全等三角形判定定理精讲精练
三角形全等的判定方法5种例题+练习全面
教学内容全等三角形的判定教学目标掌握全等三角形的判定方法重点全等三角形的判定探索三角形全等的条件（5种）1边角边（重点）两边及其夹角分别分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边角边”或“SAS”.注：必须是两边及其夹角，不能是两边和其中一边的对角.原因：如图：在A ABC和A ABD中，/ A= / A,AB=AB,BC=BD,显然这两个三角形不全等.A例 1 如图，AC=AD, / CAB= / DAB,求证：A ACB义A ADB.AD例 2 如图，在四边形 ABCD 中，AD〃BC, / ABC= /DCB, AB=DC, AE=DF 求证:BF=CE.例3.(1)如图①，根据“SAS"，如果BD=CE, =,那么即可判定4BDC24CEB； (2)如图②，已知BC=EC, NBCE二ACD,要使4ABC2△口£&则应添加的一个条件为例4. 如图，已知AD=AE,N1=N2, BD=CE,则有4ABD2，理由是△ABE义，理由是.例5.如图，在4ABC和4DEF中，如果AB=DE, BC=EF,只要找出N=N 或〃，就可得到4ABC2△DEF.A D例6.如图，已知AB〃DE, AB=DE, BF=CE,求证：4ABC24口£艮例 7.如图，点B 在线段AD 上，BC〃DE, AB=ED, BC=DB. 求证：NA二NE 例8.如图，点E, F 在BC 上，BE=CF, AB=DC, NB=NC.求证: NA=ND.2.角边角两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）例1.如图，在4ABC中，点D是BC的中点，作射线AD,线段AD及其延长线上分别取点E, F，连接CE，BF.添加一个条件，使得4BDF24CDE,你添加的条件是:.（不添加辅助线）例2. 如图，已知人口平分/8人&且N ABD=N ACD,则由“AAS”可直接判定△^A.B例 3.如图，在 RtA ABC 中，N ACB=90°, BC=2cm, CD^AB,在AC 上取一点E,使EC二BC, 过点E作EF^AC交CD的延长线于点F,若EF=5cm,那么AE=cm.例4.如图，AD〃BC,N ABC的角平分线BP与/8人口的角平分线AP相交于点P,作PE L AB于点E.若PE=2,则两平行线AD与BC间的距离为.例 5.如图，已知EC=AC, ZBCE=ZDCA, NA=NE.求证：BC=DC.例6.如图，在4ABC中，D是BC边上的点（不与B, C重合），F, E分别是AD及其延长线上的点，CF〃BE.请你添加一个条件，使4BDE24CDF （不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明.（1）你添加的条件是：；（2）证明：例7.如图，A在DE上，F在AB上，且BC=DC,N1=N2=N3,则DE的长等于（）A. DCB. BCC. ABD. AE+AC【基础训练】1 .如图，已知 AB = DC,NABC=NDCB,则有4ABC2，理由是；且有2 .如图，已知AD=AE,N1 = N2, BD = CE,则有4ABD2，理由是；△ ABF /，理由是.3 .如图，在4ABC 和ABAD 中，因为 AB = BA,NABC=NBAD, =，根 据“SAS”可以得到4ABC2ABAD.4 .如图，要用“SAS”证4ABC2AADE,若AB=AD, AC=AE,则还需条件（ ）.5 .如图，OA=OB, OC = OD,NO=50°,N D = 35°,则NAEC 等于（ ）.A. 60°B. 50°C. 45°D. 30°A.NB = ND C.N1 = N2 BNC=NED.N3 = N4（第4皿（第56.如图，如果AE=CF, AD〃BC, AD = CB,那么^ADF和ACBE全等吗？请说明理由.律f题）7.如图，已知AD与BC相交于点O,NCAB = NDBA, AC = BD.求证: (1)NC=ND；(2)AAOC^ABOD.C第T题）8.如图，AACD和4BCE都是等腰直角三角形，NACD=NBCE=90°, AE交DC于F, BD分别交CE、AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由.（第8题）9.如图，在4ABC 中，AB=AC, AD 平分/BAC.求证：NDBC=NDCB.（第KJ题）10.如图，4ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE,使点E、A在直线DC的同侧，连接AE.求证：AE〃BC.（第门题）角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，可以简写成“角角边”或“AAS”. 例1、如图，在4ABC中，N ABC=45°, H是高AD和高BE的交点，试说明BH=AC.例 2、如图，N ACB=90°, AC二BC, BE±CE, AD±CE 于 D, AD=2.5cm, DE=1.7cm. 求BE的长.例3、如图，在4ABC中,AC±BC, CE±AB于E, AF平分/CAB交CE于点F,过F作FD〃 BC交AB于点D.求证：AC=AD.例 3.如图，AD 平分/BAC, DEXAB 于 E, DFXAC 于 F,且 DB二DC,求证：EB=FC例4.如图，在4ABC中，D是BC的中点，DELAB, DFXAC,垂足分别是E, F, BE=CF. 求证：AD 是4ABC的角平分线.例5.如图，在4ABC中，AB二CB,N ABC=90°, D为AB延长线上的一点，点E在BC 边上，连接 AE, DE, DC, AE二CD.求证：NBAE二NBCD.例6.如图，D是BC上一点，DEL AB, DF±AC, E, F分别为垂足，且AE=AF.(1)AAED与4AFD全等吗？为什么？(2)AD平分/BAC吗？为什么？例 7.如图，已知 ACLBC, BDLAD, BC 与 AD 交于 O, AC=BD.试说明：ZOAB=ZOBA.例8.如图，NACB 和/ADB都是直角，BC二BD, E是AB上任意一点.求证：CE=DE.例 9.如图，已知RtAABC^RtAADE,ZABC=Z ADE=90°, BC 与 DE 相交于点 F, CD, EB.连接(1)图中还有几对全等三角形，请你一一列举；(2)求证：CF=EF.例10.如图，在四边形ABCD中，AC 平分/BAD,并且CB=CD.求/ABC+NADC的度数.例11. (1)如图①，A, E, F, C四点在一条直线上，AE二CF,过点E, F分别作DELAC, 8尸，八0连接BD交AC于点G,若AB二CD,试说明FG=EG.(2)若将4DCE沿AC方向移动变为如图②的图形，(1)中其他条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由.B BD D①. ②课后练习:1.如图，点C在线段AB的延长线上，AD = AE, BD = BE, CD = CE,则图中共有对全等三角形，它们是2.如图，若AB = CD, AC=BD,则可用“SSS”证 23.如图，已知 AB = DC, BE=CF,若要利用“SSS”得到4ABE2△DCF,还需增加的一个条件是.i第3题）（第-I题）4.如图所示是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若想固定其形状不变，需要加钉一根木条，可钉在（）.A. AE 上B. EF 上C. CF 上D. AC 上5.如图，已知E、C两点在线段BF上，BE=CF, AB=DE, AC=DF.求证：AABC2A DEF.& E C F（第三⑦6.如图，在4ABC和4DCB中，AC与BD相交于点O, AB=DC, AC=BD.(1)求证：4ABC 2ADCB；(2)AOBC的形状是.(直接写出结论，不需证明)＜第6题)7、如图，在口ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，AC 与EF相交于点O.(1)过点B作AC的平行线BG,延长EF交BG于点H；(2)在(1)的图中，找出一个与4BFH全等的三角形，并证明你的结论.8、如图，已知BD±AB, DC,AC,垂足分别为点B、C, CD=BD, AD 平分/BAC吗，为什么？9.如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DELAG于E, BF#DE,交 AG于F.那NAF与BF+EF相等吗？请说明理由.B G C10.如图，BD、CE分别是4ABC的边AC和边AB上的高，如果BD = CE,试证明AB = AC.11.如图，在RtAABC和RtABAD中，AB为斜边，AC=BD, BC、AD相交于点E (1)请说明AE=BE 的理由；(2)若N AEC=45°, AC = 1,求 CE 的长.12.如图，在4ABC中，D是BC的中点，DELAB, DFLAC,垂足分别是点E、F, BE= CF.(1)图中有几对全等的三角形？请一一列出；(2)选择一对你认为全等的三角形进行证明.4练习21.如图，已知NB = NDEF, AB=DE,要证明△ ABC2△DEF.（1）若以“ASA”为依据，还缺条件；（2）若以“AAS”为依据，还缺条件£（第1期】《第2题）2.如图，已知AD平分/BAC,且NABD=NACD,则由“AAS”可直接判定△2 △.3.如图，已知AB=AC,要根据“ASA”得到以BE2AACD,应增加一个条件是 _______________（第3 （第4（第54.如图，点P是/AOB的平分线OC上的一点，PD±OA, PE LOB,垂足分别为点D、E, 则图中有对全等三角形，它们分别是.5.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）.A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去6.如图，已知AC平分/8八口，/1 = /2, AB与AD相等吗？请说明理由.C£第67.如图，点B、E、F、C在同一直线上，已知NA=ND, 需要补充的一个条件是.（写出一个即可）NB = NC,要使4ABF 2ADCE,8.如图，在4ABC中，N ABC=45°, H是高AD和高BE的交点，试说明BH=AC.A9.如图，已知点A、D、B、E在同一条直线上，且AD=BE,NA=NFDE,则AABC2A DEF.请你判断上面这个判断是否正确，如果正确，请给出说明；如果不正确，请添加一个适当条件使它成为正确的判断，并加以说明.10.已知：如图，AB=AE,N1 = N2,NB = NE.求证：BC=ED.21。
12.7 三角形全等的判定3知识讲解20212022学年八年级数学上册基础知识专项讲练人教版
