0611 高三数学-2015届高三第二次月考(12月)数学试题
2015届高三第二次月考 数学试卷 2014-12-9一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 1．已知集合{}1,2,3A =，{}2,B a =，若{}0,1,2,3AB =，则a 的值为______________。
2．对于命题R x p ∈∃:，使得012<++x x ，则p ⌝为：__________________________。
3．已知幂函数αx k x f ⋅=)(的图象过点)22,21(，则k α+=______________。
4．若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则=a ____________。
5．已知3||),3,1(,1||=+-==，则与的夹角为____________。
6．设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，若364,3,11===k S q a ，则=k a ______________。
7．圆心在直线02=+y x 上，且与直线x y -=1相切于点)1,2(-的圆的标准方程为______。
8．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列正确命题的序号是__________。
(1)若m ∥α,n ∥α,则m ∥n ； (2)若,m m n α⊥⊥则//n α； (3)若m α⊥，n β⊥且m n ⊥，则αβ⊥；(4)若β⊂m ，βα//，则α//m 。
9．若关于x 的方程22||kx x x =+有两个不同的实数解，则实数k 的取值范围是___________。
10．已知πβπα<<<<20，且54)cos(,31cos -=+=βαα，则=βcos ___________。
11．若函数x x mx x f 2ln )(2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是__________。
12．设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=。
则曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为_____。
13．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则AO BC ⋅＝ 。
14．数列{a n }的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，公差与公比均为2，并且a 2＋a 4=a 1＋a 5，a 4＋a 7=a 6＋a 3。
则使得2121++++++=⋅⋅m m m m m m a a a a a a 成立的所有正整数m 的值为_______________。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．已知())cos 3f x x x π=+-。
（1）求()f x 在[0,]π上的最小值；（2）已知,,a b c 分别为△ABC 内角A 、B 、C 的对边，35b A ==，且()1f B =，求边a 的长。
16．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧面11ABB A 和侧面11ACC A均为正方形， 90=∠BAC ，的中点为BC D 。
(1)求证：11//ADC B A 平面； (2)求证：平面⊥AD C 1平面C B A 11。
17．已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B 。
(1)若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D 两点，当2=CD 时，求直线CD 的方程；(2)求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标。
18．一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁FG 和外壁BC 都是半径为1m 的四分之一圆弧，AB ，DC 分别与圆弧BC 相切于B ，C 两点，EF ∥AB ，GH ∥CD ，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是m 1。
（1）若水平放置的木棒MN相切于点P 。
设(rad)CMN θ∠=（2）19.已知数列}{n a 中，12=a ，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=。
m（1）求a 1；（2）证明数列}{n a 为等差数列，并写出其通项公式； （3）设1lg 3n n na b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由。
20．已知函数a x x a x f (ln )(2+=为实常数)。
(1)若2-=a ，求证：函数)(x f 在),1(+∞上是增函数； (2)求函数)(x f 在],1[e 上的最小值及相应的x 值；(3)若存在],1[e x ∈，使得x a x f )2()(+≤成立，求实数a 的取值范围。
2015届高三第二次月考 数学试卷参考答案及评分标准1．0； 2．R x ∈∀，使得012≥++x x ，； 3．32； 4．22； 5．32π；6．243； 7．2)2()1(22=++-y x ； 8．(3)、(4)； 9．)1,0()0,(⋃-∞；10．15426+-； 11．21≥m ； 12．6； 13．225-； 14．1。
15.（1）sin ()cos 22x f x x x⎫=+-⎪⎪⎭1cos sin 26x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭4分6766πππ≤+≤x∴当π=x 时min 1()2f x =-； 7分（2）∵2,62x k k Z πππ+=+∈时()f x 有最大值，B 是三角形内角∴3B π=10分∵3cos 5A = ∴4sin 5A = ∵正弦定理sin sin a bA B= ∴8a =． 14分16．(1) 证明：连接C A 1交1AC 于点O ，连接OD ∵四边形11A ACC 为正方形 ∴O 为C A 1的中点上 又D 为BC 的中点， BC A OD 1∆∴为的中位线，∴B A 1∥OD 1ADC OD 平面⊂ ,11ADC B A 平面⊄,∴11//ADC B A 平面………………………………7分(2)由(1)可知，11CA A C ⊥.侧面11A ABB 为正方形，111AA B A ⊥, 且 9011=∠=∠BAC C A B ， ∴⊥11B A 平面11A ACC 又∵⊂A C 1平面11A ACC ∴A C B A 111⊥ ∴⊥A C 1平面C B A 11 又⊂A C 1平面AD C 1∴平面⊥AD C 1平面C B A 11………………………………………………14分 17．（1）易知k 存在，设直线CD 的方程为：1(2)y k x -=-由题知圆心M 到直线CD的距离为2，所以2=……………2分 解得，1k =-或17k =-， …………………………………4分 故所求直线CD 的方程为：30x y +-=或790x y +-=．………………………6分(2)设(2,)P m m ，MP 的中点(,1)2mQ m +，因为PA 是圆M 的切线 所以经过,,A P M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆， 故其方程为：2222()(1)(1)22m mx m y m -+--=+-……………………………10分 化简得：222(2)0x y y m x y +--+-=，此式是关于m 的恒等式，故2220,20,x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得02x y =⎧⎨=⎩或1,1.x y =⎧⎨=⎩所以经过,,A P M 三点的圆必过定点(0,2)或(1,1).…………………………………14分 18.(1)如图，设圆弧FG 所在的圆的圆心为Q ，过Q 点作CD 垂线，垂足为点T ，且交MN 或其延长线与于S ，并连接PQ ，再过N 点作在R ∆t NWS 中，因为2=NW ，θ∠=SNW 所以2cos θ=NS ． 因为MN 与圆弧FG 切于点P ，所以⊥PQ 在R ∆t QPS ，因为1=PQ ，θ∠=PQS ， 所以1cos θ=QS ，12cos θ-=-QT QS ，①若S 在线段TG 上，则=-TS QT QS在R ∆t STM 中，sin sin θθ-==TS QT QS MS ，因此=+MN NS MS sin θ-=+QT QSNS②若S 在线段GT 的延长线上，则=-TS QS 在R ∆t STM 中，sin sin θθ-==TS QS QTMS ， 因此=-MN NS MS sin θ-=-QS QT NS sin θ-=+QT QSNS()θ=f MN sin θ-=+QT QS NS 221()cos sin sin cos θθθθ=+- 2(sin cos )1(0)sin cos 2θθθθθ+-π=<<．………………………………………8分（2）设sin cos (1t t θθ+=<≤，则21sin cos 2t θθ-=，因此242()()1t f g t t θ-==-．因为2224(1)()(1)t t g t t -+'=--，又1t <≤()0g t '<恒成立， 因此函数242()1t g t t -=-在(1t ∈是减函数，所以min ()2g t g ==，m即min 2MN =．答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为2．…………………………………………………………………………16分19．解：(1)令n =1，则a 1=S 1=111()2a a -=0． …………………………2分(2)由1()2n n n a a S -=，即2n n naS =， ① 得 11(1)2n n n a S +++=． ② ②－①，得 1(1)n n n a na +-=． ③ 于是，21(1)n n na n a ++=+．④③+④，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=． ………………………6分 又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n =n －1． ………………………………………………………………8分(3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列， 于是，21333pq p q=+． …………………………………………………………10分 所以，213()33q p p q =-(☆)． 易知(p ，q )=(2，3)为方程(☆)的一组解． …………………………………………12分 当p ≥3，且p ∈N *时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23pp}(p ≥3)为递减数列， 于是2133pp -≤323133⨯-<0，所以此时方程(☆)无正整数解．……………………14分 综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列． ……………16分20．（1）当2-=a 时，x x x f ln 2)(2-=，当),1(+∞∈x ，0)1(2)(2>-='xx x f ， 故函数)(x f 在),1(+∞上是增函数．………………………………………2分（2）)0(2)(2>+='x xax x f ，当],1[e x ∈，]2,2[222e a a a x ++∈+ ①若2-≥a ，)(x f '在],1[e 上非负（仅当2-=a ，x=1时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是增函数，此时=min )]([x f 1)1(=f ． ……………………………………………4分 ②若222-<<-a e ，当2ax -=时，0)(='x f ；当21ax -<≤时，0)(<'x f ，此时)(x f是减函数； 当e x a ≤<-2时，0)(>'xf ，此时)(x f 是增函数．故=min )]([x f )2(af - 2)2ln(2aa a --=．……………………………………………6分 ③若22e a -≤，)(x f '在],1[e 上非正（仅当2e 2-=a ，x=e 时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是减函数，此时==)()]([min e f x f 2e a +．…………………………………8分综上可知，当2-≥a 时，)(x f 的最小值为1，相应的x 值为1；当222-<<-a e 时，)(x f的最小值为2)2ln(2aa a --，相应的x 值为2a -；当22e a -≤时，)(x f 的最小值为2e a +， 相应的x 值为e ……………………………………………………………10分 （3）不等式x a x f )2()(+≤，可化为x x x x a 2)ln (2-≥-．∵],1[e x ∈, ∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时取，所以x x <ln ，即0ln >-x x ，因而x x xx a ln 22--≥（],1[e x ∈）……………………………………………………………12分令x x x x x g ln 2)(2--=（],1[e x ∈），又2)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-='，………………………14分当],1[e x ∈时，1ln ,01≤≥-x x ，0ln 22>-+x x ，从而0)(≥'x g （仅当x=1时取等号），所以)(x g 在],1[e 上为增函数，故)(x g 的最小值为1)1(-=g ，所以a 的取值范围是),1[+∞-． ………………………16分。
高三第二次月考数学试题.doc
高三第二次月考数学（理科）试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后；只需将答题卷交回。
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题（本题每小题5分；共50分）1．函数)1lg(1)(++-=x x x f 的定义域是 （ ） A ．（1；+∞） B ．]1,1(- C ．)1,1[- D ．（－∞；－1）2．用列举法表示集合,)(|{n n i i x x A -+==n ∈N *}；正确的是 （ ） A ．}1,0,1{-=A B ．}2,1,0{=A C ．}2,0,2{-=A D ．}0,1,2{--=A3. 0122=++x ax 至少有一个负的实根的充要条件是 （ ） A 10≤<a B 1<a C 1≤ D 10≤<a 或0<a）中的（的图象最有可能是下图则的图象如右图的导函数，是函数、设)(,)()()(4x f y x f y x f x f ='='5、下列大小关系正确的是 ( )（A ）30.440.43log 0.3<< (B)30.440.4log 0.33<<(C) 30.44log 0.30.43<< (D)0.434log 0.330.4<<6、在等比数列{a n }中；已知S n =3n +b,则b 的值为 （ ） A 、1 B 、-1 C. 0 D. 任意实数7．等差数列=+++=1074110,15,}{a a a a S a n 则若中 （ ） A ．3B ．6C ．10D ．9ABC D8．曲线f(x )=x 3+x －2在P 0点处的切线平行于直线y =4x －1；则P 0点的坐标为 （ ） A ．（1；0） B ．（2；8） C ．（1；0）和（－1；－4） D ．（2；8）和（－1；－4）9．设函数⎩⎨⎧->+-≤+=1,221,)1()(2x x x x x f ；已知1)(>a f ；则a 的取值范围是 （ ）A ．),21()2,(+∞-⋃--∞B ．)21,21(-C ．)1,21()2,(-⋃--∞D ．（－2；－21）∪（1；+∞）10．设函数)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数；若143)2(,1)1(+-=>a a f f ；则实数a 的取值范围是 （ ） A ．)43,(-∞B ．)43,1()1,(-⋃--∞C ．),43()1,(+∞⋃--∞D ．)43,1(-第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题；每小题5分；共25分。
黑龙江省绥化市三校2015届高三12月月考数学试题Word版含答案
