解析几何课件(第四版)教学课件
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1-5解析几何吕林根第四版
因为M1为P2 P3的中点,故M1(
x2
+ 2
x3
，y2
+ 2
y3 ，z2
+ 2
z3
),又因为G为重心，
故有P1G 2= GM1，即重心G把中线分成定比λ 2，
P1
利用定比分点坐标公式可得
x x= 1 + x2 + x3 ，y y= 1 + y2 + y3 ，z
3
3
z1 + z2 + z3 . G 3
e1, e2 , e3 两两相互垂直的笛卡尔标架叫做笛卡尔直角标架；简称直角标架；
在一般情况下，叫做仿射标架.
P
e3 r
e1 O
e2
e3 e1 O e2
e3 e1 O e2
注: (1) 标架{O; e1, e2 , e3}中的向量 e1, e2, e3 是有顺序的，交换它们
的次序将会得到另一标架.
(2) 空间标架有无穷多个.
e3
e1 O
e2
e3
e2 O
e1
右手（旋）标架
左手（旋）标架
二、坐标
{ } 定义 1.5.2 （1）式中的 x, y, z 叫做向量 r 关于标架 O;e1, e2, e3 的
坐标或称为分量，记做 r{x, y, z} 或{x, y, z} .
{ } 定义 1.5.3 对于取定了标架 O;e1,e2,e3 的空间中任意点 P ，向量 OP { } 叫做点 P 的向径，或称点 P 的位置向量，向径 OP 关于标架 O;e1,e2,e3 的坐 { } 标 x, y, z 叫做点 P 关于标架 O;e1,e2,e3 的坐标，记做 P ( x, y, z) 或 ( x, y, z).
空间解析几何北师大第四版
空间解析几何北师大第四版稿子一：嘿，朋友们！今天咱们来聊聊《空间解析几何北师大第四版》这本书。
你知道吗，一翻开这本书，就好像打开了一个神奇的几何世界大门。
那些复杂又有趣的图形和公式，一开始可能会让咱有点头疼，但慢慢琢磨，就会发现其中的奥妙。
比如说那些三维空间里的点、线、面，以前觉得好抽象，可在这本书里，通过详细的讲解和生动的例子，突然就变得清晰起来。
它就像一个耐心的老师，一点点地给咱解释，带着咱在这个奇妙的空间里探索。
还有那些坐标变换的部分，刚开始觉得好绕啊，但当你真正理解了，就会有一种“哇塞，原来如此”的感觉。
就好像解开了一个谜题，特别有成就感。
而且这本书的配图也很棒，不是那种干巴巴的，而是能让人一下子就看懂的那种。
每次看到那些图，就觉得几何好像也没那么难了。
《空间解析几何北师大第四版》虽然有点挑战，但只要用心去读，真的能收获很多有趣的知识，让咱们对空间的理解更上一层楼！稿子二：亲人们，咱们今天来说说《空间解析几何北师大第四版》。
一提到这书，我就想起刚开始接触它的时候，心里那个忐忑哟！觉得这肯定是一本超级难啃的“硬骨头”。
可是真正读进去之后，发现也没那么可怕嘛！里面讲的那些空间向量、平面方程啥的，仔细琢磨琢磨，还挺有意思的。
比如说空间向量，以前觉得这概念太高大上了，搞不懂。
但书里通过一个个实际的例子，让我明白了原来它在生活中也有很多应用呢。
还有那个曲面方程，刚开始看真的是一头雾水。
但跟着书里的步骤一步一步来，突然就开窍了。
就好像黑暗中突然亮起了一盏灯，那种感觉太爽啦！而且哦，我发现每次做书里的习题，虽然会做错，但通过纠错的过程，能让我对知识点的理解更深刻。
这就像是一次次打怪升级，虽然过程有点艰辛，但通关的时候，那叫一个开心！所以啊，别被这本书的外表吓到，只要咱们勇敢地去探索，就能在这个空间解析几何的世界里发现好多好玩的东西，让咱们的大脑变得更强大！。
解析几何课件(吕林根许子道第四版)(精)
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第一章 向量与坐标
§1.3 数乘向量
表示与非零向量 设ea a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a | a | ea
a . ea |a |
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
上一页下一页ຫໍສະໝຸດ §1.2 向量的加法定 义1.2.1 设 已 知 矢 量 a、 b ，以空间任意一点 O为 始 点 接连作矢量 OA a， AB b得 一 折 线 OAB， 从 折 线 的 端 点 O到 另 一 端 点 B的 矢 量 OB c , 叫 做 两 矢 量 a与b的 和 ， 记 做 cab
（2）结合律： a b c (a b ) c a (b c ). （3） a ( a ) 0.
