韦达定理ppt
初中数学人教九年级上册第二十一章 一元二次方程 根与系数的关系韦达定理微课敬阳PPT
ax2 bx c 0(a 0)
2.一元二次方程的求根公式是什么？
x b b2 4ac ( 0) 2a
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
0 两个不相等的实数根
b2 4ac 0 两个相等的实数根
0 没有实数根
思考：
2a
2a
b b2 4ac b b2 4ac 2a
2b b
2a
a
x1x2
b
b2 4ac b •
b2 4ac
2a
2a
(b)2 ( b2 4ac)2 4a2
b2
(b2 4a2
4ac)
4ac 4a2
c a
（韦达定理）
任何一个一元二次方程的根与系数的关a≠0)的两个根是
1 3
x1 x2 -_2_
二、求关于两根的代数式的值
例2.设 x1 , x2是方程 2x2 4x 3 0的两个根，利用
根与系数的关系，求下列各式的值.
(1)x12 x22
(2)(x1 1)(x2 1)
结论 ： 如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
的两个根分别是 x1、 x2 ，那么：
x1 , x2 ,
注意：前提条件 b2-4ac≥0
一、直接运用一元二次方程的根与系数的关系 求两根之和与两根之积
1.已知一元二次方程的 x2 2x 1 0
两根分别为 x1, x2
x1 x2 _2_ x1 x2 _-_1
2.已知一元二次方程的 3x2 x 6
两根分别为
x1, x2，则：x1 x2 __
b x1 x2 a
c x1 • x2 a
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理 。
韦达定理ppt课件
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两个根为x1 ,
x2，那么
x1
x2
b a
,
c
x1x2
. a
注：能用韦达定理的条件为△≥0即 b24ac0
韦达定理的证明：
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
x= b b2 4ac
(4)| x1-x2 |
本题不能求根公式直接计算，应该应用两根之 和与两根之积进行变形转换。
2.利用两根关系，确定方程中未知系数的值
例2：已知方程x2-(k+1) x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
例3：已知关于x方程x2-(k+1) x+ k2_1 =0,是否存在k， 使方程中的两个实数根的倒数等于1/2,若存在，求出 满足条件的k，若不存在，请说明理由。
4.已知两数的和与积，求这两个数
例6：解方程： (xx211)(xx211)2
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
3.已知与原方程的两根关系，构造一个新方程
例4：求一元二次方程x2+3x - 2=0的两根之和 与两根之积 为根的一元二次方程。
例5：若一原方程x2 - 3x - 2=0的两根为x1 , x2 ； 则：（1）以-x1 , - x2 为两根的方程是？
11 （2）以 x 1 , x 2 为两根的方程是？
4 ac 4a2
=
c a
推论
如果一元二次方程x2+bx+c=0两个根为x1 , x2，
(人教版)九年级数学上册课件：21.2.4韦达定理
b a
X1x2=
c a
注意事项： 应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意： （1）根的判别式，（2）二次项系数不为零， 才能应用根与系数的关系
下列方程的两根和与两根积各是多少？
X2-3x=15
5x2-1=4x2+x
3x2+2=1-4x
b 2 a 2x -x+2=3x-1
在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴、不是一般式的要先化成一般式； ⑵、在使用X1+X2=－ 时， 注意“－ ”不要漏写。
又 X 1 2 + X2
2
= 4
即(X1+ X2)2 - 2 X1X2=4 K2- 2（k+2）=4
K2-2k-8=0
解得：k=4 或k=-2
课堂小结： 1、熟练掌握根与系数的关系； 2、灵活运用根与系数关系解决问题 3、探索解题思路，归纳解题思想方法
4 时，方程 关于x的一元二次方程3x²-5x+ (m-1)=0， 当m =___ 的两根为互为倒数. 若方程的两根为互为倒数，则a=c。
已知方程X2+kX+k+2=0的两个根是X1、X2，且X12+X22 = 4， 求k的值。 解：由根与系数的关系得：
X1+X2=-k， X1.X2=k+2
∵ △= K2-4（k+2） 当k=4时， △＜0 当k=-2时，△＞0 ∴ k=-2
一元二次方程的一般式
一元二次方程的解法
一元二次方程的求根公式
阅读教材15——16页
问题：上面发现的结论对这里的三个方程也成立吗？ 用语言叙述你发现的规律：
两个根的和等于一次项系数与 二次项系数的比的相反数，
第八讲 韦达定理
第七讲 韦达定理.,,)0(0,2121221ac x x a b x x a c bx ax x x =-=+≠=++则的两实根是一元二次方程 是隐含条件其中04(2≥-ac b ）叫一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的．韦达逆定理：以两个数x 1和x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2-(x 1+x 2)x+ x 1x 2=0 一、已知方程的一根求方程的另一根及另一个根。
，求的一根为的方程：设关于例m mx x x 2106412-=-+例2、方程s r s x x r x x -=-+=-⨯-求较小根为的较大根是,019911990,01199219901991222。
