高中数学平面向量的坐标运算(2)随堂练习新人教版必修4
人教A版高中数学必修四平面向量的坐标运算(2)
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
,y 2
)
2
练习：
1、若M(3, 2), N(5, 1), 且 MP 1 MN ,
则点P的坐标为( B )
2
A．( 8， 1)
C．(1，
3 2
)
B．( 1， 3 )
2
D．(8，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1)
2、已知A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则 AB 2BC __(__3_，____3_)__．
3
思考： 引进直角坐标系后，向量可
以用坐标表示．那么，怎样用坐 标反映两个向量的平行？如何用 坐标反映平面图形的几何关系？
4
3、向量平行的坐标表示: 设 a (x1, y1),b (x2, y2),其中b 0,
a // b 存在唯一实数，使 a b.
a b可 写 成
( x1, y1 ) ( x2 , y2 ),
即
此题中 当p1p pp2时，P点坐标如何呢
y P2
y P2
P P
P1
P1
O
x
O
x
(2)
11
说明：
本题证法较多，利于开阔我们 的思路，同时四种证法各有千秋， 证法二、证法三和证法四都是向量 中常用的方法，还有一定美感，而 证法四是最常用且最简单的一种方 法．
高一数学必修4同步训练 2.3.2 平面向量的坐标运算
第二章 平面向量2.3.2 平面向量的坐标运算课后练习—轻松入门一、选择题:1. 已知a =（3，－1），b =（－1，2），则－3a －2b 的坐标为A.（7，1）B.（－7，－1）C.（－7，1）D.（7，－1）2. 若向量a =（5，7），A （x －1，3），B （1，y +2），a 与相等，则A.x =－3,y =8B.x =8,y =－3C.x =3,y =－8D.x =3,y =83. 与d =（12，5）平行的单位向量是A.（1312，5） B.（－1312，－135） C.（1312，135）或（－1312，－135） D.（±1312，±135） 4. 已知a =（－1，3），b =（x ,－1），且a ∥b ,则x 等于A.3B.31C.－3D.－315. 已知A （x ，2），B （5，y －2)，若=（4，6），则x 、y 的值为A.x =－1，y =0B.x =1，y =10C.x =1，y =－10D.x =－1，y =－106. 已知M （3，－2），N （－5，－1），MP =21MN ，则P 点的坐标为 A.（－8，1）B.（－1，－23）C.（1，23）D.（8，－1） 二、填空题:7. 已知点A （5，1），B （1，3）及1OA =31，=311OB ，则向量11B A 的坐标为 . 8. 已知向量=（k ，12），=（4，5），=（10，k ）若A 、B 、C 三点共线，则k ＝ . 9. 已知□ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（－2，1），（3，4），（－1，3），则第四个顶点D 的坐标为 .10. 已知a +b =（2,－8）,a －b =（－8,16）,则a ＝ ;和b ＝ .二、解答题:11. 已知点A （2,3）、B （5，4）、C （7，10），若AC AB AP λ+=（λ∈R ），试求λ为何值时，点P 在第三象限内?12. 已知A （2，3），B （－1，5），满足=31，=3，=－41，求C 、D 、E 三点坐标.13.已知a=（1,2）,b=（－3,2），当k为何值时k a+b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？14.如果向量AB=i－2j,BC=i+m j,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线.15.已知O（0，0）、A（1，2）、B（4，5）及= +t.求：（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？（2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.拓展创新——练能力16. 已知向量a =（－3，2），b =（2，1），c =（3，－1），t ∈R .（1）求|a +t b |的最小值及相应的t 值；（2）t 为何值时，a －t b 与c 共线?17. 已知△ABC 中，A (7,8),B (3,5),C (4,3),M 、N 分别是AB 、AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于F ，求.18. 已知点A (－2，－1)，B (1，0)，C (1，2)，D (0，2)(1)求+++++的坐标.(2)以AB 、BC 为一组基底来表示BD .3.已知向量a =(1，1)，b =(1，－1)，将向量p =(2,3)表示成x a +y b 的形式.参考答案:1. B2. A3. C4. B5. B6. B7. （－34，32）8. 11或－29. （－6，0）10. 解析: ∵2a =（a +b ）+（a －b ）=（2,－8）+（－8,16）=（－6,8）.∴a =（－3,4）又∵2b =（a +b ）－（a －b ）=（10,－24）,∴b =（5,－12）.11. 解析:设点P 的坐标为（x ,y ）,则AP =（x ,y ）－（2,3）=（x －2,y －3）AC AB λ+ =（5,4）－（2,3）+λ［（7，10）－（2，3）］ ＝（3，1）＋λ（5，7）＝（3，1）＋（5λ，7λ）＝（3＋5λ，1＋7λ） ∵AC AB AP λ+=∴（x －2,y －3）=（3+5λ,1+7λ）∴⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x ∴⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x 若点P 在第三象限内，则⎩⎨⎧<+<+074055λλ ∴⎪⎩⎪⎨⎧-<-<741λλ ∴λ＜－1 即当λ＜－1时，点P 在第三象限内.12. 解：由A （2，3），B （－1，5）得=（－3，2） ∴AC =31AB =（－1，32）∴C （1，311） AD =3AB =（－9，6）∴D （－7，9） 又∵AE =－41AB =（43，－21） ∴E （411，－25）. 13. 解法一k a +b =k （1,2）+（－3,2）=（k －3,2k +2）a －3b =（1,2）－3（－3,2）=（10,－4）当k a +b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ.使k a +b =λ（a －3b ）由（k －3,2k +2）=λ（10,－4）∴⎩⎨⎧-=+=-λλ422103k k解得k =－31,λ=－31 当k =－31时k a +b 与a －3b 平行，这时k a +b =－31 a +b ∵λ=－31＜0， ∴－31 a +b 与a －3b 反向. 解法二由解法一知k a +b =（k －3,2k +2）,a －3b =（10,－4）,因（k a +b ）∥（a －3b ）∴（k －3）×（－4）－10×（2k +2）=0解得k =－31 此时k a +b =（－31－3,－32+2）=（－310，34）=－31（10,－4）=－31（a －3b ） ∴当k =－31时，k a +b 与a －3b 平行，并且反向. 14.解法一∵A 、B 、C 三点共线即、共线∴存在实数λ使得AB ＝λBC 即i －2j =λ（i +m j ）于是⎩⎨⎧-==21m λλ ∴ｍ＝－2即m =－2时，A 、B 、C 三点共线.解法二依题意知： i =（1,0）, j =（0,1） 则AB =（1,0）－2（0,1）=（1,－2）,BC =（1,0）+m （0,1）=（1,m ） 而AB 、BC 共线∴1×ｍ－1×（－2）＝0∴ｍ＝－2故当m =－2时，A 、B 、C 三点共线15. 解：（1）OP =OA +t =（1+3t ，2+3t ）.