专题12.7 三角形全等的判定3（知识讲解）【学习目标】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.【要点梳理】要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.特别说明：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、如图，已知：AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，AC＝CE．（1）AC与CE有什么位置关系？（2）请证明你的结论．【答案】（1）AC ⊥CE ；（2）见解析【分析】（（1）根据题意写出结论即可．（2）由条件可证明Rt △ABC ≌Rt △CDE ，得到∠ECD ＝∠A ，进一步可得∠ECA ＝90°，可证得结论．解：（1）AC CE ⊥．（2）证明：AB BD ⊥Q ，ED BD ⊥，90ABC CDE \Ð=Ð=°，在Rt ABC D 和Rt CDE D 中，AB CD AC CEì=ïïíï=ïî，Rt ABC Rt CDE(HL)\D @D ，A ECD \Ð=Ð，90A ACB Ð+Ð=°Q ，90ECD ACB \Ð+Ð=°，90ACE \Ð=°，AC CE \⊥．【点拨】本题主要考查直角三角形全等的判定，掌握直角三角形全等的判定方法HL 定理是解题的关键．举一反三：【变式】 如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 上的一点，过D 作DE ⊥AB 交AC 于点E ，CE=DE ．连接CD 交BE 于点F ．（1）求证：BC=BD ；（2）若点D 为AB 的中点，求∠AED 的度数．【答案】（1）见详解；（2）60°．【分析】（1）利用HL 直接证明Rt △DEB ≌Rt △CEB ，即可解决问题．（2）首先证明△ADE ≌△BDE ，进而证明∠AED=∠DEB=∠CEB ，即可解决问题．证明：（1）∵DE ⊥AB ，∠ACB=90°，∴△DEB 与△CEB 都是直角三角形，在△DEB 与△CEB 中，EB EB DE CE =ìí=î，∴Rt △DEB ≌Rt △CEB （HL ），∴BC=BD ．（2）∵DE ⊥AB ，∴∠ADE=∠BDE=90°；∵点D 为AB 的中点，∴AD=BD ；在△ADE 与△BDE 中，AD BD ADE BDE DE DE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ADE ≌△BDE （SAS ），∴∠AED=∠DEB ；∵△DEB ≌△CEB ，∴∠CEB=∠DEB ，∴∠AED=∠DEB=∠CEB ；∵∠AED+∠DEB+∠CEB=180°，∴∠AED=60°．【点拨】该命题以三角形为载体，以考查全等三角形的判定及其应用为核心构造而成；解题的关键是灵活运用全等三角形的判定及其性质，来分析、判断或推理．2、 如图，在D ABC 中， AC = BC ，直线l 经过顶点C ，过 A ， B 两点分别作l 的垂线 AE ， BF ， E ， F 为垂足． AE = CF ，求证： ÐACB = 90°．【答案】见解析【分析】先利用HL 定理证明△ACE 和△CBF 全等，再根据全等三角形对应角相等可以得到∠EAC ＝∠BCF ，因为∠EAC ＋ACE ＝90°，所以∠ACE ＋∠BCF ＝90°，根据平角定义可得∠ACB ＝90°．证明：如图，在Rt D ACE 和Rt D CBF 中，∵AC = BC ，AE = CF ，∴Rt D ACE ≌ Rt D CBF （HL ） ，∴ÐEAC = ÐBCF ，∵ÐEAC + ÐACE = 90° ，∴ÐACE + ÐBCF = 90° ，∴ÐACB = 180° - 90° = 90° ．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．举一反三：【变式】 如图，Rt ABC V 与Rt DEF △的顶点A ，F ，C ，D 共线，AB 与EF 交于点G ，BC 与DE 相交于点H ，90B E Ð=Ð=°，AF CD =，AB DE =．（1）求证：Rt ABC Rt DEF V V ≌；（2）若1GF =，求线段HC 的长．【答案】（1）见详解；（2）1【分析】（1）先证明AC=DF ，再根据HL 证明Rt ABC Rt DEF V V ≌；（2）先证明∠AFG=∠DCH ，从而证明∆AFG ≅∆DCH ，进而即可求解．（1）证明：∵AF CD =，∴AF+CF=CD+CF ，即AC=DF ，在Rt ABC V 与Rt DEF △中，∵AC DF AB DE =ìí=î，∴Rt ABC V ≅Rt DEF △（HL ）；（2）∵Rt ABC V ≅Rt DEF △，∴∠A=∠D ，∠EFD=∠BCA ，∵∠AFG=180°-∠EFD ，∠DCH=180°-∠BCA ，∴∠AFG=∠DCH ，又∵AF CD =，∴∆AFG ≅∆DCH ，∴HC=GF =1．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握HL 和ASA 证明三角形全等，是解题的关键．类型二、全等性质和“HL”综合运用3、（2020·江西赣州市·八年级期末）已知：AB BD ⊥，ED BD ⊥，AC CE =，BC DE =．（1）试猜想线段AC 与CE 的位置关系，并证明你的结论．（2）若将CD 沿CB 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．（3）若将CD 沿CB 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．【答案】（1）AC CE ⊥，见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析【分析】（1）先用HL 判断出Rt Rt ABC CDE ≌△△，得出A DCE Ð=Ð，进而判断出90DCE ACB Ð+Ð=°，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）同（1）的方法，即可得出结论．解：（1）AC CE ⊥理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴90B D Ð=Ð=°在Rt ABC △和Rt CDE △中AC CE BC DE=ìí=î∴()Rt Rt HL ABC CDE △△≌，∴A DCEÐ=Ð∵90B Ð=°，∴90A ACB Ð+Ð=°，∴()18090ACE DCE ACB Ð=°-Ð+Ð=°，∴AC CE ⊥；（2）成立，理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴90B D Ð=Ð=°，在1Rt ABC V 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE =ìí=î，∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△，∴2A C E D Ð=Ð，∵90B Ð=°，∴190B A AC Ð+Ð=°，∴2190DC E AC B Ð+Ð=°，在12C FC V 中，()122118090C FC DC E AC B Ð=°-Ð+Ð=°，∴12AC C E ⊥；（3）成立，理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴190ABC D Ð=Ð=°在1Rt ABC V 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE =ìí=î，∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△，∴2A C E D Ð=Ð，∵190ABC Ð=°，∴190B A AC Ð+Ð=°，在12C FC V 中，()2112180=90C FC DC E AC B Ð=°-Ð+а，∴12AC C E ⊥．【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出12Rt Rt ABC C DE ≌△△是解本题的关键．【变式1】已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE BF =．求证：（1）AF CE =；（2）AB CD ∥．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DEC=∠BFA=90°，推出Rt△DCE≌Rt△BFA（HL），由全等三角形的性质即可得到结论.（2）根据全等三角形的性质得到∠C=∠A，根据平行线的判定即可得到AB∥CD.证明：∵DE⊥ AC，BF⊥ AC∴∠DEC=∠BFA=90°在Rt△ DEC和Rt△ BFA中AB=CDDE=BF∴Rt△ DCE≌Rt△ BFA（HL）∴AF=CE∴∠C=∠A∴ AB∥ CD【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定.全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.【变式2】如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．【分析】在Rt△ABC和Rt△DEF中，由BF=EC可得BC=EF，又因为AB=DE，所以Rt△ABC≌Rt△DEF．解：∵BF=EC，∴BF+FC=FC+EC，即BC=EF，∵∠A=∠D=90°，∴△ABC和△DEF都是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB DE BC EC ìíî＝＝，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．【点拨】本题考查掌握直角三角形全等的判定方法．。
全等三角形的判定-八年级数学上册同步精品课堂知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)(原卷版)
第二课时——全等三角形的判定知识点一：全等三角形的判定：判定方法内容数学语言 图形表示 注意点边边边（SSS ）三边分别相等的两个三角形全等。
可简写为“边边边”或“SSS ”在△ABC 与△DEF中：⎪⎩⎪⎨⎧===EF BC DF AC DE AB ∴△ABC ≌△DEF边角边（SAS ）两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等。
可简写为“边角边”或“SAS ”在△ABC 与△DEF中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DF AC D A DEAB ∴△ABC ≌△DEF用“边角边（SAS ）判定全等时，角一定是两边的夹角，否则不能判定全等。
在写条件的时候角必须写在中间。
角边角（ASA ）两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等。
可简写为“角边角”或“ASA ”在△ABC 与△DEF中：⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠E B DE AB DA ∴△ABC ≌△DEF用“角边角（ASA ）判定全等时，边是两角的夹边，在书写的过程中需把边写在中间特别提示：在写全等三角形的数学语言时，等号左边写“≌”左边三角形的条件，等号右边写“≌”右边三角形的条件。
并且条件的顺序必须和判定条件顺序一致。
方法总结：【类型一：补充证全等条件】1．如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝DE B．AE＝DBC．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D2．如图，在△ABC和△BAD中，AC＝BD，要使△ABC≌△BAD，则需要添加的条件是（）第2题第3题A．∠BAD＝∠ABC B．∠BAC＝∠ABD C．∠DAC＝∠CBD D．∠C＝∠D3．如图，BC＝BD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是（）A．AC＝AD B．∠ABC＝∠ABD C．∠CAB＝∠DAB D．∠C＝∠D＝90°4．如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AD＝CF，要使△ABC≌△DEF，则下列条件可以添加的是（）第4题第5题第7题A．∠B＝∠E B．∠A＝∠EDF C．AC＝DF D．BC∥EF5．如图，已知AB＝AE，∠EAB＝∠DAC，添加一个条件后，仍无法判定△AED≌△ABC的是（）A．AD＝AC B．∠E＝∠B C．ED＝BC D．∠D＝∠C6．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角对应相等B．一个锐角和斜边对应相等C．两条直角边对应相等D．一条直角边和斜边对应相等7．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，添加一个条件，不能使得Rt△ABC≌Rt△DCB 的是（）A．AB＝DC B．AC＝DB C．∠ABC＝∠DCB D．BC＝BD8．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（）A．AD＝CB B．∠A＝∠CC．BD＝DB D．AB＝CD【类型二：证明三角形全等】9．请将以下推导过程补充完整．如图，点C在线段AB上，AD∥BE，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．求证：△DCF ≌△ECF 证明：∵AD ∥BE ∴∠A ＝∠B在△ACD 和△BEC 中()⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠BC AD B A ∴△ACD ≌△BEC （ ）∴CD ＝CE （ ） ∵CF 平分∠DCE ∴ 在△DCF 和△ECF 中()⎪⎩⎪⎨⎧==CE CD CF CF ∴△DCF ≌△ECF （SAS ）10．