小学各年级奥数集13
交大之星-小学奥数精讲精练(五年级) 第十三章 简易方程 倍数问题
第十三章简易方程•倍数问题典型题训练1（难度等级★）例甲水池有水2800立方米，乙水池有水1200立方米。
甲水池要流出多少水给乙水池，才能使乙水池的水是甲水池的3倍？解设甲水池要流出x立方米的水给乙水池。
3（2800－x）＝1200＋x，x＝1800。
答：甲水池要流出1800立方米水给乙水池。
1．甲书架上有230本书，乙书架上有130本书。
要使甲书架上的书是乙书架上的3倍，应从乙书架上拿走多少本放到甲书架上？2．两袋大米同样重，第一袋吃去18千克，第二袋吃去25千克，余下的大米第一袋刚好是第二袋的2倍。
两袋大米原来分别重多少千克？3．甲、乙两人的存款相等，某日甲取出60元、乙存入20元，此时，乙的存款是甲的3倍。
两人原有存款分别为多少元？4．有两桶油，第一桶油的重量是第二桶油的1.5倍。
如果从第一桶中倒出4千克油加入第二桶中，两桶油重量相等。
第一桶油和第二桶油原来分别有多少千克？典型题训练2（难度等级★★）例甲、乙两人共有10000元，甲用去2000元，乙用去500元，乙剩下的钱比甲剩下的钱的2倍多300元。
甲、乙两人原来分别有多少元？解设甲剩下x元，则乙剩下（2x＋300）元。
x＋2x＋300＝10000－2000－500，x＝2400，2x＋300＝5100。
2400＋2000＝4400（元），10000－4400＝5600（元）。
答：甲、乙两人原来分别有4400元和5600元。
1．有两条绳子，长绳的长度是短绳的2.5倍，如果从这两条绳子上各剪去30米，则长绳剩下的长度是短绳剩下长度的4.5倍。
短绳和长绳原来分别有多长？2．甲、乙两人加工零件，甲比乙每天多加工6个零件，乙中途休息了15天，40天后，乙所加工的零件个数正好是甲的一半。
甲、乙两人每天分别加工多少个零件？3．某市举行数学竞赛，得二等奖的人数比得一等奖的2倍少40人，得三等奖的人数比得二等奖的3倍多80人。
如果得三等奖人数比得一等奖的多560人，得一、二、三等奖的分别有多少人？4．甲停车点有222辆电动车，乙停车点有48辆电动车。
高斯小学奥数六年级下册含答案第13讲_组合综合练习
21. 答案：1006．解答： 每连续 8 个数中， 最多能取 4 个． 2010 8 251L 2 ，所以从 1 到 2008 中，最多可以取出 1004
个数，再加上 2009 和 2010，所以最多能取出 1006 个数．
22. 答案：7．解答：不妨设是按竖直方向剪开（剪开线为图
开了．剪开后，得到 7 块长方形．
第十三讲 组合综合练习
【学生注意】 本讲练习满分 100 分，考试时间 70 分钟．
一、填空题 Ⅰ（本题共有 8 小题，每题 6 分）
1. 箱子里有 7 个红球、 8 个白球和 9 个蓝球，从中摸出 ______个球，才能保证每种颜色的球都至少有 一个．
2. 三位老师对四位同学的竞赛结果进行了预测． 邹老师说：“墨莫第一， 卡莉娅第四． ”李老师说：“萱 萱第一，小高第三． ”杨老师说： “卡莉娅第二，萱萱第三． ”结果四位同学都进入了前四名，而三 位老师的预测各对了一半，那么萱萱是第 ________名．．
萱萱第四；情形二： “卡莉娅第四”是对的，则萱萱第三，于是李老师说的两句话都是错的，矛盾．所以只能是情
形一，萱萱是第四名
3. 答案： 13．解答：所得的和数一定是 3 的倍数，最小是 6，最大是 42，中间的 3 的倍数也都能得到，所以一共有
42 6 3 1 13 个不同的和．
4. 答案： 111．解答：“ 5 啤酒瓶 =1 啤酒瓶 +1 酒”，所以“ 1 酒 =4 啤酒瓶”．由 89 4 22L 1 ，说明 89 个啤
4 升的水，那么至少要从河中取水
_______ 次．
10. 邮递员送信件的街道如图所示， 每一小段街道长 1 千米． 如果邮递员从邮局出
发，必须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走
小学五年级奥数(上)第十三单元 分解质因数(仁华版)
我们来看引入时的问题吧
• 例2、五年级（1）班的小丽参加了区钢琴比赛， 回来后，同学们问她的名次和分数，她告诉大家： “我的名次乘以我的年龄再乘以我的分数，恰好 是2328分。”你能猜到她的名次和分数吗？ • 分析：由题意知：名次、年龄、分数都是2328的 因数。 因为小丽是五年级的学生，她 的年龄不可能是2、3、4、6、8、 • 解：2328＝2×2×2×3×97 岁，也不可能是24岁，因此， 小丽的年龄是12岁。 • ＝2×12×97 • 答：她取得的名次是第二名，分数是97分。
• 2、质数与合数： • 像2＝1×2，3＝1×3，5＝1×5，7＝ 1×7，11＝1×11，13＝1×13这样，如果 一个数只有1和本身两个因数，这个数就叫 做质数。 • 像4＝1×4＝2×2，6＝1×6＝2×3， 15＝1×15＝3×5这样，一个数除了1和本 身，还有其它的因数，就叫做合数。 • 特别的，1既不是质数，也不是合数。 • 你能再写出几个质数吗？ 。
（二）分解质因数的方法
• • • • • 1、逐步分解法： 72 ＝8×9 ＝2×4×3×3 ＝2×2×2×3×3
72
∕
8
＼
9
∕ ＼
2 4
∕ ＼
3 3
∕＼
2 2
分解质因数的方法
• 2、短除法： • ∣72 2 • ∣36 2 • ∣ 18 2 • ∣9 3 • 3
我们还以72为例 子说明怎样用短除法 来分解质因数：
小学二年级奥数第十三讲 猜猜凑凑