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第一章 向量与坐标
§1.2 向量的加法
有限个矢量 a1 , a2 ,an 相 加 可 由 矢 量 的 三 角 求 形和 法则推广
解析几何课件(第四版)
吕林根 许子道等编
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究 几何,为将代数运算引导几何中,采用的最根本最 有效的做法----有系统的把空间的几何结构代数 化,数量化.
第一章 第二章 第三章 第四章 向量与坐标 轨迹与方程 平面与空间直线 柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第五章 二次曲线的一般理论
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第一章 向量与坐标
§1.4向量的线性关系与向量的分解
定理1.4.2 如果向量 e1 , e 2 不共线，那么向量 r与 e1 , e2 共面的充要条件是 r可以用向量 e1 , e2线性表示， 或者说向量 r可以分解成 e1 , e2的线性组合，即 r x e1 y e2 并且系数 x , y被 e1 , e2 , r唯一确定 . 这时 e1 , e 2叫做平面上向量的基底 . 定理1.4.3 如果向量 e1 , e 2 , e 3 不共面，那么空间 任意向量 r可以由向量 e1 , e 2 , e 3线性表示，或说空间 （ ） 1.4－2
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第一章 向量与坐标
§1.3 数乘向量
表示与非零向量 设ea a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a | a | ea
a . ea |a |
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
上一页下一页ຫໍສະໝຸດ §1.2 向量的加法定 义1.2.1 设 已 知 矢 量 a、 b ，以空间任意一点 O为 始 点 接连作矢量 OA a， AB b得 一 折 线 OAB， 从 折 线 的 端 点 O到 另 一 端 点 B的 矢 量 OB c , 叫 做 两 矢 量 a与b的 和 ， 记 做 cab
（2）结合律： a b c (a b ) c a (b c ). （3） a ( a ) 0.
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第一章 向量与坐标
§1.2 向量的加法
有限个矢量 a1 , a2 ,an 相 加 可 由 矢 量 的 三 角 求 形和 法则推广
解析几何课件(第四版)
吕林根 许子道等编
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究 几何,为将代数运算引导几何中,采用的最根本最 有效的做法----有系统的把空间的几何结构代数 化,数量化.
第一章 第二章 第三章 第四章 向量与坐标 轨迹与方程 平面与空间直线 柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第五章 二次曲线的一般理论
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第一章 向量与坐标
§1.4向量的线性关系与向量的分解
定理1.4.2 如果向量 e1 , e 2 不共线，那么向量 r与 e1 , e2 共面的充要条件是 r可以用向量 e1 , e2线性表示， 或者说向量 r可以分解成 e1 , e2的线性组合，即 r x e1 y e2 并且系数 x , y被 e1 , e2 , r唯一确定 . 这时 e1 , e 2叫做平面上向量的基底 . 定理1.4.3 如果向量 e1 , e 2 , e 3 不共面，那么空间 任意向量 r可以由向量 e1 , e 2 , e 3线性表示，或说空间 （ ） 1.4－2
解析几何课件全册(第四版)
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c ).
（3）
a
(a)
0.
