第1章 算法与程序框图
人教a版必修3数学教学课件第1章算法初步第1节算法与程序框图
HONGNANJUJIAO
D典例透析
2.算法的特征
特征
有限性
确定性
可行性
有序性
说明
一个算法运行完有限个步骤后必须结束,而不能无限
地运行
算法的每一步计算,都必须有确定的结果,不能模棱
两可,即算法的每一步只有唯一的执行路径,对于相
同的输入只能得到相同的输出结果
算法中的每一步必须能用实现算法的工具精确表达,
并能在有限步内完成
算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个
步骤只能有一个确定的后续步骤,只有执行完前一步
才能执行后一步
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特征
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说明
算法一般要适用于不同形式的输入值,而不是局限于
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D典例透析
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1.算法的概念
12 世纪的算法 用阿拉伯数字进行算术运算的过程
按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步
数学中的算法
骤
通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决
现代算法
问题
名师点拨1.算法没有一个精确化的定义,可以理解为由基本运算
题型四
设计含有重复步骤的算法
【例4】 写出求1×2×3×4×5×6的算法.
分析:思路一:采取逐个相乘的方法;思路二:由于重复作乘法,故可
以设计作重复乘法运算的步骤.
解:算法1:第一步,计算1×2得到2.
高中数学人教A版第一章-第课时程序框图、顺序结构
答案：A 3.下面的程序框图的运行结果是( )
1
5 A.2
3 B.2 C．－32 D．－1 解析：因为 a＝2，b＝4，
ab24 3 所以 S＝b－a＝4－2＝－2，故选 C. 答案：C 4．在如图所示程序框图中，若 R＝8，运行结果也是 8，则程序 框图中应填入的内容是( )
7
第一章 算法初步 1.1 算法与程序框图 1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构 第 1 课时 程序框图、顺序结构
A 级 基础巩固 一、选择题 1．一个完整的程序框图至少包含( ) A．终端框和输入、输出框 B．终端框和处理框 C．终端框和判断框 D．终端框、处理框和输入、输出框 解析：一个完整的程序框图至少需包括终端框和输入、输出框．对 于处理框，由于输出框含有计算功能，所以可不必有． 答案：A 2．下列是流程图中的一部分，表示恰当的是( )
6
即 f(0)＝f(4)． 因为 f(0)＝0，f(4)＝－16＋4m，所以－16＋4m＝0， 所以 m＝4，所以 f(x)＝－x2＋4x. 因为 f(3)＝－32＋4×3＝3， 所以当输入的 x 的值为 3 时，输出的 f(x)的值为 3. (3)因为 f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4， 当 x＝2 时，f(x)max＝4， 所以要想使输出的值最大，输入的 x 的值应为 2.
再将 赋值给 2
b，所以
7×2＝a2＋3，所以
a
2＝11.
答案：11
3
8．写出下列算法的功能． (1)图①中算法的功能是(a＞0，b＞0)__________________； (2)图②中算法的功能是____________________．
高中数学第一章算法初步1.1算法与程序框图第2课时程序框图、顺序结构aa高一数学
探究点一 程序框图 [思考探究] 问题背景：计算 1×2＋3×4＋5×6＋…＋99×100. （1）能否设计一个算法，计算这个式子的值． 提示：能． （2）能否采用更简洁的方式表述上述算法过程．
提示：能，利用程序框图．
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(3)画程序框图时应遵循怎样的规则？ 名师指津：①使用标准的框图符号． ②框图一般按从上到下、从左到右的方向画． ③除判断框外，其他程序框图的符号只有一个进入点 和一个退出点，判断框是唯一一个具有超过一个退出点的 程序框． ④在图形符号内描述的语言要非常简练清楚． ⑤流程线不要忘记画箭头，因为它是反映流程执行先 后次序的，如果不画出箭头就难以判断各框的执行顺序．
二、归纳总结·核心必记 1.程序框图 程序框图又称 流程图 ，是一种用 程序框 、流程线 及 文字说明来表示算法的图形． 在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中 的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来， 表示算法步骤的执行顺序．
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2.常见的程序框、流程线及各自表示的功能
[解析] 任何一个程序必须有开始和结束，从而流程 图必须有起止框，①正确．输入、输出框可以用在算法中 任何需要输入、输出的位置，②错误．③正确．判断框内 的条件不是唯一的，④错误．故选 B.
[答案] B
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[类题通法]
画程序框图时应注意的问题
(1)画流程线不要忘记画箭头；
(2)由于判断框的退出点在任何情况下都是根据条件去执行其中的
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解析：选 D 由程序框图的定义知，①②③④均正 确，故选 D.
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探究点二 顺序结构 [思考探究] 观察如图所示的内容：
1.1算法与程序框图
i≥n或r=0?
