2017中考射影定理及其运用
2017中考射影定理及其运用
相似三角形------射影定理的推行及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很普遍，若能专门好地把握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的成效。
一样地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可取得类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地把握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。
一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。
二、变式推行１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，都可等到△ＡＢＣ为直角三角形。
２．一样化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ知足必然条件时，类似地仍有部份结论成立。
（后文简称：射影定理变式（2））如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可取得∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。
三、应用例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。
（证明略）例２ 如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部份，求ＤＣ。
分析：易患到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，知足射影定理变式（2）的条件，故有ＣＤ２＝ＤＥ•ＤＢ，易求得ＤＣ＝８(解略)例3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。
2017中考射影定理及其运用
相似三角形------射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。
一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。
一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。
二、变式推广１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。
２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。
（后文简称：射影定理变式（2））如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。
三、应用例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。
（证明略）例２ 如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分， 求ＤＣ。
分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故有ＣＤ２＝ＤＥ•ＤＢ，易求得ＤＣ＝８(解略)例3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。
相似射影定理私人整理
相似三角形（射影定理及角平分线的性质）射影定理：【知识要点】1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角（2）Rt △ABC 中，∠C=90º，则 2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于（4）等腰直角三角形的两个锐角都是 ，且三边长的比值为（5）有一个锐角为30º的直角三角形，30º所对的直角边长等于 ，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
3、双垂直型：Rt △ABC 中，∠C=90º，CD ⊥AB 于D ，则 ① ∽ ∽ ②S △ABC =22③射影定理：CD 2= · AC 2= · BC 2= · 【常规题型】1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，S △ABC=20，AB=10。
求AD 、BD 的长.2、已知，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 。
（1）若AD=8，BD=2，求AC 的长。
（2）若AC=12，BC=16，求CD 、AD 的长。
【典型例题】例1．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90º，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。
求证：AD 2=AB ·AFBADFEGDCAB例2．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。
例3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F 。
求证：AE ·BF ·AB ＝CD 3例4．在ABC Rt ∆中，k AC BC DE CE AB CD C ==⊥︒=∠,,,90，求CFBF角平分线的性质：【知识要点】如图，在△ABC 中，∠A 平分线交BC 边于D 点，则有：CDBDAC AB =. 证明：例6、在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线分别为BD 和CE ，且DE ∥BC 。
射影定理
射影定理所谓射影，就是正投影。
直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)2=AD·DC，（2）(AB)2=AD·AC ，（3）(BC)2=CD·CA。
直角三角形射影定理的证明一、（主要是从三角形的相似比推算来的）在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴ AD/BD=BD/CD即BD2=AD·DC。
其余同理可得可证有射影定理如下：AB2=AD·AC，BC2=CD·CA两式相加得：AB2+BC2=（AD·AC）+（CD·AC） =（AD+CD)·AC=AC2 。
二、用勾股证射影∵AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,∴2AD2=AB2+AC2-BD2-CD2=BC2-BD2-CD2=(BC+BD)(BC-BD)-CD2=(BC+BD)CD-CD2=( BC+BD-CD)CD=2BD×CD.故AD2=BD×CD.运用此结论可得:AB2=BD2+AD2=BD2+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,AC2 =CD2+AD2=CD2+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.综上所述得到射影定理。
同样也可以利用三角形面积知识进行证明。
三、用三角函数证明由等积法可知：AB×BC=BD×AC在Rt△ABD和Rt△ABC中，tan∠BAD=BD/AD=BC/AB故AB×BC=BD×AC两边各除以tan∠BAD得：AB^2=AD×AC 同理可得BC2=CD·CA 在Rt△ABD和Rt△BCD中tan∠BAD=BD/AD cot∠BCD=CD/BD又∵tan∠BAD=cot∠BCD故BD/AD=CD/BD得BD^2=AD×CD。
射影定理高中难题
射影定理高中难题射影定理是高中数学中的一个重要概念，它是几何与代数的结合，常常用于解决一些复杂的几何问题。
