数值微积分
数值方法及其应用
数值方法及其应用数值方法（Numerical Methods）是研究把数学问题转化成计算机问题进行数值计算的方法。
它主要包括数值逼近、数值微积分、数值代数、数值振动分析等方面。
作为一种桥梁，数值方法在数学与计算机科学之间扮演着不可替代的角色。
伴随着计算机技术的飞速发展，数值方法也日益成为现代科学研究和工程实践的不可或缺的工具。
一、数值逼近数值逼近是数值方法的基本方法之一，其主要任务是通过使用有限个函数如多项式、三角多项式等来代替函数求解问题。
在科学计算中，常见的应用包括函数插值、数据拟合、求函数零点、数值积分等。
其中，最常见的数值逼近方法为插值法和最小二乘法。
1.插值法插值法是一种通过已知点的函数值来确定近似函数的方法。
通常采用多项式来近似原函数，在一定条件下，插值的误差可以控制在一定范围内。
2.最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来确定曲线拟合的参数的方法，在实际应用中被广泛应用于数据处理和预测。
二、数值微积分数值微积分主要是通过计算数值导数、数值积分以及微分方程的数值解来求解复杂问题。
常见的数值微积分方法包括差分法、数值微分和数值积分。
1.差分法差分法是一种重要的数值微分方法，其基本思想是通过函数在离散点上的差值计算函数在该点上的导数，从而获得函数的全局特性。
2.数值微分数值微分是一种通过计算函数在离散点上的差商来近似函数的导数的方法，常见的数值微分方法包括前向差分、后向差分以及中心差分。
3.数值积分数值积分是一种通过数值逼近求解定积分的方法，常见的数值积分方法包括牛顿-柯特斯公式、龙格-库塔公式以及高斯公式等。
三、数值代数数值代数主要包括矩阵计算、线性代数求解以及特征值和特征向量计算等方面。
数值代数是数值计算领域中最广泛的分支，其应用领域涉及到几乎所有工业和科学领域。
1.矩阵计算矩阵计算是数值代数的重要组成部分，其应用广泛涉及到概率论、分类、信号处理等领域。
矩阵计算方法包括基本矩阵计算、矩阵分解和特殊矩阵计算等。
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值计算中的微积分算法
数值计算中的微积分算法在数值计算领域中，微积分算法是非常重要的一部分。
微积分是一个研究函数、极限、连续性、导数和积分等的数学分支。
它在数学、物理学、工程学等领域中都有着广泛的应用。
而在数值计算中，微积分算法的应用更是不可避免。
本文将介绍几种常见的微积分算法及其应用。
一、极限和连续性极限是微积分中最基本的概念之一。
在数值计算中，选择逼近某个固定点的函数值序列来计算极限，是一种常用的求解极限的方法。
例如，要求解 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}$，可以选取一系列 $x$ 的值，让它们逐渐靠近 0，然后计算相应的函数值，最后观察函数值的变化趋势来得到极限的值。
连续性是另一个微积分中重要的概念。
在数值计算中，要保证函数的连续性，可以采用数值微分的方法，例如数值逼近法和差商逼近法。
此外，如果要计算微分方程的解，也必须保证函数的连续性。
在微积分中，连续性和微分方程可以紧密结合，例如欧拉法、龙格-库塔法和梯形法等。
二、导数和积分导数和积分是微积分中最核心的内容之一。
在数值计算中，要计算函数的导数和积分，可以采用微积分的数值逼近方法，例如差商逼近法、辛普森法和梯形法等。
差商逼近法是微积分中一种常用的导数计算方法。
该方法的思路是：将函数的导数近似为两个函数值之比的差。
例如，对函数$f(x)$ 的导数可以表示为：$$f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$当 $h$ 很小时，上式可以近似为 $f'(x)$ 的值。
在计算过程中，需要注意使用合适的 $h$ 值，以便得到精度较高的结果。
梯形法和辛普森法是微积分中常用的积分计算方法。
在梯形法中，通过将积分区间划分为若干小块，然后分别计算每一块的积分值，最后将它们相加即可得到总积分的值。
