相似三角形射影定理的运用
高中 相似三角形的应用 射影定理(教学设计)
相似三角形的应用·射影定理（教学设计）怀化市铁路第一中学高用一、教材衔接分析初中阶段，《相似三角形的应用》是湖南教育出版社义务教育教科书《数学》九年级上册第3章第五节内容，射影定理以习题的形式出现在第3章复习题B组第12题，属于基于教材又高于教材的拓展性内容，学习射影定理可以进一步熟练掌握相似三角形的应用，同时也是相似三角形应用得出的重要结论，其本质是一种特殊且非常常见的相似三角形模型，熟悉这种模型对于很多平面几何问题的证明有非常重要的作用．高中阶段，原人教A版《数学》选修4-1《几何证明选讲》中专门有一节《直角三角形的射影定理》，在新高中课程中，相似三角形的应用和射影定理在基本不等式的几何解释、平面向量、立体几何和解析几何中都有重要的应用，还是物理学科中力的分析、几何光学等的重要数学基础．另外，平面几何证明思路的探寻过程中常用执果索因的方法，也就是高中阶段所说的分析法，这是思维层面的初高中衔接．二、教学目标1、能够熟练应用相似三角形证明射影定理及一些简单问题，发展学生几何直观、逻辑推理的核心素养；2、理解射影定理、熟悉射影定理的基本图形，并能利用射影定理求解和证明一些简单问题．三、教学重难点教学重点：1、熟练应用相似三角形的性质；2、理解射影定理、熟悉射影定理的基本图形，熟练利用射影定理求解或证明问题．教学难点：熟练应用相似三角形的性质、射影定理解决问题四、教学方法从回顾相似三角形的性质和判定定理入手，先探究射影定理，再引申到“歪射影定理”，形成问题探究、基础训练、思维拓展、反思提高四个教学环节．采取课堂讨论、问题探究的教学方法，发挥教师的主导作用，尽可能调动学生的积极性，参与到学习中来，学会构建数学模型解题，让学生在愉快的氛围中自然构建自己的知识体系．五、教学过程（一）旧知回顾相似三角形的判定：1、平行于一边的直线截得的三角形与原三角形相似；2、两角对应相等；3、三边对应成比例；4、两边对应成比例且夹角相等．若两三角形相似，则1、对应长度成比例，2、对应角相等．【设计意图】通过复习相似三角形判定方法和两三角形相似可以得到的结论，为进一步熟练应用相似三角形定下基调，更为探究射影定理作准备．（二）问题探究中，CD为斜边AB上的高．探究1：如图，在Rt ABC问题：图中有哪些相似三角形？由这些相似三角形，你能得到哪些与长度有关的结论？（学生自行探究并上黑板展示，教师点评并加以引导）例如，由ADC CDB ∆∆ ，可得CD AD AC BD CD BC==，从而可得2CD AD BD =⋅．类似地，可得2AC AD AB =⋅2BC BD BA=⋅【设计意图】通过引导学生自主探究射影定理，使学生进一步熟练应用相似三角形，同时在已有的知识基础上探究新知，符合学生最近发展区，体现数学自然生成的教学理念．注意到，CD AB ⊥，垂足为D ，则称点D 为点C 在AB 上的正射影，那么线段AD 为线段AC 在AB 上的正射影，线段BD 为线段BC 在AB 上的正射影．探究1得到的三个等式都反映了两直角边在斜边上的射影与其他线段之间的关系，因而称之为射影定理．直角三角形中的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项．（教师强调射影定理的图形特征：“双垂直结构”）【设计意图】介绍射影定理命名的缘由，让学生对定理理解更加形象、深刻，也使学生对射影定理的识记更加容易，培养学生用模型解决问题的能力．定理的初步应用例1如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，已知90ACB ∠=︒，2AD =，8DB =．求CD 、AC 和BC 的长．【解析】在Rt ABC ∆中，CD AB ⊥，则由射影定理有22816CD AD BD =⋅=⨯=，则4CD =，221020AC AD AB =⋅=⨯=，则AC =281080BC BD BA =⋅=⨯=，则BC =．【设计意图】通过例1对射影定理进行最直接、最简单的运用，让学生基本熟悉射影定理．思考：若AD a =，DB b =，计算CD 的长；当点C 在 AB 上运动时，ACB ∠始终为90︒，比较CD 与AB 的长度，你发现了什么结论？易得CD =，AB a b =+，当点C 在 AB 上运动时，CD 的长不超过圆的半径，2a b +≤（基本不等式）．【设计意图】在例1的基础上进行一般化，通过观察CD 长度的变化得到不等式2a b +≤，为高中学习基本不等式、理解基本不等式作铺垫．探究2：如图，已知ABC ∆中，D 为AB 上一点，且BCD BAC ∠=∠．是否还能得到类似在直角三角形中射影定理的结论？