【精品】人教版2020届高考数学(理)一轮复习课时作业52
人教版2020版高考数学理科一轮复习课时作业一(共7篇)
人教版2020版高考数学理科一轮复习课时作业一（共7篇）目录课时作业1集合 (3).................................................................. 错误！未定义书签。
.................................................................. 错误！未定义书签。
课时作业2命题及其关系、充分条件与必要条件 (10).................................................................. 错误！未定义书签。
.................................................................. 错误！未定义书签。
课时作业3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词. (16).................................................................. 错误！未定义书签。
.................................................................. 错误！未定义书签。
课时作业4函数及其表示. (22).................................................................. 错误！未定义书签。
.................................................................. 错误！未定义书签。
课时作业5函数的单调性与最值. (28).................................................................. 错误！未定义书签。
【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (36)
课时作业36 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．(2019·河北卓越联盟联考)已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围为( A )A ．(－7,24)B ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)C ．(－24,7)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：由题意可知(－9＋2－a )(12＋12－a )＜0，所以(a ＋7)·(a －24)＜0，所以－7＜a ＜24.2．(2018·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( C )A ．6B ．19C ．21D ．45解析：由变量x ，y 满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)．作出基本直线l 0：3x ＋5y ＝0，平移直线l 0，当直线经过点A (2,3)时，z 取最大值，即z max ＝3×2＋5×3＝21，故选C.3．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( B )A ．－3B ．1 C.43D ．3解析：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m ＜2，即m ＞－1，由图知所围成的区域为△ABC 及其内部，S △ABC ＝S △ADC －S △BDC .易知点A 的纵坐标为1＋m ，点B 的纵坐标为23(1＋m )，C ，D 两点的横坐标分别为2，－2m ，所以S △ABC ＝12(2＋2m )(1＋m )－12(2＋2m )·23(1＋m )＝13(1＋m )2＝43，解得m ＝－3(舍去)或m ＝1.4．(2019·江西南昌NCS 项目联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，3x －y －5≤0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx 经过区域M 内的点，则实数k 的取值范围为( C )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，2 解析：作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，易知当直线y ＝kx 经过点A (2,1)时，k 取得最小值12，当直线y ＝kx 经过点C (1,2)时，k 取得最大值2，可得实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，故选C.5．(2019·广东肇庆一模)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b ＝( A )A.94 B.32 C ．1D.34解析：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ， 平移直线y ＝－2x ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋z 的纵截距最小，此时z 最小，为3，即2x ＋y ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，y ＝2x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝32，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，32，又点A 也在直线y ＝－x ＋b 上， 即32＝－34＋b ，∴b ＝94.故选A.6．(2019·江西九江一模)实数x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≤0，x ＋y －2≥0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －1x ＋3的最大值为1，则z 的最小值为( D )A ．－13 B ．－37 C.13D ．－15解析：作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝y －1x ＋3的几何意义是可行域内的点(x ，y )与点A (－3,1)两点连线的斜率，当取点B (a,2a ＋2)时，z 取得最大值1，故2a ＋2－1a ＋3＝1，解得a ＝2，则C (2,0)．当取点C (2,0)时，z 取得最小值，即z min ＝0－12＋3＝－15.故选D.7．(2019·湖南湘东五校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，且z ＝x ＋y 的最大值为6，则(x ＋5)2＋y 2的最小值为( A )A ．5B ．3 C. 5 D. 3解析：如图，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k对应的平面区域，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ，由图可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距最大，此时z 最大，为6，即x ＋y ＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0得A (3,3)，∵直线y ＝k 过点A ，∴k ＝3.(x ＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点(x ，y )与D (－5,0)的距离的平方，由可行域可知，[(x ＋5)2＋y 2]min 等于D (－5,0)到直线x ＋2y ＝0的距离的平方．则(x ＋5)2＋y 2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|－5|12＋222＝5，故选A. 8．已知实数x ，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x ＋y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若目标函数z ＝ax ＋by＋5(a ＞0，b ＞0)的最小值为2，则2a ＋3b 的最小值为( D )A.8＋2143B.4＋263C.9＋2153D.10＋463解析：作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，对z ＝ax ＋by ＋5(a ＞0，b ＞0)进行变形，可得y ＝－a b x ＋z b －5b ，所以该直线的斜率为负数，当直线z ＝ax ＋by ＋5(a ＞0，b ＞0)过点A 时，z取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x －2y －2＝0，可求出交点A 的坐标为(－2，－2)，所以－2a －2b ＋5＝2，整理得a ＋b ＝32，所以2a ＋3b ＝23(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝23⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b a ＋3a b ≥10＋463，当且仅当3a ＝2b 时取等号，故选D.9．(2019·兰州模拟)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12，则z ＝2x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y的最大值为( A ) A ．16 B ．8 C ．4D ．3解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12所表示的平面区域如图中阴影部分所示.又z ＝2x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＝2x －y ， 令u ＝x －y ，则直线u ＝x －y 在点(4,0)处u 取得最大值，此时z 取得最大值且z max ＝24－0＝16，故选A.10．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是 [0,2] .解析：由题中的线性约束条件作出可行域，如图． 其中C (0,2)，B (1,1)，D (1,2)． 由z ＝OA →·OM →＝－x ＋y ，得y ＝x ＋z .由图可知，当直线y ＝x ＋z 分别过点C 和B 时，z 分别取得最大值2和最小值0，所以OA →·OM →的取值范围为[0,2]．11．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为 21 .解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5×5，其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7,9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.12．(2019·郑州质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为 5 .解析：画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z 取到最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1， ∴2×3－1－m ＝0，m ＝5.由图知，平移l 经过B 点时，z 最小，∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5. 13．(2019·湖北武汉模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －5≥0，y －x ≥0，y －12x －2≤0，若不等式(1－a )x 2＋2xy ＋(4－2a )y 2≥0恒成立，则实数a 的最大值为( A )A.73B.53C. 5D. 6解析：绘制不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，题中的不等式可化为a (x 2＋2y 2)≤x 2＋2xy ＋4y 2， 即a ≤x 2＋2xy ＋4y 2x 2＋2y 2，设t ＝yx ，则a ≤4t 2＋2t ＋12t 2＋1，由t ＝yx 及其几何意义可知， 在点C (2,3)处取得最大值t max ＝32， 在线段AB 上取得最小值t min ＝1， 即t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32. 故原问题可转化为求函数f (t )＝4t 2＋2t ＋12t 2＋1⎝⎛⎭⎪⎫1≤t ≤32的最小值，整理函数的解析式得：f (t )＝2×t 2＋12t ＋14t 2＋12＝2×⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋12t －14t 2＋12＝2＋1t －12＋34t －12＋1，令m ＝t －12，则12≤m ≤1，令g (m )＝m ＋34m ，则g (m )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1上单调递增， 且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，g (1)＝74，据此可得，当m ＝12，t ＝1时，函数g (m )取得最大值，则此时函数f (t )取得最小值，最小值为f (1)＝4×12＋2×1＋12×12＋1＝73.综上可知，实数a 的最大值为73，故选A.14．某蛋糕店每天计划生产蛋糕、面包、酥点这三种糕点共100份，生产一份蛋糕需5分钟，生产一份面包需7分钟，生产一份酥点需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一份蛋糕可获利润5元，生产一份面包可获利润6元，生产一份酥点可获利润3元．若用每天生产的蛋糕份数x 与面包份数y 表示每天的利润ω(元)，则ω的最大值为 550 元．解析：依题意每天生产的酥点份数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. 约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50. 所以最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．15．(2019·安徽江南十校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤ln x ，x －2y －3≤0，y ＋1≥0，则z ＝y ＋1x 的取值范围为 [0,1] .解析：作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分，z ＝y ＋1x 表示区域内的点(x ，y )与A (0，－1)连线的斜率k ，由图可知，k min ＝0，k max ＝k AP ，P 为切点，设P (x 0，ln x 0)，k AP ＝1x 0，∴ln x 0＋1x 0＝1x 0，∴x 0＝1，k AP ＝1，即z ＝y ＋1x 的取值范围为[0,1]．16．已知点P (x ，y )的坐标满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ＞x ，y ＜2x ＋1，则x ＋yx 2＋y2的取值范围是 (－2，1] .解析：方法一作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ＞x ，y ＜2x ＋1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中B (－1，－1)，C (0,1)．设A (1,1)，向量OA →，OP →的夹角为θ， ∵OA →·OP →＝x ＋y ，|OP→|＝x 2＋y 2，∴cos θ＝OA →·OP →|OA →||OP →|＝x ＋y 2×x 2＋y 2＝22×x ＋y x 2＋y2， 由图可知∠AOC ≤θ＜∠AOB ， 即π4≤θ＜π，∴－1＜cos θ≤22，即－1＜22×x ＋y x 2＋y 2≤22，∴－2＜x ＋y x 2＋y2≤1.方法二作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ＞x ，y ＜2x ＋1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中B (－1，－1)，C (0,1)， 设θ＝∠POx ， 则x x 2＋y 2＝cos θ，yx 2＋y2＝sin θ，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，54π， ∴x ＋y x 2＋y2＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∵θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，54π，∴θ＋π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，32π， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈⎝⎛⎦⎥⎤－1，22.∴x ＋yx 2＋y2∈(－2，1]．。
【推荐】人教版2020届高考数学(理)一轮复习课时作业56
