1.3.2奇偶性
1.3.2函数的奇偶性(优质课)
(3)定义域为{x|x≠0}
(4)定义域为{x|x≠0}
∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x)
即 f(-x) = -f(x)
即 f(-x)=f(x)
∴ f(x)是奇函数.
∴ f(x)是偶函数.
用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
教材36页练习：
本课小结
1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,
如果都有 f(－x)=-f(x)
f(x)为奇函数
如果都有 f(－x)=f(x)
f(x)为偶函数
2、两个性质：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一个函数为奇函数
它的图象关于原点对称
一个函数为偶函数
它的图象关于y轴对称
课后作业
1.教材39页习题1.3 A组第6题B组第3题 2.教辅第19页~20页 3.教辅练习册第8页 1.3.3 奇偶性 4.教材第40页~41页实习作业
1.3.2 奇偶性
情景导入
情景1:观察下列图形,回顾轴对称与中心对称概念及其特征.
情景2：数学中有许多对称美的图形，函数中也有不少 具有对称特征的美丽图像,比如 y = x2, y = 1 等函数图像.
x f(x)=x2
如何从“数”的方面定量刻画这些函数图像的对称 本质呢？这就是本课时学习的函数的奇偶性.
当∴只x需∈要[0，先+画∞出) 时f(，x)在[0，+∞)的图象， 再f (根x)据对 x称2 性2，x 可3画 出( x整个1)图2 象4 ..
.4.y.
由图象可知：
1.3.2奇偶性
解：（1）对于函数f(x)=5x，其定义域为 （-∞，+ ∞ ） 对于定义域中的每一个x，都有
f(-x) = -5x = -f(x)
所以函数f(x)=5x为奇函数.
(2)f(x) = (x -1)2 .
（2）对于函数 f(x) = (x -1)2的定义域为:
（-∞，+ ∞ ）
2、两个性质：
它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称 一个函数为奇函数
3.判断函数奇偶性的步骤和方法： 先看定义域是否关于原点对称， 然后在找f(x)与f(-x)间的关系． 4.奇函数，偶函数作一些简单运算后会出现一些规 律： 奇+奇=奇 偶+偶=偶
奇X奇=偶
偶X偶=偶
-2 -1
3 2 1
-2 -1
o1 2 3
2
o1 2 3
f(x) = x
f(x) = x
相应的两个函数值对应表是如何体现这些特点的呢？
x
-3
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
f(x)=x2 9
x
-3
-2 2
-1 1
0 0
1 1
2 2
3 3
f(x) = x 3
从函数值对应表可以看到互为相反数的点的 纵坐标有什么关系？ 由此得到f(-x)=(-x)2=x2 ，即f(-x)=f(x) 由此得到 f(-x) = -x = f(x) ，即f(-x)=f(x) 即相应两个函数值相同 对于R内任意的一个x，都有f(-x)=(-x)2=x2 =f(x)，这时我们称函数f(x)=x2 为偶函数.
必修1课件1.3.2 奇偶性
用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
知识探究（一）
思考1:是否存在函数f(x)既是奇函数又是偶函数？若 存在，这样的函数有何特征？ f(x)=0 思考2:一个函数就奇偶性而言有哪几种可能情形？ 思考3:若f(x)是定义在R上的奇函数，那么 f(0)的 值如何？ f(0)=0 思考4:如果函数f(x)具有奇偶性,a为非零常数，那 么函数af(x)，f(ax)的奇偶性如何？ 思考5:常数函数
2
思考3:二次函数 f ( x) ax bx c 是偶函数的条
件是什么？
一次函数 f ( x) kx b是奇函数的条件是什么？ b=0
课堂练习
判断下列函数的奇偶性：
1 (1) f ( x) x x (3) f ( x) 5 (5) f ( x) x 1
(2) f ( x) x 1
知识探究（一）
考察下列两个函数：
(1) f ( x) x
y o
2
(2) f ( x) | x |
y o x
x
图（1）
图（2）
思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共 同特征？ 思考2:对于上述两个函数,f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)， f(3)与f(-3)有什么关系？
思考3:一般地，若函数y=f(x)的图象关于y轴对称， 则f(x)与f(-x)有什么关系？反之成立吗？
y
相等
0
x
例3.已知f(x)是奇函数，且当 x 0时，f ( x) x 3x
2
求当 x 0 时f(x)的解析式.
