中考分式求值试题的若干代入法技巧

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初中数学分式求值的技巧点拨学法指导

初中数学分式求值的技巧点拨在分式运算中，常遇到求值问题，这类问题题型多样，技巧性强，若根据题目中分式的结构特点，采用适当方法，则可巧妙获解。

一、巧用配方法求值例1 已知01x 5x 2=+-求44x1x +的值。

解：由0x 01x 5x 2≠=+-知，由此得5x1x =+ ∴2)x1x (x 1x 22244-+=+ 5272]2)x1x [(22=--+= 说明：在求解有关分式中两数（或两式）的平方和问题时，可考虑用完全平方公式进行解答。

二、巧用因式分解法求值例2 先化简，再求值： 1n mn )n m n mn n mn 2m n m (22222--+-+--。

其中231m -=，231n +=。

解：原式=1n mn ])n m )(n m ()n m (n )n m (n m [2--++--- nm mn 1n mn n m n 11n mn )n m n n m 1(--=-⋅--=----= ∵23231m --=-=，23231n +-=+= ∴1)23)(23(mn -=+---=，4)23()23(n m -=+----=- ∴41n m mn -=--=原式说明：因式分解法是一种重要的数学方法，解决很多数学问题都要用到它，尤其是在分式化简和分式的四则运算中运用较多。

因此，希望同学们对因式分解的各种方法熟练掌握。

三、巧用整体代入法求值例3 已知3b 1a 1=-，求bab 2a b 2ab 3a 2---+的值。

解：由3b1a 1=-变形得ab 3b a -=-，代入所求式得：原式ab2)b a (ab 3)b a (2--+-=53ab 2ab 3ab3ab 6=--+-=说明：在解答给定条件下求分式的值这类问题时，需要把待求值的分式进行恒等变形，转化成能用已知条件表示的形式，再代入计算，或先把条件进行化简再采用上述方法求值。

