6.5商的变化规律
商的变化规律的口诀三条
商的变化规律的口诀三条
（1）被除数扩大（缩小）n倍，除数不变，商也相应的扩大（缩小）n倍。
（2）除数扩大（缩小）n倍，被除数不变，商相应的缩小（扩大）n 倍。
（3）被除数与除数同乘以来自或同除以一个数（零除外360问答），商不变。
扩展资料：
积的变化规律是指因数的变化所引起的积的变化。
（1）如一个因数扩大n倍，另一个因数不变，则积也扩大n倍。
（2）一个因数扩大n倍，另一个因数缩小n倍，则积不变。
除法运算肥天裂性质
（1）若某数除以(或乘)一个数，又乘(或除以)同一个数，则这个数
不变。
例如：68÷17×17=68(或68×17÷1绿钱规云歌投建以玉7=68)。
（2）一个数除以几个数的积兴得乡讲从养属得都花你，可以用这个
数依次除以积里的各个因数。
例如：320÷(2×5×8)=320÷2÷5÷8=4。
（3）几个数的积除以一个数，可以让积里的任何一致段机个因数除
以这个数，再与光其他的因数相乘。
例如：8×管苦洲视联72X4÷9=72÷9×8×4=256。
商的变化规律
• 1、两个数相乘，一个因数不变，另一个因数扩大 100倍，积（ A ）
• A、扩大100倍 B、缩小100倍 C、不变 • 2、 24×6=144，当因数6扩大10倍，另一个因数
不变，积是（ A ）。 • A、1440 B、14400 C、144 • 3、两个数相乘，一个因数不变，另一个因数除以
• A、被除数缩小10倍
B、除数扩大10倍
• C、被除数和除数都扩大10倍
• D、除数不变被除数扩大10倍或被除数不变除数缩小10倍
通过今天的学习， 你有哪些收获？
快告诉大家吧！
• 作业P89 • 4、6
谢谢
3，积（ B ）。 • A、也乘3 B、也除以3 C、不变
积的变化规律
• 两数相乘，一个因数不变，另一个因 数乘几或除以几（0除外），积也乘（ 或除以）几。
P86例8
2 100 200÷ 20 ＝ 10
40
5
16
2
160 ÷8 ＝ 20
320
40
被
除
除
数
数
扩
不
大
变
返回
商 缩 小
被
除
除
数
数
不
扩
变
• 3、810÷5=（810×2）÷（5×2）。（√ ）
四、选择
• 1、被除数扩大3倍，除数（ B ），商不变。 • A、增加3倍 B、扩大3倍 C、加上3
• 2、2100÷700﹦3，根据商不变规律，下面算式正确的是 （C ）
• A、210÷7﹦3 B、2100÷7﹦3 C、21÷7﹦3
• 3、在56÷7=8里，要使商变为80，那么（ D ）。
商 扩 大
大
《商的变化规律》
旅行预订
旅行者可以通过比较不同旅行 社或在线预订平台的报价，来 选择价格更合理的旅游产品。 这同样需要使用商的变化规律 来比较不同报价之间的差异。
商业中的应用
01
市场调研
商家在进行市场调研时，需要了解竞争对手的产品价格、促销策略和
市场占有率等信息。这需要使用商的变化规律来分析竞争对手的商业
策略。
02
要点二
详细描述
单项式乘以单项式，把他们的系数相乘作为积的系数， 相同字母的幂分别相乘后作为积中的相应项，其余字母 连同他的指数不变，作为积的因式。例如，$(2x^2) \cdot (3x^3)$等于$6x^5$。
除法运算律
总结词
一个数除以一个不为0的数等于这个数乘以 这个数的倒数。
详细描述
在进行除法运算时，一个数除以一个不为0 的数等于这个数乘以这个数的倒数。例如，
性质
小数商具有连续性和无限性，即两个整数相除得到的小数商是一个无限循环或不循环小数。此外，小数商还具 有传递性和封闭性，即任何两个整数的小数商都只有一个确定的值，并且如果a除以b得到的小数商是c，那么 b除以a得到的小数商就是c的倒数。
02
商的性质
传递性
定义
如果a·b=c·d，那么a:d=b:c，称为商的传递性。
扩大或缩小不同倍数
总结词
当两个数扩大或缩小的倍数不同时，商会发生变化。
详细描述
例如，当90除以10得到9，而9扩大20倍得到180，这时 商变为18，这表明当两个数扩大或缩小的倍数不同时， 商会发生变化。
零除法法则
总结词
零除法法则是指当被除数为零时，商也为零。
