高考数学复习 6-2 基本不等式课件 新人教A版
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人教A版高中数学必修课件：不等式与不等关系
推论 :
a c
b d
a
c bd (同向不等式的可加性)
性质4 : (乘法的单调性) a b,c 0 ac bc
推论1 :
(同向不等式的可乘性)
a b 0 c d 0 ac bd
推论2 : a b 0 an bn (n N*, n 2)
a b 0 n a n b(n N *, n 2)
(本小题满分10分)已知二次函数y＝f(x)图象过原点， 且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(－2)的范围.
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
∵a＞b＞c，∴b－a＜0，c－a＜0，c－b＜0. ∴(bc2＋ca2＋ab2)－(b2c＋c2a＋a2b)＜0， 即bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2a＋a2b.
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
(可乘方性、可开方性)
例１:已知a>b>0,c<0,求证
c a
c b
例2.(1)如果a b 0, 那么 1 1 ab
变式a b 0那么 1
1
ab a
(2)如果a＞b＞c＞0，那么 c
c
ab
变式a＞b＞c＞0，那么 b c a－b a c
练习：已知c＞a＞b＞0，
试比较 b 与 c 的大小？ c-b c a
变式. 已知a，b，m，n∈R＋，求证：am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm. 证明：(am＋n＋bm＋n)－(ambn＋anbm) ＝(am＋n－ambn)＋(bm＋n－anbm)＝(am－bm)(an－bn)． ∵幂函数f(x)＝xm，g(x)＝xn在x∈R＋上是增函数，由对
2_2 基本不等式-高中数学人教A版(2019)必修第一册
第二章一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式（第1课时）2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标思考1：这图案中含有怎样的几何图形？思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？三国时期吴国的数学家赵爽，用来证明勾股定理。
22222222)2(2)()214c b a c a ab b ab c a b ab =+∴=+−+∴=−+⋅ （证明：a b （1）大正方形边长为___________，面积S 为______________（2）四个直角三角形________，面积和S’为_______________（3）S 与S’的大小关系是_________，故有_______（4）S 与S’可能相等吗？满足什么条件时相等？22b a +22b a +全等ab2'S S >ab b a 222>+a b 上述结论可描述为：ab b a b a 20,022≥+>>时，当成立吗？如何证明？为任意实数时，上式还、）当（b a 5时取等）。
当且仅当 证明：b a ab b a b ab a b a =≥+∴≥+−∴≥−(2020)(22222 此不等式称为重要不等式1、基本不等式0,0,,,,a b a b a b >>如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2a b a b+⋅≥2a b ab +≥替换后得到：即：),0,0(时取等当且仅当b a b a =>>2a b ab +≥即：基本不等式ab b a ≥+2注意：0,01>>b a 、时取等、取等条件：当且仅当b a =2叫几何平均数叫算术平均数，、ab ba 23+基本不等式的几何解释A B C D E a b O 如图, AB 是圆的直径, O 为圆心，点C 是AB 上一点, AC=a , BC=b . 过点C 作垂直于AB 的弦DE,连接AD 、BD 、OD.②如何用a , b 表示CD? CD=______①如何用a , b 表示OD? OD=______2+a bab③OD 与CD 的大小关系怎样? OD_____CD ≥几何意义：半径不小于半弦长定理当点C 在什么位置时OD=CD ？此时a 与b 的关系是？基本不等式的证明2a b ab +≥证明：要证只要证_______a b +≥只要证_____0a b +−≥只要证2(______)0−≥显然, 上式是成立的.当且仅当a =b 时取等。
高中数学人教A版《基本不等式》教学课件1
a b 叫做正数a，b的几何平均数；
代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
探究几何意义
D
ab
A
a OC b
AC = DC E
DC BC
如图,AB是圆的直径，C是 AB上与A、B不重合的一点，
A于aCA=Ba2的,CB弦b=Db≥ ,E过，点连CA作Da垂,Bb直D,
B 则OD=a＿＿b ,CD=＿＿＿＿ 2
高中数学人教A版《基本不等式》教学 课件1
2高.2中基数本学不人等教式A-版【《新基教本材不】等人式教》A版 教（ 学 课20件19） 1 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S xy≤ 14S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
例 6.已 知 0x,求 函 数 ysinx 1
sinx 的 最 小 值 .