在辛普森法中，则是将积分区间划分为若干个小块，并在每个小块上采用二次多项式来逼近积分函数，最后将所有积分区间上的多项式积分相加得到整个积分区间的积分值。
数值计算方法实验报告
数值计算方法实验报告一、实验介绍本次实验是关于数值计算方法的实验，旨在通过计算机模拟的方法，实现对于数值计算方法的掌握。
本次实验主要涉及到的内容包括数值微积分、线性方程组的求解、插值与拟合、常微分方程的数值解等。
二、实验内容1. 数值微积分数值微积分是通过计算机模拟的方法，实现对于微积分中的积分运算的近似求解。
本次实验中，我们将会使用梯形公式和辛普森公式对于一定区间上的函数进行积分求解，并比较不同公式的计算误差。
2. 线性方程组的求解线性方程组求解是数值计算领域中的重要内容。
本次实验中，我们将会使用高斯消元法、LU分解法等方法对于给定的线性方程组进行求解，并通过比较不同方法的计算效率和精度，进一步了解不同方法的优缺点。
3. 插值与拟合插值与拟合是数值计算中的另一个重要内容。
本次实验中，我们将会使用拉格朗日插值法和牛顿插值法对于给定的数据进行插值求解，并使用最小二乘法对于给定的函数进行拟合求解。
4. 常微分方程的数值解常微分方程的数值解是数值计算中的难点之一。
本次实验中，我们将会使用欧拉法和龙格-库塔法等方法对于给定的常微分方程进行数值解的求解，并比较不同方法的计算精度和效率。
三、实验结果通过本次实验，我们进一步加深了对于数值计算方法的理解和掌握。
在数值微积分方面，我们发现梯形公式和辛普森公式都能够有效地求解积分，但是辛普森公式的计算精度更高。
在线性方程组求解方面，我们发现LU分解法相对于高斯消元法具有更高的计算效率和更好的数值精度。
在插值与拟合方面，我们发现拉格朗日插值法和牛顿插值法都能够有效地进行插值求解，而最小二乘法则可以更好地进行函数拟合求解。
在常微分方程的数值解方面，我们发现欧拉法和龙格-库塔法都能够有效地进行数值解的求解，但是龙格-库塔法的数值精度更高。
四、实验总结本次实验通过对于数值计算方法的模拟实现，进一步加深了我们对于数值计算方法的理解和掌握。
在实验过程中，我们了解了数值微积分、线性方程组的求解、插值与拟合、常微分方程的数值解等多个方面的内容，在实践中进一步明确了不同方法的特点和优缺点，并可以通过比较不同方法的计算效率和数值精度来选择合适的数值计算方法。
微积分的数值计算
通过数值方法（如梯形法、辛普森法等）可以近似计算定积分的值。
不定积分的数值计算实例
计算不定积分
例如，计算不定积分$int x^3 dx$，即求函 数$f(x) = x^3$的不定积分。
不定积分的近似计算
通过数值方法（如牛顿-莱布尼兹法等）可 以近似计算不定积分的值。
05
数值计算的优缺点与未来发展
不定积分
不定积分是求函数原函数的操作，可以用来解决求导和求原函数的问题。
微积分的应用场景
物理
微积分在物理中有广泛的应用，如计算速度、 加速度、功、功率等。
工程
在土木工程、机械工程、航空航天等领域， 微积分被用来解决各种实际问题。
经济
在经济学中，微积分被用来分析边际成本、 边际收益等问题。
计算机科学
促进科学研究
数值计算可以用于模拟实验和预测未来趋势，为科学研究提供重要 的数据支持和理论依据。
02
微积分基础知识
导数与微分
导数
导数描述了函数在某一点的切线斜率， 是函数局部变化率的一种度量。
微分
微分是函数在某一点附近的小增量， 可以用来近似计算函数值。
定积分与不定积分
定积分
定积分是计算某一区间内函数值的和，可以用来解决面积、体积等问题。
数值计算的优点
高效性
数值计算能够快速地解决大规模的数学问题，尤其在处理复杂函数和方程时。
可扩展性
随着计算机技术的进步，数值计算的精度和计算能力也在不断提升。
应用广泛
数值计算在科学、工程、经济等领域都有广泛的应用，能够解决实际问题。
灵活性
数值计算方法可以根据具体问题进行调整和优化。
数值计算的局限性
第4节 数值微分
对于
f ( n1) ( ) R1 ( xk ) n 1 ( x k ) ( n 1)!