四、巧设参数（辅助未知数）求值例4 已知实数x 、y 满足x:y=1:2，则=+-yx y x 3__________。

解答分式求值问题常用的小妙招

数学篇分式求值运算是初中代数的重要内容之一.由于分式的形式多样，分式求值问题也存在着多种不同的解法.下面介绍“引入参数”“拆项变形”“整体代入”“巧取倒数”这四种分式求值的方法，供同学们学习与参考.一、借助参数求分式的值在分式求值问题中，如果出现等比例式，就可以引入参数，将等比设成参数，将所有未知量都转换成含有参数的式子，再将之代入分式求得分式的值，这样求解过程将变得非常简单.例1若c 4=b 5=a 6≠0，则b +c a 的值为_____.分析：题中“c 4=b 5=a 6”是一个等比例式，可以设公共比为“t ”，这样可以得到c =4t ，b =5t ，a =6t ，然后将a 、b 、c 的值代入b +c a 即可求出值.解：∵c 4=b 5=a 6≠0，∴设c 4=b 5=a 6=t （t ≠0），∴有a =6t ，b =5t ，c =4t .将a =6t ，b =5t ，c =4t 代入b +c a 有：b +c a =5t +4t 6t =96=32，∴b +c a 的值为32.评注：该题中是一个等比例式，可以通过“引入参数”的方法将比值具体化，将a 、b 、c都替换成含有t 的参数，然后代入到b +c a 中，最后通过约分就能得到具体的数值.二、通过拆项求分式的值在求解比较复杂的分式时，我们可以根据具体的题目特征，对部分分式进行拆分，再配凑出较为容易计算的项来求解.结合题目的结论和条件往中间项配凑，往往能化繁为简，变难为易.例2若1a +1b =5a +b ，则b 2a 2+a 2b 2=_____.分析：待求分式“b 2a 2+a 2b 2”中的“b 2a 2”和“a 2b 2”互为倒数，如果能求出其中一个或知道“a b +b a ”，就可以对其进行平方后求得结果.再细看题目条件“1a +1b =5a +b”，需要配凑出“b a ”或“a b ”，我们可以考虑通分并整理得到“a 2+b 2=3ab ”.再将“a 2+b 2=3ab ”两边同除“ab ”，可得到“a b +b a =3”.解：∵1a +1b =5a +b ，通分并整理可得，a 2+b 2=3ab ，两边同除ab 可得，a b +b a =3，两边平方并整理可得，b 2a 2+a 2b 2=7.解答分式求值问题常用的小妙招江苏省盐城市新洋初级中学王伟解题指南19数学篇评注：此题看起来比较复杂，但是待计算的“b 2a 2+a 2b 2”是非常对称的，可以考虑由“a b +b a ”变形得出.通过通分找出a 、b 的其他数量关系“a 2+b 2=3ab ”，再同除ab 得到需要的“a b +b a ”.所以，本题的解题思路是由两端往中间变换.三、通过整体代换求分式的值整体代入的方法一般用于比较复杂的题目中，这类题目往往有共同的“局部”，解题时将共同的“局部”视为一个整体，然后直接整体代入求值.这种方法可以大大减少计算量，降低解题难度.例3若22y 2+3y +7的值为14，则14y 2+6y -1的值为（）.A.1 B.-1 C.-17 D.15分析：仔细观察条件“22y 2+3y +7=14”和结论“14y 2+6y -1”，发现有公共部分“2y 2+3y ”，可以转化为4y 2+6y =2(2y 2+3y ).若能计算出“2y 2+3y ”，则整个题目就能迎刃而解.解：∵22y 2+3y +7的值为14，∴22y 2+3y +7=14，∴2y 2+3y =1，∴4y 2+6y =2(2y 2+3y )=2×1=2，∴14y 2+6y -1=12-1=1，即14y 2+6y -1=1.∴此题选择A 项.2四、巧取倒数求分式的值倒数法往往出现在分数式的化简求值问题中.当分母相对分子而言比较复杂时，我们可以采用取倒数的方法将分式简单化，通过变形整理后得到“倒数”的具体值，再次通过“倒数法”还原待求值.例4若x +1x =3，则x 2x 4+x 2+1的值为（）.A.10 B.8 C.110 D.18分析：该题“x 2x 4+x 2+1”中分母比较复杂，若分子、分母调换一下位置，求解将会变得容易些.所以采用“巧取倒数法”解此题.设t =x 2x 4+x 2+1，则1t =x 4+x 2+1x 2=x 2+1x 2+1.而题目条件中“x +1x =3”通过平方可以轻松求出x 2+1x 2的值为7，从而求得1t =8，进而求解出t =18.解：设t =x 2x 4+x 2+1,则1t =x 4+x 2+1x 2=x 2+1x 2+1，∵x +1x =3，∴x 2+1x 2=(x +1x )2-2x ⋅1x =7，∴1t =x 2+1x 2+1=8，∴t =18，即x 2x 4+x 2+1=18.故D 项正确.评注：“取倒数法”可以简化解题过程，但是一定要记住在解题结束前再次采用“倒数法”将数值倒回来.分式的求值问题是一种常见问题.它涉及面广，技巧性强，也是中考中出现频率较高的问题.解答这类问题要认真分析条件式和解题指南。

