[原创]2017年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第九章 第6讲 离散型随机变量的均值与方差[配套课件]

5 5 随机变量 η 为取出此球所得的分数.若 E(η)＝3， D(η)＝9， 求 a∶
b∶c.
解：(1)由已知，得当两次取出的球分别是红红时，ξ＝2，
3×3 1 此时 P(ξ＝2)＝ ＝4； 6×6
当两次取出的球分别是红黄，或黄红时，ξ＝3，
3×2 2×3 1 此时 P(ξ＝3)＝ ＋ ＝ ； 6×6 6×6 3
差大，说明随机变量取值较分散；方差小，说明取值较集中.
【互动探究】
1 2.(2014 年浙江)随机变量 ξ 的取值为 0,1,2，若 P(ξ＝0)＝5，
2 5 E(ξ)＝1，则 D(ξ)＝_______.
1 解析：设 ξ＝1 时的概率为 p，则 E(ξ)＝0×5＋1×p＋
1 21－p－5＝1.解得
2)2×0.4＋(2－2)2×0.2＋(3－2)2×0.4＝0.8.
3.已知ξ的分布列为：
ξ P
其中 p∈(0,1)，则( D )
A.E(ξ)＝p，D(ξ)＝pq B.E(ξ)＝p，D(ξ)＝p2 C.E(ξ)＝q，D(ξ)＝q2
0
1
p
q
D.E(ξ)＝1－p，D(ξ)＝p－p2
4.已知随机变量 ξ 满足条件 ξ～B(n，p)，且 E(ξ)＝12，D(ξ) 12 ＝ 5 ，则 n 与 p 的值分别为( C ) 4 A.16 与5 4 C.15 与5 2 B.20 与5 3 D.12 与5
2a－b－4c＝0， 解得 a＋4b－11c＝0， a＝3c， 即 b＝2c.
η
故 a∶b∶c＝3∶2∶1.
【规律方法】(1)一般地，若离散型随机变量X 的分布列为： X P x1 p1
n i 1
x2 p2
„ „
xi pi
„ „
xn pn
则称 D(X)＝ [ xi－E(X)]2pi＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2
第6讲 离散型随机变量的均值与方差
考点分布 2011 年新课标卷考查分布 列，数学期望及方差； 理解取有限个值 2012 年新课标卷考查分布 的离散型随机变 列，数学期望及方差； 量均值、方差的 2013 年新课标卷Ⅰ考查概 概念，能计算简 率分布列与数学期望等； 单离散型随机变 2014 年新课标卷Ⅰ考查正 量的均值、方差， 态分布及数学期望； 并能解决一些简 2015 年新课标卷Ⅰ考查互 单问题 斥事件、独立重复试验及 概率公式
正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随
机选择 1 个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试， 直至该银行卡被锁定.
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X，求 X 的分布 列和数学期望.
解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A， 5 4 3 1 则 P(A)＝6×5×4＝2. (2)依题意，得 X 所有可能的取值是 1,2,3. 1 5 1 1 又 P(X＝1)＝6，P(X＝2)＝6×5＝6， 5 4 2 P(X＝3)＝6×5×1＝3. 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 1 1 2 P 6 6 3 1 1 2 5 所以 E(X)＝1×6＋2×6＋3×3＝2.
考点 2 离散型随机变量的方差 例 2：(2013 年浙江)设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c
个蓝球，且规定：取出 1 个红球得 1 分，取出 1 个黄球 2 分，
取出 1 个蓝球得 3 分. (1)当 a＝3，b＝2，c＝1 时，从该袋子中任取 2 个球(有放 回，且每个球取到的机会均等)，记随机变量ξ为取出这 2 个球 所得分数之和，求ξ的分布列； (2)从该袋子中任取 1 个球(且每个球取到的机会均等)，记
12 解析： ∵ξ～B(n， p)． ∴E(ξ)＝np＝12， D(ξ)＝np(1－p)＝ 5 . 4 ∴n＝15，p＝5.
