5.5直线与圆的位置关系(3)
P 初三数学教学案
教学内容：5.5直线与圆的位置关系（3）
教学目标：
1．使学生理解切线长的概念，掌握切线长定理；
2. 使学生掌握运用切线长定理解有关问题。
教学重点、难点：
切线长定理及对其的灵活运用
教学过程：
一、情境创设
如图，P是⊙O外一点，A是⊙O上一点，图中的P是⊙O的切线吗？为什么？
二、探索活动
活动一过圆外一点作圆的切线
1、利用三角尺中的直角“找”切点（从情境中的图形可以看出，点A在⊙O上，且∠OAP=90°，
即PA⊥OA，因此PA是⊙O的切线。
）
2、尺规作图法“找”切点
如何过⊙O外一点P作⊙O的切线？这样的切线能作几条？
概念：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的__________，叫做这点到圆的切线长
．．．。
活动二操作、思考
1、在上图中，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B。
沿直线OP将图形对折，你发
现了什么？
通过折纸，你会发现相等的角有：_________________；相等的线段有_______________；
相等的弧有：___________________；OP与AB的位置关系为_______________。
请证明你发现的结论：
2、切线与切线长
由操作思考中可得切线长定理：
_____________________________________________________________________________ 注：切线长是指从圆外一点向圆引切线，这点与切点之间线段的长，而切线是一条直线。
3、切线长定理几何语言：
三、例题：
例1、如图，PA、PB为⊙O的两条切线，切点分别为A、B，直线CD切⊙O于点E.
（1）试探究△PCD的周长与线段PA 的数量关系；
（2）若∠P=α°，求∠COE的度数。
P
例2、如图，AD为⊙O的直径，BA、BC、CD分别切⊙O的于点A、E、D。
（1）求证：BC=AB+DC；
（2）求证：BO⊥CO；
（3）设⊙O的半径R,求证：BE·EC=R2.
四、课堂小结
五、课堂作业（见作业纸）
P
初三数学课堂作业（33）
1、如图，PA 、PB 分别切⊙
O 于A 、B ，∠AOP=50°，则∠PAB=_____°，∠
OPB=____°， 如果OC= CP=AO=________。
2、如图， PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，C 是弧AB 上任意一点，DE 切⊙O 于C 点。
（1）若PA=a,则△PDE 的周长为_________；
（2）若⊙O 的半径为5，OP=13，则PDE 的周长为________；
（3）若∠DOE =65°，则∠P =_______°。
3、如图，CD 是⊙O 的切线，切点为E ，AC 、BD 分别与⊙O 相切于点A 、B ，如果CD=7，AC=4，那么DB 等于 （ ）
A. 5
B. 4
C. 3
D.2
4、从半径为9cm 的⊙
O 外一点向⊙O 所作的切线长为18cm ，这点到⊙O
的最短距离是 （ ）
A. 9 C. 9 D.9
5、已知线段PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，弧AB 的度数为
120°，⊙O 的半径为4，线段
AB 的长为 （ ）
A. 8
B. 6、如图，PA 、PB 为⊙O 的两条切线，A 、B 为切点。
如果⊙O 的半径为5，∠APO =30°，求两条切线的夹角及切线长。
7、如图，⊙O 的直径AB=12，AM 和BN 是它的两条切线，切点分别为A 、B ，DE 切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ，设AD=x ，BC=y ，求y 与x 的函数关系式。
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系【基础知识】1.直线和圆的位置关系(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。
(2)相切：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点做切点。
(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
(4)直线与圆的位置关系的确定：设⊙O的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d ，则 ①d<r<===>直线L 和⊙O相交。
②d=r<===>直线L 和⊙O相切。
③d>r<===>直线L 和⊙O相离。
2.切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径。
【课堂练习】1．已知⊙O 的半径为10cm ，如果一条直线和圆心O 的距离为10cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系为（ ）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相交或相离 2．如右图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线， ∠B=70°，则∠BAC 等于（ ） A. 70° B. 35° C. 20° D. 10°3．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ，PC=5，则⊙O 的半径为（ ） A. 335 B.635 C. 10 D. 54．如图，PA 切⊙O 于A，PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于C ， 下列结论中，错误的是（ ）A. ∠1=∠2B. PA=PBC. AB ⊥OPD. 2PA PC ·PO5．如图5，已知AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，那么CD ︰AB 等于∠BPD 的（ ）A. 正弦B. 余弦C. 正切D. 余切（第3题图）（第4题图）6.如图6，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，BC =4cm ，以点C 为圆心，以3cm 长为半 径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是 ．图5 图67. AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连BC ．若30P ∠= ，求B ∠的度数．8. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线垂直于D ，BE 和过点C 的切线垂直于E 求证：（1）AC 平分∠DAO（2）BC 平分∠EBO （3）DC = CE9. 如图，已知△ABC 內接于⊙O ，AB 为直径，∠CAE = ∠B 。