二、求二次方程根的同次幂的和、差的值例3、已知方程05322=--x x 的两根为221424121222121))(4(;)3(11)2(:)1(.,x x x x x x x x x x -+++求例4、如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么baa b +的值为( )A ．22123B ．22125或2 C ．22125 D ．22123或2例5.已知a 、b 是方程x 2+2x-1=0的两实根,则a 2-a-3b 的值为 .注：应用韦达定理求代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式．三、根据已知条件作出一元二次方程例6、以-5和2为根的一元二次方程是 。
例7、已知一个一元二次方程的两根比方程01222=--x x 的两个根的2倍都小1，写出这个一元二次方程。
四、根据已知条件确定方程中的参数 例8、试确定的m 值,使一元二次方程;07)12(82=-++-m x m x（1）两根互为倒数；（2）两根互为相反数; (3)有一根为0： （4）两根同为正数例9．设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x + 有最小值?并求出这个最小值．注：应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性．例10、 已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根． (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ．同步练习1、 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．2、已知关于x 的方程01)1(2=++--k x k x 的两个实数根的平方和等于4，实数k的值为 。
韦达定理ppt
包权
人书友圈7.三端同步
∴ k=0
如果方程x2+px+q=0的两根是
X1 ，X2，那么X1+X2= －P ,
X1X2= q
特权福利
特权说明
VIP用户有效期内可使用VIP专享文档下载特权下载或阅读完成VIP专享文档（部分VIP专享文档由于上传者设置不可下载只能 阅读全文），每下载/读完一篇VIP专享文档消耗一个VIP专享文档下载特权。
1、解方程 6x2 13x 5 0 可以检验一元二次方程的解是否正确；
2、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 求关于一元二次方程的两根x1,x2的代数式的值；
3、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
可以不解方程，根据一个根直接求另一根
4、已知一个一元二次方程的二次项系数是3，
年VIP
月VIP
连续包月VIP
VIP专享文档下载特权
享受60次VIP专享文档下载特权，一 次发放，全年内有效。
VIP专享文档下载特权自VIP生效起每月发放一次， 每次发放的特权有效期为1个月，发放数量由您购买 的VIP类型决定。
每月专享9次VIP专享文档下载特权， 自VIP生效起每月发放一次，持续有 效不清零。自动续费，前往我的账号 -我的设置随时取消。
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
1、韦达定理及证明
2、韦达定理的简单应用 3、利用韦达定理解决有关一元二次方程 根与系数问题时，注意隐含条件：
根的判别式△ ≥0
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
第03讲 韦达定理
第3讲 韦达定理没有不能解决的问题. ——韦达知识方法扫描韦达定理，即一元二次方程的根与系数的关系，是方程理论的一个重要的内容。
运用这个定理，我们可以不解方程，就可以确定根的符号、可以求出关于两根的对称式的值，可以构造以某两个数为根的一元二次方程等等在运用韦达定理解题时，首先要注意运用判别式判断这个方程有没有实数根。
必要时要将韦达定理与判别式综合运用。
要掌握将一个关于两根的对称式如x 1n +x 2n 转化为两个基本对称式x 1+x 2与x 1x 2 的方法。
在求关于两根的非对称式的值时，除了运用根与系数的关系得关系外，还要注意运用根的定义来解题。
经典例题解析例1（1999年全国初中数学竞赛试题）设实数s 、t 分别满足19s 2+99s+1=0，t 2+99t+19=0, 并且st≠1。
求41st s t++的值 解 因为s≠0，所以，第一个等式可以变形为 019)1(99)1(2=++ss又因为st≠1, 所以s1，t 是一元二次方程x 2+99x+19=0的两个不同的实根，于是，有,191,991=∙-=+t st s 即st+1=-99s, t=19s. ∴51949914-=+-=++sss t s st . 例2（浙江省第二届初中数学竞赛题）设方程x 2+px+q=0的两实数根为a 、b ，且有I 1=a+b, I 2=a 2+b 2, …I n =a n +b n , 求当n≥3时，I n +pI n-1+qI n-2的值。
分析 直接求解犹如“海底捞针”，若利用方程根的意义求解，不仅能以简驭繁，且有出奇制胜之妙，我们知道x=x 0是方程ax 2+bx+c=0的根2000ax bx c ⇔++=，利用它显得思路清晰，运算简捷。