第一章 1.3.2 第1课时 奇偶性的概念
第一章 1.3.2奇偶性第1课时奇偶性的概念学习目标 1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.知识点一函数奇偶性的几何特征一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数.知识点二函数奇偶性的定义函数奇偶性的概念：(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上.(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)的图象上.知识点三奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质1.奇(偶)函数的定义域关于原点对称.2.重要性质(1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的单调性.(2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的单调性.1.奇、偶函数的定义域都关于原点对称.( )2.函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称.()3.对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则函数f(x)一定是偶函数.()4.存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个.()题型一函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝1x； (2)f (x )＝x 2(x 2＋2)；(3)f (x )＝x x －1； (4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2.反思感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x ，－x 也一定属于定义域.其次验证f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )是否成立.跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝x ；(2)f (x )＝1－x 2x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.题型二 利用函数的奇偶性求函数值(参数)例2 (1)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 是定义在[2b －5,2b －3]上的奇函数，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为( )A.13B.98C.1D.无法确定 (2)已知f (x )＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ＋2，若f (－3)＝－3，则f (3)＝________.延伸探究1.本例(1)的条件改为“f (x )＝ax 2＋bx ＋b ＋1是定义在[a －1,2a ]上的偶函数”，求f ⎝⎛⎭⎫12的值.2.把本例(2)的条件“f (－3)＝－3”换为“f (d )＝10”，求f (－d )的值.(1)定义域含参数：奇、偶函数f (x )的定义域为[a ，b ]，根据定义域关于原点对称，利用a ＋b ＝0求参数.(2)解析式含参数：根据f (－x )＝－f (x )(f (x )为奇函数)或f (－x )＝f (x )(f (x )为偶函数)列式，比较系数即可求解.跟踪训练2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，ax 2＋x ，x <0是奇函数，则a ＝________. 答案 1解析 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－x 2－x .又∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝x 2＋x ，即ax 2＋x ＝x 2＋x ，∴a ＝1.题型三 奇、偶函数图象的应用例3 定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上的图象如图所示.(1)画出f (x )的图象；(2)解不等式xf (x )>0.反思感悟 可以用奇(偶)函数图象关于原点(y 轴)对称这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性.跟踪训练3 已知奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示.(1)画出函数f (x )在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f (x )<0的x 的取值集合.1.下列函数是偶函数的是( )A.y ＝xB.y ＝2x 2－3C.y ＝xD.y ＝x 2，x ∈(－1,1]2.函数f (x )＝1x－x 的图象关于( ) A.y 轴对称B.直线y ＝－x 对称C.坐标原点对称D.直线y ＝x 对称 3.下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )4.已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝________.5.若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋m2－7m＋12为偶函数，则m的值是________.1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数.2.两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.3.证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.一、选择题1.下列函数中奇函数的个数为( )①f (x )＝x 3；②f (x )＝x 5；③f (x )＝x ＋1x ；④f (x )＝1x 2. A.1 B.2 C.3 D.42.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝2，则下列各点中一定在函数f (x )的图象上的是( )A.(3，－2)B.(3,2)C.(－3，－2)D.(2，－3)3.设f (x )是定义在R 上的一个函数，则函数F (x )＝f (x )－f (－x )在R 上一定( )A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数4.f (x )是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )A.f (－x )＋f (x )＝0B.f (－x )－f (x )＝－2f (x )C.f (－x )·f (x )≤0D.f (x )f (－x )＝－1 5.设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )A.－3B.－1C.1D.36.设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A.f (x )＋|g (x )|是偶函数B.f (x )－|g (x )|是奇函数C.|f (x )|＋g (x )是偶函数D.|f (x )|－g (x )是奇函数7.若f (x )＝a －22x ＋1是定义在R 上的奇函数，则a 的值为( ) A.0 B.－1 C.1 D.2答案 C解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0即f (0)＝a －220＋1＝0，∴a ＝1.8.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为()A.－2B.2C.1D.09.若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.10.已知函数f (x )是奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2＋mx .若f (2)＝－3，则m 的值为________.11.函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c x＋5，满足f (－3)＝2，则f (3)的值为________.三、解答题12.判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3＋x 5；(2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|；(3)f (x )＝2x 2＋2x x ＋1.13.(1)如图①，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并求出f (3)的值.(2)如图②，给出偶函数y ＝f (x )的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并比较f (1)与f (3)的大小.14.已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________. 15.函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2).(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明.。
1.3.2函数的奇偶性
是偶函数但不是奇函数
既是奇函数又是偶函数； 既不是奇函数也不是偶函数.