直线与圆的位置关系知识点及习题
精心整理直线和圆的位置关系1、直线与圆的位置关系（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交＜====＞d<r；直线l与⊙O相切＜====＞d=r；直线l与⊙O相离＜====＞d>r；2、切线的判定和性质（1）、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
如右图中，OD垂直于切线。
4、切线长定理（1）、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
（2）、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
（3）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。
(4)、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
如图圆O是△A＇B＇C＇的内切圆。
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
基础训练1．填表：直线与圆的图形公共点公共点圆心到直线的距离直线的位置关系个数名称d与圆的半径r的名称关系相交相切相离2．若直线a与⊙O交于A，B两点，O到直线a•的距离为6，•AB=•16，•则⊙O•的半径为_____．3．在△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=AC=10，以C为圆心，分别以5，52，8为半径作图，那么直线AB与圆的位置关系分别是______，_______，_______．4．⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．内含5．下列判断正确的是（）①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，•则直线与圆相交．A．①②③B．①②C．②③D．③6．OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相离，•那么⊙P与OB 的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相交或相切7．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C为圆心，r为半径作⊙C，当r为多少时，⊙C与AB相切？8．如图，⊙O的半径为3cm，弦AC=42cm，AB=4cm，若以O为圆心，•再作一个圆与AC相切，则这个圆的半径为多少？这个圆与AB的位置关系如何？◆提高训练9．如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，•如果⊙M 与y轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m•的取值范围是_______．10．如图，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，以A为圆心，3cm•长为半径的圆与直线BC的位置关系是_______．11．如图，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过O作EF∥AB，交BC于E，交AD于F，则以点B为圆心，2长为半径的圆与直线AC，EF，CD的位置关系分别是什么？12．已知⊙O 的半径为5cm ，点O 到直线L 的距离OP 为7cm ，如图所示．（1）怎样平移直线L ，才能使L 与⊙O 相切？（2）要使直线L 与⊙O 相交，应把直线L 向上平移多少cm ？13．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5，若以C 为圆心，r 为半径作圆，•那么:（1）当直线AB 与⊙C 相切时，求r 的取值范围；（2）当直线AB 与⊙C 相离时，求r 的取值范围；（314．在南部沿海某气象站A 测得一热带风暴从A 的南偏东30•°的方向迎着气象站袭来，已知该风暴速度为每小时20千米，风暴周围50千米范围内将受到影响，•若该风暴不改变速度与方向，问气象站正南方60千米处的沿海城市B 是否会受这次风暴的影响？若不受影响，请说明理由；若受影响，请求出受影响的时间．九年级下册直线和圆的位置关系练习题一、选择题：1．若∠OAB=30°，OA=10cm ，则以O 为圆心，6cm 为半径的圆与射线AB 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定2．Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C 为圆心作⊙C 和AB 相切，则⊙C 的半径长为（）A ．8B ．4C ．9．6D ．4．83．⊙O 内最长弦长为m ，直线l 与⊙O 相离，设点O 到l 的距离为d ，则d 与m 的关系是（）A ．d =mB ．d ＞mC ．d ＞2mD ．d ＜2m 4．以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形 5．菱形对角线的交点为O ，以O 为圆心，以O 到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定 6．⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 为63，以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定7．下列四边形中一定有内切圆的是（）A ．直角梯形B ．