4_3角动量 角动量守恒定律+物理学第四版 马文蔚主编+高等教育出版社

于是
v
(
v
2 A
v02
)1
2
100
m s1
而 (m)u mv
m mv u 120 kg
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动的角动量
L miri vi ( miri2 )
i
i
L J
2 刚体定轴转动的角动量定理
第四章 刚体的转动
vA (v02 v2 )1 2 vB 1709 m s1
飞船在 A点喷出气体后, 在到
达月球的过程中, 机械能守恒
1 2
mv
2 A
G
mM m Rh
即
1 2
mvB2
vA2 vB2
G mM m 2G mMR 2G
Rh
mM R
vB B
R
O
vA v0
v u
A
h
vA 1615 m s1
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质 量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上), 然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求 小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度.
质速变量度为减的v少增A ,了量其Δ值mv为,而使为飞m船', 的并速获度得
vA (v02 v2 )1 2
vB B
R
O
vA v0
v u
A
h
质量 m' 在 A 点和 B 点只受有心力作用 , 角动量守恒
mv0 (R h) mvBR
得
vB (R h)v0 R 1709 m s1
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
1 质点的角动量
质量为 m 的质点以速度
v
在 O 的空位间矢运为动，r，某质时点刻相相对对于原原点
点的L角动r量 p r mv
大小 L rmvsin
L 的方向符合右手法则.
质点以角速度 作半径
为 r 的圆运动，相对圆心的
角动量
L mr2 J
第四章
z
刚体的v转动
L
r
m
xo
y
L
v
r
L
p
o
m r
解 小球受重力和支持 力作用, 支持力的力矩为零, 重力矩垂直纸面向里
M mgRcos
由质点的角动量定理
mgRcos dL
dt
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
mgRcos dL
dt
dL mgRcosdt
考虑到
d dt, L mRv mR 2
得 LdL m2 gR3 cosd
由题设条件积分上式
讨论
➢ 守 恒条件
M 0
若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变，但 L J 不变.
➢ 内力矩不改变系统的角动量.
➢ 在冲击等问题中 M in M ex L 常量
➢ 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
有许多现象都可以 用角动量守恒来说明.
➢花样滑冰 ➢跳水运动员跳水
第四章 刚体的转动
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律
电荷守恒定律
能量守恒定律
质量守恒定律
角动量守恒定律
宇称守恒定律等
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
角动量守恒定律在技术中的应用
惯性导航仪（陀螺）
被中香炉
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
例3 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O
试问登月飞船在登月过程
vB B
R
O
vA v0
v u
A
中所需消耗燃料的质量
h
m 是多少?
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
已知 m 1.20104 kg h 100km
u 1.00104 m s1
R 1700km
g 1.62m s2 求 所需消耗燃料的质量 m .
速度
解v0
采用如下登月方式 : 当飞船位于点 A 时,它向外侧短
时间喷气 , 使飞船与月球相切地到达点 B , 且OA 与
OB 垂直 . 飞船所喷气体相对飞船的速度为
u 1.00104 m s1 . 已知
月球半径 R 1700km ;
在飞船登月过程中,月球的 重力加速度视为常量
g 1.62m s2 .
L LdL m2gR3
cosd
0
0
L mR 3 2 (2g sin )1 2
第四章 刚体的转动
L mR 2
( 2g sin )1 2
R
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
例2 一质量 m 1.20104 kg 的登月飞船, 在离
月球表面高度 h 100km 处绕月球作圆周运动.飞船
并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平
位置时, 有一只小虫以速率v0 垂直落在距点O为 l/4 处, 并
背离点O 向细杆的端点A 爬行.设小虫与细杆的质量均为
m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率
向细杆端点爬行?
解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞
前后系统角动量守恒
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理.
力矩的时间累积效应
冲量矩、角动量、
角动量定理.
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定质轴点转运动动运状动态状的态描的述描述pLmvJEk
mv2 2
Ek J 2
2
0, p 0
0, p 0
pi
pj
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
1 12
ml 2
1 2
ml 2
mvMl 2 ml 2 12 ml2
6m(2gh)1 2 2 (m 6m)l
演员 N 以 u 起 跳, 达到的高度
h u 2 l 2 2 ( 3m )2 h
2g 8g m 6m
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
Mdt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受 的冲量矩等于质点角动量的增量.
3 质点的角动量守恒定律
M 0, L 恒矢量
质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该 参考点 O 的角动量为一恒矢量.
设飞船在点 , 月球质量
A的 mM ,
由万有引力和牛顿定律
G
mM m (R h)2
m
v02 Rh
g G mM R2
vB B
R
O
vA v0
v u
A
h
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
得
v0
(
R2g Rh
)1
2
1612
m s1
当飞船在A点以相对速度 u
向外喷气的短时间里 , 飞船的Fra bibliotek4 – 3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
2
质点的角动量定理
L
r
p
dp
F,
dL ?
dL
d
(r
dt
p)
r dp
dt
dr
p
dt
dr v,
dt
v p 0
dt dL
dt r dp
r
F
dt
dt
dt
M
dL
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角
dt 动量随时间的变化率.
解 碰撞前 M 落在
A点的速度
vM (2gh)1 2
碰撞后的瞬间, M、
N具有相同的线速度
N
u l
B
2
M
h
C
A
l/2 l
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
vM (2gh)1 2
u l
2
把M、N和跷板作为 一个系统, 角动量守恒
N B
M
h
C
A
l/2 l
解得
mvM
l 2
J
2mu
l 2
mv0
l 4
1 12
ml
2
m(
l 4
)2
12 v0
7l
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
12 v0
7l
第四章 刚体的转动
由角动量定理
M dL d(J) dJ
dt dt
dt
即
mgr cos d ( 1 ml2 mr2 ) 2mr dr
dt 12
dt
考虑到 t
dr g cost 7lg cos(12v0 t)
M dL d(J)
dt dt
z
O ri vi
mi
t2
t1
Mdt
J2
J1
非刚体定轴转动的角动量定理
t2 t1
Mdt
J 22
J11
4 – 3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体的转动
刚体定轴转动的角动量定理
t2 t1
Mdt
J2
J1
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律