(3)奇函数，偶函数作一些简单运算后会出现一些规律 奇+奇=奇 偶+偶=偶 奇X奇=偶 偶X偶=偶
练习:
–3
思考：
如图，给出了偶函数 2 y＝f (x)的局部图象， 试比较f (-1)与 f (3) 的 –1 O x 大小.
y
已知偶函数 f (x )在 [ 3,1] 上是减函数， 试问：它在 [1,3] 上是增函数还是减函数？
x f(x)= x2
-3 -2 -1 0 1 2 3 9 4 1 0 1 4 9
x
f(x)=|x|
-3 -2 -1 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3
一般地，如果对于函数 f ( x) 的定义域内 的任意一个 x ，都有 f ( x) f ( x), 那么称函 数 y f ( x) 是偶函数（even function）；
小结：
• 1.判断函数奇偶性的步骤和方法： 先看定义域是否关于原点对称 然后在找f(x)与f(-x)间的关系 • 2.奇函数，偶函数作一些简单运算后会 出现一些规律 奇+奇=奇 偶+偶=偶 奇X奇=偶 偶X偶=偶
y
3 2 1
y
f(x) = x
3 2 1
1 f ( x) xxFra bibliotek1 2
x
-2 -1
O
1
2
-2
-1
O
这两个函数图象有什么共同特征？
一般地，如果对于函数 f ( x) 的定义域 内的任意一个 x ，都有 f ( x) f ( x), 那么 称函数是奇函数（odd function）；
判断函数f (x)＝x2，x∈[－2, 1] 的奇偶性
高中数学：第一章 1.3.2 函数奇偶性 (42)
1.3.2奇偶性课标要点课标要点学考要求高考要求1.奇函数、偶函数的概念b b2.奇函数、偶函数的性质c c知识导图学法指导1.要深挖函数“奇偶性”的实质，也就是图象的对称性：是关于原点的中心对称还是关于y轴的轴对称．2．学习本节知识注意结合前面所学的知识，如单调性、函数图象、解析式等，加强它们之间的联系．3．学习奇偶性时不能忘记函数的定义域，奇偶性是函数整个定义域上的性质，忽略定义域是一个易错点.知识点奇、偶函数1．偶函数的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．2．奇函数的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．3．奇、偶函数的图象特征(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)偶函数的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数的图象关于(0,0)对称．()(2)奇函数的图象关于y轴对称．()(3)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数．()(4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．下列函数为奇函数的是()A．y＝|x|B．y＝3－x C．y＝1x3D．y＝－x2＋14解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．答案：C3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为()A．－2 B．2 C．0 D．不能确定解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.答案：B4．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．答案：(2)(4)(1)(3)类型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝1－x2＋x2－1；(3)f(x)＝2x2＋2xx＋1；(4)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x－1，x<0，0，x＝0，x＋1，x>0.【解析】(1)函数的定义域为R，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数．(2)由⎩⎨⎧1－x2≥0，x2－1≥0得x2＝1，即x＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．f(－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x－1，－x<0，0，－x＝0，－x＋1，－x>0，即f(－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x＋1)，x>0，0，x＝0，－(x－1)，x<0.于是有f(－x)＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．满足f(－x)＝f(x)是偶函数，f(－x)＝－f(x)是奇函数．方法归纳函数奇偶性判断的方法(1)定义法：(2)图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．跟踪训练1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2(x2＋2); (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(3)f(x)＝1－x2x；(4)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋1，x>0，－x＋1，x<0.解析：(1)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]．即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x≤1，且－x≠0，又∵f(－x)＝1－(－x)2－x＝－1－x2x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．根据函数奇偶性定义判断．类型二函数奇偶性的图象特征例2设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)<0的解集是________．【解析】由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域[－5,5]上的图象如图，由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|－2<x<0或2<x≤5}．【答案】{x|－2<x<0或2<x≤5}根据奇函数的图象关于原点对称作图，再求出f(x)<0的解集．方法归纳根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根据图象特征求解问题．