第十三讲猜猜凑凑有些数学题可以用猜猜凑凑的方法求出答案．猜，很难一次猜中；凑，也不一定凑得准．那不要紧，再猜再凑，对于比较简单的问题，最后总能凑出答案来．数学家说，猜猜凑凑也是一种数学方法，它的正式的名字叫“尝试法”．有时，它还是一种极为有效的方法，数学上的有些重大的发现往往都是大数学家们大胆地猜出来的．猜，要大胆；凑，要细心．要知道猜的对不对，还要根据题目中的条件进行检验．例1小明心中想到三个数，这三个数的和等于这三个数的积，你知道小明想的三个数都是什么吗？解：猜——小明想的三个数是1、2、3．检验：1+2+3=61×2×3=6所以 1+2+3=1×2×3对了！解：猜——由△+□=3可猜△=1，□=2；又由△+○=4可猜△=1，○=3；检验：□+○=2+3=5，对了！所以△=1，□=2，○=3．例3 一些老人去赶集，买了一堆大鸭梨，一人一梨多一梨，一人两梨少两梨，问几个老人几个梨？解：猜——可以先从小数猜起．2个老人3个梨．检验：2个老人3个梨符合一人一梨多一梨的条件．但是不是符合另一个条件呢？先看：若一人分两个梨，2个老人就需要有4个梨，因为假设3个梨，这样就会还少4-3=1个梨，这不符合少两梨的条件．再猜：若是3个老人4个梨呢？显然这符合第一个条件．再看第二个条件是不是也符合呢？若是一个老人分2个梨，3个老人就需要有6个梨，假设有4个梨，这样就少6-4=2个梨，对了！所以最后答案就是3个老人4个梨．例4 100个和尚分100个馒头，大和尚每人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头，恰好分完．问大和尚、小和尚各多少人？解：这是一道古代的算题．猜——若是大和尚33人，就要分3×33=99个馒头，还剩100-99=1（个）馒头，分给3个小和尚，这样和尚总人数为33+3=36人，与已知有100个和尚不符，不对！大和尚的人数减少些．若是有30个大和尚，分3×30=90个馒头，还剩10个馒头，可以分给3×10=30个小和尚，这样和尚总数是30+30=60人．还必须减少大和尚的人数．若是有25个大和尚，分3×25=75个馒头，还剩100-75=25个馒头，可以分给3×25=75个小和尚．这样和尚总数是25+75=100人，对了．所以答案是大和尚25人，小和尚75人．例5 甲、乙、丙三个小朋友在操场跑步．甲2分钟跑一圈，乙3分钟跑一圈，丙5分钟跑一圈．如果他们三人同时从同一起点起跑，问多少分钟后他们三人再次相遇？解：猜与凑．先猜过6分钟后，甲跑了3圈，乙跑了2圈，他们在起跑点又相遇了．再看丙是否与他俩相遇呢？丙5分钟跑一圈，6分钟跑了1圈多一点，错过了，丙没能与甲、乙相遇在一起．若再过6分钟，即12分钟后，甲和乙又相遇了．但是丙还不能与甲、乙相遇；因为：12÷5=2（圈） (2)即丙跑了2圈又多一些．这样，已看出一个规律来了，能够估计出若起跑后经过5个6分钟，即6×5=30分钟，这时丙跑了30÷5=6圈整，这样丙就能够与甲、乙相遇了．例6 有人问孩子年龄，回答说：“比父亲的岁数的一半少9岁”．又问父亲年龄，回答说：“比孩子的岁数的3倍多3岁”．求父亲和孩子的年龄各是多少岁？解：猜猜凑凑——要找到对题中的两句话都适合的年龄．先猜父亲40岁，则儿子年龄是：40÷2-9=20-9=11（岁）检验父龄：11×3+3=33+3=36岁，不对！再猜父亲42岁，则儿子：42÷2-9=21-9=12（岁）检验父龄：12×3+3=36+3=39（岁），不对！再猜父亲44岁，则儿子：44÷2-9=22-9=13岁检验父龄：13×3+3=39+3=42岁，不对！再猜父亲46岁，则儿子：46÷2-9=23-9=14岁检验父龄：14×3+3=42+3=45岁，不对！再猜父亲48岁，则儿子：48÷2-9=24-9=15岁检验父龄：15×3+3=45+3=48岁，对了！所以答案是：父亲年龄48岁，儿子年龄15岁．习题十三1．林林心里想到三个数，它们的和是12，又知道第二个数比第一个大1，第三个又比第二个大1．请猜出林林心中想的这三个数各是几？2．一群老头去赶集，买了一堆大鸭梨，一人一梨多一梨，一人2梨少3梨，几个老头几个梨？3．图13－2中算式里的小动物各代表什么数？需要注意的是有规定：相同的动物代表相同的数字，不同的动物代表不同的数字．4．游泳池中男孩戴蓝帽，女孩戴红帽．一个男孩说：“我看见的蓝帽与红帽一样多”；一个女孩说：“我看见的蓝帽比红帽多一倍．”你知道游泳池中有几个男孩，有几个女孩吗？5．如果在一个小本子里每页贴一片树叶，就多出4片树叶．如果在每页贴2片树叶就会空出6页．问这个小本子共多少页，树叶有多少片？6．小虎是趣味数学小组的成员．有人问小虎今年几岁，他编了一道有趣的数学题回答说：“爷爷、爸爸和我，三个人年龄的和是120岁，爷爷比爸爸大30岁，爷爷和爸爸的年龄之和刚好比我大100岁，你猜我今年几岁？”请猜出小虎、爸爸和爷爷各是多少岁？7．图13－4所示的方格中，已填好了数字5，请你把其余的空格填好．使每行每列的三个数之和都是7．（空格中只能填自然数）8．有21个装铅笔的盒子，其中7盒是满的，7盒是半满的，7盒是空的．现在要把这些铅笔连同盒子平均奖给三个学生，使每人分得的铅笔和盒子数都一样多，怎样分？提示：①总数是21个盒，每人应当平分7个盒．②7盒满的等于14盒半满的铅笔，再加本来就是半满的7盒，合计共有21个半满盒铅笔，平均分给三人，每人分得的铅笔应折合成7个半满盒．习题十三解答1．解：因为三个4之和是12，可见这三个数应该都与4相差不多．猜想，第一个是3，第二个数应当是4，第三个数应当是5．检验：3+4+5=12，对了！2．解：猜想是3个老头4个梨．这样，若每个人分2个梨时，就需要有2×3=6个梨，6-4=2，少2个梨，不对！若再凑一下数，减去1个梨，即只有3个梨，不就是少三个梨了吗！但是这样又不符合一人一个多一个的条件了．那么再猜若是4个老头5个梨，一人分2个，需要有2×4=8个梨，还少8-5=3个梨，对了！3．解：先看第一式：因5=1+4=2+3，所以先猜公鸡=1，鸭=4；再看第二式：因为鸭=4，只有母鸡=4才能使第二式成立，但是这不符合题目规定的条件，说明猜错了！