2018-2019学年高一数学人教A版必修4课件：2.1 平面向量的实际背景及基本概念
2019版数学人教A版必修4课件：2.1 平面向量的实际背景及基本概念
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
3
【做一B.坐标平面上的x轴和y轴都是向量
C.某个角是一个向量
D.体积、面积和时间都不是向量
解析:A错,因为向量之间不可以比较大小;B错,x轴、y轴只有方向,没
D典例透析
IANLI TOUXI
3
1.概念
(1)向量:既有大小,又有方向的量叫做向量,如力,位移等.
(2)数量:只有大小,没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积、
体积、质量等.
名师点拨向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向;数量之间
可以比较大小,而向量之间不能比较大小.
第四页，编辑于星期日：点 四十四分。
④
||=||.
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:①错误,长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量,单位向量
有无数多个且每个都有确定的方向,故单位向量不一定平行;②正确,零向
量的方向是任意的,故零向量与任意向量都平行;③错误,若b=0,则③不成立;
④正确.故选B.
答案:B
-11-
第十一页，编辑于星期日：点 四十四分。
度也叫做有向线段的长度,记作||.书写有向线段时,起点写在
终点的前面,上面标上箭头.
(4)有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、
方向、长度,它的终点就唯一确定.
第五页，编辑于星期日：点 四十四分。
-5-
2.1
1
平面向量的实际背景
及基本概念
2
M 目标导航
UBIAODAOHANG
1.了解向量的实际背景,从位移、力等物理背景抽象出向量.
高一数学必修四 平面向量的实际背景及基本概念课件
问题2：两个向量是否可以比较大小？
向量不能比较大小，我们知道，长度相等且方向相同
的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等
种理想和幻想。这并不是什么毛病，而是
一种宝贵品质。
——加里宁
结语
谢谢大家！
我们可以对位移、力……这些既有大小又有方向的量 进行抽象，形成一种新的量.这种量就是我们本章所要研 究的——向量.
向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（物
理学中常称为矢量）. 而把那些只有大小，没有方向的量如年龄、身高、长
度、面积、体积、质量等，称为数量,物理学中常称为标量. 注意：数量与向量的区别，数量只有大小，是一个代数量， 可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重 性，不能比较大小.
解：（1）DE、BF、FB、FA、
A
AF、ED、MC
F
E
M
（2）FB、AF、MC
B
D
C
4. 在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那 么它们的终点的集合组成什么图形？
P
向量的概念: 向量的表示方法： 零向量、单位向量概念： 平行向量的定义： 相等向量的定义： 共线向量与平行向量关系：
无论哪个时代，青年的特点总是怀抱着名
1:8000000
解： AB表示A地至B地的位移，且
AB 240km .
AC 表示A地至C地的位移，且 AC 300km .
相等向量与共线向量 平行向量定义：
a b c
2019-2020学年人教A版必修4 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 课件(21张)
向量，它们都有大小和方向．故选 A.
数学 必修4 A
第二章 平面向量
2．(2018·河北沧州高一期末)下列说法不正确的是( ) A．零向量没有方向 B．零向量只与零向量相等 C．零向量的模为 0 D．零向量与任何向量都共线 解析：选 A 零向量的方向是任意的．故选 A.
数学 必修4 A
第二章 平面向量
数学 必修4 A
第二章 平面向量
(2)由于点 B 在点 A 正东方向处，且|A→B|＝4，所以在坐标纸 上点 B 距点 A 的横向小方格数为 4，纵向小方格数为 0，于是 点 B 位置可以确定，画出向量A→B如图所示．
(3)由于点 C 在点 B 北偏东 30°处，且|B→C|＝6，依据勾股定 理可得：在坐标纸上点 C 距点 B 的横向小方格数为 3，纵向小 方格数为 3 3≈5.2，于是点 C 位置可以确定，画出向量B→C如图 所示．
数学 必修4 A
第二章 平面向量
题点知识巩固
数学 必修4 A
第二章 平面向量
知识点一 向量的有关概念
1．(2018·北师大附中高三一模)给出下列物理量：①质量；
②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度．其中是向
量的有( )
A．4 个
B．5 个
C．6 个
D．7 个
解析：选 A 速度、位移、力、加速度，这 4 个物理量是
第二章 平面向量
解析：选 A 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们 的方向不一定相同，终点也不一定相同，故 B 错误；向量A→B与 C→D是共线向量，则 A，B，C，D 四点必在同一条直线上或 AB ∥CD，故 C 错误；任意两个单位向量只有长度相等，方向不一 定相同，故 D 错误．故选 A.