解：0x 0sinx1
ysinx 1 2 sinx 1 2
sinx
sinx
当且仅当sinxsin1x，即x2时，ymin 2
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
课堂小结
a2+1与b、2初≥本2步a节应b课用主。（要１学）习了若基a,本b∈不等R，式的那证么明
例 7 若 0 x 1 ， 求 函 数 y x ( 1 - x ) 的 最 大 值 .
高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第35讲基本不等式课件理新人教A版
解析 (1)因为 x，y＞0，x＋y＝1，所以8x＋2y＝8x＋2y(x＋y) ＝10＋8xy＋2yx≥10＋2 16＝18，当且仅当8xy＝2yx，即 x＝2y 时， 等号成立．
(2)由已知得 9－(x＋3y)＝xy＝31×x×3y≤13×x＋43y2，当 且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时，等号成立．此时 xy 最大， 又因为 xy 与(x＋3y)之和为定值，所以 x＋3y 取最小值．故 (x＋3y)min＝3＋3×1＝6.
)
解析 (1)错误．因为 x 没有确定符号，所以不能说最小值 为 2.
(2)错误．利用基本不等式时，等号不成立． (3)错误．不是充要条件，当 x<0，y<0 时也成立． (4)错误．最小值不是定值，故不正确．
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2．已知 m＞0，n＞0，且 mn＝81，则 m＋n 的最小值为( )
a＋b
设 a＞0，b＞0，则 a，b 的算术平均数为___2___，几何平
均 数 为 ___a_b__ ， 基 本 不 等 式 可 叙 述 为
_两__个__正__数__的__算__术__平__均__数__不___小__于__它__们__的__几__何__平__均__数____.
4．利用基本不等式求最值问题
2．几个重要不等式 (1)a2＋b2≥___2_a_b____(a，b∈R)．
(2)ba＋ab≥__2_(a，b 同号)． (3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)． (4)a2＋2 b2≥a＋2 b2(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
第六章
不等式、推理与证明
高考总复习 ·数学（理科）
第35讲
高中数学新人教A版必修第一册 微专题1基本不等式的应用技巧 课件(16张)
第二章 一元二次函数、方程 和不等式
微专题1 根本不等式的应用技巧
在运用基本不等式求代数式的最值时，常常会用凑项、拆项、常 值的代换、消元代换、取平方等技巧，无论运用哪种方式，必须把握 三个条件：
(1)“一正”——各项为正数； (2)“二定”——“和”或“积”为定值； (3)“三相等”——等号一定能取到．
类型 4 消元代换 【例 4】 (1)已知 a>0，b>0，且 2a＋b＝ab－1，求 a＋2b 的最小 值； (2)若实数 x，y 满足 xy＋3x＝30<x<12，求3x＋y－1 3的最小值．
[解] (1)由 2a＋b＝ab－1 得 a＝1＋b－3 2>0，解得 b>2.所以 a＋2b ＝5＋b－3 2＋2b－2≥5＋2 b－3 2·2b－2＝5＋2 6，当且仅当b－3 2＝ 2b－2，即 b＝2＋ 26时等号成立．所以 a＋2b 的最小值是 5＋2 6.
2，当且仅
当 2a2＝b2＋1，即 a＝b＝1 时取“＝”，故 a b2＋1的最大值为 2.
类型 2 拆项
【例 2】 已知 x≥25，则x2－2x4－x＋4 5有(
)
A．最大值45
B．最小值54
C．最大值 1
D．最小值 1
D [法一：∵x≥52，∴x－2>0，则x2－2x4－x＋4 5＝12x－2＋x－1 2≥21 ×2 x－2·x－1 2＝1，等号在 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时取得．
(2)∵实数 x，y 满足 xy＋3x＝30<x<12， ∴x＝y＋3 3，∴0<y＋3 3<21，解得 y>3. 则3x＋y－1 3＝y＋3＋y－1 3＝y－3＋y－1 3＋6
≥2 y－3·y－1 3＋6＝8， 当且仅当 y＝4，x＝37时，等号成立． 所以3x＋y－1 3的最小值为 8.