是
r=0?
是
n不是质数
否 否
n是质数
的因数存在.
结束
思考4：通过上述算法的两种不同表达方式的比 较,你觉得用程序框图来表达算法有哪些特点?
用程序框图表示的算法更加简练,直观,流向清楚.
开始 输入n i=2
思考:5：用程序框图来表示 算法，有几种不同的基本逻 辑结构？ 顺序结构
求n除以i的余数r
求n除以i的余数r
i的值增加i=1i+仍1用i表示
i≥n或r=0?
是
r=0?
是
n不是质数
否 否
n是质数
结束
程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、 指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的 图形.
通常,程序框图由程序框和流程线组成.
一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤;
流程线是方向箭头,按照算法进行的顺序将程序 框连接起来.
c d
sum=a+b 输出sum
输出c
结束
结束
答案：（1）求直角三角形斜边长； （2）求两个数的和．
2.已知梯形上底为2，下底为4，高为5，求其面积， 设计出该问题的流程图．
开始
a 2,b 4, h 5
S 1 (a b)h 2
输出 S
结束
顺序结构知识小结
顺序结构的程序框图的基本特征：
解:y与x之间的函数关系为:
1.2x, (当0≤x≤7时) y 1.9x 4.9(当x>7时)
解:y与x之间的函数关系为:
1.2x, (当0≤x≤7时) y 1.9x 4.9(当x>7时)
求该函数值的算法分析:
第一步:输入每月用水量x;
第1章 1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构第3课时 教师配套用书课件(共39张ppt)
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
填要点、记疑点
2．常见的两种循环结构
名称 直到型 循环结 构 结构图 特征 先执行循环体后判断条件，若不 满足条件则 执行循环体 ，否则
第3课时
终止循环
当型循 环结构
先对条件进行判断，满足时
执行循环体 ，否则 终止循环
明目标、知重点
填要点、记疑点
答
反思与感悟 变量S作为累加变量，来计算所求数据之 和．当第一个数据送到变量i中时，累加的动作为S＝S＋i， 即把S的值与变量i的值相加，结果再送到累加变量S中，如 此循环，则可实现数的累加求和．
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
第3课时
探究点二：循环结构的形式
探究点三：程序框图的画法
例3 下面是“二分法”求方程x2－2＝0(x>0)的近似解的算法步骤． 第一步，令f(x)＝x2－2，给定精确度d. 第二步，确定区间[a，b]，满足f(a)f(b)<0. a＋b 第三步，取区间中点m＝ . 2 第四步，若f(a)f(m)<0，则含零点的区间为[a，m]；否则，含零点的区间为[m，b]． 将新得到的含零点的区间仍记为[a，b]． 第五步，判断[a，b]的长度是否小于d或f(m)是否等于0.若是，则m是方程的近似解； 否则，返回第三步． 请根据以上的算法步骤画出算法的程序框图．
1 2 3 n 跟踪训练1 已知有一列数 ， ， ，„， ，设计程序框图实现求该数列前20 2 3 4 n＋ 1 项的和．
解 算法分析：该列数中每一项的分母是分子数加1，单独观察分子，恰好是
1.1 算法与程序框图
必修（3） 第一章 算法初步1.1 算法与程序框图第一课时 算法的概念一、知识点回顾与讲解1、算法的概念现代意义上的算法，是指可以用计算机来解决某一类问题的程序或步骤，这些程序必须是明确的和有效的，并且能够在有限步之内完成。
此概念明确指出解决某一类问题的程序或步骤往往是相同的，亦即它们的算法可以是相同的，但是我们要知道每一个问题的算法并不是唯一的，可能有很多个，并且这些算法有优劣之分。
2、算法的特征对于某一个问题，找到了它的某种算法是指使用一系列运算规则能在有限步骤内求解某类问题，其中的每条规则必须是明确定义的、可行的，不能含糊其辞，模棱两可，同时应对所有的初始数据（而不仅是某些特殊数值）有效。
正确理解算法的含义，可将算法的特征归纳如下：（1）确定性 算法中的每一个步骤都应是明确的，而不应当模棱两可。
例如，进行四则运算时，“先乘除后加减，有括号的先算括号里面的”，这里的规则就是反常明确的。
（2）有效性 算法中的每一步骤都应当能有效地执行，并得到确定的结果。
例如，若0b =，则执行ab就是无效的。
（3）有限性 一个算法的运算步骤应当是有限的，也就是说，一个算法在执行有限个步骤后，必须结束，即算法应在合理的范围之内。
例如，让计算机执行一个算法需耗时500年，这个算法虽是有限的，但超过了合理的限度，因而它不是一个有效的算法，这里的度，一般由计算机的性能和人们的需要而定。