（学生自主探究，并展示成果）成果展示：因为BCD BAC ∠=∠，又同角B ∠，所以BCD BAC ∆∆ ，从而BD BC BC BA=，即2BC BD BA =⋅．教师点评：虽然ABC ∆不是直角三角形，D 也不再是C 在AB 上的正射影，但有BCD BAC ∆∆ ，从而仍得到一个类似直角三角形中射影定理的结论2BC BD BA =⋅，我们形象地称之为“歪射影定理”．【设计意图】“歪射影定理”的基本图形是一种较为常见的相似三角形的形式，通过“歪射影定理”的探究，主要是让学生熟悉这种相似三角形的图形结构特征，建立起一种解题模型，在较为复杂的证明问题中能快速识别图形，并用相似三角形求解．同时，引入“歪射影定理”还可以激发学生的学习兴趣，可以为今后学习圆幂定理奠定基础．（三）应用提升例2如图，AD 为Rt ABC ∆斜边BC 边上的高，过点B 作BE BA =，连接,ED EC ．求证：BED BCE ∠=∠．【思路分析】要证BED BCE ∠=∠，因为EBD CBE ∠=∠，只要证EBD CBE ∆∆ ，只要证BE BD BC BE=，即2BE BD BC =⋅，不难发现BA BE =，则只要证2AB BD BC =⋅，这就是射影定理，于是思路打通．【证明】由射影定理可得2AB BD BC =⋅，因为BA BE =，所以2BE BD BC =⋅，即BE BD BC BE=，又EBD CBE ∠=∠，所以EBD CBE ∆∆ ，从而BED BCE ∠=∠．例3如图，点D 为Rt ABC ∆直角边斜边AC 延长线上一点，连接BD ．过点A 分别作BC 、BD 的垂线，垂足分别为,E F ，连接EF ．求证：EF BD BE CD ⋅=⋅．【思路分析】要证EF BD BE CD ⋅=⋅，只需证EBF DBC ∆∆ ，因为EBF DBC ∠=∠，只要证BE BF BD BC=，即BE BC BF BD ⋅=⋅，联系题目的垂直条件，容易想到射影定理2AB BE BC =⋅，2AB BF BD =⋅，从而思路打通．【证明】由射影定理，有2AB BE BC =⋅，2AB BF BD =⋅，所以BE BC BF BD ⋅=⋅，即BE BF BD BC=，又EBF DBC ∠=∠，所以EBF DBC ∆∆ ，从而EF BE CD BD =，即EF BD BE CD ⋅=⋅．【设计意图】通过例2和例3，使学生进一步熟练应用相似三角形和射影定理、熟悉定理的基本图形，体会结论倒推法分析证明思路的思维方法，提升学生思维能力．（四）课堂小结1、射影定理、歪射影定理及其图形特征，本质上是一种特殊且常见的相似三角形模型；2、平面几何证明思路探寻方法：结论倒推法（执果索因法）．【设计意图】通过课堂小结进一步巩固本节课所学所得．。
相似三角形射影型例题
相似三角形射影型例题
射影定理模型，是和直角三角形有关的三角形相似，最经典的模型了。
在很多考题中都有出现。
这个模型的证明也很简单，也是利用两组角对应相等，得出三角形相似，再得出边之间的比例关系。
当然，我们也常常把这个结论，再引申了一下，变成了某边的平方=某两边的乘积。
如上图，从直角三角形的直角顶点，向斜边作高，这样得出来的三个直角三角形都是相似的。
后面的结论1，结论2，结论3，也就出来了。
这些的结论不要死记硬背，在理解的基础上，就很容易记住。
射影定理，是基础考题，在压轴大题，也应用广泛。
特别是一些隐藏着的摄影定理模型，要善于观察和发现，信手拈来。
例题1，例题2，是最基础的。
这个几个空，先好好的学，一步步的推导，理解了，也就理解了。
例题3，正方形中，若有如图的两线垂直，我们可以想到，除了三垂直三角形全等以外，三角形相似，射影定理也是需要考虑到的。
几何学中的射影定理和相似三角形——几何知识要点
几何学中的射影定理和相似三角形——几何知识要点几何学是研究空间和形状的学科，其中射影定理和相似三角形是其中重要的概念和定理。
本文将介绍这两个知识点，并探讨它们在几何学中的应用。
一、射影定理射影定理是几何学中的重要定理之一，它描述了两条平行线与一条横截线所形成的射影关系。
射影定理可以用于求解平行线之间的距离、角度和比例等问题。
射影定理的几何表述如下：当一条横截线与两条平行线相交时，它们所形成的对应的线段长度相等。
换句话说，射影定理说明了平行线与横截线之间的相似关系。
射影定理的应用非常广泛。
在建筑设计中，我们常常需要确定建筑物的高度、宽度等尺寸，射影定理可以帮助我们通过测量建筑物的阴影长度来确定其实际尺寸。
在地理测量中，射影定理也可以用于确定高山的高度、河流的宽度等。
二、相似三角形相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形之间存在一种特殊的比例关系，即对应边的比例相等。