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有限个矢量a1, a2 ,an相加可由矢量的三角形求和 法则推广
自 任 意 点O开 始 ， 依 次 引OA1 a1 , A1 A2 a2 ,,
An1 An an ,由 此 得 一 折 线OA1 A2 An , 于 是 矢 量OAn
a0 1 a, |a|
a | a | a0
定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：(a) ( a) ()a
（2）第一分配律：
(
)a
a
a
（3）第二分配律：
(a
b)
a
b
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两个向量的平行关系
定理 设向量 a 0，那么向量 b 平行于 a 的充
cab
a
B
b
O
A
这种求两个向量和的方法叫三角形法则.
定理1.2.1 如果把两个向量 OA、OB 为邻边
组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量
OC OA OB
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B
C
O
A
这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则
定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
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(a
b)
a
b
1) 当 0 或 ab 中有一个为零向量时，
四边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
D b
《大学数学解析几何》PPT课件
➢笛卡尔的《几何》虽然不像现在的解析几何那样，给读者展现 出一个从建立坐标系和方程到研究方程的循序过程，但是他通过 具体的实例，确定表达了他的新思想和新方法．这种思想和方法 尽管在形式上没有现在的解析几何那样完整，但是在本质上它却 是地道的解析几何．
➢笛卡尔的解析几何有两个基本思想： （１）用有序数对表示点的坐标； （２）把互相关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一 条曲线。
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四、学习要求
１、课前预习. ２、课上认真听讲，积极思考，记好笔记. ３、课后及时复习，独立认真地完成作业. ４、课外适当阅读课外参考书，拓宽知识面，加深对课本内 容的理解.
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五、考核方式及成绩评定
考核方式：闭卷考试 总评成绩＝平时成绩×30%
+期末考试成绩70%
《解析几何》
－Chapter 1
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3．解析几何创立的意义
➢ 笛卡尔和费马创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义。
➢解析几何沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间 的联系，从此，代数与几何这两门学科互相吸取营养而得到迅速 发展，并结合产生出许多新的学科，近代数学便很快发展起来了。
➢恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想。他说：“数学中的转折 点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩 证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的 了。”
关于解析几何产生的历史，可以查阅数学史方面的 书，例 如李文林的《数学史概论》（高等教育出版社），或 上网查阅 查关的内容，网址：
/2/22/07/0641.htm
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二、本课程的主要内容及基本要求
本课程在中学平面向量和平面解析几何的基础上，进一步 学习空间向量和空间解析几何。主要内容有：
➢笛卡尔的解析几何有两个基本思想： （１）用有序数对表示点的坐标； （２）把互相关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一 条曲线。
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四、学习要求
１、课前预习. ２、课上认真听讲，积极思考，记好笔记. ３、课后及时复习，独立认真地完成作业. ４、课外适当阅读课外参考书，拓宽知识面，加深对课本内 容的理解.
