2018届人教A版 立体几何中的向量方法(一)_证明平行与垂直 (理) 检测卷

2018年高考数学一轮复习 第七章 立体几何 课时达标44 立体几何中的向量方法(一)—证明平行与垂直 理[解密考纲]利用空间向量证明平行与垂直关系，常出现于选择、填空题中，或在解答题立体几何部分的第(1)问考查，难度中等或较小．一、选择题1．若直线l ∥平面α，直线l 的方向向量为s 、平面α的法向量为n ，则下列结论正确的是( C )A ．s ＝(－1,0,2)，n ＝(1,0，－1)B ．s ＝(－1,0,1)，n ＝(1,2，－1)C ．s ＝(－1,1,1)，n ＝(1,2，－1)D ．s ＝(－1,1,1)，n ＝(－2,2,2)解析：由已知需s ·n ＝0，逐个验证知，只有C 符合要求，故选C ．2．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( D ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0，－1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析：若l ∥α，则a ⊥n ，一一验证，可知选D.3．直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥平面α，则x 的值为( D )A ．－2B ．－ 2C ． 2D ．± 2解析：由已知得s ·n ＝0，故－1×2＋1×(x 2＋x )＋1×(－x )＝0，解得x ＝± 2. 4．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，以CD ，CB ，CE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( C )A ．(1,1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，1 C ．⎝⎛⎭⎪⎫22，22，1 D ．⎝⎛⎭⎪⎫24，24，1 解析：由已知得A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，E (0,0,1)，设M (x ，x,1)． 则AM →＝(x －2，x －2，1)，BD →＝(2，－2，0)，BE →＝(0，－2，1)．设平面BDE的一个法向量为n ＝(a ，b ，c )．则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥BD →，n ⊥BE →，即⎩⎨⎧2a －2b ＝0，－2b ＋c ＝0.解得⎩⎨⎧a ＝b ，c ＝2b ，令b ＝1，则n ＝(1,1，2)．又AM ∥平面BDE ，所以n ·AM →＝0. 即2(x －2)＋2＝0，得x ＝22，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1. 5．如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则( B )A ．EF 至多与A 1D ，AC 之一垂直B ．EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC C ．EF 与BD 1相交D ．EF 与BD 1异面解析：以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，0，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，A 1D →＝(－1,0，－1)，AC →(－1,1,0)，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，－13，BD 1→＝(－1，－1,1)， EF →＝－13BD 1→，A 1D →·EF →＝AC →·EF →＝0，从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC ，故选B.6．如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( B )A ．斜交B ．平行C ．垂直D ．不确定解析：建立如图所示的坐标系， 由于A 1M ＝AN ＝2a3，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a 3，a 3，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，2a 3，a ，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a3，0，2a 3，又C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，所以C 1D 1→＝(0，a,0)为平面BB 1C 1C 的一个法向量． 因为MN →·C 1D 1→＝0，所以MN →⊥C 1D 1→， 所以MN ∥平面BB 1C 1C ，故选B. 二、填空题7．若直线l 的方向向量e ＝(2,1，m )，平面α的法向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，且l ⊥α，则m ＝4.解析：因为l ⊥α，所以e ∥n ，即e ＝λn (λ≠0)，亦即(2,1，m )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，m ＝2λ.则m ＝4.8．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为407，－157，4.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3＋5－2z ＝0，x －1＋5y ＋6＝0，3 x －1 ＋y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157，z ＝4.9．已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是平行．解析：由已知得，AB →＝(0,1，－1)，AC →＝(1,0，－1)，设平面α的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥AB →，m ⊥AC →，得⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，x －z ＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z ，y ＝z ，令z ＝1，得m ＝(1,1,1)．又n ＝(－1，－1，－1)，所以m ＝－n ， 即m ∥n ，所以α∥β. 三、解答题10．如图，在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1的中点．(1)求证：AG ∥平面BEF ；(2)试在棱长BB 1上找一点M ，使DM ⊥平面BEF ，并证明你的结论．解析：(1)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，因为EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1，而AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，1，所以AG →＝EF →＋BF →，故AG →与平面BEF 共面，又因为AG 不在平面BEF 内，所以AG ∥平面BEF . (2)设M (1,1，m )，则DM →＝(1,1，m )，由DM →·EF →＝0，DM →·BF →＝0，所以－12＋m ＝0⇒m ＝12 ，所以M 为棱BB 1的中点时，DM ⊥平面BEF .11．(2015·北京西城二模)如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD ＝2BC ，EA ⊥EB .(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；(3)线段EA 上是否存在点F ，使EC ∥平面FBD ？若存在， 求出EFEA；若不存在，请说明理由．解析：(1)证明：取AB 的中点O ，连接EO ，DO . 因为EB ＝EA ，所以EO ⊥AB . 因为四边形ABCD 为直角梯形．AB ＝2CD ＝2BC ，AB ⊥BC ，所以四边形OBCD 为正方形， 所以AB ⊥OD .因为EO ∩DO ＝O ，所以AB ⊥平面EOD ，所以AB ⊥ED . (2)因为平面ABE ⊥平面ABCD ，且EO ⊥AB ， 所以EO ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥OD .由OB ，OD ，OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以OA ＝OB ＝OD ＝OE ， 设OB ＝1，所以O (0,0,0)，A (－1,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，E (0,0,1)．所以EC →＝(1,1，－1)，平面ABE 的一个法向量为OD →＝(0,1,0)． 设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ，所以sin θ＝|cos 〈EC →，OD →〉|＝|EC →·O D →||EC →||OD →|＝33，即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为33.(3)存在点F ，且EF EA ＝13时，有EC ∥平面FBD .证明如下：由EF →＝13EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，－13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，23，所以FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0，－23，BD →＝(－1,1,0)．设平面FBD 的法向量为v ＝(a ，b ，c )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧v ·BD →＝0，v ·FB →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，43a －23c ＝0，取a ＝1，得v ＝(1,1,2)．因为EC →·v ＝(1,1，－1)·(1,1,2)＝0， 且EC ⊄平面FBD ，所以EC ∥平面FBD ，即点F 满足EF EA ＝13时，有EC ∥平面FBD .12．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1.证明：(1)以B 为原点，以BA ，BC ，BB 1为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ，则B (0,0,0)，E (3,0,1)，F (0,3,2)，D 1(3,3,3)，则BE →＝(3,0,1)，BF →＝(0,3,2)，BD 1→＝(3,3,3)，所以BD 1→＝BE →＋BF →.由向量共面的充要条件知E ，B ，F ，D 1四点共面．(2)设M (0,0，z 0)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，0，则GM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－23，z 0，而BF →＝(0,3,2)， 由题设得GM →·BF →＝－23×3＋z 0·2＝0，得z 0＝1.故M (0,0,1)，有ME →＝(3,0,0)． 又BB 1→＝(0,0,3)，BC →＝(0,3,0)，所以ME →·BB 1→＝0，ME →·BC →＝0，从而ME ⊥BB 1，ME ⊥BC ． 又BB 1∩BC ＝B ，故ME ⊥平面BCC 1B 1.。