0611 高三数学-2015届高三第二次月考(12月)数学试题

2015届高三第二次月考 数学试卷 2014-12-9一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 1．已知集合{}1,2,3A =，{}2,B a =，若{}0,1,2,3AB =，则a 的值为______________。

2．对于命题R x p ∈∃:，使得012<++x x ，则p ⌝为：__________________________。

3．已知幂函数αx k x f ⋅=)(的图象过点)22,21(，则k α+=______________。

4．若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则=a ____________。

5．已知3||),3,1(,1||=+-==，则与的夹角为____________。

6．设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，若364,3,11===k S q a ，则=k a ______________。

7．圆心在直线02=+y x 上，且与直线x y -=1相切于点)1,2(-的圆的标准方程为______。

8．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列正确命题的序号是__________。

(1)若m ∥α,n ∥α,则m ∥n ； (2)若,m m n α⊥⊥则//n α； (3)若m α⊥，n β⊥且m n ⊥，则αβ⊥；(4)若β⊂m ，βα//，则α//m 。

9．若关于x 的方程22||kx x x =+有两个不同的实数解，则实数k 的取值范围是___________。

10．已知πβπα<<<<20，且54)cos(,31cos -=+=βαα，则=βcos ___________。

11．若函数x x mx x f 2ln )(2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是__________。

12．设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=。

则曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为_____。

13．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则AO BC ⋅＝ 。

14．数列{a n }的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，公差与公比均为2，并且a 2＋a 4=a 1＋a 5，a 4＋a 7=a 6＋a 3。

则使得2121++++++=⋅⋅m m m m m m a a a a a a 成立的所有正整数m 的值为_______________。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．已知())cos 3f x x x π=+-。

（1）求()f x 在[0,]π上的最小值；（2）已知,,a b c 分别为△ABC 内角A 、B 、C 的对边，35b A ==，且()1f B =，求边a 的长。

16．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧面11ABB A 和侧面11ACC A均为正方形， 90=∠BAC ，的中点为BC D 。

(1)求证：11//ADC B A 平面； (2)求证：平面⊥AD C 1平面C B A 11。

17．已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B 。

(1)若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D 两点，当2=CD 时，求直线CD 的方程；(2)求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标。

18．一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁FG 和外壁BC 都是半径为1m 的四分之一圆弧，AB ，DC 分别与圆弧BC 相切于B ，C 两点，EF ∥AB ，GH ∥CD ，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是m 1。

（1）若水平放置的木棒MN相切于点P 。

设(rad)CMN θ∠=（2）19.已知数列}{n a 中，12=a ，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=。

m（1）求a 1；（2）证明数列}{n a 为等差数列，并写出其通项公式； （3）设1lg 3n n na b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由。

20．已知函数a x x a x f (ln )(2+=为实常数)。

(1)若2-=a ，求证：函数)(x f 在),1(+∞上是增函数； (2)求函数)(x f 在],1[e 上的最小值及相应的x 值；(3)若存在],1[e x ∈，使得x a x f )2()(+≤成立，求实数a 的取值范围。

2015届高三第二次月考 数学试卷参考答案及评分标准1．0； 2．R x ∈∀，使得012≥++x x ，； 3．32； 4．22； 5．32π；6．243； 7．2)2()1(22=++-y x ； 8．(3)、(4)； 9．)1,0()0,(⋃-∞；10．15426+-； 11．21≥m ； 12．6； 13．225-； 14．1。