跟踪训练2如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．解析：方法一因函数f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，补全图如图．由图象可知f (1)<f (3)．方法二 由图象可知f (－1)<f (－3)． 又函数y ＝f (x )是偶函数， 所以f (－1)＝f (1)，f (－3)＝f (3)，故f (1)<f (3)．方法一是利用偶函数补全图象，再比较f(1)与f(3)的大小； 方法二f(1)＝f(－1)，f(3)＝f(－3)，观察图象判断大小．类型三 利用函数奇偶性求参数例3 (1)设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x为奇函数，则a ＝________； (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，ax 2＋x ，x <0是奇函数，则a ＝________.【解析】 (1)方法一(定义法) 由已知 f (－x )＝－f (x )，即(－x ＋1)(－x ＋a )－x＝－(x ＋1)(x ＋a )x . 显然x ≠0得，x 2－(a ＋1)x ＋a ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ， 故a ＋1＝0，得a ＝－1.方法二(特值法) 由f (x )为奇函数得 f (－1)＝－f (1)，即(－1＋1)(－1＋a )－1＝－(1＋1)(1＋a )1， 整理得a ＝－1.(2)(特值法) 由f (x )为奇函数， 得f (－1)＝－f (1)，[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝2x 2－3 B ．y ＝x 3 C ．y ＝x 2，x ∈[0,1] D ．y ＝x解析：对于A ，f (－x )＝2(－x )2－3＝2x 2－3＝f (x )，∴f (x )是偶函数，B ，D 都为奇函数，C 中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A.答案：A2．函数f (x )＝1x －x 的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称解析：∵f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－1x －(－x )＝x －1x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，图象关于原点对称．答案：C3．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )解析：选项A 中的图象不关于原点对称，也不关于y 轴对称，故排除；选项C ，D 中函数的定义域不关于原点对称，也排除．选项B 中的函数图象关于y 轴对称，是偶函数，故选B.答案：B4．下列四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称；④奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象必过(－a ，f (a ))．表述正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：偶函数的图象一定关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，例如，函数f (x )＝x 0，其定义域为{x |x ≠0}，故其图象与y 轴不相交，但f (x )＝x 0＝1(x ≠0)是偶函数，从而可知①是错误的，③是正确的． 奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过坐标原点，例如，函数f (x )＝1x ，其定义域为{x |x ≠0}，可知其图象不经过坐标原点，但f (x )＝1x 是奇函数，从而可知②是错误的．若点(a ，f (a ))在奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象上，则点(－a ，－f (a ))也在其图象上，故④是错误的．答案：A5．如图，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)＋f (－1)的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0解析：由图知f (1)＝12，f (2)＝32，又f (x )为奇函数，所以f (－2)＋f (－1)＝－f (2)－f (1)＝－32－12＝－2.故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．若函数f (x )＝kx 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，则k 等于________．解析：由于函数f (x )＝kx 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，因此k －1＝0，k ＝1.答案：17．给出下列四个函数的论断： ①y ＝－|x |是奇函数；②y ＝x 2(x ∈(－1,1])是偶函数；解得b＝0.答案：0三、解答题(每小题10分，共20分)9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3－x2x－1；(2)f(x)＝x2－x3；(3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；(4)f(x)＝x2＋ax(x≠0，a∈R)．解析：(1)∵函数f(x)＝x3－x2x－1的定义域为{x|x∈R且x≠1}，定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．(2)f(x)的定义域为R，是关于原点对称的．∵f(－x)＝(－x)2－(－x)3＝x2＋x3，又－f(x)＝－x2＋x3，∴f(－x)既不等于f(x)，也不等于－f(x)．故f(x)＝x2－x3既不是奇函数也不是偶函数．(3)方法一(定义法)函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，∴函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．方法二(根据图象进行判断)f(x)＝|x－2|－|x＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4，x≥2，－2x，－2<x<2，4，x≤－2，画出图象如图所示，图象关于原点对称，因此函数f(x)是奇函数．