课时作业56 曲线与方程1．方程(x 2＋y 2－2x )x ＋y －3＝0表示的曲线是( D ) A ．一个圆和一条直线 B ．一个圆和一条射线 C ．一个圆D ．一条直线解析：依题意，题中的方程等价于①x ＋y －3＝0或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x 2＋y 2－2x ＝0.注意到圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均位于直线x ＋y －3＝0的左下方区域，即圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均不满足x ＋y －3≥0，即②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x ＋y －3＝0.2．(2019·兰州模拟)已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( C )A.x 29－y 216＝1 B ．x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x ＞3) D ．x 216－y 29＝1(x ＞4)解析：如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6＜10＝|AB |.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支(y ≠0)，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．3．已知正方形的四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，点D ，E 分别在线段OC ，AB 上运动，且|OD |＝|BE |，设AD 与OE 交于点G ，则点G 的轨迹方程是( A )A ．y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)B ．x ＝y (1－y )(0≤y ≤1)C ．y ＝x 2(0≤x ≤1)D ．y ＝1－x 2(0≤x ≤1)解析：设D (0，λ)，E (1,1－λ)，0≤λ≤1，所以线段AD 的方程为x ＋yλ＝1(0≤x ≤1)，线段OE 的方程为y ＝(1－λ)x (0≤x ≤1)，联方方程⎩⎨⎧x ＋y λ＝1，0≤x ≤1，y ＝(1－λ)x ，0≤x ≤1(λ为参数)，消去参数λ得点G 的轨迹方程为y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)．4．(2019·福建漳州八校联考)已知圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36，定点N (5，0)，点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在线段MP上，且满足N P →＝2 N Q →，G Q →·N P →＝0，则点G 的轨迹方程是( A )A.x 29＋y 24＝1 B ．x 236＋y 231＝1 C.x 29－y 24＝1D ．x 236－y 231＝1解析：由N P →＝2 N Q →，G Q →·N P →＝0知GQ 所在直线是线段NP 的垂直平分线，连接GN ，∴|GN |＝|GP |，∴|GM |＋|GN |＝|MP |＝6＞25，∴点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其中2a ＝6,2c ＝25，∴b 2＝4，∴点G 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1，故选A.5．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A －B －C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( D )解析：当P 沿AB 运动时，x ＝1，设P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，y ′＝1－y2(0≤y ≤1)，故y ′＝1－x ′24(0≤x ′≤2,0≤y ′≤1)．当P 沿BC 运动时，y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1(0≤x ≤1)，所以y ′＝x ′24－1(0≤x ′≤2，－1≤y ′≤0)，由此可知P ′的轨迹如D 所示，故选D.6．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足O C →＝λ1 O A →＋λ2 O B →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( A )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析：设C (x ，y )，因为O C →＝λ1O A →＋λ2O B →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝y ＋3x 10，λ2＝3y －x 10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹是直线，故选A.7．(2019·安徽六安一中月考)如图，已知F 1，F 2是椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过F 2作∠F 1PF 2的外角的平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( B )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：延长F 2Q ，与F 1P 的延长线交于点M ，连接OQ .因为PQ 是∠F 1PF 2的外角的平分线，且PQ ⊥F 2M ，所以在△PF 2M 中，|PF 2|＝|PM |，且Q 为线段F 2M 的中点．又O 为线段F 1F 2的中点，由三角形的中位线定理，得|OQ |＝12|F 1M |＝12(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝a ，所以点Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为a 的圆，故选B.8．(2019·宿迁模拟)若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( B )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1D ．x 2＝16y解析：∵M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，∴M 的轨迹是以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.A 项，直线x ＋y ＝5过点(5,0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆x 225＋y 29＝1与M 的轨迹有交点，满足题意；D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，∴Δ＞0，满足题意．9．(2019·江西九江联考)已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P (x ，y )满足AP →⊥BP →，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围是 (1,2) .解析：由AP →⊥BP →，可得动点P (x ，y )的轨迹方程为x 2＋(y －2)2＝1，易知双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，由题意知圆心(0,2)到渐近线的距离大于半径1，所以2aa 2＋b 2>1，即3a 2>b 2.又b 2＝c 2－a 2，所以3a 2>c 2－a 2,4a 2>c 2，离心率e ＝ca <2，又双曲线的离心率e >1，所以1<e <2.10．已知△ABC 的顶点A ，B 坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C 为动点，且满足sin B ＋sin A ＝54sin C ，则C 点的轨迹方程为 x 225＋y 29＝1(x ≠±5) .解析：由sin B ＋sin A ＝54 sin C 可知b ＋a ＝54c ＝10，则|AC |＋|BC |＝10＞8＝|AB |，∴满足椭圆定义．令椭圆方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1，则a ′＝5，c ′＝4，b ′＝3，则轨迹方程为x 225＋y 29＝1(x ≠±5)．11．(2019·唐山五校联考)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴、y 轴上滑动，C P →＝ 2 P D →.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E 相交于A ，B 两点，OM →＝O A →＋O B →，当点M 在曲线E 上时，求四边形AOBM 的面积．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由C P →＝ 2 P D →，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －m ＝－2x ，y ＝2(n －y )，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝(2＋1)x ，n ＝2＋12y ，由|C D →|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2， 所以(2＋1)2x 2＋(2＋1)22y 2＝(2＋1)2， 整理，得曲线E 的方程为x 2＋y22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM →＝O A →＋O B →，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 由题意知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2.y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)22＝1，即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)2＝1，解得k 2＝2. 这时|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 3[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝322，原点到直线AB 的距离d ＝11＋k 2＝33， 所以平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝62.12．(2019·惠州调研)已知C 为圆(x ＋1)2＋y 2＝8的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点A (1,0)和AP 上的点M ，满足M Q →·A P →＝0，A P →＝2 AM →.(1)当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；(2)若斜率为k 的直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，与(1)中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F ，H ，O 是坐标原点，且34≤O F →·O H →≤45时，求k 的取值范围．解：(1)由题意知MQ 是线段AP 的垂直平分线， 所以|CP |＝|QC |＋|QP |＝|QC |＋|QA |＝22＞|CA |＝2，所以点Q 的轨迹是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴长为22的椭圆，所以a ＝2，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝1， 故点Q 的轨迹方程是x 22＋y 2＝1.(2)设直线l ：y ＝kx ＋t ，F (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)， 直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切⇒|t |k 2＋1＝1⇒t 2＝k 2＋1.联立，得⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋t⇒(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，Δ＝16k 2t 2－4(1＋2k 2)(2t 2－2)＝8(2k 2－t 2＋1)＝8k 2＞0⇒k ≠0， x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2，所以O F →·O H →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝(1＋k 2)(2t 2－2)1＋2k 2＋kt －4kt 1＋2k 2＋t 2＝(1＋k 2)2k 21＋2k 2－4k 2(k 2＋1)1＋2k2＋k 2＋1＝1＋k 21＋2k 2， 所以34≤1＋k 21＋2k 2≤45⇒13≤k 2≤12⇒33≤|k |≤22， 所以－22≤k ≤－33或33≤k ≤22.故k 的取值范围是[－22，－33]∪[33，22]．13．(2019·葫芦岛调研)在△ABC 中，已知A (2,0)，B (－2,0)，G ，M 为平面上的两点且满足G A →＋G B →＋G C →＝0，|M A →|＝|M B →|＝|M C →|，GM →∥A B →，则顶点C 的轨迹为( B )A ．焦点在x 轴上的椭圆(长轴端点除外)B ．焦点在y 轴上的椭圆(短轴端点除外)C ．焦点在x 轴上的双曲线(实轴端点除外)D ．焦点在x 轴上的抛物线(顶点除外) 解析：设C (x ，y )(y ≠0)，由G A →＋G B →＋G C →＝0，即G 为△ABC 的重心，得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，y 3.又|M A →|＝|M B →|＝|M C →|， 即M 为△ABC 的外心， 所以点M 在y 轴上， 又GM →∥A B →，则有M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 3.所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 32＝4＋y29， 化简得x 24＋y 212＝1，y ≠0.所以顶点C 的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴端点)． 14．在平面直角坐标系中，定义d (P ，Q )＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|为两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)之间的“折线距离”，则下列命题中：①若A (－1,3)，B (1,0)，则有d (A ，B )＝5；②到原点的“折线距离”等于1的所有点的集合是一个圆； ③若C 点在线段AB 上，则有d (A ，C )＋d (C ，B )＝d (A ，B )； ④到M (－1,0)，N (1,0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x ＝0.真命题的个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：①d (A ，B )＝|－1－1|＋|3－0|＝5，对；②设点A (x ，y )，则d (A ，O )＝|x |＋|y |＝1，不是圆，错； ③若点C 在线段AB 上，设C 点坐标为(x 0，y 0)，x 0在x 1，x 2之间，y 0在y 1，y 2之间，则d (A ，C )＋d (C ，B )＝|x 0－x 1|＋|y 0－y 1|＋|x 2－x 0|＋|y 2－y 0|＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|＝d (A ，B )成立，对；④|x ＋1|＋|y |＝|x －1|＋|y |， 由|x ＋1|＝|x －1|，解得x ＝0，对．15．(2019·河北衡水一模)已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足O P →＝12(OF 1→＋O Q →)(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋6224＋2y 25＝1 .解析：因为点P 满足O P →＝12(OF 1→＋O Q →)，所以点P 是线段QF 1的中点．设P (x ，y )，由F 1为椭圆C ：x 216＋y 210＝1的左焦点，得F 1(－6，0)，故Q (2x ＋6，2y )，又点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，则点P 的轨迹方程为(2x ＋6)216＋(2y )210＝1，即⎝⎛⎭⎪⎫x ＋6224＋2y 25＝1.16．如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足DM →＝12D P →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形； (2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．解：(1)设M (x ，y )，则D (x,0)， 由DM →＝12D P →，知P (x,2y )， ∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，且轨迹C 是以(－3，0)，(3，0)为焦点，长轴长为4的椭圆．(2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在．设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2， ∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3)＝k (x 1＋x 2)－6k＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k 1＋4k 2. ∵四边形OAEB 为平行四边形，∴O E →＝O A →＋O B →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2， 又O E →＝(x ，y )，∴⎩⎨⎧x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k 1＋4k 2，消去k 得，x 2＋4y 2－6x ＝0，由Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)＞0，得k 2＜15，∴0＜x ＜83.∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜83.。