若P 在x 轴上，则2+3t =0，解得t =－32； 若P 在y 轴上，则1+3t =0，解得t =－31； 若P 在第二象限，则⎩⎨⎧>+<+.032,031t t解得－32<t <31. （2）∵OA =（1，2），PB =（3－3t ，3－3t ），若四边形OABP 为平行四边形，需OA =PB .∵⎩⎨⎧=-=-233,133t t 无解， ∴四边形OABP 不能成为平行四边形.16. 分析：（1）|a +t b |的计算，可借助平面上两点间距离公式求得；（2）利用共线的充要条件解关于t 的方程即可.解：（1）∵a +t b =（－3，2）+t （2，1）=（－3+2t ，2+t ），∴|a +t b |=549)54(51385)2()32(2222+-=+-=++-t t t t t ≥557549=（当且仅当t =54）. （2）a －t b =（－3，2）－t （2，1）=（－3－2t ，2－t ）.∵a －t b 与c 共线，∴（－3－2t ）·（－1）=3（2－t ）.∴t =53. 17. .解：如图∵A (7，8)，B (3，5)，C (4，3) ∴AB =(－4，－3)，AC = (－3，－5)又∵D 为BC 的中点 ∴AC AB AD 2121+==21(AC AB +)=(－27,－4) 又∵M 、N 分别是AB 、AC 的中点.∴F 为AD 的中点 ∴)2,47(21=-= 18. 解：(1)BD AC DA CD BC AB +++++ =BD AC BD AC DA AD +=+++=+=(3，3)+(－1，2) =(2，5)(2)设BD =λAB +μBC (－1,2)=λ(3,1)+μ(0,2) ∴⎩⎨⎧=+-=2213μλλ,∴λ=－31,μ=67∴BD =－31AB +BC 67.。
人教版高中数学必修四练习平面向量的坐标运算
课后训练1．若向量BA ＝(2,3)，CA ＝(4,7)，则BC ＝( )A ．(－2，－4)B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(－6，－10) 2．已知向量OA ＝(3，－2)，OB ＝(－5，－1)，则向量12AB 的坐标是( ) A ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．14,2⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．(－8,1) D ．(8,1)3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC ＝2AD ，则顶点D 的坐标为( )A ．72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,2⎛⎫-⎪⎝⎭C ．(3,2)D ．(1,3)4．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．{(1,2)}B ．{(1,2)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ． 5．已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝( )A ．81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．138,33⎛⎫⎪⎝⎭ C ．134,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．134,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭6．已知a ＋b ＝(2，－8)，a －b ＝(－8,16)，则a ＝__________，b ＝__________．7．已知点A (－1，－1)，B (1,3)，C (x,5)，若对于平面上任意一点O ，都有OC ＝λOA ＋(1－λ)OB ，λ∈R ，则x ＝__________．8．对于任意的两个向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，bc ＋ad )，运算“⊕”为m ⊕n ＝(a ＋c ，b ＋d )．设m ＝(p ，q )，若(1,2)⊗m ＝(5,0)，则(1,2)⊕m 等于__________．9．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP ＝OA ＋t AB ，试求t 为何值时，(1)点P 在x 轴上；(2)点P在y轴上；(3)点P在第一象限．10．平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且AC＝12BC，连接DC并延长至E，使|CE|＝14|ED|，求点E的坐标．参考答案1答案：A 解析：∵BA ＝(2,3)，CA ＝(4,7)，∴BC ＝BA ＋AC ＝BA －CA＝(2,3)－(4,7)＝(2－4,3－7)＝(－2，－4)．2答案： A 解析：12AB ＝12(OB －OA ) ＝12[(－5，－1)－(3，－2)] ＝12(－8,1)＝14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 3答案：A 解析：令D (x ，y )，由已知得，2(0)3(1),2(2)1(2),x y -=--⎧⎨-=--⎩ 解得2,7.2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴D 72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 4答案：C 解析：令(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，即(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，∴12121324,2425.λλλλ+=-+⎧⎨+=-+⎩解得121,0.λλ=-⎧⎨=⎩ 故M 与N 只有一个公共元素是(－2，－2)．5答案：D 解析：a －2b ＋3c ＝(5，－2)－2(－4，－3)＋3(x ，y )＝(5－2×(－4)＋3x ，－2－2×(－3)＋3y )＝(13＋3x,4＋3y )＝0，∴1330,430,x y +=⎧⎨+=⎩∴13,34.3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故选D ．6答案：(－3,4) (5，－12) 解析：由题意得(2,8),(8,16).+-⎧⎨--⎩①②a b =a b = ①＋②得2a ＝(2，－8)＋(－8,16)＝(－6,8)，∴a ＝(－3,4)．而b ＝(2，－8)－a ＝(2，－8)－(－3,4)＝(2＋3，－8－4)＝(5，－12)，∴a ＝(－3,4)，b ＝(5，－12)． 7答案：2 解析：取O (0,0)，由OC ＝λOA ＋(1－λ)OB 得，(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，∴(1)53(1).x λλλλ=-+-⎧⎨=-+-⎩，解得1=2=2.x λ⎧-⎪⎨⎪⎩， 8答案：(2,0) 解析：由(1,2)⊗m ＝(5,0)，可得2=52=0p q p q -⎧⎨+⎩，，解得=1=2p q ⎧⎨-⎩，，∴(1,2)m ＝(1,2)(1，－2)＝(2,0)．9答案：解：∵O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，∴OA ＝(1,2)，AB ＝(3,3)．∴OP ＝OA ＋t AB ＝(1＋3t,2＋3t )．(1)若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴23t =-； (2)若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴13t =-； (3)若点P 在第一象限，则130230t t +>⎧⎨+>⎩，，∴t ＞13-． 10答案：解：∵AC ＝12BC ，∴A 为BC 的中点． ∴C 点坐标为(3，－6)，又|CE |＝14|ED |，且E 在DC 的延长线上，∴CE＝14-ED，设E(x，y)，则(x－3，y＋6)＝14-(4－x，－3－y)，得13=(4)416=(3).4x xy y⎧---⎪⎪⎨⎪+---⎪⎩，解得8=3=7.xy⎧⎪⎨⎪-⎩，∴点E的坐标为873⎛⎫ ⎪⎝⎭，-．。