等腰梯形C ．矩形D ．菱形8．已知△ABC 的内切圆O 与各边相切于D 、E 、F ，那么点O 是△DEF 的（）A ．三条中线交点B ．三条高的交点C ．三条角平分线交点D ．三条边的垂直平分线的交点9．给出下列命题：①任一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中真命题共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、证明题1．如图，已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线BC，连结CO．若AD∥OC交⊙O于D．求证：CD是⊙O的切线．2．已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．求证：CD是小圆的切线．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．（1）当圆心O与C重合时，⊙O与AB的位置关系怎样？（2）若点O沿CA移动时，当OC为多少时？⊙C与AB相切？4．如图，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？5．设直线ι到⊙O的圆心的距离为d，半径为R，并使x2－2d x＋R=0，试由关于x的一元二次方程根的情况讨论ι与⊙O的位置关系．6．如图，AB是⊙O直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E．（1）由这些条件，你能得出哪些结论？（要求：不准标其他字母，找结论过程中所连的辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）（2）若∠ABC为直角，其他条件不变，除上述结论外你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形．（要求：写出6个结论即可，其他要求同（1））7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是多少？8．如图，有一块锐角三角形木板，现在要把它截成半圆形板块（圆心在BC上），问怎样截取才能使截出的半圆形面积最大？（要求说明理由）9．如图，直线ι1、ι2、ι3表示相互交叉的公路．现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？答案:一.1-5ADCBB;6-9CDDB二.1.提示:连结OC,证△AOC与△BOC全等2.作垂直证半径,弦心距相等3.①垂直三角形的高,用面积方法求;②△AOE∽△ABC即可4.用角平分线定理证明EF=EA=EB即可5.做三角形的内切圆6.①DE与⊙O相切,AB=BC,DE2+CE2=CD2,∠C+∠CDE=90°②BC是⊙O的切线,有DE=1/2AB等.7.R=2.4或3<R≤48.∠A角平分线与BC的交点为圆心O,O到AC的距离为半径做圆9.4。
直线与圆、圆与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有三种：如图所示. （1）直线与圆相交：有两个公共点； （2）直线与圆相切：有一个公共点； （3）直线与圆相离：没有公共点.2、直线与圆的位置关系的判定的两种方法：直线l 和圆C 的方程分别为：Ax+By+C=0，x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 1）代数法判断直线与圆的位置关系：由l 和C 的方程联立方程组220Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩， ①若方程有两个不相等的实数根（△>0），则直线与圆相交； ②若方程有两个相等的实数根（△=0），则直线与圆相切； ③若方程无实数根（△<0），则直线与圆相离.2）几何法判断直线与圆的位置关系：圆心C(a ，b)到直线的距离d=22||Aa Bb C A B+++与半径r 作比较①若d<r 时，直线l 和圆C 相交；②若d=r 时，直线l 和圆C 相切；③若d>r 时，直线l 和圆C 相离. 3、圆的切线的求法：（1）当点(x 0，y 0)在圆x 2+y 2=r 2上时，切线方程为x 0x+y 0y=r 2；（2）若点(x 0，y 0)在圆(x －a)2+(y －b)2=r 2上时，切线方程为(x 0－a)(x －a)+(y 0－b)(y －b)=r 2； （3）斜率为k 且与圆x 2+y 2=r 2相切的切线方程为21y kx k =±+；斜率为k 且与圆(x －a)2+(y －b)2=r 2相切的切线方程的求法：先设切线方程为y=kx+m ，然后变成一般 式kx －y+m=0，利用圆心到切线的距离等于半径来列出方程求m ；（4）点(x 0，y 0)在圆外面，则切线方程为y －y 0=k(x －x 0)，再变成一般式，因为与圆相切，利用圆心到直线距离 等于半径，解出k ，注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上. 4、直线与圆相交的弦长公式1）平面几何法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A 、B ，线段AB 的长 即为直线l 与圆相交的弦长.设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为AB ，则有 222()2AB d r +=，即AB=222r d - . 2）解析法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，当直线AB 的倾斜角存在时，联 立方程组，消元得到一个关于x 的一元二次方程，求得x 1+x 2和x 1x 2.于是2121212||()4x x x x x x -=+-，这样就求得2121221||1||1||AB k x x y y k=+-=+-。
直线与圆的位置关系3
2、已知圆心和直线的距离为4cm，如果圆和直线的关系分别 为以下情况，那么圆的半径应分别取怎样的值？ （1）相交；（2）相切；（3）相离。
例、在Rt△ABC中，∠C=900，AC=3cm，BC=4cm.
(1)以A为圆心，3cm为半径的圆与直线BC的位置关系是 相切 ; 以A为圆心，2cm为半径的圆与直线BC的位置关系是 相离 ; 以A为圆心，3.5cm为半径的圆与直线BC的位置关系是 相交 .