（4）顺序性 每一个算法从初始步骤开始，都可以分为若干个明确的小步骤，但前一步总是后一步的前提，后一步是前一步的后续，且除了最后一步外，每一个步骤只能有一个确定的后续。
（5）不唯一性 求解某一个或某一类问题的算法不一定是唯一的，对于同一个或一类问题可以有不同的算法。
例如，求一元二次方程的根就有公式法、消元法等算法。
二、典型例题讲解问题一：正确理解算法的概念和特征 例1、（1）看下面的四段话，其中不是解决问题的算法的是（ ） A 、从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达B 、解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1C 、方程210x -=有两个实根D 、求12345++++的值，先计算123+=，再由于336,6410,10515+=+=+=，最终结果为15（2）下面结论中正确的是（ ） A 、一个程序的算法步骤是可逆的B 、一个算法可以无止境地进行下去C 、完成一件事的算法有且只有一种D 、设计算法要本着简单方便的原则（3）下列关于算法的描述中正确的是（ ） A 、只有数学问题才会有算法B 、算法过程要一步一步执行，每一步都是明确的C 、有的算法可能无结果D 、一个算法执行了一年后才有结果问题二：算法设计（1）解方程或解方程组问题的算法设计例2、（1）写出解方程2560x x -+=的一个算法。
高中数学必修三第一章1.1算法与程序边框图
第一章1.1算法与程序边框图1.算法的概念(1)算法概念的理解①算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．②算法与一般意义上具体问题的解法既有联系，又有区别，它们之间是一般和特殊的关系，也是抽象与具体的关系．算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可以利用这类问题的一般算法来解决．③算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有高度的抽象性、概括性、精确性，所以算法在解决问题中更具有条理性、逻辑性的特点．(2)算法的四个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性①概括性：写出的算法必须能解决某一类问题，并且能够重复使用．②逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的，从而组成了一个有着很强逻辑性的步骤序列．③有穷性：算法有一个清晰的起始步，终止步是表示问题得到解答或指出问题没有解答，所有序列必须在有限个步骤之内完成，不能无停止地执行下去．④不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，可以有不同的算法，当然这些算法有简繁之分、优劣之别．(3)常见的算法类型①数值性计算问题．如：解方程(或方程组)、解不等式(或不等式组)、利用公式求值、累加或累乘等问题，可通过相应的数学模型借助一般的数学计算方法，分解成清晰的步骤，使之条理化．②非数值性计算问题．如：判断、排序、变量变换等需先建立过程模型，再通过模型进行算法设计与描述．注意：(ⅰ)注意算法与解法的区别：算法是解决一类问题所需要的程序或步骤的统称；而解法是解决某一个具体问题的过程或步骤，是具体的解题过程．(ⅱ)设计算法时要尽量选取简捷、快速、高效的解决问题的算法．对一个具体的问题，我们要对解决问题的途径进行透彻的研究，找出最优算法，做到“先思考后处理”．2．程序框图(1)程序框图又称为流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形．(2)用程序框图表示算法，具有直观、形象的特点，能更清楚地展现算法的逻辑结构．(3)程序框图主要由程序框和流程线组成．基本的程序框有终端框、输入框、输出框、处理框、判断框，其中终端框是任何流程图不可缺少的，而输入、输出可以用在算法中任何需要输入、输出的位置．(4)画程序框图的规则①使用标准的框图符号；②框图一般按从上到下、从左到右的方向画；③终端框(起止框)是任何程序框图必不可缺少的，表示程序的开始和结束；④除判断框外，大多数程序框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；⑤程序框图符号框内的文字要简洁精炼．注意：(ⅰ)每一种程序框图的图形符号都有特定的含义，在画程序框图时不能混用，并且所用图形符号一定要标准规范，起始框只有一条流出线(没有流入线)，终止框只有一条流入线(没有流出线)，输入、输出框只有一条流入线和一条流出线，判断框有一条流入线和两条流出线．(ⅱ)如果一个程序框图由于纸面等原因需要分开画，要在断开处画上连接点，并标出连接的号码．(ⅲ)判断框是“是”与“否”两分支的判断，有且仅有两个结果．(ⅳ)一般地，画程序框图时，先用自然语言编写算法，然后再画程序框图．3．