人教A版高中数学必修四高一向量同步练习6(平面向量坐标运算2).doc
高一向量同步练习6（平面向量坐标运算2）一、选择题1、若A(x ，－1)、B(1，3)、C(2，5)三点共线，则x 的值为A ． －3B ． －1C ． 1D ． 32、向量(x 1，y 1)∥(x 2，y 2)的充要条件是A ．2121y y x x =B ．2211y x y x = C ．x 1y 2 = x 2y 1 D ．以上答案都正确 3、已知AB =(5，－3)，C(－1，3)， CD =2AB ，则点D 坐标A ．(11，9)B ．(4，0)C ．(9，3)D ．(9，-3)4、设a =(23，sin α)，b =(cos α，31)，且a ∥b ，则锐角α为 A ． 30０ B ． 600 C ． 450 D ． 7505、若向量a =(1，－2) ， | b | = 4 |a |，且a ，b 共线，则b 可能是A ．(4，8)B ．(－4，8)C ．(－4，－8)D ．(8，4)6、平行四边形ABCD 的三个顶点为A （-2，1）、B （-1，3）、C （3，4），则点D 的坐标是A ．（2，1）B ．（2，2）C ． （1，2）D ．（2，3）二、填空题1、设a =(4，－3)，b =(x ，5)，c =(－1，y)，若a +b =c ，则（x ，y ）= ．2、若a =(-1，x)与b =(－x ，2)共线且方向相同，则x= ．3、若A(－1， －1)， B(1，3)， C(x ，5) 三点共线，则x= ．4、已知a =(3，2)，b =(－2，1)，若λa +b 与a +λb （λ∈R ）平行，则λ= ．5、已知|a |=10，b =（4，－3），且a ∥b ，则向量a 的坐标是 ．6、若向量a =(－1，x)，b =(－x ，2)，且a 与b 同向，则a －2b = ．7、已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AD =(2，5)，AB =(-2，3)，则CD 坐标为 ，DO 坐标为 ，CO 的坐标为 ．8、已知OA =(x 1，y 1)，OB =(x 2，y 2)，线段AB 中点为C ，则OC 的坐标为 ．三、解答题1、已知向量a =（1，2），b =（x ，1），1e =a +2b ，2e =2a -b 且1e ∥2e ，求x ．2、已知向量()2,3=a ，()1,1-=b ，向量m 与b a 23-平行，且m =4137， 求向量m 的坐标．3、已知两点A(4，－2)，B(－4，4)，C(1，1)， (1)求方向与→AB 一致的单位向量；（2）过点C 作向量→CD 与→AB 共线，且4=→CD ，求D 点坐标；（3）若A 、B 、C 都是某个平行四边形的顶点，求另一个顶点D 的坐标．参考答案一、选择题BCD CBB二、填空题1、()2,5-。
人教版高二必修四数学第二章平面向量试题
以下是为⼤家整理的关于《⼈教版⾼⼆必修四数学第⼆章平⾯向量试题》的⽂章，供⼤家学习参考！第四部分练习与试卷2.1 平⾯向量的概念及其线性运算（练习）【练习⽬标】1、理解平⾯向量和向量相等的含义，理解向量的⼏何表⽰；2、掌握向量加、减法的运算，并理解其⼏何意义；3、掌握向量数乘的运算，并理解其⼏何意义，以及两个向量共线的含义；4、了解向量线性运算的性质及其⼏何意义。
【⾃我测试】1、下列命题中（1）与⽅向相同（2）与⽅向相反（3）与有相等的模（4）若与垂直其中真命题的个数是 ( )A、0B、1C、2D、32、已知AD、BE是 ABC的边BC、AC上的中线，且，，则为 ( )A、 B、 C、 D、3、O是平⾯上⼀定点，A、B、C是平⾯上不共线的三个点，动点P满⾜，则P的轨迹⼀定经过 ABC的( )A、外⼼B、内⼼C、垂⼼D、重⼼4、若⾮零向量、满⾜| + |=| — |，则与所成⾓的⼤⼩为_________________。
5、已知点M是 ABC的重⼼，若，求的值。
6、 ABC的外接圆的圆⼼为O，两条边上的⾼的交点为H，，求实数的值。
2.2 平⾯向量的坐标运算【练习⽬标】1、知识与技能：了解平⾯向量的基本定理及其意义、掌握平⾯向量的正交分解及其坐标表⽰；理解⽤坐标表⽰的平⾯向量共线的条件。
2、能⼒⽬标：会⽤坐标表⽰平⾯向量的加、减与数乘运算；3、情感⽬标：通过对平⾯向量的基本定理来理解坐标，实现从图形到坐标的转换过程，锻炼学⽣的转化能⼒。
【⾃我测试】1、下列命题正确的是（）A、 B、C、 D、2、已知正⽅形ABCD的边长为1，，则 = （）A、0B、3C、D、3、已知，则共线的条件是（）A、 B、 C、 D、或4、如图，在中D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则（）A、 B、 C、 D、5、若，则实数p、q的值为（）A、 B、 C、 D、6、已知A、B、C是坐标平⾯上的三点，其坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（0，-1），则是（）A、等腰三⾓形B、等腰直⾓三⾓形C、直⾓三⾓形D、以上都不对2.3 平⾯向量的数量积及其运算【学习⽬标】1．知识与技能：（1）理解向量数量积的定义与性质；（2）理解⼀个向量在另⼀个向量上的投影的定义；（3）掌握向量数量积的运算律；（4）理解两个向量的夹⾓定义；【⾃我测试】1、已知，，和的夹⾓为，则为（）A． B． C． D．2、已知向量，，若，则（）A． B． C． D．3、在△ABC中，a,b,c分别为三个内⾓A,B,C所对的边，设向量，若 ,则⾓A的⼤⼩为（）A. B. C. D.4、设是任意的⾮零平⾯向量，且它们相互不共线，下列命题：①②③不与垂直④其中正确的是（）A.①②B.②③C.③④D.②④5、若向量与的夹⾓为，，则向量的模为（）A. B. C. D.6、为锐⾓三⾓形的充要条件是（）A． B．C． D．7、设是两个⾮零向量，是在的⽅向上的投影，⽽是在的⽅向上的投影，若与的夹⾓为钝⾓，则（）A． B． C． D．8、在中，若且，则的形状是（）A．等边三⾓形 B．直⾓三⾓形 C．等腰⾮等边三⾓形 D．三边均不相等的三⾓形9、若，则与的夹⾓为； = ．10、已知， ,如果与的夹⾓为锐⾓,则的取值范围是11、 = 时，与垂直12、设向量其中，则的值是．13、已知向量与的夹⾓为，，则 = ．14、已知，⑴求与的夹⾓；⑵求；⑶若，，求的⾯积．15、已知向量且．⑴求及；⑵若的最⼩值是，求的值．2.4平⾯向量的应⽤【学习⽬标】1.经历⽤向量⽅法解决某些简单的平⾯⼏何问题、⼒学问题与其他⼀些实际问题的过程，体会向量是⼀种处理⼏何问题、物理问题等的⼯具，发展运算能⼒2.运⽤向量的有关知识对物理中的问题进⾏相关分析和计算，并在这个过程中培养学⽣探究问题和解决问题的能⼒1．在△ABC中，AB=a，AC=b，当a•b ＜0时，△ABC为（）Ａ．直⾓三⾓形Ｂ．锐⾓三⾓形Ｃ．钝⾓三⾓形Ｄ．等腰三⾓形2．若向量a、b、c满⾜a +b+c=0，|a|=3，|b|=1，|c|=4，则a b+b c+c a等于（）Ａ． 11 Ｂ． 12 Ｃ． 13 Ｄ． 143．已知点，则∠BAC 的余弦值为．4．已知，且a 与b的夹⾓为钝⾓，则x的取值范围是．5．的顶点为，重⼼．求：（1）边上的中线长；（2）边上的⾼的长．6．已知O为△ABC所在平⾯内的⼀点，且满⾜，试判断△ABC的形状．7．已知，设C是直线OP上的⼀点，其中O为坐标原点．（1）求使取得最⼩值时向量的坐标；（2）当点C满⾜（1）时，求cos∠ACB．8、已知O为△ABC所在平⾯内的⼀点，且满⾜，试判断△ABC的形状．9、已知，设C是直线OP上的⼀点，其中O为坐标原点．（1）求使取得最⼩值时向量的坐标；（2）当点C满⾜（1）时，求cos∠ACB．平⾯向量测试卷命题⼈：蓝承⼀、选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题4分，共32分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1、设向量，，则下列结论中正确的是（）A、 B、C、与垂直D、∥2、在平⾏四边形ABCD中，AC为⼀条对⾓线，若， ,则（）A．（3，5） B．（2，4） C、（－2，－4） D．（－3，－5）3、义平⾯向量之间的⼀种运算“ ”如下，对任意的，，令，下⾯说法错误的是（）A.若与共线，则B.C.对任意的，有D.4、已知向量a,b满⾜a•b＝0，|a|=1，|b|=2，则|2a－b|＝（）A、8B、4C、2D、05、在中，，．若点满⾜，则（）A． B． C． D．6、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（）A、8B、4C、 2D、17、中，点在上，平⽅．若，，，，则（）A、 B、 C、 D 、8、已知和点满⾜ .若存在实数使得成⽴，则 =（）A． 2 B. 3 C. 4 D. 5⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．9、如图，在中，，，则 = 。