再猜，公鸡=2，鸭=3，那么母鸡=5第二式也对了．再看第三式：这里母鸡和公鸡相加，即5+2=7，对了！4．解：先要仔细审题，搞清题意．这道题中有一个隐含的条件是：无论是那个男孩还是那个女孩，他们自己都看不见自己的帽子是什么颜色．明白了这点，就不难知道，当男孩说：“我看见的蓝帽与红帽一样多”时，实际上游泳池中的蓝帽比红帽多一个，也就是男孩比女孩多1人．由同样的道理可知，当女孩说：“我看见的蓝帽比红帽多一倍”时，实际上就是，假如女孩去掉1个人，男孩人数就是女孩的2倍．把题意搞清后，再用猜猜凑凑的方法，不难得到正确的答案：男孩4人，女孩3人．5．解：猜——如果小本子有10页，那么由第一个条件，就应该有10+4=14片树叶．再看看能不能满足第二个条件：若每页贴2片树叶，14片树叶需要14÷2=7页就够了，还空10-7=3页，不符合题目中空6页的条件．再猜——如果小本子有12页，树叶12+4=16片，当每页贴2片树叶时，只需要16÷2=8页就够了，还空12-8=4页，也不对！再猜——如果小本子有14页，则树叶14+4=18片，当每页贴2片树叶时，只需要18÷2=9页就够了，还空14-9=5页，也不对！再猜——如果小本子有16页，树叶16+4=20片时，只需要20÷2=10页就够了，还空16-10=6页，对了！所以本题答案是小本子16页，树叶20片．注意，在这道题的猜猜凑凑的过程中，得数越来越接近答案．6．解：猜，需要有一般的生活常识，猜的数要大致上符合人们的生活实际．先猜——爷爷80岁，爸爸30岁，小虎10岁，这样三个人年龄之和就是120岁，这符合第一个条件，看能不能满足第二个条件“爷爷比爸爸大80-30=50岁，不符合30的条件，不对！再猜——若是爷爷70岁，爸爸40岁呢？这样三个人的和还是120岁，但是70-40=30岁符合刚才的第二条．再看能不能符合第三个条件呢？70+40-10=100岁对了！爷爷和爸爸的年龄之和比小虎的年龄刚好大100岁．所以最后答案是爷爷70岁，爸爸40岁，小虎10岁．7．解：注意对这道题，猜要有个合理的顺序．显然第二列上，第一、二行的两个空格都应填1，同样第三行上，第一、三列的两个空格也都应填1．为了使每行每列的三个数之和都是7，最简单的填法是其余的4个空格都填3．这就是一种符合要求的填法．8．解：①经仔细审题，按题意画出下表：②经猜测、试填，同时联系第7题，可填得出符合条件的分配方法．注意：由第7、8两题联系起来可看出，猜和凑的过程和已经学过的知识相结合，就能较快地、较准确地猜出正确的答案了．。
小学二年级奥数 第13讲：图形数一数
【本讲总结】 规则图形
2
图形数一数
同学们，你们能一眼找到下图中的10个人头吗？
【例2】(★★★) 数一数，下图中共有多少个长方形？
【拓展】(★★) 数一数，下图中共有多少个长方形？
【例1】(★★) 数一数，下图中有多少条线段？
【拓展】(★★) 数一数，下图中有多少个角？
【例3】(★★★) 数一数，下图中共有多少个三角形？
【拓展】(★★) 1
【例4】(★★★★) 下图中一共有多少个三角形？
【例5】(★★★★) 数一数，图中共有多少个正方形？
【例6】(★★★★) 下图中有多少个正方形？
【拓展】(★★★★) (2008 年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛) 数一数图中有多少个正方形。
一、核心点：先观察 二、要求： 有序、全面 三、基本方法：
高斯小学奥数六年级上册含答案第13讲概率初步
第十三讲概率初步日常生活中，我们经常会遇到一些无法事先预测结果的事情，比如抛掷一枚硬币出现正面还是反面，明天会不会下雨，欧洲杯谁会夺冠等，这些事情我们称作随机事件，它们的结果都有不确定性，是无法预知的.尽管无法预知结果，但有时我们可以根据一些迹象或者经验了解结果发生的可能性的大小，例如：今天乌云密布，那么明天很有可能下雨；中国足球队参加世界杯夺冠的可能性非常小；一次投掷10枚硬币，出现10个正面的可能性非常小.为了能够更准确的描述这种“可能性的大小”，法国数学家费马和帕斯卡在17世纪创立了概率论，把对随机事件的研究上升到一门科学. （当时他们通过信件讨论了社会上的两个热点问题一一掷骰子问题和比赛奖金分配问题）概率基本概念概率反应了一个随机事件结果发生的可能性，例如：投掷一枚硬币，正面和反面出1现的可能性相同，所以概率均为丄；投掷一个骰子，每种点数出现的可能性相同，所1 2 以概率均为-•6|概率是0~1之间用来表示事件可能性大小的一个数值. 冷1 关于概率，大家要有一个正确的认识，投掷1枚硬币，正面出现的概率为 -，并1 2 不是说投掷2次一定会有1次正面，而是说每次扔都有可能性出现正面.2虽然投掷2次硬币，不见得正面会出现一半，但是，投掷次数越多，正面出现的比例越接近一半（例如无论谁投掷10000次硬币，正面出现的比例都会很接近0.5）.（这个特点在概率论中被称为大数定律）换言之，概率可以展示出大量重复实验结果的规律性.基于此，在17世纪概率刚创始的年代，人们提出了古典概率模型.古典概率模型古典概率模型是最简单的概率计算模型，它的想法非常简单，用“条件要求的情况总量”除以“全部情况数量”即可.某一随机事件发生的概率它所部等可等可况的况数量12反”但概率都不是 -，因为这3种结果出现的可能性不同，给硬币编上A和B,那3么出现1正1反有两种情况“A正B反、A反B正”而2正和2反都只有1种情况（投掷2枚硬币共4种情况）.而例6和例2是相同的题目（把红球换成男生，白球换成女生即可）从这3个例子可以看出，在计算概率时，不能简单的看有几种最终结果，因为结果必须是“等可能”才行（例4的结果只有红球和白球两种，但概率显然不相等）•为了计算“等可能”的结果，一个简单方法是给每个物体编号，例如例4,假设红球是1号到10号，白球是11号，那么显然共有11种不同取法，其中有10种取到红球，所以概率是10.11等可能4.