算法的三种基本结构(1)顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的基本结构，其基本结构形式如图所示，其中A、B两框所指定的操作是依次执行的．顺序结构中所表达的逻辑关系是自然串行、上下连贯、线性排列的．(2)条件结构：先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构就称为条件结构．条件结构用于进行逻辑判断，并根据判断的结果进行不同的处理．条件结构必含判断框．条件结构的结构形式如图2所示，此结构中包含一个判断框，算法执行到此判断框给定的条件P时，根据条件P是否成立选择不同的执行框(A框或B框)．注意：无论P是否成立，下一步只能执行A框或B框之一，不能A框和B框同时执行，也不能A、B两框都不执行，但A框和B框中可以有一个是空的，如图3.(3)循环结构：根据条件是否成立，以决定是否重复执行某些操作，在算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构，重复执行的处理步骤称为循环体．根据执行情况及循环结束条件的不同可以分为当型循环(WHILE型)和直到型循环(UNTIL型)．当型循环的特点是“先判断，后执行”，即先判断条件，当条件满足时，反复执行循环体，当条件不满足时退出循环(也就是说直到条件不满足时退出循环)．如图4.直到型循环的特点是先执行一次循环体，再判断条件，当条件不满足时执行循环体，当条件满足时退出循环(即直到条件满足时退出循环)，即“先执行，后判断”．如图5.当型循环可能一次也不执行循环体，而直到型循环至少要执行一次循环体．当型循环与直到型循环可以相互转化，条件互补．循环结构中常用的变量有计数变量、累加变量及累乘变量．计数变量用来记录某个事件发生的次数(即执行循环体的次数)，累加变量用来计算数据之和，累乘变量用来计算数据之积．对于这些变量，开始一般要先赋初值，一般地，计数变量初值可设为0或1，累加变量初值设为0，累乘变量初值设为1.注意：(ⅰ)正确理解顺序结构的特点及适用条件是作出顺序结构图的关键．(ⅱ)画条件结构的程序框图要用到判断框，判断框有两个出口，根据不同的条件输出不同的信息，这些不同的信息必须全部写出．(ⅲ)只有有规律的，能重复进行的算法过程才能用循环结构．题型一算法设计写出能找出a 、b 、c 三个数中最小值的一个算法．解 第一步：输入a 、b 、c .并且假定min ＝a ；第二步：若b <min 成立，则用b 的值替换min ；否则直接执行下一步；第三步：若c <min 成立，则用c 的值替换min ，否则直接执行下一步；第四步：输出min 的值，结束．点评 本题的思路是：将min 定义为最小值，并把a 的值赋给min ，然后依次与b 、c 比较大小，遇到小的就替换min 的值，最后输出min 的值，这种方法可以推广到从多个不同的数中找出最大或最小的一个．题型二 条件结构的程序框图已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1 (x >0)，0 (x ＝0)，1 (x <0).写出求该函数值的算法及程序框图．解 算法如下：第一步：输入x ；第二步：如果x >0，那么使y ＝－1，如果x ＝0，那么使y ＝0，如果x <0，那么使y ＝1； 第三步：输出函数值y .程序框图如图所示．点评 该函数是分段函数，当x 取不同范围内的值时，函数的表达式不同，因此当给出一个自变量x 的值时，也必须先判断x 的范围，然后确定利用哪一段的表达式求函数值，因为函数分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断．求分段函数的函数值的程序框图，如果是分两段的函数只需引入一个判断框，如果是分三段的函数，至少需要引入两个判断框，分四段的函数要引入三个判断框，以此类推，至于判断框内的内容是没有顺序的，比如：本题中的两个判断框内的内容可以交换，但对应的下一图框中的内容或操作也必须相应地进行变化，比如本题的程序框图也可以画成如图1所示或如图2所示．图1图2题型三循环结构的程序框图看下面的问题：1＋2＋3＋…＋()>10 000，这个问题的答案不唯一，我们只要确定出满足条件的最小正整数n0，括号内填写的数只要大于或等于n0即可．试写出满足条件的最小正整数n0的算法并画出相应的程序框图．解算法如下：第一步：p＝0；第二步：i＝0；第三步：i＝i＋1；第四步：p＝p＋i；第五步：如果p>10 000，则输出i，算法结束．否则，执行第六步；第六步：回到第三步，重新执行第三步、第四步和第五步.该算法的程序框图如图所示．点评本题属于累加问题，代表了一类相邻两数的差为常数的求和问题的解法，需引入计数变量和累加变量，应用循环结构解决问题．在设计算法时前后两个加数相差1，则i＝i ＋1，若相差2，则i＝i＋2，要灵活改变算法中的相应部分．另外需注意判断框内的条件的正确写出，直到型和当型循环条件不同，本题解法用的是直到型循环，用当型循环结构时判断框内条件应为p≤10 000.如图所示.题型四程序框图在生活中的应用72,91,58,63,84,88,90,55,61,73,64,77,82,94,60.