绥化市三校联考高三年级12月月考数学（文）试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共１２小题，每小题5分，共60分，每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意）1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A. B. C. D.3.将函数的图像向左平移个单位，若所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A. B. C. D.4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.5. 已知，则的值是（）A. B. C. D.6.数列的前项和记为，，则数列的通项公式是（）A. B. C. D.7.已知表示直线,表示平面.若,则的一个充分条件是（）A. B. C. D.8. 已知过椭圆的焦点的两条互相垂直的直线的交点在椭圆内部，则此椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.9.已知实数满足约束条件，目标函数，则当时，的取值范围是（）A. B. C. D.10.已知圆和圆只有一条公切线，若，则的最小值为（）A. B. C. D.11.已知P是椭圆上第一象限内的点，为原点，则四边形面积的最大值为（）A. B. C. D.12.已知函数,则关于的方程有个不同实数解的充要条件是( )A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共４小题，每小题5分，共２0分）13.已知向量满足，且，则与的夹角为 .14.已知圆过点,且圆心在轴的正半轴上,直线被圆截得的弦长为,则圆的方程为 .15.如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A处，测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为，向山顶前进100米到达B点，再次测量得其斜度为，假设建筑物高50米，设山坡对于地平面的斜度为，则 .16.在平行四边形中，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为三、解答题（本大题共６题，满分70分解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）17. （本题满分10分）已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，且满足.(1) 求数列，的通项公式；(2) 记，求数列的前项和.18. （本题满分12分）在中，内角的对边分别为。
重庆市南开中学2015届高三12月月考数学(理)试题
重庆南开中学高2015级高三12月月考数学试题(理科)考试说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．(1)答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；(2)选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整，字迹清楚；(3)请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在草稿 纸、试题卷上答题无效；(4)保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷(选择题共50分)一．选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1．关于x 的不等式ax +b >0的解集不可能．．．是( ) (A)R (B)φ (C) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-a b x x ＞ (D)⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠a b x x 2．抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为( ) (A)41 (B)21(C)2 (D)4 4 2 3．已知⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ，2a ，5102cos 2sin =-a a ，则=a cos ( ) (A)54-(B)53- (C)54 (D)534．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4a ，2a 2，a 3成等差数列，若a 1=1。
则S 4=( ) (A)7 (B)8 (C)15 (D)165．已知单位向量a ，b 夹角为3π，则b a -2=( )(A)2 (B)3 (C)2 (D)56．已知直线()00022＞，＞b a by ax =+-平分圆014222=+-++y x y x C ：的圆周长，则ba 21+的最小值为( ) (A) 24 (B) 223+ (C)4 (D)67．已知定义在R 上的偶函数()x f 满足：当x ≥0时，()83-=x x f ，则关于x 的不等式：()122＞-x f 的解集为( )(A){}20＞或＜x x x (B) {}40＞或＜x x x (C) {}42＞或＜x x x - (D) {}22＞或＜x x x - 8．下列说法正确的个数是( )①命题“0123≤+-∈∀x x R x ，”的否定是“0120300＞，+-∈∃x x R x ”； ②“ac b =”是“三个数a ，b ，c 成等比数列”的充要条件；⑨“1-=m ”是“直线01)12(=+-+y m mx 和直线023=++my x 垂直”的充要条件： ④“复数()R b a bi a Z ∈+=，是纯虚数的充要条件是0=a ”是真命题．(A)1 (B)2 (C)3 (D)49．设21F F ，为双曲线C ：()0012222＞，＞b a by a x =-的左、右焦点，过坐标原点O 的直线与双曲线C 在第一象限内交于点P ，若a PF PF 621=+，且21F PF ∆为锐角三角形，则直线 OP 斜率的取值范围是( )(A)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛34332， (B)⎪⎭⎫ ⎝⎛334， (C)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3321， (D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2332， 10．存在实数a ，使得对函数()x g y =定义域内的任意x ，都有()x g a ＜成立，则称a 为 g(x)的下界，若a 为所有下界中最大的数，则称a 为函数()x g 的下确界．已知+∈R z y x ，，且以z y x ，，为边长可以构成三角形，则()()2z y x zxyz xy z y x f ++++=，，的下确界为( )(A)61 (B)41 (C) 31 (D) 21第Ⅱ卷(非选择置共100分)二、填空置：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上。
江苏省南京师大附中2015届高三12月月考数学试题苏教版
15．（本小题满分 14 分）
设△ ABC 的内角 A， B， C 的对边长分别为
a， b， c，且
b
2＝
1 2
ac．
(1) 求证： cos B≥34；
(2) 若 cos(A－ C)＋ cos B＝1，求角 B 的大小．
16．（本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 ABC－ A1B1C1 中，已知∠ ACB＝ 90°，BC＝ CC1，E，F 分别为 AB，AA1
则输出 i 的值为
▲
．
8．若等边三角形 ABC 的边长为 2 3 ，平面内一点 M 满足
1
2
CM CB CA ，则 MA MB ＝
▲
．
6
3
9．有下面四个判断：
①命题 “设 a、b∈ R，若 a＋b≠６，则 a≠３或 b≠3”是一个假命题；
②若 “p 或 q”为真命题，则 p、 q 均为真命题； ③命题 “? a、 b∈ R， a2＋ b2≥ 2a( －b－ 1) ”的否定是 “? a、 b∈ R， a2＋ b2≤ 2a(－b－ 1) ”；
的中点． (1) 求证：直线 EF ∥平面 BC1A1； (2) 求证： EF⊥ B1C．
17． (本小题满分 14 分 ) 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以
30 天计），日旅游人数 f (t ) （万．人．）与
时间 t （天）的函数关系近似满足
f (t )
4
1
，人均消费
t
g (t ) （元．）与时间 t （天）的函数
1．在复平面内，复数－ 3＋ i 和 1－ i 对应的点间的距离为
▲
．
2．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的
高三数学月考试题及答案-山大附中2015届高三12月月考(理)
山西省山大附中2015届高三12月月考（理）考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.）1.设不等式02≤-x x 的解集为M ，函数()x x f -=1lg )(的定义域为N ，则=⋂N MA.(]0,1-B.[)1,0C.()1,0D.[]1,0 2.若复数z 满足()i z i 21-2+=，则z 的虚部位A.55 B.i 55C.1D.i 3.命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是A.若b a +不是偶数，则b a ,都不是偶数B.若b a +不是偶数，则b a ,不都是偶数C.若b a ,都不是偶数，则b a +不是偶数D.若b a ,不都是偶数，则b a +不是偶数 4.已知等差数列{}n a 且()()48231310753=++++a a a a a ，则数列{}n a 的前13项和为 A.24 B.39 C.52 D.104 5.若抛物线2ax y =的焦点坐标是（0,1），则=a A.1 B.21 C.2 D.416.已知函数),0(cos sin )(R x ab x b x a x f ∈≠-=在4π=x 处取得最大值，则函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x f y 4π是A.偶函数且它的图像关于点()0，π对称 B.偶函数且它的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛023，π对称 C.奇函数且它的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛023，π对称D.奇函数且它的图像关于点()0，π对称 7.执行如图所示的程序框图，若13)(2-=x x f ，取101=ε，则输出的值为A.3219 B.169C.85D.438.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是9.已知A,B,C 三点是某球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中30,24,18===AC BC AB ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为A.π1200B.π1400C.π1600D.π180010.已知约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≤+-10012x y ax y x 表示的平面区域为D ，若区域D 内至少有一个点在函数x e y =的图像上，那么实数a 的取值范围为A.[)4,eB.[)+∞,eC.[)3,1D.[)∞+，2 11.已知函数x x x g kx x f ln )(,)(==，若关于x 的方程)()(x g x f =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1内有两个实数解，则实数k 的取值范围是A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡e e 21,12 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛e e 1,21 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛210e ， D.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1e 12.已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点为21,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得P F F 21∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 A.⎪⎭⎫⎝⎛3231， B.⎪⎭⎫ ⎝⎛121， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛132， D.⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛1212131，， 二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分.）13.已知向量)1,2(),3,4(-==b a，如果向量b a λ+与b 垂直，则b a λ-2的值为14.有5种不同的颜色可供使用.将一个五棱锥的各个侧面涂色，五个侧面分别编有1,2,3,4,5号，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色则不同的涂色方法有种.15.圆014222=+-++y x y x 关于直线),(022R b a by ax ∈=+-对称，则ab 的取值范围是16.函数121()4cos 2(35)32x y x x π-=+--≤≤，则此函数的所有零点之和等于三、解答题（本大题共5题，每小题12分，共60分.） 17.如图，在ABC ∆中，3π=B ，2=BC ，点D 在边AB 上，DC AD =，AC DE ⊥，E 为垂足．(1)若BCD ∆的面积为3，求CD 的长； (2)若26=ED ，求角A 的大小．18.已知函数bx x x f +=2)(为偶函数，数列{}n a 满足1)1(21+-=+n n a f a ，且1,31>=n a a （1）设)1(l og 2-=n n a b ，证明：数列{}1+n b 为等比数列（2）设n n nb c =，求数列{}n c 的前n 项和n S19. 如图，在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=(1)求证：平面ABC ⊥平面APC(2)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值(3)若动点M 在底面三角形ABC 上，二面角M-PA-CBM 的最小值20.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，它的两个顶点恰好是双曲线131522=-x y 的焦点. （1）求椭圆C 的方程；（2）点)3,2(),3,2(-Q P ，在椭圆上，B A ,是椭圆上位于直线PQ 两恻的动点， ①若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值； ②当B A ,运动时，满足于BPQ APQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由.21.已知函数)(x f 的定义域()∞+，0，若xx f y )(=在()∞+，0上为增函数，则称)(x f 为“一阶比增函数”；若2)(xx f y =在()∞+，0上为增函数，则称)(x f 为“二阶比增函数”。
高三数学月考试题及答案-2015届高三毕业班质量检查(文)
2015年福建省普通高中毕业班质量检查文 科 2015.04本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．【试卷综述】突出考查数学主干知识 试卷长度、题型比例配置与《考试说明》一致，全卷重点考查中学数学主干知识和方法；侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。