从10个红球、5. 投掷两枚硬币,1反的概率是-.46. 从3个红球、1个白球中，随意的取出1个球，取到红球的概率是1出现2个正面的概率是 -，出现1正1反的概率是41011 •1—，出现2232个白球中，随意取出2个球，取到2个红球的概率是 -.10例4比较简单，在例5中，从硬币的结果看，只有3种情况一一“2正、1正1反、例题1. 4个男生、2个女生随机站成一排照相，请问：（1）女生恰好站在一起的概率是多少?（2）女生互不相邻的概率是多少？（3）男生互不相邻的概率是多少？「分析」对于排队问题大家还记得“捆绑”和“插空”法吗？练习1、关羽、张飞、赵云、黄忠、马超随机的站成一行上台领奖，请问：（1）关羽站在正中间的概率是多少？（2）关羽和张飞相邻的概率是多少？（3）关羽和张飞中间恰好隔着一个人的概率是多少？例题2. 一个不透明的袋子里装着2个红球，3个黄球和4个黑球•从口袋中任取一个球，请问：（1）这个球是红球的概率是多少？（2）这个球是黄球或者是黑球的概率是多少？（3）这个球是绿球的概率是多少；不是绿球的概率是多少？「分析」首先计算一下取球的总的情况数，再计算问题要求的取球情况数.练习2、北京数学学校从集训队中随机选出3个人去参加比赛，已知集训队中共有4 个男生、3个女生，请问：（1）选出3个男生的概率是多少？（2）选出2男1女的概率是多少？例题 3. 一次投掷两个骰子，请问：（1）两个骰子点数相同的概率是多少？（2）两个骰子点数和为5 的概率是多少？（3）两个骰子点数差是1 的概率是多少？「分析」骰子是一个正方体，每个面上的点数从 1 到6，可以按题目要求枚举一些情况，根据枚举结果总结规律计算最后答案．练习3、一次投掷3 枚硬币，请问：（1）出现3 个正面的概率是多少？（2）出现1 正2 反的概率是多少？例题4. 两个盒子中分别装有形状大小相同的黑球、白球和黄球各1 个，现在从两个盒子中各取一个球，那么它们同色的概率是多少？不同色的概率是多少？「分析」任取两球它们颜色的可能情况有多少种？其中有多少同色情况？练习4、一个不透明的袋子里装着2 个红球、3 个黄球和4 个黑球．从中任取两个球，请问：取出2 个黑球的概率是多少？取出1 红1 黄的概率是多少？取出1 黄1 黑的概率是多少？概率的独立性如果两个或多个随机事件的结果互不影响，则称它们相互独立，例如： A 买彩票是否中奖和 B 买彩票是否中奖是独立的；甲考试能否及格和乙考试能否及格是独立的；如果两个随机事件相互独立，那么它们同时发生的概率是它们单独发生概率的乘积．例题5. 神射手和神枪手两人打靶，已知他们的命中率分别为0.8和0.9，他们每人开一枪，那么他们都命中的概率是多少？都没命中的概率是多少？「分析」理解概率独立性，根据独立性解题即可．需要分步计算的概率问题有些随机事件，在发生时有先后顺序，这时在计算概率时需要分步计算，这时只要把每步的概率算出来，然后相乘即可，例如：一个盒子中装有形状大小相同的黑球和白球各2个，从中先取出1个球,1 然后从剩下的球中再取出一个，那么第一次抽到黑球的概率是石，第二次抽到黑球的概率是-，所以两次都抽到黑球的概率是1丄丄•3 2 3 6在分步拿球的问题中，大家还要注意“ 无放回拿球”和“有放回拿球” 的区别，它关系到每步的概率计算结果•例如：一个盒子中装有形状大小相•同的黑球和白球各2个，从中先取出1个球，然后把它放回去，再从盒子中111取出一个，那么两次都抽到黑球的概率是2 2 4 -例题6. 3个人进行抽签，已知3个签中只有一个写有“中奖”，3个人先后抽取，那么第一个抽和第二个抽的中奖概率哪个大？「分析」分步计算概率即可.小概率事件之买彩票彩票市场产生于16 世纪的意大利，从古罗马、古希腊开始，即有彩票开始发行．发展到今天，世界上已经有139 个国家和地区发行彩票，规模比较大的国家和地区有美国、西班牙、德国、日本、法国、英国、意大利、加拿大、希腊、巴西、泰国、香港、韩国、新加坡、印度、挪威、比利时、澳大利亚、新西兰、南非、俄罗斯、保加利亚等．发行彩票集资可以说是现代彩票的共同目的．各国、各地区的集资目的多种多样，社会福利、公共卫生、教育、体育、文化是主要目标．以合法形式、公平原则，重新分配社会的闲散资金，协调社会的矛盾和关系，使彩票具有了一种特殊的地位和价值．目前，彩票的种类随着社会的发展而发展．在不断追求提高彩票娱乐性的过程中，彩票类型已经从以传统型彩票为主发展到传统型彩票、即开型彩票和乐透彩票等多种彩票并存的局面．2011 年，全国彩票销售规模首次突破了2000 亿元，达到2215 亿元，彩票公益金筹集量达634亿元．1987 年到2011年，我国累计销售彩票达10951亿元，累计筹集彩票公益金3433 亿元．在我国有两个彩票发行机构，进而形成了以下彩票：福利彩票：福利彩票是指1987 年以来由中国福利彩票管理中心发行的彩票．福利彩票早期有传统型彩票和即开型彩票，近年来主要有即开型彩票（如刮刮乐）、乐透型彩票（如双色球、36选5）和数字型彩票（如3D）三种，后两种均是电脑型彩票.体育彩票：体育彩票是指由1994 年3 月以来由中国体育彩票管理中心发行的彩票．其种类主要有即开型彩票（如顶呱刮）、乐透型彩票（如大乐透、22 选）.截止到2013 年世界上中得彩票最大额为一个美国80 多岁的老太太，独中5.9 亿美元.作业1. 在一只口袋里装着4个红球，5个黄球和6 黑球．从口袋中任取一个球，请问：（1）这个球是红球的概率有多少？（2）这个球是黄球或者是黑球的概率有多少？（3）如果从口袋中任取两个球出来，取到两个红球的概率是多少？2. 小高与墨莫做游戏：由小高抛出3 枚硬币，如果抛出的结果中，有2 枚或2 枚以上的硬币正面朝上，小高就获胜；否则就墨莫获胜．请问这个游戏公平吗？3. 神射手和神枪手两人打靶，已知他们的命中率均为0.3，他们每人开一枪，那么他们都命中的概率是多少？