相似三角形的判定条件有两种：AAA判定和AA判定。
AAA判定是指两个三角形的对应角度相等，而AA判定是指两个三角形的两个对应角度相等且对应边成比例。
相似三角形的性质有很多。
首先，相似三角形的对应角度相等，对应边成比例。
其次，相似三角形的周长和面积之间也存在一定的比例关系。
另外，相似三角形的高度、中线、角平分线等也成比例。
相似三角形在几何学中的应用非常广泛。
例如，在地图上测量两座建筑物之间的距离时，我们可以利用相似三角形的性质来计算。
此外，在工程设计中，相似三角形也可以用于计算物体的尺寸、角度等。
总结：几何学中的射影定理和相似三角形是非常重要的知识点。
射影定理描述了平行线与横截线之间的射影关系，可以用于求解距离、角度和比例等问题。
相似三角形是具有相同形状但大小不同的三角形，其对应边成比例。
相似三角形的性质有很多，可以用于计算距离、尺寸和角度等。
这些知识点在实际应用中具有广泛的用途，对于几何学的学习和应用都具有重要意义。
通过学习射影定理和相似三角形，我们可以更好地理解和应用几何学知识，提高解决实际问题的能力。
九年级相似三角形射影定理与比例中项经典讲义
射影定理与比例中项射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．即CD2=AD·BD；AC2=AD·AB；BC2=BD·AB比例中项：如果a:b=b:c，或b2=ac，那么，b 就叫做a、c的比例中项。
1、已知直角三角形ABC中，斜边AB=5cm,BC=2cm，D为AC上的一点，DE AB⊥交AB于E，且AD=3.2cm，则DE= （）A、1.24cmB、1.26cmC、1.28cmD、1.3cm2、如图1-1，在Rt ABC中，CD是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（）线段的长，就可以求其他线段的长A、1B、2C、3D、43、在Rt ABC中，90BAC∠=，AD BC⊥于点D，若34ACAB=，则BDCD=（）A、34B、43C、169D、9164、如图1-2，在矩形ABCD中，1,3DE AC ADE CDE⊥∠=∠，则EDB∠=（）A、22.5B、30C、45D、60【填空题】5、ABC中，90A∠=，AD BC⊥于点D，AD=6，BD=12，则CD=____，AC= ____，22:AB AC= ___________。
6、如图2-1，在Rt△ABC中，90ACB∠=，CD AB⊥，AC=6，AD=3.6，则BC=_____．7、如图已知CD是△ABC的高，DE⊥CA,DF⊥CB，求证：△CEF∽△CBA8、已知90CAB∠=，AD CB⊥，△ACE，△ABF是正三角形，求证：DE DF⊥OADEFAC9、如图3-2，矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，M 是BC 的中点，DE AM ⊥，E 是垂足，求证：224DE a b =+10、如图（３），已知：等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，高AD 、BE 交于点Ｈ，求证： DH •DA=41BC 211、已知如图△ABC 中，AD 平分∠ABC ，AD 的垂直平分线交AB 于点Ｅ，交AD 于点Ｈ，交AC 于点Ｇ，交BC 的延长线于点Ｆ， 求证：DF 2＝CF •BFHBFE参考答案1、C2、B3、C4、C5、3,35,4:16、 87、证明：在Rt ADC 中，由射影定律得，2CD CE AC =，在Rt BCD 中，同理得 2CD CF BC =,CE BCCE AC CF BC CF AC ∴=∴=又ECF BCA ∠=∠，CEFCBA ∴ 8、证明：如图所示，在Rt BAC 中，22,AC CD CB AB BD BC == 22AC CD CD CD CD ADAB BD CD BD AD AD BD ∴=====,,AE ADAC AE AB AF BF BD ==∴=60,60,FBD ABD EAD CAD ABD CAD ∠=+∠∠=+∠∠=∠又 FBD EAD ∴∠=∠，,EAD FBD BDF ADE ∴∴∠=∠ 90FDE FDA ADE FDA BDF ∴∠=∠+∠=∠+∠= DE DF ∴⊥9、证明：在Rt AMB 和Rt ADE 中，AMB DAE ∠=∠，90ABM AED ∠=∠= 所以Rt AMB ～Rt ADE所以AB AMDE AD =，因为AB=a ，BC=b ， ACD所以224AB ADDE AMb a ===+ 10、证△ABD ∽△BDH 