ch1-2行列式的基本运算
1-2行列式的性质和计算
c1 c2
row –行 column –列
1 3 1 2 1 5 3 4 0 2 1 1 5 1 3 3
r2 r1
r4 5r1
r2 r3
1 3 1 2 0 2 1 1 0 8 4 2 0 16 2 7
r3 4r2
r4 8r2
1 0 0 0
3 1 2 2 1 1 0 8 2 0 10 15
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
3 7
DT
a11 a12 a1n
a21 an1 a22 an 2 a 2 n a nn
2 3 7 9 0
1 如：D 2
12 1 T 7 ，D 3 0
3 9
12 7
性质1.
行列式转置后，其值不变。即
30 r3 58 r3 8r2 r4
30 37 143 1 1 58 286 29
例3.
xa 计算n阶行列式 a Dn a a
a xa a a
a a xa a
a a a . xa
解：行列式各行元素之和都等于x n 2 a, 把行列式 的第二列，．．．，第n列分别加到第一列，得
例1. 计算行列式
1 3 12 (1) D1 0 0 0 3 9 10 1 3 12 (2) D2 2 6 97 3 9 0
答案：D1 D2 0
a11 a12 a1n 性质4. 如果设 D bi1 ci1 bi 2 ci 2 bin cin , an1 an 2 ann a11 a12 a1n D1 bi1 bi 2 bin , an1 an 2 ann
行列式的定义计算方法
行列式的定义计算方法行列式是线性代数中一个重要的概念，用于描述线性方程组的解的性质。
行列式广泛应用于数学、物理、工程等领域，具有重要的理论和实际价值。
本文将详细介绍行列式的定义和计算方法，并通过实例加以说明。
行列式是线性代数中独特的一个概念，它起源于19世纪初，由日本数学家关孝和引入并发展起来。
行列式在线性代数中具有非常重要的地位，它与线性方程组的解有密切的关联。
掌握行列式的定义和计算方法，对于理解线性代数的相关概念和解决实际问题具有重要的意义。
一、行列式的定义行列式是一个方阵的一个标量值，它可以用来判断矩阵的很多性质和计算线性方程组的解。
对于一个n阶矩阵A=(a_ij)，它的行列式记作det(A)，其中a_ij表示在矩阵A中第i行、第j列的元素。
二、行列式的计算方法1. 二阶行列式的计算：对于一个2x2的矩阵A=(a_11 a_12; a_21 a_22)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_212. 三阶行列式的计算：对于一个3x3的矩阵A=(a_11 a_12 a_13; a_21 a_22 a_23; a_31 a_32 a_33)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 * a_33 + a_12 * a_23 * a_31 + a_13 * a_21 * a_32- a_31 * a_22 * a_13 - a_32 * a_23 * a_11 - a_33 * a_21 * a_123. 高阶行列式的计算：对于高于三阶的行列式，我们通常使用拉普拉斯展开法来计算。
选择行或列，然后对该行或列的元素依次乘以其代数余子式，再按正负号加和，即可得到行列式的值。
【举例说明】为了更好地理解行列式的计算方法，我们通过一个实例来进行说明。
考虑一个3x3的矩阵A=(1 2 3; 4 5 6; 7 8 9)，我们将按照上述的计算方法来求解其行列式值。
行列式运算
行列式运算行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行，行列式取相反数。
行列式的某一行的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘以此行列式。
行列式如果有两行元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行每一个元素都可以由两个数相加得到，则这个行列式是对应两个行列式的和。
把行列式的某一行的各元素乘以同一数，然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变。
行列式性质①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。
②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。
③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。
④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。
⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。
