解析几何课件1.5

( x, y, z )
向量的坐标： x , y , z ,
记为 r {x, y, z}
向径： r OM (点M关于原点O)
( x , y , z ) 既表示点 M
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定理1.5.1 向量的坐标等于其终点的坐标减去 其始点的坐标。
设P 1 ( x1 , y1 , z1 ), P 2 ( x2 , y2 , z 2 ), 那么 OP x e y e z e 1 1 1 1 2 1 3 OP2 x2e1 y2e2 z2e3 所以 PP 1 2 OP 2 OP 1
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1 2P 3的重心 例 已知三角形顶点为 pi ( xi , yi , zi )(i 1,2,3), 求PP
z
M3 G
P2
M2 e2
M1
P3
P1
e3 e1
x
y
§1.5
标架与坐标
学习目标： 1.掌握标架 2.掌握向量的坐标表示方法及坐标运算 3.掌握定必分点公式 重点：向量的坐标表示及坐标运算 难点：定必分点 教学方法：讲授法 练习法 课时数：2 授课日期：2012.9.
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
即以右手握住 z 轴，当右手的四个
z
竖轴
手指从正向 x 轴以 2
记为 M ( x, y, z )
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R, 坐标面上的点 A, B , C , O (0,0,0) z
R(0,0, z )
B(0, y , z )

C ( x , o, z )
M ( x, y, z )
o
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Q(0, y ,0)
y
x
P ( x ,0,0)
z2 z 1 z3 z 1 0 或 z4 z 1
7、线段的定比分点坐标 设 A( x1 , y1 , z1 ) 和 B( x 2 , y 2 , z 2 ) 为 两 已 知
点，而在 AB 直线上的点 M 分有向线段 AB 为 两部分 AM 、 MB ，使它们的值的比等于某数
AM ，求分点坐标. ( 1) ，即 MB z 解 设 M ( x , y , z ) 为直线上的点， M AM OM OA A o {x x1 , y y1 , z z1} x MB OB OM
推论 三个点（ A x1 , y1 , z1 ), B （x2 , y2 , z2 ), 和（ C x3 , y3 , z3 )共线的充要条件是
x2 x1 y2 y1 z2 z1 x3 x1 y3 y1 z3 z1
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定理1.5.6 已知三个非零向量a{x1 , y1 , z1} b{x2 , y2 , z2 } c{x3 , y3 , z3} ，则 a, b, c 共面的充要条件是
5、利用坐标作向量的线性运算
向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
a {ax , ay , az },
a b {ax bx , a y by , az bz }
b {bx , by , bz },
a b {ax bx , ay by , az bz } (a x bx )i (a y by ) j (az bz )k ; a {ax , ay , az } ( a x )i ( a y ) j ( a z )k .
z
e3 p1 e1 o ep2即 ( x2e1 y2e2 z2e3 ) ( x1e1 y1e2 z1e3 ) ( x2 x1 )e1 ( y2 y1 )e2 ( z2 z1 )e3
x
2
y
PP 1 2 {x2 x1 , y2 y1 , z2 z1}
称为向量 r 的坐标分解式.
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Q(0, y ,0)
y
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r 在三个坐标轴上的分向量：
z
R(0,0, z )
xi , yj , zk .
显然，
x
r

M ( x, y, z )
o
P ( x ,0,0)
Q(0, y ,0)
y
N
M
r OM xi yj zk
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(a x bx )i (a y by ) j (az bz )k ;
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6、其它相关定理
定理1.5.4 已知两个非零向量 a{x1 , y1 , z1} b{x2 , y2 , z2 }
则 a, b 共线的充要条件是
x1 y1 z1 x2 y2 z2
角度转向正向 y 轴 时，大拇指的指向 就是 z 轴的正向.
定点 o 横轴 x

y 纵轴
空间直角坐标系
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2、坐标面与卦限 Ⅲ
z
yoz面
Ⅳ
zox 面
Ⅱ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
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o
y
Ⅵ
Ⅴ
Ⅰ
x
空间直角坐标系共有八个卦限
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3、空间点的直角坐标
1 1 空间的点 有序数组( x , y , z ) 称为点M的坐标，x称为横坐标, y称为纵坐标， z称为竖坐标.
A( x , y ,0)
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z
4、空间向量的坐标 z
R(0,0, z )
k
j
r

M ( x, y, z )
o
y x P ( x ,0,0) o N x i 以i , j , k 分别表示沿 x , y , z 轴正向的单位向量. r OM OP PN NM OP OQ OR 设 OP xi , OQ yj , OR zk . r xi yj zk
x1 x2 x3
x2 x 1 x3 x 1 x4 x 1 y2 y 1 y3 y 1 y4 y 1
y1 y2 y3
z1 z2 0 z3
x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4 z1 1 z2 1 0 z3 1 z4 1
推论 四个点Ai ( xi , yi , zi )(i 1,2,3,4)共面的充要条件是
B
y
{x2 x, y2 y, z2 z}
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由题意知： AM MB
{x x1 , y y1 , z z1} {x2 x, y2 y, z2 z}, x x 1 2 x x1 ( x2 x ) x , 1 y y 1 2 y y1 ( y2 y ) y , 1 z z 1 2 z z1 ( z2 z ) z , 1 M 为有向线段AB 的定比分点. M 为中点时， x1 x2 y1 y2 z1 z2 x , y , z . 2 2 2