即可11、证明：连ＡＦ， ∵ＦＨ垂直平分ＡＤ， ∴ＦＡ＝ＦＤ， ∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ， ∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ， ∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC 公共，∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ＢＦＡＦ＝ＡＦC Ｆ，∴ＡＦ２＝ＣＦ•ＢＦ，∴ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。
2017中考射影定理及其运用
相似三角形------射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。
一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。
一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。
二、变式推广１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。
２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。
（后文简称：射影定理变式（2））如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。
三、应用例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。
（证明略）例２ 如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分， 求ＤＣ。
分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故有ＣＤ２＝ＤＥ•ＤＢ，易求得ＤＣ＝８(解略)例3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。
相似三角形中的射影定理知识讲解
相似三角形――相似直角三角形及射影定理【知识要点】1直角三角形的性质:(1) 直角三角形的两个锐角 _____________ (2)Rt A ABC 中，/ C=90o ，贝U2+(3) 直角三角形的斜边上的中线长等于2、已知，△ ABC 中，/ ACB=90 ° , CD 丄 AB 于 D 。
( 1)若 AD=8 , BD=2，求 AC 的长。
(2)若 AC=12 , BC=16，求 CD 、AD 的长。
精品文档(4)等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为(5)有一个锐角为30o 的直角三角形，30o 所对的直角边长等于 ，且三边长的比值为2、直角三角形相似的判定定理(只能用于选择填空题)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。
3、双垂直型：Rt A ABC 中，/ C=90o , CD 丄 AB 于 D ，则① S s②射影定理：CD 2= ______【常规题型】AC 2= _____ BC 2= ____1 已知：如图，△ ABC 中，/ ACB=90【典型例题】例1.如图所示，在厶ABC 中，/ ACB=90BM 2=MN • AM 。
例2.已知：如图，在四边形 ABCD 中，/ ABC= / ADC=90 o , DF 丄AC 于E ，且与 AB 的延长线相交 于F ,与BC 相交于G 。
求证：AD 2=AB • AF【拓展练习】1、已知：如图， AD 是厶ABC 的高，BE 丄AB , AE 交BC 于点F , AB • AC=AD • AE 。
求证：△ BEFACF,AM 是BC 边的中线，CN 丄AM 于N 点，连接BN ,求证:例 3. (1)已知 ABC 中， ACB 90 , CD 高，这时 DEF 和 CAB 是否相似？AB ，垂足为D , DE 、DF 分别是 ADC 和 BDC 的CBCFD3、已知，如图，CE 是直角三角形斜边 AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点 P ,连结AP, BG AP ,垂足为G ，交CE 于D ，求证：CE 2 PE DE .4、如图，在四边形ABCD 中，B AD 2 AB AE 。
子母型相似射影定理