全面考查了考试说明中要求的内容，在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向. 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据x1，x2， …，xn 的标准差 锥体体积公式V=Sh其中为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式V=Sh ，其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．31x 24S R =π343V R =π1．设，且，则等于（ ）A ．2B ．4CD ．10【知识点】复数与复数的模 L4 【答案】C 【解析】由题意可知，所以正确选项为C.【思路点拨】由复数相等可求出字母的值，再利用求复数模的公式可直接求出正确结果. 2．执行如图所示的程序框图，若输入的的值为3，则输出的的值为（ ）A ．1B ．3C ．9D ．27【知识点】程序框图 L1 【答案】A【解析】由程序框图可知当输入值为3时，执行的程序为，故A正确.【思路点拨】根据程序进行运算，代入相应的值即可得到最后结果.3．不等式的解集为（ ）A ．: B ． C ．D ．【知识点】一元二次不等式与分式不等式 E3,x y ∈R 1i 3i x y +=+i x y +3,1x y ==3x yi i +=+x y 3log y x =3log 31y ∴==102x x -≥-[1,2](,1][2,)-∞+∞[1,2)(,1](2,)-∞+∞【答案】D【解析】由题意可知不等式等价与，所以D 为正确选项.【思路点拨】本题可由分式不等式直接化成一元二次不等式，再求出解集.4．“”是“”的（ ）Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件【知识点】集合;命题及其关系 A1 A2 【答案】A【解析】当时集合一定成立，而当成立时不一定等于2，所以“”是“”的充分而不必要条件，所以A 正确. 【思路点拨】根据集合的关系可知两个集合之间的充分必要性.5．已知满足则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【知识点】线性规划 E5 【答案】C【解析】由线性规划知识可知当目标函数过可行域的点时取得最大值，这时，所以C 为正确选项.【思路点拨】由条件可求出可行域，再根据目标函数求出最大值. 6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面命题正确的是（ ）Ａ．若∥，∥，则∥ Ｂ．若∥，，则∥ Ｃ．若∥，，则 Ｄ．若，，则【知识点】直线与平面的位置关系 G4 【答案】C【解析】由直线与平面的性质可知当∥，时，则，所以正确选项为C.()()1202120x x x x x ⎧--≥∴>≤⎨-≠⎩或2a ={}{}1,1,2,3a ⊆a 2={}{}1,1,2,3a ⊆{}{}1,1,2,3a ⊆a 2a ={}{}1,1,2,3a ⊆y x ,2,1,220,x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪--≤⎩z x y =-1234()4,1413z =-=,a b ,αβa b b αa αa b b α⊂a αa b b α⊥a α⊥αβ⊥a β⊂a α⊥a b b α⊥a α⊥【思路点拨】由直线与平面的位置关系我们可以直接判定各选项的正误.7．在△中，内角，，的对边分别是，，，若， ，则角等于（ ）A ．B ．C ．D ． 【知识点】解三角形 C8 【答案】A【解析】由正弦定理可知，所以可得，又，，所以A=，所以A 正确.【思路点拨】本题可先根据正弦定理求出三角形边之间的关系式，再利用余弦定理求出角A 的余弦值，最后找到正确结果.8．若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ． 【知识点】直线与圆锥曲线H8 【答案】D【解析】由题意可设过点的直线为，已知曲线的图象为以为圆心，1为半径的半圆，所以当直线与圆相切时求出斜率，所以若直线与曲线有交点则直线的斜率为，所以D 正确.【思路点拨】由已知条件可求出满足题意的情况，再由图象找出位置关系，最后计算出结果. 9．函数的图象大致是（ ）ABC A B C a bc 22sin sin sin A B B C -c =A3060120150sin sin sin a b ck A B C ===22sin sin sin A B B C -22a b -=c=222cos 2b c a A bc +-∴===30(l y =l 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎡⎣10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦((y k x =()0,01210,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦cos(sin )y x =A.答案AB.答案BC.答案CD.答案D 【知识点】三角函数的图象 C4 【答案】B【解析】由函数的性质可知为偶函数，所以图象关于y 轴对称，的值域，所以的值都为正值，当由选项可知B 正确.【思路点拨】根据三角函数的有界性可求出值，再根据函数的性质求出图象.10．在等边中，,且D,E 是边BC 的两个三等分点，则等于（ ） A. B. C. D. 【知识点】向量的数量积 F3 【答案】B【解析】由题意可知，再由余弦定理可知夹角的余弦值，所以，所以正确选项为B.【思路点拨】由余弦定理可求出边长的值及两向量的夹角，代入公式即可.11．已知为双曲线的左焦点，直线过原点且与双曲线相交于两点．若，则△的周长等于（ ）A ．B ．C ．22D ．24 【知识点】双曲线的简单性质 H6 【答案】C【解析】解：由题意，直线l 过原点且与双曲线C 相交于P ，Q 两点，=0，y cos x =y sinx =[]1,1-cos(sin )y x =0,1x y ==ABC ∆6AB =AD AE 18262728AD AE ===ADAE cos 26AD AE AD AE θ===1F 22:11411x y C -=l C ,PQ 110PF QF =1PFQ 1010∴PF1⊥QF1，∴以PQ 为直径的圆经过F1， ∴|PQ|=2c=10，设F2为双曲线C ：﹣=1的右焦点，则根据双曲线的对称性，可得|PF1|=|QF2|，∴|QF1|﹣|PF1|=2，∵|QF1|2+|PF1|2=100， ∴2|QF1||PF1|=44， ∴（|QF1|+|PF1|）2=144， ∴|QF1|+|PF1|=12， ∴△PF1Q 的周长等于22， 故选：C ．【思路点拨】确定以PQ 为直径的圆经过F1，可得|PQ|=2c=10，设F2为双曲线C ：﹣=1的右焦点，则根据双曲线的对称性，可得|PF1|=|QF2|，利用双曲线的定义，结合勾股定理，即可得出结论． 12．已知是定义在上的函数，且满足,．若曲线在处的切线方程为，则曲线在处的切线方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【知识点】函数的图象与性质 B4 B8 【答案】D【解析】由题意可知函数为偶函数，且函数关系对称，所以函数的周期为4，又根据处的切线方程为，可知处的切线方程为，所以向右平移4个单位可得在处的切线方程.【思路点拨】根据函数的性质可判定函数的对称轴与周期，再经过图象的平移可得到切线方程.()f x R ()()f x f x -=()()22f x f x +=-()y f x =1x =-30x y -+=()y f x =5x =30x y --=70x y --=30x y +-=70x y +-=2x =1x =-30x y -+=1x =30x y +-=5x =70x y +-=第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．13．已知，则__________．【知识点】二倍角公式 C6【答案】【解析】【思路点拨】由三角的二倍角的公式可求出值.14．已知函数若，则 __________． 【知识点】分段函数 B1 【答案】0.【解析】若则，若则无解，所以【思路点拨】由分段函数的意义可直接求出解. 15．如图，函数的图象经过矩形的顶点．若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于__________．【知识点】概率 K3【答案】3cos (0)5αα=<<πsin 2α=2425()34cos 0sin ,55ααπα=<<∴=24sin 22sin cos 25ααα==321,0,()2,0,x x f x x x ⎧+≥=⎨+<⎩()1f x =x =0x ≥3110x x +=∴=0x <221x +=∴0x =cos y x x=+ABCD ,C DABCD 12【解析】由图可知阴影部分的面积占整个矩形ABCD 的面积的一半，所以随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于【思路点拨】根据概率的定义可由图直接分析出结果. 16．系列的纸张规格如图，其特色在于：①A0，A1，A2，…，An 所有规格的纸张的长宽比都相同； ② A0对裁后可以得到两张A1 An ，A1对裁后可以得到两张A2，…，An-1对裁后可以得到两张An ．现有每平方厘米重量为克的A0，A1，A2，…，An 纸各一张，若A4纸的宽度为厘米，则这（） 张纸的重量之和等于__________．（单位：克）【知识点】数列 D3【答案】【解析】设每张纸的长宽比为k ，则纸的长为ka ，则纸的长8a,宽4ka ，由的重量为：，而，纸的重量构成以为公比的等比数列，所以，【思路点拨】求出纸张的长宽比，判定，纸的重量构成等比数列，利用等比12()n ∈N b a 1n +1n S +2111()2nb +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4A 0A 84ak k ka=?0A 2b 012,,,n A A A A 1221211112111212n n n b S b +++骣÷ç÷-ç÷骣÷ç桫÷ç÷==-ç÷ç÷桫-012,,,n A A A A数列的前n 项和公式求得，从而确定结论.【典例剖析】本题比较典型，求出一张纸的长宽比是关键.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数的最小正周期为，图象过点．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若函数的图象是由函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度而得到，且在区间内是单调函数，求实数的最大值． 【知识点】三角函数的图象与性质 C4 【答案】 (I)(II) 实数的最大值为．【解析】（Ⅰ）因为的最小正周期是，所以，得． …………….2分 所以．又因为的图象过点，所以，因为，所以． ………………………………….5分所以，即． …………………………………….6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，由题设可得．………………………….…..8分因为，所以，……………….…10分1n S +()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕ><<π2π(0,1)P ()f x ()y g x =()y f x =6π()g x (0,)m m ()cos 4f x x =m 12π()f x 2π2T ωπ=4ω=()sin(4)f x x ϕ=+()f x (0,1)P 2()2k k ϕπ=π+∈Z 0ϕ<<π2ϕπ=()sin(4)2f x x π=+()cos 4f x x =()cos 4f x x =2()cos(4)3g x x π=+(0,)x m ∈2224(,4)333x m πππ+∈+要使函数在区间内是单调函数，只有，所以． 因此实数的最大值为．【思路点拨】根据已知条件可求出解析式，再由三角函数的图角移动法则可求出M 的最大值.18．（本小题满分12分）2015年我国将加快阶梯水价推行，原则是“保基本、建机制、促节约”，其中“保基本”是指保证至少80%的居民用户用水价格不变．为响应国家政策，制定合理的阶梯用水价格，某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研，抽取的数据的茎叶图如下（单位：吨）：（Ⅰ）在郊区的这5户居民中随机抽取2户，求其年人均用水量都不超过30吨的概率； （Ⅱ）设该城市郊区和城区的居民户数比为，现将年人均用水量不超过30吨的用户定义为第一阶梯用户，并保证这一梯次的居民用户用水价格保持不变．试根据样本估计总体的思想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策． 【知识点】统计与概率 I2 K1【答案】 (I)(II) 符合【解析】解：（Ⅰ）从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量构成的所有基本事件是：（19,25），（19,28），（19,32），（19,34），（25,28），（25,32），（25,34），（28,32），（28,34），（32,34）共10个.其中年人均用水量都不超过30吨的基本事件是:（19,25），（19,28），（25,28）共3个．设“从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量都不超过30吨”的事件为，则()g x (0,)m 243m π+≤π12m π≤m 12π1:53()10P A =A所求的概．（Ⅱ）设该城市郊区的居民用户数为，则其城区的居民用户数为．依题意，该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率为：．故此方案符合国家“保基本”政策．【思路点拨】根据题意可求出总的基本结果数，再求出不超过30吨的基本结果数，即可求出概率，根据用户的百分比可知方案符合国家政策. 19．(本小题满分12分)某几何体的三视图及直观图如图所示，其中侧视图为等边三角形． （Ⅰ）若为线段上的点，求四棱锥的体积；（Ⅱ）已知为线段的中点，试在几何体的侧面内找一条线段，使得该线段垂直于平面，且它在该几何体的侧视图上的投影恰为线段，并给予证明．【知识点】几何体的体积与三视图 G2【答案】解：（Ⅰ）取线段的中点，连接，则． 又∵，， ∴．3()10P A =a 3a 31759752080%6120a aa ⋅+⋅=>P 1AA C C BB P 11-D 1BB 1ADC C A ''BC E AE BC AE ⊥ABC BB 平面⊥1ABC AE 平面⊂AE BB ⊥1又∵ ，，∴， ………………………….1分 又点在为线段上的点，且∥平面，∴是四棱锥的高， ………………………….2分 又， ………………………….4分∴．………………….6分（Ⅱ）所求的线段． 首先，∵，∴在该几何体的侧视图上的投影恰好为线段．………8分下面证明． 连接，交于点，则点为线段的中点，连接，，， 在平面中，，，∴同理，，∴，∴，………………………….10分 又在正方形中，， ………………………….11分，，，∴．B BC BB=⋂1C C BB BB 111平面⊂C C BB BC 11平面⊂C C BB AE 11平面⊥P 1AA 1AA 11BB C C AE C C BB P 11-11224BB C C AE ==⨯=正方形33432231311111=⨯⨯⨯=⋅=-AE S V C C BB C C BB P 正方形四棱锥C A 11111CC A BC ⊥平面C A 1C A ''11AC ADC ⊥平面C A 11AC F F 1AC DF DC 1DAC C BB 112=BC 1=BD CD 1DA =1DA CD =C A DF 1⊥ 11A ACC 11AC C A ⊥1DFAC F =1ADC DF 平面⊂11ADC AC 平面⊂11AC ADC ⊥平面【解析】【思路点拨】由几何体的直观图可求出高与底面积，进而求出体积，再由线段的性质可证明. 20．(本小题满分12分)已知中心在原点的椭圆的右焦点坐标为，离心率等于．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明斜率为1的所有直线与椭圆相交得到的弦的中点共线；（Ⅲ）图中的曲线为某椭圆的一部分，试作出椭圆的中心，并写出作图步骤．【知识点】直线与椭圆 H5【答案】 (I) (II)（Ⅲ）①任作椭圆的两条组平行弦∥，∥，其中与不平行．②分别作平行弦的中点及平行弦的中点．③连接，，直线，相交于点，点即为椭圆的中心.【解析】（Ⅰ）依题意，得，所以11AC ADC ⊥平面C (1,0)12C C E E 22143x y +=34y x =-12A A 12B B 12C C 12D D 12A A 12C C 1212,A A B B ,A B 1212,C C D D ,C D AB CD AB CD O O E 11,2c c a ==2,a b ===所以椭圆的方程为．（Ⅱ）设直线：，：，分别交椭圆于及，弦和的中点分别为和．由得，令，即．又所以，． 即． ………………………….6分 同理可得． ………………………….7分 所以直线所在的直线方程为． ………………………….8分设：是斜率为1且不同于的任一条直线，它与椭圆相交于，弦的中点为同理可得由于，故点在直线上．所以斜率为1的直线与椭圆相交得到的所有弦的中点共线．【思路点拨】由已知条件可求出椭圆的几何量，再列出椭圆方程；设出斜率为1的直线方程，再求出中点所在的方程；找出平行弦垂直平分线的交点即可找到椭圆的中心. 21．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且．(Ⅰ)求数列的通项公式；C 22143x y +=1l 1y x b =+2l 2y x b =+()()111111,,,A A B B A x y B x y ()()222222,,,A A B B A x y B x y 11A B 22A B ()111,Q x y ()222,Q x y 2211,43,x y y x b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩2211784120x b x b ++-=()()22118474120b b ∆=-⨯⨯->1b <<1118,7A B b x x +=-1111427A B x x bx +==-111137b y x b =+=11143,77b b Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭22243,77b b Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭12Q Q 34y x=-l 3y x b =+12,l l C 33,A B 33A B 333(,),Q x y 33343,,77b b Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭33343747b b ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭3Q 34y x=-C {}n a n n S ()415n n S a =-{}n a（Ⅱ）设，试问：是否存在非零整数，使得数列为递增数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【知识点】数列的通项及性质 D3 【答案】 (I)(II) 存在非零整数使得数列为递增数列.