2018-2019学年人教A版必修四2.1平面向量的实际背景及基本概念教案
2.1向量的实际背景及基本概念一、教学目标知识与技能了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量。
过程与方法通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别。
情感、态度与价值观通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。
二．重点难点重点理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.难点平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.三、教材与学情分析本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教五、教学过程（一）导入新课思路1.(情境导入)如图1,在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设问如何从数学的角度揭示这个问题的本质？由此展开新课.图1思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出,各走了相同的路程,怎样用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日,象走“田”,让学生在图上画出马、象走过的路线引入也是一个不错的选择.（二）新知探究、提出问题①在物理课中,我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢?这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢？②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢？③数量与向量的区别在哪里？活动教师指导学生阅读教材,思考讨论并解决上述问题,学生讨论列举与位移一样的一些量.物体受到的重力是竖直向下的,物体的质量越大,它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向,且有大小；物理学中存在着许多既有大小,又有方向的量.教师引导学生观察思考这些量的共同特征,我们能否在数学学中对这些量加以抽象,形成一种新的量.至此时机成熟,引入向量,并把那些只有大小,没有方向的量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量,物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题.讨论结果①略.②我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量.③略.提出问题①如何表示向量?②有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么?③长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量?④满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗?⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系？怎样定义平行向量?⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系?⑦数量与向量有什么区别?⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别?活动 教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是有向线段,是学习向量的关键.但不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向量”,有向线段只是向量的一种几何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定,而与向量的起点的位置无关,但有向线段不仅与方向、长度有关,也与起点的位置有关.如图2,在线段AB 的两个端点中,规定一个顺序,假设A 为起点、B 为终点,我们就说线段AB 具有方向,具有方向的线段叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为起点、B 为终点的有向线段记作.起点要写在终点的前面. 已知AB ,线段AB 的长度也叫做有向线段的长度,记作|AB |.有向线段包含三个要素 起点、方向、长度.图2知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定.用有向线段表示向量的方法是1°起点是A,终点是B 的有向线段,对应的向量记作 . 这里要提醒学生注意AB 的方向是由点A 指向点B,点A 是向量的起点.2°用字母a,b,c,…表示.(一定要学生规范书写 印刷用黑体a,书写用a )3°向量(或a)的大小,就是向量(或a)的长度(或称模),记作 (或 a ).教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较,数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.由于方向不能比较大小,像a ＞b 就没有意义,而 a > b 有意义.讨论结果 ①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用a → 表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如AB 、.注意手写体上面的箭头一定不能漏写.②有向线段具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素起点、方向、长度.向量与有向线段的区别向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.图3③长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.⑤是平行向量.平行向量定义的理解第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.如图3.图4又如图4,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出OA＝a,OB=b, OC=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.说明平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系.⑥是共线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.⑦数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质,不能比较大小.