如图，点C 在BD 上，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AC ⊥CE ，AB ＝CD ．求证：△ABC ≌△CDE ．11．如图，点A、D、B、E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF，求证：△ABC≌△DEF．12．如图，点D在线段BC上，AB＝AD，∠1＝∠2，DA平分∠BDE：求证：△ABC≌△ADE．13．天使是美好的象征，她的翅膀就像一对全等三角形．如图AD与BC相交于点O，且AB＝CD，AD＝BC．求证：△ABO≌△CDO．14．如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，DE∥AC，且DE＝BC，AC＝BD．求证：△ABC≌△BED．15．如图，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC．求证：△ABC≌△DEC．16．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC＝EF，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，BF＝CD．试说明：△ABC≌△EDF．17．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2．18．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE ＝BF．19．如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．【类型三：全等三角形的判定与性质】20．如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D，∠F AC ＝40°，则∠BFE＝（）第20题第21题A．35°B．40°C．45°D．50°21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（）A．21B．24C．27D．3022．如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（）第22题第23题A．3B．5C．6D．723．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．424．如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．（1）求证：AB＝FE；（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△FDE；（2）连结AE，当AE⊥BF，BC＝2，AD＝1时，求AB的长．26．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E．（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数．【类型四：全等三角形的应用】27．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离．那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（）第27题第28题A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS28．打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（）A．带①②去B．带②③去C．带③④去D．带②④去29．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为cm．第29题第30题30．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB ＝OC，测得AB＝a，EF＝b，圆形容器的壁厚是（）A ．aB ．bC ．b ﹣aD ．21（b ﹣a ）一、选择题（10题）1．如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝（ ）第1题 第2题 第3题A ．105°B ．120°C ．115°D ．135°2．如图，已知∠C ＝∠D ＝90°，添加一个条件，可使用“HL ”判定Rt △ABC 与Rt △ABD 全等．以下给出的条件适合的是（ ）A ．∠ABC ＝∠ABDB ．∠BAC ＝∠BAD C ．AC ＝AD D ．AC ＝BC3．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去．A ．①B ．②C ．③D ．①和②4．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC 的是（ ）A．∠C＝90°，AB＝6B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．AB＝5，BC＝3D．∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝45．如图，测河两岸A，B两点的距离时，先在AB的垂线BF上取C，D两点，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC≌△ABC，从而得到ED＝AB，测得ED的长就是A，B的距离，判定△EDC≌△ABC的依据是（）A．ASA B．SSS C．AAS D．SAS6．如图，已知∠EAC＝∠BAD，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠D．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的距离间的关系是（）第7题第8题A．BD＞CD B．BD＜CD C．BD＝CD D．不能确定8．如图，AB＝12m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（）分钟后，△CAP与△PQB全等．A．2B．3C．4D．89．把等腰直角三角形ABC，按如图所示立在桌上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点距离桌面5cm和3cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离DE的长为（）第9题第10题A．4cm B．6cm C．8cm D．求不出来10．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD（OA＜OC），∠AOB＝∠COD＝α，直线AC，BD 交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD，②∠OAM＝∠OBM，③∠AMB＝α，④OM平分∠BOC，其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题（6题）11．如图，线段AB，CD相交于点O，AO＝BO，添加一个条件，能使△AOC≌△BOD，所添加的条件的是．12．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝．第12题第14题13．在△ABC中，AB＝3cm，AC＝4cm，则BC边上的中线AD的取值范围是．14．在直角三角形中，存在斜边的平方等于两条直角边的平方的和。
(完整)全等三角形的判定专题
全等三角形的判定证明专题一、全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等.②全等三角形的对应角相等。
二、全等三角形的判定定理①角边角公理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA)。
②边角边公理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
③边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等（SSS)。
④角角边定理：有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS）。
三、一般思考方法1、已知两边对应相等—1。
第三边；2。
夹角；3。
直角2、一角及邻边对应相等—1。
角的另一边;2.边的另一角；3。
边的对角3、一角及对边对应相等—1.另一角4、两角相等-1。
夹边；2。
一已知角的对边第一部分简单证明例题分析例1：已知：如图AC=BD,∠CAB=∠DBA.求证：∠CAD=∠DBC。
例2：已知：AB=CD,AB∥DC,求证：△ABC≌△CDB例3：已知：在△ABC中,AD为BC边上的中线,CE⊥AD，BF⊥AD.求证：CE=BF例4．已知：如图AB=AC，AD=AE，BE和CD相交于G。
求证：AG平分∠BAC.例5：已知：△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，连结DE、EF,∠ADE=∠EFC,∠AED=∠ACB，DE=FC.求证：△ADE≌△EFC例6:已知：△ABC是等边三角形，∠GAB=∠HBC=∠DCA，∠GBA=∠HCB=∠DAC。
求证:△ABG≌△BCH≌△CAD。
自我检测1、已知：△ABC中，AB=AC，D、E分别为AB、AC的中点。
求证：∠ABE=∠ACD.2、已知:AB=DC,AC=BD ，AC 交BD 于E.求证：AE=DE.3、已知：如图，AB=CD ，BE=DF ，AF=EC.求证：BF=DE4、如图，在△ABE 中，AB ＝AE ，AD ＝AC ，∠BAD ＝∠EAC ， BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； （2) OB ＝OE 。
2022-2023学年八年级数学上册《全等三角形、角平分线的判定和性质》精讲与精练高分突破
专题强化训练一：全等三角形、角平分线的判定和性质一、单选题1．（2022·湖南·双峰县丰茂学校八年级期中）如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到⊥AOB ⊥⊥COD，理由是（）A．HL B．SAS C．ASA D．SSS2．（2022·广东茂名·八年级期末）如图，OD平分AOB∠，DE AO⊥于点E，4DE=，点F是射线OB上的任意一点，则DF的最小值是（）A．6B．5C．4D．33．（2022·湖南常德·八年级期中）如图，在ABC中，⊥C=90°，按以下步骤作图：⊥以点A为圆心、适当长为半径MN的长为半径作圆弧，在⊥BAC内，作圆弧，分别交边AC，AB于点M，N；⊥分别以点M和点N为圆心，大于12两弧交于点P；⊥作射线AP交边BC于点D，若CD=3，AB=8，则ABD的面积是（）A．48B．24C．12D．64．（2022·浙江·八年级专题练习）如图所示，⊥EBC⊥⊥DCB，BE的延长线与CD的延长线交于点A，CE与BD相交于点O．则下列结论：⊥⊥OEB⊥⊥ODC；⊥AE＝AD；⊥BD平分⊥ABC，CE平分⊥ACB；⊥OB＝OC，其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．（2022·湖南邵阳·八年级期末）如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，AD 与BE 相交于点F ，AD BE =，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．ABE BAD △≌△B ．ABE CBE △△≌C ．AEF BDF ≌D ．ADC BEC ≌6．（2022·陕西·西工大附中分校八年级期中）如图，O 是⊥ABC 的角平分线的交点，⊥ABC 的面积和周长都为24，则点O 到BC 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．（2022·全国·八年级专题练习）如图，Rt⊥ABC 中，⊥C ＝90°，AD 平分⊥BAC ，交BC 于点D ，AB ＝10，S △ABD ＝15，则CD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．