微专题1 根本不等式的应用技巧
在运用基本不等式求代数式的最值时，常常会用凑项、拆项、常 值的代换、消元代换、取平方等技巧，无论运用哪种方式，必须把握 三个条件：
(1)“一正”——各项为正数； (2)“二定”——“和”或“积”为定值； (3)“三相等”——等号一定能取到．
类型 4 消元代换 【例 4】 (1)已知 a>0，b>0，且 2a＋b＝ab－1，求 a＋2b 的最小 值； (2)若实数 x，y 满足 xy＋3x＝30<x<12，求3x＋y－1 3的最小值．
[解] (1)由 2a＋b＝ab－1 得 a＝1＋b－3 2>0，解得 b>2.所以 a＋2b ＝5＋b－3 2＋2b－2≥5＋2 b－3 2·2b－2＝5＋2 6，当且仅当b－3 2＝ 2b－2，即 b＝2＋ 26时等号成立．所以 a＋2b 的最小值是 5＋2 6.
2，当且仅
当 2a2＝b2＋1，即 a＝b＝1 时取“＝”，故 a b2＋1的最大值为 2.
类型 2 拆项
【例 2】 已知 x≥25，则x2－2x4－x＋4 5有(
)
A．最大值45
B．最小值54
C．最大值 1
D．最小值 1
D [法一：∵x≥52，∴x－2>0，则x2－2x4－x＋4 5＝12x－2＋x－1 2≥21 ×2 x－2·x－1 2＝1，等号在 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时取得．
(2)∵实数 x，y 满足 xy＋3x＝30<x<12， ∴x＝y＋3 3，∴0<y＋3 3<21，解得 y>3. 则3x＋y－1 3＝y＋3＋y－1 3＝y－3＋y－1 3＋6
≥2 y－3·y－1 3＋6＝8， 当且仅当 y＝4，x＝37时，等号成立． 所以3x＋y－1 3的最小值为 8.
高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第三节基本不等式及其应用课件理新人教A版03294185
值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积不一定有最大值．
思考2：已知x＞0，y＞0. ∵x＋y≥2 xy，1x＋2y≥2 x2y， ∴(x＋y) 1x＋2y ≥4 2 ，即(x＋y) 1x＋2y 的最小值为4 2 ，正确吗？ 说明理由．
提示：不正确，取等号的条件：x＝y且
1 x
＝
2 y
无解，故(x＋y)
1x＋2y
≥4 2等号不成立，即(x＋y)1x＋2y的最小值不是4 2.
正确的求法：(x＋y)
1x＋2y
＝1＋
2x y
＋
y x
＋2≥3＋2
2 .当且Leabharlann 当y＝2x时取等号，故(x＋y)1x＋2y的最小值为3＋2 2.
四基精演练
解析：选D.因为x＜0，所以－x＞0，－x＋
1 －x
≥2
1 ＝2，当且仅
当x＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.
3.(知识点1、2)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( C )
⇐ 源自必修五P99例1（2）
A．80
B．77
C．81
D．82
解析：选C.∵x＞0，y＞0，∴x＋2 y≥ xy，
命题点2
含有等式条件的最值
[例2] [一题多解]已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最
小值为( A )
A．8
B．4
C．2
D．0
解析：解法一：(构造目标不等式法)∵x＞0，y＞0，∴xy＝
1 2
(x·2y)≤12×x＋22y2，又x＋2y＝xy，∴x＋2y≤12×x＋22y2.由x＞0，y＞ 0知x＋2y＞0，所以x＋2y≥8，∴x＋2y的最小值为8.
解析：因为ab＞0，所以
思考2：已知x＞0，y＞0. ∵x＋y≥2 xy，1x＋2y≥2 x2y， ∴(x＋y) 1x＋2y ≥4 2 ，即(x＋y) 1x＋2y 的最小值为4 2 ，正确吗？ 说明理由．
提示：不正确，取等号的条件：x＝y且
1 x
＝
2 y
无解，故(x＋y)
1x＋2y
≥4 2等号不成立，即(x＋y)1x＋2y的最小值不是4 2.