中考数学复习指导：活用代入法解分式求值题

活用代入法解分式求值题题目已知2113x x x =−+，求2421x x x ++的值. 分析此类题目通常对已知分式或要求的分式进行变形，再用代入法求解.方法一根据已知条件，用x 的一次项和常数项表示出x 的二次项，代入求值.由2113x x x =−+ ① 易知210x x −+>,则两边同乘23(1)x x −+并整理，可得2410x x −+= ②得241x x =− ③把③式代入求值式，得2422241411(41)41116814x x x x x x x x x x−−==++−+−+−++4141116(41)41601515x x x x x −−===−−+−. 方法二根据已知条件，先将二次项代入，将4x 降次处理，再用x 的二次项和常数项表示出x 的一次项，代入求值. 由②式，得214x x += ④ 则2224222221(41)116811x x x x x x x x x x ==++−++−+++ 2222222111782151517824x x x x x x x x ====+−+−+g . 方法三根据已知条件，用x 的二次项和一次项表示出常数项，代入求值.由②式，得214x x =− ⑤ 则22242422431444x x x x x x x x x x x x x ===++++−++ 232222144(4)416416(4)x x x x x x x x x x x x −===+−−+−+− 41601515x x −==−. 方法四根据已知条件，用x 的一次项表示出21x +项，代入求值.由②式，得214x x +=. ⑥ 则222422222211(1)1615x x x x x x x x x ===+++−− 方法五由已知条件容易验证0x ≠，则对②式两边同除以x ，得140x x−+= 即14x x+=. ⑦ (⑦式也可由①式左边分子分母同除以x 再变形后得到) 则242222111111151()1x x x x x x x===+++++−. 方法六设2421x a x x =++，整理可得: 42(1)0ax a x a +−+=. ⑧则一元二次方程②的解代入方程⑧一定成立.由方法一可知，可将③代入⑧，可得22(41)(1)0a x a x a −+−+=,整理得2(171)820a x ax a −−+=.再次代入③，并整理，得(151)(41)0a x −−=, 易验证，14x ≠, 则1510a −=, 则115a =. 由以上计算可知，也可将④或⑤或⑥或⑦整体代入⑧式化简计算求得a 的值.方法七根据已知条件求出x 的值，代入求值.由②式易得:12x =+，22x =. 代入2421x x x ++, 得出运算结果为115. 代入法是初中数学中一种重要的解题方法.代入的对象除了字母的值外，还可以将单项式、多项式。

分式化简求值解题技巧

分式化简求值解题技巧分式化简求值解题技巧一、整体代入对于一些分式表达式，可以先将其中的变量整体代入，然后再求值。

比如：已知a+2b=2006，求3a²+12ab+12b² ÷ (2a+4b)的值。

可以先将a替换为2006-2b，然后化简得到：3a²+12ab+12b² ÷ (2a+4b) = 3(2006-2b)² + 12b(2006-2b) + 12b² ÷ (2(2006-2b)+4b)再进行进一步化简求解。

练一练：1.已知x+y=3，求(2x+3y) ÷ (x-y)的值。

2.已知112x-3xy+2y ÷ xy-x-2y = 5，求xy ÷ (x+2y)的值。

3.若a+b=3ab，求(1+2b²) ÷ (2a-b)的值。

二、构造代入有些分式表达式可以通过构造代入的方式来求解。

比如：已知x-5 ÷ (x-2) = 2001，求(x-2)³ - (x-1)² + 1的值。

可以构造一个分式，使得它的分母为(x-2)，分子为(x-2)³-(x-1)²+1，然后将其化简，得到：x-2)³-(x-1)²+1 ÷ (x-2) = (x-5) + 4(x-2) + 9再进行进一步化简求解。