高中数学一轮复习随堂训练第2讲《向量的坐标运算》人教版必修4
第2讲向量的坐标运算随堂演练巩固1.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b等于 ( )A.(7,3)B.(7,7)C.(1,7)D.(1,3)【答案】 A【解析】a-2b=(3,5)-(-4,2)=(7,3).2.已知向量a=(1,3),b=(2,1),若(a+2b)与(3ab)平行,则的值等于( )A.-6B.6C.2D.-2【答案】 B【解析】a+2b=(5,5),3ab.∵(a+2b)∥(3ab),∴解得.3.已知两点A(4,1)、B(7,-3),则与向量同向的单位向量是( )A. B.C. D.【答案】 A【解析】∵=(3,-4),| |∴与同向的单位向量是.4.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且则顶点D的坐标为( )A. B. C.(3,2) D.(1,3)【答案】 A【解析】设D又∴∴即点D坐标为.课后作业夯基1.ee是平面内一组基底,那么( )A.若存在实数使ee0,则B.空间内任一向量a可以表示为aee为实数C.对实数ee不一定在该平面内D.对平面内任一向量a,使aee的实数有无数对【答案】 A【解析】对于A,∵ee不共线,故正确;对于B,空间向量a应改为该平面内的向量才可以;C中ee一定在该平面内;D中,根据平面向量基本定理应是唯一一对.2.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),则向量a与b ( )A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且反向D.平行且同向【答案】 C【解析】∴a∥b.又∵b=-2a,∴a、b平行且反向.3.设向量a=(1,-3),b=(-2,4).若表示向量4a、3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c为…( )A.(1,-1)B.(-1,1)C.(-4,6)D.(4,-6)【答案】 D【解析】依题可知4a+(3b-2a)+c=0,所以c=2a-4a-3b=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).4.已知向量a=(-3,1),b=(1,-2),若(-2a+b)∥(a+k b),则实数k的值是( )A.-17B.C. D.【答案】 D【解析】易知a+k b为非零向量,故由题意得-2a+ba+k b),∴.∴.5.对于非零向量a和b“a∥b”是“”的( )A.必要不充分条件B.充分必要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B【解析】由向量平行的坐标表示可得a∥b故选B.6.设=(1,-2), =(a,-1), =(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A、B、C三点共线,则的最小值是A.2B.4C.6D.8【答案】 D【解析】=-=(a-1,1), =-=(-b-1,2).∵A、B、C三点共线,∴∥.∴.∴2a+b=1.∴当且仅当时取等号.∴的最小值是8.7.已知向量ab=(0,-1),c.若a-2b与c共线,则k= .【答案】 1【解析】a-2b因为a-2b与c共线,所以即k=1.8.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则m= .【答案】 -1【解析】a+b=(1,m-1),由(a+b)∥c得1)=0,∴m=-1.9.设向量a=(1,0),b=(1,1),若向量a+b与向量c=(6,2)共线,则实数 .【答案】 2【解析】a+b∵a+b与向量c=(6,2)共线,∴∴.10.在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC.已知A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为 .【答案】 (0,-2)【解析】设D点的坐标为(x,y),由题意知即(2,-2)=(x+2,y),所以x=0,y=-2,∴D(0,-2).11.若a,b为非零向量且a∥b R,且求证:a+b与ab为共线向量.【证明】设ab.∵a∥b,b0,a0,∴存在实数m,使得a=m b,即a.∴ab.同理ab∴ab)∥bab)∥b.而b0,∴ab)∥ab),即ab与ab为共线向量.12.a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,k a+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向? 【解】 k a+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).当k a+b与a-3b平行时,存在唯一实数使k a b a-3b).由(k-3.∴解得.当时,k a+b与a-3b平行,这时k a+b a ba-3b).∵∴k a+b与a-3b反向.13. 已知A(1,－2),B(2,1),C(3,2)和D(－2,3),试以、为一组基底表++【解】=(2－1,1+2)=(1,3),=(3－1,2+2)=(2,4), =(－3,5),=(－4,2), =(－5,1),∴++=(－3－4－5,5+2+1)=(－12,8).令(－12,8)=m+n,则有m(1,3)+n(2,4)=(－12,8),即(m+2n,3m+4n)=(－12,8).∴解得m=32,n=－22.∴++=32－22.14.已知A(1,1)、B(3,-1)、C(a,b).(1)若A、B、C三点共线,求a、b的关系式;(2)若求点C的坐标.【解】 (1)由已知得1),∵A、B、C三点共线,∴∥∴2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2.(2)∵.∴(a-1,b-1)=2(2,-2),∴解得∴点C的坐标为(5,-3).。
新课标数学必修4第2章平面向量同步练习(含答案)
第1课时 平面向量的实际背景及基础概念一、选择题1.下列各量中不是向量的是（A.浮力 B .风速 C.位移 D.2.下列命题正确的是（A.向量AB 与BA 是两平行向量B.若a 、b 都是单位向量，则a=bC.若=，则A 、B 、C 、D四点构成平行四D.3. 在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则（A. 与AC 共线B. 与CB 共线C. 与相等D. 与相等 4.在下列结论中，正确的结论为（(1)|a |=|b |⇒a =b ； (2) a ∥b 且|a |=|b | ⇒ a =b ； (3) a =b ⇒a ∥b 且|a |=|b |(4) a ≠b ⇒ a 与b 方向相反 A. (3) B.(2)(3) C.(2)(4) D.(1)(3)(4) 二、填空题：5.物理学中的作用力和反作用力是模 且方向 的共线向量.6.把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点，则终点所构成的图形是 ；若这些向量为单位向量，则终点构成的图形是 .7.已知||=1，| AC |=2，若∠BAC=60°，则|BC |= .8.在四边形ABCD 中， =，且||=||，则四边形ABCD 是 .三、解答题：9. 