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（3）当AM+BM+CM的最小值为
时，求正方形的边长
解：⑴∵△ABE是等边三角形， •⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴BA＝BE，∠ABE＝60°. ∴∠EBF＝90°－60°＝30°. ∵∠MBN＝60°, 设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝x/2. ∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN. 在Rt△EFC中，EF^2＋FC^2＝EC^2， 即∠BMA＝∠NBE. ∴（x/2）^ 2＋（x＋x）^ 2＝（根号3+1）^ 2 又∵MB＝NB， 解得，x＝±根号2（舍去负值）. ∴△AMB≌△ENB（SAS）. ∴正方形的边长为根号2 ⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. ②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， AM＋BM＋CM的值最小. 理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB， ∴AM＝EN. ∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等边三角形. F ∴BM＝MN. ∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. 根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最 短 ∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.
7.开口向下的抛物线y=（m^2-2）x2+2mx+1的 对称轴经过点（-1，3），则m= -1
• 解：由于抛物线y=（m^2-2）x^2+2mx+1的 对称轴经过点（-1，3）， ∴对称轴为直线x=-1，x=-2m^2(m^2-2)=-1， 解得m1=-1，m2=2． 由于抛物线的开口向下，所以当m=2时， m^2-2=2＞0，不合题意，应舍去， ∴m=-1．
如图是二次函数y=a（x+1）^2+2图象的一部分，改图在y轴 右侧与x轴交点的坐标是()
• 由二次函数y=a（x+1）2+2可知对称轴x=-1，从 图象上看出与x轴左侧交点为（-3，0），利用二 次函数的对称性可知该图在对称轴右侧与x轴交点 坐标 • 解：由y=a（x+1）2+2可知对称轴x=-1，根据对 称性， 图象在对称轴左侧与x轴交点为（-3，0）， 所以该图在对称轴右侧与x轴交点的坐标是（1， 0）．
若二次函数y=ax2-2ax-1，当x分别取x1、x2两个 不同的值时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函 数值为（ ） A．1 B．-1 C．2 D．-2
• 分析：将x1、x2两个不同的值代入二次函数关系式 y=ax2-2ax-1，求得关于x1+x2的关系式，并求值． • 解答：解：根据题意，得 ax12-2ax1-1=ax22-2ax2-1， ∴a（x1+x2-2）（x1-x2）=0， ∵a≠0， ∴x1+x2-2=0，或x1-x2=0， ∴x1+x2=2． 代入原式得出y=-1， 故选B．
解：①连接AC，交BD于点O， •④假设AN⊥BE，且AE=AB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AN是BE的垂直平分线， ∴AB=BC，BD⊥AC，AO=BO ∴EN=BN=BM=MN， ∴点A，点C关于直线BD对称， ∴M点与O点重合， ∴M点与O点重合时AM+CM的值最小为AC的值 ∵条件没有确定M点与O点重合，故本答案错误． ∵∠ABC=60， ⑤如图，连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB， ∴AM=EN， ∴△ABC是等边三角形， ∵∠MBN=60°，MB=NB， ∴AB=AC， ∴△BMN是等边三角形． ∵AB=1， ∴BM=MN． ∴AC=1， ∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分） 即AM+CM的值最小为1，故本答案正确． 根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短 ②∵△ABE是等边三角形， ∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小， ∴BA=BE，∠ABE=60°． 即等于EC的长． ∵∠MBN=60°， 过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN． ∴∠EBF=180°-120°=60°，设菱形的边长为x， 即∠MBA=∠NBE． ∴BF=12x，EF=32x，在Rt△EFC中， 又∵MB=NB， ∵EF2+FC2=EC2， ∴(32x)2+(12x+x)2=(23)2，解得x=2，故本答案正 ∴△AMB≌△ENB（SAS），故本答案正确． 确． ③∵S△ABE+S△ABM=S四边形AMBE 综上所述，正确的答案是：①②⑤， S△ACD+S△AMC=S四边形ADCM，且S△AMB≠S△AMC， 故选C． ∴S△ABE+S△ABM≠S△ACD+S△AMC， ∴S四边形AMBE≠S四边形ADCM，故本答案错误．
不论m取任何实数，抛物线 y=a（x +m）2+m（a≠0）的顶点都在 哪直线上？
• 直接利用配方法可求顶点坐标为 （-m，m），即可判断顶点所在 直线． • 解：∵顶点坐标是（-m，m）， ∴顶点在直线y=-x上．
• (1)假设C、E同时在线上，则有 2=4a+k 2=9a+k a=0，与a>0矛盾 （2）假设A在，则k=0，又a>0,y值非负，所以B， D不在线上，已知C，E不同时在线上，这与抛物 线经过其中三点矛盾，所以A不在。 （3）A和CE中的一个不在线上，BD在线上， -1=a +k分别与2=4a+k和2=9a+k联立，得到两组 解 a=1，k=-2，和a=3/8,k=-11/8
把抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位， 再向下平移1个单位后，恰好与抛物线 y=2x2+4x+1重合，则a+b+c等于（ ）
• 根据题意，把y=2x^2+4x+1化为顶点坐标式， 向右平移2个单位，再向上平移1个单位得抛 物线y=ax^2+bx+c，再求a +b +c的值． • 解：y=2x^2+4x+1=2（x+1）^2-1向右平移 2个单位，再向上平移1个单位得抛物线 y=2（x+1-2）2-1+1=2（x-1）2=2x2-4x+2． • 当x=1时，y=a +b +c=2-4+2=0．
已知二次函数y=x^2+mx+m-5， （1）求证：不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点； （2）求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短．
如图四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一 点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（ ） ①若菱形ABCD的边长为1，则AM+CM的最小值1； ②△AMB≌△ENB； ③S四边形AMBE=S四边形ADCM； ④连接AN，则AN⊥BE； ⑤当AM+BM+CM的最小值为2根号3时，菱形ABCD的边长为2． A．①②③ B．②④⑤ C．①②⑤ D．②③⑤
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Байду номын сангаас
（2010•宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角 线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、 AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；