本文将通过举例和详细讲解，帮助读者更好地理解射影定理，并解决一道高中难题。
I. 什么是射影定理射影定理是几何学中的一条重要定理，它描述了平面上两条平行线与一条交于它们之间的第三条线的关系。
简而言之，射影定理表明，当一条直线与两条平行线相交时，这两条平行线上任意一点到交点的距离比例相等。
II. 射影定理的应用举例为了更好地理解射影定理，我们来看一个经典的应用案例：例题：在平面直角坐标系中，已知直线L1过点A（2，5）和B（8，1），直线L2过点C（5，7）和D（11，3）。
求证：L1与L2平行。
解析：首先，我们可以根据两点式求解直线L1和L2的方程。
直线L1的方程为：(x-2)/(8-2)=(y-5)/(1-5)整理得：4x-y+17=0直线L2的方程为：(x-5)/(11-5)=(y-7)/(3-7)整理得：4x-y+33=0我们可以观察到，L1和L2的方程中x的系数和y的系数相等，即两直线的斜率相等。
因此，根据斜率相等定理即可证明L1与L2平行。
III. 高中难题解析现在我们来解决一道实际的高中难题，利用射影定理来解决。
难题：在平面直角坐标系中，已知直线L1过点A（4，5），L2过点B（3，2）。
直线L与x轴和y轴的交点分别为C和D，且AC=BD。
求证：L1与L2平行。
解析：首先，我们可以根据已知条件得出点C的坐标为（a，0），点D的坐标为（0，b）。
根据射影定理，我们知道AC/BC=AD/BD。
而AC=BD已知，因此可以得出BC=AD。
我们可以利用两点式得出直线L1和L2的方程：直线L1的方程为：(x-4)/(a-4)=(y-5)/(0-5)整理得：5x-ay+20=0直线L2的方程为：(x-3)/(0-3)=(y-2)/(b-2)整理得：2x-by+6=0观察L1和L2的方程，我们可以发现两个方程中x的系数和y的系数均不相等。
射影定理
如果a、b、c三个量成连比例即a:b=b:c，b叫做a和c的比例中项。
(内项要相等时才称为比例中项)比例中项又称"等比中项"或"几何中项"。
所谓射影，就是正投影。
直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)²=AD·DC，（2）(AB)²=AD·AC ，（3）(BC)²=CD·CA。
直角三角形射影定理的证明一、（主要是从三角形的相似比推算来的）在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴ AD/BD=BD/CD即BD²=AD·DC。
其余同理可得可证有射影定理如下：AB²=AD·AC，BC²=CD·CA两式相加得：AB²+BC²=（AD·AC）+（CD·AC） =（AD+CD)·AC=AC² 。
二、用勾股证射影∵AD²=AB²-BD²=AC²-CD²,∴2AD²=AB²+AC²-BD²-CD²=BC²-BD²-CD²=(BC+BD)(BC-BD)-CD²=(BC+BD)CD-CD²=( BC+BD-CD)CD=2BD×CD.故AD²=BD×CD.运用此结论可得:AB²=BD²+AD²=BD²+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,AC² =CD²+AD²=CD²+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.综上所述得到射影定理。
射影定理
射影定理直角三角形射影定理，又称“欧几里德定理”，定理内容是直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式表达为：如右图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：①CD²;=AD·DB，②BC²=BD·BA ，③AC²=AD·AB ；④AC·BC=AB·CD （等积式，可用面积来证明）1概述射影定理直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式Rt△ABC中，∠ACB=90°,cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：(1)(CD)^ 2;=AD·DB, (2)(BC)^2;=BD·BA , (3)(AC)^2;=AD·AB 。
等积式(4)ACXBC=ABXCD（可用面积来证明）2直角三角形所谓射影，就是正投影。
直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
[1]公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)^2=AD·DC，（2）(AB)^2=AD·AC ，（3）(BC)^2=CD·CA。
等积式（4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”或相似来证明）(5)(AB)^2/(BC)^2=AD/CD [1]直角三角形射影定理的证明射影定理简图(几何画板)：（主要是从三角形的相似比推算来的）一、在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴AD/BD=BD/CD即BD²=AD·DC。
射影定理——精选推荐
射影定理前⾔在初中和⾼中阶段，我们接触和使⽤的射影定理有以下两种形式。
射影定理1直⾓三⾓形射影定理，⼜叫欧⼏⾥德(Euclid)定理，其内容：直⾓三⾓形中，斜边上的⾼是两直⾓边在斜边上射影的⽐例中项。
每⼀条直⾓边是这条直⾓边在斜边上的射影和斜边的⽐例中项。
符号语⾔：如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC上的⾼，则有射影定理如下：➊AD^2=BD\cdot DC➋AB^2=BD\cdot BC➌AC^2=CD\cdot BC证明：这主要是由相似三⾓形来推出的，例如，证明AD^2=BD\cdot DC ，在\triangle BAD 与\triangle ACD 中，∠B=∠DAC ，∠BDA=∠ADC=90°，故\triangle BAD\sim\triangle ACD ，所以 \cfrac{AD}{BD}＝\cfrac{CD}{AD}，所以得到，AD^2=BD\cdot DC . 其余仿此证明；注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
⽐如由公式➋+➌得到，AB^2+AC^2=BD\cdot BC+CD\cdot BC=(BD+CD)BC=BC^2，即AB^2+AC^2=BC^2，这就是勾股定理的结论。
射影定理2任意三⾓形，⼜称“第⼀余弦定理”，其内容为：三⾓形的任意⼀边的长等于其他两边在这条边上的射影之和。
符号语⾔：设\triangle ABC 的三边是a 、b 、c ，它们所对的⾓分别是A 、B 、C ，则有：➊a ＝b\cdot\cos C ＋c\cdot\cos B➋b ＝c\cdot\cos A ＋a\cdot\cos C➌c ＝a\cdot\cos B ＋b\cdot\cos A[证法1]：设点C 在直线AB 上的射影为点D ，则AC 、BC 在直线AB 上的射影分别为AD 、BD ，且AD=b\cdot\cos A ，BD=a\cdot\cos B ，故c=AD+BD=b\cdot\cos a ＋a\cdot\cos B . 同理可证其余。
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相似三角形----射影定理的推广及应用
射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。
一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。
一、射影定理
射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（1） : R t^ABC中，若CD为高，
贝U有C D 2=BD? AD、
BC 2=BD ?AB或
AC 2 =AD ?AB。
二、变式推广
1 •逆用如图（1）:若AABC中，CD为高，且有DC
2 =BD?