某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点. (1)作出向量、、 (1 cm 表示200 m).(2)求的模.10.如图，已知四边形ABCD 是矩形，设点集M ={A ，B ，C ，D }，求集合T ={、P 、Q ∈M ，且P 、Q 不重合}.第10题图A B一、选择题1.下列等式: a +0=a ， b +a =a +b ，AB +AC =BC ， AB +BC =BC 正确的个数是( ) A.2 B .3 C.4 D.52.化简++的结果等于( ) A. B . C. SPD.3.若C 是线段AB 的中点，则 AC +为A. B . C. 0D. 以上都错4．O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设=a ，=b ，=c ，=d ，则（ ）A.a +b =c +d B .a +c =b +d C.a +d =b +c D.a +b +c +d =0 二、填空题：5.化简：（OM BO MB AB +++)= ； 6．如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空:b +e = ， f +d = ，a +b +c = .7.已知向量a 、b 分别表示“向北走5km ”和“向西走5公里”，则a +b 表示 ； 8、一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4 km/h ，则河水的流速的大小为 . 三、解答题：9.一架飞机向北飞行300公里，然后改变方向向东飞行400公里，求飞机飞行的路程和位移.10．如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a +b =AB ，c -d =，并画出a +d.Dd e c A f Ca bBC一、选择题1.下列等式:①AB -= ②AB -= ③-(-a )=a ④a +(-a )=0 ⑤a +(-b )=a -b( )A.2 B .3 C.4D.52. 在△ABC 中， =a ， =b ，则AB 等于( ) A.a +bB .-a +(-b ) C.a -bD.b -a3.在下列各题中，正确的命题个数为( )(1)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a +b 与a (2)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a -b 与a +b(3)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a (4)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a +b A.1 B.2 C.3 D.44.若a 、b 是非零向量，且|a -b |=|a |=|b ，则a 和a +b 的夹角是（ ） A.090 B . 600 C.300 D.045二、填空题5. 在正六边形ABCDEF 中， AE =m ， AD =n ，则BA = .6. 已知a 、b 是非零向量，则|a -b |=|a |+|b |时，应满足条件. 7. 如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空: c -d = ，a +b +c -d= .8.已知=a ， =b ，若||=12，||=5，且∠AOB =90°，则|a -b |= . 三、解答题9. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.10. 已知O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若=a ， BC =b ，=c ，试证明:c +a -b =.Dd e c A fa b C B第4、5课时 向量的数乘运算及其几何意义一、选择题 1.设e 1、e2A.e 1、e2 B .e 1、e2C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a =e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .C.相等D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -yA.3B .-3C.0D.24. 下面向量a 、b 共线的有（ ）(1)a =2e 1，b =-2e 2 (2)a =e 1-e 2，b =-2e 1+2e2(3)a =4e 1-52e 2，b =e 1-101e 2 (4)a =e 1+e 2，b =2e 1-2e 2.(e 1、e 2不共线)A.(2)(3) B .(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4) 二、填空题5.若a 、b 不共线，且λa +μb =0(λ，μ∈R )则λ= ，μ= .6.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .7.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).8. 如图，在△ABC 中，=a， =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= 三、解答题：9. 如图，平行四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，N 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以ａ、ｂ为基底分解向量与.DABCa bB FC MA N D10.如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ∥BC ，且BCPQ＝ｔ，＝ａ，＝ｂ，＝с，求OP 与.第6课时 平面向量基本定理一、选择题1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A. e 1、e 2一定平行 B. e 1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( )A.3 B .-3 C.0 D.2 4．已知|a |=1，|b |=2，且a -b 与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５° 二、填空题5．已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .6． 已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且 a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).7． 已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .8． 已知矩形ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 三、解答题9． 已知梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB=2CD ，M ， N 分别是DC ， AB 中点，设AD =a ， AB =b ，试以a， b 为基底表示DC ， BC ， MN .10． 化简++++.第7课时 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、选择题 1.设a =(23，sin α)，b=(ｃｏｓα，31)，且a ∥b ，则锐角α为（ ） A.30° B .60° C.45° D.75°2.设k ∈Ｒ，下列向量中，与向量a =(1，-1)一定不平行的向量是（ ）A.(k ，k ) B .(-k ，-k )C.(k ２＋１，ｋ２＋１)D.（ｋ２－１，ｋ２－１）3．已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-36 4．已知|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 二、填空题5．