【解析】解(Ⅰ)因为，所以当时，，解得； 当时，，即，……….3分 由，知，所以是以的等比数列．所以．（Ⅱ）假设存在非零整数，使得数列为递增数列，即对于，都有．由(Ⅰ)知，又，所以， 所以只要对任意，恒有，即只要对任意，恒有．当为奇数时，①等价于恒成立．又为奇数时，的最小值为，所以． ………………8分当为偶数时，①等价于恒成立．又为偶数时，的最大值为，所以．………………10分 综上，． ………………11分又为非零整数，故存在非零整数 为使得数列递增数列．【思路点拨】由数列的前n 项和公式与通项公式的关系可求出数列的通项公式.根据条件可5n n nb ta =-t {}n b t ()4nn a =-1t =-{}n b ()415n n S a =-1n =()11415a a =-14a =-2n ≥()()11441155n n n n n a S S a a --=-=---14nn a a -=-14a =-()142n n a a n -=-≥0n a ≠{}n a 14,4a q =-=-()4nn a =-t {}n b n *∈N 1n n b b +>()4nn a =-5n n nb ta =-()54nn n b t =--n *∈N ()()115454n n n n t t ++-->--n *∈N ()1514n nt -⎛⎫->- ⎪⎝⎭n 154n t -⎛⎫< ⎪⎝⎭n 154n -⎛⎫⎪⎝⎭11t <n 154n t -⎛⎫>- ⎪⎝⎭n 154n -⎛⎫- ⎪⎝⎭54-54t >-514t -<<t 1t =-{}n b分类讨论数列的增减性，确定 为使得数列递增数列22．(本小题满分14分) 已知函数．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）判断的零点个数，说明理由；（Ⅲ）若有两个零点，证明：．【知识点】导数与函数的零点 B11 【答案】解：（Ⅰ）因为，所以，当，，当，，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，……………2分故当时，取得最小值为． ………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知的最小值为．（1）当，即时，没有零点．………………5分（2）当，即时，有一个零点．………………6分 （3）当，即时，构造函数，则，当时，， 所以在上单调递增，所以，因为，所以， 又，故． ………………8分 又，………………9分所以必存在唯一的，唯一的，使得为的两个零点，故当时，有两个零点．………………10分（Ⅲ）若为的两个零点，设，则由（Ⅱ）知．1t =-{}n b ()e ()x f x x m m =--∈R ()f x ()f x ()f x 12,x x 120x x +<()e 1x f x '=-(),0x ∈-∞()0f x '<()0,x ∈+∞()0f x '>()f x (,0)-∞(0,)+∞0x =()f x ()01f m=-()f x ()01f m=-10m ->1m <()f x 10m -=1m =()f x 10m -<1m >()e 2(1)x g x x x =-≥()e 2xg x '=-(1,)x ∈+∞()0g x '>()g x [1,)+∞()(1)e 20g x g ≥=->1m >()e 20mg m m =->()e 2(1)mf m m m =->()0f m >()e 0m f m --=>()1,0x m ∈-()20,x m ∈12,x x ()f x 1m >()f x 12,x x ()f x 12x x <120,0x x <>因为．………………11分令，则，………………12分 所以在上单调递增，因此，．又，所以，即，故，………………13分又，且由（Ⅰ）知在单调递减， 所以，所以．………………14分【解析】【思路点拨】利用函数的导数可证明函数的增减性，再求出函数的最小值，分情况讨论函数的零点个数，再由函数的性质证明.()()()()1222f x f x f x f x --=--()()2222e e x x x m x m -=---+-222e e 2x x x -=--()()e e 20x x x x x ϕ-=--≥()e e 2x x x ϕ-'=+-20≥=()x ϕ[0,)+∞()()00x ϕϕ≥=120x x <<()20x ϕ>222e e 20x x x --->()()12f x f x >-120,0x x <-<()f x (),0-∞12x x <-120x x +<120x x +<。
重庆市南开中学2015届高三数学上学期12月月考试卷理(含解析)
重庆市南开中学201 5届高三上学期12月月考数学试卷（理科）一．选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．关于x的不等式ax+b＞0的解集不可能是( )A．R B．φC．D．考点：集合的表示法．专题：不等式的解法及应用．分析：分a等于0，小于0，大于0三种情况考虑，分别求出不等式的解集，即可做出判断．解答：解：当a=0时，b≤0，不等式无解；b＞0，不等式解集为R；当a＞0时，解得：x＞，此时不等式的解集为；当a＜0时，解得：x＜，此时不等式的解集为，故选：D．点评：本题考查了含参数不等式的解法，利用了分类讨论的思想，分类讨论时考虑问题要全面，做到注意不重不漏．2．抛物线y2=4x的焦点到准线的距离为( )A．1 B．2 C．4 D．8考点：抛物线的简单性质．专题：阅读型．分析：根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．解答：解：根据题意可知焦点F（1，0），准线方程x=﹣1，∴焦点到准线的距离是1+1=2故选B．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用．属基础题．3．已知，，则cosa=( )A．B．C．D．考点：二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：原式两边平方可解得sina=﹣，由，即可计算cosa的值．解答：解：∵，∴两边平方可得：1+sina=，即sina=﹣∵，∴cosa=﹣=﹣故选：A．点评：本题主要考察了二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=( ) A．7 B．8 C．15 D．16考点：等差数列的性质；等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：先根据“4a1，2a2，a3成等差数列”和等差中项的性质得到3者的关系式，然后根据等比数列的性质用a1、q表示出来代入以上关系式，进而可求出q的值，最后根据等比数列的前n项和公式可得到答案．解答：解：∵4a1，2a2，a3成等差数列∴，∴，即∴q=2∴S4===15故选C点评：本题主要考查等比数列、等差数列的基本性质．属基础题．5．已知单位向量，夹角为，则=( )A．B．C．2 D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由向量的模长公式，代值计算可得．解答：解：∵单位向量，夹角为，∴====故选：B点评：本题考查数量积与向量的夹角，涉及模长公式，属基础题．6．已知直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆周长，则的最小值为( )A．B．C．4 D．6考点：基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆的位置关系．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：利用直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆周，可得圆的圆心（﹣1，2）在直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）上，再利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求出的最小值．解答：解：由题意，圆的圆心（﹣1，2）在直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）上∴﹣2a﹣2b+2=0（a＞0，b＞0）∴a+b=1∴=（a+b）（）=3+≥3+2=3+2，当且仅当，即a=，b=2时，的最小值为3+2．故选：B．点评：本题考查圆的对称性，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7．已知定义在R上的偶函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x3﹣8，则关于x的不等式：2f（x﹣2）＞1的解集为( )A．{x|x＜0或x＞2} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜﹣2或x＞4} D．{x|x＜﹣2或x ＞2}考点：奇偶性与单调性的综合．专题：不等式的解法及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性的关系，结合指数不等式即可得到结论．解答：解：不等式2f（x﹣2）＞1的等价为f（x﹣2）＞0，若x＜0，则﹣x＞0，即f（﹣x）=﹣x3﹣8，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣x3﹣8=f（x），即f（x）=﹣x3﹣8，x＜0．则不等式f（x﹣2）＞0等价为①或②，由①得，即x＞4．由②得，即x＜0，综上不等式的解集为{x|x＜0或x＞4}，故选：B点评：本题主要考查不等式的解法，利用函数奇偶性的性质是解决本题的关键．8．下列说法正确的个数是( )①命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”；②“b=”是“三个数a，b，c成等比数列”的充要条件；⑨“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的充要条件：④“复数Z=a+bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是a=0”是真命题．A．1 B．2 C．3 D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①利用命题的否定即可判断出．②“b=±”是“三个数a，b，c成等比数列”的充要条件，即可判断出；⑨对m分类讨论：m=0，与当m≠0，时，即可判断出；④“复数Z=a+bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是a=0，b≠0”，即可判断出．解答：解：①命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”，正确；②“b=±”是“三个数a，b，c成等比数列”的充要条件，因此②不正确；⑨直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0．当m=0时，两条直线分别化为﹣y+1=0，3x+2=0，此时两条直线垂直；当m=时，两条直线分别化为x+1=0，3x+y+2=0，此时两条直线不垂直；当m≠0，时，两条直线的斜率分别为：，，若两条直线垂直，则•（）=﹣1，解得m=﹣1；∴“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的充分不必要条件，不正确：④“复数Z=a+bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是a=0，b≠0”，因此是假命题．综上可得：只有①是真命题．故选：A．点评：本题考查了简易逻辑的有关知识、相互垂直的直线与斜率之间的关系、分类讨论的思想方法、复数为纯虚数的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过坐标原点O的直线与双曲线C在第一象限内交于点P，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2为锐角三角形，则直线OP 斜率的取值范围是( )A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：首先，设直线OP的方程，然后根据双曲线的定义，并结合条件|PF1|+|PF2|=6a，求解|PF1|和|PF2|的值，然后，根据△PF1F2为锐角三角形，联立方程组写出相应的点P的坐标，最后限制范围即可．解答：解：∵|PF1|+|PF2|=6a，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵|F1F2|=2c，∵△PF1F2为锐角三角形，∴，∴，∴＜e，∴3＜1+（）2＜5，∴＜＜2，欲使得过坐标原点O的直线与双曲线C在第一象限内交于点P，∴k∈（，）．故选：A．点评：本题重点考查了双曲线的标准方程、几何性质、直线与双曲线的位置关系等知识，属于中档题．解题关键是理解直线与双曲线的位置关系处理思路和方法．10．存在实数a，使得对函数y=g（x）定义域内的任意x，都有a＜g（x）成立，则称a为g（x）的下界，若a为所有下界中最大的数，则称a为函数g（x）的下确界．已知x，y，z∈R+且以x，y，z为边长可以构成三角形，则f（x，y，z）=的下确界为( )A．B．C．D．考点：分析法的思考过程、特点及应用；函数的最值及其几何意义．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：运用极端法，就是三角形在趋近于无法构成时，即：x→0，并令y=z，可得原式＞恒成立，再由分析法证明，注意运用配方和三角形的三边关系，可得下确界为．解答：解：运用极端法，就是三角形在趋近于无法构成时，即：x→0，并令y=z，所以=，当然此值只是一个极限值，原式=＞恒成立，可运用分析法证明上式．即证（x+y+z）2＜4xy+4yz+4zx，即有x2+y2+z2＜2xy+2yz+2zx，即有（x﹣y）2+（y﹣z）2+（z﹣x）2＜x2+y2+z2，由三角形中，|x﹣y|＜z，|y﹣z|＜x，|z﹣x|＜y，均为（x﹣y）2＜z2，（y﹣z）2＜x2，（z﹣x）2＜y2．则上式成立．故下确界是．故选B．点评：本题考查新定义的理解和运用，考查三角形的三边的关系和不等式的证明，属于中档题．二、填空置：本大题共3小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．设实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为14．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（4，6），代入目标函数z=2x+y得z=2×4+6=14．即目标函数z=2x+y的最大值为14．故答案为：14点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．12．数列{a n}满足：a1=2014，a n﹣a n•a n+1=1，l n表示a n的前n项之积，则l2014=﹣2014．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过化简可知递推式为a n+1=1﹣，进而逐一求出a2、a3、a4发现数列的项周期出现，进而计算可得结论．解答：解：∵a n﹣a n a n+1=1，∴a n+1=1﹣，∵a1=2014，∴a2=1﹣=，a3=1﹣=﹣，a4=1﹣=2014，∴该数列是周期为3的周期数列，且前三项之积为2014••（﹣）=﹣1，∵2014=671×3+1，∴l2014=（﹣1）671•2014=﹣2014，故答案为：﹣2014．点评：本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．13．椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使线段PF1与以椭圆短轴为直径的圆相切，切点恰为线段PF1的中点，则该椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设线段PF1的中点为M，另一个焦点F2，利用OM是△F1PF2的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF1的三边之长，使用勾股定理求离心率．解答：解：设线段PF1的中点为M，另一个焦点F2，由题意知，OM=b，又OM是△F1PF2的中位线，∴OM=PF2=b，PF2=2b，由椭圆的定义知 PF1=2a﹣PF2=2a﹣2b，又 MF1=PF1=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF1=c，直角三角形OMF1中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2﹣c2），由此可求得离心率 e==，故答案为：．点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．