行列式运算法则1、三角形行列式的值，等于对角线元素的乘积。
计算时，一般需要多次运算来把行列式转换为上三角型或下三角型。
2、交换行列式中的两行（列），行列式变号。
3、行列式中某行（列）的公因子，可以提出放到行列式之外。
4、行列式的某行乘以a，加到另外一行，行列式不变，常用于消去某些元素。
5、若行列式中，两行（列）完全一样，则行列式为0；可以推论，如果两行（列）成比例，行列式为0。
6、行列式展开：行列式的值，等于其中某一行（列）的每个元素与其代数余子式乘积的和；但若是另一行（列）的元素与本行（列）的代数余子式乘积求和，则其和为0。
7、在求解代数余子式相关问题时，可以对行列式进行值替代。
8、克拉默法则：利用线性方程组的系数行列式求解方程。
9、齐次线性方程组：在线性方程组等式右侧的常数项全部为0时，该方程组称为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组。
齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解。
当D=0时，有非零解；当D=0时，方程组无非零解。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结线性代数是数学的一个重要分支，而行列式是线性代数中的一个重要概念。
行列式计算方法是线性代数的基础知识，掌握好行列式的计算方法对于深入理解线性代数具有重要的意义。
本文将对线性代数中行列式的计算方法进行总结，希望能够帮助读者更好地掌握这一知识点。
1. 行列式的定义。
在开始介绍行列式的计算方法之前，我们先来回顾一下行列式的定义。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|，定义为：|A| = Σ(−1)^σP1,1 P2,2 ... Pn,n。
其中，σ是1到n的一个排列，P1,1 P2,2 ... Pn,n是这个排列的乘积，Σ表示对所有可能的排列求和。
2. 行列式的计算方法。
接下来，我们将介绍几种常见的行列式计算方法。
2.1 余子式法。
余子式法是计算行列式的一种常用方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过递归的方式计算得到。
具体步骤如下：对于n阶方阵A，选择第i行（或第j列）展开，得到A的余子式Mij；计算Mij的行列式|Aij|，其中Aij是Mij的转置矩阵；根据公式|A| = ai1 |A1| + ai2 |A2| + ... + ain |An|，计算得到行列式|A|。
2.2 克拉默法则。
克拉默法则是一种用于求解n元线性方程组的方法，它也可以用来计算行列式。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过克拉默法则计算得到。
具体步骤如下：对于n元线性方程组Ax = b，其中A是系数矩阵，x是未知数向量，b是常数向量，如果A是非奇异矩阵（即|A| ≠ 0），则方程组有唯一解；解出方程组的每个未知数，可以得到方程组的解向量x；根据克拉默法则，方程组的解向量x的每个分量可以表示为xj = |Aj| / |A|，其中Aj是将系数矩阵A的第j列替换为常数向量b得到的矩阵的行列式。
2.3 对角线法则。
对角线法则是一种简单直观的计算行列式的方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过对角线法则计算得到。
行列式运算法则
• 利用几何法，通过图形直观地证明性质
行列式的特殊类型
对角行列式
• 对角线上的元素相乘后求和，即det(A) = Σ(-1)^(i+j) * aij * det(I_(ij))，其中I是
单位矩阵
上三角行列式和下三角行列式
• 上三角行列式：主对角线以下的元素全为0的行列式
det(I)
• 伴随矩阵可以用来计算行列式的导数
03
逆矩阵和伴随矩阵的计算方法
• 利用高斯消元法计算逆矩阵
• 利用行列式的性质和公式计算伴随矩阵
05
行列式运算的误差分析与优化
行列式运算的误差来源
误差来源分析
误差控制方法
• 舍入误差：由于计算机的浮点数表示和运算，可能导致
• 提高计算机的浮点数精度
• 对角线求和性：det(A) = Σ(-1)^(i+j) * aij * det(A(ij))，其中A(ij)是去掉第i行和第
j列后的矩阵
• 交换律：det(AB) = det(BA)
• 多行（列）展开性：可以将行列式的一行（列）展开，得到一个新的行列式
行列式性质的证明方法
• 利用定义法，通过计算证明性质
行列式运算法则
CREATE TOGETHER
DOCS
01
行列式的定义与性质
行列式的定义及其意义
行列式是线性代数中的一个重要概念
• 定义：一个n阶方阵A的元素aij（i, j = 1, 2, ..., n）按照一定的规则