15.（1）sin ()cos 22x f x x x⎫=+-⎪⎪⎭1cos sin 26x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭4分6766πππ≤+≤x∴当π=x 时min 1()2f x =-； 7分（2）∵2,62x k k Z πππ+=+∈时()f x 有最大值，B 是三角形内角∴3B π=10分∵3cos 5A = ∴4sin 5A = ∵正弦定理sin sin a bA B= ∴8a =． 14分16．(1) 证明：连接C A 1交1AC 于点O ，连接OD ∵四边形11A ACC 为正方形 ∴O 为C A 1的中点上 又D 为BC 的中点， BC A OD 1∆∴为的中位线，∴B A 1∥OD 1ADC OD 平面⊂ ,11ADC B A 平面⊄,∴11//ADC B A 平面………………………………7分(2)由(1)可知，11CA A C ⊥.侧面11A ABB 为正方形，111AA B A ⊥, 且 9011=∠=∠BAC C A B ， ∴⊥11B A 平面11A ACC 又∵⊂A C 1平面11A ACC ∴A C B A 111⊥ ∴⊥A C 1平面C B A 11 又⊂A C 1平面AD C 1∴平面⊥AD C 1平面C B A 11………………………………………………14分 17．（1）易知k 存在，设直线CD 的方程为：1(2)y k x -=-由题知圆心M 到直线CD的距离为2，所以2=……………2分 解得，1k =-或17k =-， …………………………………4分 故所求直线CD 的方程为：30x y +-=或790x y +-=．………………………6分(2)设(2,)P m m ，MP 的中点(,1)2mQ m +，因为PA 是圆M 的切线 所以经过,,A P M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆， 故其方程为：2222()(1)(1)22m mx m y m -+--=+-……………………………10分 化简得：222(2)0x y y m x y +--+-=，此式是关于m 的恒等式，故2220,20,x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得02x y =⎧⎨=⎩或1,1.x y =⎧⎨=⎩所以经过,,A P M 三点的圆必过定点(0,2)或(1,1).…………………………………14分 18.(1)如图，设圆弧FG 所在的圆的圆心为Q ，过Q 点作CD 垂线，垂足为点T ，且交MN 或其延长线与于S ，并连接PQ ，再过N 点作在R ∆t NWS 中，因为2=NW ，θ∠=SNW 所以2cos θ=NS ． 因为MN 与圆弧FG 切于点P ，所以⊥PQ 在R ∆t QPS ，因为1=PQ ，θ∠=PQS ， 所以1cos θ=QS ，12cos θ-=-QT QS ，①若S 在线段TG 上，则=-TS QT QS在R ∆t STM 中，sin sin θθ-==TS QT QS MS ，因此=+MN NS MS sin θ-=+QT QSNS②若S 在线段GT 的延长线上，则=-TS QS 在R ∆t STM 中，sin sin θθ-==TS QS QTMS ， 因此=-MN NS MS sin θ-=-QS QT NS sin θ-=+QT QSNS()θ=f MN sin θ-=+QT QS NS 221()cos sin sin cos θθθθ=+- 2(sin cos )1(0)sin cos 2θθθθθ+-π=<<．………………………………………8分（2）设sin cos (1t t θθ+=<≤，则21sin cos 2t θθ-=，因此242()()1t f g t t θ-==-．因为2224(1)()(1)t t g t t -+'=--，又1t <≤()0g t '<恒成立， 因此函数242()1t g t t -=-在(1t ∈是减函数，所以min ()2g t g ==，m即min 2MN =．答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为2．…………………………………………………………………………16分19．解：(1)令n =1，则a 1=S 1=111()2a a -=0． …………………………2分(2)由1()2n n n a a S -=，即2n n naS =， ① 得 11(1)2n n n a S +++=． ② ②－①，得 1(1)n n n a na +-=． ③ 于是，21(1)n n na n a ++=+．④③+④，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=． ………………………6分 又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n =n －1． ………………………………………………………………8分(3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列， 于是，21333pq p q=+． …………………………………………………………10分 所以，213()33q p p q =-(☆)． 易知(p ，q )=(2，3)为方程(☆)的一组解． …………………………………………12分 当p ≥3，且p ∈N *时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23pp}(p ≥3)为递减数列， 于是2133pp -≤323133⨯-<0，所以此时方程(☆)无正整数解．……………………14分 综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列． ……………16分20．（1）当2-=a 时，x x x f ln 2)(2-=，当),1(+∞∈x ，0)1(2)(2>-='xx x f ， 故函数)(x f 在),1(+∞上是增函数．………………………………………2分（2）)0(2)(2>+='x xax x f ，当],1[e x ∈，]2,2[222e a a a x ++∈+ ①若2-≥a ，)(x f '在],1[e 上非负（仅当2-=a ，x=1时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是增函数，此时=min )]([x f 1)1(=f ． ……………………………………………4分 ②若222-<<-a e ，当2ax -=时，0)(='x f ；当21ax -<≤时，0)(<'x f ，此时)(x f是减函数； 当e x a ≤<-2时，0)(>'xf ，此时)(x f 是增函数．故=min )]([x f )2(af - 2)2ln(2aa a --=．……………………………………………6分 ③若22e a -≤，)(x f '在],1[e 上非正（仅当2e 2-=a ，x=e 时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是减函数，此时==)()]([min e f x f 2e a +．…………………………………8分综上可知，当2-≥a 时，)(x f 的最小值为1，相应的x 值为1；当222-<<-a e 时，)(x f的最小值为2)2ln(2aa a --，相应的x 值为2a -；当22e a -≤时，)(x f 的最小值为2e a +， 相应的x 值为e ……………………………………………………………10分 （3）不等式x a x f )2()(+≤，可化为x x x x a 2)ln (2-≥-．∵],1[e x ∈, ∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时取，所以x x <ln ，即0ln >-x x ，因而x x xx a ln 22--≥（],1[e x ∈）……………………………………………………………12分令x x x x x g ln 2)(2--=（],1[e x ∈），又2)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-='，………………………14分当],1[e x ∈时，1ln ,01≤≥-x x ，0ln 22>-+x x ，从而0)(≥'x g （仅当x=1时取等号），所以)(x g 在],1[e 上为增函数，故)(x g 的最小值为1)1(-=g ，所以a 的取值范围是),1[+∞-． ………………………16分。