正确的求法：(x＋y)
1x＋2y
＝1＋
2x y
＋
y x
＋2≥3＋2
2 .当且Leabharlann 当y＝2x时取等号，故(x＋y)1x＋2y的最小值为3＋2 2.
四基精演练
解析：选D.因为x＜0，所以－x＞0，－x＋
1 －x
≥2
1 ＝2，当且仅
当x＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.
3.(知识点1、2)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( C )
⇐ 源自必修五P99例1（2）
A．80
B．77
C．81
D．82
解析：选C.∵x＞0，y＞0，∴x＋2 y≥ xy，
命题点2
含有等式条件的最值
[例2] [一题多解]已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最
小值为( A )
A．8
B．4
C．2
D．0
解析：解法一：(构造目标不等式法)∵x＞0，y＞0，∴xy＝
1 2
(x·2y)≤12×x＋22y2，又x＋2y＝xy，∴x＋2y≤12×x＋22y2.由x＞0，y＞ 0知x＋2y＞0，所以x＋2y≥8，∴x＋2y的最小值为8.
解析：因为ab＞0，所以
2022届高考数学第一轮总复习-6-2经典实用学案课件2
第三第十三三十页三，编页辑，于编星辑期于一星：十期三四点：四二十十六点分二。十八分。
(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总 费用最少？
(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价 格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请 说明理由．
11.1千辆/时，如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则 汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时．
第四第十四二十页二，页编，辑编于辑星于期星一期：四十：三二点十四点十二六十分八。分。
使用均值不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提 “一正、二定、三相等”的忽视．要利用均值不等式求最值，这 三个条件缺一不可．
①
第十第六十页六，页编，辑编于辑星于期星一期：四十：三二点十四点十二六十分八。分。
第十七第页十，编七辑页于星，期一编：辑十三于点星四十期六四分。：二十点 二十八分。
解法2：∵a＞b＞0，∴a－b＞0，
∴原式的最小值为16.
答案：16
第十第八十页八，页编，辑编于辑星于期星一期：四十：三二点十四点十二六十分八。分。
4．已知x＞0，y＞0，xy＝2，则 的最小值为________．
答案：2
第十第四十页四，页编辑，于编星辑期于一星：期十三四点：二四十十六点分二。十八分。
5．(教材P333题原题)已知a>b>0，求a2＋
的最小值．
命题意图：考查算术平均数大于等于几何平均数的应用． 分析：为求最小值，从题中可以看出，应使两数乘积为定
第五第页，五编页辑，于星编期辑一于：十星三期点四四：十六二分十。点 二十八分。
四、利用两个定理求最大、最小值问题
1．x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当x＝y时，x＋y有
(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总 费用最少？
(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价 格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请 说明理由．
11.1千辆/时，如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则 汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时．
第四第十四二十页二，页编，辑编于辑星于期星一期：四十：三二点十四点十二六十分八。分。
使用均值不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提 “一正、二定、三相等”的忽视．要利用均值不等式求最值，这 三个条件缺一不可．
①
第十第六十页六，页编，辑编于辑星于期星一期：四十：三二点十四点十二六十分八。分。
第十七第页十，编七辑页于星，期一编：辑十三于点星四十期六四分。：二十点 二十八分。
解法2：∵a＞b＞0，∴a－b＞0，
∴原式的最小值为16.
答案：16
第十第八十页八，页编，辑编于辑星于期星一期：四十：三二点十四点十二六十分八。分。
4．已知x＞0，y＞0，xy＝2，则 的最小值为________．
答案：2
第十第四十页四，页编辑，于编星辑期于一星：期十三四点：二四十十六点分二。十八分。
5．(教材P333题原题)已知a>b>0，求a2＋
的最小值．
命题意图：考查算术平均数大于等于几何平均数的应用． 分析：为求最小值，从题中可以看出，应使两数乘积为定
第五第页，五编页辑，于星编期辑一于：十星三期点四四：十六二分十。点 二十八分。
四、利用两个定理求最大、最小值问题
1．x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当x＝y时，x＋y有
2020高考数学 第六章第四节 基本不等式课件 新人教A版 精品
C．2 2
D．4
解析：3x＋27y＝3x＋33y≥2 3x＋3y＝2 9＝6.