（2022·重庆巴蜀中学八年级期末）如图，ABC 中，⊥ACB ＝60°，AG 平分⊥BAC 交BC 于点G ，BD 平分⊥ABC 交AC 于点D ，AG 、BD 相交于点F ，BE ⊥AG 交MG 的延长线于点E ，连接CE ，下列结论中正确的有（ ） ⊥若⊥BAD ＝70°，则⊥EBC ＝5°；⊥BF ＝2EF ；⊥BE ＝CE ；⊥AB ＝BG +AD ；⊥BFG AFD S BF S AF=△△．A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个9．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图，AB CD ，点E 是AD 上的点，连接BE ，CE ，且90BEC ∠=︒，BE 平分ABC ∠．以下结论中：⊥E 是AD 中点，⊥AB CD BC +=，⊥AE CE =，⊥BCE CDE S BC S CD=△△，正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．（2022·全国·八年级单元测试）如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连接BF CE 、，下列说法：⊥ABD △和ACD △面积相等；⊥BAD CAD ∠=∠；⊥BDF CDE ≌；⊥BF CE ；⊥CE AE =．其中正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥⊥D ．⊥⊥⊥11．（2022·全国·八年级专题练习）如图，P 是⊥AOB 平分线上的点，PD ⊥OB 于点D ，PC ⊥OA 于点C ，则下列结论：⊥PC ＝PD ；⊥OD ＝OC ；⊥POC 与POD 的面积相等；⊥⊥POC ＋⊥OPD ＝90°．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．（2022·广西·钦州市第四中学八年级阶段练习）如图，P ，Q 分别是BC ，AC 上的点，过点P 作PR AB ⊥于点R ，作PS AC ⊥于点S ，若AQ PQ =，PR PS =，则下面三个结论：⊥AS AR =；⊥QP AR ∥；⊥BRP CSP ≅，正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥⊥13．（2022·全国·八年级专题练习）如图，BO 、CO 分别平分⊥ABC 、⊥ACB ，OD ⊥BC 于点D ，OD ＝2，⊥ABC 的周长为28，则⊥ABC 的面积为（ ）A ．28B ．14C ．21D ．714．（2022·黑龙江·肇东市第十中学八年级期末）如图，在△ABC 中，AD 平分⊥BAC ，AD ⊥BD 于点D ，DE ∥AC 交AB 于点E ，若AB =8，则DE 的长度是（ ）A ．6B ．2C ．3D ．415．（2022·广西钦州·八年级期中）如图，已知矩形纸片ABCD ，4AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP OF =，则DF 的长为（ ）A ．3911B ．4513C ．175D ．5717二、填空题16．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在⊥ABC 中，⊥B ＝110°，延长BC 至点D 使CD ＝AB ，过点C 作CE ⊥AB 且使CE ＝BC ，连接DE 并延长DE 交AC 于点F ，交AB 于点H ．若⊥D ＝20°，则⊥CFE 的度数为______度．17．（2022·浙江·舟山市普陀第二中学八年级期末）如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边上的高，且AD ，BE 交于点F ，若BF AC =，BD =8，3CD =，则线段AF 的长度为______．18．（2022·浙江·八年级单元测试）如图，已知⊥A ＝⊥D ，EF ⊥BC ，请在空格上添加一个适当的条件，使得⊥ABC ⊥⊥DEF ，则添加的这个条件是________（只要填上一个满足的条件即可）．19．（2022·陕西师大附中八年级期中）如图，ABC 的三边AC 、BC 、AB 长分别为4、5、6．其三条角平分线交于点O ，则::ABO BCO CAO S S S =_____．20．（2022·江苏·八年级单元测试）如图, 在 ABC 中, 90,8cm,10cm ACB AC BC ∠===．点 C 在直线 l 上, 动点 P 从 A 点出发 沿 A C → 的路径向终点 C 运动; 动点 Q 从 B 点出发沿 B C A →→ 路径向终点 A 运动．点 P 和 点 Q 分别以每秒 1cm 和 2cm 的运动速度同时开始运动, 其中一点到达终点时另一点也停 止运动, 分别过点 P 和 Q 作 PM ⊥ 直线 l 于 ,M QN ⊥ 直线 l 于 N ．当点 P 运动时间为___________秒时, PMC 与 QNC 全等．21．（2022·安徽宿州·八年级期末）如图，点A ，E ，F ，C 在一条直线上，若将DEC 的边EC 沿AC 方向平移，平移过程中始终满足下列条件：AE CF =，DE AC ⊥于点E ，BF AC ⊥于点F ，且AB CD =．则当点E ，F 不重合时，BD 与EF 的关系是______．22．（2021·贵州·黔西南州金成实验学校八年级阶段练习）如图，AD是⊥ABC中⊥BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC ＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____．23．（2022·全国·八年级专题练习）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，动点E从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过_____时，由点D、E、B组成的三角形与⊥BCA全等．三、解答题24．（2022·陕西·西工大附中分校八年级期中）如图，Rt⊥ABC中，⊥A＝90°，BD平分⊥ABC交AC于点D，DE⊥BC 于E，点F为AB上一点，且DF＝DC．求证：⊥AFD＝⊥C．25．（2022·云南省楚雄天人中学八年级阶段练习）如图，在⊥ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是⊥CAD 的平分线上一点，EB=EC，过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G．(1)求证：⊥EGB⊥⊥EFC；(2)若AB=3，AC=5，求AF的长．26．（2022·北京·101中学八年级阶段练习）在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，⊥DAE=⊥BAC，连接CE．(1)如图1，当点D在线段CB上，且⊥BAC=90°时，那么⊥DCE= 度；(2)设⊥BAC=α，⊥DCE=β．⊥ 如图2，当点D在线段CB上，⊥BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；⊥ 如图3，当点D在线段CB的延长线上，⊥BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接．．写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．27．（2022·吉林·东北师大附中明珠学校八年级期末）勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．(1)连接BI、CE，求证：△ABI⊥⊥AEC；(2)过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．请利用（1）的结论，直接写出图中与正方形ABDE的面积相等的四边形，它是四边形．(3)应用：若MN＝4，NH＝3，正方形ABDE的边长是．28．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，Rt⊥ACB中，⊥ACB＝90°，AC＝BC，E点为线段CB一动点，连接AE，过点A作AF⊥AE且AF＝AE，过点F作FD⊥AC于点D，如图⊥所示．(1)求证：FD＝AC．(2)若点E为BC中点，连BF交AC于点G，如图⊥，已知CG＝1，求BC的长．29．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABE中，D、C分别在AE、BE上且CD＝CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB 于点H．(1)求证：180ADC B ∠+∠=︒；(2)若AD ＝3，AB ＝8，求AH 的长．30．（2022·四川·富顺第二中学校八年级阶段练习）在直线m 上依次取互不重合的三个点D ，A ，E ，在直线m 上方有AB ＝AC ，且满足⊥BDA ＝⊥AEC ＝⊥BAC ＝α．(1)如图1，当α＝90°时，猜想线段DE ，BD ，CE 之间的数量关系是 ；(2)如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．31．（2022·河北·丰宁满族自治县选将营中学八年级期中）在△ABC 中，△ACB =90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)当MN绕点C旋转到图1的位置时，其他条件不变，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系？写出结论，并写出证明过程.(2)当MN绕点C旋转到图2的位置时，其他条件不变，你在（1）中得到的结论还成立吗？若不成立，请写出你的结论，并加以证明；(3)当MN绕点C旋转到图3的位置时，其他条件不变，你在（1）中得到的结论还成立吗？若不成立，请直接写出结论，（不要求写出证明过程）．参考答案：1．A【分析】由AC⊥BD，可得⊥AOB=⊥COD=90°，根据斜边直角边对应相等的两个直角三角形全等，可得答案．【详解】解：由AC⊥BD，可得⊥AOB=⊥COD=90°，⊥⊥AOB和⊥COD是直角三角形，AO＝CO，AB＝CD，直角边和斜边对应相等，所以用的是斜边和直角边对应相等的方法判定的⊥AOB ⊥⊥COD，故选A．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，准确掌握方法的适用情况是解题的关键．2．C【分析】根据角平分线的性质及点到直线的距离——垂线段最短即可．【详解】解：根据角平分线的性质定理可知，当DF垂直OB时，DF的值最小，最小值为DF=DE=4，故选：C．【点睛】本题考查角平分线的性质定理及点到直线的距离——垂线段最短．3．C【分析】利用基本作图得到AD平分⊥BAC，过D点作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH＝DC＝3，然后利用三角形面积公式求解．【详解】解：由作法得AD平分⊥BAC，过D点作DH⊥AB于H，如图，⊥⊥C＝90°，⊥DC⊥AC，⊥AD平分⊥BAC，DC⊥AC，DH⊥AB，⊥DH＝DC＝3，⊥⊥ABD的面积12=⨯AB×DH12=⨯8×3＝12．故选：C．【点睛】本题主要考查了角平分线的作图和角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．【分析】根据全等三角形的性质可得⊥EBC ＝⊥DCB ，BE ＝CD ，⊥BEC ＝⊥CDB ，⊥DBC ＝⊥ECB ，易证⊥OEB ⊥⊥ODC（AAS ），根据全等三角形的性质依次进行判断即可．【详解】解：⊥⊥EBC ⊥⊥DCB ，⊥⊥EBC ＝⊥DCB ，BE ＝CD ，⊥BEC ＝⊥CDB ，⊥DBC ＝⊥ECB ，在⊥OEB 和⊥ODC 中，EOB DOC BEC CDB BE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊥⊥OEB ⊥⊥ODC （AAS ），故⊥选项符合题意；⊥⊥EBC ＝⊥DCB ，⊥AB ＝AC ，⊥BE ＝CD ，⊥AE ＝AD ，故⊥选项符合题意；没有足够的条件证明⊥EBO ＝⊥OBC ，⊥DCO ＝⊥OCB ，故⊥选项不符合题意；⊥⊥ECB ＝⊥DBC ，⊥OB ＝OC ，故⊥选项符合题意，综上，符合题意的选项有⊥⊥⊥，共3个，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．