都没命中的概率是多少？4. 连续抛掷2 个骰子．如果已知点数之和大于9，那么点数之和是12 的概率有多大？5. 6 名小朋友在操场上做游戏．他们被老师分成3组，每组2个人．请问：赵倩和孙莉恰好分到了同一组的概率是多少？一样的，所以这个游戏是公平的 .例题:例1.答案：(1) 1 ; (2) ；( 3) 033详解：若没有任何要求共有 A 6种排法，（1）捆绑法：两个女生捆绑当作一人和其他4名男生一起排队共A 55种排法，两个女生可互换位置，所以女生站一起的概率是1-；（2）总的情况去掉（1 ）问的情况的即可，所以3可以；（3）男生无法互不相邻，所以该问概率为 0.例2.答案：（1） 2; (2) 7;(3) 0、19 9详解：共有9个球每个球都有可能被取到（1）红球的数量是2个，所以取到红球的概 率是2 ; （2）排除法可得：2 7 1 - - ; （ 3）没有绿球，所以绿球出现的概率是 0.一定99 9不是绿球，概率是1 .例3.答案：（1） 1 ; (2) 1 ; (3)色69 18详解：（1）两个骰子点数共有 6 6 36种情况，其中相同的情况有 6种，所以概率为-6（2）和为5可以是1+4、2+3、3+2、4+1，共四种，概率为1 , （3）按第一个骰子的点9数分类，第一个骰子点数为 1~6时，第二骰子的点数依次有 1、2、2、2、2、1种情况所以概率为—•18例4.答案：1 ; 233详解：两个盒子各取一个球放在一起有3 X 3=9种取法，同色的情况有黑黑、白白、黄黄三种，所以，同色概率为三分之一，不同色为1 --=-.3 3例5.答案：0.72; 0.02详解：他们都命中的概率是他们分别命中的概率的乘积，即 0.8 0.9 0.72 ;都没命中的概率是他们分别没命中的概率的乘积，即0.1 0.2 0.02 .例6.答案：一样大详解：先计算第一个人的中奖概率为 1 ,再计算第二个人中奖的概率， 首先第一个人要3 没有中奖概率为-，此时第二个人抽中的概率为-，所以，第二个人中奖的概率为3 2第十三讲概率初步1 21 --，该问用插空法也3 32 112丄丄，综上，两个人中奖的概率一样大.3 2 3练习：1. 答案：0.2; 0.4; 0.3简答：A4A5 0.2 ；（A： A2）A 0.4 ；（c3 A A3） A 0.3.2. 答案：上；兰35 35简答：共有七人选出3人的的选法总数是C；7 6 535种，（1）选出3男有43 2 1种选法，所以，概率为4 35 —；（2）2男有6种选法，1女有3种选法，2男135女共有18种选法，所以，概率为I8.353. 答案：-；38 8简答：（1）每枚硬币出现正面的概率为-,3个正面的概率是1111 , （2）2 2 2 2 8 投掷3枚硬币可能的情况有：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反，共8种，其中1正2反的次数是3次，所以，概率为？.84. 答案：1；1；16 6 3简答：任取2球，取法总数为C9236种，其中2黑的取法有C426种，1红1黑取法有2X 3=6种，1黄1黑有3 X 4=12种，所以，概率为1, 1 , 1 .6 6 3作业：4 11 26. 答案：（1）；（2）；（3）15 15 35简答：（1）任取一个球，全部情况的数量是15，取到红球的数量是4,所以概率是 -；1511（2）取到黄球或黑球的数量是11,所以概率是；（3）任取两个球，全部情况的数152 2 2量是氏105，取到两个红球的数量是C26，所以概率是6 105 -357. 答案：公平1简答：每枚硬币正面朝上与反面朝上的概率都是，按照这个游戏规则，小高获胜的2111111311概率是：c2 —————一 ___ ，墨莫获胜的概率是3222222882111 111 3 1 1C3-1 1 1 1 1 31 1，这个游戏对于小高和墨莫来说，获胜的概率都是2222228828.答案：0.09 ; 0.49简答：0.3 0.3 0.09 ；0.7 0.7 0.49 .19. 答案：—6简答：点数和大于9 的情况有 6 种：（4，6）、（5，5）、（5，6）、（6，4）、（6，5）、（6,16）.其中和为12的概率为二.610. 答案：1/5简答：赵倩与其它另一位同学分到一起的概率都是1/5，所以赵倩与孙莉分到一起的概率是1/5.古典概型中，第一个重要条件是“全部情况的数量是有限个”，下面我们先用几个简单例子来看一下古典概型的用法：1. A、B、C排成一排，共有6种排法，其中A占排头的方法共2种，所以A站排1头的概率是* 1 2 3 * 5.32 .从3个男生、2个女生中，随意选出2个人去参加数学竞赛，共有10种方法,3其中选出2个男生的方法数有3种，所以选出2个男生的概率是一.103. 3个男生、2个女生站成一排照相共有120种站法，其中女生互不相邻的站法3共72种，所以3男、2女站成一排，女生互不相邻的概率是-.5上面的例子都比较简单，因为计算概率所需要的两个数都非常好算，接来下我们再看几个例子，从这几个例子中，大家要能体会到古典概型的第二个重要条件一样的，所以这个游戏是公平的.。
高斯小学奥数五年级下册含答案第13讲_沙漏与金字塔