2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：56 最值、范围、证明问题 Word版含解析
课时作业56 最|值、范围、证明问题第|一次作业 根底稳固练1．动圆C 与圆C 1：(x －2)2＋y 2＝1相外切 ,又与直线l ：x ＝－1相切．(1)求动圆圆心轨迹E 的方程；(2)假设动点M 为直线l 上任一点 ,过点P (1,0)的直线与曲线E 相交于A ,B 两点 ,求证：k MA ＋k MB ＝2k MP .解：(1)由题知 ,动圆C 的圆心到点(2,0)的距离等于到直线x ＝－2的距离 ,所以由抛物线的定义可知 ,动圆C 的圆心轨迹是以(2,0)为焦点 ,x ＝－2为准线的抛物线 ,所以动圆圆心轨迹E 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题知当直线AB 的斜率为0时 ,不符合题意 ,所以可设直线AB 的方程为x ＝my ＋1 ,联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1y 2＝8x消去x ,得y 2－8my－8＝0 ,Δ＝64m 2＋32>0恒成立 ,设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,M (－1 ,t ) ,那么y 1＋y 2＝8m ,y 1·y 2＝－8 ,x 1＋x 2＝8m 2＋2 ,x 1·x 2＝1 , 而2k MP ＝2·t－1－1＝－t ,k MA ＋k MB ＝y 1－tx 1＋1＋y 2－tx 2＋1 ＝y 1x 2＋y 2x 1＋y 1＋y 2－t (x 1＋x 2)－2t x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝18y 1y 2(y 1＋y 2)＋y 1＋y 2－t (x 1＋x 2)－2t x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝－t (8m 2＋4)8m 2＋4＝－t , 所以k MA ＋k MB ＝2k MP .2. 如图 ,椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ,右焦点为F (1,0) ,过点A 且斜率为1的直线交椭圆E 于另一点B ,交y 轴于点C ,AB →＝6BC →.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ,N 两点 ,连接MO (O 为坐标原点)并延长交椭圆E 于点Q ,求△MNQ 面积的最|大值及取最|大值时直线l 的方程．解：(1)由题知A (－a,0) ,C (0 ,a ) ,故B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 7 6a 7 , 代入椭圆E 的方程得149＋36a 249b 2＝1 ,结合a 2－b 2＝1 ,得a 2＝4 ,b 2＝3 ,故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题知 ,直线l 不与x 轴重合 ,故可设l ：x ＝my ＋1 ,代入x 24＋y 23＝1得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0 ,设M (x 1 ,y 1) ,N (x 2 ,y 2) ,那么y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4 ,y 1y 2＝－93m 2＋4 ,连接ON ,由Q 与M 关于原点对称知 , S △MNQ ＝2S △MON ＝|y 1－y 2| ＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋13m 2＋4＝123m 2＋1＋1m 2＋1,∵m 2＋1≥1 , ∴3m 2＋1＋1m 2＋1≥4 , ∴S △MNQ ≤3 ,当且仅当m ＝0时 ,等号成立 ,∴△MNQ 面积的最|大值为3 ,此时直线l 的方程为x ＝1. 3．(2021·河南洛阳统考)抛物线C ：x 2＝2py (p >0) ,过焦点F 的直线交C 于A ,B 两点 ,D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)假设AB ∥l ,且△ABD 的面积为1 ,求抛物线的方程； (2)设M 为AB 的中点 ,过M 作l 的垂线 ,垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切．解：(1)∵AB ∥l ,∴|FD |＝p ,|AB |＝2p . ∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1 ,故抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)证明：显然直线AB 的斜率存在 ,设其方程为y ＝kx ＋p 2,A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1 x 212p ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2 x 222p . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2x 2＝2py消去y 整理得 ,x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ,x 1x 2＝－p 2.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp k 2p ＋p 2 ,N ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp －p 2.∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p .又x 2＝2py ,∴y ′＝xp .∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1p .∴直线AN 与抛物线相切．4．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 2(1,0) ,且该椭圆过定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 22.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点Q (2,0) ,过点F 2作直线l 与椭圆E 交于A ,B 两点 ,且F 2A →＝λF 2B →,λ∈[－2 ,－1] ,以QA ,QB 为邻边作平行四边形QACB ,求对角线QC 长度的最|小值．解：(1)由题易知c ＝1 ,1a 2＋12b 2＝1 , 又a 2＝b 2＋c 2 ,解得b 2＝1 ,a 2＝2 , 故椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l ：x ＝ky ＋1 ,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1x 22＋y 2＝1得(k 2＋2)y 2＋2ky －1＝0 ,Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0.设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,那么可得y 1＋y 2＝－2k k 2＋2 ,y 1y 2＝－1k 2＋2.QC →＝QA →＋QB →＝(x 1＋x 2－4 ,y 1＋y 2)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎪⎫－4(k 2＋1)k 2＋2－2k k 2＋2 , ∴|QC →|2＝|QA →＋QB →|2＝16－28k 2＋2＋8(k 2＋2)2,由此可知 ,|QC →|2的大小与k 2的取值有关．由F 2A →＝λF 2B →可得y 1＝λy 2 ,λ＝y 1y 2,1λ＝y 2y 1(y 1y 2≠0)．从而λ＋1λ＝y 1y 2＋y 2y 1＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2y 1y 2＝－6k 2－4k 2＋2,由λ∈[－2 ,－1]得⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 －2 ,从而－52≤－6k 2－4k 2＋2≤－2 ,解得0≤k 2≤27.令t ＝1k 2＋2,那么t ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤716 12 , ∴|QC →|2＝8t 2－28t ＋16＝8⎝⎛⎭⎪⎫t －742－172 ,∴当t ＝12时 ,|QC |min ＝2.5．(2021·合肥模拟)中|心在原点 ,焦点在y 轴上的椭圆C ,其上一点P 到两个焦点F 1 ,F 2的距离之和为4 ,离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)假设直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ,B 两点 ,求△OAB 面积的取值范围．解：(1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) ,由条件知 ,⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4 e ＝c a ＝32a 2＝b 2＋c 2解得a ＝2 ,c ＝ 3 ,b ＝1 , 故椭圆C 的方程为y 24＋x 2＝1. (2)设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1 y ＝kx ＋1得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0 ,故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4 ,x 1x 2＝－3k 2＋4 ,设△OAB 的面积为S , 由x 1x 2＝－3k 2＋4<0 ,知S ＝12×1×|x 1－x 2| ＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2k 2＋3(k 2＋4)2,令k 2＋3＝t ,知t ≥3 ,∴S ＝21t ＋1t ＋2. 对函数y ＝t ＋1t (t ≥3) ,知y ′＝1－1t 2＝t 2－1t 2>0 ,∴y ＝t ＋1t 在t ∈[3 ,＋∞)上单调递增 ,∴t ＋1t ≥103 , ∴0<1t ＋1t ＋2≤316 ,∴0<S ≤32.故△OAB 面积的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0 32.第二次作业 （高|考）·模拟解答题体验1．(2021·四川成都七中模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1 ,F 2 ,且离心率为22 ,过左焦点F 1的直线l 与C 交于A ,B 两点 ,△ABF 2的周长为4 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)当△ABF 2的面积最|大时 ,求l 的方程． 解：(1)由椭圆的定义知4a ＝4 2 ,a ＝ 2 , 由e ＝ca 知c ＝ea ＝1 ,b 2＝a 2－c 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0) ,F 2(1,0) ,|F 1F 2|＝2 ,设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,l ：x ＝my －1 ,联立x ＝my －1与x 22＋y 2＝1 ,得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0 ,|y 1－y 2|＝22m 2＋1m 2＋2 , S △ABF 2＝22m 2＋1(m 2＋2)2＝221m 2＋1＋1m 2＋1＋2, 当m 2＋1＝1 ,m ＝0时 ,S △ABF 2最|大为 2 ,l ：x ＝－1.2．(2021·广东佛山模拟)中|心在坐标原点 ,焦点在x 轴上的椭圆M 的离心率为12 ,椭圆上异于长轴顶点的任意点A 与左、右两焦点F 1 ,F 2构成的三角形中面积的最|大值为 3.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)假设A 与C 是椭圆M 上关于x 轴对称的两点 ,连接CF 2与椭圆的另一交点为B ,求证：直线AB 与x 轴交于定点P ,并求P A →·F 2C →的取值范围．解：(1)由题意知c a ＝12 ,12·2c ·b ＝ 3 ,a 2＝b 2＋c 2 ,解得c ＝1 ,a ＝2 ,b ＝ 3.所以椭圆M 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,C (x 1 ,－y 1) ,直线AB ：y ＝kx ＋m . 将y ＝kx ＋m ,代入x 24＋y 23＝1得 , (4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 那么x 1＋x 2＝－8km4k 2＋3 ,x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3.因为B ,C ,F 2共线 ,所以kBF 2＝kCF 2 , 即kx 2＋m x 2－1＝－(kx 1＋m )x 1－1, 整理得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0 , 所以2k 4m 2－124k 2＋3－(m －k )8km 4k 2＋3－2m ＝0 ,解得m ＝－4k .所以直线AB ：y ＝k (x －4) ,与x 轴交于定点P (4,0)．因为y 21＝3－34x 21 ,所以P A →·F 2C →＝(x 1－4 ,y 1)·(x 1－1 ,－y 1)＝x 21－5x 1＋4－y 21＝74x 21－5x 1＋1＝74⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1072－187.因为－2<x 1<2 ,所以P A →·F 2C →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－187 18.3．(2021·广东华南师大附中模拟)点C 是圆F ：(x －1)2＋y 2＝16上任意一点 ,点F ′与圆心F 关于原点对称．线段CF ′的中垂线与CF 交于P 点．(1)求动点P 的轨迹方程E ；(2)设点A (4,0) ,假设直线PQ ⊥x 轴且与曲线E 交于另一点Q ,直线AQ 与直线PF 交于点B ,证明：点B 恒在曲线E 上 ,并求△P AB 面积的最|大值．解：(1)由题意得 ,F 点坐标为(1,0) ,因为P 为CF ′中垂线上的点 ,所以|PF ′|＝|PC |.又|PC |＋|PF |＝4 ,所以|PF ′|＋|PF |＝4>|FF ′|＝2 ,由椭圆的定义知 ,2a ＝4 ,c ＝1 ,所以动点P 的轨迹方程E 为x 24＋y 23＝1.(2)设P 点坐标为(m ,n )(n ≠0) ,那么Q 点的坐标为(m ,－n ) ,且3m 2＋4n 2＝12 ,所以直线QA ：y ＝n4－m (x －4) ,即nx －(4－m )y －4n ＝0 ,直线PF ：y ＝nm －1(x －1) ,即nx －(m －1)y －n ＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧nx －(4－m )y －4n ＝0nx －(m －1)y －n ＝0解得x B ＝5m －82m －5 ,y B ＝3n2m －5,那么x 2B 4＋y 2B 3＝(5m －8)24(2m －5)2＋(3n )23(2m －5)2 ＝25m 2－80m ＋64＋12n 24(2m －5)2 ＝16m 2－80m ＋1004(2m －5)2＝1 , 所以点B 恒在椭圆E 上．设直线PF ：x ＝ty ＋1 ,P (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,那么由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ty ＋13x 2＋4y 2＝12 消去x 整理得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0 ,所以y 1＋y 2＝－6t 3t 2＋4 ,y 1y 2＝－93t 2＋4, 所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝(－6t 3t 2＋4)2＋363t 2＋4＝12t 2＋13t 2＋4, 从而S △P AB ＝12|F A ||y 1－y 2|＝18t 2＋13t 2＋4＝18t 2＋13(t 2＋1)＋1＝183t 2＋1＋1t 2＋1. 令μ＝t 2＋1(μ≥1) ,那么函数g (μ)＝3μ＋1μ在[1 ,＋∞)上单调递增 ,故g (μ)min ＝g (1)＝4 ,所以S △P AB ≤184＝92 ,即当t ＝0时 ,△P AB 的面积取得最|大值 ,且最|大值为92.4．(2021·河北邢台模拟)椭圆W ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距与椭圆Ω：x 24＋y 2＝1的短轴长相等 ,且W 与Ω的长轴长相等 ,这两个椭圆在第|一象限的交点为A ,直线l 与直线OA (O 为坐标原点)垂直 ,且l 与W 交于M ,N 两点．(1)求W 的方程；(2)求△MON 的面积的最|大值．