5．B【分析】先利用HL 判断Rt ⊥ABE ⊥⊥Rt ⊥BAD ，则可对A 选项进行判断；由于BA 与BC 不一定相等，所以不能确定⊥ABE 与⊥CBE 全等，则可对B 选项进行判断；由于Rt ⊥ABE ⊥⊥Rt ⊥BAD ，则AE ＝BD ，则可根据AAS 证明⊥AEF ⊥⊥BDF ，⊥AEF ⊥⊥BDF ，从而可对C 、D 选项进行判断．【详解】解：⊥AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，⊥⊥AEB ＝⊥BDA ＝90°，在Rt ⊥ABE 和Rt ⊥BAD 中，AB BA BE AD⎧⎨⎩＝＝， ⊥Rt ⊥ABE ⊥⊥Rt ⊥BAD （HL ），所以A 选项不符合题意；⊥⊥ABE 与⊥CBE 不一定全等，所以B 选项符合题意；⊥Rt ⊥ABE ⊥⊥Rt ⊥BAD ，⊥AE ＝BD ，在⊥AEF 和⊥BDF 中，AFE BFD AEF BDF AE BD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ⊥⊥AEF ⊥⊥BDF （AAS ），所以C 选项不符合题意；在⊥ADC 和⊥BEC 中，ACD BCE ADC BED AD BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，⊥⊥AEF ⊥⊥BDF （AAS ），所以D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决此类问题的关键．6．B【分析】设点O 到BC 的距离为x ，根据角平分线的性质定理可得点O 到AB ，BC ，AC 的距离相等，都等于x ，再根据111222ABC S AB x BC x AC x =⋅+⋅+⋅△，即可求解． 【详解】解：设点O 到BC 的距离为x ，⊥O 是⊥ABC 的角平分线的交点，⊥点O 到AB ，BC ，AC 的距离相等，都等于x ，⊥⊥ABC 的面积为24，周长为24， ⊥()11111242422222ABC S AB x BC x AC x AB BC AC x =⋅+⋅+⋅=++=⨯=， 解得：x =2．即点O 到BC 的距离为2．故选：B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键． 7．B【分析】过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE ＝CD ，然后利用⊥ABD 的面积列式计算即可得解．【详解】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，⊥⊥C ＝90°，AD 平分⊥BAC ，⊥S △ABD ＝12AB •DE ＝12×10•DE ＝15，解得：DE ＝3，⊥CD ＝3.故选：B.【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．8．B【详解】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求⊥ABD ＝⊥DBC ＝25°，⊥BAG ＝⊥CAG ＝35°，由外角的性质和直角三角形的性质可求⊥EBC ＝5°，故⊥正确；同理可求⊥BFE ＝60°，由直角三角形的性质可得BF ＝2EF ，故⊥正确；由“ASA ”可证⊥ABE ⊥⊥AHE ，可得BE ＝EH ，由直角三角形的性质可得EC ≠BE ，故⊥错误；由“SAS ”可证⊥BFN ⊥⊥BFG ，可得⊥BFN ＝⊥BFG ＝60°，由“ASA ”可证⊥AFD ⊥⊥AFN ，可得AD ＝AN ，即AB ＝BG +AD ，故⊥正确；由角平分线的性质可得NQ ＝NP ，由全等三角形的性质可得S △BFN ＝S △BFG ，S △AFD ＝S △AFN ，可得BFG AFD S BF S AF△△，故⊥正确，即可求解．【解答】解：⊥⊥⊥ACB ＝60°，⊥BAD ＝70°，⊥⊥ABC ＝50°，⊥AG 平分⊥BAC ，BD 平分⊥ABC ，⊥⊥ABD ＝⊥DBC ＝25°，⊥BAG ＝⊥CAG ＝35°，⊥⊥BFE ＝60°，⊥BE ⊥AG ，⊥⊥FBE ＝30°，⊥⊥EBC ＝5°，故⊥正确；⊥⊥ACB ＝60°，⊥⊥BAD +⊥ABC ＝120°，⊥AG 平分⊥BAC ，BD 平分⊥ABC ，⊥⊥ABD ＝⊥DBC ＝12⊥ABC ，⊥BAG ＝⊥CAG ＝12⊥BAC ，⊥⊥BFE ＝⊥ABD +⊥BAG ＝12（⊥ABC +⊥BAC ）＝60°，⊥BE ⊥AG ，⊥BF＝2EF，故⊥正确；⊥如图，延长BE，AC交于点H，⊥⊥BAE＝⊥CAE，AE＝AE，⊥AEB＝⊥AEH＝90°，⊥⊥ABE⊥⊥AHE（ASA），⊥BE＝EH，⊥BC≠AC，⊥EC≠BE，故⊥错误；⊥如图，在AB上截取BN＝BG，连接NF，⊥BN＝BG，⊥ABD＝⊥CBD，BF＝BF，⊥⊥BFN⊥⊥BFG（SAS），⊥⊥BFN＝⊥BFG＝60°，⊥⊥AFD＝⊥AFN＝60°，又⊥⊥BAG＝⊥CAG，AF＝AF，⊥⊥AFD⊥⊥AFN（ASA），⊥AD＝AN，⊥AB＝BG+AD，故⊥正确；⊥如图，过点N作NP⊥BF于P，NQ⊥AF于Q，⊥⊥AFN ＝⊥BFN ＝60°，NP ⊥BF ，NQ ⊥AF ，⊥NP ＝NQ ，⊥S △AFN ＝12×AF ×NQ ，S △BFN ＝12×BF ×NP ， ⊥BFG AFD S BF S AF =△△， ⊥⊥BFN ⊥⊥BFG ，⊥AFD ⊥⊥AFN ，⊥S △BFN ＝S △BFG ，S △AFD ＝S △AFN ， ⊥BFG AFD S BF S AF=△△，故⊥正确， 故选：B ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．9．B【分析】延长BE 交CD 的延长线于点F ，证明∆ABE ≅∆DFE ，得出AE =DE ，AB =DF ，即可判断⊥和⊥正确；过点E 作EM ⊥BC 于点M ，EN ⊥CD 于点N ，由角平分线的性质定理即可判断⊥⊥．【详解】解：延长BE 交CD 的延长线于点F ，⊥AB ⊥CD ，⊥⊥ABE =⊥F ，⊥BE 平分⊥ABC ，⊥⊥ABE =⊥CBE ，⊥⊥BEC =90°，⊥CE ⊥BF ，⊥⊥BCE =⊥FCE ，BE =EF ，⊥⊥AEB =⊥FED ，⊥∆ABE ≅∆DFE ，⊥AE =DE ，AB =DF ，故⊥正确；⊥CF =CD +DF ，⊥BC =CD +AB ，故⊥正确；⊥⊥EDC ≠⊥ECD ，⊥ED ≠EC ，故⊥错误；过点E 作EM ⊥BC 于点M ，EN ⊥CD 于点N ，⊥CE 平分⊥BCD ，⊥EM =EN ， ⊥1·21·2BCE CDE BC EM SBC S CD CD EN ==，故⊥正确； 故选：B ．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．10．C【分析】由三角形中线性质，把三角形分成面积相等的两个三角形，可判定⊥正确；利用SAS 证△BDF ⊥△CDE ，可判定⊥正确，由△BDF ⊥△CDE 得出⊥F =⊥CED ，由平行线的判定定理可得出BF ∥CE ，可判定⊥正确；因为AD 是ABC 的中线，而△ABC 不一定是等腰三角形，所以AD 就不一定平分⊥BAC ，可判定⊥错误；没有条件能证得⊥CAE =⊥ACE ，所以也就不能得出AE =CE ，可判定⊥错误．【详解】解：⊥AD 是ABC 的中线，⊥S △ABD = S △ACD，故⊥正确；在△BDF 和△CDE 中，BD CD BDF CDE DF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥△BDF ⊥△CDE (SAS)，故⊥正确；⊥⊥F =⊥CED ，⊥BF ∥CE ，故⊥正确；⊥AD 是ABC 的中线，没有AB =AC 这个条件，所以AD 不一定是角平分式，故⊥错误；没有条件能证得⊥CAE =⊥ACE ，所以也就不能得出AE =CE ，故⊥错误；综上，正确的有⊥⊥⊥，故选：C ．【点睛】本题考查三角形中线性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，证△BDF ⊥△CDE 是解题的关键． 11．D【分析】根据已知条件，可得⊥OCP ⊥⊥ODP （AAS ），根据全等三角形的性质即可判断．【详解】解：⊥P 是⊥AOB 平分线上的点，⊥⊥COP =⊥DOP ，⊥PD ⊥OB 于点D ，PC ⊥OA 于点C ，⊥⊥OCP =⊥ODP =90°，在⊥OCP 和⊥ODP 中，COP DOP OCP ODP OP OP ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，⊥⊥OCP ⊥⊥ODP （AAS ），⊥PC =PD ，OC =OD ，故⊥⊥选项符合题意，⊥⊥OCP ⊥⊥ODP （AAS ），⊥⊥POC 与⊥POD 的面积相等，故⊥选项符合题意；⊥⊥OCP ⊥⊥ODP （AAS ），⊥⊥OPD =⊥OPC ，⊥⊥POC +⊥OPC =90°，⊥⊥POC +⊥POD =90°，故⊥选项符合题意；综上可知，⊥⊥⊥⊥均符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．12．C【分析】根据角平分线的判定，先证AP 是⊥BAC 的平分线，再证Rt ⊥APR ⊥Rt ⊥APS (HL)，可证得AS =AR ，QP AR ∥成立．【详解】解：如图：连接AP ，⊥PR =PS ，⊥AP 是⊥BAC 的平分线，在Rt ⊥APR 与Rt ⊥APS 中，==AP AP PR PS ⎧⎨⎩⊥Rt ⊥APR ⊥Rt ⊥APS (HL)，⊥AS =AR ，故⊥正确；⊥AQ =PQ ，⊥⊥BAP =⊥QAP =⊥QP A ，⊥QP AR ∥，⊥正确；BC 只是过点P ，并没有固定，故⊥BRP ⊥⊥CSP ⊥不成立．故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，难度适中．13．A【分析】连接OA ，过点O 作OE AB ⊥于点E ，作OF AC ⊥于点F ，则由角平分线的性质定理得：OE =OF =OD =2，再由ABC OAB OBC OCA S S S S =++△△△△即可求得结果．【详解】解：连接OA ，过点O 作OE AB ⊥于点E ，作OF AC ⊥于点F ，如图⊥BO 平分DBA ∠，OE AB ⊥，OD BC ，在BOD 和BOE △中，90OEB ODB OBE OBD BO BO ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥()BOD BOE AAS △≌△，⊥OE =OD =2同理：OF =OD =2⊥OE =OF =OD =2⊥ABC OAB OBC OCA S S S S =++△△△△111222AB OE BC OD AC OF =++ ()12AB BC AC OD =++ =12822⨯⨯ =28⊥28ABC S =△故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积等知识，关键是根据条件构造适合角平分线性质定理条件的辅助线．14．D【分析】分别延长AC 、BD 交于点F ，根据角平分线的性质得到⊥BAD =⊥F AD ，证明△BAD ⊥⊥F AD ，根据全等三角形的性质得到BD =DF ，根据平行线的性质得到BE =ED，EA =ED ，进一步计算即可求解．【详解】解：分别延长AC 、BD 交于点F ，⊥AD 平分⊥BAC ，AD ⊥BD ，⊥⊥BAD =⊥F AD ，⊥ADB =⊥ADF =90°，在△BAD 和△F AD 中，90BAD FAD AD AD ADB ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，⊥⊥BAD ⊥⊥F AD （ASA ），⊥⊥ABD =⊥F ，⊥DE ∥AC ，⊥⊥EDB =⊥F ，⊥EDA =⊥F AD ，⊥⊥ABD =⊥EDB ，⊥EDA =⊥EAD ，⊥BE =ED ，EA =ED ，⊥BE =EA =ED ，⊥DE =12AB =12×8=4， 故选：D ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 15．