甘肃省2020学年高一数学上学期期末考试试题

高一数学上学期期末考试试题
满分150分时间120分钟
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的选项，请将正确选项填涂到答题卡的指定位置.）
1、设
{|5},
A x x
=∈≤
Z{1}
B x x
=∈>
Z|，那么A B等于( )
A．{1,2,3,4,5}
B．
{2,3,4,5}
C．
{2,3,4}
D．
{|15}
x x
<≤
2、函数
()22
x
f x x
=+-的零点所在的区间是( )
A．(,1)
-∞- B．(1,0)
-C．(0,1) D．(1,2)
3、某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )
A．圆柱B．圆锥 C．四面体D．三棱柱
4、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．3πB．4π
C．2π＋4 D．3π＋4
5、已知A，B，C表示不同的点，L表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理错误的是( )
A．A∈L，A∈α，B∈L，B∈α⇒L⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．L⊄α，A∈L⇒A∉α
D．A∈α，A∈L，L⊄α⇒L∩α＝A
6、如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( )
7、用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a∥b，a∥c，则b∥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b
其中真命题的序号是( )
A．①②B．③ C．①③D．②
8、设α，β是两个不同的平面，L，m是两条不同的直线，且L⊂α，m⊂β.( )
A．若L⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则L⊥m
C．若L∥β，则α∥β D．若α∥β，则L∥m
9、一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )
10、将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如图所示，则该几何体的俯视图为( )
11、如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为( )
A ．1
B ．12 C.1
3
D ．1
6
12、如图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x 的值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填写到答题卡的指定位置.）
13、一个棱长为2 cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为_______cm ³.
14、在正方体ABCD­A 1B1C1D1中，E ，F 分别是棱A1B1，A1D1的中点，则A1B 与EF 所成角的大小为________．
15、已知直三棱柱ABC­A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为________．
16、P 为△ABC 所在平面外一点，且PA 、PB 、PC 两两垂直，则下列命题：
①PA ⊥BC ；②PB ⊥AC ；③PC ⊥AB ；④AB ⊥BC ，其中正确的个数是________．
三、解答题：（本大题6小题，17小题10分，18—22小题，每题12分，共70分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 将解答写在答题卡的指定位置.）
17、若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，求实数b的取值范围．
18、已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，求实数x的取值范围.
19、某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝e kx+b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，求该食品在33 ℃的保鲜时间．
20、如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，求此几何体的体积．
21、一几何体按比例绘制的三视图如图所示：
(1)试画出它的直观图；
(2)求它的表面积和体积．
22、如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别是PA，BD上的点且PE∶EA ＝BF∶FD，求证：EF∥平面PBC.
高一数学答案
1--12 BCADC DDABC DA
13、43π 14、π3
15、132
16、①②③
17、[解析] (2)由f (x )＝|2x
－2|－b ＝0得|2x
－2|＝b .
在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x
－2|与y ＝b 的图象，如图所示，
则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x
－2|－b 有两个零点． 所以b 的取值范围是0<b <2
18、解析：因为函数f(x)＝ln x ＋2x
在定义域上单调递增，
且f(1)＝ln 1＋2＝2，
所以由f(x 2
－4)<2得，f(x 2
－4)<f(1)， 所以0<x 2
－4<1，
解得－5<x<－2或2<x< 5.
19、解析：由已知条件，得192＝e b
，所以b ＝ln 192.又因为 48＝e
22k+b
＝e
22k+ln 192
＝192e 22k
＝
192(e 11k )2
，所以e 11k
＝(48192)12＝(14)12＝12
.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e
33k ＋ln 192
＝192e 33k ＝192(e 11k
)3＝ 192×(12)3
＝24.
20、[解析] 法一：
如图，取CM ＝AN ＝BD ，连接DM ，MN ，DN ，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．
所以V 几何体＝V 三棱柱＋V 四棱锥．
由题知三棱柱ABC ­NDM 的体积为V 1＝1
2×8×6×3＝72.
四棱锥D ­MNEF 的体积为
V 2＝1
3S 梯形MNEF ·DN ＝13×12
×(1＋2)×6×8＝24，
则几何体的体积为V ＝V 1＋V 2＝72＋24＝96.
法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V 几何体
＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ·AA ′＝1
2×24×8＝96.
21、解：(1)直观图如图所示．
(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱，且该几何体的体积是以A 1A ，A 1D 1，A 1B 1为棱的长方体的体积的3
4
，
在直角梯形AA 1B 1B 中，作BE ⊥A 1B 1于E ，
则四边形AA1EB 是正方形， AA 1＝BE ＝1，
在Rt △BEB 1中，BE ＝1，EB 1＝1， 所以BB 1＝2， 所以几何体的表面积
S ＝S 正方形ABCD ＋S 矩形A1B1C1D1＋2S 梯形AA1B1B ＋S 矩形BB1C1C ＋S 正方形AA1D1D ＝1＋2×1＋2×1
2×(1＋2)×1＋1×2＋1
＝(7＋2)．
几何体的体积V ＝34×1×2×1＝3
2
．
所以该几何体的表面积为(7＋2)，体积为3
2
22、证明：
法一：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM . 因为AD ∥BC ， 所以BF FD ＝
MF
FA
.
又由已知PE EA ＝
BF
FD
，
所以PE EA ＝
MF
FA
.
由平面几何知识可得EF ∥PM ， 又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ， 所以EF ∥平面PBC . 法二：
作FN ∥BC 交AB 于N ，
因为NF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，
所以NF ∥平面PBC . 因为AD ∥BC ， 所以NF ∥AD ， 则
BF FD ＝BN NA ， 又
PE EA ＝BF FD
，
所以PE EA ＝
BN
NA
.
连接EN ，则EN ∥PB .
又EN ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ， 所以EN ∥平面PBC . 又EN ∩NF ＝N ，
所以平面EFN ∥平面PBC ， 而EF ⊂平面ENF . 所以EF ∥平面PBC .。