6cm , 11cm , 那么直线M, N, P分别与O有2
1 0 个公共点.
2. 圆心O到直线L的距离等于O直径的2/3 , 则直线L与O的位 置关系是 相离
三 解答题 O的半径为√3 cm ,两弦AC=2√ 2 cm , AB=2 cm ,
若 这以个点圆与O为AB圆的心位，置再关作系一又个怎圆样与？AC相切，则这个圆的半径为C多少？
.o
l
相离
.o
.
. ..o
l
l
相切
相交
切
切
割
点
线
线
如果知道O的半径r与圆心O 到直线L的距离d的大小关系，那么 我们能判断O与直线L的位置关系吗？ 反过来，如果知道位置关系，那么能判 断r与d的大小关系吗？
?
（二） 直线和圆的位置关系的判定与性质
符号“ ”读作“等价于”。它表示从左端可以 推出右端，并且从右端也可以推出左端。
2.自选题：
如图，一热带风暴中心O距A岛为2千米，风 暴影响圈的半径为1千米.有一条船从A岛出发沿 AB方向航行，问∠BAO的度数是多少时船就会进 入风暴影响圈？
B
A O
挑战自我！
如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC, ∠C= 30° ，AD=1，AB=2.
解答直线与圆的位置关系问题的三种方法
直线与圆的位置关系主要有三种：相切、相交、相离.判断直线与圆的位置关系问题的常见命题形式有：（1）根据直线与圆的方程判断二者的位置关系；（2）根据直线与圆的位置关系求参数的值或取值范围.解题的关键在于明确直线与圆的位置关系，建立代数或几何关系.下面主要谈一谈解答直线与圆的位置关系问题的三种方法.一、几何法运用几何法求解直线与圆的位置关系问题，需先根据圆的方程确定圆心、半径；然后根据点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，或根据圆的半径、弦心距、弦长之间的关系，利用勾股定理求得圆心到直线的距离；再判断圆心到直线距离d 与半径r 的大小关系.一般地，①当r >d 时，直线与圆相交；②当r =d 时，直线与圆相切；③当r <d 时，直线与圆相离.例1.直线l :y =kx +1(k <0)与圆C :x 2+4x +y 2-2y+3=0相切，则直线l 与圆D :(x -2)2+y 2=3的位置关系是().A.相交B.相切C.相离D.不确定解：因为圆C 的标准方程为(x +2)2+(y -1)2=2，所以圆的圆心为(-2,1)，半径为2，因为直线l 与圆C 相切．所以||-2k -1+1k 2+1=2，解得k =±1，因为k <0，所以k =-1，所以直线l 的方程为x +y -1=0.圆心D (2,0)到直线l 的距离：d =2+0-1=3，所以直线l 与圆D 相交.故选A 项.由于直线l :y =kx +1(k <0)与圆C :x 2+4x +y 2-2y +3=0相切，所以可以直接根据圆心到直线的距离等于半径，来建立关系，求得k 的值，即可求得直线l 的方程.根据点到直线的距离公式，求得圆D :(x -2)2+y 2=3的圆心到直线l 的距离，比较该距离与圆D 的半径之间的大小，即可判断出直线l 与圆D 的位置关系.例2.若直线l :x -y +m =0与圆C :x 2+y 2-4x -2y +1=0恒有公共点，则m 的取值范围是().A.[-2，2]B.[-22，22]C.[-2-1，2-1]D.[-22-1,22-1]解：因为圆C 的标准方程为(x -2)2+(y -1)2=4，所以圆的圆心为(2，1)，半径为2，由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d =||2-1+m 2，若直线与圆恒有公共点，则直线与圆相交或相切，所以||2-1+m 2≤2，解得-22-1≤m ≤22-1，故选D 项.要使直线与圆恒有公共点，需使直线与圆相交或相切，那么圆心到直线的距离需小于或等于半径，即d ≤r .根据点到直线的距离公式建立不等关系式，即可求得参数m 的取值范围.例3.已知圆M :()x +cos θ2+()y -sin θ2=1，直线l :y =kx .下面四个命题：（1）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切；（2）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；（3）对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切;（4）对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 和圆M 相切.