C【分析】根据折叠的性质与矩形的性质得到DC=DE =4，CP=EP ，90∠=∠=︒E C ，再由三角形全等的判定定理与性质可得OE=OB ，EF=BP ，从而有BF=EP=CP ，设BF=EP=CP=x ，可得用x 表示的AF 、DF 的长，再有勾股定理求得x 的值从而得到DF 的长．【详解】解：由矩形的性质得到：DC=AB=4，AD=BC=3，90A B C ∠=∠=∠=︒，由折叠的性质，得：DC=DE =4，CP=EP ，90∠=∠=︒E C ，在OEF OBP △、△中，EOF BOP E BOF OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， OEF OBP ∴△≌△OE OB EF BP ∴==、，⊥BF=EP=CP设BF=EP=CP=x ，则AF=4-x ，BP=EF=3-x ，DF =DE -EF =4-（3-x ）=x +1，在Rt ADF 中，222AF AD DF += ，即22491x x -+=+（）（）， 125x ∴=， 1715DF x ∴=+= 【点睛】本题考查了矩形得性质，折叠的性质，三角形的判定定理与性质，勾股定理等性质，利用三角形全等的判定定理与性质与线段的和差求出BF=EP=CP 是关键．16．30【分析】证明⊥ABC ⊥⊥DCE ，可得⊥A =⊥D = 20°，然后利用三角形内角和可得⊥DEC =⊥ACB = 50°，进而可以解决问题．【详解】解：⊥CE ⊥AB ，⊥⊥B ＝⊥DCE ，在⊥ABC 与⊥DCE 中，BC CE B DCE BA CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥ABC ⊥⊥DCE （SAS ），⊥⊥A ＝⊥D ＝20°，⊥DEC ＝⊥ACB ，⊥⊥B ＝110°，⊥⊥ACB ＝180°﹣⊥B +⊥A ＝50°，⊥⊥DEC ＝⊥ACB ＝50°，⊥CE ⊥AB ，⊥⊥BHF ＝⊥DEC ＝50°，⊥⊥CFE ＝⊥AFH ＝⊥BHF ﹣⊥A ＝50°﹣20°＝30°．故答案为：30．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到⊥ABC ⊥⊥DCE ．17．5【分析】首先证明⊥BDF ⊥⊥ADC ，再根据全等三角形的性质可得FD =CD ，AD =BD ，根据AD =8，DF =3，即可算出AF 的长．【详解】解：⊥AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边上的高，⊥⊥ADC =⊥FDB =90°，⊥AEB =90°，⊥⊥1+⊥C =90°，⊥1+⊥2=90°，⊥⊥2=⊥C ，⊥⊥2=⊥3，⊥⊥3=⊥C ，在⊥ADC 和⊥BDF 中，3C FDB CDA BF AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥BDF ⊥⊥ADC （AAS ），⊥FD =CD ，AD =BD ，⊥CD =3，BD =8，⊥AD =8，DF =3，⊥AF =8-3=5，故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．18．AC ＝DF 或AF ＝CD （答案不唯一）【分析】根据全等三角形的判定方法解决问题即可．【详解】解：⊥EF ⊥BC ，⊥⊥EFD ＝⊥ACB ，⊥⊥D ＝⊥A ，⊥当DF ＝AC 时，⊥ABC ⊥⊥DEF （ASA ），⊥可以添加条件：AC ＝DF 或AF ＝CD ．故答案为：AC ＝DF 或AF ＝CD (答案不唯一)．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定定理．19．6：5：4【分析】作OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，根据角平分线的性质得到OD =OE =OF，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，⊥三条角平分线交于点O ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，OF ⊥BC ，⊥OD =OE =OF ，⊥::ABO BCO CAO S S S ∆∆∆=AB ：BC ：CA =6：5：4，故答案为：6：5：4．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．20．2或6##6或2【分析】对点P 和点Q 是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；【详解】解：如图1所示：PMC ∆与QNC ∆全等，PC QC ，8102t t ∴-=-，解得⊥2t =；如图2所示：点P 与点Q 重合， PMC 与QNC ∆全等，8210t t ∴-=-，解得⊥6t =；故答案为⊥2或6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．21．BD与EF互相平分【分析】先根据DE⊥AC，B F⊥AC，AE=CF，求证⊥ABF⊥⊥CDE，再求证⊥DEG⊥⊥BFG，即可．【详解】⊥DE⊥AC，BF⊥AC，⊥⊥AFB=⊥CED=90°⊥AE=CF，⊥AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在Rt⊥ABF和Rt⊥CDE中，AF CEAB CD=⎧⎨=⎩，⊥Rt⊥ABF⊥Rt⊥CED（HL），⊥ED=BF．设EF与BD交于点G，由⊥AFB=⊥CED=90°得DE⊥BF，⊥⊥EDG=⊥GBF，⊥⊥EGD=⊥FGB，ED=BF，⊥⊥DEG⊥⊥BFG，⊥EG=FG，DG=BG，⊥BD与EF互相平分．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的理解和掌握，此题难度并不大，但是需要证明多次全等，步骤繁琐，是一道综合性较强的中档题．22．3【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：过D作DF⊥AC于F，⊥AD是⊥ABC中⊥BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，⊥DE=DF，⊥S △ABC =12AB ×DE +12AC ×DF =12×4×2+12AC ×2=7，解得AC =3．故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．23．0，3，9，12【分析】首先分两种情况：当E 在线段AB 上和当E 在BN 上，然后再分成两种情况：AC ＝BE 和AB ＝EB ，分别进行计算，即可得出结果．【详解】解：⊥当E 在线段AB 上，AC ＝BE 时，⊥ACB ⊥⊥BED ，⊥AC ＝6米，⊥BE ＝6米，⊥AE ＝12﹣6＝6米，⊥点E 的运动时间为6÷2＝3（秒）；⊥当E 在BN 上，AC ＝BE 时，⊥ACB ⊥⊥BED ，⊥AC ＝6米，⊥BE ＝6米，⊥AE ＝12+6＝18米，⊥点E 的运动时间为18÷2＝9（秒）；⊥当E 在线段AB 上，AB ＝EB 时，⊥ACB ⊥⊥BDE ，这时E 在A 点未动，因此时间为0秒；⊥当E 在BN 上，AB ＝EB 时，⊥ACB ⊥⊥BDE ，⊥AB ＝12米，⊥BE ＝12米，⊥AE ＝12+12＝24米，⊥点E 的运动时间为24÷2＝12（秒），故答案为：0，3，9，12．【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，解本题的关键在找到所有符合题意的情况．24．见解析【分析】利用HL 证明Rt ADF ⊥Rt EDC ，即可解决问题．【详解】证明：BD 平分ABC ∠，90A ∠=︒，DE BC ⊥，⊥DA DE =，在Rt ADF 和Rt EDC 中，DF DC DA DE=⎧⎨=⎩， Rt ADF ∴⊥Rt (HL)EDC ，AFD C ∴∠=∠．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，得到Rt ADF ⊥Rt EDC 是解决问题的关键． 25．(1)见解析(2)AF 的长为1【分析】（1）先证明⊥AGE ⊥⊥AFE ，即有EG =EF ，结合EB =EC ，即可得Rt ⊥EGB ⊥Rt ⊥EFC ；（2）根据Rt ⊥EGB ⊥Rt ⊥EFC ，⊥AGE ⊥⊥AFE ，可得BG =FC ，AG =AF ，根据AC =5，AC =AF +FC ，BG =AB +AG ，可得AF +FC =AF +BG =AF +AB +AG =2AF +AB =5，即可得2AF +3=5，AF 可求．（1）解：⊥EG ⊥AD ，EF ⊥AC ，⊥⊥EGB =90°=⊥EFC ，⊥⊥EGB 和⊥EFC 是直角三角形，⊥AE 平分⊥CAD ，⊥⊥EAG =⊥EAF ，⊥EA =EA ，⊥⊥AGE ⊥⊥AFE ，⊥EG =EF ，⊥EB =EC ，⊥Rt ⊥EGB ⊥Rt ⊥EFC (HL )，得证；（2）解：⊥在（1）中证得：Rt ⊥EGB ⊥Rt ⊥EFC ，⊥AGE ⊥⊥AFE ，⊥BG =FC ，AG =AF ，⊥AC =5，AC =AF +FC ，BG =AB +AG ，⊥AF +FC =AF +BG =AF +AB +AG =2AF +AB =5，⊥AB =3，⊥2AF +3=5，⊥AF =1，即AF 的长为1．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明⊥AGE ⊥⊥AFE 是解答本题的关键． 26．(1)90(2)⊥α+β=180°；证明见解析；⊥α=β．【分析】（1）易证⊥BAD =⊥CAE ，即可证明△BAD ⊥⊥CAE ，可得⊥ACE =⊥B ，即可解题；（2）⊥易证⊥BAD =⊥CAE ，即可证明△BAD ⊥⊥CAE ，可得⊥ACE =⊥B ，根据⊥B +⊥ACB =180°-α即可解题； ⊥易证⊥BAD =⊥CAE ，即可证明△BAD ⊥⊥CAE ，可得⊥ACE =⊥B ，根据⊥ADE +⊥AED +α=180°，⊥CDE +⊥CED +β=180°即可解题．（1）解：⊥⊥BAD +⊥DAC =⊥BAC =90°，⊥DAC +⊥CAE =⊥DAE =90°，⊥⊥BAD =⊥CAE ，在⊥BAD 和⊥CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥BAD ⊥⊥CAE （SAS ），⊥⊥ACE =⊥B ，⊥⊥B +⊥ACB =90°，⊥⊥DCE =⊥ACE +⊥ACB =90°；故答案为： 90；（2）解：⊥⊥⊥BAD +⊥DAC =⊥BAC =α，⊥DAC +⊥CAE =⊥DAE =α，⊥⊥BAD =⊥CAE ，在⊥BAD 和⊥CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥BAD ⊥⊥CAE （SAS ），⊥⊥ACE =⊥B ，⊥⊥B +⊥ACB =180°-α，⊥⊥DCE =⊥ACE +⊥ACB =180°-α=β，⊥α+β=180°；⊥作出图形，⊥⊥BAD +⊥BAE =⊥BAC =α，⊥BAE +⊥CAE =⊥DAE =α，⊥⊥BAD =⊥CAE ，在⊥BAD 和⊥CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥BAD ⊥⊥CAE （SAS ），⊥⊥AEC =⊥ADB ，⊥⊥ADE +⊥AED +α=180°，⊥CDE +⊥CED +β=180°，⊥CED =⊥AEC +⊥AED ，⊥α=β．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，三角形内角和定理，本题中求证⊥BAD ⊥⊥CAE 是解题的关键．27．(1)证明见解析(2)AMNI(3)2【分析】（1）由正方形的性质得出AB =AE ，AC =AI ，⊥BAE =⊥CAI =90°，得出⊥EAC =⊥BAI ，即可得出△ABI ⊥△AEC (SAS)；（2）证BM ⊥AI ，得出2SABI AMNI S =四边形，同理：2AEC ABDE S S =正方形，由△ABI ⊥△AEC ，即可得出四边形AMNI 与正方形ABDE 的面积相等；（3）由题意可求出矩形AMNI 的面积，从而得出正方形ABDE 的面积，进而可求出正方形ABDE 的边长． （1）证明：⊥四边形ABDE 、四边形ACHI 是正方形，⊥AB ＝AE ，AC ＝AI ，⊥BAE ＝⊥CAI ＝90°，⊥⊥EAC ＝⊥BAI ， 在△ABI 和△AEC 中AB AE BAI EAC AI AC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝⊥△ABI ⊥△AEC (SAS)；（2）证明：⊥BM ⊥AC ，AI ⊥AC ，⊥BM ⊥AI ，⊥2ABI AMNI S S =四边形，同理：2AEC ABDE S S =正方形．