2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(用) (1)

设向量a、b为两非零向量，e是与b同向的单位向量：
（１）a⊥b a · b=0 . (判断两向量垂直的依据)
（２）当a与b同向时，a· b＝|a|· | b |； 当a与b反向时，a· b＝ － | a | · | b |. 特别地， a a | a |2 或 | a | a a . （３）a · b ≤| a | · | b |. （４） cos a b .
a b | a || b | cos
这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。
0 90 夹角 的范围 a b 的正负 正
90
0
90 180
负
数量积符号由cos的符号所决定
平面向量的数量积的运算性质
问题5：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a· b等于多少？ 反之成立吗？
B
b

O
a
a b a b cos
A
| b | cos
数量积a b等于a的长度 a 与b在a的 方向上的投影数量 b cos 的乘积.
四、平面向量数量积的运算率:
(1)交换律：a b b a
( a) b (a b) a (b) (2)数乘结合律：
平面向量的数量积的物理背景 及其含义
复习回顾
向量的夹角
注意 : 两向量的夹角定义, 两向量必须 是同起点的,范围是0 .
两个非零向量a 和b ，作OA a ，OB b ，则 AOB
(0 180 ) 叫做向量a 和b 的夹角． B
a b
b
O A a O A
2 2
金榜112.7.8.9
4. a b a 2a b b
平面向量数量积的重要性质: 是非零向量， e 是与 b 方向相同的 设 a 、b 单位向量， 是 a 与 e 的夹角，则:
1a e e a a cos
B b
| b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影． 向量a在b方向上的投影 是什么？

O
C
a
B1
A
︱a︱cosθ
投影一定是正数吗？
说明：
（ 1）
B
B
B
b
b
b

O a

B1
A O a A B1 θ为钝角时， | b | cosθ＜0
θ为锐角时， | b | cosθ＞0
A O( B1 ) a θ为直角时， | b | cosθ=0
︱a· b︱≤︱a︱︱b︱
例：已知a，b 满足：a 2 =9，a b 12，求 b 的取值范围。
问题8：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
cos
例：已知 a 12,
a b a b
.
b 9, a b 54 2, 求 a 与 b 的夹角.
平面向量的数量积的运算性质
2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义
小
结
1. 向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加 法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何 意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运 算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.
2. 实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用 时不要似是而非. 3. 常用︱a︱＝ a a 求向量的模. 常用 cos
练习:
1、已知ABC中， AB a , AC b ,当a b 0 或a b 0时，试判断ABC的形状。
变式：已知ABC中， AB a, BC b,当a b 0时， 试判断ABC的形状。
二、例题讲解
例2.已知 | a | 6,| b | 4 ， a 与 b 的夹角60º ， 求 (a 2b) (a 3b)。
例1 . 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ. 解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ ＝０°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1） ＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０； ③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有 1 ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6× ＝9 2
a 上的投影是数量,不是向量, 什么时候为正，什么时候为负？ b cos
B b

向量 b 在方向
B b

B b
O
a
B1 A
B1
O
aA
O( B1 )
a
A
b cos 0
a
b cos 0
b
b cos 0
a
O
b
B
A
B
O
A
b cos b
b cos b
三、平面向量数量积的几何意义:
a b b a
关于向量的数量积运算： 数量积运算不满足乘法结合律。
(λa)· b＝ λ(a b)＝ a·(λ b ) · 分配律：
(a b ) c a c b c
思考１： a· b与b· a相等吗？为什么？ 思考２：对于非零向量a，b，c，(a· b)· c表示什么意义？(a· b)· c 与a· (b· c)相等吗？为什么？ 思考３：对于向量a，b，c，(a＋b)· c表示什么意义？它与 a· c＋b· c相等吗？为什么？
当 = 0时投影为|b| 当 = 180时投影为-|b|. （2）投影也是一个数量，不是向量。
问题4：根据投影的概念，数量积a· b=︱a|︱b︱ cosθ的几何意义是什么？
数量积a· b等于a的模与b在a方向上的 投影︱b︱cosθ 的乘积，或等于b的模与 a在b方向上的投影︱a︱cosθ 的乘积.
解: (a 2b) (a 3b) a a a b 6b b
| a |2 a b 6 | b |2
| a |2 | a || b | cos 6 | b |2
6 6 4 cos 60 6 4
2 2
72
练一练：
若 | a | 4 , | b | 8 , a与b夹角为 （1）当 30 时a在b上的投影为 2 3
0
（2）当 90 时a在b上的投影为
0 0
0
（3）当 120 时a在b上的投影为 2 （4）当 120 时b在a上的投影为 4
0
3:已知 a 5， b 4,向量a与b的夹角为 ， 3 如果（k a b）（ a 2b）,求实数k的值.
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即
a b | a || b | cos
说明：
（1） 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即
ab
平面向量的数量积运算律
问题９: 我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些 运算 律对向量是否也适用？
类比实数的乘法运算律：
交换律：a b b a 结合律：a (b c) (a b) c 分配律：a (b c) a b a c
数量积的运算律：＜90°时 a· b>0 当θ =90°时 a· b=0 当90°＜θ≤180°时 a· b<0
二、投影:
b
A1 B b B
O
a A O
a
B1 A
a cos
b cos
a cos ( b cos )叫做向量 a 在 b 方向上
(向量 b 在 a 方向上)的投影.

4:已知 a 6，向量a与b的夹角为 ， 3 且（a 3b） （a 2b）=-72,求 b .

练习： 1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． √
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0． × 3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 × × 4．若a · b=0，则a ·b中至少有一个为0． 5．若a≠0，a ·b= b ·c，则a=c × 6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 × 时成立． 2 2 7．对任意向量 a 有 a | a | √
a 3 9, b 4 2 16
2
9 16k 2 0 3 k 4
3 也就是说, 当k 时, a kb与a kb互相垂直. 4
平面向量数量积的几何意义
作OA a， OB b ，过点B作 BB1 垂直于直线OA，垂足为 B ，则 OB1 | b | cosθ 1
a b 求向量的夹角. ab
一、平面向量数量积的定义:
已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为 , 我们把数量 a b cos 叫做 a 与 b 的数量积 (或内积),记作 a b .
a b a b cos
规定：零向量与任意向量的数量积为0．
a0 0
向量的数量积是一个数量，那么 它什么时候为正，什么时候为负？
＝a2－b2.
二、例题讲解 例4.已知 | a | 3,| b | 4 ，且 a 与 b 不共线，k为何值时，
向量 a kb 与
a kb 互相垂直。
2 2 2
解： a kb与a kb互相垂直的条件是 (a kb) (a kb) 0,即a k b 0
2 2
2a b a b 0
判断两个向量垂直的依据