其中说法正确的有_______.解：因为圆M :()x +cos θ2+()y -sin θ2=1，所以圆的圆心M ()-cos θ,sin θ，半径为1，所以M 到直线l 的距离d M -l =||-k cos θ-sin θk 2+1，则d2M -l-1=()k cos θ+sin θ2-k 2-1k 2+1=k 2cos 2θ+2sin θcos θ⋅k +sin 2θ-k 2-1k 2+1刘艳林43。
直线与圆的位置关系(三)
直线与圆的位置关系（三）班级 姓名 学号学习目标1．了解三角形的内切圆、三角形的外心、圆的外切三角形的概念.2．会作已知三角形的内切圆.学习重点：作已知三角形的内切圆.学习难点：作已知三角形的内切圆.教学过程一、情境创设1、（1）如图，点P 在⊙O 上，过点P 作⊙O 的切线。
（2）你作图的依据是什么？（3）判定切线有什么方法？切线有什么性质？二、探究学习1.尝试:作三角形的内切圆：画△ABC ，作⊙O ，使它与△ABC 的3边都相切？2.总结三角形内切圆等的定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
3.交流、讨论三角形外心与内心的比较1.概念：外心是指三角形外接圆的圆心； 内心是指三角形内切圆的圆心2.作法与性质：3.外心与内心的位置：外心的位置与三角形形状有关，可能在三角形的内部、外部和边上；而内心则必在三角形内部。
4.典型例题例1. 在△ABC 中,∠BCA=50°,∠ABC ＝70°，点O 是内心，求∠BOC 的度数。
• • O P作法性质三角形的外心三角形的内心O A B C例2．如图,在△ABC 中，内切圆I 与边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，∠ABC=60°,∠ACB ＝70°，求∠EDF 的度数。
例3．△ABC 中，E 是内心，连接AE 并延长和△ABC 的外接圆相交于点D. 试说明：DE=DB=DC三、练习巩固1.下列说法中，正确的是（ ）A.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线B.圆有且只有一个外切三角形C.三角形有且只有一个内切圆D.三角形的内心到三角形的3个顶点的距离相等2. 在△ABC 中，∠A=50°（1）若点O 是△ABC 的外心，则∠BOC= .（2）若点O 是△ABC 的内心，则∠BOC= .3.已知：如图，△ABC. 求作：△ABC 的内切圆。
直线与圆的位置关系3
开放性问题: 在（x+1）2+(y-1)2＝R2的圆上是否存在四个 点到直线AB：3x-4y-3=0的距离等于１。
感受高考
• 1、（10）9、在平面直角坐标系xOy中，已知 2 2 x y 4 上有且仅有四个点到直线12x• 圆 5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是 ___________
6.已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问：是否存在斜率为1的直线 使l被圆C截得得弦AB为直径的圆过原点，若存在，写出 直线方程
解 (1)将直线l的方程变形，得
m(2x+y-7)+(x+y-4)=0． ∵对于任意的实数m, 方程都成立，
此时l方程 y -1 = 2 (x - 3)，即 2x－y－5=0
AC 5 ,圆的半径r 5
最短弦长 BD 2 AB BC AC 4 5.
2 2
例2. 已知圆的方程是
解法二：①当点 M 不在坐标轴上时，y 设切线方程为
y-y0=k(x-x0)
整理成一般式，利用 点到直线的距离公式求k, 代入所设方程即可. ②当点 M 在坐标轴上时， 同解法一一样可以验证.
O
M ( x0 , y0 )
x
例2、 已知圆的方程是 x y r ，求经过 圆上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。 y
例5．过点P(-2，-3)作圆C：(x-4)2+(y-2)2=9的两条 切线，切点分别为A、B.求：
(1)经过圆心C，切点A、B这三点的圆的方程；
(2)直线AB的方程；
(3)线段AB的长.
