江苏省扬州中学2020-2021学年高三上学期8月开学测试数学试题

江苏省扬州中学2020-2021学年高三上学期8月开学测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．若集合{|A x y ==，{|B x y ==，则A B =（ ）A ．[)1,+∞B ．[][)2,11,--+∞ C ．[)2,+∞D ．[][)2,12,--+∞2．设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若方程22153x y m m +=-+表示椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．()3,5-B ．()5,3-C ．()()3,11,5- D ．()()5,11,3-4．若函数(31)4,1(),1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．1183⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,,83⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭5．下列函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x=+B ．()4sin 0πsin y x x x=+<<C ．e 4exxy -=+D ．y =6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()4f x x x =-，则不等式(2)5f x +<的解集为（ ）A ．(3,7)-B ．()4,5-C ．(7,3)-D ．()2,6-7．函数()23ln sin x x f x x x+=+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()sin f x x a x =-，对任意的实数1x ，()2,x ∈-∞+∞，且12x x ≠，不等式()()1212f x f x a x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a <B ．12a ≤C ．12a >D ．12a ≥9．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ） A ．15B ．25C ．45D ．6510．下面命题正确的是（ ） A ．“1a > ”是“11a<”的充分不必要条件 B ．命题“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”. C ．设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥ ”是“224x y +≥”的必要而不充分条件 D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件11．已知函数()3f x ax bx c =++（0ac <），则函数()y f x =的图像不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．设函数()ln f x x x =，()()f x g x x'=，给定下列命题，其中是正确命题的是（ ）A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()g x 在()0,e 单调递增，在()e,+∞单调递减C ．若m 1≥，则当120x x >>时，有()()()2212122m x x f x f x ->- D ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭13．已知()538f x x ax bx =++-，若()210f -=，则()2f = ． 14．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且2log (1),0()(),0x x f x g x x +≥⎧=⎨<⎩，则[(7)]g f -的值为_____.15．已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am(a>0)，命题q ：实数m 满足方程21x m -＋22y m-＝1表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，a 的取值范围为________． 16．已知函数()2e 2ln xf x k x kx x=-+，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值集合是________．17．在①222b a c +=+,②cos sin a B b A =,③sin cos B B +=中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.已知ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ______________,3A π=,b =求ABC ∆的面积.18．已知函数()3f x ax x b =-+（0a ≠），若函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程是230x y -+=．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的单调区间．19．2018年，在《我是演说家》第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友圈不断被转发，他的视角独特，语言幽默，给观众留下了深刻的印象．某机构为了了解观众对该演讲的喜爱程度，随机调查了观看了该演讲的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）（1）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关．（精确到0．001）（2）从这60名男观众中按对该演讲是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，然后随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱该演讲的概率． 附：临界值表参考公式：22()=)()()()n ad bc K a b c d a c b d （-++++，+n a b c d =++．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥底面ABCD ，BC ∥AD ，AB ⊥BC ，PA AB =22AD BC ==，M 是PD 的中点.