）、梯-梯同侧组合：
剪力与轴力项能用图乘法？
3、图乘法求位移的一般表达式
注意：
y [1]. c
应取自直线图中。 [2].若 A 与 yc 在杆件的同侧, 取正值;反之,取负值（不是MP与M 图位于杆件同侧或异侧）。 [3]. 如图形较复杂，可分解为几个简 单图形。
二、图乘法步骤 (1) 画出结构在实际荷载作用下的弯 矩图（荷载弯矩图）MP； (2) 根据所求位移选定相应的虚拟力 状态，画出单位弯矩图M(注：M图不标 单位）； (3) 分段计算一个弯矩图形的面积A 及其形心所对应的另一个弯矩图形的竖 标yC； (4) 将A、yC代入图乘法公式计算所 求位移。
解：1、求φA ① 实际荷载作用 下的弯矩图MP如图(b) 所示。 ② 在A端加单位力 偶m=1，其单位弯矩图M 如图(c)所示。
③ MP图面积及其形心 对应M图竖标分别为：
A=2/3*l*1/8*ql2=ql3/12 yC=1/2 ④ 计算φA φA=1/EI*A*yC =1/EI*ql3/12*1/2=ql3/24 EI
结构力学图乘法及其应用
ql2 / 8
练习
图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘,结果 1 1 为零. 2 MP ( l Pl l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl 3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
二次抛物线
hl n 1
C
h
l n2
( n 1)l n2
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
q
A B
1 2 ql 8 1 2
1
MP 图
M
图
解:
1 2 1 2 1 B [( l ql ) ] EI 3 8 2 3 1 ql （ ） 24 EI
2 Pl
A
MP
2l
P
Pl
l
B
A
MP
1
l
B
l
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
1 1 2 1 2l 3l B [ l Pl l Pl l l Pl l (l ) Pl l ] EI EI 2 3 2 3 2 11Pl 3 ( ) 3EI
yc
已知： E、I、A为常数，求 Cy 。
D
P
a
B
l 2
A
C
l 2
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
D
P A
l 2
NP P / 2
D P
Ni 1 / 2
《结构力学图乘法》PPT课件
2
2 3
44
32 3
y2 2
A
3 2 4 8
y3
1 2
(12
4)
4
2
CH
1 EI
(1 y1 2 y2
3 y3 )
1 ( 8 1.5 32 2 8 4)
EI 3
3
1 (25.33 32) 6.67 ()
EI
EI
y3=4 ω2 2m MP图(kN.m)
图乘法的思想：利用图形静矩的概念将图 形积分变为图形相乘。
2、图乘法的适用条件： （1）杆件轴线是直线；
（2）杆段的弯曲刚度EI为常数；
（3）图 M 图 M P中至少有一个是直线
图形。
3、图乘法公式
KP
Ap yc EI
M M P ds EI
←杆轴为直线
M M P dx EI
←杆段EI为常数
y2
6
ω1
ω3
14 y1 1/3
12 M P 图 （kN.m)
y3
1/6
1 2/3
ω2
1/6
M图
例5-5 求ΔCH，EI等于常数。
2kN/m
A
B
EI
2m
EI
2kN/m
C 4m 解： 作MP图和 M 图见下页图。 分块：MP图的AB段分为两块。
1
1 3
2
4
8 3
y1
3 4
2
1.5
12
和量纲 (W FP1FP2 ) 上仍然保持相等。
例1 验证位移互等定理。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三、注意事项： 注意事项：
1.若 Aω与 1.若 取负值
yc
在杆件的同侧，取正值；反之， 在杆件的同侧，取正值；反之，