二、考生注意．14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．如图，EA是圆O的切线，割线EB交圆O于点C，C在直径AB上的射影为D，CD=2，BD=4，则EA=．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：由相交弦定理，得CD2=AD•BD，由△BDC∽△BAE，得，由此能求出AE．解答：解：由相交弦定理，得CD2=AD•BD，即22=AD×4，解得AD=1，∴AB=1+4=5，∵EA是圆O的切线，C在直径AB上的射影为D，∴△BDC∽△BAE，∴，∴AE===．故答案为：．点评：本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要注意相交弦定理的合理运用．15．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的坐标方程为=0，则直线l截曲线C所得的弦长为．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．分析：本题可以先将曲线C的参数方程消去参数，得到曲线的普通方程，再将直线l的极坐标方程化成平面直角坐标方程，然后列出方程组，由弦长公式求出弦长，得到本题结论．解答：解：∵曲线C的参数方程为，∴消去参数得：．∵直线l的极坐标方程为=0，∴y﹣x+=0，即：x﹣y﹣=0．由，得：5x2﹣8x=0，∴x=0或，∴交点坐标分别为（0，），（，），弦长为=．故答案为：．点评：本题考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，还考查了弦长公式，本题难度不大，属于基础题．16．若不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围5＜b＜7．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：首先分析题目已知不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，求b的取值范围，考虑到先根据绝对值不等式的解法解出|3x﹣b|＜4含有参数b的解，使得解中只有整数1，2，3，即限定左边大于0小于1，右边大于3小于4．即可得到答案．解答：解：因为，又由已知解集中的整数有且仅有1，2，3，故有．故答案为5＜b＜7．点评：此题主要考查绝对值不等式的解法问题，题目涵盖知识点少，计算量小，属于基础题型．对于此类基础考点在2015届高考中属于得分内容，同学们一定要掌握．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f（A）=1．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若a=7，b=5，求c的值．考点：二倍角的余弦；二倍角的正弦；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（I）由 f（x）=sinxcosx﹣cos2x+利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简，然后结合f（A）=1，及A∈（0，π）可求A；（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA可求c解答：解：（I）因为 f（x）=sinxcosx﹣cos2x+==sin（2x﹣）…又f（A）=sin（2A﹣）=1，A∈（0，π），…所以，∴…（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得到，所以c2﹣5c﹣24=0 …解得c=﹣3（舍）或c=8 …所以c=8点评：本题主要考查了二倍角公式及辅助角公式在三角函数化简中的应用，特殊角的三角函数值及余弦定理的应用18．已知点A（2，0）关于直线l1：x+y﹣4=0的对称点为A1，圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=4（n＞0）经过点A和A1，且与过点B（0，﹣2）的直线l2相切．（1）求圆C的方程；（2）求直线l2的方程．考点：圆的标准方程；直线的一般式方程．专题：计算题．分析：（1）由点A和A1均在圆C上且关于直线l1对称，得到圆心在直线l1上，由圆的方程找出圆心坐标，代入直线l1，得到关于m与n的方程，然后把点A的坐标代入到圆的方程中，得到关于m与n的另一个方程，联立两方程即可求出m与n的值，确定出圆C的方程；（2）当直线l2的斜率存在时，设出直线l2的方程，由直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，从而确定出直线l2的方程；当直线l2的斜率不存在时，x=0显然满足题意，综上，得到所有满足题意得直线l2的方程．解答：解：（1）∵点A和A1均在圆C上且关于直线l1对称，∴圆心在直线l1上，由圆C的方程找出圆心C（m，n），把圆心坐标直线l1，点A代入圆C方程得：，解得或（与n＞0矛盾，舍去），则圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4；（2）当直线l2的斜率存在时，设直线l2的方程为y=kx﹣2，由（1）得到圆心坐标为（2，2），半径r=2，根据题意得：圆心到直线的距离d==r=2，解得k=1，所以直线l2的方程为y=x﹣2；当直线l2的斜率不存在时，易得另一条切线为x=0，综上，直线l2的方程为y=x﹣2或x=0．点评：此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系．要求学生会利用待定系数法求圆的方程，掌握直线与圆相切时满足的关系，在求直线l2的方程时，注意由所求直线的斜率存在还是不存在，利用分类讨论的方法得到所有满足题意得方程．19．已知函数f（x）=x2+bx为偶函数，数列{a n}满足a n+1=2f（a n﹣1）+1，且a1=3，a n＞1．（1）设b n=log2（a n﹣1），求证：数列{b n+1}为等比数列；（2）设c n=nb n，求数列{c n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）利用函数f（x）=x2+bx为偶函数，可得b，根据数列{a n}满足a n+1=2f（a n﹣1）+1，可得b n+1+1=2（b n+1），即可证明数列{b n+1}为等比数列；（2）由c n=nb n=n•2n﹣n，利用错位相减可求数列的和．解答：（1）证明：∵函数f（x）=x2+bx为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴b=0∵a n+1=2f（a n﹣1）+1，∴a n+1﹣1=2（a n﹣1）2，∵b n=log2（a n﹣1），∴b n+1=1+2b n，∴b n+1+1=2（b n+1）∴数列{b n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列（2）解：由（1）可得，b n+1=2n，∴b n=2n﹣1∴c n=nb n=n•2n﹣n，∴S n=1•2+2•22+…+n•2n﹣令T=1•2+2•22+…+n•2n，2T n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1两式相减可得，﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2∴T n=（n﹣1）•2n+1+2，∴S n=（n﹣1）•2n+1+2﹣．点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式，错位相减求数列的和的应用是求解的关键20．设函数f（x）=ln（x﹣1）+．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知对任意的x∈（1，2）∪（2，+∞），不等式成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；分类讨论；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出函数的导数，对a讨论，①当0≤a≤2，②当a＞2时，求出导数为0的根，解不等式，即可得到单调区间；（2）当x＞1且x≠2时，不等式成立等价为1＜x＜2时，f（x）＜a且x＞2时，f（x）＞a恒成立．分别讨论当0≤a≤2时，当a＞2时，函数的单调性和最值情况，即可得到a的范围．解答：解：（1）f（x）的导数f′（x）==令g（x）=x2﹣2ax+2a（a≥0，x＞1），则△=4a2﹣8a=4a（a﹣2），对称轴x=a，①当0≤a≤2，g（x）≥0，即f′（x）≥0，f（x）在（1，+∞）上递增；②当a＞2时，g（x）=0的两根x1=a﹣，x2=a+，由g（1）=1﹣2a+2a=1＞0，a＞2，则1＜x1＜x2，当x∈（x1，x2），g（x）＜0，f（x）递减，当x∈（1，x1）∪（x2，+∞），g（x）＞0，f（x）递增；则有f（x）的增区间为（1，a﹣），（a+，+∞），减区间为（a﹣，a+）；（2）当x＞1且x≠2时，不等式成立等价为1＜x＜2时，f（x）＜a且x＞2时，f（x）＞a恒成立．由（1）知，当0≤a≤2时，f（x）在（1，+∞）上递增，f（2）≥a且f（2）≤a，即有f（2）=a，即有ln1+=a，成立，则0≤a≤2恒成立；当a＞2时，g（2）=4﹣4a+2a=4﹣2a＜0，即1＜x1＜2＜x2，x1＜x＜2时，f（x）递减，f（x）＞f（2）=a；则存在1＜x＜2，f（x）＞a即1＜x＜2时，f（x）＜a不恒成立，不满足题意．综上，a的取值范围是[0，2]．点评：本题考查函数的导数的运用：求单调区间，考查不等式的恒成立问题，注意转化为求函数的最值问题，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．21．已知椭圆C1的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点．（1）求椭圆C1的标准方程；（2）如图，以椭圆C1的长轴为直径作圆C2，过直线x=﹣2上的动点T作圆C2的两条切线，设切点分别为A、B，若直线AB与椭圆C1求交于不同的两点C、D，求的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知得，由此能求出椭圆的标准方程．（2）圆C2的方程为x2+y2=2，设直线x=﹣2上的动点T的坐标为（﹣2，t），（t∈R），设A （x1，y1），B（x2，y2），则直线AT的方程为x1x+y1y=2，直线BT的方程为x2x+y2y=2，直线AB的方程为﹣2x+ty=2，由此利用点到直线的距离和导数的性质能求出的取值范围．解答：解：（1）设椭圆C1的标准方程为（a＞b＞0），将点P（），Q（﹣1，﹣）代入，得：，解得a=，b=1，∴椭圆的标准方程为．（2）圆C2的方程为x2+y2=2，设直线x=﹣2上的动点T的坐标为（﹣2，t），（t∈R），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AT的方程为x1x+y1y=2，直线BT的方程为x2x+y2y=2，又T（﹣2，t）在直线AT和BT上，即，∴直线AB的方程为﹣2x+ty=2，由原点O到直线AB的距离为d=，得|AB|=2=2，联立，消去x，得（t2+8）y2﹣4ty﹣4=0，设C（x3，y3），D（x4，y4），则，，从而|CD|==，∴=，设t2+4=m，m≥4，则==，又设.0＜s，则=，设f（s）=1+6s﹣32s3，令f′（s）=6﹣96s2=0，解得，故f（s）=1+6s﹣32s3在s∈（0，]上单调递增，f（s）∈（1，2]，∴∈（1，]．点评：本题考查椭圆的方程的求法，考查两线段比值的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．22．己知数{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，数列{b n}满足b n+1=b n+=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令c n=，记S n=c1+c2+…+c n，求证：＜1．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得a n+1﹣a n=2n，由此利用累加法能求出a n=n2+n+1．（2）由已知得==，从而，进而c n＜[（）﹣（）]，由此能证明＜1．解答：（1）解：∵{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，∴a n+1﹣a n=2n，∴a n=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+a n+1﹣a n=1+2+4+6+ (2)=1+2×=n2+n+1．（2）证明：∵b n+1=b n+=1，∴=，∴==，∴，∴c n==＜=[]=[（）﹣（）]，∴S n=c1+c2+…+c n＜[（1﹣）+（+…+）] ==（2﹣）＜1，又由c n==，得{c n}是增数列，∴S n=c1+c2+…+c n≥c1==，∴＜1．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意累加法和裂项求和法的合理运用．。
河北省保定市重点高中2015届高三数学12月联考试题 理
河北省保定市重点高中2015届高三数学12月联考试题 理1．已知复数z=312ii-+（i 为虚数单位），则复数z 为（ ） A ．17i - B ．1755i - C ．1755i -+ D ．1755i +2．已知2{|log 2}A x x =<，1{|33}3x B x =<<，则A B 为（ ）A ．（0，12） B ．（0，2）C ．（-1，12） D ．（-12）3．若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314S =，12a =，则4a =（ ） A ．16 B ．16或-16 C ．-54D ．16或-544. 已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题0,:2>∈∀x R x q ，则( )A.命题q p ∨是假命题B.命题q p ∧是真命题C.命题)(q p ⌝∧是真命题D.命题)(q p ⌝∨是假命题 5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是 A ．2B. 92C. 32D. 36．阅读程序框图，若输入4,6m n ==，则输出,a i 分别是（ ） A ．12,3a i == B ．12,4a i == C ．8,3a i == D ．8,4a i ==输入,m n1i =a m i =⨯1i i =+结束输出,a i a 被n 整除是 否开始 （第6题图）7．若将函数x x x f cos 41sin 43)(-=的图象向右平移(0)m m π<<个单位长度，得到的图象关于原点对称，则m =（ ) A ．65π B ．6π C ．32π D ．3π8.在△ABC 中，AD 为BC 边上的高，给出下列结论： ①()0AD AB AC -=；②||2||AB AC AD +≥； ③||sin ||ADAC AB B AD =。
以上结论正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39. 已知数列}{n a 中满足151=a ，21=-+na a nn ，则n a n 的最小值为（ ） A. 7 B. 1152- C.9 D. 42710．若函数12()1sin 21x x f x x +=+++在区间[,](0)k k k ->上的值域为[,]m n ，则m n +=（ ） A ．0B ．1C ．2D ．411.如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论错误的是（ ）A.11DC D P ⊥B.平面11D A P ⊥平面1A APC.1APD ∠的最大值为90D.1AP PD +的最小值为22+12.已知圆221:(2)16O x y -+=和圆2222:(02)O x y r r +=<<，动圆M 与圆1O 和圆2O 都相切，动圆圆心M 的轨迹为两个椭圆，设这两个椭圆的离心率分别为1e 和2e （12e e >），则122e e +的最小值为（ ）A ．3224+ B ．32C ．2D ．38二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.记直线310x y --=的倾斜角为α，曲线ln y x =在(2,ln 2)处切线的倾斜角为β，则αβ+=。
湖南师大附中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)Word版含解析