要求将80分以上的同学的平均分求出来．画出程序框图．解用条件分支结构来判断成绩是否高于80分，用循环结构控制输入的次数，同时引进两个累加变量，分别计算高于80分的成绩的总和和人数．程序框图如图所示．构和循环结构相结合的算法．【例1】如图所示是某一算法的程序框图，根据该框图指出这一算法的功能．错解 求S ＝12＋14＋16＋…＋110的值． 错解辨析 本题忽略了计数变量与循环次数，没有明确循环体在循环结构中的作用，以及循环终止条件决定是否继续执行循环体．正解 在该程序框图中，S 与n 为两个累加变量，k 为计数变量，所以该算法的功能是求12＋14＋16＋…＋120的值． 【例2】 试设计一个求1×2×3×4×…×n 的值的程序框图．错解 程序框图如图所示．错解辨析 本题程序框图看似当型循环结构，我们应当注意的是，当型循环结构是当条件满足时执行循环体，而本题显然是误解了当型循环结构条件．正解 程序框图如图所示．乘变量t和计数变量i，这里t与i每一次循环，它们的值都在改变．1.(海南、宁夏高考)如果执行下面的程序框图，那么输出的S为()A．2 450 B．2 500 C．2 550 D．2 652答案 C解析当k＝1，S＝0＋2×1；当k＝2，S＝0＋2×1＋2×2；当k＝3，S＝0＋2×1＋2×2＋2×3；…当k＝50，S＝0＋2×1＋2×2＋2×3＋…＋2×50＝2 550.2．(济宁模拟)在如图的程序框图中，输出结果是()A．5 B．6C．13 D．10答案 D解析a＝5时，S＝1＋5＝6；a＝4时，S＝6＋4＝10；a＝3时，终止循环，输出S＝10.3．(广东高考)阅读下图的程序框图．若输入m＝4，n＝6，则输出a＝________，i＝________.答案12 3解析输入m＝4，n＝6，则i＝1时，a＝m×i＝4，n不能整除4；i＝2时，a＝m×i＝8，n不能整除8；i＝3时，a＝m×i＝12,6能整除12.∴a＝12，i＝3.一、选择题1．一个完整的程序框图至少包含()A．终端框和输入、输出框B．终端框和处理框C．终端框和判断框D．终端框、处理框和输入、输出框答案 A解析一个完整的程序框图至少需包括终端框和输入、输出框．2．下列关于条件结构的说法中正确的是()A．条件结构的程序框图有一个入口和两个出口B．无论条件结构中的条件是否满足，都只能执行两条路径之一C ．条件结构中的两条路径可以同时执行D ．对于一个算法来说，判断框中的条件是惟一的答案 B解析 由条件结构可知：根据所给条件是否成立，只能执行两条途径之一．3．下列问题的算法适宜用条件结构表示的是( )A ．求点P (－1,3)到直线l ：3x －2y ＋1＝0的距离B ．由直角三角形的两条直角边求斜边C ．解不等式ax ＋b >0 (a ≠0)D ．计算100个数的平均数答案 C解析 条件结构是处理逻辑判断并根据判断进行不同处理的结构．只有C 中含有判断a 的符号，其余选项都不含逻辑判断．4．下列程序框图表示的算法是( )A ．输出c ，b ，aB ．输出最大值C ．输出最小值D ．比较a ，b ，c 的大小答案 B解析 根据流程图可知，此图应表示求三个数中的最大数．5．用二分法求方程的近似根，精确度为δ，用直到型循环结构的终止条件是( )A ．|x 1－x 2|>δB ．|x 1－x 2|<δC ．x 1<δ<x 2D ．x 1＝x 2＝δ答案 B解析 直到型循环结构是先执行、再判断、再循环，是当条件满足时循环停止，因此用二分法求方程近似根时，用直到型循环结构的终止条件为|x 1－x 2|<δ.二、填空题6．下边的程序框图(如下图所示)，能判断任意输入的整数x 是奇数或是偶数．其中判断框内的条件是________．答案 m ＝0?解析 根据程序框图中的处理框和输出的结果，寻找判断框内的条件．由于当判断框是正确时输出的是“x 是偶数”，而判断框前面的处理框是x 除以2的余数，因此判断框应填“m ＝0？”．7．下图是计算1＋13＋15＋…＋199的程序框图，判断框应填的内容是________，处理框应填的内容是________．答案 i ≤99？ i ＝i ＋2解析 由题意知，该算法从i ＝1开始到99结束，循环变量依次加2.8．完成下面求1＋2＋3＋…＋10的值的算法：第一步，S ＝1.第二步，i ＝2.第三步，S ＝S ＋i .第四步，i ＝i ＋1.第五步，________________________________________________________________________. 第六步，输出S .答案 如果i ＝11，执行第六步；否则执行第三步解析 本题是用自然语言来描述的算法，实际上第五步是一个判断条件，根据题意，是循环是否终止的条件，因此应该为如果i ＝11，执行第六步；否则执行第三步．三、解答题9．画出求11×2＋12×3＋13×4＋…＋199×100的值的程序框图． 解 这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法．程序框图如下图所示：10．写出解方程ax ＋b ＝0 (a 、b 为常数)的算法，并画出程序框图．