（1）求证：CM ∥平面P AB ； （2）求二面角M AC D --的余弦值.21．某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每批产品的非原料总成本y （元）与生产该产品的数量x （千件）有关，经统计得到如下数据：根据以上数据，绘制如图所示的散点图．观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型ln y a b x =+和指数函数模型xy c d =⋅分别对两个变量的关系进行拟合．（1）根据散点图判断，ln y a b x =+与xy c d =⋅（c ，d 均为大于零的常数）哪一个适宜作为非原料总成本y 关于生产该产品的数量x 的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知每件产品的原料成本为10元，若该产品的总成本不得高于123470元，请估计最多能生产多少千件产品． 参考数据：其中lg i i v y =，117ni i v v ==∑．参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线ˆˆˆva u β=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆni i i nii u v nuvunu β==-=-∑∑，ˆˆav u β=-． 22．已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()'f x 为()f x 的导函数． （Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k ≥-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．参考答案1．B 【解析】 【分析】求函数定义域确定集合,A B 后再交集定义计算． 【详解】∵[)2,A =-+∞，(][),11,B =-∞-+∞，∴[][)2,11,A B =--+∞.故选：B 【点睛】本题考查集合的交集，考查运算求解能力.交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 2．B 【解析】试题分析：由题意得()()()2121111i i i i i i i +==-+--+ ，所以在复平面内表示复数1i -+的点为()1,1-在第二象限．故选B ．考点：复数的运算；复数的代数表示以及几何意义. 3．C 【解析】 【分析】由方程22153x ym m +=-+表示椭圆可得503053m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解出即可. 【详解】若方程22153x y m m +=-+表示椭圆，则503053m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解得31m -<<或15m <<. 故选：C. 【点睛】本题考查对椭圆标准方程的理解，属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】本题根据减函数的定义再结合一次函数的性质直接求解即可. 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的减函数，所以3100314a a a a a-<⎧⎪-<⎨⎪-+≥-⎩，解得1183a ≤<.故选：A. 【点睛】本题考查减函数的定义，一次函数的性质，是基础题. 5．C 【解析】 【分析】逐个分析每个选项，结合基本不等式和函数性质即可判断. 【详解】 A 项，4y x x=+没有最值，故A 项错误； B 项，令sin t x =，则01t <≤，4y t t=+，由于函数在(]0,1上是减函数， 所以min ()(1)5f x f ==，故B 项错误； C项，4e 4e e 4e x x x x y -=+=+≥=，当且仅当4e e x x =， 即e 2x =时，等号成立，所以函数e 4e xxy -=+的最小值为4，故C 项正确；D 项，y =≥=，=时，等号成立，所以函数y =的最小值为D 项错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】首先求出当0x ≥时不等式的解集，在根据偶函数的对称性求出当0x <时不等式的解集，从而求出()5f x <的解集，则525x -<+<，即可得解． 【详解】当0x ≥时，2()45f x x x =-<的解为05x <；当0x <时，根据偶函数图像的对称性知不等式()5f x <的解为5x 0-<<，所以不等式()5f x <的解集为{55}xx -<<∣， 所以不等式(2)5f x +<的解集为{525}{73}xx x x -<+<=-<<∣∣． 故选：C 【点睛】本题考查偶函数的性质及其应用，考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识点理解掌握水平. 7．C 【解析】 【分析】先由函数解析式，确定定义域和奇偶性，排除AD ；再由特殊值验证，可排除B ，得出结果. 【详解】由()23ln sin x x f x x x+=+可得0x ≠，即定义域为()(),00,-∞⋃+∞，排除A ；又()()()()()2233ln ln sin sin x x x x f x f x x xx x -+-+-===----+-，所以()f x 为奇函数，图像关于原点对称，排除D ；又2233111ln 1101111sin sin e e e f e e e e e ⎛⎫+-+ ⎪⎛⎫⎝⎭==< ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B ； 故选：C. 【点睛】本题主要考查由解析式判定函数的图像，属于常考题型. 8．B 【解析】 【分析】 由题可得()11122212sin sin 0x ax a x x ax a x x x ----->-，构造函数()sin g x x ax a x =--，可知()g x 在R 上为增函数，利用导数即可求出. 【详解】()()1212f x f x a x x ->-，且()sin f x x a x =-，()()11221112221212sin sin sin sin 0x a x x a x x ax a x x ax a x a x x x x --------∴-=>--，令()sin g x x ax a x =--，则1212()()0g x g x x x ->-对任意的实数1x ，()2,x ∈-∞+∞，且12x x ≠都成立，()g x ∴在R 上为增函数，即()1cos 0g x a a x '=--≥恒成立，整理得()1cos 1x a +≤，可知1cos 0x +≥ 当1cos 0x +=时，不等式成立，当1cos 0x +>时，11cos a x ≤+恒成立，又111cos 2x ≥+，12a ∴≤. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 9．ABC 【解析】 【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题. 10．ABD 【解析】 【分析】分别判断充分性与必要性，即可得出选项ACD 的正误；根据全称命题的否定是特称命题，判断选项B 的正误． 【详解】 对于A ，()1110100a a a a a a -<⇔>⇔->⇔<或1a >，则“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，故A 对；对于B ，全称命题的否定是特称命题，“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”，故B 对；对于C ，“2x ≥且2y ≥” ⇒ “224x y +≥”， “2x ≥且2y ≥” 是 “224x y +≥”的充分条件，故C 错；对于D ，00ab a ≠⇔≠且0b ≠，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，故D 对； 故选：ABD ． 【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查充分条件与必要条件的判断，考查不等式的性质与分式不等式的解法，属于易错的基础题． 11．ACD 【解析】 【分析】由3()g x ax bx =+是奇函数，()f x 的图像是()g x 的图像向上或向下平移得到的，可知A不可能；分别讨论0a >和0a <，根据0ac <，结合函数的图象，可知C 、D 不可能. 【详解】设3()g x ax bx =+，()g x 是奇函数，其图像关于原点对称，∵()()f x g x c =+，∴()f x 的图像是()g x 的图像向上或向下平移得到的，∴A 项不可能，符合题意； 由2()3f x ax b '=+，知当0a >，x →+∞时，()0f x '>，函数单调递增，又0ac <， ∴0c <，即(0)0f c =<，∴D 项不可能，符合题意；当0a <，x →+∞时，()0f x '<，函数单调递减，又0ac <，∴0c >， 即(0)0f c =>，∴C 项不可能，符合题意； 结合以上几种情况可判断B 可能，不符合题意. 故选：ACD. 【点睛】本题考查了三次函数图象的性质，考查了数形结合思想和逻辑推理能力，属于基础题目. 12．ACD 【解析】【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性分别判断即可. 【详解】因为函数()ln f x x x =，定义域{}|0x x >， 所以()'ln 1f x x =+， 则()()'ln 1f x x g x x x+==，()2ln 'xg x x =-， 对于A ，()0g x >，即ln 10x x+>， ln 10x +>，即1x e>，故A 正确；对于B ，()2ln 'xg x x=-， 当()0,1x ∈时，()'0g x >，()g x 单调递增，故B 错误； 对于C ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立， 则22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-，在()0,∞+上恒成立， 即maxln (0)2m x x x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭， 令()()ln 0x h x x x=>，则()21ln 'xh x x -=，令()'0h x =，解得x e =，故()h x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 故()()max 112h x h e e ==<，因为m 1≥，所以122m ≥，故m 1≥成立，C 正确对于D ，函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()()''2F x f x ax =-有两个零点，即ln 120x ax +-=，则ln 12x a x +=， 令()ln 1x G x x+=，则()2ln 'x G x x =-，()G x 在()0,1递增，在()1,+∞单调递减，()11G =，即()20,1a ∈，10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，D 正确，. 故选：ACD. 【点睛】此题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于较难题. 13．26- 【解析】试题分析：设()53()8g x f x x ax bx =+=++，则()()g x g x -=-，所以函数()g x 为奇函数，由()210f -=，则()()22818g f -=-+=，则()218g =-，则()()22818g f =+=-，所以()226f =-．考点：函数奇偶性应用． 14．2-. 【解析】 【分析】由已知函数解析式，结合奇函数的定义可知()()f x f x -=-，代入即可求解. 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且2log (1),0,()(),0,x x f x g x x +≥⎧=⎨<⎩所以2(7)(7)log 83f f -=-=-=-，则2[(7)](3)(3)(3)log 42g f g f f -=-=-=-=-=-. 故答案为：2- 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答熟练应用函数的奇偶性，结合分段函数的分段条件是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 15．[13，38] 【解析】 【分析】根据命题p 、q 分别求出m 的范围，再根据p 是q 的充分不必要条件列出关于m 的不等式组，解不等式组即可 【详解】解：由227120(0)m am a a -+<>，则34a m a << 即命题:34p a m a <<由22112x y m m +=--表示焦点在y 轴上椭圆可得：210m m ->->，∴312m << 即命题3:12q m <<p 是q 的充分不必要条件从而有：31342a a ⎧⎪⎨⎪⎩∴1338a【点睛】本题考查充分条件、必要条件，一元二次不等式的解法，椭圆的定义等相关知识，要求对基础知识有比较好的把握．属简单题16．2e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】 【分析】由已知可知2x =是0fx唯一的根，进而可转化为2e xk x-=在0x >时没有变号零点，构造函数()()2e 0xg x x x=>，结合导数及函数的性质可求．