⑧力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出的,只有大小与方向两个要素,与起点的位置无关.（三）应用示例例1 如图5,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示A地至B、C 两地的位移.(精确到1 m)图5分析本例是一个简单的实际问题,要求画出有向线段表示位移,目的在于巩固向量概念及其几何表示.解表示A地至B地的位移,且≈232 m;(AB长度×8 000 000÷100 000) 表示A地至C地的位移,且≈296 m.(AC长度×8 000 000÷100 000)点评位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图5,由A点确定B点、C点的位置.变式训练1. 一个人从A点出发沿东北方向走了100 m到达B点,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100 m到达C点,求此人从C点走回A点的位移.图6解根据题意画出示意图,如图6所示. =100 m, BC=100 m,∠ABC=45°+15°=60°, ∴△ABC为正三角形.∴=100 m,即此人从C点返回A点所走的路程为100 m.∵∠BAC=60°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向为西偏北15°.故此人从C点走回A点的位移为沿西偏北15°方向100 m.图7例2 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.(1) ABCD 中,与是共线向量;(2)单位向量都相等.活动 教师引导学生画出平行四边形,如图7.因为AB//CD,所以∥.由于上面已经明确,单位向量只限制了大小,方向不确定,所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为1,但方向不确定.解 (1)正确; (2)不正确.点评 本题考查基本概念,对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好.图8例3 如图8,设O 是正六边形ABCDEF 的中心,分别写出图中所示向量与、、、相等的量.活动 本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质.教 书中要求判断OA 与,OB 与是否相等,是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向量相等的概念.解 OA =CB =DO ;OB =DC =EO ;OC ===FO .点评 向量相等是一个重要的概念,今后经常用到.让学生在训练中明确,向量相等不仅大小相等,还要方向相同.变式训练2.本例变式一 与向量长度相等的向量有多少个？ (11个)本例变式二是否存在与向量OA长度相等、方向相反的向量？(存在)例4 下列命题正确的是( )A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行活动由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确.由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确.对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题入手考虑,假若a与b 不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,即只有C正确.答案C点评对于有关向量基本概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要判断一个结论不正确,只需举一个反例即可.要启发学生注意这两方面的结合.变式训练3.1.判断(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量？(平行向量)(6)两个非零向量相等当且仅当什么？(长度相等且方向相同)(7)共线向量一定在同一直线上吗？(不一定)2.把一切单位平面向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是( )A.一条线段B.一段圆弧C.两个点D.一个圆答案D3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点,则这些向量的终点所构成的图形是( )A.一个点B.两个点C.一个圆D.一条线段答案B六、课堂小结本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好.七、课后作业1.课时练与测八、教学反思。
高一数学必修4课件：2-1平面向量的实际背景及基本概念
a＝b
有向线段 条________来表示，并且与有向线段的起点无
关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有 向线段表示同一个向量
第二章
2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
相同或相反 方向____________的非零向量叫做平
行向量 平行 规定：零向量与任何向量都______ 平行 向量 说明：任一组平行向量都可以移动到
个向量间不能比较大小，因此，A不正确．两个向量的模相 等，但方向却不一定相同，因此B不正确．相等的向量方向一 定相同，相等向量一定共线，因此C正确．对于选项D，两个 向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a 与b有共线的可能，故D不正确.
第二章
2.1
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ABCD中分别找出长度相等且方向相同的向量即可；(2)共线 向量只需找方向相同或相反的向量即可．
第二章 2.1
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[解析] 1，
(1)作出图形如图，由已知，有|a|＝|c|＝|e|＝|g|＝
|b|＝|d|＝|f|＝|h|＝ 2 ，而在正方形ABCD中，|AB|＝|CD|＝ |BC|＝|AD|＝1，|AC|＝|BD|＝ 2.
第二章
2.1
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单位向量的长度等于(
)
A．0 B．1 C．2 D．不确定
[答案] B
第二章
2.1
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→ 如图所示，在平行四边形ABCD中，与 AB 共线的向量有 ________．
→ → → [答案] BA，DC，CD
第二章
→ 行到B地的位移，则|AB|＝1400km. → BC 表示飞机从B地按东偏南75° 方向飞行到C地的位移， → 则|BC|＝1400km.