由 n1 ( xk ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
及
可知
f ( n 1 ) ( x ) M , x [a , b ]
M M n R1 ( xk ) ( x n x0 ) (b a ) n ( n 1)! ( n 1)! 0, ( n )
可知当分点越多时，用如下公式求数值微商越精确
f ( xk ) Ln ( xk ),
k 0,1,, n
对于插值型数值微商公式
f ( xk ) Ln ( xk ),
得到一阶中心差商数值微分公式
f ( x0 ) f ( x0 h) f ( x0 h) 2h R1 ( x0 ) O( h2 )
误差为
二阶中心差商数值微分公式为 f ( x0 h) 2 f ( x0 ) f ( x0 h) ( x0 ) f h2 误差为 R2 ( x0 ) O( h2 )
3! dx ( ) 1 2 df (4h 6hf ( )) O( h) 6 dx ( ) 1 2 df R2 ( x1 ) ( h ) O ( h2 ) R2 ( x2 ) O( h) 6 dx
总结一下，两点、三点数值微商公式：
一阶两点微商公式
f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 ) h f ( x1 ) f ( x0 ) ( x1 ) f h 一阶三点微商公式 1 f ( x0 ) L2 ( x0 ) [3 f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 )] 2h
数值计算微积分
张建瓴
§13.1 数值积分
一、数值积分方法
在工程教学和应用中，除了进行数据逼近外，还要求逼近 曲线下面的面积，这就是积分问题。
典型的数值积分方法有：用常数(0阶多项式)近似函 数矩形法；用直线(一阶多项式)近似函数曲线的梯形 法；用抛物线(二阶多项式)近似函数曲线的Simpson 法，以及用一般多项式近似函数的Romberg法等。
dblquad函数的参数
输入参数inmin，inmax是内变量的下限和上限； outmin、outmax是外变量的下限和上限； tol的含义与命令quad中的情况相同； method是积分方法选项，如“quad”和“quad8”等。 注意： 该命令不适用于内积分区间上、下限为函数的情况。
〖例13-6〗 example13_6.m
quad和quad8的参数
tol是一个二元向量，它的第一个元素用来控制相对误差， 第二个元素用来控制绝对误差，缺省时积分的相对精度为 0.001； trace如果取非零值时，将以动态图形的形式展现积分的 整个过程，若取零值，则不画图，其缺省值是0； pl和p2是向被积函数传递的参数。 在上面的调用格式中，前三个输入参数是调用时必须的， 而后面的输入参数可缺省。
求积分上下限都为常数的二重积分，被积函数为 y*sin(x)+s*cos(y)，其中x的取值范围是π到2π，y的 取值范围是0到π。 （1）建立名为integrnd的M文件
fimction out=integrnd(x,y) out=y*sin(x)+x*cos(y) （2）用函数dblquad命令来求integrnd的二重积分 result=dblquad('integrnd',pi,2*pi,0,pi)3-2 较好的梯形逼近曲线下的面积示意图 从图中可明显地看出，单个梯形的面积在某一段欠估计了 函数真正的面积，而在其它段又过估计了函数的真正面积。 如同线性插值，当梯形数目越多时，函数的近似面积越准 确。例如，在图13-1中，如果我们大致增加一倍数目的梯 形，我们得到如下（如图13-2）所示的更好的近似结果。
数学的数值计算方法
数学的数值计算方法数值计算法是数学中一个重要的分支，它研究如何利用计算机进行数学问题的求解与模拟。
在现代科学与工程领域，数值计算法被广泛应用于解决各种实际问题，如物理模拟、数据分析、优化问题等。
本文将介绍几种常用的数值计算方法，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、插值与拟合方法插值与拟合是数值计算中常见的问题。