(4)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋ax(x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．综上所述，当a∈R且a≠0时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；当a＝0时，函数f(x)为偶函数．10．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式；(2)画出函数f(x)的图象．解析：(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；②当x<0时，－x>0，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，综上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x，(x>0)0，(x＝0)－x2－2x，(x<0)(2)图象如图：[能力提升](20分钟，40分)11．定义两种运算：a b＝a2－b2，a⊗b＝(a－b)2，则函数f(x)＝2x(x⊗2)－2为()A．奇函数B．偶函数C．奇函数且为偶函数D．非奇函数且非偶函数解析：由定义知f(x)＝4－x2(x－2)2－2＝4－x2|x－2|－2，由4－x2≥0且|x－2|－2≠0，得－2≤x<0或0<x≤2，即函数f(x)的定义域为{x|－2≤x<0或0<x≤2}，关于原点对称；f(x)＝4－x22－x－2＝－4－x2x，f(－x)＝－4－x2－x＝－f(x)．故f(x)是奇函数．故选A.答案：A12．若f(x)是[－2,2]上的偶函数，在(0,2]上为增函数，且f(m－1)>f(m＋1)，则m的取值范围为________．解析：∵f(x)为偶函数，。
1.3.2函数奇偶性
§1．3．2函数的奇偶性学习目标：1．知识与技能：理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性；2．过程与方法：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养自己观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．3．情态与价值：通过函数的奇偶性教学，培养自己从特殊到一般的概括归纳问题的能力． 重点和难点分析：重点：函数的奇偶性及其几何意义难点：判断函数的奇偶性的方法与格式 问题导学：预习教材P 33----P 36, 并找出疑惑之处。
1. 明确偶函数的概念并找出如何通过函数图象判断该函数是否偶函数2. 明确奇函数的概念并找出如何通过函数图象判断该函数是否奇函数预习自测：判断下列函数的奇偶性1.2()f x x =2. ()||1f x x =-3. 21)(x x f =4. 2432)(x x x f +=5. x x x f 2)(3-=6. xx x f 1)(2+=7. 1)(2+=x x f学习过程：学习探究思考：“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？1.观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．2()f x x = ()||1f x x =- 21()f x=通过讨论归纳：函数2()f x x =是定义域为 ————的抛物线；函数()||1f x x =-是定义域为———— 的折线；函数21()f x x=是定义域为 ————的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于————对称．2.观察一对关于y 轴对称的点的坐标有什么关系？归纳问题：若点(,())x f x 在函数图象上，则相应的点(,())x f x -是否也在函数图象上?即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标是否一定相等？归纳定义：函数的奇偶性定义：1．偶函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．依照偶函数的定义给出奇函数的定义．2．奇函数一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有 ————，那么()f x 就叫做奇函数． 注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．3．具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．典型例题：例1．判断下列函数是否是偶函数．（1）2()[1,2]f x x x =∈-（2）32()1x x f x x -=-例2．判断下列函数的奇偶性（1）4()f x x =（2）5()f x x =（3）1()f x x x =+（4）21()f x x=小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定()()f x f x -与的关系； ③作出相应结论：若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--=或则是偶函数；若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--+=或则是奇函数．例3．判断下列函数的奇偶性：2211(0)2()11(0)2x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩分析：先验证函数定义域的对称性，再考察()()()f x f x f x --是否等于或．例4．利用函数的奇偶性补全函数的图象．教材P 35思考题规律：偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．例5．已知()f x 是奇函数，在（0，+∞）上是增函数．证明：()f x 在（－∞，0）上也是增函数．小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．课堂训练：判断下列函数的奇偶性，并说明理由．①()0,[6,2][2,6];f x x =∈--②()|2||2|f x x x =-++③()|2||2|f x x x =--+④())f x lg x =（五）归纳小结，整体认识． 本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．。
1.3.2函数的奇偶性
它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.