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五、考核方式及成绩评定
考核方式：闭卷考试 总评成绩＝平时成绩×30%
+期末考试成绩70%
《解析几何》
－Chapter 1
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3．解析几何创立的意义
➢ 笛卡尔和费马创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义。
➢解析几何沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间 的联系，从此，代数与几何这两门学科互相吸取营养而得到迅速 发展，并结合产生出许多新的学科，近代数学便很快发展起来了。
➢恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想。他说：“数学中的转折 点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩 证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的 了。”
关于解析几何产生的历史，可以查阅数学史方面的 书，例 如李文林的《数学史概论》（高等教育出版社），或 上网查阅 查关的内容，网址：
/2/22/07/0641.htm
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二、本课程的主要内容及基本要求
本课程在中学平面向量和平面解析几何的基础上，进一步 学习空间向量和空间解析几何。主要内容有：
《空间解析几何》课件
了解空间解析几何在计算机图形 学中的应用，如3D建模、动画制 作等。
THANKS
感谢观看
通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等， 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
THANKS
感谢观看
通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等， 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
解析几何课件
直线、圆、椭圆等。
解析几何模型的动画演示
动画制作基础
了解如何使用Python或MATLAB制作动画 。
解析几何模型动画演示
学习如何将解析几何模型制作成动画演示， 例如直线的旋转、圆的滚动等。
动画演示应用
了解动画演示在解析几何中的应用，例如轨 迹的形成、运动的模拟等。
THANKS
感谢观看
解析几何在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用 ，例如在物理学中，解析几何被用来解决力学、电磁学和光 学等问题。
解析几何的发展历程
解析几何的起源
解析几何起源于17世纪，主要代 表人物有法国数学家费马和荷兰 数学家斯蒂文。
解析几何的发展
18世纪和19世纪是解析几何发展 的黄金时期，许多重要的数学家 如欧拉、高斯等都对解析几何做 出了杰出的贡献。
标。
空间平面与方程
平面的定义
平面是一组无穷多个点组成的集合，这些点都在同一平面上。
平面方程
平面的方程通常用三元一次方程表示，即Ax+By+Cz+D=0，其中 (x,y,z)是平面上任意一点的位置坐标，A、B、C和D是方程的系数 。
平面方程的应用
通过给定平面的方程和任意一点的位置坐标，可以判断该点是否在 平面上。
解析几何在经济学中的应用
01
金融数据分析
02
股票价格预测
03
04
05
经济模型构建与优化
市场分析与管理决策
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
企业选址与布局优化
05
解析几何的进阶概念
直线的极坐标方程
极坐标系
01
极坐标系是一种用极径和极角表示平面上的点的坐标的方法。
直线极坐标方程的一般形式
空间解析几何课件
故 0, 即 .
则 ( ) a 0
2020/7/9
9
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“ ” 已知 b＝ a ,
则
b＝0
a , b 同向
a∥b
a , b 反向
例1. 设 M 为
ABCD 对角线的交点,
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解: a b AC
2 MA
a ab
b
ab b a
运算规律 :
a 交换律 a b b a
结合律 ( a b ) c a (b c ) a b c
三角形法则可推广到多个向量相加 .
2020/7/9
5
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s a1 a2 a3 a4 a5
a4
a5
a3 s
a2 a1
2020/7/9
6
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2. 向量的减法
三角不等式
2020/7/9
a
7
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3. 向量与数的乘法
是一个数 ,
与 a 的乘积是一个新向量, 记作
规定 :
a
.
总之: 运算律 :
结合律
a
a
(
a)
(
a)
a
可见
11aaa;a ;
分配律
(a
b)
a
b
则有单位向量
在空间直角坐标系下,
任意向量 r 可用向径 OM 表示.
以
i
,
j
,
k
分别表示
x,
y,
z 轴上的单位向量
,
设点 M
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定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：
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有限个矢量 a1 , a2 ,an 相 加 可 由 矢 量 的 三 角 求 形和 法则推广
自任意点 O开 始 ， 依 次 引 OA1 a1 , A1 A2 a 2 , , An1 An a n ,由 此 得 一 折 线 OA1 A2 An , 于 是 矢 量 OAn a就 是n个 矢 量 a1 , a2 , , an的 和 ， 即 OA OA1 A1 A2 An1 An .
a
b
B O A
这种求两个向量和的方法叫三角形法则. 定理1.2.1 如果把两个向量 OA 、 OB 为邻边 组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量
OC OA OB
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B
C
O
A
这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则
（1）交换律： a b b a . （2）结合律： a b c (a b ) c a (b c ). （3） a ( a ) 0.
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§1.3
数乘向量
定义1.3.1 实数与矢量a 的乘积是一个矢量，记做 a, 它的 模是 a a ； a的方向，当 0时与a相同，当 0时与a 相反我们把这种运算叫做数量与矢量的乘法，简称为数乘 . .