解 算法如下：第一步，判断a 是否等于零，若a ≠0，执行第二步，若a ＝0，执行第三步；第二步，计算－b a ，输出“方程的解为－b a”； 第三步，判断b 是否等于零，若b ＝0，输出“有无数个解”的信息，若b ≠0，输出“方程无解”的信息．程序框图如图所示：探 究 驿 站11．画出求12＋12＋…＋12(共6个2)的值的程序框图． 分析 本题看上去非常烦琐，尤其是对于2的位置处理，容易让人产生错觉．本题只要把含有2的式子分离开来，用A 代替12，即令A ＝12，则不难分析出分母可化为12＋A的形式，且此结构重复出现．解 方法一 当型循环结构程序框图如图所示．方法二 直到型循环结构程序框图如图所示．12．给出以下10个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，要求把大于40的数找出来并输出．试画出该问题的程序框图．解程序框图如下图：趣味一题13．相传，古印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔．于是，这位宰相跪在国王面前说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格都比前一小格加一倍．陛下啊，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人罢！”国王慷慨地答应了宰相的要求，他下令将一袋麦子拿到宝座前．计数麦粒的工作开始了．第一格内放一粒，第二格两粒，第三格四粒……还没到第二十格，袋子已经空了．一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来，但是，麦粒数一格接一格地增长得那么迅速，很快就可以看出，即使拿来全印度的小麦，国王也无法兑现他对宰相许下的诺言！请你画出一个程序框图来求需要的麦粒数．分析由题意，我们可以看出第一格内放一粒，第二格两粒，第三格四粒，就是往后每一格是前一格的2倍，这样一共需要的麦粒数就是1＋2＋22＋…＋262＋263.从而可以得出这是一个累加求和问题，可以利用循环结构来设计算法，计数变量i从1到64循环64次，每个求和的数可用一个累乘变量表示．解程序框图：。
高中数学第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.2第1课时程序框图、顺序结构课件新人教A版必修3
答案：x＝log232
归纳升华 顺序结构的应用方法
1．求用顺序结构表示的程序框图执行的结果时，只 需按顺序逐步执行即可．
2．已知程序框图运行的结果求程序框图中某步时， 可以根据结果逐步逆推得出答案．
解析：由于算法设计时要求返回执行的结果，故必须 要有输出框，对于变量的赋值可通过处理框完成，故算法 设计时不一定要有输入框，因此 B 错；一个判断框产生 的结果是唯一的，故 C 错；程序框图就是流程图，所以 D 错．故选 A.
答案：A
类型 2 用顺序结构表示算法 [典例 2] 已知点 P0(x0，y0)和直线 l：Ax＋By＋C＝0， 写出求点 P0 到直线 l 的距离 d 的算法，并画出程序框图． 解：用数学语言描述算法： 第一步，输入点的横、纵坐标 x0，y0，输入直线方程的系数， 即常数 A，B，C.
第一章 算法初步
1.1 算法与程序框图 1．1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构
第 1 课时 程序框图、顺序结构
[学习目标] 1.了解程序框图的构成(难点)． 2.理解 顺序结构，会用顺序结构表示算法(重点)．
1．程序框图 (1)定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、 流程线及文字说明来表示算法的图形．
A．处理框 B．输出框 C．起止框 D．判断框
答案：D
3．程序框图中矩形框的功能是( ) A．表示一个算法的起始和结束 B．表示一个算法输入和输出的信息 C．赋值、计算 D．判断某一条件是否成立 解析：矩形框即处理框，具有赋值、计算的功能．
答案：C
4．如图所示的程序框图，若输出的结果是 3，则输 入的 m＝________．
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1.4 程序框图
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1.4.1 程序框图的基本图例 情景导入 算法可以用自然语言来描述，但为了使算法的 程序或步骤表达得更为直观，我们经常用图形 方式来表示它. 知识探究 程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、 指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的 图形.一个程序框图包括：表示相应操作的程 序框；带箭头的流程线；程序框外必要的文字 说明.