第十三讲沙漏与金字塔- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -观察故事中的第4幅图，太阳照下来在桌面上形成一个圆形的亮斑，如图1所示，我们将图形抽象成三角形，如图2所示．观察一下，这个图形与生活中的什么东西比较像？对了，沙漏！今天，就让我们来学习一下有关“沙漏”的知识．沙漏有一个必要条件：线段AB 平行于线段CD ，如图2所示．在沙漏中，我们总结出了如下性质：这就是我们今天要研究的平行线间的比例关系——即沙漏形三角形间的比例关系，简称沙漏．例题1．如图所示，梯形ABCD 的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？ 分析：图中给出的是一个梯形，梯形的上底和下底是平行的，你能找到平行线间的沙漏吗？如何利用这个沙漏呢？练习1．如图所示，梯形的面积是48平方厘米，下底是上底的3倍，求阴影部分的面积．图2A C图1A BC- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -在沙漏模型中，各线段的长度有比例关系，各区域的面积也有比例关系．如图所示，如果沙漏形的上下底之比为a :b ，四个三角形的面积之比为a ²:ab :ab :b ²．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题2．如图，平行四边形ABCD 的面积是90．已知E 点是AB 上靠近A 点的三等分点，求阴影部分的面积．分析：图中有没有沙漏形？它的上底与下底之比是多少？ 练习2．如图，正方形ABCD 的边长是6，E 点是BC 的中点．求△AOD 的面积．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -寻找沙漏的时候，一定把握住一点：平行线．题目中如果出现了平行线，那么只要找到平行线间的相交线就可以找到沙漏．同学们在做题的过程中一定要用心体会这一点．小故事沙漏沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．西方沙漏由两个玻璃球和一个狭窄的连接管道组成．利用上面的玻璃球的沙子穿过狭窄管道流入底部玻璃球所花费的时间来对时间进行测量．一旦所有的沙子都已流到底部玻璃球，该沙漏就可ABCD EOABCD EO以被颠倒以重新测量时间了．一般的沙漏有一个名义上的运行时间1小时．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题3．如图所示，边长为8厘米和12厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影部分的面积． 分析：图中有很多组平行线，那么这些平行线就构造出很多沙漏，你能找出这些沙漏吗？那么想求阴影部分的面积，该利用哪一个沙漏呢？练习3．如图所示，图中的两个正方形的边长分别是10和6，那么阴影部分的面积是多少？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -我们发现，沙漏模型由一组平行线和一组相交线构成，且相交线的交点在平行线之间．如果交点在两条平行线的同一侧，就会构成一种新的模型，我们形象的称之为金字塔模型．在金字塔模型中也有相应的比例关系．111222a b c a b c == 1122a b a b = 11112122a b ca ab bc ==++ 沙漏模型金字塔模型FB- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4．如图，直角三角形ABC 中，AB =4，BC =6．又知BE :EC =1:3，求△CDE 的面积．练习4．如图，EF 与BC 平行，:1:2AF FB =．已知2AE =，3EF =，那么CE 的长度是多少？AC 的长度是多少？BC 的长度是多少？例题5．如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，已知正方形ABCD 的面积为60平方厘米，求阴影部分的面积．分析：如图所示，假设阴影三角形的另外两个顶点是G 和H ．容易看出，三角形AGH 在三角形ABD 中，而三角形ABD 的面积是正方形ABCD 的一半，如果我们能够找到这两个三角形之间的面积关系，那么本题也就迎刃而解了．AFEBCD F例题6．已知三角形ADE的面积为3平方厘米，D是AB边的三等分点（靠近A点），且DE与BC平行，请求出三角形OBC的面积为多少平方厘米？分析：图中既有沙漏形，也有金字塔形．沙漏形的上底和下底分别是DE和BC，它们的比是多少？是不是需要用到金字塔形中的比例关系？AD EB OC埃及金字塔在非洲古国埃及的尼罗河畔，开罗城近郊的广裹沙漠中，巍然耸立着一群巨大的方锥形建筑物，这就是全球著名的古代世界八大奇观之首的埃及金字塔．它气势威严，历经沧桑，迄今已有四、五千年的历史．它又是古埃及高度文明的象征，是人类遥远历史的见证．金字塔以其形体极似汉字的“金”字，因此在中国称为“金字塔”．在欧洲则称为“庇拉米斯”，是古埃及语“高”的意思，可见高大是金字塔的特征．埃及金字塔是奴隶制帝王的陵墓，国王生前穷奢极欲，死后也仍想主宰天下．因此，在生前就不惜一切为自己修造所谓的“永久坚固的寓所”——金字塔，帝王希图永远保存自己的尸骨和尊严，于是从埃及第三王朝起便开始兴建金字塔．约在公元前2800-2300年之间，那是金字塔盛行的时代．在埃及有大、小金字塔70余座．第1座是埃及第三王朝国王杰赛尔的阶梯形金字塔，后来的角锥形金字塔，是在此基础上发展演变而来的．其中位于开罗郊区吉萨城附近的胡夫和哈夫拉两座金字塔，被列为世界古代八大奇观之首．这两座金字塔加上显示国王威严的狮身人面像，成为埃及金字塔风光的象征．胡夫金字塔规模最大，所以又称为“大金字塔”．它高146.5米，像一座40层高楼，拔地而起．在1889年巴黎埃菲尔铁塔(312.5米)修建之前，一直是世界上最高的建筑物．该塔占地80亩，边长2300多米，周长约1公里．全塔用230多万块大、小不同的巨石砌成，总体积250万立方米．平均每块石头重2.5吨，最重的一块约160吨．石块连接没有使用丝毫粘着物，但石块间丝隙皆无，使人赞叹!塔内有甫道、石阶、通风道和墓室．墓室分3层，位于塔底正中地下30米深处．胡夫大金字塔建筑之奇，至今仍是不解之谜．金字塔这样宏伟的建筑，有人认为是天外来客所建，但毕竟金字塔巍峨壮观地坐落在地球上，成为人类史上一座不朽的丰碑．