解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4a 2－b 2＝1 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝3 故W 的方程为y 24＋x 23＝1. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 24＋x 23＝1 x 24＋y 2＝1 得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝3613 y 2＝413∴y 2x 2＝19.又A 在第|一象限 ,∴k OA ＝y x ＝13.故可设l 的方程为y ＝－3x ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－3x ＋m y 24＋x 23＝1得31x 2－18mx ＋3m 2－12＝0.设M (x 1 ,y 1) ,N (x 2 ,y 2) ,那么x 1＋x 2＝18m 31 ,x 1x 2＝3m 2－1231.∴|MN |＝1＋(－3)2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10×4331－m 231. 又O 到直线l 的距离为d ＝|m |10, 那么△MON 的面积S ＝12d ·|MN | ＝23|m |31－m 231, ∴S ＝23m 2(31－m 2)31≤331(m 2＋31－m 2)＝ 3 ,当且仅当m 2＝31－m 2 ,即m 2＝312时 ,满足Δ>0 , 故△MON 的面积的最|大值为 3. 5．(2021·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ,上顶点为B ,椭圆的离心率为53 ,点A 的坐标为(b,0) ,且|FB |·|AB |＝6 2.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第|一象限的交点为P ,且l 与直线AB 交于点Q .假设|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ (O 为原点) ,求k 的值． 解：(1)设椭圆的焦距为2c ,由有c 2a 2＝59 ,又由a 2＝b 2＋c 2 ,可得2a ＝3b .由可得 ,|FB |＝a ,|AB |＝2b ,由|FB |·|AB |＝6 2 ,可得ab ＝6 ,从而a ＝3 ,b ＝2.所以 ,椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1 ,y 1) ,点Q 的坐标为(x 2 ,y 2)．由有y 1>y 2>0 ,故|PQ |sin ∠AOQ ＝y 1－y 2.又因为|AQ |＝y 2sin ∠OAB, 而∠OAB ＝π4 ,故|AQ |＝2y 2.由|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ ,可得5y 1＝9y 2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx x 29＋y 24＝1 消去x ,可得y 1＝6k 9k 2＋4 .易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0 ,由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kxx ＋y －2＝0消去x ,可得y 2＝2k k ＋1. 由5y 1＝9y 2 ,可得5(k ＋1)＝39k 2＋4 ,两边平方 ,整理得56k 2－50k ＋11＝0 ,解得k ＝12 ,或k ＝1128.所以 ,k 的值为12或1128.。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业52
课时作业57 直线与圆锥曲线1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的交点个数是( A )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：由直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线y ＝ba x 平行，故直线与双曲线的交点个数是1.2．(2019·山东聊城一模)已知直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(2,1)，则直线l 的方程为( D )A ．y ＝x －1B ．y ＝－2x ＋5C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝2x －3解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1①，y 22＝4x 2②，①－②得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，由题可知x 1≠x 2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝42＝2，即k AB ＝2，∴直线l 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.故选D.3．(2019·湖北武汉调研)已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4的右支有两个交点，则k 的取值范围为( D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52C.⎝⎛⎭⎪⎫－52，52D ．⎝⎛⎭⎪⎫1，52解析：由题意知k ＞0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝4，整理得(1－k 2)x 2＋2kx－5＝0，因为直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4的右支有两个交点，则联立所得方程有两个不同的正实数根x 1，x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2＋20(1－k 2)＞0，x 1＋x 2＝－2k 1－k 2＞0，x 1x 2＝－51－k2＞0，解得1＜k ＜52，即k ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，52，故选D.4．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( D )A.12 B ．23 C.34D ．43解析：易知p ＝4，直线AB 的斜率存在，抛物线方程为y 2＝8x ，与直线AB 的方程y －3＝k (x ＋2)联立，消去x 整理得ky 2－8y ＋16k ＋24＝0，由题意知Δ＝64－4k (16k ＋24)＝0，解得k ＝－2或k ＝12.因为直线与抛物线相切于第一象限，故舍去k ＝－2，故k ＝12，可得B (8,8)，又F (2,0)，故k BF ＝8－08－2＝43，故选D.5．(2019·湖北武汉调研)已知不过原点O 的直线交抛物线y 2＝2px 于A ，B 两点，若OA ，AB 的斜率分别为k OA ＝2，k AB ＝6，则OB 的斜率为( D )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解析：由题意可知，直线OA 的方程为y ＝2x ，与抛物线方程y 2＝2px 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，得⎩⎨⎧x ＝p2，y ＝p ，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，则直线AB 的方程为y －p ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，即y ＝6x －2p ，与抛物线方程y 2＝2px 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6x －2p ，y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p 9，y ＝－2p 3或⎩⎨⎧x ＝p 2，y ＝p ，所以B ⎝⎛⎭⎪⎫2p9，－2p 3， 所以直线OB 的斜率为k OB ＝－2p32p 9＝－3.故选D.6．已知双曲线x 23－y 2＝1的右焦点是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，直线y ＝kx ＋m 与抛物线相交于A ，B 两个不同的点，点M (2,2)是线段AB 的中点，则△AOB (O 为坐标原点)的面积是( D )A ．4 3B ．313 C.14D ．2 3解析：由已知可得双曲线的右焦点为(2,0)，因为该点也为抛物线的焦点，所以p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，又因为直线y ＝kx ＋m 与抛物线相交于A ，B 两点，所以将直线方程代入抛物线方程可得(kx ＋m )2＝8x ⇒k 2x 2＋(2km －8)x ＋m 2＝0，∴x 1＋x 2＝8－2km k 2，x 1x 2＝m 2k 2. 又因为M (2,2)是线段AB 的中点， 所以x 1＋x 2＝8－2kmk 2＝4，且2＝2k ＋m ， 联立解得k ＝2，m ＝－2.|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝215.O 到AB 的距离d ＝25.∴S △AOB ＝12×215×25＝2 3.7．(2019·泉州质检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 是双曲线C 的右焦点，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，若l 与双曲线C 的左、右两支分别交于点D ，E ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( B )A ．(2，3)B ．(2，＋∞)C ．(2，2)D ．(1，62)解析：法一：由题意知，直线l ：y ＝－ab (x －c )，由⎩⎨⎧y ＝－a b (x －c )，b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－a 4b 2x 2＋2a 4c b 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4c 2b 2＋a 2b 2＝0，由x 1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4c 2b 2＋a 2b 2b 2－a 4b 2＜0，得b 4＞a 4，所以b 2＝c 2－a 2＞a 2，所以e 2＞2，得e＞ 2.法二：由题意，知直线l 的斜率为－ab ，若l 与双曲线左、右两支分别交于D ，E 两点，则－a b ＞－ba ，即a 2＜b 2，所以a 2＜c 2－a 2，e 2＞2，得e ＞ 2.8．(2019·洛阳统考)已知双曲线E ：x 24－y 22＝1，直线l 交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，则直线l 的方程为( C ) A ．4x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y ＝0 C ．2x ＋8y ＋7＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214－y 212＝1，x 224－y 222＝1，两式相减得x 21－x 224＝y 21－y 222，即y 1－y 2x 1－x 2＝12×x 1＋x 2y 1＋y 2. 又线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，因此x 1＋x 2＝2×12＝1，y 1＋y 2＝(－1)×2＝－2， x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12，y 1－y 2x 1－x 2＝－14， 即直线AB 的斜率为－14， 直线l 的方程为y ＋1＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋8y ＋7＝0.9．(2019·河南洛阳一模)已知直线y ＝2x ＋2与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)交于P ，Q 两点，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线，交抛物线于点A ，若|A P →＋A Q →|＝|A P →－A Q →|，则a ＝ 2 .解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋2，y ＝ax 2得ax 2－2x －2＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－2a ， 设PQ 的中点为M ，则x M ＝x A ＝1a ，y A ＝ax 2A ＝1a ，由|A P →＋A Q →|＝|A P →－A Q →|可得A P →·A Q →＝0， 即AP ⊥AQ ，又M 是线段PQ 的中点，∴2|AM |＝|PQ |，由于MA ⊥x 轴，∴|MA |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ＋2－1a ＝1a ＋2，又|PQ |＝5|x 1－x 2|＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝5·4a 2＋8a ，∴4⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋22＝5⎝⎛⎭⎪⎫4a 2＋8a ，解得a ＝2，此时满足Δ＞0成立．故a ＝2.10．(2019·鹰潭模拟)设P 为双曲线x 236－y 225＝1右支上的任意一点，O 为坐标原点，过点P 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A ，B 两点，则平行四边形P AOB 的面积为 15 .解析：设P (x 0，y 0)(不妨设P 在第一象限)，A 在第一象限，直线P A 的方程为y －y 0＝－56(x －x 0)，直线OA 方程为y ＝56x ，联立解得x A ＝6y 0＋5x 010，又P 到渐近线OA 的距离为d ＝|5x 0－6y 0|61，又tan ∠xOA ＝56，所以cos ∠xOA ＝661.所以平行四边形P AOB 的面积为S ＝2S △OP A ＝|OA |·d ＝|x A |·d cos ∠xOA ＝616×110|6y 0＋5x 0|×|6y 0－5x 0|61＝15.11．(2019·云南11校跨区联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，点A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，点C 在E 上，且△ABC 面积的最大值为2 3.(1)求椭圆E 的方程；(2)设F 为E 的左焦点，点D 在直线x ＝－4上，过F 作DF 的垂线交椭圆E 于M ，N 两点．证明：直线OD 平分线段MN .解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，ab ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (－4，n )， 线段MN 的中点P (x 0，y 0)， 则2x 0＝x 1＋x 2,2y 0＝y 1＋y 2， 由(1)可得F (－1,0)，则直线DF 的斜率为k DF ＝n －0－4－(－1)＝－n3，当n ＝0时，直线MN 的斜率不存在， 根据椭圆的对称性可知OD 平分线段MN . 当n ≠0时，直线MN 的斜率k MN ＝3n ＝y 1－y 2x 1－x 2.∵点M ，N 在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，整理得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0， 又2x 0＝x 1＋x 2,2y 0＝y 1＋y 2，∴y 0x 0＝－n 4，直线OP 的斜率为k OP ＝－n 4， ∵直线OD 的斜率为k OD ＝－n4， ∴直线OD 平分线段MN .12．(2017·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程．解：(1)设F 的坐标为(－c,0)．依题意，c a ＝12，p 2＝a ，a －c ＝12，解得a ＝1，c ＝12，p ＝2，于是b 2＝a 2－c 2＝34.所以，椭圆的方程为x 2＋4y23＝1，抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与直线l 的方程x ＝－1联立，可得点P ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－2m ，故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2m . 将x ＝my ＋1与x 2＋4y 23＝1联立，消去x ，整理得(3m 2＋4)y 2＋6my＝0，解得y ＝0或y ＝－6m 3m 2＋4.由点B 异于点A ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4，－6m 3m 2＋4.由Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2m ，可得直线BQ 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋4－2m (x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2m ＝0，令y ＝0，解得x ＝2－3m 23m 2＋2，故D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3m 23m 2＋2，0.所以|AD |＝1－2－3m 23m 2＋2＝6m 23m 2＋2.又因为△APD 的面积为62，故12×6m 23m 2＋2×2|m |＝62，整理得3m 2－26|m |＋2＝0，解得|m |＝63，所以m ＝±63.