设 是一个数，向量a 与 的乘积a 规定为 (1) 0, a 与a 同向，| a | | a | ( 2) 0, a 0 ( 3) 0, a 与a 反向，| a || | | a |
§1.6
向量在轴上的射影
§1.8 两向量的矢性积
第二章 轨迹与方程
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 平面曲线的方程 曲面的方程 母线平行与坐标轴的柱面方程 空间曲线的方程
第三章 平面与空间直线
§3.1 平面的方程 §3.3 两平面的相关位置 §3.5 直线与平面的相关位置 §3.7 空间直线与点的相关位置 §3.2 平面与点的相关位置 §3.4 空间直线的方程 §3.6 空间两直线的相关位置
ab ab
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例1 设互不共线的三矢量 a, b与c，试证明顺次将 它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是 它们的和是零矢量.
C
证 必要性 设三矢量a，，可以 bc 构成三角形 ABC，即有 AB a, A B BC b, CA c，那么AB＋BC＋CA ＝AA 0,即a b c 0 充分性 设a b c 0，作 AB a, BC b, 那么AC a b, 所以AC c 0, 从而c是 AC的反矢量， 因此 c＝CA，所以a，，可构成一个三角形 bc ABC.
§1.1
向量的概念
定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量， 或称矢量. 两类量: 数量(标量):可用一个数值来描述的量; 向量(矢量)既有大小又有方向的量. 有向线段 向量的几何表示： 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向.
M2
a
M
或 M1 M 2 以 M 1 为起点，M 2 为终点的有向线段. a 向量的模：向量的大小.| a | 或 | M1 M 2 |
解析几何课件(第四版)
第一章 向量与坐标
第二章 轨迹与方程
第三章 平面与空Байду номын сангаас直线
第四章
柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第五章 二次曲线的一般理论
第一章 向量与坐标
§1.1 向量的概念 §1.2 向量的加法 §1.3 数乘向量
§1.4 向量的线性关系与向量的分解
§1.5 标架与坐标 §1.7 两向量的数性积 §1.9 三向量的混合积
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单位向量： 模为1的向量. ea 或 e M M
零向量： 模为0的向量.0
1
2
定义1.1.2 如果两个向量的模相等且方向 相同，那么叫做相等向量.记为 a b
a
＝
b
所有的零向量都相等. 定义1.1.3 两个模相等，方向相反的向 量叫做互为反向量. a的反矢量记为 a
AB与BA互为反矢量 .
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a
a
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定义1.1.4 叫做共线向量.
平行于同一直线的一组向量
零向量与任何共线的向量组共线.
定义1.1.5 平行于同一平面的一组向量 叫做共面向量. 零向量与任何共面的向量组共面.
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§1.2 向量的加法
定 义1.2.1 设 已 知 矢 量 a、 b ，以空间任意一点 O为 始 点 接连作矢量 OA a， AB b得 一 折 线 OAB， 从 折 线 的 端 点 O到 另 一 端 点 B的 矢 量 OB c , 叫 做 两 矢 量 a与b的 和 ， 记 做 cab
第四章 柱面锥面旋转曲面
与二次曲面
§4.1 柱面 §4.2 锥面 §4.3 旋转曲面
§4.4 椭球面
§4.5 双曲面
第五章 二次曲线的一般理论
§5.1 二次曲线与直线的相关位置 §5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 §5.3 二次曲线的切线
§5.4 二次曲线的直径 §5.5 二次曲线的主直径和主方向 §5.6 二次曲线方程的化简与分类 §5.7 应用不变量化简二次曲线方程
A1 A2 O An-1 An A4 A3
这种求和的方法叫做多边形法则
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定 义1.2.2 当 矢 量 b与 矢 量 c的 和 等 于 矢 量 a， 即b c a 时，我们把矢量 c叫 做 矢 量 a与b的 差 ， 并 记 做 c a b.
向量减法 a b a ( b ) b a b b b c a c a (b ) ab