它生动具体地告诉人们：古代埃及的奴隶们是怎样地在没有火药、没有机械的年代，利用双手及简单工具而创造出这一惊人的奇迹．金字塔至今作为世界奇观，傲对碧空，成为当今闻名世界的旅游胜地．作业1. 如图所示，DE 与BC平行，已知，，，则BC 的长度是多少？作业2. 如图所示，DE 与BC 平行，已知，，△ADE 的面积为32，则四边形DECB 面积是多少？作业3. 如图所示，梯形ABCD 的面积是50，下底长是上底长的1.5倍，阴影三角形的面积是多少？作业4. 如图所示，正方形ABCD 的边长是6，E 点是BC 的三等分点．△AOD 的面积是多少？作业5. 如图，平行四边形ABCD 的面积是12AC 与BE 的交点为F ，那么图中阴影部分面积是多少？5BD = 4AD = 16DE = 5BD = 4AD = ADE BCCADEBABCDBCE第十三讲 沙漏与金字塔例题1. 答案：16详解：上底与下底的长度比为1:2，设△OCD 面积是1份，则△AOD 与△BOC 的面积均为2份，△ABO 的面积为4份，共有9份，梯形面积为36，故一份所对应的面积为4．则△ABO 的面积为16．例题2. 答案：33详解：由沙漏模型知，:::2:3BE CD BO OD EO OC ===，设△OBE 的面积为4份，则△OBC 的面积为6份，△OCD 的面积为9份，△OBC 的面积与△OCD 的面积之和为整个四边形面积的一半，因此四边形的面积为30份，总面积为90，则一份对应的面积为3，阴影部分占了11份，面积为33．例题3. 答案：45详解：由条件知，:12:203:5GF BE ==，由沙漏模型知:3:5GO OE =，那么△GOF 与△EOF 的面积之比也是3:5．△OEF 的面积为512122458⨯÷⨯=．例题4. 答案：6.75详解：由金字塔模型知，::3:4DE AB CE CB ==，则3434DE =⨯=．又知道36 4.54CE =⨯=，可求出△CDE 的面积为3 4.52 6.75⨯÷=．例题5. 答案：10平方厘米详解：由条件知，1:2BE AD ==，则:1:2BG GD =，13BG BD =．同理，:1:2DF AB =，则:1:2DH HB =，13DH BD =．由此可得，13GH BD =．阴影部分面积为602310÷÷=平方厘米．例题6. 答案：13.5详解：由金字塔模型知，::1:3AD AB DE BC ==，设△ODE 的面积为1份，则△ODB 的面积为3份，△OEC 的面积为3份，△OBC 的面积为9份．又因为△ADE 与△DEC 等高，可知△ADE 的面积为2份，由此可知△OBC 的面积为32913.5÷⨯=平方厘米． 练习1.答案：27平方厘米简答：上底与下底之比为1:3．由沙漏模型可知四个三角形的面积之比是1:3:3:9，那么阴影部分的面积是()481339927÷+++⨯=平方厘米． 练习2.答案：12简答：连结DE ，因为BE 与AD 之比是1:2，可如图所示设份数．可知△AOD 的面积是正方形面积的三分之一，是12．BC E练习3.答案：400 13简答：58AH ADHG BG==，那么△ABH与△BGH的面积之比也是5:8，△ABH的面积是△ABG面积的5 13．5400 101621313⨯÷⨯=．练习4.答案：简答：12AF AEFB EC==，可求出4CE=，6AC=．13EF AFBC AB==，可求出9BC=．作业1.答案：36．简答：由金字塔模型，::4:9AD AB DE BC==，16DE=，则36BC=．作业2.答案：130．简答：:4:9AD AB=，则:4:9AE AC=，△ADE是△ABC面积的1681，则△ABC的面积为162，四边形DEBC的面积为130．作业3.答案：18．简答：上底与下底的长度比为2:3，设△OCD面积是4份，则△AOD与△BOC的面积均为6份，△ABO的面积为9份，总面积为50，故一份所对应的面积为2．则△ABO的面积为18．作业4.答案：13.5．简答：由沙漏模型，::1:3BE AD BO OD==，△AOB与△AOD等高，面积比为1:3，因此△AOD的面积为3 66213.54⨯÷⨯=．作业5.答案：8．简答：AE:BC=2:3，设份数可知ABCD为30份，△AEF为4份，阴影部分占11份，面积为4.4．。
小学六年级奥数第十三章进位制
第十三章进位制知识要点在日常生活中，我们通常使用十进制，在我们熟知的十进制中，常有O，1，2，…，9共十个数字，相加时满十就要进一。
类似地，在二进制中有“满二进一”，在八进制中有“满八进一”等等。
进位制的选择和使用有一定的客观标准，哪种进位制更能方便地反映某类客观事物的数量关系，人们就会采用哪种进位制。
例如：1小时等于60分钟是六十进制，一年等于十二个月是十二进制等等。
一般地，设K为大于1的自然数时，K进位制的特点是：1.“满K进一”，即相邻两个单位的进率为K，把K叫做K进位制的基数。
2.K进位制有K个不同的记数符号。
如五进制用0，1，2，3，4五个记数符号。
一个K进位制的数就是各位数字与K的幂的乘积的和，其中幂指数等于相应的数字所在的位数(从右往左数)少1。
3.十进制和二进制的转化。
十进制和二进制的对应关系：十进制1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…二进制1，10， 11 ，100 ，101， 110， 111 ，1000 ，1001，1010，…把一个十进制数化为二进制数，只要用2连续去除，然后将每次所得的余数，按自下而上的顺序写出来。
例如，把(13)10化成二进制：把一个二进制数化为十进制数，只要把二进制数写成以2为底的幂的和的形式，再具体算出来。