已知a =(3，2)，b =(2，-1)，若λa +b 与a +λb （λ∈R ）平行，则λ＝ . 6．若a=(-1，x)与b=(-x ，2)共线且方向相同，则x= . 7．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) 则-2=8．在△ABC 中，AB =a， BC =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= .三、解答题9．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ， 求P 点的坐标.10．在中，设对角线AC =a ，BD =b 试用a， b 表示AB ，BC .11.已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) 求证：四边形ABCD 是梯形.12．设1e ， 2e 是两个不共线向量，已知=21e +k 2e ， =1e +32e ，=21e -2e ， 若三点A ， B ， D 共线，求k 的值.第8课时 平面向量共线的坐标表示一、选择题1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（ ） A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（ ） A.-3 B .-1 C.1 D.33.若=i +2j ， =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，44.若a =(x １，y １)，b =(x ２，y ２)，且a ∥b ，则坐标满足的条件为（ ） A.x １x ２－ｙ１ｙ２＝0 B .ｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝0 C.ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＝0 D.ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝0 二、填空题5.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y = .6已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .7.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 8.若A (-1，-1)，B (1，3)，C (x ，5)三点共线，则x = . 三、解答题9.已知a =(1，2)，b =(-3，2)，当k 为何值时k a +b 与a -3b 平行?10.已知A 、B 、C 、D 四点坐标分别为A (1，0)，B (4，3)，C (2，4)，D (0，2)，试证明：四边形ABCD 是梯形.11.已知A 、B 、C 三点坐标分别为(-1，0)、(3，-1)、(1，2)，AE =AC 3131=， 求证：∥.12．△ABC 顶点A(1， 1)， B(-2， 10)， C(3， 7) ，∠BAC 平分线交BC 边于D ， 求D 点坐标第9课时 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、选择题1.已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５° 2.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23材 C.6 D.123.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ）A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知a =(λ，２)，b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A.λ＞310 B .λ≥310 C.λ＜310 D.λ≤310 二、填空题5.已知a =(3,0),b =(k ,5)且a 与b 的夹角为43π，则k 的值为 . 6.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= . 7.已知a +b =2i -8j ,a -b =-8i +16j ,其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .8.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b -c )２＝______. 三、解答题9.已知|a |=1,|b |=2,(1)若a ∥b ,求a ·b ;(2)若a 、b 的夹角为60°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.10.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为60°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.11.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +t b |最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角.12.已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，a ·b ＝－3，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜.第10课时 平面向量数量积的运算律一、选择题1.下列叙述不正确的是（ ）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 4.给定两个向量a =(3,4),b =(2,-1)且(a +x b )⊥(a -b ),则x 等于（ ） A.23 B .223 C. 323 D. 423 二、填空题5.已知a =(1,2),b (1,1),c=b -k a ,若c ⊥a ，则c ＝ .6.已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 7.已知|a |=2,|b |=5,a ·b =-3,则|a +b |=______,|a -b |= . 8.设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 三、解答题5. 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°).6. 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(x a +y b )⊥a ，且｜x a +y b ｜=1.7. 已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x .12.如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒， 求点B 和向量的坐标.第11课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题1.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |２－４a ·b ＝（ ） A.23 B .57 C.63 D.832.已知A (1,2),B (2,3),C (-2,5)，则△ABC 为（ ）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ）A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53(--C.)54,53(-或)53,54(-D.)54,53(-或)54,53(-4.