相乘后求和，记作det(A)
• 意义：行列式反映了矩阵的一些重要性质，如线性无关向量组的体
• 行展开式：将第i行展开，得到一个新的(n-1)阶行列式
行列式四则运算
行列式四则运算行列式四则运算是指行列式之间的加法、减法、乘法和除法运算。
行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述线性方程组的性质和解的情况。
在实际应用中，行列式的四则运算常常用于求解方程组、计算矩阵的逆以及求解线性方程组的行列式条件等。
一、行列式的加法行列式的加法是指两个行列式相加的运算。
设A和B分别是两个n阶矩阵，记为|A|和|B|，则它们的和为|A+B|。
行列式的加法运算有以下性质：1. 加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A和(A+B)+C=A+(B+C)。
2. 行列式的和的行列数等于原来行列数的阶数。
二、行列式的减法行列式的减法是指两个行列式相减的运算。
设A和B分别是两个n阶矩阵，记为|A|和|B|，则它们的差为|A-B|。
行列式的减法运算有以下性质：1. 减法不满足交换律，即A-B≠B-A。
2. 行列式的差的行列数等于原来行列数的阶数。
三、行列式的乘法行列式的乘法是指两个行列式相乘的运算。
设A和B分别是两个n阶矩阵，记为|A|和|B|，则它们的乘积为|AB|。
行列式的乘法运算有以下性质：1. 乘法满足结合律，即(A*B)*C=A*(B*C)。
2. 行列式的乘积的行列数等于原来行列数的阶数。
四、行列式的除法行列式的除法是指两个行列式相除的运算。
设A和B分别是两个n阶矩阵，记为|A|和|B|，则它们的商为|A/B|。
行列式的除法运算可以转化为乘法运算：|A/B| = |A|/|B|以上是行列式的四则运算的基本概念和性质。
行列式的四则运算在实际应用中有广泛的应用，如矩阵的逆的计算、线性方程组的求解、矩阵的正交性判断等。
行列式的四则运算可以通过行列式的定义和行列式的性质进行推导和计算，理解行列式的四则运算对于理解线性代数的基本概念和解决实际问题具有重要意义。
最后，需要注意的是，在实际计算行列式的四则运算时，可以使用行列式的定义直接计算，也可以利用行列式的性质和运算规则进行化简和简化，以提高计算的效率和准确性。
行列式的基本计算公式讲解
行列式的基本计算公式讲解行列式的基本计算公式。
行列式是线性代数中非常重要的概念，它可以用于解决线性方程组的问题，求解矩阵的逆，判断矩阵的奇偶性等等。
在本文中，我们将讨论行列式的基本计算公式，包括如何计算2阶和3阶行列式，以及如何通过展开定理计算更高阶的行列式。
2阶行列式的计算。
首先，让我们来看一个2阶行列式的例子：\[ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \]要计算这个行列式，我们可以使用下面的公式：\[ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad bc \]这个公式非常简单，我们只需要将矩阵中的元素按照特定的顺序相乘，然后相减即可得到行列式的值。
例如，对于矩阵\[ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5\end{vmatrix} \]，我们可以计算得到：\[ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = 25 34 = 10 12 = -2 \]因此，这个2阶行列式的值为-2。
3阶行列式的计算。
接下来，让我们来看一个3阶行列式的例子：\[ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} \]要计算这个行列式，我们可以使用下面的公式：\[ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg +cdh ceg bdi afh \]这个公式看起来比较复杂，但其实也是按照特定的顺序相乘然后相加或相减得到行列式的值。
ch1-2行列式按行列展开-m
1
再把D的第j 列依次与第j+1 列，第j+2 列, …, 第n 列对调
a11 D 1
n i
a1 j 1
a1 j 1 ai 1 j 1 anj 1 0
a1n
a1 j ai 1 j ai 1 j anj
1
ai 11 ai 1 j 1
n 2 n 2 x3 xn
n-1阶范德蒙德行列式
Dn ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 )
n i j 1 n i j 2
( xi x j )
( xi x j ).
用化三角形行列式计算
例
计算 n 阶行列式
a b
设行列式
1 2 3 n 1 2 0 0 Dn 1 0 3 0 1 0 0 n
求第一行各元素的代数余子式之和
A11 A12 A1n .