观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发
现两个函数图象有什么共同特征吗？
f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)
f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x), 这时我们称函数y=x2为偶函数.
1．偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
2 例如，函数 f ( x) x 1, f ( x) x 2 1 都是偶函数，
(1)解：定义域为R ∵ f(-x)=(-x)4=f(x) 即f(-x)=f(x)
(2)解：定义域为R f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x) 即f(-x)=-f(x)
∴f(x)偶函数 ∴f(x)奇函数 (3)解：定义域为{x|x≠0} (4)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x) ∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x) 即f(-x)=-f(x) 即f(-x)=f(x) ∴f(x)奇函数 ∴f(x)偶函数
说明：奇偶函数图象的性质可用于： a、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性
例3、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图 象如下图，画出在y轴左边的图象. 解：画法略
y
相等
0
x
y
相等
0
x
本课小结
1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,
f(x)为奇函数 如果都有f(－x)=f(x) f(x)为偶函数 如果都有f(－x)=-f(x) 2、两个性质：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
授课教案辅导日期：2016年月日辅导时间：学员：1.3.2奇偶性一链接高考:[第36页第1题](2012陕西, 2,5分) 下列函数中, 既是奇函数又是增函数的为()A. y=x+1B. y=-x3C. y=D. y=x|x|[第36页第2题](2011广东, 4,5分) 设函数f(x) 和g(x) 分别是R上的偶函数和奇函数, 则下列结论恒成立的是()A. | f(x) |-g(x) 是奇函数B. | f(x) |+g(x) 是偶函数C. f(x) -|g(x) |是奇函数D. f(x) +|g(x) |是偶函数[第36页第3题](2011辽宁, 6,5分) 若函数f(x) =为奇函数, 则a=()A. B. C. D. 1[第36页第4题](2008重庆, 6,5分) 若定义在R上的函数f(x) 满足: 对任意x1, x2∈R有f(x1+x2) =f(x1) +f(x2) +1, 则下列说法一定正确的是()A. f(x) 为奇函数B. f(x) 为偶函数C. f(x) +1为奇函数D. f(x) +1为偶函数[第37页第5题](高考预测题) 判断下列各函数的奇偶性.(1) f(x) =(x-1) ·;(2) f(x) =.[第37页第6题](2012重庆, 12,5分) 若f(x) =(x+a) (x-4) 为偶函数, 则实数a=.[第37页第7题](2012上海改编, 9,4分) 已知y= f(x) 是奇函数. 若g(x) = f(x) +2且g(1) =1, 求g(-1).根据奇函数的定义先求f(-1), 再求g(-1).[第37页第8题](高考预测题) 已知奇函数f(x) 在x≥0时的图象是如下图所示的抛物线的一部分.(1) 请补全函数f(x) 的图象;(2) 写出函数f(x) 的单调区间.[第37页第9题](2011安徽, 3,5分) 设f(x) 是定义在R上的奇函数, 当x≤0时, f(x) =2x2-x, 则f(1) =()A. -3B. -1C. 1D. 3[第38页第10题](高考预测题) 已知函数f(x) 是定义在R上的偶函数, x≥0时, f(x)=x2-2x, 则函数f(x) 在R上的解析式是()A. f(x) =-x(x-2)B. f(x) =x(|x|-2)C. f(x) =|x|(x-2)D. f(x) =|x|(|x|-2)[第38页第11题](高考预测题) 已知f(x) 是偶函数, g(x) 是奇函数, 且g(x) +f(x)=x2+x-2, 求f(x), g(x) 的解析式.