考点 1 离散型随机变量的期望 例 1：(2015 年福建)某银行规定，一张银行卡若在一天内 出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱 时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的
(2)记事件 A1：“日销售量不低于 100 个”， 事件 A2：“日
销售量低于 50 个”，事件 B：“在未来连续 3 天里，有连续 2
天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个”. 则 P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15， P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
解：记 Ai 为事件“第 i 次发球，甲胜”，i＝1,2,3， 则 P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.4. (1)事件“开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2”为 A1 A 2 A 3＋ A 1A2 A 3＋ A 1 A 2A3， 由互斥事件有一个发生的概率加法公式得 P(A1 A
2
A 3 ＋ A 1A2 A 3 ＋ A
1
A 2A3) ＝ 0.6×0.4×0.6 ＋
0.4×0.6×0.6＋0.4×0.4×0.4＝0.352. 即开始第 4 次发球时， 甲、 乙的比分为 1 比 2 的概率为 0.352；
(2)由题意 ξ＝0,1,2,3. P(ξ＝0)＝P(A1A2A3)＝0.6×0.6×0.4＝0.144； P(ξ ＝ 1) ＝ P( A 1A2A3 ＋ A1 A 2A3 ＋ A1A2 A 3)＝ 0.4×0.6×0.4 ＋ 0.6×0.4×0.4＋0.6×0.6×0.6＝0.408； P(ξ＝2)＝0.352； P(ξ＝3)＝P( A 1 A 2 A 3)＝0.4×0.4×0.6＝0.096 所以 E(ξ)＝0.408＋2×0.352＋3×0.096＝1.4.
求其均值.随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽
取，只要找准随机变量及相应的概率即可计算.
【互动探究】
1.(2012 年大纲)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比 分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再连续发球 2 次，依 次轮换，每次发球，胜方得 1 分，负方得 0 分.设在甲、乙的比 赛中，每次发球，发球方得 1 分的概率为 0.6，各次发球的胜负 结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球. (1)求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 的概率； (2)ξ表示开始第 4 次发球时乙的得分，求ξ的期望.
3 1 3 2 2 p＝5.故 D(ξ)＝(0－1) ×5＋(1－1) ×5＋
1 2 (2－1) ×5＝5.
2
考点 3 二项分布的期望和方差 例 3：某商店根据以往某种玩具的销售记录，绘制了日销 售量的频率分布直方图，如图 9-6-1.将日销售量落入各组的频 率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
X P
0 0.064
1 0.288
2 0.432
3 0.216
因为 X～B(3,0.6)，所以期望 E(X)＝3×0.6＝1.8，
方差 D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72. 【规律方法】若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
【互动探究】 3.(2013 年福建)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了
2 甲、 乙两种抽奖方案， 方案甲的中奖率为3， 中奖可以获得 2 分； 2 方案乙的中奖率为5，中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分.每 人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会
结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们 的累计得分为 X，求 X≤3 的概率；
【规律方法】(1)一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：
X
P
x1
p1
x2
p2
„
„
xi
pi
„
„
xn
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋„＋xipi＋„＋xnpn为随机变量X的
均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)求数学期望(均值)的关键是求出其分布列.若已知离散型
分布列，可直接套用公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋„＋xipi＋„＋xnpn
＋„＋[xn－E(X)]2pn为随机变量X的方差 (2)若X 是随机变量，且Y＝aX＋b，其中a，b 是常数，则 Y 也是随机变量，则 E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(Y)＝D(aX ＋b)＝a2D(X).
(3)均值体现了随机变量取值的平均水平，如果两个随机变 量的均值相等，还要看随机变量的取值在均值周围的变化，方
(3)X 的可能取值为 0,1,2,3.
3 P(X＝0)＝C0 (1 － 0.6) ＝0.064， 3 2 P(X＝1)＝C1 3×0.6×(1－0.6) ＝0.288，
2 P(X＝2)＝C2 3×0.6 ×(1－0.6)＝0.432， 3 P(X＝3)＝C3 × 0.6 ＝0.216. 3
分布列为：
考纲要求
考情风向标
高考中常将相互 独立事件、互斥事 件、随机变量的分 布列、期望与方差 等知识放在一起 在解答题中考查， 主要考查运用概 率知识解决实际 问题的能力
1.离散型随机变量的均值和方差
一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为： X
P
x1
p1
x2
p2
„
„
xi
pi
„
„
xn
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋„＋xipi＋„＋xnpn为随机变量X的 均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
图 9-6-1
(1)估计日销售量的众数； (2)求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率； (3)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数， 求随机变量 X 的分布列，期望 E(X)及方差 D(X).