又⊥△ABI ⊥△AEC ， ⊥四边形AMNI 与正方形ABDE 的面积相等．故答案为：AMNI ；（3）解：由题意可知四边形AMNI 为矩形，⊥AI =IH =MN =4，⊥IN =IH -NH =1，⊥4AMNI S IN AI =⋅=四边形，⊥4ABDE AMNI S S ==正方形四边形，⊥正方形ABDE 的边长为2．故答案为：2．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．28．(1)证明见解析，(2)BC =4．【分析】（1）证明⊥ADF ⊥⊥ACE 即可；（2）易证⊥FDG ⊥⊥BCG ，则可得出CD 的长度，由（1）可得⊥ADF ⊥⊥ACE ，点E 为BC 中点则点D 为AC 中点，求出AC 即可得到BC 的长度．（1）⊥AF ⊥AE ，⊥⊥EAF =90°，即⊥F AD +⊥CAE =90°，⊥⊥ACB ＝90°，⊥⊥AEC +⊥CAE =90°，⊥⊥AEC =⊥F AD ，⊥FD ⊥AC ，⊥⊥F AD =90°，在⊥ADF 和⊥ACE 中，⊥AEC =⊥F AD ，⊥F AD =⊥ACB ，AF ＝AE ，⊥⊥ADF ⊥⊥ACE ，⊥FD ＝AC ．（2）由（1）可知，FD =AC ，⊥AC =BC ，⊥FD =BC ，在⊥FDG 和⊥BCG 中，⊥FGD =⊥BGC ，⊥FDG =⊥GCB ，FD =BC ，⊥⊥FDG ⊥⊥BCG ，⊥CG =DG ，则CD =2CG =2，⊥⊥ADF ⊥⊥ACE ，⊥AD =CE ，⊥AC =BC ，点E 为BC 中点，⊥点D 为AC 中点，则AC =2CD =4，⊥BC =AC =4．【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，熟练掌握全等三角形对应边和对应角相等以及用AAS 和ASA 判定三角形全等是解题的关键．29．(1)证明见解析(2)5.5【分析】（1）过点C 作CM AE ⊥于点M ，先根据角平分线的性质可得CM CH =，再根据HL 定理证出Rt Rt DMC BHC ≅，根据全等三角形的性质可得CDM B ∠=∠，由此即可得证；（2）过点C 作CM AE ⊥于点M ，先根据全等三角形的性质可得DM BH =，设AH x =，则8DM x =-，11AM x =-，再根据HL 定理证出Rt Rt ACM ACH ≅，根据全等三角形的性质可得AM AH =，据此建立方程，解方程即可得．（1）证明：如图，过点C 作CM AE ⊥于点M ，⊥AC 平分EAB ∠，,CH AB CM AE ⊥⊥，⊥,90CM CH CMD CHB =∠=∠=︒，在Rt DMC 与Rt BHC △中，CD CB CM CH =⎧⎨=⎩， ⊥()Rt Rt HL DMC BHC ≅，CDM B ∴∠=∠，180ADC CDM ∠+∠=︒，180ADC B ∴∠+∠=︒．（2）解：如图，过点C 作CM AE ⊥于点M ，由（1）已证：Rt Rt DMC BHC ≅，DM BH ∴=，设AH x =，则8DM BH AB AH x ==-=-，3AD =，3811AM AD DM x x ∴=+=+-=-，在Rt ACM 和Rt ACH 中，AC AC CM CH =⎧⎨=⎩， ()Rt Rt HL ACM ACH ∴≅，AM AH ∴=，11x x ∴-=，x ，解得 5.5即AH的长为5.5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．30．(1)DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，证明见解析【分析】（1）由⊥BDA＝⊥BAC＝⊥AEC＝90°得到⊥BAD+⊥EAC＝⊥BAD+⊥DBA＝90°，进而得到⊥DBA＝⊥EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA⊥⊥EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由⊥BDA＝⊥BAC＝⊥AEC＝α得到⊥BAD+⊥EAC＝⊥BAD+⊥DBA＝180°﹣α，进而得到⊥DBA＝⊥EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA⊥⊥EAC，最后得到DE＝BD+CE．（1）解：DE＝BD+CE，理由如下，⊥⊥BDA＝⊥BAC＝⊥AEC＝90°，⊥⊥BAD+⊥EAC＝⊥BAD+⊥DBA＝90°，⊥⊥DBA＝⊥EAC，⊥AB＝AC，⊥⊥DBA⊥⊥EAC（AAS），⊥AD＝CE，BD＝AE，⊥DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，⊥⊥BDA＝⊥BAC＝⊥AEC＝α，⊥⊥BAD+⊥EAC＝⊥BAD+⊥DBA＝180°﹣α，⊥⊥DBA＝⊥EAC，⊥AB＝AC，⊥⊥DBA⊥⊥EAC（AAS），⊥BD＝AE，AD＝CE，⊥DE＝AD+AE＝BD+CE；【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．31．(1)DE=AD+BE，理由见解析(2)（1）中结论不成立，结论为DE=AD-BE，理由见解析(3)（1）中结论不成立，结论为DE=BE-AD．【分析】（1）根据AD⊥MN，BE⊥MN，⊥ACB=90°，得出⊥CAD=⊥BCE，再根据AAS即可判定△ADC⊥⊥CEB；根据全等三角形的对应边相等，即可得出CE=AD，CD=BE，进而得到DE=CE+CD=AD+BE；（2）先根据AD⊥MN，BE⊥MN，得到⊥ADC=⊥CEB=⊥ACB=90°，进而得出⊥CAD=⊥BCE，再根据AAS即可判定△ADC⊥⊥CEB，进而得到CE=AD，CD=BE，最后得出DE=CE-CD=AD-BE；（3）运用（2）中的方法即可得出DE，AD，BE之间的等量关系是：DE=BE-AD．（1）解：DE=AD+BE，理由如下：证明：⊥AD⊥MN，BE⊥MN，⊥⊥ADC=⊥ACB=90°=⊥CEB，⊥⊥CAD+⊥ACD=90°，⊥BCE+⊥ACD=90°，⊥⊥CAD=⊥BCE，⊥在△ADC和△CEB中，CAD BCEADC CEBAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥ADC⊥⊥CEB（AAS），⊥CE=AD，CD=BE，⊥DE=CE+CD=AD+BE；（2）解：（1）中结论不成立，结论应为DE=AD-BE，理由如下；证明：⊥AD⊥MN，BE⊥MN，⊥⊥ADC=⊥CEB=⊥ACB=90°，同理可得⊥CAD=⊥BCE，⊥在△ADC和△CEB中，CAD BCEADC CEBAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥ADC⊥⊥CEB（AAS）；⊥CE=AD，CD=BE，⊥DE=CE-CD=AD-BE；（3）解：（1）中结论不成立，结论应为DE=BE-AD．。
《全等三角形》讲义（完整版）
全等三角形讲义一、知识点总结全等三角形定义：形状大小相同，并且能够完全重合的两个三角形叫做全等形三角形。
：形状大小相同，并且能够完全重合的两个三角形叫做全等形三角形。
补充说明：重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
：重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等 全等三角形判定定理：（1）边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等。
（简称SSS ） （2）边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
）边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
((简称SAS) （3）角边角定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（简称ASA ASA）） （4）角角边定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
（简称AAS AAS）） （5）斜边、直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（简称HL HL）） 角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等. .∵OP 平分∠平分∠AOB AOB AOB，，PM PM⊥⊥OA 于M ，PN PN⊥⊥OB 于N ，∴PM=PN 角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上到角的两边距离相等的点在角的平分线上. .∵PM PM⊥⊥OA 于M ，PN PN⊥⊥OB 于N ，PM=PN ∴OP 平分∠平分∠AOB AOB三角形的角平分线的性质：三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
二、典型例题举例A BC PMNO A BCPMN O例1、如图,△ABN ≌△ACM,∠B 和∠C 是对应角,AB 与AC 是对应边,写出其他对应边和对应角.例2、如图，△、如图，△ABC ABC 是一个钢架，是一个钢架，AB=AC AB=AC AB=AC，，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架．的支架．求证：△求证：△ABD ABD ABD≌△≌△≌△ACD ACD ACD．．例3、已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上，AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ． 求证：△ABE ≌△CDF ．例4、如图：、如图：D D 在AB 上，上，E E 在AC 上，上，AB AB AB＝＝AC AC，∠，∠，∠B B ＝∠＝∠C C ．求证AD AD＝＝AE AE．．例5、如图：∠、如图：∠1=1=1=∠∠2，∠，∠3=3=3=∠∠4 求证：求证：AC=AD AC=AD例6、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由吗？说说你的理由D CB ACADB123 4例7、如图1，△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由.例8、如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 交OA 于D ，PE ⊥OB 交OB 于E ，F 是OC 上的另一点，连接DF ，EF ，求证DF ＝EF例9、如图，△ABC 中，AD 是它的角平分线，P 是AD 上的一点，PE ∥AB 交BC 于E ，PF ∥AC 交BC 于F ，求证：D 到PE 的距离与D 到PF 的距离相等的距离相等例10、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积是282cm ，AB ＝20cm ，AC ＝8cm，求DE 的长．AGF CBDE图1AEB DCFAB CDED C EF BA 例10、已知：BE ⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ，求证：①，求证：① △BEC ≌△DAE ；②DF ⊥BC ．例11、如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C ，D 是垂足，连接CD ，求证:（1）∠ECD=∠EDC ；（2）OD=OC ；（3）OE 是CD 的中垂线.三、专题版块三、专题版块 专题一：专题一： 全等三角形的判定和性质的应用全等三角形的判定和性质的应用例1、如图，在△ABC 中，AB=AC ， BAC=40°,分别以AB AB、AC 为边作两个等腰三角形ABD 和ACE ACE，使∠，使∠BAD=∠CAE=90°.(1)求∠DBC 的度数.(2)求证：BD=CE.例2、如图，A B ∥CD,AF CD,AF∥∥DE,BE=CF,DE,BE=CF,求证：求证：求证：AB=CD. AB=CD.例3、如图在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，在BE 延长线上截取BM ＝AC ，在CF 延长线上截到CN ＝AB ，求证：AM ＝AN 。