高一数学人教A版必修4课件：2.1 平面向量的实际背景及基本概念
第二章 平面向量§2.1 平面向量的实际背景及基本概念明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺 04明目标、知重点1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.1.向量既有 ，又有的量叫做向量.2.向量的几何表示以A 为起点、B 为终点的有向线段记作 .3.向量的有关概念(1)零向量：长度为的向量叫做零向量，记作 .(2)单位向量：长度等于个单位的向量，叫做单位向量.大小填要点·记疑点方向 001(3)相等向量： 的向量叫做相等向量.(4)平行向量(共线向量)：方向的 向量叫做平行向量，也叫共线向量.①记法：向量a 平行于向量b ，记作.②规定：零向量与平行.长度相等且方向相同相同或相反非零a ∥b 任一向量探要点·究所然情境导学回顾学习数的概念，我们可以从一支笔、一棵树、一本书……中抽象出只有大小的数量“1”，类似地，我们可以对力、位移……这些既有大小，又有方向的量进行抽象，形成一种新的量，即向量.探究点一 向量的概念和几何表示我们知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量.数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量.而把那些只有大小，没有方向的量称为数量.例如，已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度.其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧.思考1 向量与数量有什么联系和区别？向量有哪几种表示？答 联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小.向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示.用表示向量的有向线段的长度表示向量的大小，也就是向量的长度(或称模).记作| |有向线段箭头表示向量的方向.思考2 向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？答 向量的模可以为0，也可以为1，不可以为负数.思考3 向量与有向线段有什么区别？答 向量只有大小和方向两个要素，与起点无关.只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.探究点二 几个向量概念的理解思考1 长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？答 长度为零的向量叫做零向量，记作0，它的方向是任意的.长度(或模)为1的向量叫做单位向量.思考2 满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？答 长度相等、方向相同的向量叫做相等向量.若向量a与b相小结 研究向量问题时要注意，从大小和方向两个方面考虑，不可忽略其中任何一个要素.对于初学者来讲，由于向量是一个相对新的概念，常常因忽略向量的方向性而致错.思考3 在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是什么？答 单位圆.探究点三 平行向量与共线向量思考1 如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？答 方向相同或相反.小结 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a、b平行，通常记作a∥b. 规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a ，都有0∥a.由于任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.思考2 如果非零向量是共线向量，那么点A、B、C、D 是否一定共线？答 点A、B、C、D不一定共线.思考3 若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之，若向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？向量平行具备传递性吗？答 向量a与b平行(或共线)，则向量a与b不一定相等；向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线).向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这是因为，当b＝0时，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b，b∥c⇒a∥c.小结 在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”.例1 判断下列命题是否正确，并说明理由.①若a≠b，则a一定不与b共线；②若则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD中，一定有④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.解 两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确.②A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故②不正确.③在平行四边形ABCD中，与平行且方向相同，故③正确.④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确.⑤a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正确.若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立；b≠0时，a∥c成立，故⑥不正确.反思与感悟 对于命题的判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可.跟踪训练1 判断下列命题是否正确，并说明理由.①若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；解 不正确.因为向量是不同于数量的一种量.它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故①不正确.②若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；解 不正确.由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向.③对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；解 正确.因为|a|＝|b|，且a与b同向.由两向量相等的条件可得a＝b.④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反.解 不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定.例2 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.(1)作出向量解 (1)向量如图所示.∴在四边形ABCD中，AB綊CD.∴四边形ABCD为平行四边形.反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.跟踪训练2 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；解 根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略).例3 如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点.(1)写出与共线的向量；解 因为E、F分别是AC、AB的中点，反思与感悟 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反；(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.跟踪训练3 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中所示向量与相等的向量.当堂测·查疑缺 12341.下列说法正确的是( )A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C.向量的大小与方向有关D.向量的模可以比较大小1234解析 A中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，所以A不正确；由A的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小，所以B 不正确；C中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，所以C不正确；D中向量的模是一个数量，可以比较大小，所以D正确.答案 D2.如图，在四边形ABCD中，若则图中相等的向量是( )D3.如图，在△ABC中，若DE∥BC，则图中所示向量中是共线向量的有________________________.解析 观察图形，并结合共线向量的定义可得解.梯形∴AB∥DC，但AB≠DC，∴四边形ABCD是梯形.呈重点、现规律1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用.2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.平行向量是指向量所在直线平行或重合即可，是一种广意平行.3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.。
高中数学人教A版必修4课件：2.1 平面向量的实际背景及基本概念
∴AC=2 000.又 ∠ACD=45° ,CD=1
000 2,
∴△ADC 为等腰直角三角形 . ∴AD=1 000 2,∠CAD=45° .
故向量 ������������ 的模为1 000 2 km,方向为东南方向 .
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题型三
题型四
题型四
易错辨析
易错点 混淆向量的有关概念而致错 【例4】 下列语句: ①向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反; ②两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; ③两个有共同终点的向量,一定是共线向量;
题型一
题型二
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解 :以 A 为原点 ,正东方向为 x 轴正方向 ,正北方向为 y 轴正方向 建立直角坐标系 . 根据题设 ,点 B 在第一象限 ,点 C 在 x 轴 正半轴上 ,点 D 在第四象限 ,向量 ������������ , ������������ , ������������ 如图所示. 由已知可得 ,△ABC 为正三角形,
反思在实际问题中准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再 确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.