详细描述
例如，当90除以0得到0，这表明当被除数为零时，商 也为零。
2019-2020学年人教版数学四年级上册6.5商的变化规律A卷
2019-2020学年人教版数学四年级上册6.5商的变化规律A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的！一、选择题 (共6题；共12分)1. （2分） (2019五上·龙华)2.67除以一个数，所得的商小于2.67，则这个数可能是（）。
A . 0.5B . 0.89C . 1D . 1.52. （2分） (2019五上·天等期中) 下列算式中，商大于1的是（）。
A . 7.5÷8. 6B . 3.4÷3. 23C . 0. 24÷0.42D . 75÷753. （2分）在下面三道算式中，结果最大是（）A . ﹣B . ×C . ÷4. （2分） (2018五上·通州月考) 下面四道算式中，计算结果最大的是（）A . 8.5÷0.5B . 8.5×0.98C . 8.5+6.5D . 8.5÷1.015. （2分）(2018·思明模拟) 根据□÷△=2（△≠0），判断下面（）选项是错误的。
A . (□×2）÷（△×2)=2B . （□÷2）÷（△÷2）=2C . （□+□）÷（△+△）=2D . （□×□）÷（△×△）=26. （2分） (2020四上·龙华期末) 跳跳想用计算器计算7200÷8，但他错误地输成了72÷8，下面的做法中，可以弥补他的错误的是（）。
A . 乘100B . 除以100C . 加100D . 减100二、判断题 (共6题；共12分)7. （2分）两位数除以两位数，结果也是两位数。
8. （2分）320÷20=（320×5）÷（20×4）9. （2分）A÷B=23……7，被除数和除数同时扩大到原来的100倍，余数仍然是7。
商的变化规律和商不变的规律
注意事项：使用商的变化规律时，需要注意被除数和除数扩大的倍数必须相同；而商不 变规律中，除数不能为0，否则会导致分母为0的情况，不符合数学规则
商的变化规律和商不变规律的适用范围
商的变化规律 适用于除数不 为0的情况，被 除数和除数同 时乘或除以相 同的数（0除 外），商不变。
商不变规律是指被除数和除数同时乘或除以同一个不 为零的数，商不变。
单击此处添加项标题
数学表达式为：a ÷ b = (a × k) ÷ (b × k) 或 a ÷ b = (a ÷ k) ÷ (b ÷ k)，其中 a、b、k 均 为正数。
单击此处添加项标题
商不变规律是数学中一个重要的定理，它在除法、分 数、比等数学概念中有广泛应用。
商不变规律的证明方法
证明方法一：利 用除法的定义进 行证明
证明方法二：利 用商的性质进行 证明
证明方法三：利 用代数恒等式进 行证明
证明方法四：利 用几何图形进行 证明
01
商的变化规律和商不变规律的对比
商的变化规律和商不变规律的异同点
相同点：两者都是描述除法运算中商的变化情况
不同点：商的变化规律是指被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变；而商不 变的规律是指除数不能为0，被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变
当除数扩大若干倍时，商也扩大相同的倍数 当除数缩小若干倍时，商也缩小相同的倍数 除数不为0，当除数扩大或缩小若干倍时，商也相应地扩大或缩小相同的倍数 商随被除数的变化而变化，当被除数扩大或缩小若干倍时，商也扩大或缩小相同的倍数
商的变化规律在实际中的应用
2020最新部编版最新部编版四年级数学上册：6.5 商的变化规律 教学资料
6.5 商的变化规律
一、直接写出下面各题的结果，并用计算器验算。
36÷2= 6800÷80=
180÷10= 3400÷40=
360÷20= 680÷8=
720÷40= 1700÷2=
二、填表。
三、妈妈一分钟打130个字，爸爸一分钟打65个字，爸爸和妈妈同
时开始各打一份稿件。
妈妈打的稿件有780个字，爸爸打的稿件有390个字。
爸爸6分钟打完。
你能说出妈妈几分钟打完吗？