子母型相似射影定理一、引言子母型相似射影定理是几何学中一个重要的定理，它可以帮助我们解决一些与相似三角形相关的问题。
在此文章中，我们将详细介绍子母型相似射影定理的定义、性质和应用，并通过实例来说明其实际运用。
二、子母型相似射影定理的定义子母型相似射影定理是指：在两个相似的三角形中，通过一条平行于两个相似三角形的边的直线，可以得到两个相似三角形的射影比相等。
三、子母型相似射影定理的性质1. 子母型相似射影定理适用于任意相似的三角形，无论是等腰三角形、直角三角形还是一般三角形。
2. 子母型相似射影定理适用于平面内的相似三角形，不限于特定的几何形状。
3. 子母型相似射影定理可以帮助我们推导出两个相似三角形的其他性质，如高度、中线、角平分线等。
四、子母型相似射影定理的应用1. 求解相似三角形的边长比例: 根据子母型相似射影定理，我们可以通过已知的边长比例和一个已知边长，求解另一个相似三角形的边长。
2. 求解相似三角形的面积比例: 根据子母型相似射影定理，我们可以通过已知的边长比例，求解相似三角形的面积比例。
3. 求解相似三角形的角度比例: 根据子母型相似射影定理，我们可以通过已知的边长比例，求解相似三角形的角度比例。
4. 推导其他与相似三角形相关的性质: 根据子母型相似射影定理，我们可以推导出相似三角形的高度、中线、角平分线等性质，从而解决更复杂的几何问题。
五、实例分析现在我们通过一个实例来说明子母型相似射影定理的应用。
已知三角形ABC和三角形DEF相似，且AB/DE=2/3，BC/EF=4/5，求解三角形ABC和三角形DEF的面积比例。
解：根据子母型相似射影定理，我们可以得到AB/DE=BC/EF，即AC/DF=2/3*4/5=8/15。
由于三角形ABC和三角形DEF相似，所以它们的面积比例等于边长比例的平方，即[ABC]/[DEF]=(AC/DF)^2=(8/15)^2=64/225。
因此，三角形ABC和三角形DEF的面积比例为64/225。
三角形的射影定理
三角形的射影定理篇一：三角形的射影定理是一个重要的几何定理，它描述了一个三角形在某个边上的射影与其对边之间的关系。
具体而言，射影定理指出，如果一个点在三角形的一条边上，那么该点的射影将与另外两条边的射影成一比例。
假设有一个三角形ABC，其中点D位于边AB上。
根据射影定理，我们可以得出以下结论：1. 若点D在边AB的延长线上，则AD与AC的射影成比例。
2. 若点D在边AB上，则AD与BC的射影成比例。
3. 若点D在边AB之外，则BD与BC的射影成比例。
这个定理的应用非常广泛，特别是在解决相关三角形的问题时。
例如，我们可以利用射影定理来证明两个三角形相似。
如果两个三角形的对应边在同一直线上的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
此外，射影定理还可以用于解决三角形的边长和角度的问题。
通过确定一个点在三角形边上的位置，并利用射影定理，我们可以推导出其他相关边长和角度的数值。
总之，射影定理是解决三角形相关问题的重要工具之一。
它可以帮助我们理解三角形内部的几何关系，并应用于解决三角形的相似性、边长和角度等问题。
篇二：射影定理是几何学中的一个重要定理，它描述了一个三角形的某一边上的线段在三角形的另外两边上的射影长度之和等于该边上的线段长度。
具体来说，如果在三角形ABC中，有一条线段DE平行于边BC，其中D在AB上，E在AC上，那么DE与BC的长度之比等于AD与AB的长度之比，即DE/BC = AD/AB。
这个定理的证明可以通过相似三角形的性质来进行。
根据三角形ABC和ADE的相似性，我们可以得到DE/BC = AD/AB。
因此，射影定理得证。
射影定理在几何学中有着广泛的应用。
例如，在测量不便的情况下，我们可以利用射影定理来计算无法直接测量的长度。
另外，射影定理也为解决一些几何问题提供了便利，比如在构造中确定点的位置或者计算三角形的面积等。
除了射影定理的基本形式之外，还存在一些相关的定理和性质。
例如，如果在三角形ABC中，有一条线段DE平行于边BC，其中D在AB上，E在AC上，那么AD 与DE的长度之比等于AB与BC的长度之比，即AD/DE = AB/BC。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相似三角形----射影定理的推广及应用
射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中 应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。
一般地，若将定理中的直角三 角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广）