• 例题分析 • 例2请在下列各题中选出(A)充分不必要条件，(B)必 要不充分条件，(C)充要条件，(D)既不充分也不必要 条件四个选项中最恰当的一项填空. • (1) p：(x-1)(x+2)=0是q：x=-2的 . • (2) p：x＞5是q：x＞3的 . • (3) p：0＜x＜5是q：｜x-2｜＜3的 . • (4) p：x≤2是q：x＜2的 . • 解(1) p：{x｜x=1或x=-2}，q：{x｜x=-2}，qp，故 填（B）. • (2) p：{x｜x＞5}，q：{x｜x＞3}，pq，故填（A）. • (3) p：{x｜0＜x＜5}，q：{x｜-1＜x＜5}，pq，故 填（A）. • (4) p：{x｜x≤2}，q：{x｜x＜2}，qp，故填（B）.
• 知识探究
• 命题中经常存在“或”、“且”、“非”这些词，我 们把这些词叫做逻辑联结词.我们将不含逻辑联结词的 命题，叫做简单命题.由简单命题与逻辑联结词构成的 命题，叫做复合命题.复合命题通常有“p或q”、“p且 q”和“非p”三种形式.复合命题是否为真命题和构成它 的简单命题有一定关系，见表1-1.
• 知识探究 • 假设p，q是两个命题，对于命题“若p则q”， 即p是条件，q为结论，有 • ① 如果由pq，则p是q的充分条件； • ② 如果由qp，则p是q的必要条件； • ③ 如果pq，则p是q的充要条件，q也是p 的充要条件. 例如，x＞0是x2 ＞0的充分条 件，x2＞0是x＞0的必要条件；x≠0是x2＞0 的充要条件，x2＞0也是x≠0的充要条件.
• 知识探究 • 算法设计的先驱者唐纳德· 克努特（Donald E.Knuth）对算法的特 征作了如下的描述： • （1） 有限性.算法在执行有限步之后必须终止. • （2） 确定性.算法的每一个步骤，都有精确的定义.要执行的每 一个动作都是清晰的、无歧义的. • （3） 输入.一个算法有0个或多个输入，它是由外部提供的，作 为算法开始执行前的初始值或初始状态.算法的输入是从特定的 对象集合中抽取的. • （4） 输出.一个算法有一个或多个输出，这些输出与输入有特 定的关系，实际上是输入的某种函数.不同取值的输入，产生不 同结果的输出. • （5） 能行性.算法的能行性指的是算法中有待实现的运算，都 是基本的运算.原则上可以由人们用纸和笔在有限的时间里精确 地完成.例如，用一个正整数来除以另一个正整数；判断一个整 数是否为0以及整数赋值等，这些运算都是能行的.因为整数可 以用有限的方式表示，而且至少存在一种方法来完成一个整数 除以另一个整数的运算.如果所涉及的数值必须由展开成无穷小 数的实数来精确地完成，则这些运算就不是能行的了.
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第1章 算法与程序框图
• • • • • 1.1 算法的概念 1.2 命题逻辑 1.3 条件判断 1.4 程序框图 1.5 算法与程序框图的应用举例
1.1 算法的概念
• 情景导入 • 说说用水壶烧开水的步骤.它与算法有什么联系？ • 知识探究 • 计算机系统中的任何软件，都是由大大小小的各种软件组成部 分构成，它们各自按照特定的算法来实现，算法的好坏直接决 定所实现软件性能的优劣.用什么方法来设计算法，所设计的算 法需要什么样的资源，需要多少运行时间、多少存储空间,如何 判定一个算法的好坏，在实现一个软件时，都是必须予以解决 的.计算机系统中的操作系统、语言编译系统、数据库管理系统 以及其他的计算机应用系统中的软件，都必须用一个个具体的 算法来实现.因此，算法设计与分析是计算机科学与技术的一个 核心问题. • 广义地说，为解决一个问题而采取的方法和步骤，就称为算法. 或者说，算法是解题方法的精确描述.解决一个问题的过程，就 是实现一个算法的过程.
• 例题分析 • 例1已知x=4,y=2,画出计算w=3x+4y的值的程 序框图. • 解 程序框图，如图1-1所示.
1.4.2 数值计算案例的框图表示
• 情景导入 • 你能用程序框图表示3与5的和吗？
• 例题分析 • 例2 任意给定3个正实数，设计一个算法，判 断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存 在，并画出这个算法的程序框图. • 算法分析：判断分别以这3个数为三边边长的 三角形是否存在，只需要验证这3个数当中任 意两个数的和是否大于第3个数. • 解 程序框图，如图1-2所示.
1.3 条件判断
• • 情景导入 如何判断命题的真假？
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知识探究 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条 件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命 题叫做原命题的逆命题. 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否 定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题， 另外一个命题叫做原命题的否命题. 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否 定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原 命题，另外一个命题叫做原命题的逆否命题. 这四种命题之间具有这样的关系：原命题与逆命题互逆，逆命题与逆否命题 互否，逆否命题与否命题互逆，否命题与原命题互否，原命题与逆否命题互 为逆否，逆命题与否命题互为逆否. 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系：若原命题为真，它的逆 命题不一定为真，否命题不一定为真，而逆否命题一定为真.例如，原命题 “若a=0，则ab=0”是真命题，它的逆命题“若ab=0，则a=0”是假命题，它的 否命题“若a≠0，则ab≠0”是假命题，它的逆否命题“若ab≠0，则a≠0”是真命 题.