它们的目标是通过已知的数据点构建出一个函数，以便对未知点进行估计或者进行数据拟合。
在插值方法中，我们希望通过已知数据点构建出一个通过这些点的函数；而在拟合方法中，我们希望通过已知数据点找到一个函数，使得该函数与实际数据的误差最小。
在插值方法中，最常用的是拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值基于插值多项式的思想，通过利用数据点的函数值和相应的系数进行插值；牛顿插值则是通过差商的概念构建出插值多项式。
而在拟合方法中，最常用的是最小二乘拟合。
最小二乘拟合通过最小化实际数据与拟合函数之间的误差，找到最优的拟合函数。
二、数值微积分方法数值微积分方法是研究如何通过数值计算的方式求解微积分问题。
微积分问题涉及到函数的极限、导数、积分等。
在实际计算中，我们无法通过传统的解析方法求解这些问题，而需要借助数值计算的手段。
在数值计算微积分中，最常用的是数值积分方法和微分方程的数值解法。
数值积分方法通过数值逼近的方式求解积分问题，如梯形法则和辛普森法则；微分方程的数值解法则是通过数值逼近的方式求解微分方程的解，如欧拉法和龙格-库塔法。
三、线性代数方法线性代数是数值计算中的一个重要分支，它研究线性方程组与矩阵运算的数值计算方法。
在实际科学与工程问题中，线性方程组的求解与矩阵运算是非常常见的。
线性方程组的数值解法包括直接法和迭代法。
直接法适用于方程组规模较小、系数矩阵呈稠密型的情况，如高斯消元法和LU分解法；而迭代法适用于方程组规模较大、系数矩阵呈稀疏型的情况，如雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法。
矩阵运算的数值方法包括矩阵乘法、矩阵分解与特征值求解等，如QR分解和幂法。
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数值微积分Last revision on 21 December 2020第五章 数值微积分一、内容分析与教学建议本章内容是数值微积分。
数值微分包括：用插值多项式求数值微分、用三次样条函数求数值微分和用Richardson 外推法求数值微分。
数值积分包括：常见的Newton-Cotes 求积公式，如：梯形公式、Simpson 公式和Cotes 公式；复化求积公式；Romberg 求积公式和Gauss 型求积公式等内容。
（一） 数值微分1、利用Taylor 展开式建立数值微分公式，实际上是利用导数的离散化，即用差商近似代替导数，在由Taylor 公式的余项估计误差；由于当步长h 很小时，回出现两个非常接近的数相减，因此，在实际运用中往往采用事后估计的方法来估计误差。
2、用插值多项式求数值微分，主要是求插值节点处的导数的近似值。
借助第二章的Lagrange 插值公式及其余项公式，确定插值节点处的导数的近似值及其误差。
常用的有三点公式和五点公式。
3、阐明用三次样条函数()s x 求数值微分的优点：由第三章的三次样条函数()s x 的性质知：只要()f x 的4阶导数连续，则当步长0h →时，()s x 收敛到()f x ，()s x '收敛到()f x '，()s x ''收敛到()f x ''. 因此，用三次样条函数()s x 求数值微分，效果是很好的。
指出其缺点是：需要解方程组，当h 很小时，计算量较大。
4、讲解用Richardson 外推法求数值微分时，首先阐明方法的理论基础是导数的离散化，即用差商近似代替导数；然后重点讲解外推法的思想和推导过程，因为这种方法和思路在后面的数值积分和微分方程数值解中还要用到。
（二） 数值积分的一般概念1、由定积分的几何意义引入数值积分的思想，介绍求积公式、求积节点、求积系数、余项等基本概念。
2、重点介绍代数精度以及如何求一个判定积公式的代数精度，并举例说明。
3、介绍插值型求积公式以及插值型求积公式的代数精度的特点。
（三）等距节点的求积公式1、简单介绍一般的等距节点的插值型求积公式——Newton-Cotes公式以及Cotes 系数。