[第38页第12题](2009陕西, 10,5分) 定义在R上的偶函数f(x), 对任意x1, x2∈[0, +∞)(x1≠x2), 有< 0, 则()A. f(3) < f(-2) < f(1)B. f(1) < f(-2) < f(3)C. f(-2) < f(1) < f(3)D. f(3) < f(1) < f(-2)[第38页第13题](2009辽宁, 9,5分) 已知偶函数f(x) 在区间[0, +∞) 上单调增加, 则满足f(2x-1) < f的x的取值范围是()A. B. C. D.[第38页第14题](2010课标全国, 8,5分) 设偶函数f(x) 满足f(x) =x3-8(x≥0), 则{x|f(x-2) > 0}=()A. {x|x< -2或x> 4}B. {x|x< 0或x> 4}C. {x|x< 0或x> 6}D. {x|x< -2或x> 2}[第38页第15题](2010上海春) 已知函数f(x) =ax2+2x是奇函数, 则实数a=.二基础过关:[第39页第1题]函数f(x) =x2+()A. 是奇函数B. 是偶函数C. 是非奇非偶函数D. 既是奇函数又是偶函数[第39页第2题]设f(x) 是定义在R上的一个函数, 则函数F(x) = f(x) - f(-x) 在R上一定()A. 是奇函数B. 是偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数[第39页第3题]奇函数y= f(x) (x∈R) 的图象必过点()A. (a, f(-a))B. (-a, f(a))C. (-a, - f(a))D.[第39页第4题]已知有四个命题: ①偶函数的图象必定与y轴相交; ②偶函数的图象必定关于y轴对称; ③奇函数的图象必定通过原点; ④若函数f(x) 既是奇函数, 又是偶函数, 则f(x) =0(x∈R). 其中正确的命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3[第39页第5题]若f(x) =ax2+bx+c(a≠0) 是偶函数, 则g(x) =ax3+bx2+cx()A. 是奇函数B. 是偶函数C. 既不是奇函数又不是偶函数D. 既是奇函数又是偶函数[第39页第6题]已知函数f(x) =ax2+bx+3a+b为偶函数, 其定义域为[a-1,2a], 则a=, b=.[第39页第7题]若偶函数f(x) 在(-∞, 0]上为增函数, 则满足f(1) ≤ f(a) 的实数a的取值范围是.[第39页第8题]如果函数f(x) 为奇函数, g(x) 为偶函数, 并且有f(x) +g(x) =x+2, 则f(x) 的表达式为, g(x) 的表达式为.[第39页第9题]判断下列函数的奇偶性.(1) f(x) =+;(2) f(x) =.[第39页第10题](1) 如图(1), 给出奇函数y= f(x) 的局部图象, 试作出y轴右侧的图象并求出f(3) 的值;(2) 如图(2), 给出偶函数y= f(x) 的局部图象, 比较f(1) 与f(3) 的大小, 并试作出y轴右侧的图象.[第39页第11题]已知函数f(x) =x+, 且f(1) =3.(1) 求m;(2) 判断函数f(x) 的奇偶性.[第39页第12题]已知函数f(x) =ax2+bx+3a+b是偶函数, 且其定义域为[a-1,2a].(1) 求a、b的值;(2) 求函数f(x) 在其定义域上的最大值.三三年模拟:[第40页第1题]已知函数f(x) =(x≠0), 则这个函数()A. 是奇函数B. 既是奇函数又是偶函数C. 是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数[第40页第2题]函数f(x) =的图象关于()A. x轴对称B. 原点对称C. y轴对称D. 直线y=x对称[第40页第3题]对于定义域是R的任意奇函数f(x), 都有()A. f(x) - f(-x) > 0B. f(x) - f(-x) ≤0C. f(x) · f(-x) ≤0D. f(x) · f(-x) > 0[第40页第4题]f(x) 为偶函数, 且当x≥0时, f(x) ≥2, 则当x≤0时, 有()A. f(x) ≤2B. f(x) ≥2C. f(x) ≤-2D. f(x) ∈R[第40页第5题]奇函数f(x) 在区间[3,6]上是增函数, 在区间[3,6]上的最大值为8, 最小值为-1, 则f(6) + f(-3) 的值为()A. 10B. -10C. 9D. 15[第40页第6题]设f(x) 是R上的奇函数, 且当x∈[0, +∞) 时, f(x) =x(1+3), 则f(-1) =.