• 例题分析 • 例1 写出命题“若a,b都是偶数，则a+b是偶数” 的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们是 否是真命题. • 解 原命题：若a,b都是偶数，则a+b是偶数.原 命题是真命题. • 逆命题：若a+b是偶数，则a,b都是偶数.逆命题 是假命题，例如，3+5=8，8是偶数，而3和5都 是奇数. • 否命题：若a,b都不是偶数，则a+b不是偶数.否 命题是假命题，例如，3和5都是奇数，而 3+5=8，8是偶数. • 逆否命题：若a+b不是偶数，则a,b不都是偶数. 逆否命题是真命题.
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例题分析 例1 求 1×2×3×4×5. 最原始的方法： 步骤1：先求1×2，得到结果 2； 步骤2：将步骤1得到的乘积2乘以3，得到结果6；步骤3： 将6再乘以4，得24； 步骤4：将24再乘以5，得120. 这样的算法虽然正确，但 过程太烦琐. 改进的算法： S1：使 t=1 S2：使 i=2 S3：使 t×i, 乘积仍然放在变量 t 中，可表示为 t×i → t S4：使 i 的值加1，即 i+1 → i S5：如果 i ≤ 5, 返回重新执行步骤 S3 以及其后的 S4 和 S5 ；否则，算法结束 如果计算 100 ！只需将 S5中i ≤ 5 改成 i ≤ 100 即可.
• 例题分析 • 例2分别指出下列各复合命题是由哪些简单命题和哪些逻辑联结 词构成的，并指出命题的形式. • (1) 正方形四条边相等且四个角都是直角. • (2) 2是质数或是合数. • (3) 梯形不是平行四边形. • 解(1) 这个命题是“p且q”的形式. • p：正方形四条边相等； • q：正方形四个角都是直角； • 联结词为“且”. • (2) 这个命题是“p或q”的形式. • p：2是质数； • q：2是合数； • 联结词为“或”. • (3) 这个命题是“非p”的形式. • p：梯形是平行四边形； • 联结词为“非”.
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解 本例中，语句（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7）是命 题，语句（8），（9），（10）不是命题. 语句（1）是一个假命题，语句（2）是一个真命题. 语句（3）和（4）也都是命题，虽然基于现在的了解，我们还不能确定语句 （3）和（4）的真值，但它们的真值客观存在而且唯一.命题的真假可能与该 命题的范围、时间和空间有关. 例如语句（5），如果对生活在北京的人来说是真命题，则对居住在纽约的人 来说便是假命题了.尽管如此，这里语句（5）的范围、时间、空间应是有所 指的，是特定的，所以它的真值也是客观存在而且唯一的，所以它也是命题. 同样，对于语句（6）和（7），这里的人“王平” 、参数“a”和“b”都应是 特指，所以它们的真值也客观存在而且唯一，所以它们都是命题.语句（8） 不是命题，因为根据变量x，y的不同取值情况它可真可假，即无唯一的真值， 所以不是命题.语句（9）不是命题，是因为该语句不是陈述句. 对于语句（10），若（10）的真值为“真”，即“我正在说假话”为真，则 （10）这句话也应是假话，所以（10）的真值应为“假”，矛盾；反之，若 （10）的真值为“假”，即“我正在说假话”为假，也就是“我正在说真 话”，则（10）这句话也应是真话，所以（10）的真值应为“真”，也矛盾. 于是（10）的真值无法确定，从而不是命题 知识探究 • 命题逻辑是研究命题如何通过一些逻辑联结词构成 更复杂的命题以及逻辑推理的方法.命题是指能区分 真假的陈述句，可分为真命题和假命题.如果命题所 表述的内容与客观实际相符，则称该命题为真命题， 否则称之为假命题.命题的这种真假属性称为命题的 真值，当一个命题是真命题时，我们称它的真值为 “真”，用T表示；当一个命题是假命题时，我们 称它的真值为“假”，用F表示.
• 表1-2为构成程序框图的常用符号及其作用.
• 绘制程序框图时要遵循以下规则： • (1) 使用规定的图形符号. • (2) 框图布局一般要按照从上到下，从左到 右展开. • (3) 每一个图中，起、止框只能各含一个， 判断框的出口为“是”(Y)与“否”(N)两个 分支，其他框的入(或出)口都是一个. • (4) 在图形符号内所用的文字、语言要简明 扼要.