湖南师大附中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：将复数z=的分母实数化，求得z=1+i，即可求得，从而可知答案．解答：解：∵z====1+i，∴=1﹣i．∴对应的点（1，﹣1）位于第四象限，故选D．点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，将复数z=的分母实数化是关键，属于基础题．2．若角α的终边落在直线x+y=0上，则的值等于( ) A．2 B．﹣2 C．﹣2或2 D．0考点：三角函数的化简求值；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：根据α的终边落在直线x+y=0上，判断出α所在的象限，并由平方关系化简所求的式子，再对α分类利用三角函数值的符号进一步化简求值．解答：解：∵角α的终边落在直线x+y=0上，∴角α为第二或第四象限角．∵+=+，∴当角α为第二象限角时，原式=﹣+=0；当角α为第四象限角时，原式=+=0．综上可知：角α为第二或第四象限角时，均有值为0，故选D．点评：本题考查了平方关系和三角函数值的应用，以及分类讨论思想．3．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A．54 B．27 C．18 D．9考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，分别求出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由三视图可知，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，∵底面长和宽分别为3和6，∴其底面面积S=3×6=18，又∵棱锥的高h=3，故该几何体的体积V=Sh=×3×18=18．故选：C点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中根据三视图分析出几何体的形状是解答的关键．4．我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为( )A．2 B．3 C．4 D．5考点：系统抽样方法．专题：计算题；概率与统计．分析：求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可．解答：解：系统抽样的抽取间隔为=6．设抽到的最小编号x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，所以x=3．故选：B．点评：本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．5．若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足，则=( ) A．﹣2 B．2 C．D．考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：计算题．分析：先用向量表示出向量，再求内积即可得解解答：解：∵∴=∴====故选A点评：本题考查向量的加减运算、线性表示和向量的数量积，须特别注意向量的线性表示，求数量积时须注意两个向量的夹角．属简单题6．设函数若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=0，则关于x的不等式f（x）≤1的解集为( )A．（﹣∞，﹣3]∪C．∪（0，+∞）D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：设P点的横坐标为x，根据|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a），利用双曲线的第二定义，可得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围．解答：解：设P点的横坐标为x∵|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a）根据双曲线的第二定义，可得3e（x﹣）=e（x+）∴ex=2a∵x≥a，∴ex≥ea∴2a≥ea，∴e≤2∵e＞1，∴1＜e≤2故选D．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于基础题．10．已知函数f（x）满足f（1）=，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f=( ) A．B．C．﹣D．0考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知条件推导出函数f（x）是周期为6的周期函数，由此能求出结果．解答：解：取x=1，y=0代入4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y），得4f（1）f（0）=f（1）+f（1）=2f（1），解得f（0）=，则当x=1，y=1时，4f（1）f（1）=f（2）+f（0），解得f（2）=f（1）﹣f（0）=﹣；当x=2，y=1时，4f（2）f（1）=f（3）+f（1），解得f（3）=f（2）﹣f（1）=﹣；当x=3，y=1时，4f（3）f（1）=f（4）+f（2），解得f（4）=f（3）﹣f（2）=﹣；当x=4，y=1时，4f（4）f（1）=f（5）+f（1），解得f（5）=f（4）﹣f（3）=；当x=5，y=1时，4f（5）f（1）=f（6）+f（4），解得f（6）=f（5）﹣f（4）=；当x=6，y=1时，4f（6）f（1）=f（7）+f（5），解得f（7）=f（6）﹣f（5）=；…6个一循环2015÷6=370余5f=f（5）=．故选：B．点评：本题考查函数值的求法，是中档题，解题的关键是推导出函数f（x）是周期为6的周期函数．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．）11．已知曲线y=x在点（1，1）处的切线为直线l，则l与两坐标轴所围成的三角形面积为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出函数的导数，求得在点（1，1）处的切线斜率，再由点斜式方程可得切线方程，再分别令x=0，y=0，再由三角形的面积公式，即可得到．解答：解：求导数可得y′=﹣，所以在点（1，1）处的切线斜率为﹣，切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），令x=0，得y=；令y=0，得x=3．所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3=，故答案为：．点评：本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，确定切线方程是关键．12．从区间内随机取出一个数x，从区间内随机取出一个数y，则使得|x|+|y|≤4的概率为．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：从区间内随机取出一个数x，从区间内随机取出一个数y，对应的区域是长方形，使得|x|+|y|≤4，落在矩形内的部分，分别求出面积，即可得出结论．解答：解：从区间内随机取出一个数x，从区间内随机取出一个数y，对应的区域面积为60，使得|x|+|y|≤4，落在矩形内的部分，如图所示，面积为2××（2+8）×3=30，∴所求概率为=．故答案为：．点评：本题主要考查几何概型的概率公式的计算，确定区域的面积是解决本题的关键．13．将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种1080（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：根据题意，先分组，再分配；先将6人按2﹣2﹣1﹣1分成4组，有种分组方法，再对应分配到四个不同场馆，有A44种方法，进而由分步计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，先将6人按2﹣2﹣1﹣1分成4组，有=45种分组方法，再对应分配到四个不同场馆，有A44=24种方法，则共有45×24=1080种方法；故答案为1080．点评：本题考查排列、组合的应用，注意本题的分组涉及了平均分组与不平均分组两类，要用对公式．14．已知函数f（x）=sin（2x+φ）（其中φ为实数），若f（x）≤|f（）|对x∈r恒成立，且sinφ＜0，则f（x）的单调递增区间是；（k∈Z）考点：正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由若f（x）≤|f（）||对x∈R恒成立，结合函数最值的定义，求得f（）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，结合sinφ＜0，易求出满足条件的具体的φ值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，即可得到答案．解答：解：若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，则f（）等于函数的最大值或最小值，即2×+φ=kπ+，k∈Z，则φ=kπ+，k∈Z，又sinφ＜0，令k=﹣1，此时φ=﹣，满足条件sinφ＜0，令2x﹣∈，k∈Z，解得x∈（k∈Z）．则f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．故答案为：（k∈Z）．点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、三角函数的单调性，其中解答本题的关键是根据已知条件求出满足条件的初相角φ的值．属于基础题．15．将自然数按如图排列，其中处于从左到右第m列从下到上第n行的数记为A（m，n），如A（3，1）=4，A（4，2）=12，则A（1，n）=；A（10，10）=181．考点：归纳推理．专题：计算题；推理和证明．分析：由题意，A（1，n）=1+2+…+n=，再求出A（1，10），即可求出A（10，10）．解答：解：由题意，A（1，n）=1+2+…+n=，∴A（1，10）==55，∴A（10，10）=55+10+11+…+18=181，故答案为：，181．点评：本题考查推理知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在平面直角坐标系xOy中，点P（，cos2θ）在角α的终边上，点Q（sin2θ，﹣1）在角β的终边上，且•=﹣．（1）求cos2θ；（2）求sin（α+β）的值．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．分析：（1）由点P、Q的坐标即、坐标，结合向量数量积坐标运算公式得θ的三角函数等式，再利用余弦的倍角公式把此等式降幂即可；（2）首先由余弦的倍角公式求出cos2θ，再根据同角正余弦的关系式求出sin2θ，即明确点P、Q的坐标，然后由三角函数定义得sinα、cosα、sinβ、cosβ的值，最后利用正弦的和角公式求得答案．解答：解：（1）∵，∴，∴，∴．（2）由（1）得：，∴，，∴，∴，，，，∴．点评：本题综合考查倍角公式、和角公式、同角三角函数关系、及三角函数定义，同时考查向量坐标的定义及向量数量积坐标运算．17．坛子中有6个阄，其中3个标记为“中奖”，另外三个标记是“谢谢参与”，甲、乙、丙三人份两轮按甲、乙、丙、甲、乙、丙的顺序依次抽取，当有人摸到“中奖”阄时，摸奖随即结束．（1）若按有放回抽取，甲、乙、丙的中奖概率分别是多少？（2）若按不放回抽取，甲、乙、丙的中奖概率分别是多少？（3）按不放回抽取，第一轮摸奖时有人中奖则可获得奖金10000元，第二轮摸奖时才中奖可获得奖金6000元，求甲、乙、丙三人所获奖金总额ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）按有放回抽取，利用已知条件能求出甲、乙、丙的中奖概率．（2）按不放回抽取，利用已知条件能求出甲、乙、丙的中奖概率．（3）依题设知ξ的所有可能取值为6000，10000，分别求出相应的概率，由此能求出甲、乙、丙三人所获奖金总额ξ的分布列和数学期望．解答：解：（1）按有放回抽取，甲中奖概率是：p1=+（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，乙中奖的概率是：p2=（1﹣）×+（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，丙中奖的概率是：p3=（1﹣）（1﹣）+（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=．（2）按不放回抽取，甲中奖概率是：p4=+（1﹣）（1﹣）（1﹣）×=，乙中奖的概率是：p5=（1﹣）×=，丙中奖的概率是：p4=（1﹣）×（1﹣）×=．（3）依题设知ξ的所有可能取值为6000，10000．且由题设，得：P（ξ=6000）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）×=，P（ξ=10000）==．故ξ的分布列为：ξ6000 10000PEξ=6000×+10000×=9800．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型．18．如图，四面体A﹣BCD中，AD⊥面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2，M是AD的中点，P是△BMD的外心，点Q在线段AC上，且=4．（Ⅰ）证明：PQ∥平面BCD；（Ⅱ）若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°，求四面体A﹣BCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ．根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQF是平行四边形，从而PQ∥OF，再由线面平行判定定理，证出PQ∥平面BCD；（Ⅱ）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH．根据线面垂直的判定与性质证出BM⊥CH，因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°．设∠BDC=θ，用解直角三角形的方法算出HG和CG关于θ的表达式，最后在Rt△CHG中，根据正切的定义得出tan∠CHG，从而得到tanθ，由此可得∠BDC，进而可求四面体A﹣BCD的体积．解答：解：（Ⅰ）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ∵△ACD中，AQ=3QC且DF=3CF，∴QF∥AD且QF=AD∵△BDM中，O、P分别为BD、BM的中点∴OP∥DM，且OP=DM，结合M为AD中点得：OP∥AD且OP=AD∴OP∥QF且OP=QF，可得四边形OPQF是平行四边形∴PQ∥OF∵PQ⊄平面BCD且OF⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD；（Ⅱ）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH∵AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，∴AD⊥CG又∵CG⊥BD，AD、BD是平面ABD内的相交直线∴CG⊥平面ABD，结合BM⊂平面ABD，得CG⊥BM∵GH⊥BM，CG、GH是平面CGH内的相交直线∴BM⊥平面CGH，可得BM⊥CH因此，∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°设∠BDC=θ，可得Rt△BCD中，CD=BDcosθ=2cosθ，CG=CDsinθ=2sinθcosθ，BG=BCsinθ=2sin2θRt△BMD中，HG==；Rt△CHG中，tan∠CHG===∴tanθ=，可得θ=60°，即∠BDC=60°，∵BD=2，∴CD=，∴S△BCD==，∴V A﹣BCD==．点评：本题在底面为直角三角形且过锐角顶点的侧棱与底面垂直的三棱锥中求证线面平行，并且在已知二面角大小的情况下求线线角．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，解直角三角形和平面与平面所成角求法等知识，属于中档题．19．甲、乙两超市同时开业，第一年的年销售额都为a万元，甲超市前n（n∈N+）年的总销售额为（n2﹣n+2）万元；从第二年开始，乙超市第n年的销售额比前一年的销售额多（）n ﹣1a万元．（Ⅰ）设甲、乙两超市第n年的销售额分别为a n，b n万元，求a n，b n的表达式；（Ⅱ）若在同一年中，某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购．若今年为第一年，问：在今后若干年内，乙超市能否被甲超市收购？若能，请推算出在哪一年底被收购；若不能，请说明理由．考点：数列与函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）假设甲超市前n年总销售额为S n，则S n=（n2﹣n+2）（n≥2），从而a n=，由此能求出b n=a．（n∈N*）．（2）当n=2时，a2=a，b2=a，有a2＞b2；n=3时，a3=2a，b3=a，有a3＞b3；当n≥4时，a n≥3a，而b n＜3a，故乙超市有可能被甲超市收购．由此能求出2020年年底乙超市将被甲超市收购．解答：解：（Ⅰ）假设甲超市前n年总销售额为S n，则S n=（n2﹣n+2）（n≥2），因为n=1时，a1=a，则n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2﹣n+2）﹣=a（n﹣1），故a n=，又b1=a，n≥2时，b n﹣b n﹣1=（）n﹣1a，故b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=a+a+（）2a+…+（）n﹣1a=a= a=a，显然n=1也适合，故b n=a．（n∈N*）．（2）当n=2时，a2=a，b2=a，有a2＞b2；n=3时，a3=2a，b3=a，有a3＞b3；当n≥4时，a n≥3a，而b n＜3a，故乙超市有可能被甲超市收购．