当且仅当 3x＝33y 即 x＝3y＝1 时等号成立．
答案： A
()
3．下列函数中，y 的最小值为 4 的是
A．y＝x＋4x
B．y＝2xx22＋＋32(x∈R)
()
C．y＝ex＋4e－x
D．y＝sinx＋si4nx(0＜x＜π)
解析：对于 A，当 x＜0 时，最小值不存在且 y＜0；
B 中 y＝2xx22＋＋32＝2
x21＋2＋
x2＋2≥4，当且仅当 x2＋2＝1 时
等号成立，这样的实数 x 不存在，故 y＝2xx22＋＋32(x∈R)取不到最
小值 4；
同理对于 D，等号成立的条件为 sin2x＝4，这也是不可能的；
只有 C，y＝ex＋4e－x≥4，当且仅当 ex＝2，即 x＝ln2 时等号成立， 函数有最小值 4.
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)．
(2)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)
(3)ab≤(a＋2 b)2，(a，b∈R)．
(4)(a＋2 b)2 ≤
a2＋b2 2.
3．算术平均数与几何平均数
设 a＞0，b＞0，则 a，b 的算术平均数为 a＋b ，几何平均数
为 ab，基本不等式可叙述为：
2
(1)设 0＜x＜2，求函数 y＝ 3x8－3x的最大值； (2)求a－3 4＋a 的取值范围； (3)已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝1，求8x＋2y的最小值．
解：(1)∵0＜x＜2，∴0＜3x＜6,8－3x＞2＞0， ∴y＝ 3x8－3x≤3x＋28－3x＝82＝4， 当且仅当 3x＝8－3x，即 x＝43时取等号． ∴当 x＝43时，函数 y＝ 3x8－3x的最大值是 4.
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3．“恒成立”问题的解法 不等式的“恒成立”问题是不等式综合应用中一类 常见的题型，蕴涵着转化、数形结合、分类讨论、函数 与方程等丰富的数学思想方法，处理不等式恒成立问题 的基本思路是转化为求函数的最值或函数值域的问题．
利用基本不等式比较大小
[例 1] (文 )(2010· 江苏南京 )已知 b>a>0， 且 a＋ b＝ 1， 那么 ( )
答案：A
(2011· 陕西文， 3)设 0<a<b，则下列不等式中正确 的是 ( ) a＋ b B． a< ab< <b 2 a＋ b D. ab<a< <b 2
a＋ b A． a<b< ab< 2 a＋ b C． a< ab<b< 2
解析： 解法 1：取 a＝ 1， b＝ 2，易排除 A、 C、D. a＋ b 解法 2：∵ 0<a<b，∴由基本不等式知 > ab. 2 2a a＋ b 2b 又 a＝ < < ＝b， a< ab<b， 2 2 2 a＋ b ∴ a< ab< <b. 2
A． RA>RB C． RA<RB
B．RA＝ RB D．不确定
R1＋ R2 2R1R2 解析： RA＝ ，RB＝ ， 2 R1＋ R2 R1＋R2 2R1R2 R1＋R22－4R1R2 RA－ RB＝ － ＝ 2 R1＋ R2 2 R1＋ R2 R1－ R22 ＝ >0，所以 RA>RB. 2 R1＋ R2
第 二 节
基本不等式
重点难点 重点： 基本不等式的理解与运用． 难点：应用基本不等式解决实际问题时条件的把握．
知识归纳 a＋ b 1． 基本不等式： 对任意 a、 b∈____ 有 ≥ ab成 R ， 2
＋
立，当且仅当 a＝ b 时取等号． (1)x、 y∈(0，＋∞ )，且 xy＝ P(定值)，那么当 x＝ y
b)(1－ 2b)<0.故应选 B.