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为（ ） A.13 B .513 C.565D.65 二、填空题5.a =(2,3),b =(-2,4),则(a +b )·(a -b )= .6.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ,-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 7.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =,b =,则a 与b 的夹角为 . 8.已知|a |=10,b =(1,2)且a ∥b ,则a 的坐标为 .三、解答题9．已知a =(3,-1),b =(1,2),求满足条件x ·a =9与x ·b =-4的向量x .10.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ＡＣＢ＝９０°，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.11.四边形ABCD 中=AB (6,1), BC =(x ,y )，CD =(-2,-3), (1)若BC ∥DA ，求x 与y 间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有⊥,求x ,y 的值及四边形ABCD 的面积.12.在△ABC 中，=(2, 3)，=(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值..第12课时 平面向量的应用举例一选择题1．在四边形ABCD 中，若则,AD AB AC += ( ) A ．ABCD 是矩形 B.ABCD 是菱形C ABCD 是正方形 D.ABCD 是平行四边形 2已知:在是则中，ABC ABC ∆<∙∆,0( )A 钝角三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 任意三角形二．解答题3．设M 、N 分别是四边形ABCD 的对边AB 、CD 的中点，求证：)(21MN +=4．求证:对角线相等的四边形是矩形.5.求证：圆的直径所对的圆周角为直角.6．求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.7．证明:三角形的三条高交于一点.8．.AC AB CE BD CE BD ABC ==∆，求证：为中线，且，中，第13课时 向量在物理中的应用一选择题1某人以时速为a km 向东行走,此时正刮着时速为a km 的南风,则此人感到的风向及风速分别为( )A ．东北, 2akm/h B.东南, akm/hC ．西南, 2akm/h D.东南, 2akm/h2．一船以4km/h 的速度沿与水流方向成1200的方向航行，已知河水流速为2km/h ，则ABCDA E3h 后船的实际航程为( )A ．63km B.6km C ．53km D.5km二、填空题3．力F 1,F 2共同作用在某质点上,已知F 1=5N, F 2=12N,且F 1与F 2互相垂直,则质点所受合力的大小为_______________4．在200米山顶上.测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 60,30则塔高为__________米 5．某人向正东方向走x 千米后,他向右转150,然后朝新方向走3千米.结果他离开出发点恰好3千米,则 x=_________________.6.若用两根完全相同的绳子向两侧呈“V ”挂重物，每根绳子最大拉力为100N ，两根绳子间的夹角为600，则能挂重物的最大重量是 . 三、解答题7．一个质量为100g 的球从1.8m 的. 高处落到水平板上又弹回到1.25m 的高度，求在整个过程中重力对球所做的功。
新人教版高中数学平面向量的坐标运算随堂练习必修四
向量的坐标运算1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)满足(ka ＋b )∥c ，则k ＝2．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC ＝2AD ，则顶点D 的坐标为3．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝4．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝(1＋cos θ，－14)，且a ∥b ，则锐角θ等于 5．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)，且a ∥b ，则tan θ＝________.6．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.7．已知点A (－1，－1)、B (1,3)、C (x,5)，若对于平面上任意一点O ，都有OC ＝λOA ＋(1－λ) OB ，λ∈R ，则x ＝______.8．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________________．9．已知A 、B 、C 三点的坐标为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE ＝13AC ，BF ＝13BC ，求证：EF ∥AB .10．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，回答下列问题：(1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(3)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .答案：1.解析：ka ＋b ＝(k －1，k ＋1)，由(ka ＋b )∥c ，得2(k －1)－4(k ＋1)＝0，解得k ＝－3.答案：-32.解析：令D (x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x －＝3－－，y －＝1－－解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝72.∴顶点D 的坐标为(2，72)．答案：(2，72)．3.解析：AB ＝(－8,8)，AC ＝(3，y ＋6)．∵AB ∥AC ，∴－8(y ＋6)－24＝0.∴y ＝－9.答案：-94.解析：由a ∥b 得－2×(－14)＝1－cos 2θ＝sin 2θ，∵θ为锐角，∴sin θ＝22，∴θ＝45°.答案：45°5.解析：∵a ∥b ，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ. 即4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝14. 答案：146.解析：a ＋b ＝(2－1，－1＋m )＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c ， 得1×2－(m －1)×(－1)＝0，即m ＝－1.答案：－17.解析：取点O (0,0)，由OC ＝ λOA ＋(1－λ) OB ，得(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－λ＋－λ，5＝－λ＋－λ解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝2. 答案：28.解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)． 设点B 坐标为(x ，y )，则AB ―→＝(x －1，y －2)＝b . 由⎩⎪⎨⎪⎧ －2λ＝x －1，3λ＝y －2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.①又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，∴λ＝12或λ＝－23，代入①式得 B 点坐标为(0，72)或(73，0)．答案：(0，72)或(73，0) 9.