AD或AC 2 =AD ?AB或BC 2 = BD ?AB，则有ZDCB = ZA或/ACD = /B，均可等到AABC为
直角三角形。
2 •—般化，若AABC不为直角三角形，当点D满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。
（后文简称：射影定理变式（2））
如图（2） : △ABC中，D 为AB上一点，若ZCDB = ZACB，或/DC
B = ZA，则有△CDBs^ACB，可得B
C 2 =BD?AB ;反之，若AABC 中，
D为AB上一点，且有BC 2 =BD ?AB，则有△CDBs^ACB，可得到/CD
B=/ACB，或/DCB=/Ao
三、应用
例1 如图（3）,已知：等腰三角形ABC中，AB = AC,高AD、BE交于点H,
求证：4DH ?DA=BC 2
分析：易证/BAD = /CAD =90°-/C = /HBD，联想到射影定理变式（2）,可得BD 2
=DH ?DA，又BC=2BD，故有结论成立。
（证明略）
例2 如图（4）:已知OO中，D为弧AC中点，过点D的弦BD被弦AC分为4和12
两部分，求DC。
分析：易得到/DBC = /ABD = /DCE, 满足射影定理变式（2）的条件，故有CD 2 =DE ?DB,
易求得DC=8
（解略）
例3 已知：如图（5）, △ABC中，AD平分ZBAC,AD的垂直平分线交A
E于点E,交AD于点H,交AC于点G,交EC的延长线于点F,
求证：DF 2 = CF ?BF。
证明：连AF, TFH垂直平分AD,
•••FA=FD, ZFAD = ZFDA, VAD 平分
/BAC,「./CAD = /BAD, .•ZFAD-ZCAD =
ZFDA-ZBAD, •/ZB = ZFDA-ZBAD,
•••/FAC = /B，又/AF C 公共，
AF C F
•••△AFCs^BFA,.—= -,
BF AF
• ••AF2=CF ?BF,「.DF 2 =CF ?BF。
射影定理练习
【选择题】
1、已知直角三角形|_ABC中，斜边AB=5cm,BC=2cm , D为AC上的一点，DE _ AB交AB于E，且
AD=3.2cm，贝U DE=（）
A、1.24cm
B、1.26cm
C、1.28cm
D、1.3cm
2、如图1-1，在RtL ABC中，CD是斜别AB上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（）线
段的长，就可以求其他线段的长
C、3
3、在RtL ABC 中，.BAC 二90 , AD _ BC 于点D, 卄AC 3
右
AB 4
则BD =(
CD
34169
A、一
B、
C、
D、
43916
【填空题】
5、L ABC 中，A=90[ AD _ BC 于点D , AD=6 , BD=12，则CD= ____________ , AC= ___________
2 2
AB : AC =
6、如图2-1，在RtL ABC 中，N ACB =90’, CD 丄AB , AC=6 , AD=3.6，则BC= ____________
A
2-1
【解答题】
7、已知CD是L ABC的高，DE _ C代DF _ CB，如图
& 已知CAB =90, AD _CB , L ACE , L ABF
角形，求证：DE _ DF
10、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，
3-1，求证：L CEFs_ CBA
3 / 4
点M在CD上，DH JBM且与AC的延长线交于点E.求证:
(1)MED S^BM；
(2) AE?CM=AC ?CD
11、已知：如图，等腰△ ABC中，AB=AC , AD _LBC于D，过点B做射线BG，交AD、AC于E、F两点, 与过点C平行于AB的直线交于点G。
求证：（1）BE2=EF?EG
（2）若过点B的射线交AD\AC的射线AD、AC的延长线分别于E、F两点，与过C平行于
AE的直线交于点G,则（）的结论是否成立，若成立，请说明理由。