，而此结论又可作为证明其
它命题的预备定理及联想思路， 熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时, “柳暗花明又一村”地迎刃而解。
下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。
一、 射影定理
射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项； 上的射影和斜边的比例中项。
如图（1） : R t △ABC 中，若CD 为高， 则有c D 2=BD ?AD
BC 2 = BD ?AB 或
AC 2 = AD ?AB 。
（证明略）
二、 变式推广
1 •逆用 如图（1）:若AABC 中，CD 为高，且有DC
2 =
AD 或AC 2 =AD ?AB 或BC 2=BD ?AB ，则有ZDCB = ZA 或/ACD = /B ，均可等到AAB C 为直角三角形。
（证明略）
2 •—般化，若AABC 不为直角三角形，当点D 满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。
文简称：射影定理变式（2））
（证明略）
三、应用
例1 如图（3）,已知：等腰三角形ABC 中， AB-AC,高AD 、 BE 交于点H, 求证：4DH ?DA=BC 2
分析： 易证ZBAD = ZCAD =900- / C -Z HBD 联想到射影定理变式（2）,可得
BD 2 = DH ? DA,又BC-2BD ，故有结论成立。
（证明略） 例2 如图（4）:已知OO 中，D 为弧AC 中点，过点D 的弦BD 被弦AC 分为4和12 两部分，
如图（2） : △ABC 中， D 为 AB 上 一点，若 ZCDB = ZACB ，或/ DCB = ZA ，则有△CDBs^ACB ，可得BC
2 = BD ?AB;反之，若AA BC 中，D 为AB 上 一点，且有BC
2 = BD ?AB,则有△CDBs^ACB, 可得到ZCDB = ZACB ，或ZDCB = ZAo
且每条直角边都是它在斜边
（后
原
1 >
分析：易得到ZDBC = ZABD = ZDCE ，满足射影定理变式（ 2 ）的条件,
故有CD 2 = DE ?DB,易求得DC=8
（解略）
例3 已知：如图（5）, △ABC 中，AD 平分ZBAC,AD 的垂直平分线交
AB 于点E,交AD 于点H,交AC 于点G,交BC 的延长线于点F,
2
求证：DF =CF ? BF 。
证明：连AF,
TFH 垂直平分AD,
•••FA=FD,
ZFAD = ZFDA,
VAD 平分 /BAC,「./CAD = /BAD, .•ZFAD -ZCAD = ZFDA-ZBAD, •••/FAC = /B ，又 ZAF C 公共,
2 2
• AF =CF ? BF,「.DF =CF ?BF 。
射影定理练习 【选择题】
1、 已知直角三角形 VABC 中，斜边AB=5cm,BC=2cmD 为AC 上的一点，DE AB 交AB 于E ,且AD=3.2cm, 则
DE=（
）
A 、1.24cm
B 、1.26cm
C 、1.28cm
D 、1.3cm 2、
如图1-1，在Rt VABC 中，CD 是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（
）线段
的长，就可以求其他线段的长 A 、
1 B 2
C 3
D 、4
3、
在 Rt VABC 中， BAC 90°, AD
BC 于点 卄AC
D,若
-
3
BD ，则
(
)
AB 4
CD
A 、
3 o
4
C 16 9 B 、
、 -
D
4
3
9
16
4、
如图1-2，在矩形 ABCD 中,
DE
AC,
ADE 1
-CDE , 则
EDB (
)
3
A
、
22.5° B 、30°
C 、45°
D 、 60°
【填空题】
5、 VABC 中， A 90°, AD BC 于点 D, AD=6 BD=12 则 CD= _____________ , AC= __________
2 2
___ , AB : AC = __________ 。
6、 ______________________________________________________________________________________ 如图 2-1，在 Rt VABC 中， ACB 90°, CD AB , AC=6 AD=3.6，贝U BC= ____________________________.