所以，直线AP 的方程为3x ＋6y －3＝0或3x －6y －3＝0.13．(2019·河南郑州一模)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (5，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C 点，|BF |＝3，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝( D )A.34 B ．45 C.56D ．67解析：不妨设点A 在第一象限，B 在第四象限，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋ 5.由y 2＝4x 得p ＝2，因为|BF |＝3＝x 2＋p2＝x 2＋1，所以x 2＝2，则y 22＝4x 2＝4×2＝8，所以y 2＝－22，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋5，得y 2－4my －45＝0，由根与系数的关系，得y 1y 2＝－45，所以y 1＝10，由y 21＝4x 1，得x 1＝52.过点A 作AA ′垂直于准线x ＝－1，垂足为A ′，过点B 作BB ′垂直于准线x ＝－1，垂足为B ′，易知△CBB ′∽△CAA ′，所以S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB ′||AA ′|.又|BB ′|＝|BF |＝3，|AA ′|＝x 1＋p 2＝52＋1＝72，所以S △BCF S △ACF＝372＝67.故选D.14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 的值为( A )A.32 B ．52 C ．2D ．3解析：由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2， 所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)， 不妨设x 1＜x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而 x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋y 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54， 因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上， 所以54＝－14＋m ，解得m ＝32.15．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，A 为抛物线上一点(A 不同于原点O )，过焦点F 作直线平行于OA ，交抛物线于P ，Q 两点．若过焦点F 且垂直于x 轴的直线交直线OA 于B ，则|FP |·|FQ |－|OA |·|OB |＝ 0 .解析：设OA 所在的直线的斜率为k ，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px 得到A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k ，易知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，kp 2， P ，Q 的坐标由方程组⎩⎨⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px得到，消去x ，得ky 22p －y －kp 2＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由根与系数的关系得，y 1y 2＝－p 2，根据弦长公式，|FP |·|FQ |＝1＋1k 2·|y 1|·1＋1k 2·|y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2|y 1y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2p 2，而|OA |·|OB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kp 22＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k 2p 2， 所以|FP |·|FQ |－|OA |·|OB |＝0.16．(2019·湖北调研)已知椭圆Γ：x 24＋y 22＝1，过点P (1,1)作倾斜角互补的两条不同直线l 1，l 2，设l 1与椭圆Γ交于A 、B 两点，l 2与椭圆Γ交于C ，D 两点．(1)若P (1,1)为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；(2)若直线l 1与l 2的斜率都存在，记λ＝|AB ||CD |，求λ的取值范围．解：(1)解法一(点差法)：由题意可知直线AB 的斜率存在．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝－24·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－24·2×12×1＝－12， ∴直线AB 的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.解法二：由题意可知直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则其方程为y －1＝k (x －1)，代入x 2＋2y 2＝4中，得x 2＋2[kx －(k －1)]2－4＝0.∴(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2(k －1)2－4＝0.Δ＝[－4(k －1)k ]2－4(2k 2＋1)[2(k －1)2－4]＝8(3k 2＋2k ＋1)＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝4k (k －1)2k 2＋1，x 1x 2＝2(k －1)2－42k 2＋1.∵AB 中点为(1,1)，∴12(x 1＋x 2)＝2k (k －1)2k 2＋1＝1， 则k ＝－12.∴直线AB 的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.(2)由(1)可知|AB |＝1＋k 2 |x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·8(3k 2＋2k ＋1)2k 2＋1. 设直线CD 的方程为y －1＝－k (x －1)(k ≠0)．同理可得|CD |＝1＋k 2·8(3k 2－2k ＋1)2k 2＋1. ∴λ＝|AB ||CD |＝ 3k 2＋2k ＋13k 2－2k ＋1(k ≠0)，λ＞0. ∴λ2＝1＋4k 3k 2＋1－2k ＝1＋43k ＋1k －2. 令t ＝3k ＋1k ，则t ∈(－∞，－2 3 ]∪[23，＋∞)，令g (t )＝1＋4t －2，t ∈(－∞，－2 3 ]∪[23，＋∞)， ∵g (t )在(－∞，－23]，[23，＋∞)上单调递减， ∴2－3≤g (t )＜1或1＜g (t )≤2＋ 3.故2－3≤λ2＜1或1＜λ2≤2＋ 3.∴λ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫6－22，1∪⎝ ⎛⎦⎥⎤1，6＋22.。
【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (32)
课时作业32 等比数列及其前n 项和1．已知正项等比数列{a n }满足a 3＝1，a 5与32a 4的等差中项为12，则a 1的值为( A ) A ．4 B ．2 C.12 D.14 解析：由题意知2×12＝a 5＋32a 4，即3a 4＋2a 5＝2. 设{a n }的公比为q (q ＞0)，则由a 3＝1， 得3q ＋2q 2＝2，解得q ＝12或q ＝－2(舍去)， 所以a 1＝a 3q 2＝4. 2．(2019·益阳调研)已知等比数列{a n }中，a 5＝3，a 4a 7＝45，则a 7－a 9a 5－a 7的值为( D ) A ．3 B ．5 C ．9 D ．25 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 7＝a 5q ·a 5q 2＝9q ＝45，所以q ＝5，a 7－a 9a 5－a 7＝a 5q 2－a 7q 2a 5－a 7＝q 2＝25.故选D. 3．(2019·武昌调研)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋2＝4S n ＋3恒成立，则a 1的值为( C ) A ．－3 B ．1 C ．－3或1 D ．1或3 解析：设等比数列{a n }的公比为q ， 当q ＝1时，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，S n ＝na 1， 由S n ＋2＝4S n ＋3得，(n ＋2)a 1＝4na 1＋3，即3a 1n ＝2a 1－3，若对任意的正整数n,3a 1n ＝2a 1－3恒成立， 则a 1＝0且2a 1－3＝0，矛盾，所以q ≠1， 所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ，S n ＋2＝a 1(1－q n ＋2)1－q ， 代入S n ＋2＝4S n ＋3并化简得a 1(4－q 2)q n ＝3＋3a 1－3q ，若对任意的正整数n 该等式恒成立， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ 4－q 2＝0，3＋3a 1－3q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－3，q ＝－2， 故a 1＝1或－3，故选C. 4．(2019·西安八校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝－33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( A ) A ．－ 3 B ．－1 C ．－33 D. 3 解析：依题意得，a 36＝(－3)3，a 6＝－3，3b 6＝7π，b 6＝7π3，b 3＋b 91－a 4·a 8＝2b 61－a 26＝－7π3，故tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝－tan π3＝－ 3. 5．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( D ) A.32f B.322f C.1225f D.1227f 解析：由题意知，十三个单音的频率构成首项为f ，公比为122的等比数列，设该等比数列为{a n }，则a 8＝a 1q 7，即a 8＝1227f ，故选D. 6．在正项数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( A ) A ．2n ＋1－2 B ．2n ＋1 C ．2n 2－ 2 D ．2n ＋22－ 2 解析：因为点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上， 所以a n －2·a n －1＝0. 又因为a n ＞0，所以a n a n －1＝2(n ≥2)． 又a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 所以所求的S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2. 7．(2019·天津实验中学月考)设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝( B ) A ．210 B ．220 C ．216 D ．215 解析：因为a 1a 2a 3＝a 32，a 4a 5a 6＝a 35，a 7a 8a 9＝a 38，…，a 28a 29a 30＝a 329，所以a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9…a 28a 29a 30＝(a 2a 5a 8…a 29)3＝230.所以a 2a 5a 8…a 29＝210.则a 3a 6a 9…a 30＝(a 2q )(a 5q )(a 8q )…(a 29q )＝(a 2a 5a 8…a 29)q 10＝210×210＝220，故选B. 8．(2019·山西太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( D ) A ．S n ＝2T n B ．T n ＝2b n ＋1 C ．T n ＞a n D ．T n ＜b n ＋1 解析：由题意可得S n ＋3＝3×2n ，S n ＝3×2n －3， 由等比数列前n 项和的特点可得数列{a n }是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式a n ＝3×2n －1， 设b n ＝b 1q n －1，则b 1q n －1＋b 1q n ＝3×2n －1， 当n ＝1时，b 1＋b 1q ＝3， 当n ＝2时，b 1q ＋b 1q 2＝6， 解得b 1＝1，q ＝2， 数列{b n }的通项公式b n ＝2n －1， 由等比数列求和公式有：T n ＝2n －1，观察所给的选项： S n ＝3T n ，T n ＝2b n －1，T n ＜a n ，T n ＜b n ＋1. 9．在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 2 018＝22，则1a 2 017＋2a 2 019的最小值为 4 . 解析：设公比为q (q ＞0)，因为a 2 018＝22， 所以a 2 017＝a 2 018q ＝22q ，a 2 019＝a 2 018q ＝22q ， 则有1a 2 017＋2a 2 019＝2q ＋222q ＝2q ＋22q ≥2 2 q ×2q ＝4，当且仅当q 2＝2， 即q ＝2时取等号，故所求最小值为4. 10．(2019·湖北荆州一模)已知等比数列{a n }的公比不为－1，设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S 12＝7S 4，则S 8S 4＝ 3 . 解析：由题意可知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列， 则(S 8－S 4)2＝S 4·(S 12－S 8)， 又S 12＝7S 4，∴(S 8－S 4)2＝S 4·(7S 4－S 8)， 可得S 28－6S 24－S 8S 4＝0，两边都除以S 24， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫S 8S 42－S 8S 4－6＝0，解得S 8S 4＝3或－2， 又S 8S 4＝1＋q 4(q 为{a n }的公比)，∴S 8S 4＞1，∴S 8S 4＝3. 11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1. (1)求a 4的值； (2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列． 解：(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1， 即4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1， 解得a 4＝78. (2)证明：因为4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 所以4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)． 又因为4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2， 所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1， 所以a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n ＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2(2a n ＋1－a n )＝12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．12．(2016·四川卷)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q ＞0，n ∈N *. (1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求数列{a n }的通项公式； (2)设双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n ＞4n －3n 3n －1. 解：(1)由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1， 两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1. 又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1， 故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立． 所以，数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列． 从而a n ＝q n －1. 由2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列， 可得2a 3＝3a 2＋2， 即2q 2＝3q ＋2，则(2q ＋1)(q －2)＝0， 由已知，q ＞0，故q ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)证明：由(1)可知，a n ＝q n －1. 所以双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋q 2(n －1). 由e 2＝1＋q 2＝53，解得q ＝43. 