答案：B
点评：可用特值法，∵ b>a>0，a＋ b＝1，∴可取 b 3 1 ＝ ， a＝ ，则可知其大小关系． 4 4
(理)已知 R1、R2 是阻值不同的两个电阻，现分别按 图①②连接，设相应的总阻值分别为 RA、 RB，则 RA 与 RB 的大小关系是 ( )
16 ＝ (x－ 8)＋ ＋ 10≥ 2 x－ 8
16 x－ 8 · ＋ 10＝ 18. x－ 8
2 3 解析：(1) ＋ ≥ 2 x y 号在 x＝ 2， y＝ 3 时成立 ) 故 xy 的最小值为 6.
6 ，∴ 2 xy
6 ≤ 2，∴xy≥ 6.(等 xy
(2)由 2x＋8y－ xy＝ 0 得 y(x－ 8)＝2x. 2x ∵ x>0， y>0，∴ x－ 8>0， y＝ . x－ 8 2x－ 16＋ 16 2x u＝ x＋ y＝x＋ ＝x＋ x－ 8 x－ 8
a4－ b4 a＋ b A． 2ab< < <b 2 a－ b a＋ b a4－ b4 B． 2ab< < <b 2 a－ b a4－ b4 a＋ b C. <2ab< <b 2 a－ b a＋ b a4－b4 D． 2ab< <b< 2 a－ b
2 a ＋ b 1 解析：∵ b>a>0，a＋b＝1，∴ b> ，∴ 2ab< ＝ 2 2 2 4 4 a＋ b a ＋ b a － b 1 ， 且 a2 ＋ b2> ＝ .∴ ＝ (a ＋ b)(a2 ＋ 2 2 2 a－ b 4 4 a ＋ b a － b b2)> .又 － b ＝ a2 ＋ b2 － b ＝ 2b2 － 3b ＋ 1 ＝ (1 － 2 a－ b
答案：B
点评： 关于不等式的解集，不等式的一些关系式， 用特值法有时会简捷获解 .
利用基本不等式求最值
2 3 [例 2] (1)已知 ＋ ＝ 2(x>0， y>0)，求 xy 的最小值． x y (2)若 x、 y∈ R＋，且 2x＋ 8y－ xy＝ 0.求 x＋ y 的最小值． 分析： (1)可利用基本不等式转化为 xy的不等式求解． (2)可消去一个变量，将 x＋ y 用一个变量表示，再配凑 出能运用基本不等式的条件．
R)
2 2 a＋ b a ＋ b 2 ≤ (a、 b∈ R)，以上各等号在 ____ 2 2
a＝ห้องสมุดไป่ตู้b 时
成立．
a b 1 1 (2) ＋ ≥ 2(a、 b 同号 )， 特别地 ＋ a≥ 2(a>0)， ＋ a≤ b a a a － 2(a<0)． a2＋ b2 a＋ b 2 ＋ ≥ ≥ ab≥ (a、 b∈ R )． 2 2 1 1 ＋ a b 3．含绝对值的不等式 ||a |－ |b ||≤ |a± b|≤ |a |＋ |b |， a＋ m a 4. > (b>a>0， m>0) b＋ m b
误区警示 在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、 三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值， “二定”是说各个项的和(或积 )必须为定值． “三相等” 是说各个项中字母取某个值时，能够使得各项的值相等． 多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次 等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．
小 值 2 P. 时， x＋ y 有最 ___
(2)x、 y∈(0，＋∞)，且 x＋ y＝ S(定值)，那么当 x＝ S2 大 值 . y 时， xy 有最 ____ 4
2．基本不等式的常见变式及有关结论
2 2 a ＋ b (1)a2＋ b2≥ 2ab(a、 b∈ R)； ab≤ (a、 b∈ R) 2 2 a＋ b a ＋ b 2 2 ≥ 2 ≤ a ＋ b ____ (a、 b∈ R)； ab____ 2 ( a、 b∈ 2
解题技巧 1．证明不等式常用的方法： 比较法 (作差法和作商法 )、 综合法、 分析法、 反证法、 放缩法、换元法 (三角代换法 )、单调性法、判别式法、几 何法 (利用几何意义)． 2．条件最值是基本不等式的一个重要应用．应用基 本不等式求最值时，①通过对所给式进行巧妙分拆、变 形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键．② 必须指出等号成立的条件．