【详解】解：函数定义域0,，()()()2243e 2e 2e 2x x x kx x x x kf x k x x x+--'=-+=， 由题意可得，2x =是0fx 唯一的根，故20x e kx +=在0,上没有变号零点，即2e xk x-=在0x >时没有变号零点，令()2e xg x x =，0x >，则()()3e 2x x g x x-'=， 当2x >时，0g x，函数单调递增，当02x <<时，0g x，函数单调递减，故当2x =时，()g x 取得最小值()2e 24g =，故2e 4k -≤即2e 4k ≥-．故答案为：2e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查根据极值点以及极值点个数求解参数范围，其中涉及到利用参变分离法求解参数范围，难度较难.参变分离法求解参数范围的主要过程：构造新函数，分析新函数的单调性以及值域从而求解出参数的范围. 17．答案不唯一,具体见解析 【解析】 【分析】（1）选①222b a c +=+,先用余弦定理求出角B ,根据三角形内角和为π可算出角C ,再由正弦定理求出a 边,最后用三角形的面积公式1sin 2ABC S ab C ∆=求面积即可. （2）选②,先用正弦定理的推论将cos sin a B b A =边化角,整理得角B ,根据三角形内角和为π可算出角C ,再由正弦定理求出a 边,最后用三角形的面积公式1sin 2ABC S ab C ∆=求面积即可. 【详解】解：（1）若选择①222b a c +=+,由余弦定理222cos 2a c b B ac +-===, 因为(0,)B π∈,所以4B π=;由正弦定理sin sin a b A B=,得sin sin sin 2b Aa Bπ===因为3A π=,4B π=,所以53412C ππππ=--=,所以5sin sinsin sin cos cos sin 124646464C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭,所以113sin 2244ABC S ab C ∆+===. （2）若选择②cos sin a B b A =, 则sin cos sin sin A B B A =, 因为sin 0A ≠,所以sin cos B B =, 因为(0,)B π∈,所以4B π=;由正弦定理sin sin a bA B=,得sin sin sin 2b Aa Bπ===因为3A π=,4B π=,所以53412C ππππ=--=,所以5sin sinsin sin cos cos sin 12464646C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭,所以11sin 22ABC S ab C ∆===（3）若选择③sin cos B B +=4B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,因为(0,)B π∈,所以5,444B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭, 所以42B ππ+=,所以4B π=;由正弦定理sin sin a b A B=,得sin sin sin b Aa Bπ===因为3A π=,4B π=,所以53412C ππππ=--=,所以5sin sinsin sin cos cos sin 124646464C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭,所以11sin 22ABC S ab C ∆===【点睛】本题考查用正弦、余弦定理解三角形,熟记公式是解题的关键.18．（1）()35f x x x =-+；（2）增区间为,3⎛-∞ ⎝⎭，3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间为33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．【解析】 【分析】（1）求出()f x 的导数，则=(1)k f '切，即可求出a ，求出切点，将点代入函数即可求出b ，继而得出解析式；（2）根据()f x 的导数的正负即可得出单调区间. 【详解】（1）由()3f x ax x b =-+，得()231f x ax '=-，所以()1312f a '=-=，所以1a =．把1x =代入230x y -+=，得切点为()1,5，所以()1115f b =-+=，得5b =， 所以()35f x x x =-+．（2）由（1）知，()231f x x '=-，令()2310f x x '=->，解得x >x <；令()2310f x x '=-<，解得x <<．所以()f x 的增区间为,3⎛-∞ ⎝⎭，3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭,+，减区间为,33⎛- ⎝⎭．【点睛】本题考查已知切线求参数，考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题. 19．（1）见解析；（2）0.4 【解析】 【分析】(1)根据独立性检验求出()221406020402071.167 3.8418060100406K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，即得不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关．（2）利用古典概型求选到的两名观众都喜爱该演讲的概率． 【详解】（1）假设：观众性别与喜爱该演讲无关，由已知数据可求得，()221406020402071.167 3.8418060100406K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ ∴ 不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关． （2）抽样比为616010=，样本中喜爱的观众有40×110=4名， 不喜爱的观众有6﹣4=2名．记喜爱该演讲的4名男性观众为a ，b ，c ，d ，不喜爱该演讲的2名男性观众为1，2，则 基本事件分别为：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，1），（a ，2），（b ，c ），（b ，d ），（b ，1），（b ，2），（c ，d ），（c ，1），（c ，2），（d ，1），（d ，2），（1，2）． 其中选到的两名观众都喜爱该演讲的事件有6个， 故其概率为P （A ）=60.415= 【点睛】本题主要考查独立性检验和古典概型，意在考查学生对这些知识的理解能力，掌握水平和应用能力.20．