证明：设E 、F 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB ＝(4，－1)． ∵AE ＝13AC ，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)．∴点E 的坐标为(－13，23)．同理点F 的坐标为(73，0)，EF ＝(83，－23)．又83×(－1)－4×(－23)＝0，∴EF ∥AB .10.解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1) ＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a ＝mb ＋nc ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )． ∴－m ＋4n ＝3且2m ＋n ＝2，解得m ＝59，n ＝89.(3)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，又a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0.∴k ＝－1613.仅此学习交流之用谢谢。
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平面向量的坐标运算（2）
1．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论
①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )；
②a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2；
③若a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的始点是原点O ；
④若a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )．
其中，正确结论的个数是
2．已知a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb ＝(10,0)(m ，n ∈R)，则m ＝ n ＝
3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为
4．已知a ＋b ＝(2，－8)，a －b ＝(－8,16)，则a ＝
5．已知A (2,3)，B (1,4)，且12AB ＝(sin α，cos β)，α、β∈(－π2，π2
)，则α＋β＝______. 6．已知e 1＝(1,2)，e 2＝(－2,3)，a ＝(－1,2)，试以e 1，e 2为基底，将a 分解成λ1e 1＋λ2e 2的形式为________．
7．在▱ABCD 中，已知AD ＝(3,7)，AB ＝(－2,3)，对角线AC ，BD 相交于O 点，则CO 的坐标是________．
8．已知点A (1,2)，B (2,5)，AC ＝2AB
，则点C 的坐标为________． 9．已知A (1，－2)、B (2,1)、C (3,2)和D (－2,3)，以AB 、AC 为一组基底来表示AD ＋BD ＋CD .
10．已知三点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)，点P 满足AP ＝AB ＋λAC
(λ∈R)．
(1)λ为何值时，点P 在正比例函数y ＝x 的图像上？
(2)设点P 在第三象限，求λ的取值范围．
1.解析：由平面向量基本定理可知，①正确；②不正确．例如，a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的始点是不是原点无关，故③错误；a 的坐标与终点坐标是以a 的始点是原点为前提的，故④错误．
答案：1
2.解析：∵ma ＋nb ＝m (3，－1)＋n (－1,2)
＝(3m －n ，－m ＋2n )＝(10,0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3m －n ＝10，－m ＋2n ＝0，∴m ＝4，n ＝2.
答案：m ＝4，n ＝2
3.解析：∵四条有向线段首尾相接构成四边形，则对应向量之和为零向量，即4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，
∴d ＝－6a －4b ＋4c ＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)．
答案：(－2，－6)
4.解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝ 2，－8 ， ①a －b ＝ －8，16 . ②
①＋②得2a ＝(2，－8)＋(－8,16)＝(－6,8)
∴a ＝(－3,4)．
答案：(－3,4)
5.解析：∵12AB ＝12(－1,1)＝(－12，12
)＝(sin α，cos β)， ∴sin α＝－12且cos β＝12，∴α＝－π6，β＝π3或－π3
. ∴α＋β＝π6或－π2
. 答案：π6或－π2
6.解析：设a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R)，
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2,2λ1＋3λ2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝λ1－2λ2，2＝2λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝17，λ2＝47.
∴a ＝17e 1＋47
e 2.
答案：a ＝17e 1＋47
e 2 7.解析：CO ＝－12AC ＝－12
(AB ＋AD ) ＝－12[(－2,3)＋(3,7)]＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，－5. 答案：(－12
，－5) 8.解析：∵AB ＝(1,3)，∴AC ＝(2,6)．
则OC ＝OA ＋AC ＝(1,2)＋(2,6)＝(3,8)．
答案：(3,8)
9.解：∵AB →＝(1,3)，AC ＝(2,4)，AD ＝(－3,5)， BD ＝(－4,2)，CD
＝(－5,1)， ∴AD ＋BD ＋CD ＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1) ＝(－12,8)．
根据平面向量基本定理，一定存在实数m 、n ，使得 AD ＋BD ＋CD ＝m AB ＋n AC
， ∴(－12,8)＝m (1,3)＋n (2,4)，
即(－12,8)＝(m ＋2n,3m ＋4n )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝－12，3m ＋4n ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝32，n ＝－22.
∴AD ＋BD ＋CD ＝32AB －22AC .
10解：设P 点坐标为(x 1，y 1)，则AP ＝(x 1－2，y 1－3)． AB ＋λAC ＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)， 即AB ＋λAC ＝(3＋5λ，1＋7λ)，
由AP ＝AC ＋λAC
，
可得(x 1－2，y 1－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－2＝3＋5λ，y 1－3＝1＋7λ，解得⎩⎪⎨⎪
⎧ x 1＝5＋5λ，y 1＝4＋7λ.
∴P 点的坐标是(5＋5λ，4＋7λ)．
(1)令5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝12
， ∴当λ＝12
时，P 点在函数y ＝x 的图像上．
(2)因为点P 在第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋5λ＜0，4＋7λ＜0，解得λ＜－1，
∴λ的取值范围是{λ|λ＜－1}．。