当n≥4时，令a n＞b n，则（n﹣1）a＞an﹣1＞6﹣4•（）n﹣1．即n＞7﹣4•（）n﹣1．又当n≥7时，0＜4•（）n﹣1＜1，故当n∈N*且n≥7时，必有n＞7﹣4•（）n﹣1．即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，即2020年年底乙超市将被甲超市收购．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查在今后若干年内，乙超市能否被甲超市收购的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．20．已知椭圆=1（a＞b＞c＞0，a2=b2+c2）的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b﹣c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于（a﹣c）．（1）证明：椭圆上的点到点F2的最短距离为a﹣c；（2）求椭圆的离心率e的取值范围；（3）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长s的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；椭圆的应用．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），根据Q点到右准线的距离和椭圆的第二定义，求得x0的范围，进而求得椭圆上的点到点F2的最短距离（2）可先表示出|PT|，进而可知当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，根据≥（a﹣c）求得e的范围．（3）设直线的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联立方程组消去y得，根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，代入直线方程求得y1y2，根据OA⊥OB，可知=0，∴k=a，直线的方程为ax﹣y﹣a=0根据圆心F2（c，0）到直线l的距离，进而求得答案．解答：解：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），Q点到右准线的距离为d=﹣x0，则由椭圆的第二定义知：=，∴|QF2|=a﹣，又﹣a≤x0≤a，∴当x0=a时，∴|QF2|min=a﹣c．（2）依题意设切线长|PT|=∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，∴≥（a﹣c），∴0＜≤，从而解得≤e＜，故离心率e的取值范围是解得≤e＜，（3）依题意Q点的坐标为（1，0），则直线的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联立方程组消去y得（a2k2+1）x2﹣2a2k2x+a2k2﹣a2=0得，设A（x1，y1）（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=，代入直线方程得y1y2=，x1x2=+y1y2=，又OA⊥OB，∴=0，∴k=a，直线的方程为ax﹣y﹣a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d=，∴≤e＜•，∴≤c＜1，≤2c+1＜3，∴s∈（0，），所以弦长s的最大值为．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．21．记函数的导函数为f′n（x），函数g（x）=f n（x）﹣nx．（Ⅰ）讨论函数g（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若实数x0和正数k满足：，求证：0＜x0＜k．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；证明题；综合题．分析：（Ⅰ）由g（x）=（1+x）n﹣1﹣nx，可求得g′（x）=n，分n（n≥2）为偶数与n为奇数讨论导数的符号，即可求得其单调区间和极值；（Ⅱ）由可求得x0=，设分子为h（k）=（nk﹣1）（1+k）n+1（k＞0），可分析得到h'（k）＞0，从而h（k）＞h（0）=0，求得x0＞0；进一步可求得x0﹣k=＜0，从而得证0＜x0＜k．解答：解：（Ⅰ）由已知得g（x）=（1+x）n﹣1﹣nx，所以g′（x）=n．…①当n≥2且n为偶数时，n﹣1是奇数，由g'（x）＞0得x＞0；由g'（x）＜0得x＜0．所以g（x）的递减区间为（﹣∞，0），递增区间为（0，+∞），极小值为g（0）=0．…②当n≥2且n为奇数时，n﹣1是偶数，由g'（x）＞0得x＜﹣2或x＞0；由g'（x）＜0得﹣2＜x＜0．所以g（x）的递减区间为（﹣2，0），递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），此时g（x）的极大值为g（﹣2）=2n﹣2，极小值为g（0）=0．…（Ⅱ）由得，所以1+x0=，x0=…显然分母（n+1）＞0，设分子为h（k）=（nk﹣1）（1+k）n+1（k＞0）则h'（k）=n（1+k）n+n（1+k）n﹣1（nk﹣1）=n（n+1）k（1+k）n﹣1＞0，所以h（k）是（0，+∞）上的增函数，所以h（k）＞h（0）=0，故x0＞0…又x0﹣k=，由（Ⅰ）知，g（x）=（1+x）n﹣1﹣nx是（0，+∞）上的增函数，故当x＞0时，g（x）＞g（0）=0，即（1+x）n＞1+nx，所以1+k（n+1）＜（1+k）n+1所以x0﹣k＜0，从而x0＜k．综上，可知0＜x0＜k．…点评：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，突出转化思想与分类讨论思想的运用，突出构造函数的思想的应用，熟练掌握导数法研究函数的单调性与极值与最值是解决这类问题的关键，属于难题．。
山东省临沂市重点中学2015届高三上学期12月月考数学试卷(文科)(
山东省临沂市重点中学2015届高三上学期12月月考数学试卷（文科）一、选择题1．（3分）集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|y=lg（1﹣x）}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x≤1} B．{x|0≤x＜1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x＜2}2．（3分）已知平面向量共线，则|=（）A．B．C．D．53．（3分）已知等差数列{a n}满足a2=3，a n﹣1=17，（n≥2），S n=100，则n的值为（）A．8B．9C．10 D．114．（3分）给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确的命题的个数是（）A．4B．3C．2D．15．（3分）已知0＜a＜1，b＞1且ab＞1，则M=log a，N=log a b，P=log a．三数大小关系为（）A．P＜N＜M B．N＜P＜M C．N＜M＜P D．P＜M＜N6．（3分）对于平面α，β，γ和直线a，b，m，n，下列命题中真命题是（）A．若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥αB．若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b则a∥bC．若a∥b，b⊂α，则a∥αD．若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，则β∥α7．（3分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．πB．6πC．πD．π8．（3分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点（）个单位长度．A．向右平移B．向右平移C．向左平移D．向左平移9．（3分）圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0与直线2tx﹣y﹣2﹣t=0（x∈R）的位置关系（）A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能10．（3分）已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2二、填空题11．（3分）已知log2x+log2y=1，则x+y的最小值为．12．（3分）某人玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子，…，第n次走n米放2n颗石子，当此人一共走了36米时，他投放石子的总数是．13．（3分）若x、y满足条件，则z=x+3y的最大值是．14．（3分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为．15．（3分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，则f （1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=．三、解答题16．（12分）某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表．区间[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50]人数25 a b（1）求正整数a，b，N的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，T n＜m恒成立，求实数m的取值范围．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，=（cosA，cosC），=（c﹣2b，a），且⊥．（1）求角A的大小；（2）若a=b，且BC边上的中线AM的长为，求边a的值．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．20．（13分）已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．①若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；②若向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[，]时，求椭圆的长轴长的最大值．21．（14分）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，（i）求实数a的值；（ii）若对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．山东省临沂市重点中学2015届高三上学期12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|y=lg（1﹣x）}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x≤1} B．{x|0≤x＜1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x＜2}考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：利用二次不等式求出集合A，对数函数的定义域求出集合B，然后求解它们的交集．解答：解：集合A={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，B={x|y=lg（1﹣x）}={x|x＜1}，所以集合A∩B={x|0≤x＜1}．故选：B．点评：本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，对数函数的定义域，考查计算能力．2．（3分）已知平面向量共线，则|=（）A．B．C．D．5考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的共线和向量的模的定义即可求出．解答：解：∵向量，∴1×k﹣2×（﹣2）=0，∴k=﹣4．∴=3（1，2）+（﹣2，﹣4）=（1，2）．∴==．故选A．点评：熟练掌握向量的共线和向量的模的定义是解题的关键．3．（3分）已知等差数列{a n}满足a2=3，a n﹣1=17，（n≥2），S n=100，则n的值为（）A．8B．9C．10 D．11考点：等差数列的前n项和；等差数列．专题：计算题．分析：根据等差数列的前n项和的公式，写出求和等于100时的公式，整理出关于n的方程，写出n的值．解答：解：∵等差数列{a n}满足a2=3，a n﹣1=17，（n≥2），S n=100，∵100=，∴n=10故选C．点评：本题考查等差数列的前n项和公式，是一个基础题，题目的解决关键是看出数列中所给的两项恰好是前n项和的两项．4．（3分）给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确的命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1考点：命题的否定；正弦函数的单调性．专题：阅读型．分析：①若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得；③根据由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论即可；④在△ABC中，根据大边对大角及正弦定理即可进行判断．解答：解：①若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；故错；②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得，故命题“若a＞b，则2a＞2b ﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；正确；③根据由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论：“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1；故错；④在△ABC中，根据大边对大角及正弦定理即可得：“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．故正确．其中不正确的命题的个数是：2．故选C．点评：本题考查的是复合命题的真假问题、命题的否定、正弦函数的单调性等．属于基础题．5．（3分）已知0＜a＜1，b＞1且ab＞1，则M=log a，N=log a b，P=log a．三数大小关系为（）A．P＜N＜M B．N＜P＜M C．N＜M＜P D．P＜M＜N考点：对数值大小的比较．专题：计算题．分析：本题利用排除法解决．0＜a＜1，b＞1知M＞0．N＜0，P=﹣1＜0代入选择支检（C），（D）被排除；又ab＞1通过对数运算可知（A）被排除．从而得出正确选项．解答：解：0＜a＜1，b＞1知M＞0．N＜0，P=﹣1＜0代入选择支检（C），（D）被排除；又ab＞1⇒log a ab＜0⇒log a b+log a a＜0log a b＜﹣1，即log a b＜log b（A）被排除．故选B．点评：本题考查对数值的大小，考查对数的运算法则，考查指数函数和对数函数的性质是一个知识点比较综合的题目，注意分析题目中的大小关系．6．（3分）对于平面α，β，γ和直线a，b，m，n，下列命题中真命题是（）A．若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥αB．若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b则a∥bC．若a∥b，b⊂α，则a∥αD．若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，则β∥α考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：开放型；空间位置关系与距离．分析：A．利用线面垂直的判定定理即可判断出；B．利用两个平面平行的性质定理即可判断出；C．利用线面平行的判定定理即可判断出；D．利用面面平行的判定定理即可得出．解答：解：对于A，a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，m，n相交时，a⊥α，故不正确；对于B，α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，利用面面平行的性质，可得a∥b，故正确；对于C，a∥b，b⊂α，a⊄α时，a∥α，故不正确；对于D，a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，a，b相交时，β∥α，故不正确．故选：B．点评：本题综合考查了空间中的线面、面面平行于垂直的位置关系，属于基础题．7．（3分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．πB．6πC．πD．π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据三视图的数据求半圆柱与半圆锥的体积，再相加．