（1）证明见解析（2 【解析】 【分析】（1）取AP 的中点E ，可证得四边形BCME 为平行四边形，从而得到//MC BE ，由线面平行判定定理可证得结论；（2）根据垂直关系可以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）如图，取AP 的中点E ，连接,BE EM .,E M 分别为,PA PD 的中点，1//2EM AD ∴， 又//BC AD 且2AD BC =，//EM BC ∴，∴四边形BCME 为平行四边形，//BE CM ∴，又CM ⊄平面PAB ，BE ⊂平面PAB ，//MC ∴平面PAB .（2）由题意知：,,PA AB AD 两两垂直，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0,0A ，()0,2,0D，)C，0,1,2M ⎛ ⎝⎭，(P ， ()2,1,0AC ∴=，0,1,2AM ⎛= ⎝⎭，(AP =， 设平面MAC 的法向量(),,n x y z =， 则2020AC n x yAM n y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令y =，则1x =-，2z =-，()1,2,2n ∴=--. PA ⊥平面ABCD ，AP ∴为平面ACD 的一个法向量，cos ,2AP nAP n AP n ⋅∴<>===⋅， 二面角M AC D --为锐二面角，∴二面角M AC D --的余弦值为7. 【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；考查学生的逻辑推理、运算和求解能力，属于常考题型.21．（1）x y c d =⋅适宜；（2）0.253.4710x y =⨯；（3）12千件产品．【解析】【分析】（1）根据散点图判断，x y c d =⋅适宜；（2）由x y c d =⋅，两边同时取常用对数得()lg lg lg lg x y c d c x d =⋅=+．设lg y v =，可得lg lg v c x d =+，根据表格数据、参考数据和参考公式求出y 关于x 的回归方程； （3）生产总成本=非原料总成本+原料总成本.写出生产总成本为()g x 的解析式，根据()g x 的单调性，可求产品数量x 的最大值.【详解】（1）根据散点图判断，x y c d =⋅适宜作为非原料总成本y 关于生产该产品的数量x 的回归方程类型．（2）由x y c d =⋅，两边同时取常用对数得()lg lg lg lg x y c d c x d =⋅=+．设lg y v =，∴lg lg v c x d =+，∵7214, 1.54,140i i x v x ====∑，∴7172221750.1274 1.547lg 0.2514074287i ii i i x v xv d xx ==--⨯⨯====-⨯-∑∑． 把(4,1.54)代入lg lg v c x d =+，得lg 0.54c =，∴ˆ0.540.25vx =+，∴ˆlg 0.540.25y x =+， ∴0.540.250.25ˆ10 3.4710x x y +⨯==，即y 关于x 的回归方程为0.25ˆ 3.4710x y =⨯．（3）设生产了x 千件该产品.则生产总成本为0.25() 3.4710101000x g x x =⨯+⨯⨯． 又0.25() 3.471010000x g x x =⨯+在其定义域内单调递增，且3(12) 3.4710120000123470g =⨯+=，故最多能生产12千件产品．【点睛】本题考查非线性回归方程的求法，属于较难的题目.22．（Ⅰ）；（i ）98y x =-；（ii ）单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）（i ）把6k =代入函数解析式，求导，即可根据切点和斜率写出切线方程.（ii ）根据（i ）写出函数323()6ln 3g x x x x x=+-+()0x > ，求导判断函数的单调性和极值即可. （Ⅱ）欲证()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-，即证 ()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以把3()ln f x x k x =+及其导数代入并化简，再利用（i ）（ii ）中的结论即可.【详解】（Ⅰ）（i ）当6k =时，3()6ln f x x x =+，故26()3f x x x'=+． 可得(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-．（ii ）依题意，323()36ln ,(0,)g x x x x x x=-++∈+∞．从而可得2263()36g x x x x x '=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x '-+=． 令()0g x '>，解得1x >，令()0g x '<，解得01x <<，所以，函数()g x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值．（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+． 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--⎡⎤⎣⎦()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭，① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x=--∈+∞． 当1x >时，22121()110h x x x x '⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭， 由此可得()h x 在[1,)+∞单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即12ln 0t t t-->，因为21x ≥，323331(1)0,3t t t t k -+-=->≥-， 所以，()332322113312ln (331)32ln x t t t k t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+-->-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32336ln 1t t t t=-++-． ② 由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t >时，()(1)g t g >，即32336ln 1t t t t-++>， 故32336ln 10t t t t-++->，③ 由①②③可得()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．所以，当3k ≥-时，对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-． 【点睛】本题考查了利用导数求切线方程，求函数的单调区间和极值，以及不等式恒成立问题，属于较难题.。