结构力学图乘法

§4－6 图乘法
我们已经知道，计算荷载作用下结构的弹性位移时，需要求下列形式的积分
⎰ds EI M M K i
的数值。

这里，i M 、K M 是两个弯矩函数的乘积。

对于直杆或直杆的一段，若EI 是常量，且积分号内的两个弯矩图形中有一个是直线图形，则可用图乘法计算积分，极为方便。

下面说明图乘法的内容和应用
图4－20所示为直杆AB 的两个弯矩图，其中i M 图为一直线。

如果该杆截面抗弯刚度EI 为一常数，则
⎰⎰
=dx M M EI dx EI M M K i K i 1 (a) 以O 为原点，以α表示i M 图直线的倾角，则i M 图上任一点标距（纵坐标）可表示为
α⋅=tan x M i
因此， ⎰⎰α=B
A K
B A K i dx xM dx M M tan （b ） 式中，dx M K 可看作K M 图的微分面积（图4－20中画阴影线的部分）；
dx M x K ⋅是这个微分面积对y 轴的面积矩。

于是⎰B
A K dx xM 就是K M 图的面积ω对y 轴的面积矩。

以0x 表示K M 图的形心C 到y 轴的距离，则
0x dx xM B A K ω=⎰
将上式代人式（b ），得到
00tan y x dx M M B
A K i ω=ω⋅α=⎰ (c)
其中，0y 是在K M 图形心C 对应处的i M 图标距。

利用式（c ），式（a ）可写成
01y EI
dx EI M M B
A K i ω=⎰ （4－ 29） 这就是图乘法所使用的公式。

它将式（a ）形式的积分运算问题简化为求图形的面积、形心和标距的问题。

应用图乘法计算时要注意两点：
（1）应用条件：杆件应是等截面直杆，两个图形中应有一个是直线，标距0y 应取自直线图中。

（2）正负号规则：面积ω与标距0y 在杆的同一边时，乘积0y ω取正号；ω与0y 在杆的不同边时取负号。

图4－21给出了位移计算中几种常见图形的面积和形心的位置。

用抛物线图形的公式时，必须注意在抛物线顶点处的切线应与基线平行。

下面指出应用图乘法时的几个具体问题。

（1）如果两个图形都是直线图形，则标距0y 可取自其中任一个图形。

（2）如果一个图形是曲线，另一个图形是由几段直线组成的折线，则应分
段考虑。

对于图 4－22所示的情形，则有
332211y y y dx M M K i ω+ω+ω=⎰
（3）如果图形比较复杂，则可将其分解为简单图形来考虑。

例如，图4－23中两个图形都是梯形，可以不求梯形面积的形心，而将其中一个梯形（K M 图）分为两个三角形（也可分为一个矩形和一个三角形）再应用图乘法。

因此
2211y y dx M M K i ω+ω=⎰ （a ）
其中，
)(3231,33222,2211b d c y d c y l b l a ⎪⎭⎪⎬⎫+=+==ω=
ω
所以: ⎰+++=)2(6
)2(6d c bl d c al dx M M K i
又如，图 4－24中的K M 图可以分解为两个三角形：三角形 ADB 在坐标轴以上，三角形ABC 在坐标轴以下。

这时
)(332)(3322,2221121反侧与反侧与ω-=ω-==ω=
ωc d y d c y bl al 所以:
⎰-+-=)2(6
)2(6c d bl c d al dx M M K i
图4－25a 所示为一段直杆AB 在均布荷载q 作用下的P M 图。

由第二章可知，P M 图是由两端弯矩A M 、B M 组成的直线图（图4－25b 中的M '图）和简支梁在均布荷载q 作用下的弯矩图(图4－25c 中的O M 图）叠加而成的。

因此，可将P M 图分解为直线的M '图和抛物线的O M 图，然后再应用图乘法。

还要指出，所谓弯矩图的叠加是指弯矩图纵坐标的叠加。

所以虽然图4－25a 中的M 图与图4－25C 中的M 图形状并不相似，但在同一横坐标C 处，二者的纵坐标是相同的，微段dx 的微小面积（图中带阴影的面积）是相同的。

因此，两图的面积和形心的横坐标也是相同的。

例4－8 用图乘法计算图4－26a 所示简支梁在均布荷载q 作用下的B 端转角Δ。

例4－9 图4－27a 所示为一悬臂梁，在A 点作用集中荷载P ，求中点C 的挠度c ∆。

例4－10图4－28a所示为一预应力钢筋混凝土墙板起吊过程中的计算图。

已知板宽1m，厚2.5 cm，混凝土容重为3
kN。

板的起吊点为 A、B。

求 C
25m
点挠度。

c。