2.当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： 当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： 当图乘法的适用条件不满足时的处理方法 a）曲杆或EI=EI（x）时，只能用积分法求位移； ）曲杆或 只能用积分法求位移； （ ） b）当EI分段为常数或单位弯矩图、荷载弯矩图均非 ） 分段为常数或单位弯矩图、 分段为常数或单位弯矩图 直线时， 直线时，应分段图乘再叠加 3.yc应取自直线图中。若两图均为直线图形，也可 应取自直线图中。若两图均为直线图形， 图的面积乘其形心所对应的M 用 M 图的面积乘其形心所对应的 P 图的竖标来计 算。
2
yc = h
1 2 ql 2 = × × ×l×h ∆ CD = ∑ EI EI 3 8 qhl 3 = (→ ← ) 12 EI
ω yc
为常数，求刚架A点的竖向位 例 3. 已知 EI 为常数，求刚架 点的竖向位 并绘出刚架的变形曲线。 移 ∆ Ay ，并绘出刚架的变形曲线。
F
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
M=1
M P图
∆ CV
300 × 6 2 = × ×6× 2 2 3 1 2 − × 6 × 45 × 3 = 6660 3
6
M A图
Fp=1
M C图
为常数， 例 5. 已知 EI 为常数，求 ∆Cy 。 q
A
l 2
C
B
l 2
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
ql 2 2
A
ql 2 8
C
l 2
1
B A
二、图乘法原理
MM P 图乘法求位移的一般 ds 表达式为 ∫ EI 1 ∆=∑ Aω yC 1 = ∫ MM P ds EI EI
1 = ∫ x tan α ⋅ M P dx EI 必须注意 tan α = ∫ xM P dx 适用条件 EI tan α tan α 1 = ∫ xdAω = EI ⋅ Aω ⋅ xc = EI Aω yc EI
Fl/2
Fl/2
Fl/2 F F
Fl/4
MP 图
Fl/4
为常数， 例 4. 已知 EI 为常数，求 ∆Cy 。
解：作荷载和单位荷载的内力图
MP
分解
M
∆Cy
1 1 ql 2 l 3l 1 ql 2 l [( × = × )× + ( × × l)× 8 2 8 3 EI 3 8 2 2 4 2 ql l ql −( × × l)× ] = (↓) 3 8 4 128 EI
Fl/2 Fl/2 Fl/2 F Fl/4 EI 2EI
MP 图
Fl
M 图
在
M
图求面积， 图取竖标， 图求面积，在 M P 图取竖标，有：
ω yc
1 l Fl 1 3l F l = × ×l × − ×l × × EI EI 2 2 2 EI 2 4
∆ Ay = ∑
F l3 = (↓) 16 EI
绘制变形图时， 绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的 凹凸方向，注意反弯点的利用。 凹凸方向，注意反弯点的利用。如：
q A
1 2 ql 8
1 2
1 B
B
A
C
MP 图
M
图
1 2 1 2 1 θ B = − [( × l × ql ) × ] EI 3 8 2 3 1 ql =− 24 EI （ ）
为常数，求刚架C、 两点 例 2. 已知 EI 为常数，求刚架 、D两点 距离的改变 ∆CD 。
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
h
顶点
l/2
l/2
2hl (c) 二次抛物线 ω = 3
顶点指曲 顶点指曲 线切线与 杆轴重合 或平行
该图形为上页 图形的一半！ 图形的一半！
必须注意： 必须注意：抛物线 的顶点（ 的顶点（Fs=0点） 点 在M图曲线的中点 图曲线的中点 或端点。 或端点。 2
h
顶点
5l/8
3l/8
2hl (d) 二次抛物线 ω = 3
当弯矩图的形心位置或面积不便于 确定时， 确定时，常将该图形分解为几个易 于确定形心位置和面积的部分，并 于确定形心位置和面积的部分， 将它们分别与另一图形相乘， 将它们分别与另一图形相乘，然后 再将所得结果相加。 再将所得结果相加。
例如
(1) 曲-折组合 折组合
1 ∆ = ( Aω1 yc1 + Aω 2 yc2 + Aω3 yc3 ) = ∑ Aω j ycj EI
2
1