解答：解：由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据图中数据可知圆柱与圆锥的底面圆半径为2，圆锥的高为2，圆柱的高为1，∴几何体的体积V=V半圆锥+V半圆柱=××π×22×2+×π×22×1=．故选C．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量．8．（3分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点（）个单位长度．A．向右平移B．向右平移C．向左平移D．向左平移考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：首先利用函数的图象求出周期，进一步利用函数周期公式求出ω，利用在x=函数的值求出Φ的值，最后通过平移变换求出答案．解答：解：根据函数的图象：求得：T=π进一步利用：当x=|φ|＜所以：φ=即函数f（x）=要得到f（x）=sin2x的图象只需将函数f（x）=向右平移个单位即可．故选：A点评：本题考查的知识点：利用函数的图象求函数的解析式，主要确定A、ω、Φ的值，函数图象的平移变换问题．9．（3分）圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0与直线2tx﹣y﹣2﹣t=0（x∈R）的位置关系（）A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：找出圆心坐标及圆的半径r，根据圆心到已知直线的距离d与圆的半径r比较大小，即可得到直线与圆的位置关系．解答：解：化圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，所以圆心（1，﹣2），半径r=3所以圆心（1，﹣2）到直线2tx﹣y﹣2﹣t=0的距离d==且d=＜=＜3=r，所以圆与直线的位置关系是相交．故选C点评：此题要求学生掌握判断直线与圆位置关系的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．10．（3分）已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题设条件，先设∠B2F1B1=60°，求出双曲线的离心率．再设∠F1B2F2=60°，求出双曲线的离心率．解答：解：设双曲线C的焦点坐标是F1和F2，虚轴两个端点是B1和B2，则四边形F1B1F2B2为菱形．若∠B2F1B1=60°，则∠B2F1F2=30°．由勾股定理可知c=b，∴a=b，故双曲线C的离心率为e==．若∠F1B2F2=60°，则∠F1B2B1=30°，由勾股定理可知b=c，不满足c＞b，所以不成立．综上所述，双曲线C的离心率为．故选：C．点评：解题时应该分∠B2F1B1=60°和∠F1B2F2=60°两种情况求出双曲线的离心率．解题时要注意a，b，c中c最大．二、填空题11．（3分）已知log2x+log2y=1，则x+y的最小值为2．考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由log2x+log2y=1，得出xy=2，且x＞0，y＞0；由基本不等式求出x+y的最小值．解答：解：∵log2x+log2y=1，∴log2（xy）=1，∴xy=2，其中x＞0，y＞0；∴x+y≥2=2，当且仅当x=y=时，“=”成立；∴x+y的最小值为．故答案为：2．点评：本题考查了对数的运算性质以及基本不等式的应用问题，解题时应注意基本不等式的应用条件是什么，是基础题．12．（3分）某人玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子，…，第n次走n米放2n颗石子，当此人一共走了36米时，他投放石子的总数是510．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：易得此人一共走了8次，由等比数列的前n项和公式可得．解答：解：∵1+2+3+4+5+6+7+8=36，∴此人一共走了8次∵第n次走n米放2n颗石子∴他投放石子的总数是2+22+23+…+28==2×255=510故答案为：510点评：本题考查等比数列的求和公式，得出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．13．（3分）若x、y满足条件，则z=x+3y的最大值是11．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+3y得y=，平移直线y=，当直线y=经过点A时，对应的直线的截距最大，此时z也最大，由，解得，即A（2，3），此时z=2+3×3=11，故答案为：11点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．14．（3分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为4．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆+=1，可得a2=6，b2=2，可得c=，可得右焦点F（c，0）．由抛物线y2=2px可得焦点．利用=c即可得出．解答：解：由椭圆+=1，可得a2=6，b2=2，∴c==2，∴右焦点F（2，0）．由抛物线y2=2px可得焦点．∴=2，解得p=4．故答案为：4．点评：本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（3分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，则f （1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0．考点：奇偶函数图象的对称性．专题：常规题型；计算题；压轴题．分析：先由f（x）是定义在R上的奇函数，结合对称性变形为，f（﹣x）=f（1+x）=﹣f（x）f（2+x）=﹣f（1+x）=f（x），再由f（0）=0求解．解答：解：f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，∴f（﹣x）=﹣f（x），，∴f（﹣x）=f（1+x）=﹣f（x）f（2+x）=﹣f（1+x）=f（x），∴f（0）=f（1）=f（3）=f（5）=0，f（0）=f（2）=f（4）=0，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0故答案为：0点评：本题主要考查函数的奇偶性及对称性以及主条件的变形与应用．三、解答题16．（12分）某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表．区间[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50]人数25 a b（1）求正整数a，b，N的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．专题：图表型；概率与统计．分析：（1）根据小矩形的高=，故频数比等于高之比，由此可得a、b的值；（2）计算分层抽样的抽取比例为=，用抽取比例乘以每组的频数，可得每组抽取人数；（3）利用列举法写出从6人中随机抽取2人的所有基本事件，分别计算总个数与恰有1人在第3组的个数，根据古典概型概率公式计算．解答：解：（1）由频率分布直方图可知，[25，30）与[30，35）两组的人数相同，∴a=25人．且人．总人数人．（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为，∴第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．（3）由（2）可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：（A，B），（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C2，C3），（C2，C4），（C3，C4），共有15种．其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），共有8种．所以恰有1人年龄在第3组的概率为．点评：本题考查了频率分布直方图及古典概型的概率计算，解答此类题的关键是读懂频率分布直方图的数据含义，小矩形的高=．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，T n＜m恒成立，求实数m的取值范围．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1即可得出；（II）由于==．可得数列{}的前n项和为T n=，由于任意n∈N*，T n，对任意的n∈N*，T n＜m恒成立，可得．解答：解：（I）当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，当n=1时适合上式，∴a n=2n﹣1．（n∈N*）．（II）∵==．∴数列{}的前n项和为T n=+…+=，∵任意n∈N*，T n，对任意的n∈N*，T n＜m恒成立，∴．∴实数m的取值范围是．点评：本题考查了递推式的意义、“裂项求和”、恒成立问题的转化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，=（cosA，cosC），=（c﹣2b，a），且⊥．（1）求角A的大小；（2）若a=b，且BC边上的中线AM的长为，求边a的值．考点：余弦定理的应用；平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：（1）通过向量的数量积以及正弦定理两角和与差的三角函数，求出A的余弦函数值，即可求角A的大小；（2）通过a=b，利用余弦定理，结合BC边上的中线AM的长为，即可求出边a的值解答：（本题12分）解：（1）由⊥，∴•=0（2b﹣）cosA=…（2分）所以（2sinB﹣）cosA=…（4分）∴2sinBcosA=，则2sinBcosA=sinB …（6分）所以cosA=，于是A=…（8分）（2）由（1）知A=，又a=b，所以C=（9分）设AC=x，则MC=，AM=，在△AMC中，由余弦定理得AC2+MC2﹣2AC•MCcosC=AM2…（11分）即x2+（）2﹣2x•，解得x=2，即a=2…（12分）点评：本题考查余弦定理的应用，向量的数量积的应用，三角形的解法，考查计算能力．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，利用三角形中位线的性质，可知EF∥PA，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）先证明CD⊥平面PAD，可得CD⊥PA，再证明PA⊥PD，可得PA⊥平面PCD，从而可得平面PAB⊥平面PCD．解答：证明：（1）连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，故在△CPA中，EF∥PA，…（2分）∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD…（6分）（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，所以，CD⊥平面PAD，∵PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA又，所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD又CD∩PD=D，∴PA⊥平面PCD，又PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD…（12分）点评：本题考查线面平行的判定，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（13分）已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．①若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；②若向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[，]时，求椭圆的长轴长的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：综合题．分析：（1）由椭圆的离心率为，焦距为2，求出椭圆的方程为．联立，消去y得：5x2﹣6x﹣3=0，再由弦长公式能求求出|AB|．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，知x1x2+y1y2=0，由，消去y得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0，再由根的判断式得到a2+b2＞1，利用韦达定理，得到a2+b2﹣2a2b2=0．由此能够推导出长轴长的最大值．解答：解：（1）∵，2c=2，∴a=，b=，∴椭圆的方程为．…（2分）联立，消去y得：5x2﹣6x﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴|AB|==•=．…（5分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴，即x1x2+y1y2=0，由，消去y得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0，由△=（﹣2a2）2﹣4a2（a2+b2）（1﹣b2）＞0，整理得a2+b2＞1…（7分）∵，，∴y1y2=（﹣x1+1）（﹣x2+1）=x1x2﹣（x1+x2）+1，∴x1x2+y1y2=0，得：2x1x2﹣（x1+x2）+1=0，∴，整理得：a2+b2﹣2a2b2=0．…（9分）∴b2=a2﹣c2=a2﹣a2e2，代入上式得2a2=1+，∴，…（10分）∵，∴，∴，∴，∴，∴适合条件a2+b2＞1．由此得，∴，故长轴长的最大值为．…（12分）点评：本题考查椭圆方程和长轴长最大值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量垂直的条件、韦达定理、根的判别式、弦长公式、椭圆性质等知识点的灵活应用．21．（14分）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，（i）求实数a的值；（ii）若对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的最大值；（Ⅱ）（ⅰ）求导函数，利用函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，可得x=1是函数g （x）的极值点，从而可求a的值；（ⅱ）先求出x1∈[[，3]时，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1；x2∈[[，3]时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=，再将对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价变形，分类讨论，即可求得实数k的取值范围．解答：解：（Ⅰ）求导函数可得：f′（x）=﹣2x+=﹣（x＞0）由f′（x）＞0且x＞0得，0＜x＜1；由f′（x）＜0且x＞0得，x＞1．∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．∴函数f（x）的最大值为f（1）=﹣1．（Ⅱ）∵g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．（ⅰ）由（Ⅰ）知，x=1是函数f（x）的极值点，又∵函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，∴x=1是函数g（x）的极值点，∴g′（1）=1﹣a=0，解得a=1．（ⅱ）∵f（）=﹣﹣2，f（1）=﹣1，f（3）=﹣9+2ln3，∵﹣9+2ln3＜﹣﹣2＜﹣1，即f（3）＜f（）＜f（1），∴x1∈[[，3]时，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1由（ⅰ）知g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．当x∈[，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，3]时，g′（x）＞0．故g（x）在[，1）为减函数，在（1，3]上为增函数．∵，g（1）=2，g（3）=，而2＜＜，∴g（1）＜g（）＜g（3）∴x2∈[[，3]时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=①当k﹣1＞0，即k＞1时，对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k≥[f（x1）﹣g（x2）]max+1∵f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣1﹣2=﹣3，∴k≥﹣2，又∵k＞1，∴k＞1．②当k﹣1＜0，即k＜1时，对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k≤[f（x1）﹣g（x2）]min+1 ∵f（x1）﹣g（x2）≥f（3）﹣g（3）=﹣，∴k≤．又∵k＜1，∴k≤．综上，所求的实数k的取值范围为（﹣∞，]∪（1，+∞）．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。