因为1＋q 2(k －1)＞q 2(k －1)， 所以1＋q 2(k －1)＞q k －1(k ∈N *)． 于是e 1＋e 2＋…＋e n ＞1＋q ＋…＋q n －1＝q n －1q －1， 故e 1＋e 2＋…＋e n ＞4n －3n 3n －1.13．(2019·山东实验中学诊断测试)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应偿还a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( D ) A ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且a ＝507 B ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且c ＝507 C ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且a ＝507 D ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且c ＝507 解析：由题意可知b ＝12a ，c ＝12b ， ∴b a ＝12，c b ＝12. ∴a 、b 、c 成等比数列且公比为12. ∵1斗＝10升，∴5斗＝50升，∴a ＋b ＋c ＝50， 又易知a ＝4c ，b ＝2c ，∴4c ＋2c ＋c ＝50， ∴7c ＝50，∴c ＝507，故选D. 14．(2019·郑州第一次质量预测)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜t ，则实数t 的取值范围为( D ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：依题意得，当n ≥2时， a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n 22(n －1)2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1， 又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＜23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 15．(2019·东北三省三校联考)各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为 a n ＝n (n ＋1)2 . 解析：由题意知2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1， ∴a n ＋1＝b n b n ＋1， 当n ≥2时，2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1， ∵b n ＞0，∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1， ∴{b n }成等差数列， 由a 1＝1，a 2＝3，得b 1＝2，b 2＝92， ∴b 1＝2，b 2＝322， ∴公差d ＝22， ∴b n ＝n ＋122，∴b n ＝(n ＋1)22， ∴a n ＝b n －1b n ＝n (n ＋1)2. 16．已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列， 所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3， 即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12. 又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)证明：由(1)知，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ， S n ＋1S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎨⎧ 2＋12n (2n ＋1)，n 为奇数，2＋12n (2n －1)，n 为偶数. 当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小， 所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136. 当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小， 所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512. 故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.。
【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (52)
课时作业52 直线与圆、圆与圆的位置关系1．若直线x ＋my ＝2＋m 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相交，则实数m 的取值范围为( D ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) 解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (1,1)，半径r ＝1.因为直线与圆相交，所以d ＝|1＋m －2－m |1＋m 2＜r ＝1.解得m ＞0或m ＜0，故选D. 2．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( A ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 解析：切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，故可设切线方程为2x ＋y ＋c ＝0(c ≠1)，结合题意可得|c |5＝5，解得c ＝±5.故选A. 3．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( D ) A.12 B ．1 C.22 D. 2 解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 4．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( C ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 解析：方法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的坐标代入得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝25， 所以|MN |＝225－1＝4 6. 方法二：因为k AB ＝－13，k BC ＝3， 所以k AB k BC ＝－1，所以AB ⊥BC ， 所以△ABC 为直角三角形，所以△ABC 的外接圆圆心为AC 的中点(1，－2)，半径r ＝12|AC |＝5， 所以|MN |＝225－1＝4 6. 方法三：由AB →·BC →＝0得AB ⊥BC ，下同方法二． 5．(2019·湖北四地七校联考)若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x ＋m )2＋y 2＝20相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是( B ) A ．3 B ．4 C ．2 3 D ．8 解析：连接O 1A 、O 2A ，如图，由于⊙O 1与⊙O 2在点A 处的切线互相垂直， 因此O 1A ⊥O 2A ，所以O 1O 22＝O 1A 2＋O 2A 2， 即m 2＝5＋20＝25，设AB 交x 轴于点C . 在Rt △O 1AO 2中，sin ∠AO 2O 1＝55， ∴在Rt △ACO 2中，AC ＝AO 2·sin ∠AO 2O 1＝25×55＝2，∴AB ＝2AC ＝4.故选B. 6．(2019·山西太原五中模拟)已知k ∈R ，点P (a ，b )是直线x ＋y ＝2k 与圆x 2＋y 2＝k 2－2k ＋3的公共点，则ab 的最大值为( B ) A ．15 B ．9 C ．1 D ．－53 解析：由题意得，原点到直线x ＋y ＝2k 的距离d ＝|－2k |2 ≤k 2－2k ＋3，且k 2－2k ＋3＞0，解得－3≤k ≤1，因为2ab ＝(a ＋b )2－(a 2＋b 2)＝4k 2－(k 2－2k ＋3)＝3k 2＋2k －3，所以当k ＝－3时，ab 取得最大值9，故选B. 7．(2019·河南郑州外国语中学调研)已知圆C 1：(x ＋2a )2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2 ＋1b 2的最小值为( D ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．9 解析：由题意可知，圆C 1的圆心为(－2a,0)，半径为2，圆C 2的圆心为(0，b )，半径为1，因为两圆只有一条公切线，所以两圆内切， 所以(－2a －0)2＋(0－b )2＝2－1， 即4a 2＋b 2＝1. 所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2·(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a 2＝4a 2b 2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立，所以1a 2＋1b 2的最小值为9，故选D. 8．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( A ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，125 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，125 解析：因为圆心在直线y ＝2x －4上， 所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2， 化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0， 即x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M (x ，y )在圆C 上， 所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤CD ≤2＋1， 即1≤a 2＋(2a －3)2≤3. 由a 2＋(2a －3)2≥1得5a 2－12a ＋8≥0，解得a ∈R ； 由a 2＋(2a －3)2≤3得5a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.故选A. 9．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y－8＝0解析：两式相减整理得x －2y ＋4＝0，即为两圆公共弦所在直线的方程． 解法一：设两圆相交于点A ，B ， 则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2. 所以|AB |＝(0＋4)2＋(2－0)2＝25， 即公共弦长为2 5. 解法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0， 得圆心坐标为(1，－5)，半径r ＝5 2. 圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×(－5)＋4|12＋(－2)2＝35， 设两圆的公共弦长为l ， 由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22， 得l ＝2r 2－d 2＝2(52)2－(35)2＝25， 即两圆的公共弦长为2 5. 10．(2019·湖南湘中名校联考)已知m ＞0，n ＞0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是 解析：因为m ＞0，n ＞0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，所以圆心C (1,1)到直线的距离为半径1， 所以|m ＋1＋n ＋1－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1， 即|m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2.两边平方并整理得mn ＝m ＋n ＋1. 由基本不等式mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22可得m ＋n ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22， 即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0， 解得m ＋n ≥2＋2 2. 当且仅当m ＝n 时等号成立． 11．(2019·广东深圳联考)如图，直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(－2,0)，直角顶点B 的坐标为(0，－22)，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．(1)求BC 边所在直线方程； (2)若M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程； (3)在(2)的条件下，若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心的轨迹方程． 解：(1)易知k AB ＝－2，AB ⊥BC ， ∴k CB ＝22， ∴BC 边所在直线方程为y ＝22x －2 2. (2)由(1)及题意得C (4,0)，∴M (1,0)， 又∵AM ＝3， ∴外接圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝9. (3)∵圆N 过点P (－1,0)，∴PN 是动圆的半径，又∵动圆N 与圆M 内切， ∴MN ＝3－PN ，即MN ＋PN ＝3， ∴点N 的轨迹是以M ，P 为焦点，长轴长为3的椭圆． ∵P (－1,0)，M (1,0)， ∴a ＝32，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝54， ∴所求轨迹方程为x 294＋y 254＝1，即4x 29＋4y 25＝1. 12．(2019·河北武邑中学模拟)已知⊙H 被直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0分成面积相等的四部分，且截x 轴所得线段的长为2. (1)求⊙H 的方程； (2)若存在过点P (a,0)的直线与⊙H 相交于M ，N 两点，且|PM |＝|MN |，求实数a 的取值范围． 解：(1)设⊙H 的方程为(x －m )2＋(y －n )2＝r 2(r ＞0)， 因为⊙H 被直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0分成面积相等的四部分，所以圆心H (m ，n )一定是两互相垂直的直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0的交点，易得交点坐标为(2,1)，所以m ＝2，n ＝1. 又⊙H 截x 轴所得线段的长为2，所以r 2＝12＋n 2＝2. 所以⊙H 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2. (2)设N (x 0，y 0)，由题意易知点M 是PN 的中点， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋a 2，y 02. 因为M ，N 两点均在⊙H 上， 所以(x 0－2)2＋(y 0－1)2＝2，① ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋a 2－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 02－12＝2， 即(x 0＋a －4)2＋(y 0－2)2＝8，② 设⊙I ：(x ＋a －4)2＋(y －2)2＝8， 由①②知⊙H 与⊙I ：(x ＋a －4)2＋(y －2)2＝8有公共点，从而22－2≤|HI |≤22＋2，即2≤(a －2)2＋(1－2)2≤32， 整理可得2≤a 2－4a ＋5≤18， 解得2－17≤a ≤1或3≤a ≤2＋17， 所以实数a 的取值范围是[2－17，1]∪[3,2＋17]．13．若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为( D ) A.12 B.32 C.34 D.34 解析：由已知可得圆心到直线2ax ＋by －2＝0的距离d ＝24a 2＋b 2，则直线被圆截得的弦长为24－44a 2＋b 2＝23，化简得4a 2＋b 2＝4. ∴t ＝a 1＋2b 2＝122·(22a )·1＋2b 2 ≤142[(22a )2＋(1＋2b 2)2]＝142(8a 2＋2b 2＋1)＝942，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，即t 取最大值，此时a ＝34(舍负)，故选D. 14．(2019·江西新余五校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2,1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为( D ) A ．x －y －3＝0或7x －y －15＝0 B ．x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0 C ．x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0 D ．