练一练：4.若ab=1，求a ÷ (b+c) + b ÷ (c+a) + c ÷ (a+b)的值。

5.已知xy+yz+zx ÷ xyz = 2，求(x+y)² ÷ z²的值。

三、参数辅助，多元归一有些分式表达式可以通过引入参数或多元归一的方式来求解。

比如：已知a+b+c=1，求a(1-b) ÷ (b+c) + b(1-c) ÷ (c+a) + c(1-a) ÷(a+b)的值。

专项练习分式求值的七种技巧

专项练习分式求值的七种技巧► 技巧一整体代入1．先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－3x －1－2÷1x －1，其中x 满足x2－2x －3＝0. 2．1x －1y ＝3，求2x ＋3xy －2y x －2xy －y 的值． 3．假设a2＋b2＝3ab ，求式子(1＋2b2a2－b2)(1＋2b a －b)的值． 4．a2－2019a ＋1＝0，求2a2－4039a ＋1－2019a2＋1的值． ► 技巧二构造代入 5．x ＋y ＝12，xy ＝9，那么x2＋3xy ＋y2x2y ＋xy2的值等于( ) A.1712 B.79 C.1781 D.179 6．x2－5x －2019＝0，求〔x －2〕3－〔x －1〕2＋1x －2的值． 7．a ，b ，c 不等于0，且a ＋b ＋c ＝0，求a(1b ＋1c )＋b(1a ＋1c )＋c(1a ＋1b )的值．8．假设ab ＝1，求11＋a2＋11＋b2的值． ► 技巧三设参法 9．x 2＝y 3＝z 4，求xy ＋yz ＋zx x2＋y2＋z2的值． ► 技巧四逆用乘法公式法10．x2－3x ＋1＝0，求x2＋1x2的值．► 技巧五倒数法11．x ＋1x ＝4，求x2x4＋x2＋1的值．12．假设x x2－3x ＋1＝2，求分式x2x4＋x2＋1的值． ► 技巧六裂项相消法13．先化简，再求值：1x 〔x ＋1〕＋2〔x ＋1〕〔x ＋3〕＋3〔x ＋3〕〔x ＋6〕，其中x ＝1. ► 技巧七分类讨论法 14．设a ＋b ＋c ＝0，abc ＞0，那么b ＋c |a|＋c ＋a |b|＋a ＋b |c|的值是( )A 、－3B 、1C 、3或－1D 、－3或1详解详析1．[解析] 此题可以按照分式的运算顺序，先算括号里面的，也可利用乘法分配律进行化简，在求值时可利用整体代入法．解：方法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－3x －1－2·(x －1)＝x2－3x －1·(x －1)－2(x －1)＝x 2－2x －1.由x2－2x －3＝0，得x2－2x ＝3，∴原式＝3－1＝2.方法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－3x －1－2·(x －1)＝x2－3－2〔x －1〕x －1·(x －1)＝x2－2x －1.由x2－2x －3＝0，得x2－2x ＝3，∴原式＝3－1＝2.[点评] 此题中x 的值不是直接给出的，而是给出条件：x 满足x2－2x －3＝0，通过整体代入的方法使计算过程简单化．2．解：方法一：因为xy ≠0，所以把待求式的分子、分母同除以xy ，得 2x ＋3xy －2y x －2xy －y ＝2y ＋3－2x 1y －2－1x ＝3－2〔1x －1y 〕－2－〔1x －1y 〕＝3－2×3－2－3＝35. 方法二：∵1x －1y ＝3， ∴y －x xy ＝3，∴x －y ＝－3xy. ∴2x ＋3xy －2y x －2xy －y ＝2〔x －y 〕＋3xy 〔x －y 〕－2xy ＝2·〔－3xy 〕＋3xy －3xy －2xy ＝－3xy －5xy ＝35. 3．解：原式＝a2－b2＋2b2a2－b2·a －b ＋2b a －b ＝a2＋b2a2－b2·a ＋b a －b ＝a2＋b2a2－2ab ＋b2. 因为a2＋b2＝3ab ，所以原式＝3ab 3ab －2ab＝3. 4．[导学号：50512517][解析] 采用整体代换思想，先根据a2－2019a ＋1＝0可知，a2＝2019a －1，再代入所求代数式进行计算即可．解：∵a2－2019a ＋1＝0，∴a2＝2019a －1，a2＋1＝2019a ，∴a ＋1a ＝2019. ∴原式＝2(a2－2019a)＋1－a －20192019a ＝－2＋1－a －1a ＝－2＋1－(a ＋1a )＝－1－2019＝－2020.5．[解析] A 把所求式子的分子配方变为x ＋y 与xy 的关系式，分母提取xy 也变为xy 与x ＋y 的关系式，然后把的x ＋y 与xy 的值代入即可求出值．∵x ＋y ＝12，xy ＝9，∴x2＋3xy ＋y2x2y ＋xy2＝〔x ＋y 〕2－2xy ＋3xy xy 〔x ＋y 〕＝〔x ＋y 〕2＋xy xy 〔x ＋y 〕＝122＋99×12＝1712.应选A. 6．解：〔x －2〕3－〔x －1〕2＋1x －2 ＝〔x －2〕3－〔x －1＋1〕〔x －1－1〕x －2 ＝〔x －2〕3－x 〔x －2〕x －2＝(x －2)2－x＝x2－5x ＋4.因为x2－5x －2019＝0，所以原式＝2019＋4＝2022.7．解：a(1b ＋1c )＋b(1a ＋1c )＋c(1a ＋1b ) ＝a(1a ＋1b ＋1c )＋b(1a ＋1b ＋1c )＋c(1a ＋1b ＋1c )－3 ＝(1a ＋1b ＋1c )(a ＋b ＋c)－3＝0－3＝－3. 8．解：11＋a2＋11＋b2＝b b ＋a2b ＋a a ＋ab2. 因为ab ＝1，所以原式＝b b ＋a ＋a a ＋b ＝a ＋b a ＋b ＝1. 9．解：设x 2＝y 3＝z 4＝k(k ≠0)，那么x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k. 所以xy ＋yz ＋zx x2＋y2＋z2＝6k2＋12k2＋8k24k2＋9k2＋16k2＝26k229k2＝2629. 10．解：由x2－3x ＋1＝0，两边同除以x(x ≠0)，得 x －3＋1x ＝0，即x ＋1x ＝3，所以x2＋1x2＝(x ＋1x )2－2＝32－2＝7. 11．解：因为x4＋x2＋1x2＝x2＋1＋1x2＝(x ＋1x )2－2＋1＝42－2＋1＝15，所以x2x4＋x2＋1＝115. 12．解：因为x x2－3x ＋1＝2，所以x ＋1x ＝72，所以x4＋x2＋1x2＝x2＋1＋1x2＝(x ＋1x )2－2＋1＝(72)2－2＋1＝454，所以x2x4＋x2＋1＝445. 13．解：原式＝(1x －1x ＋1)＋22(1x ＋1－1x ＋3)＋33(1x ＋3－1x ＋6) ＝1x －1x ＋6＝6x 〔x ＋6〕. 当x ＝1时，原式＝67.14．[导学号：50512518][解析] B ∵a ＋b ＋c ＝0，abc ＞0，∴a ，b ，c 中两负一正，且b ＋c ＝－a ，c ＋a ＝－b ，a ＋b ＝－c ，∴b ＋c |a|＋c ＋a |b|＋a ＋b |c|＝－a |a|＋－b |b|＋－c |c|.而当a ＞0时，－a |a|＝－1，当a ＜0时，－a |a|＝1，∴－a |a|，－b |b|，－c |c|的结果中有两个1，一个－1，∴b ＋c |a|＋c ＋a |b|＋a ＋b |c|的值是1.应选B.。