2、重点介绍几种常用的Newton-Cotes公式：梯形公式、Simpson公式和Cotes公式。
要求学生掌握上述三种求积公式的表达式，并了解三种求积公式各自的余项。
3、以Simpson公式为例，求出它的代数精度是3；并要求学生课后自己求出梯形公式和Cotes公式的代数精度。
（四）复化求积公式1、结合分段插值的思想阐明复化求积公式的思想。
2、重点介绍复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式以及它们各自的余项，并举一、两个例子加以说明。
3、简介事后估计和自适应Simpson方法。
（五）R omberg求积法1、Romberg求积法是一种逐步分半加速法，它是以复化梯形公式为基础构造高精度求积公式的方法，是一种快速、有效的求积法。
2、阐明Romberg公式的建立过程：利用事后估计的思想，从复化梯形公式建立一整套递推算法，进而得到Romberg公式，整个过程实际上是一个加速的过程。
3、可通过例子验证Romberg求积法的加速效果。
（六）G auss型求积公式1、Gauss型求积公式也是一种高精度的插值型求积公式，但它的节点不是等距的，因而Gauss型求积公式不属于Newton-Cotes公式的范畴。
2、阐明Gauss 型求积公式的代数精度是插值型求积公式的最大值，介绍Gauss 点的概念，并说明Gauss 点实际上是某个正交多项式的零点。
3、讲清楚Gauss 型求积公式的求积系数的特殊构造，并由此证明Gauss 型求积公式是稳定的，以及Gauss 型求积公式的收敛性。
4、 介绍几种Gauss 型求积公式：古典Gauss 公式、Gauss-Tchebyshev 公式、Gauss-Laguerre 公式和Gauss-Hermite 公式。
让学生了解上述四中Gauss 型求积公式的表达式、表达式中的权函数、定积分的上、下限以及求积系数，并通过2—3个例子具体阐述上述Gauss 型求积公式是如何求数值积分的，并和以前的方法比较它们的精度。
本章结束时，建议安排一次上机实习，让学生自己动手，根据书中的算法，编程计算各种数值积分的例子，加深和巩固学生对本章内容和方法的了解和掌握。
二、补充例题例1 用三点公式求21()(1)f x x =+在 1.0,1.1,1.2x =处的导数值，并估计误差，()f x 的函数值由下表给出：1.0 1.1 1.2()0.2500000.2267570.206612i i x f x .解 三点求导公式为取上表中0121.0, 1.1, 1.2x x x ===，再分别将有关数值代入上式，即可得导数的近似值。
因为551.0 1.21.0 1.24!4!()max ()max 0.75(1)2i x x f f x x ξ≤≤≤≤''''''≤=-==+，所以可得误差估计及导数值如下表：例2 从地面发射一枚火箭，在最初80秒内，记录其加速度如下表。
试求火箭在第80秒时的速度。
分析：速度对时间t 的导数等于加速度，因此已知加速度求速度，只需把速度看作是加速度的原函数即可。
若设速度为()v t ，则0()(0)()tv t v a t dt =+⎰，于是800(80)(0)()v v a t dt =+⎰.这样就把问题转化为求积分的问题。
解 应用复化Simpson 求积公式计算。
此题中积分区间的长度是80，有9个节点，故4,80420n h ===.由于火箭从地面向上发射，因此(0)0v =. 于是火箭在第80秒时的速度为 808000(80)(0)()()v v a t dt a t dt =+=⎰⎰例3 计算椭圆2214x y +=的周长，使结果具有5位有效数字。
分析：这是一个求周长的问题，因此要用到线积分中的弧长公式。
在估计误差时，由于弧长公式中含有根式，其高阶导数较复杂，故可用事后误差估计的方法来做；另外还必须把误差与有效数字结合起来使用。
解 由于在直角坐标系下求弧长表达式较复杂，因此采用极坐标来求解。
令2cos ,sin x y θθ==，则椭圆弧长为444l d d d θθθ=⨯=⨯=⨯，因为222I d ππθπ<=<⨯=，所以I 有一位整数。