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0 解析：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2， 则P ，Q 的坐标为(2，5)，(2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝2 5. 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠12， 则圆心到直线PQ 的距离d ＝|1－2k |1＋k 2， 由平面几何知识得|PQ |＝29－d 2， S △OPQ ＝12·|PQ |·d ＝12·29－d 2·d ＝(9－d 2)d 2≤ ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－d 2＋d 222＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92. 因为25＜92，所以S △OPQ 的最大值为92， 此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0. 15．在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若P A →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是解析：解法一：设P (x ，y )，则由P A →·PB →≤20可得， (－12－x )(－x )＋(－y )(6－y )≤20， 即(x ＋6)2＋(y －3)2≤65， 所以P 为圆(x ＋6)2＋(y －3)2＝65上或其内部一点． 又点P 在圆x 2＋y 2＝50上， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝50，(x ＋6)2＋(y －3)2＝65， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－5，y ＝－5， 即P 为圆x 2＋y 2＝50的劣弧MN 上的一点(如图)，易知－52≤x ≤1. 解法二：设P (x ，y )，则由P A →·PB →≤20， 可得(－12－x )(－x )＋(－y )(6－y )≤20， 即x 2＋12x ＋y 2－6y ≤20， 由于点P 在圆x 2＋y 2＝50上， 故12x －6y ＋30≤0，即2x －y ＋5≤0， ∴点P 为圆x 2＋y 2＝50上且满足2x －y ＋5≤0的点，即P 为圆x 2＋y 2＝50的劣弧MN 上的一点(如图)，同解法一，可得N (1,7)，M (－5，－5)， 易知－52≤x ≤1. 16．已知点G (5,4)，圆C 1：(x －1)2＋(y －4)2＝25，过点G 的动直线l 与圆C 1相交于E ，F 两点，线段EF 的中点为C ，且C 在圆C 2上． (1)若直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)经过点G ，求mn 的最大值； (2)求圆C 2的方程； (3)若过点A (1,0)的直线l 1与圆C 2相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M .l 1与l 2：x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，求证：|AM |·|AN |为定值．【人教版】红对勾2020届高考一轮数学（理）复习：课时作业解：(1)∵点G(5,4)在直线mx＋ny－1＝0上，∴5m＋4n＝1,5m＋4n≥220mn(当且仅当5m＝4n时取等号)，∴1≥80mn，即mn≤180，∴(mn)max＝180.(2)由已知得圆C1的圆心为(1,4)，半径为5，设C(x，y)，则C1C→＝(x－1，y－4)，CG→＝(5－x,4－y)，由题设知C1C→·CG→＝0，∴(x－1)(5－x)＋(y－4)(4－y)＝0，即(x－3)2＋(y－4)2＝4，∴C2的方程是(x－3)2＋(y－4)2＝4.(3)证明：当直线l1的斜率不存在时，直线l1与圆C2相切，当直线l1的斜率为0时，直线l1与圆C2相离，故设直线l1的方程为kx－y－k＝0(k≠0)．由直线l1与圆C2相交，得|3k－4－k|k2＋1＜2，解得k＞34.由⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y＋2＝0，kx－y－k＝0得N⎝⎛⎭⎪⎫2k－22k＋1，－3k2k＋1，又直线C2M与l1垂直，由⎩⎨⎧y＝kx－k，y－4＝－1k(x－3)得M⎝⎛⎭⎪⎫k2＋4k＋31＋k2，4k2＋2k1＋k2，∴|AM|·|AN|＝⎝⎛⎭⎪⎫k2＋4k＋31＋k2－12＋⎝⎛⎭⎪⎫4k2＋2k1＋k22·⎝⎛⎭⎪⎫2k－22k＋1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫－3k2k＋12＝2|2k＋1|1＋k2·1＋k2·31＋k2|2k＋1|＝6(定值)．。
【精选】人教版2020届高考数学(理)一轮复习课时作业20
课时作业20 三角函数的图象与性质1．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( A ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④D ．①③解析：①y ＝cos|2x |＝cos2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2. 2．关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( C ) A ．是奇函数B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错误；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错误；最小正周期为π2，D 错误．∵当x ＝π6时，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心． 3．(2019·石家庄检测)若⎝⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( C )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6.4．(2019·佛山模拟)已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的一个单调递减区间是( B )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π解析：因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6，k ∈Z .不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π＋π2＜2x －π6＜2k π＋3π2(k ∈Z )， 得k π＋π3＜x ＜k π＋56π(k ∈Z )．取k ＝0，得函数f (x )的一个单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，56π.5．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象过点(0，3)，则f (x )图象的一个对称中心是( B )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0解析：函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象过点(0，3)，则f (0)＝2sin φ＝3，∴sin φ＝32，又|φ|＜π2，∴φ＝π3， 则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )， 则x ＝k π2－π6(k ∈Z )， 当k ＝0时，x ＝－π6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数f (x )的图象的一个对称中心． 6．(2019·湖南衡阳八中月考)定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .例如1]( D )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22B ．[－1,1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22解析：根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可．设x ∈[0,2π]，当π4≤x ≤5π4时，sin x ≥cos x ，f (x )＝cos x ，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，当0≤x ＜π4或5π4＜x ≤2π时，cos x ＞sin x ，f (x )＝sin x ，f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，22∪[－1,0]．综上知f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.7．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，若f (x )＞1对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，则φ的取值范围是( B )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，－π12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 解析：由题意可得函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1的最大值为3. ∵f (x )的图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3， ∴f (x )的周期T ＝2π3，∴2πω＝2π3， 解得ω＝3，∴f (x )＝2cos(3x ＋φ)＋1.∵f (x )＞1对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，∴2cos(3x ＋φ)＋1＞1， 即cos(3x ＋φ)＞0，对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，∴－π4＋φ≥2k π－π2且π2＋φ≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得φ≥2k π－π4且φ≤2k π，k ∈Z ， 即2k π－π4≤φ≤2k π，k ∈Z .结合|φ|＜π2可得当k ＝0时，φ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0. 8．(2019·烟台检测)若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0＜φ＜π)是奇函数，则φ＝5π6 .解析：因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0＜φ＜π，故φ＝5π6.9．已知关于x 的方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－a ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上存在两个根，则实数a 的取值范围是[2,3)__．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a －12在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上存在两个根，设x ＋π6＝t ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴y ＝sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的图象与直线y ＝a －12有两个交点，∴12≤a －12＜1，∴2≤a ＜3.10．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为2__.解析：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4的周期T ＝2π×2π＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值， 故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.11．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．解：(1)f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 由－π2≤φ＜π2得k ＝0， 所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. 因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋158. 12．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ， 得x ＝k π2＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z . (2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . (3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.13．(2019·龙岩六校联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞0，则f (x )的单调递减区间是( C )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π4(k ∈Z )B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 解析：由题意可得函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π4对称，故有2×π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π，k ∈Z .又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＞0，所以φ＝2n π，n ∈Z ， 所以f (x )＝sin(2x ＋2n π)＝sin2x .令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，求得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4，k ∈Z ，故选C ．14．设ω∈N *且ω≤15，则使函数y ＝sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3上不单调的ω的个数是( C )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：由ωx ＝π2＋k π(k ∈Z )得函数y ＝sin ωx 的图象的对称轴为x ＝π2ω＋k πω(k ∈Z )．∵函数y ＝sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3上不单调，∴π4＜π2ω＋k πω＜π3(k ∈Z )， 解得1.5＋3k ＜ω＜2＋4k (k ∈Z )． 由题意ω∈N *且ω≤15，∴当k ＝0时，1.5＜ω＜2，此时ω没有正整数可取； 当k ＝1时，4.5＜ω＜6，此时ω可以取5； 当k ＝2时，7.5＜ω＜10，此时ω可以取8,9； 当k ＝3时，10.5＜ω＜14，此时ω可以取11,12,13； 当k ＝4时，13.5＜ω＜18，此时ω可以取14,15.故满足题意的ω有8个，分别为5,8,9,11,12,13,14,15.故选C ． 15．若函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝4_035__.解析：∵函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1＝A ·1＋cos (2ωx ＋2φ)2＋1 ＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A2的最大值为3， ∴A 2＋1＋A2＝3，∴A ＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即2π2ω＝4，∴ω＝π4.再根据f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)， 可得cos2φ＋1＋1＝2，∴cos2φ＝0， 又0＜φ＜π2，∴2φ＝π2，φ＝π4. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＋2＝－sin π2x ＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin π2＋sin 2π2＋sin 3π2＋…＋sin 2 017π2＋sin 2 018π2 ＋2×2 018＝504×0－sin π2－sinπ＋4 036＝－1＋4 036＝4 035.16．已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x －1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若h (x )＝f (x ＋t )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t的值；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，不等式|f (x )－m |＜3恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos2x ＝sin2x －3cos2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2x －32cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故f (x )的最小正周期为π. (2)由(1)知h (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π3.