例如：(1101)2＝(1×23＋1×22＋0×21＋1×20)10＝(8＋4＋1)10＝(13)10学习进位制知识，就要善于把进位制知识灵活地运用，把问题转化到最合适的进位制中解决问题。
例如计算机就是采用二进制，充分发挥了其运行速度快的特点。
例1 把十进制数(3568)10写成数码与计算单位乘积的和的形式。
点拨一个十进制整数的位数从右边第一位数起依次为个、十、百、千、万…”.计数单位是1，10，100，1000，10000，…，用乘方的形式来写，计数单位依次为1(100)，101，102，103，104…。
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例4王明买了24本笔记本和6支铅笔，共花了9.60元钱。
已知每支铅笔0.08元，每本笔记本多少钱？（适于五年级程度）解：要算出每本笔记本多少钱，必须具备两个条件（图5-4）：①买笔记本用了多少钱；②买了多少本笔记本。
从题中已知买了24本笔记本，买笔记本用的钱数未知。
先把买笔记本用的钱数作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。
要算出买笔记本用多少钱，必须知道的两个条件（图5-4）是：①买笔记本、铅笔共用多少钱；②买铅笔用多少钱。
已知买笔记本、铅笔共用9.60元，买铅笔用去多少钱未知。
然后找出“买铅笔用多少钱”所需要的两个条件。
要算出买铅笔用多少钱，必须知道的两个条件（图5-4）是：①买多少支铅笔；②每支铅笔多少钱。
这两个条件在题中都是已知的：买6支铅笔，每支0.08元。
分析到此，问题就得到解决。
此题分步列式计算就是：
（1）买铅笔用去多少元？
0.08×6=0.48（元）
（2）买笔记本用去多少元？
9.60-0.48=9.12（元）
（3）每本笔记本多少元？
9.12÷24=0.38（元）
列综合算式计算：
（9.60-0.08×6）÷24
＝（9.60-0.48）÷24
=9.12÷24
=0.38（元）
答：每本笔记本0.38元。
例5仓库里共有化肥2520袋，两辆车同时往外运，共运30次，每次甲车运51袋。
每次甲车比乙车多运多少袋？（适于五年级程度）
解：求每次甲车比乙车多运多少袋，必须具备两个条件（图5-5）：①甲车每次运多少袋；②乙车每次运多少袋。
甲车每次运51袋已知，乙车每次运多少袋未知。
先找出解答“乙车每次运多少袋”所需要的两个条件。
要算出乙车每次运多少袋，必须具备两个条件（图5-5）：①两车一次共运多少袋；②甲车一次运多少袋。
甲车一次运51袋已知；两车一次共运多少袋是未知条件。
然后把“两车一次共运多少袋”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。
要算出两车一次共运多少袋，必须具备两个条件（图5-5）：①一共有多少袋化肥；②两车共运多少次。
这两个条件都是已知的：共有2520袋化肥，两车共运30次。
分析到此，问题就得到解决。
此题分步列式计算就是：
①两车一次共运多少袋？
2520÷30=84（袋）
②乙车每次运多少袋？
84-51=33（袋）
③每次甲车比乙车多运多少袋？
51-33=18（袋）
综合算式：
51-（2520÷30-51）
=51-33
=18（袋）
答略。
*例6把627.5千克梨装在纸箱中，先装7箱，每箱装梨20千克，其余的梨每箱装37.5千克。
这些梨共装多少箱？（适于五年级程度）解：要算出共装多少箱，必须具备两个条件（图5-6）：①先装多少箱。
②后装多少箱。
先装7箱已知，后装多少箱未知。
先把“后装多少箱”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。
要算出后装多少箱，必须具备两个条件（图5-6）：①后来一共要装多少千克；②后来每箱装多少千克。
后来每箱装37.5千克已知，后来一共装多少千克未知。
要把“后来一共要装多少千克”作为一个问题提出，并找出回答这一问题所需要的两个条件。
要求后来一共要装多少千克，必须具备两个条件（图5-6）：①梨的总重量；②先装了多少千克。
梨的总重量是627.5千克已知的；先装了多少千克是未知的，要把它作为一个问题提出来，并找出回答这个问题所需要的两个条件。
这两个条件（图5-6）是：①先装的每箱装梨多少千克；②装了多少箱。
这两个条件都是已知的：先装的每箱装梨20千克，装了7箱。
分析到此，问题就得到解决了。
此题分步列式计算就是：
①先装多少千克？
20×7=140（千克）
②后来共装多少千克？
627.5-140=487.5（千克）③后来装了多少箱？
487.5÷37.5=13（箱）④共装多少箱？
7+13=20（箱）
综合算式：
7+（627.5-20×7）÷37.5 =7+（627.5-140）÷37.5
=7+487.5÷37.5
=7+13
=20（箱）
答略。
注意：开始学习用分析法解应用题时，一定要画思路图，当对分析法的解题方法已经很熟悉时，可不再画思路图，而直接分析解答应用题了。
节约了15％。
问六月份比四月份少用煤多少吨？（适于六年级程度）
解：此题中出现两个标准量：“四月份的用煤量”和“五月份的用煤量”。
四月份的用煤量和六月份的用煤量都与五月份的用煤量有直接联系。
要算出六月份比四月份少用煤多少吨，必须知道六月份、四月份各用煤多少吨。
要算出六月份用煤多少吨，必须知道两个条件：①五月份用煤多少吨；②六月份比五月份节约多少。
这两个条件都是已知的。
六月份用煤的吨数是：
3200×（1-15％）=2720（吨）
要算出四月份用煤多少吨，必须知道两个条件：①五月份用煤多少吨；②五月份比四月份节约多少。
这两个条件都是已知的。
四月份用煤的吨数是：
知道了六月份、四月份用煤的吨数，就可以求出六月份比四月份少用煤多少吨。
3600-2720=880（吨）
综合算式：
=3600-2720
=880（吨）
答略。
答略。