解 I n +pI n-1+qI n-2=(a n +b n )+p(a n-1+b n-1)+q(a n-2+b n-2) (n≥3) =(a n +pa n-1+qa n-2)+(b n +pb n-1+qb n-2) =(a 2+pa+q) a n-2 +(b 2+pb+q)b n-2 =0+0=0. 例3（1995年第八届“祖冲之杯”初中数学邀请赛题）已知α、β是方程x 2-7x+8=0的两根，且α＞β，不解方程利用根与系数的关系，求232βα+的值分析 待求式是已知一元二次方程根的非对称式，我们可以设法构造一个待求式相应的代数式一起参与运算，从而使问题迅速获得解决解 设22223,3,A B βααβ+=+=∵α、β是方程x 2-7x+8=0的两根，且α＞β， ∴α+β=7，αβ=8，β-α=-174)(2-=-+αββα ∴A+B=222233βααβ+++=αβαβ)(2++3[（β+α）2-2αβ]=4403① A-B=223232αββα--+=17485))((3)(2-=-++-αβαβαβαβ ② ①+②得：2A=,174854403- ∴A=178858403-故178858403:322-+的值为βα 例4 (2003年山东省初中数学竞赛试题)设方程20022x 2-2003·2001x-1=0的较大根是r ，方程2001x 2-2002x+1=0的较小根是s ，求r-s 的值.解 因20022-2003·2001-1=0，故1是方程20022x 2-2003·2001x-1=0的根，由根与系数的关系知两根之积为负，所以1是方程20022x 2-2003·2001x-1=0的较大根,r=1.因2001x 2-2002x+1=0, 故1也是方程2001x 2-2002x+1=0的根，由根与系数的关系知两根之积为12001，所以12001是方程的较小根s=12001.故r-s=1-12001=20002001. 例5 (2004年全国初中数学竞赛预选赛湖北赛区试题)已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某项系数的符号，误求得两根为-1和4，求23b ca +的值.解 甲看错了二次项系数，设他所解的方程为a′x 2+bx+c=0，于是有：24'b a +=- 24'ca ⨯=，故34bc-= ① 设乙看错了一次项系数的符号，则他所解的方程为ax 2-bx+c=0.于是-1+4=ba. ②由①，②知，△=b 2-4ac=b 2-4·3b ·(43-b)= 259b 2≥0，与题设矛盾.故乙看错的只是常数项，即他所解的方程为ax 2+bx-c=0，则-1+4=ba- ③由①，③可知：232426b c b b ba a a+-==-= 例6 (2003年全国初中数学竞赛预选赛黑龙江预赛试题)设a 2+2a-1=0，b 4-2b 2-1=0,且1-ab 2≠0，求22200421()ab b a a+-+的值。
韦达定理PPT课件
(b)2
(b2 4a2
4ac)
b2 b2 4ac
4a2
4ac 4a2
=
c a
推论
如果一元二次方程x2+bx+c=0两个根为x1 , x2，
那么
x1 x2 -b
x1x2 c
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/19
韦达定理常见题型总结：
1.不解方程，进行变形求值
例5：若一原方程x2 - 3x - 2=0的两根为x1 , x2 ； 则：（1）以-x1 , - x2 为两根的方程是？
11
（2）x1 以x2
,
为两根的方程是？
4.已知两数的和与积，求这两个数
例6：解方程：
(x2 1) x 1
(x 1) x2 1
2
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/19
韦达定理
一元二次方程的根与系数的关系：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（韦达定理）
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两个根为
x1
,
x2，那x1么 x2
b, a
c
x1x2
. a
注：能用韦达定理的条件为△≥0即b2 4ac 0
韦达定理的证明：
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
求它的另一个根及k的值。
例3：已知关于x方程x2-(k+1) x+ k2_1 =0,是否存在k，
使方程中的两个实数根的倒数等于1/2,若存在，求出 满足条件的k，若不存在，请说明理由。
韦达定理概念(一)
韦达定理概念(一)韦达定理（Vera’s Theorem）概念简介•韦达定理，又称为Vera定理，是一种在高等数学中常用的定理。
•该定理主要用于求解多项式方程的根，对于解析几何中的问题也有广泛应用。
•韦达定理的核心思想是通过已知根的信息，推导出多项式方程的其他根的一种方法。
定理表述•给定一个n次多项式方程a n⋅x n+a n−1⋅x n−1+⋯+a1⋅x+ a0=0，其中a n≠0，并且已知其中一个根为x1。
•那么可以通过除法求余的方法，将该多项式方程除以(x−x1)，得到一个n-1次的新多项式方程a n⋅x n−1+a n−1⋅x n−2+⋯+a2⋅x+a1=0。
•韦达定理指出，该新多项式方程的根与原多项式方程的其他根是相同的。
推论•韦达定理的推论是，如果已知一个多项式方程的一个根，那么可以通过迭代运用韦达定理，逐步降低多项式的阶次，从而找到该多项式方程的所有根。
•在实际应用中，可以通过对多项式进行因式分解，得到一个一次项的乘积形式，进而求得方程的所有根。
应用举例•这里举一个简单的实例来说明韦达定理的应用：–给定一个三次多项式方程x3−7x2+14x−8=0，已知其中一个根为x1=2。
–我们可以通过除法求余的方法，将该多项式方程除以(x−2)，得到一个二次的新多项式方程x2−5x+4=0。
–根据韦达定理，该新多项式方程的根为原多项式方程的其他根，即x2、x3。
–解二次方程x2−5x+4=0可得x2=1、x3=4。
–因此，原三次多项式方程的根为x1=2、x2=1、x3=4。
总结•韦达定理是一种重要的工具，在数学领域中广泛应用于求解多项式方程的根。
•通过已知根的信息，韦达定理可以帮助我们推导出其他根的值，从而解决实际问题。
•在实际应用中，熟练掌握韦达定理可以极大地简化解方程的过程，提高求解效率。