四、服装厂第一车间有50人做衬衣，第二车间有25人做裤子，现在
有1000套服装，如果两个车间同时开始做，能否在同一天完成？
几天完成？
衬衣裤子
平均每人每天做4件衬衣平均每人每天做8条裤子
答案：
一、18 18 18 18 85 85 85 850
二、20 20 20 20 20
三、780÷130=6（分）
四、1000÷(50×4)=5(天)
1000÷(25×8)=5(天) 能 5天。
人教版数学四年级上册6.5商的变化规律
人教版数学四年级上册6.5商的变化规律学校:___________姓名：___________班级：___________等级：___________一、选择题1.下面各题，与9600÷640商相同的是〔〕。
A. 9600÷64B. 96÷64C. 960÷642.与560÷35的得数不相等的算式是〔〕A. 〔560÷5〕÷〔35÷5〕B. 560÷7÷5C. 〔560×7〕÷〔35÷7〕3.两个数相除，商是30，如果除数不变，被除数扩大到原数的2倍，商是〔〕。
A. 15B. 30C. 604.下面各题，与9600÷640的商相同的是〔〕。
A. 9600÷64B. 96÷64C. 960÷645.小红想用计算器计算3780000÷300，她错误地输入了37800÷30．以下〔〕的做法可以弥补她的错误．A. 乘100B. 除以100C. 除以10D. 乘106.被除数扩大10倍，同时除数也扩大10倍，商〔〕A. 扩大100倍B. 扩大200倍C. 不变二、判断题7.a÷b=6……5，将a，b同时扩大100倍，那么商不变，余数也不变。
〔〕8.5620÷70=562÷7，因为562除以7的商是80，余数是2，所以5620除以70的商也是80，余数是2。
〔〕9.甲数除以乙数的商是15。
如果甲数和乙数都乘3，商就变成45了。
〔〕10.因为75÷4＝18……3，所以，750÷40＝18……3。
〔〕11.两个数的商是16，被除数和除数都除以8，商仍然是16。
〔〕12.800÷25=〔800×4〕÷〔25×4〕=3200÷100=32应用了商不变的规律。
商的变化规律
商的变化规律哎呀，说起这商的变化规律，那可真是数学世界里一个特别有趣又实用的玩意儿！咱们先从最简单的例子说起。
比如说，你和小伙伴一起去买糖果，一包糖果 10 块钱，你有 20 块钱，能买到 2 包糖果，这时候商就是 2。
但要是糖果突然打五折，一包只要 5 块钱，那 20 块钱能买到 4 包糖果，商就变成了 4。
瞧，价格变了，能买到的糖果数量也就跟着变啦，这就是商的变化规律在生活中的小体现。
在咱们的数学教材里啊，商的变化规律主要有这么几条。
首先是被除数不变，除数变化引起商的变化。
就像刚才说的买糖果，被除数 20 块钱不变，除数从 10 变成 5，商就从 2 变成了 4。
除数变小，商反而变大。
然后是除数不变，被除数变化引起商的变化。
还是拿买糖果举例，如果一包糖果还是 10 块钱，你一开始有 20 块钱能买 2 包，后来你又多了 30 块钱，一共 50 块钱，那就能买 5 包了。
被除数变大，商也跟着变大。
还有被除数和除数同时变化的情况。
比如说被除数乘以 2，除数乘以 3，那商就会变小。
这就好比原本你有 20 块钱能买 2 包 10 块钱的糖果，现在你有 40 块钱，但是糖果变成一包 15 块钱了，那你能买到的糖果就少啦。
我记得有一次在课堂上，我给孩子们出了一道题：“如果120÷30=4，那（120×2）÷（30×2）等于多少？”孩子们都开始埋头苦算，有个小家伙特别机灵，一下子就喊出来：“老师，还是 4 ！”我问他怎么这么快就想出来了，他一脸骄傲地说：“您刚讲的被除数和除数同时乘以一个数，商不变呀！”那一刻，我心里别提多开心了，这孩子把知识学活啦！在实际解题的时候，掌握了商的变化规律可太有用啦。
比如说计算560÷70，我们可以把被除数和除数同时除以 10，变成 56÷7，一下子就能算出商是 8 。
总之啊，商的变化规律就像是数学世界里的一把神奇钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。