全等三角形的性质及判定(习题及答案)
全等三角形的性质及判定(习题及答案)全等三角形的性质及判定全等三角形是指具有相等的对应边长和对应角度的两个三角形。
在几何学中，全等三角形有着重要的性质和判定方法。
本文将介绍全等三角形的性质，并提供一些习题及答案，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、全等三角形的性质1. 对应边长相等性质：如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF，则AB = DE, BC = EF, AC = DF。
2. 对应角度相等性质：如果两个三角形的三个角度分别相等，则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF，则∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
3. 边角相等性质：若两个三角形的两边和夹角分别相等，则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF，则AB = DE, ∠A = ∠D, ∠C = ∠F。
4. 斜边和一角相等性质：若两个三角形的一边与一角分别相等，则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF，则AC = DF, ∠A = ∠D。
二、全等三角形的判定方法1. SSS判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等三角形。
即若AB = DE, BC = EF, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。
2. SAS判定法：如果两个三角形的一边和夹角，以及另一边分别相等，则它们是全等三角形。
即若AB = DE, ∠A = ∠D, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。
3. ASA判定法：如果两个三角形的两个夹角和一边分别相等，则它们是全等三角形。
即若∠A = ∠D, ∠B = ∠E, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。
4. RHS判定法：如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，则它们是全等三角形。
即若AC = DF, ∠A = ∠D，则∆ABC≌∆DEF。
三、习题及答案1. 已知∆ABC和∆DEF，且AB = DE, ∠A = ∠D, BC = EF。
证明∠B = ∠E, AC = DF。
全等三角形证明过程训练 (讲义及答案)
全等三角形证明过程训练（讲义）➢ 课前预习1. 判定三角形全等的方法有______，______，______，______，______．2. 在做几何题时，我们往往借助对图形的标注来梳理信息，进而把条件直观化，请学习下图中的标注．①如图1，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ．②如图2，在四边形ABCD 中，连接BD ，∠ABD =∠CDB ，∠ADB =∠CBD ，∠A =∠C ．③如图3，在四边形ABCD 中，连接AC ，BD 相交于点O ，AO =OC ，BO =DO ．ABCDDCBA××DCBAO图1 图2 图33. 数学推理中，有理有据地思考和表达是一项基本的数学素养，请理清思路后，完整书写过程．如图是一个易拉罐的纵截面示意图，易拉罐的上下底面互相平行（AB ∥CD ），用吸管吸饮料时，若∠1=110°，求∠2的度数．ABCD123➢ 知识点睛1. 判定三角形全等的方法有______，______，______，______，______．2. 要证线段相等或角相等，考虑把线段或角放在对应的三角形中证明_________．➢ 精讲精练1. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ．求证：△ACD ≌△AED ．E DCBA2. 如图，已知AD 是△ABC 的中线，分别过点B ，C 作BE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ．求证：BE =CF ．CBFD EA3. 如图，已知AB =AC ，AF =AE ，∠EAF =∠BAC ，点C ，D ，E ，F 共线．求证：BF =CE ．CBFDEA4. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，延长AB 至点D ，连接CD ，以CD 为腰作等腰三角形CDE ，其中∠DCE =90°，DC =EC ，连接BE ．求证：∠DBE =90°．CBDEA5. 如图，在正方形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AB =BC ，E ，F 分别是AB ，AD上的点，且CE =BF ，CE ，BF 相交于点M ． 求证：∠CMB =90°．MABCDE F6. 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，D 为AB 上一点，连接CD ，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ．求证：CF =AE ．ABCD EF7. 已知：如图，C 为BD 上一点，AC ⊥CE ，AC =CE ，∠ABC =∠CDE =90°．若AB =4，DE =2，求BD 的长．AB C DE8. 已知：如图，在等边△ABC 中，BC =8，∠B =∠C =60°，D ，E ，F 分别为边BC ，AB ，AC 上的点，且BE =CD ，∠EDF =60°，若DF =4，求△CDF 的周长．FED CB A【参考答案】 ➢ 课前预习1. SSS ；SAS ；ASA ；AAS ；HL2. 略3. 解：如图，∵AB ∥CD ∴∠1=∠3 ∵∠1=110° ∴∠3=110° ∵∠2+∠3=180° ∴∠2=180°-∠3 =180°-110° =70°➢ 知识点睛1. SSS ；SAS ；ASA ；AAS ；HL2. 全等➢ 精讲精练1. 证明：如图∵DE ⊥AB ∴∠DEA =90° ∵∠C =90° ∴∠C =∠DEA ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2在△ACD 和△AED 中，1 2 C DEA AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边） ∴△ACD ≌△AED （AAS ）∵AD 是△ABC 的中线 ∴BD =CD ∵BE ⊥AD ∴∠BED =90° ∵CF ⊥AD ∴∠CFD =90° ∴∠BED =∠CFD 在△BED 和△CFD 中，1 2 BED CFD BD CD ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∠=∠=（已证）（对顶角相等）（已证） ∴△BED ≌△CFD （AAS ） ∴BE =CF3. 证明：如图，∵∠EAF =∠BAC ∴∠EAF -∠1=∠BAC -∠1 ∴∠2=∠3在△ABF 和△ACE 中，2 3 AB AC AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴△ABF ≌△ACE （SAS ） ∴BF =CE∵∠ACB =90°，∠DCE =90° ∴∠ACB+∠1=∠DCE+∠1 即∠ACD =∠BCE 在△ACD 和△BCE 中，ACD AC BC DC E E C BC ∠=∠=⎧⎪⎨⎪=⎩（已证（已知）（已）知） ∴△ACD ≌△BCE （SAS ） ∴∠2=∠3∵△ECF 中，∠2+∠4+∠DCE =180° △DBF 中，∠3+∠5+∠DBE =180° 又∵∠4=∠5 ∴∠DBE =∠DCE ∵∠DCE =90° ∴∠DBE =90°5. 证明：如图，在Rt △ABF 和Rt △BCE 中，BF CEAB BC =⎧⎨=⎩（已知）（已知）∴Rt △ABF ≌Rt △BCE （HL ） ∴∠1=∠2∵∠1+∠3=∠ABC =90° ∴∠2+∠3=90° ∴∠CMB =90°∵AE ⊥CD ，BF ⊥CD ∴∠AEC =∠CFB =90° ∵∠ACB =90° ∴∠1+∠2=90° 又∵∠2+∠3=90° ∴∠1=∠3在△CFB 和△AEC 中，1 3 BC C CFB A A EC ⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠=∠（已证）（已证）（已知） ∴△CFB ≌△AEC （AAS ） ∴CF =AE7. 解：如图，∵AC ⊥CE ∴∠ACE =90°∵∠1+∠ACE +∠2=180° ∴∠1+∠2=90° ∵∠ABC =90° ∴∠1+∠A =90° ∴∠A =∠2在△ABC 和△CDE 中，2ABC CDE A AC CE ∠=∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩==（已知）（已证）（已知） ∴△ABC ≌△CDE （AAS ） ∴BC =DE ，CD =AB ∵AB =4，DE =2∴BD =BC +CD =DE +AB =2+4=6在△BDE 中，∠B =60° ∵∠B +∠1+∠2=180° ∴∠1+∠2=120° ∵∠1+∠EDF +∠3=180° ∠EDF =60° ∴∠1+∠3=120° ∴∠2=∠3在△BED 和△CDF 中，23 BE CD B C ∠=∠⎧⎪⎨⎪∠=∠=⎩（已知）（已知）（已证） ∴△BED ≌△CDF （ASA ） ∴BD =CF ∵DF =4，BC =8∴CD +CF +DF =CD +BD +DF =BC +DF =8+4=12 ∴△CDF 的周长为12。
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八年级数学学案（总第节）
设计老师执教老师上课班级学生姓名
教学
内容
全等三角形判定定理精讲精练审核
教学目标全面复习全等三角形及有关性质，掌握三角形全等的判定的四个方法。
能综合运用各种判定方法来证明线段和角相等。
掌握常规的作辅助线的方法。
教学
重点
综合运用各种判定方法来证明线段和角相等.
教学
难点
常规的作辅助线的方法。
教学过程
教学内容及学生活动时
量
教师活动
一．新课导入
1.三角形三边关系定理：。
2.三角形的内角和及推论：。
3.三角形的外和：。
4.全等三角形的性质；
5.全等三角形对应元素的寻找方法；
6.全等三角形的判定（四种方法）。
分别是。
注意有边边角和角角角是不能用的。
教学内容及学生活动
时
量
教师活动
二．自主学习
1、下列命题中，不正确的是（）
（A）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
（B）面积相等的两个直角三角形全等
（C）有一边相等的两个等边三角形全等
（D）有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等。
2、如图，在∆ABC中，AB=AC，D、E、F依次是各边的中点，
AD、BE、CF相交于G，那么图中的全等三角形共有（）（A）5对（B）6对（C）7对（D）8对
2题3题
3、已知：如图，∆ABC中，∠C=90︒,，AC=BC，AD平分∠CAB
交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6CM，则∆DEB的周长为（）（A）4 （B）6 （C）10 （D）以上全不对
三．合作交流
例1已知：如图，在∆ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD
与BE相交于H，且BH=AC，求∠HCD
的度数。
例2已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于
E，且∠B+∠D=180︒，求证：AE=AD+BD
A
B
D
C
E
1
2
A
B C
D
E
H。