小结：
• 直线与圆位置关系题型有哪些？
小结:
圆与直线的位置关系
圆与直线的位置关系在几何学中，圆和直线是常见的几何对象，它们之间的位置关系有着重要的理论和实际应用价值。
本文将探讨圆与直线的不同相交情况以及相应的性质和应用。
一、相交情况1. 直线与圆相交当一条直线与圆相交时，可能存在三种不同的相交情况：相离、相切和相交。
（1）相离情况：当直线不与圆相交，且直线与圆的中心距离大于圆的半径时，可以判断直线与圆相离。
（2）相切情况：当直线与圆相交，且直线与圆的中心距离等于圆的半径时，可以判断直线与圆相切。
相切的情况下，直线与圆只有一个交点。
（3）相交情况：当直线与圆相交，且直线与圆的中心距离小于圆的半径时，可以判断直线与圆相交。
相交的情况下，直线与圆有两个交点。
2. 直线与圆的位置关系在直线与圆相交的情况下，可以进一步讨论直线与圆的位置关系。
（1）两条切线：当直线与圆相交于两个交点时，这两个交点连同圆心构成的直线称为切线。
切线与圆的切点处于圆上，切线与圆的切点处的切线方向垂直于半径。
（2）割线：当直线与圆相交于两个交点时，这两个交点连同圆心构成的直线称为割线。
割线的两个端点分别处于圆的内部和外部。
二、圆与直线位置关系的性质和应用1. 直径与切线的关系当直线通过圆的圆心，并且与圆相交于两个交点时，该直线称为直径。
直径是圆上任意两点之间距离的最大值。
根据圆的性质，直径与圆上任意切点处的切线垂直。
2. 切线定理切线定理是指在圆上任取一点和该点处的切线，该点与圆心连线与切线的切点连线所夹的角等于切线和该点处的切线段之间的角。
该定理在解决相关几何问题时具有重要的应用价值。
3. 圆与直线的应用圆与直线的位置关系在很多实际问题中都有重要应用，例如：（1）导航定位：通过确定某一圆上的两个已知点和与该圆相切的直线，可以确定导航目标的位置与方向。
（2）机械设计：在机械设计中，圆与直线的位置关系可以用于确定零件的相对位置和运动轨迹，有助于提高机械系统的设计精度。
（3）轮胎与地面的摩擦力：轮胎与地面接触时，通过轮胎与地面的接触点构成的直线与圆的位置关系，可以分析轮胎与地面的摩擦力和抓地力，以提高汽车的行车安全性。
直线与圆的位置关系(专题三)
直线与圆的位置关系(三)一、填空题：1．直线l与半径r的圆O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是．2．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为．3．如图(1)，A、B、C是⊙O上三点，AB⌒的度数是50°，∠OBC=40°，则∠OAC= ．4．如图(2)，⊙O的直径AB=10cm，C是⊙O 上的一点，点D平分BC⌒，DE=2cm，则AC=_____．5．如图(3)，AB是⊙O的直径，∠E=25°，∠DBC=50°，则∠CBE=_____．6．如图(4)，AB、AC是⊙O的切线，B、C 是切点，若∠A＝70°，则∠BOC＝．7．如图(5)，⊙O内切于△ABC，切点分别为点D、E、F．已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE、OF、DE、DF，则∠EDF= ．8．如图(6)，AB是⊙O的直径，弦AD、BC 相交于点P，则CD︰AB是∠BPD的（）A.正弦 B.余弦 C.正切 D.余切9．如图(7)，⊙O的两条弦AB、CD相交于点P，已知AP=2cm，BP=6cm，CP︰PD =1︰3，则DP=_____．10．如图(8)，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，点P在BA的延长线上．连结PC，交⊙O于F，如果PF=7，FC=13，且PA︰AE︰EB = 2︰4︰1，则CD =____．11．如图所示,⊙O为△ABC的内切圆,D、E、F分别为三条边上的切点,∠DOB=73°,如果∠DOE=120°, 那么∠DOF=______；∠C=______；∠A=______.12．如图(9)，从圆外一点P引圆的切线PA，点A为切点，割线PDB交⊙O于点D、B，PA=12，PD=8，则SABP∆∶SDAP∆=__ _．13．如图(10)，点A、B、C、D在同一圆上，AD、BC延长线相交于点Q，AB、DC延长线相交于点P，若∠A=50°，∠P=35°，则∠Q=______．三、解答题：1．如图，MN为⊙O的切线，A为切点，过点A作AP⊥MN，交⊙O的弦BC于点P. 若PA=2cm，PB=5cm，PC=3cm，求⊙O的直径．2．AB、CD是两条平行弦，BE//AC，交CD 于E，过A点的切线交DC的延长线于P，求证：AC2=PC·CE．3．点P为圆外一点，M、N分别为AB⌒、CD⌒的中点，求证：∆PEF是等腰三角形．4．已知∆ABC内接于⊙O，∠A的平分线交⊙O于D，CD的延长线交过B点的切线于E．求证：CEDEBCCD22=．5.