分式的求值技巧

分式的求值技巧先说一下解题的思路吧，分式的求值技巧是考试中常考的一种题型，这类题目主要考察考生对于基础知识点的掌握情况，但是只要我们多做练习，并且深刻理解每一个知识点，这种题型也不是很难的。

我在考试前经过老师的讲解，再加上平时自己的做题，发现有一些题目并没有规定解答的方法，或者是明确的解题步骤，这样就给了我们一些灵活运用的空间，需要我们在考场上遇到的时候仔细推敲、慎重判断，以便从中获取更多的信息，快速解答出来。

另外有些题目只有几句话，比如某种分式满足等号左右两边的分子和分母同时乘以一个不为零的数，那么就可以用两边同时除以该数，得到一个比较简单的式子，而分子分母同时乘以任意实数都是错误的。

1。

求分式的值2。

分式的值不为0最后，我再提醒大家一点，当你解题时，选项中出现： a/b/c……选择A、 B、 C时，先把它们转化成单项式（包括等于号中的单项式），再进行解答。

若选项中出现： 0/0/……、 0/x/y……选择D、 E时，先把它们转化成分式，再进行解答。

当你拿到这类题目时，先不要慌张，弄清楚题目的条件，然后冷静分析问题，充分发挥自己的思维能力，仔细认真地阅读题干，寻找与之相关的信息。

2分式的计算问题一般是由整式的计算转化而来，所以我们在解决分式的计算问题时，必须熟悉整式的运算法则，灵活应用这些法则来进行简便计算，以节省时间。

3根据同类项去分母这个公式看似简单，却极易引起解题错误。

正确的步骤应该是：（ 1）先将同类项系数相乘，然后把所得的积作为系数；（ 2）按照顺序逐项进行合并同类项。

4在应用一次或二次分式的乘法公式时，应注意几点：①分式的分子和分母同时乘或除以相同的数（ 0除外），分式的值不变；②一次或二次分式的值是一个常数（指常数项）；③整式乘分式，分母不变，分子乘或除以整式，被乘数不变。