例3.设
1 2 3 4 1 2 1 5 1 4 D1 , D2 3 1 2 3 2 1 1 1 1 6
b a b
b b a
b b b a
b b b a
D b
解
b b b 将第 2,3,, n 都加到第一列得
D
a n 1b a n 1b a n 1b a n 1b b a b b b b a b
6 2 0 5 5 0
40.
( 1)
1 3
6
2
5 5
8 0
2 5
推论
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对 应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
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第12页
>> A=[1 1 1 1;1 2 -1 4;2 -3 -1 -5;3 1 2 11]
>> B=[A(3,:)*3+A(1,:);A(2,:);A(3,:);A(4,:)]
>> D=det(A)
>> C1=A;C2=A;C3=A;C4=A;b=[5;-2;-2;0]; >> C1(:,1)=b;D1=det(C1);x1=D1/D >> C2(:,2)=b;D2=det(C2);x2=D2/D >> C3(:,3)=b;D3=det(C3);x3=D3/D >> C4(:,4)=b;D4=det(C4);x4=D4/D
syms a b c d
第7页
验证行列式的性质：互换行列式的 两行（列），行列式变号。
>> A=[3 1 -1 2;-5 1 3 -4;2 0 3 5;1 6 8 9] >> det(A) 交换A的第一行和第三行得到行列式B，代 码如下： >> B=[A(3,:);A(2,:);A(1,:);A(4,:)] >> det(B)
第9页
>> A=[1 1 1 1;1 2 4 8;1 3 9 27;1 4 16 64]; >>D=det(A)
1 1 D 1 1
1 1 1 2 4 8 12 0 3 9 27 4 16 64
第10页
>> C1=A;C2=A;C3=A;C4=A;b=[3;4;3;-3];
>> C1(:,1)=b;D1=det(C1);x1=D1/D >> C2(:,2)=b;D2=det(C2);x2=D2/D >> C3(:,3)=b;D3=det(C3);x3=D3/D >> C4(:,4)=b;D4=det(C4);x4=D4/D
第2页
1 2 3
A=
4 5 6 7 8 9
例如行列式A中的“1”的序号为1，“4”的序号为2， “2”的序号为4等等；若用两个下标，则表示的是 元素所在的行列号，例如行列式A中的“1”的表示 方法是A（1,1），“7”的表示是A（3,1）。
第3页
输入行列式A
>> A=[1 2 3;4,5,6;7 8 9] 也可以单独给某个元素赋值，如A(6)=18或 A(3,2)=18
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3. 计算行列式的值
>> A=[1 2 3;4,5,6;7 8 9]; >>det(A)
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计算行列式
1 2 4 2 2 1 3 4 2
a b c d a ab abc abcd D a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
实验2 行列式的基本运算
教学目标 教学重点 教学内容
第1页
1. 行列式元素的输入
在方括号内逐行键入行列式各元素，同一 行各元素之间用逗号或空格分隔，两行元 素之间用分号分隔。 在行列式中，其元素既可以用一个下标表 示，也可以用两个下标表示。若用一个下 标，则表示的是元素的序号,行列式按列 进行“之”字形排序 。
第13页
第14页
第8页
已知三次曲线 y f ( x) a0 a1 x a2 x a3 x 通过四点（1，3）、（2，4）、（3，3）、 （4，-3），求其系数。
2
3
a0 a1 a2 a3 3 a0 2a1 4a2 8a3 4 a0 3a1 9a2 27a3 3 a0 4a1 16a2 64a3 3
第4页
2.行列式的基本运算
读取行列式中的某个元素 >> b=A(2,3) >> b=A(8) 读取行列式中的某一行和某一列 >> A(2,:) >> A(:,2) 读取行列式中的部分行列 >> b=A([1,2],[1,2]) 去掉行列式中的某些行列 >> A([2],:) =[ ] >> A(:,[2,3]) =[ ]
第11页
练习：
（1）验证行列式的性质：把行列式的某一 行的各 （2）用克拉默法则解下列方程组。
x1 x 2 x3 x 4 5, x 2 x x 4 x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x 2 x3 5 x 4 2, 3 x1 x 2 2 x3 11x 4 0