故若要求结果有5位有效数字，则必须使截断误差4110-≤⨯. 列表计算如下：故可取8 2.4221I T ≈=可使I 有5位有效数字，从而49.6884l I =⨯≈.例4 用反证法证明：不存在,(0,1,2,,)k k A x k n =，使得求积公式 的代数精度超过21n +次。
分析：只要能找到一个22n +次的多项式，使求积公式两边不相等即可。
而具有21n +次代数精度的求积公式的节点是[,]a b 上带权()x ρ的正交多项式的零点(0,1,2,,)k x k n =,可考察22n +次的多项式221()()nn i i x x x ω+==-∏.解 构造多项式221()()()nn i i K x x x x ω+===-∏，并令()()f x K x =，代入上述求积公式，则左端有()()()()0b ba a x f x dx x K x dx ρρ=>⎰⎰；右端有0()()0n nk k k k k k A f x A K x ====∑∑； 即左端≠右端。
这说明：不存在具有22n +次代数精度的求积公式。
故Gauss 型求积公式是具有最高次代数精度的求积公式。
例5 设5000()[2,2],0,,(),0,1,2k k k f x C x h x h h x x kh f f x k ∈-+>=+==±±，求证：(1) 4021121()(88)()12f x f f f f O h h--'=-+-+； (2) 2010121()(2)()f x f f f O h h-''=-++.证 本题用Taylor 公式来证。
(1) 因为 230000011(2)()2()(2)()(2)()2!3!f x h f x h f x h f x h f x ''''''±=±⨯+⨯⨯±⨯⨯ 4(4)501(2)()()4!h f x O h +⨯⨯+， 4(4)501()()4!h f x O h +⨯⨯+， 所以500000(2)()8()(2)12()()f x h f x h f x h f x h h f x O h '---++-+=⨯+， 即 4021121()(88)()12f x f f f f O h h--'=-+-+. (2) 利用(1)中0()f x h ±的展开式，得2010121()(2)()f x f f f O h h-''=-++. 例6 确定常数,,,A B C D （均用分数精确表示），使求积公式()()I f I f ≈，其中23()()()d ,()[()()][()()]ba I f x a f x x I f h Af a Bfb h Cf a Df b ''=-=+++⎰具有尽可能高的代数精确度，并指出代数精确度是多少其中h b a =-.解 设该求积公式对23()1,,(),()f x x a x a x a =---精确成立，得2231()[11][00]2b a x a h A B h C D -=⨯+⨯+⨯+⨯，3231()[0][11]3b a x a h A B h h C D -=⨯+⨯+⨯+⨯， 42231()[0][02]4b a x a h A B h h C D h -=⨯+⨯+⨯+⨯， 523321()[0][03]5b a x a h A B h h C D h -=⨯+⨯+⨯+⨯， 化简得 解得3711,,,.20203020A B C D ====- 例7寻找合适的数值求积公式，计算出积分31x ⎰的准确值。
解因为3121-121(2)2x t xt t t =++=+⎰⎰⎰令2211121111(2)()d 222t t t f t t ⎡⎤=++==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰， 其中2()(2)f t t t =+，权函数()x ρ=所以可取Gauss-Tchebyshev 求积公式11()d ()nk k k f t t A f x =≈∑⎰，其中,1,2,,k A k n nπ==. ()*又因为2()(2)f t t t =+是3次多项式，且()*具有21n -次代数精度，所以取2n =，可计算出积分3111()d 2x f t t =⎰⎰的准确值。