5分式的分子、分母同时乘或除以相同的数（ 0除外），分式的值不变。

6在解决分式的计算问题时，要认真审题，弄清楚题目已知的数量关系，即被除式各部分的关系。

中考数学复习指导：巧用代入法求条件分式的值

2
∴原式＝
4 2 x + 2 +1 = x + − 3 x x
2
2
11 4 = −3=− 9 3
七、活用公式代入
2
2
1 1 －5＝0，求 x4＋ 4 227 的值． x x 1 1 解 ∵x＋－5＝0，∴ x + = 5 ， x x
例7 已知 x＋
1 ∴原式＝ x 2 + 2 －229 x
2
解由 x＋y＋z＝0，得 x＋y＝－z， 2 ∴x ＋y2＋z2＝－2xy，同理 y2＋z2－x2＝－2yz， z2＋x2－y2＝－2zx．
9 9 9 + + −2 xy −2 yz −2 zx ∴原式＝． 9 x+ y+z =− • =0 2 xyz
3
∴原式 =
7 k • 8k • 9k 3 = 28 × 4k • 3k • 5k 10 六、取倒数代入
例6 已知
x x 4 + x2 + 4 = 3 ，求的值． x2 − x + 2 x2
解 ∵
x = 3 ，∴x≠0， x −x+2 x2 − x + 2 1 2 4 ∴ = ，即 x + = ， x 3 x 3
19 x 2 19 = 9x2 9 三、整体代入
∴原式＝例3 解已知 x2－4x＋1＝0，求原式
2 ( x − 1) x−4
−
x+6 的值． x
= =
2 ( x − 1) − ( x + 6 )( x − 4 ) x ( x − 4) x 2 − 4 x + 24 x2 − 4x −1 + 24 = −23 ． −1

分式求值技巧多(初中数学)

分式求值技巧多分式求值是分式运算中较为常见的题型，若能灵活地运用各种解题方法，掌握一定的解题技巧，常常可简捷、快速获解.一、先化简分式，再将条件直接代入求值例1 先化简，再求值：(1 –11-a ) ÷ (aa a a -+-2244)，其中a = – 1. 分析：当分式的分子或分母是多项式时，应先分解因式，然后按照运算顺序进行化简，化成最简分式或整式形式，再把已知条件直接代入求值即可.解：原式 =12--a a ·2)2()1(--a a a =2-a a . 当a = – 1时，原式=211---=31. 二、将分式以已知条件为目标进行变形，然后代入求值例2 已知ab = – 1，a + b = 2，则式子ba ab += . 分析：所给的条件不容易化简，可考虑将所求的分式变形，然后将已知条件作为整体代入求值. 解：ba ab +=ab a b 22+=ab ab b a 2)(2-+. 将ab = – 1，a + b = 2整体代入，得原式=1)1(222--⨯-= – 6. 三、将所给条件转化后代入分式求值例3 若a + 3b = 0，则 (1 –b a b 2+) ÷ 222242ba b ab a -++= . 分析：不能求出a ，b 的值，可利用a + 3b = 0找出a ，b 之间的关系，然后代入化简后的式子求值.解：原式= (b a b b a b a 222+-++)×2)()2)(2(b a b a b a +-+= (b a b a 2++)×2)()2)(2(b a b a b a +-+=b a b a +-2. 由a + 3b = 0，得a = – 3b ，所以原式=b b b b +---323=b b 25--=25. 四、将所给条件和分式双方同时变形，再求值例4已知y x 11-= 3，则yxy x y xy x ---+232的值是 . 分析：本题可对已知条件变形，再将所求式变形为更接近已知条件的式子.解：因为y x 11-= 3，所以xyx y -= 3，所以x – y = – 3xy .所以y xy x y xy x ---+232=xy y x xy y x --+-3)(2=xy xy xy xy --+-336=xy xy 43--=43. 故填43.。

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十四、构造关系式代入技巧
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化简代入技巧
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六、部代入技巧局
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三、换元代入技巧
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