令2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2t －π3＝k π(k ∈Z )， 得t ＝k π2＋π3(k ∈Z )， 又t ∈(0，π)，故t ＝π3或5π6.(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3， 所以f (x )∈[1,2]． 又|f (x )－m |＜3， 即f (x )－3＜m ＜f (x )＋3， 所以2－3＜m ＜1＋3， 即－1＜m ＜4.故实数m 的取值范围是(－1,4)．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时作业52 直线与圆、圆与圆的位置关系1．若直线x ＋my ＝2＋m 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相交，则实数m 的取值范围为( D )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) 解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (1,1)，半径r＝1.因为直线与圆相交，所以d ＝|1＋m －2－m |1＋m2＜r ＝1.解得m ＞0或m ＜0，故选D.2．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( A )A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0解析：切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，故可设切线方程为2x ＋y ＋c ＝0(c ≠1)，结合题意可得|c |5＝5，解得c ＝±5.故选A. 3．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( D ) A.12B ．1 C.22 D. 2解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 4．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( C )A ．26B ．8C ．46D ．10解析：方法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的坐标代入得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，所以|MN |＝225－1＝4 6.方法二：因为k AB ＝－13，k BC ＝3，所以k AB k BC ＝－1，所以AB ⊥BC ，所以△ABC 为直角三角形，所以△ABC 的外接圆圆心为AC 的中点(1，－2)，半径r ＝12|AC |＝5，所以|MN |＝225－1＝4 6.方法三：由AB →·BC→＝0得AB ⊥BC ，下同方法二． 5．(2019·湖北四地七校联考)若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x ＋m )2＋y 2＝20相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是( B ) A ．3B ．4C ．2 3D ．8解析：连接O 1A 、O 2A ，如图，由于⊙O 1与⊙O 2在点A 处的切线互相垂直，因此O 1A ⊥O 2A ，所以O 1O 22＝O 1A 2＋O 2A 2，即m 2＝5＋20＝25，设AB 交x 轴于点C .在Rt △O 1AO 2中，sin ∠AO 2O 1＝55，∴在Rt △ACO 2中，AC ＝AO 2·sin ∠AO 2O 1＝25×55＝2，∴AB＝2AC ＝4.故选B.6．(2019·山西太原五中模拟)已知k ∈R ，点P (a ，b )是直线x ＋y ＝2k 与圆x 2＋y 2＝k 2－2k ＋3的公共点，则ab 的最大值为( B )A ．15B ．9C ．1D ．－53解析：由题意得，原点到直线x ＋y ＝2k 的距离d ＝|－2k |2≤k 2－2k ＋3，且k 2－2k ＋3＞0，解得－3≤k ≤1，因为2ab ＝(a ＋b )2－(a 2＋b 2)＝4k 2－(k 2－2k ＋3)＝3k 2＋2k －3，所以当k ＝－3时，ab 取得最大值9，故选B.7．(2019·河南郑州外国语中学调研)已知圆C 1：(x ＋2a )2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2 ＋1b 2的最小值为( D )A ．2B ．4C ．8D ．9解析：由题意可知，圆C 1的圆心为(－2a,0)，半径为2，圆C 2的圆心为(0，b )，半径为1，因为两圆只有一条公切线，所以两圆内切， 所以(－2a －0)2＋(0－b )2＝2－1，即4a 2＋b 2＝1.所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2·(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a 2＝4a 2b 2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立，所以1a 2＋1b 2的最小值为9，故选D.8．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( A )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，125 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，125 解析：因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3.由a 2＋(2a －3)2≥1得5a 2－12a ＋8≥0，解得a ∈R ；由a 2＋(2a －3)2≤3得5a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.故选A. 9．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y－8＝0解析：两式相减整理得x －2y ＋4＝0，即为两圆公共弦所在直线的方程．解法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以|AB |＝(0＋4)2＋(2－0)2＝25，即公共弦长为2 5.解法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0， 得圆心坐标为(1，－5)，半径r ＝5 2.圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×(－5)＋4|12＋(－2)2＝35， 设两圆的公共弦长为l ，由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22， 得l ＝2r 2－d 2＝2(52)2－(35)2＝25，即两圆的公共弦长为2 5.10．(2019·湖南湘中名校联考)已知m ＞0，n ＞0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是 解析：因为m ＞0，n ＞0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，所以圆心C (1,1)到直线的距离为半径1， 所以|m ＋1＋n ＋1－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，即|m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2.两边平方并整理得mn ＝m ＋n ＋1.由基本不等式mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22可得m ＋n ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22， 即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≥2＋2 2.当且仅当m ＝n 时等号成立．11．(2019·广东深圳联考)如图，直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(－2,0)，直角顶点B 的坐标为(0，－22)，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．(1)求BC 边所在直线方程；(2)若M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；(3)在(2)的条件下，若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心的轨迹方程．解：(1)易知k AB ＝－2，AB ⊥BC ，∴k CB ＝22，∴BC 边所在直线方程为y ＝22x －2 2.(2)由(1)及题意得C (4,0)，∴M (1,0)，又∵AM ＝3，∴外接圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝9.(3)∵圆N 过点P (－1,0)，∴PN 是动圆的半径，又∵动圆N 与圆M 内切，∴MN ＝3－PN ，即MN ＋PN ＝3，∴点N 的轨迹是以M ，P 为焦点，长轴长为3的椭圆．∵P (－1,0)，M (1,0)，∴a ＝32，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝54，∴所求轨迹方程为x 294＋y 254＝1，即4x 29＋4y 25＝1.12．(2019·河北武邑中学模拟)已知⊙H 被直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0分成面积相等的四部分，且截x 轴所得线段的长为2.(1)求⊙H 的方程；(2)若存在过点P (a,0)的直线与⊙H 相交于M ，N 两点，且|PM |＝|MN |，求实数a 的取值范围．解：(1)设⊙H 的方程为(x －m )2＋(y －n )2＝r 2(r ＞0)，因为⊙H 被直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0分成面积相等的四部分，所以圆心H (m ，n )一定是两互相垂直的直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0的交点，易得交点坐标为(2,1)，所以m ＝2，n ＝1.又⊙H 截x 轴所得线段的长为2，所以r 2＝12＋n 2＝2.所以⊙H 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2.(2)设N (x 0，y 0)，由题意易知点M 是PN 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋a 2，y 02. 因为M ，N 两点均在⊙H 上，所以(x 0－2)2＋(y 0－1)2＝2，①⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋a 2－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 02－12＝2， 即(x 0＋a －4)2＋(y 0－2)2＝8，②设⊙I ：(x ＋a －4)2＋(y －2)2＝8，由①②知⊙H 与⊙I ：(x ＋a －4)2＋(y －2)2＝8有公共点，从而22－2≤|HI |≤22＋2， 即2≤(a －2)2＋(1－2)2≤32，整理可得2≤a 2－4a ＋5≤18，解得2－17≤a ≤1或3≤a ≤2＋17，所以实数a 的取值范围是[2－17，1]∪[3,2＋17]．13．若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为( D )A.12B.32C.34D.34解析：由已知可得圆心到直线2ax ＋by －2＝0的距离d ＝24a 2＋b2，则直线被圆截得的弦长为24－44a 2＋b 2＝23，化简得4a 2＋b 2＝4.∴t ＝a 1＋2b 2＝122·(22a )·1＋2b 2 ≤142[(22a )2＋(1＋2b 2)2]＝142(8a 2＋2b 2＋1)＝942，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，即t 取最大值，此时a ＝34(舍负)，故选D.14．(2019·江西新余五校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2,1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为( D )A ．x －y －3＝0或7x －y －15＝0B ．x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0C ．x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0D ．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0解析：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P ，Q 的坐标为(2，5)，(2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝2 5.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫k ≠12， 则圆心到直线PQ 的距离d ＝|1－2k |1＋k 2， 由平面几何知识得|PQ |＝29－d 2，S △OPQ ＝12·|PQ |·d ＝12·29－d 2·d ＝(9－d 2)d 2≤ ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－d 2＋d 222＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92.因为25＜92，所以S △OPQ 的最大值为92，此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0.15．在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若P A →·PB→≤20，则点P 的横坐标的取值范围是解析：解法一：设P (x ，y )，则由P A →·PB→≤20可得， (－12－x )(－x )＋(－y )(6－y )≤20，即(x ＋6)2＋(y －3)2≤65，所以P 为圆(x ＋6)2＋(y －3)2＝65上或其内部一点．又点P 在圆x 2＋y 2＝50上，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，(x ＋6)2＋(y －3)2＝65， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－5， 即P 为圆x 2＋y 2＝50的劣弧MN 上的一点(如图)，易知－52≤x ≤1.解法二：设P (x ，y )，则由P A →·PB→≤20， 可得(－12－x )(－x )＋(－y )(6－y )≤20，即x 2＋12x ＋y 2－6y ≤20，由于点P 在圆x 2＋y 2＝50上，故12x －6y ＋30≤0，即2x －y ＋5≤0，∴点P 为圆x 2＋y 2＝50上且满足2x －y ＋5≤0的点，即P 为圆x 2＋y 2＝50的劣弧MN 上的一点(如图)，同解法一，可得N (1,7)，M (－5，－5)，易知－52≤x ≤1.16．已知点G (5,4)，圆C 1：(x －1)2＋(y －4)2＝25，过点G 的动直线l 与圆C 1相交于E ，F 两点，线段EF 的中点为C ，且C 在圆C 2上．(1)若直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)经过点G ，求mn 的最大值；(2)求圆C 2的方程；(3)若过点A (1,0)的直线l 1与圆C 2相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M .l 1与l 2：x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，求证：|AM |·|AN |为定值．解：(1)∵点G (5,4)在直线mx ＋ny －1＝0上，∴5m ＋4n ＝1,5m ＋4n ≥220mn (当且仅当5m ＝4n 时取等号)，∴1≥80mn ，即mn ≤180，∴(mn )max ＝180.(2)由已知得圆C 1的圆心为(1,4)，半径为5，设C (x ，y )，则C 1C →＝(x －1，y －4)，CG →＝(5－x,4－y )，由题设知C 1C →·CG →＝0， ∴(x －1)(5－x )＋(y －4)(4－y )＝0，即(x －3)2＋(y －4)2＝4，∴C 2的方程是(x －3)2＋(y －4)2＝4.(3)证明：当直线l 1的斜率不存在时，直线l 1与圆C 2相切， 当直线l 1的斜率为0时，直线l 1与圆C 2相离，故设直线l 1的方程为kx －y －k ＝0(k ≠0)．由直线l 1与圆C 2相交，得|3k －4－k |k 2＋1＜2，解得k ＞34. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1， 又直线C 2M 与l 1垂直，由⎩⎨⎧ y ＝kx －k ，y －4＝－1k (x －3)得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2，4k 2＋2k 1＋k 2， ∴|AM |·|AN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2k 1＋k 22· ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2k ＋12＝ 2|2k ＋1|1＋k 2·1＋k 2·31＋k 2|2k ＋1|＝6(定值)．。