[第40页第7题]若f(x) =(m-1) x2+6mx+2是偶函数, 则f(0), f(1), f(-2) 从小到大的顺序是.[第40页第8题]定义在(-1,1) 上的奇函数f(x) =, 则常数m、n的值分别为.[第40页第9题]已知函数f(x) 是定义域为R的奇函数, 当x> 0时, f(x) =x2-2x.(1) 求出函数f(x) 在R上的解析式;(2) 画出函数f(x) 的图象.[第40页第10题]已知f(x) 是定义在(-∞, +∞) 上的不恒为零的函数, 且对定义域内的任意x, y, f(x) 都满足f(x·y) =y· f(x) +x· f(y).(1) 求f(1), f(-1) 的值;(2) 判断f(x) 的奇偶性, 并说明理由.[第40页第11题]函数f(x) =是定义在(-1,1) 上的奇函数, 且f=.(1) 确定函数f(x) 的解析式;(2) 用定义证明f(x) 在(-1,1) 上是增函数;(3) 解不等式f(t-1) + f(t) < 0.[第40页第12题]已知f(x) 是定义在R上的不恒为零的函数, 且对于任意的a, b∈R都满足f(ab) =af(b) +bf(a).(1) 求f(0), f(1) 的值;(2) 判断f(x) 的奇偶性, 并证明你的结论.[第41页第1题](2013广东汕头期末) 若f(x) 为R上的奇函数, 给出下列结论: ①f(x)+f(-x) =0; ②f(x) -f(-x) =2f(x); ③f(x) ·f(-x) ≤0; ④=-1. 其中不正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个[第41页第2题](2013广东珠海期末) 若偶函数f(x) 在(-∞, -1]上是增函数, 则()A. f< f(-1) < f(2)B. f(-1) < f< f(2)C. f(2) < f(-1) < fD. f(2) < f< f(-1)[第41页第3题](2012广东广州检测) 下列说法错误的是()A. 奇函数的图象关于原点对称B. 偶函数的图象关于y轴对称C. 定义在R上的奇函数y= f(x) 满足f(0) =0D. 定义在R上的偶函数y= f(x) 满足f(0) =0[第41页第4题](2011宁夏中卫模拟) 若函数f(x) 是定义在R上的偶函数, 在(-∞, 0]上是减函数, 且f(2) =0, 则使得f(x) < 0的x的取值范围是()A. (-∞, 2)B. (-2,2)C. (-∞, -2) ∪(2, +∞)D. (2, +∞)[第41页第5题](2013广东汕头期末) 已知f(x) 为奇函数, g(x) =f(x) +9, g(-2) =3, 则f(2) =.[第41页第6题](2013广东深圳期末) 设函数f(x) =若f(x) 是奇函数, 则g(2) 的值是.[第41页第7题](2012河南安阳检测) 构造一个满足下面三个条件的函数: ①函数在(-∞, -1) 上递减; ②函数具有奇偶性; ③函数有最小值, 则该函数的解析式为.[第41页第8题](2011浙江金华十校模拟) 已知函数f(x-1) 为奇函数, 函数f(x+3) 为偶函数, f(0) =1, 求f(8).[第41页第9题](2012江苏南通三模改编) 定义在R上的增函数y= f(x) 对任意x, y∈R 都有f(x+y) = f(x) +f(y).(1) 求f(0);(2) 求证: f(x) 为奇函数.[第41页第10题](2011天津统考) 已知f(x) 是定义在[-1,1]上的奇函数, 且f(1) =1, 若a, b∈[-1,1], a+b≠0时, 有> 0成立.(1) 判断f(x) 在[-1,1]上的单调性;(2) 解不等式: f< f;(3) 若f(x) ≤m2-2am+1对所有的a∈[-1,1]恒成立, 求实数m的取值范围.[第41页第11题](2011山东模拟) 函数f(x) =是定义在(-1,1) 上的奇函数, 且f=.(1) 确定函数f(x) 的解析式.(2) 用定义证明f(x) 在(-1,1) 上是增函数;(3) 解不等式f(t-1) +f(t) < 0.老师签字：组长签字：教务签字：。