如图,有三边分别为0.4m、0.5m和0.6m 的三角形形状的铝皮,问怎样剪出一个面积最大的圆形铝皮?请你设计解决问题的方法.A6.如图,AB 为半圆O 的直径,在AB 的同侧作AC 、BD 切半圆O 于A 、B,CD 切半圆O 于E,请分别写出两个角相等、两条边相等、两个三角形全等、 两个三角形相似等四个正确的结论.7.如图，A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于点B ，OC=BC ，AC=21OB ． （1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD 的长．8.如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAF ，交⊙O 于点E ，过点E 作直线ED ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若CB=2，CE=4，求AE 的长．9.如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAC 交⊙O 于点E ，过E 作⊙O 的切线ME交AC 于D ．试判断△AED 的形状，并说明理由．10.如图是某城市一个主题雕塑的平面示意图，它由置放于地面l 上两个半径均为2米的半圆与半径为4米的⊙A 构成．点B 、C 分别是两个半圆的圆心，⊙A 分别与两个半圆相切于点E 、F，BC 长8米，求EF 的长．11.如图，两圆外切于点P ，直线AD 依次与两圆相交于点A 、B 、C 、D，若∠BPC=42°，求∠APD 的度数．12.如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O外一点，作PC⊥AB于点C，PB交⊙O于点D，直线DC交⊙O于E．连接EB，交PC的延长线于F，连结AE．点M是弧DB上的一动点，连结PM、AM．（1）∠AEB的度数是，根据是．若DM=AE，弦ED=3cm，⊙O的半径为2cm，则cos∠MAB= ．（2）求证：PC·CF=EC·CD（3）若AM交PC于G，△PGM满足什么条件时，PM与⊙O相切？说明理由．13.如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12。
直线和圆的位置关系
学科数学年级/班级初四教材版本鲁教版课时名称直线和圆的位置关系上课时间2014、11 学生人数48单元背景本单元是在学生学习了点和圆的位置关系的基础上设计的，类比点和圆的位置关系，从运动变化的观点来研究直线和圆的位置关系，在探索直线和圆位置关系所对应的数量关系时，先引导学生回顾点和圆的位置关系所对应的数量关系，启发学生运用类比的思想来思考问题，解决问题，再借助动画演示，学生很轻松的就能够得出结论，从而突破本节课的难点，使学生充分理解位置关系与数量关系的相互转化，这种等价关系是研究切线的理论基础，从而为下节课探索切线的性质打好基础。
课时设计说明本节课类比点和圆的位置关系，从运动变化的观点来研究直线和圆的位置关系；利用了分类的思想把直线和圆的位置关系分为三类来讨论；用了数形结合的思想，通过d的r这两个数量之间的关系来研究直线和圆的位置关系.学习时应注意弄清直线与圆的位置关系的性质与判定使用的区别与联系.学情分析在学习了点和圆的位置关系的基础上，先引导学生回顾点和圆的位置关系所对应的数量关系，启发学生运用类比的思想来思考问题，解决问题，再借助动画演示，学生很轻松的就能够得出结论，从而突破本节课的难点，使学生充分理解位置关系与数量关系的相互转化学习目标1. 掌握直线与圆的三种位置关系2.了解切线的概念，掌握切线的性质3.使学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、培养学生的辩证唯物主义观点.教学重难点及解决措施直线与圆的三种位置关系是重点；直线和圆的三种位置关系的性质和判定的正确运用是难点.教学过程（可续行）学习活动学生活动教师活动教学评价及技术应用一、类比联想，提出问题小组探讨：1.前面已经研究了点和圆的位置关系，请学生回忆，点和圆有几种位置关系?它们的数量特征分别是什么?2.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,那么你能根据直在学生回答的基础上，教师投影打出点和圆的三种位置关系：点在圆内、在圆上、在圆外.数量特征：点在圆内 d＜r；点在圆上d＝r；点在圆外d＞r.2.如果我们把太阳看成一个圆，先引导学生回顾点和圆的位置关系所对应的数量关系，启发学生运用类比的思想来思考问题，解决问题，再借助动画演示，学生很轻松的就能够得出结论线与圆的公共点的个数想象一下，直线和圆的位置关系有几种？地平线看成一条直线,那么你能根据直线与圆的公共点的个数想象一下，直线和圆的位置关系有几种？（板书课题)二、根据图形运动变化，发现规律、传授新知1.