•••△AFCs^BFA,
AF _ C F
BF AF
•/ZB = ZFDA -ZBAD,
7、已知CD是VABC 的高，DE CA,DF CB，如图3-1，求证：VCEF s VCBA
8、已知CAB 90°, AD CB , VACE, VABF
角形，求证：DE DF
9、如图3-2，矩形ABCD中, AB=a, BC=b M是BC 的
DE AM , E是垂足，求证：DE ——2ab :
740^
10、如图，在Rt△ ABC中，CD是斜边AB上的高，点M
上, DH L BM且与AC的延长线交于点E.求证：
(AEB A CBM
(2) AE?CM=AC?CD
11、已知：如图，等腰△ ABC中，AB=AC AD丄BC于D,
做射线BG交AD AC于E、F两点，与过点C平行于父于
点Go
求证：(1) B W=EF?EG
(2)若过点B的射线交AD\AC的射线AD、长
线分别于E、F两点，与过C平行于AE的直线交于点
()的结论是否成立，若成立，请说明理由。
参考答案
C
1
、
2、B
3、C
4、C
5
、
3, 3、5, 4:1
6、7、
8
证明: 在Rt VADC 中, 由射影定律
得,
9、
CD2 CEgAC ,
又Q ECF
证明：如图所示，在
FBD EAD
AB
在RtVBCD 中，CD2 CFgBC
BCA, VCEF : VCBA
RtVBAC 中，AC2 CDgCB,AB2
,VEAD
证明：在RtVAMB 和RtVADE
BDgBC
:VFBD, BDF ADE
中，AMB DAE , ABM AED 90°
所以RtVAMB 〜RtVADE
AB AM
所以，因为AB=a, BC=b
DE AD
所以DE
ABgAD
AM
_2ab_
4a2b2
中占
I
八
、、
CD
过点B
的直线
C的延
G ,则
10、证明：(1 )•••△ ABC是直角三角形,
11、「./ A+Z ABC=90 ,
12、T CD! AB,
13、「.Z CDB=90 ,
14、即/ MCB+/ ABC=90 ,
15、.・./ A=Z MCB
16、T CDL AB,
17、.・./ 2+Z DMB=90 ,
18、T DH L BM
19、.・./ 1+Z DMB=90 ,
20、「./ 仁/ 2,
21、又•••/ ADE=90 +/ 1,Z CMB=90 +/2,
22、「./ ADE玄CMB
23、.山AED^A CBM
24、
25、（2）•••△ AED^A CBM
26、「. AE: AD=CB CM
27、「. AE?CM=AD?CB
28、TA ABC是直角三角形，CD是AB上的高，
29、.山ACD^A CBD
30、「. AC: AD=CB CD,
31、「. AC?CD=AD?CB
32、「. AE?CM=AC?CD
33、连结EC证明先BE=EC再证△ CEF s^ GEC。