M 图
C
例 6. 已知 CD、BD杆的 E1 A1和AC杆的 E 2 I 2 、 杆的 杆的 为常数， 为常数，求 ∆Dy 。 解：作荷载和单位荷载的内力图 a F
E1 A1
P
D
+ FP
FP
+1
− 2
1
a
B
E1 A1
− 2FP
FP a
a
a
E2 I 2 A
∆Dy
FN FNP l ωyc 1 × FP × a + ( − 2 )( − 2FP ) 2a =∑ +∑ = E1 A1 E2 I 2 E1 A1
四、几种常见图形的面积和形心位置的 确定方法
h
l/3 l
2l/3
(a) 三角形
ω=
hl 2
h
a
b
h
(a+l)/3 l
(b+l)/3
(b) 三角形
ω=
hl 2
h
该图形的实际 受力状态
必须注意： 必须注意：抛物线 的顶点（ 的顶点（Fs=0点） 点 在M图曲线的中点 图曲线的中点 或端点。 或端点。
该图形的实际 受力状态
必须注意： 必须注意：抛物线 的顶点（Fs=0点 的顶点（Fs=0点） 在M图曲线的中点 或端点。 或端点。 2
h
顶点
l/4
3l/4
hl (e) 二次抛物线 ω = 3
h
该图形的实际 受力状态
(c)
h
3
顶点 顶点
l/5
4l/5
hl 4
(f) 三次抛物线 ω =
五、图形的分解
1 FP a 2 2a (1 + 2 2 )FP a 4 FP a 3 2 + ( × + FP a × a ) = + (↓) E2 I 2 2 3 E1 A1 3 E2 I 2
§6.5 图乘法
已有基础： 1. 静定结构的内力计算； 静定结构的内力计算； 2. 利用位移计算公式求静定结构的位移； 利用位移计算公式求静定结构的位移； 3. 杆件结构在荷载作用下的位移计算公式,即: 杆件结构在荷载作用下的位移计算公式 即
∆ KP FN FNP ds kFS FSP ds MM P ds = ∑∫ +∑ ∫ +∑ ∫ EI EA
∆
KP
y c1 yc2
1 = ( Aω1 y c1 + Aω 2 y c 2 ) EI 2 1 = c − d 1 1 2 1 1 2 1 3 3 ∆ kp = − la × ( c − d ) − lb × ( d − c) EI 2 3 3 2 3 3 2 1 d − c = 3 3
复杂图形的处理： 复杂图形的处理：
×
=
×
+
×
×
=
×
+
×
五、应用举例 为常数， 例 1. 设 EI 为常数，求 ∆Cy 和 θ B 。
l
2
l
2
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
q A
1 2 ql 8
对吗？ 对吗？
B A C
FP=1 B
l 4
MP 图
应分段！ M 应分段！
图
1 2 l 1 2 5 l [( × × ql ) × ( × )] × 2 ∆Cy = EI 3 2 8 8 4 4 5 ql = (↓) 384 EI
ql 2 4 ql 2 8
ql 2 M= 8
解法二、 解法二、
ql 2 2
ql 2 8
ql 2 2
A
l 2
ql 2 32
ql 2 8
1 1 l ql l ∆Cy = [( × × × ) EI 2 2 2 3 A 2 1 l ql l +( × × × ) 2 2 8 6 2 4 2 l ql l 17 ql −( × × × )] = (↓) 3 2 32 4 384 EI
MP
图
ql 2 2
M
ql 2 8
C
2
图
结果正确否？ 结果正确否？
B
一种算法： 一种算法：
A
∆Cy
1 l ql l 1 1 l 3 ql 3 l = ( × × × + × × × × ) EI 2 8 2 2 3 2 8 4 2 1 ql 4 3 ql 4 5 ql 4 = ( + (↓) )= EI 64 128 128 EI ?
本节主要内容： 本节主要内容：
MM P ds 1. 图乘法； ∫ 图乘法； EI
ω
C
MP
Aω yc MM P ∫ EI ds = EI
2. 几种常见图形的面积和形心 位置的确定方法； 位置的确定方法； 3. 注意事项； 注意事项； 4. 应用举例。 应用举例。
yC
M
一、图乘法的应用条件
（1）杆轴为直线； ）杆轴为直线； 为常数； （2）杆段内 为常数； ）杆段内EI为常数 （3）两个 图中至少应有一个是直 ）两个M图中至少应有一个是直 线图形； 线图形；