尝试活动让学生在纸上画一个圆，把直尺边缘看成一条直线，任意移动直尺，观察有几种位置关系.2、学生回答出：在图中，直线和圆由有两个交点逐渐缩至一个点最后完全消失.小组探讨问题（2）3.直线与圆的位置关系的数量特征？2.电脑演示：在学生尝试活动的基础上，教师电脑演示图：一个已知圆O与一条直线l发生相对运动的情况.将圆向上逐步运动，让学生观察，把观察到的情况说出来.在学生回答的基础上，教师指出：由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系：(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线.(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点.(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.给出以上定义后，教师强调：(1)直线与圆有唯一公共点的含义是“有且仅有”，这与直线与圆有一个公共点的含义不同.(2)直线和圆除了上述三种位置关系外，有第四种关系吗?即一条直线和圆的公共点能否多于两个?为什么?对于问题(2)可让学生展开讨论，后教师指出：由于同一直线上的三点不可能作圆，因而直线不可能与圆有三个交点，故直线与圆不可能有第四种位置关系.1、提出问题，让学生思考：直线与圆的位置关系能否像点与圆教师引导学生观察图，发现：由于圆心确定圆的位置，半径在探索直线和圆位置关系所对应的数量关系时，我的位置关系一样进行数量分析呢?2、小组交流：图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径. 确定圆的大小.因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系.学生回答后，教师总结并板书：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么(1)直线l和⊙O相交d＜r（2）直线l和⊙O相切d＝r(3)直线l和⊙O相离d＞r.以上三个命题的正确性是通过观察得到先引导学生回顾点和圆的位置关系所对应的数量关系，启发学生运用类比的思想来思考问题，解决问题，再借助动画演示，学生很轻松的就能够得出结论，从而突破本节课的难点，使学生充分理解位置关系与数量关系的相互转化的，可鼓励程度好的学生课后对它们加以证明.现以(3)为例证明如下.证明：判定定理.过O作OA⊥l 于A，则OA＝d.在直线l上任取另一点B，并连结OB.则在Rt△OAB 中，OB＞OA＞r.所以l上任意一点均在⊙O的外部.即直线l与⊙O没有公共点，l与⊙O相离.证明：性质定理.假设d不大于r,则d＝r或d＜r.由判定定理可知，当d＝r时，l 与⊙O相切；当d＜r 时，l与⊙O相交，都与已知直线l与⊙O相离矛盾，因此d＞r.三、例题分例在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3厘米，BC＝4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系?分析：因为题目给出了⊙O的半径，所以解题关键是求圆心C到直线AB的距离，也就是要求出Rt△ABC斜边AB上的高.为此，可过C点向AB作本节课类比点和圆的位置关系，从运动变化的观点来研究直线和圆的位置关系；利用了分类的思想把直线和圆的位置析，课堂练习 为什么?(1)r ＝2厘米；(2)r ＝2.4厘米；(3)r ＝3厘米.练习1 填空(课件打出) 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝3，AB ＝5，若以C 为圆心，r 为半径和圆，那么：(1)当直线AB 与⊙C 相离时，r 的取值范围是；(2)当直线AB 与⊙C相切时，r 的取值范围垂线段CD ，然后可根据CD 的长度与r 进行比较，确定⊙C 与AB 的关系. 让学生自己作出回答，教师板书解题过程，并画出相应的图形.关系分为三类来讨论；用了数形结合的思想，通过d的r 这两个数量之间的关系来研究直线和圆的位置关系.是；(3)当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是；练习2 A市气象局测得沙尘暴中心在A市的正西方向300千米的B处，以每小时10 千米的速度向南偏东60°的BF方向移动，如图所示，距沙尘暴中心200千米的范围是受沙尘暴影响的区域，请问A市是否受这次沙尘暴的影响？若不受影响，请说明理由；若受影响，求出A市受沙尘暴影响的时间有多长（图画在黑板上）四、课堂小结问：这节课学习了哪些具体内容?用到了哪些数学思想方法?应注意什么问题? 学生回答问题：这节课学习了哪些具体内容?用到了哪些数学思想方法?应注意什么问题?在学生回答的基础上教师归纳；1.投影打出直线与圆的位置关系表. 直线和圆的位置关系：相交、相切、相离。