题型一
题型二
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【变式训练 3】 已知飞机从 A 地按北偏东 30° 方向飞行 2 000 km 到达 B 地 ,再从 B 地按南偏东 30° 方向飞行 2 000 km 到达 C 地 , 最后从 C 地按西南方向飞行 1 000 2 km 到达������地 . 画图表示向量 ������������ , ������������ , ������������ , 并指出向量 ������������ 的模和方向.
【例 3】 一辆汽车从点 A 出发向西行驶了 100 千米到达点 B, 然后又改变方向向西偏北 50° 行驶了 200 千米到达点 C,最后又改变 方向,向东行驶了 100 千米到达点 D. (1)作出向量������������ , ������������ , ������������ ; (2)求|������������|. 分析:先根据行驶方向和距离作出向量,再求解 .
人教A版高中数学必修4《第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.3 相等向量与共线向量》_35
相等向量与共线向量【学习目标】1. 理解平行向量，相等向量，共线向量的含义，能在图形中辨认相等向量和共线向量。
2. 从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素及向量可以平移的特点．【重点、难点】重点：理解平行向量，相等向量，共线向量的含义，能在图形中辨认相等向量和共线向量。
难点：从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素及向量可以平移的特点．自主学习案【问题导学】1.向量可以用表示向量的有向线段的起点与终点字母来表示，如图所示，向量AB：起点A，终点B。
有向线段的长度表示向量的，向量的大小也叫向量的（或）；有向线段的方向表示向量的。
2.方向或的向量叫平行向量，如向量ba,平行，通常记作，规定0与任一向量。
3.任意一组平行向量都能到同一条直线上，因此，平行向量也叫共线向量。
4.长度且方向的向量叫相等向量，若向量ba,相等，记作。
【预习自测】1．下列说法不正确的是（）A．方向相同或相反的非零向量是平行向量。
B. 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量C. 有公共起点的向量叫做共线向量。
D. 零向量与任一向量共线2．已知边长为3的等边三角形ABC，求BC边上的中线向量=合作探究案【课内探究】例1．判断下列命题的真假:（1）向量AB的长度和向量BA的长度相等. （2）向量a与b平行,则b与a方向相同.（3）向量a与b平行,则b与a方向相反.（4）两个有共同起点而长度相等的向量,它们的终点必相同.（5）若a与b平行同向,且a＞b，则a＞b（6）由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行。
（7）如果a=b，则a与b长度相等。
（8） 如果a =b ，则与a 与b 的方向相同。
（9） 若a =b ，则a 与b 的方向相反。
（10）若a =b ，则与a 与b 的方向没有关系。
（11）已知b a ,为两个单位向量，则b a =例2.给出下列命题：（1）若b a //，c b //则c a //。
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思维辨析
2.填空:向量的表示法 (1)几何表示:用有向线段表示,此时有向线段的方向就是向量的 方向,向量的大小就是向量的长度(或称模),如向量������������的长度记作 |������������|. (2)字母表示:通常在印刷时,用黑体小写字母 a,b,c,…表示向量. 书写时,写成带箭头的小写字母������, ������, ������,….还可以用表示向量的有向 线段的起点和终点的字母表示,如以 A 为起点,以 B 为终点的向量记 为������������.
2.1 平面向量的实际背景及基本 概念
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一、向量的概念
问题思考 1.在物理中,位移与距离是同一个概念吗?现实世界中有各种各样 的量,如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等,怎 样正确区分这些量呢? 提示位移与距离不是同一个概念;这些量中有些只有大小,没有 方向,但有些既有大小又有方向,因此应该从大小和方向两个方面 对这些量进行区分. 2.填空:(1)向量:数学中,我们把既有大小,又有方向的量叫做向量. (2)数量:把那些只有大小,没有方向的量,称为数量. 3.我们曾经用单位圆中的有向线段定义了三角函数线,那么线段 与有向线段相同吗?有向线段有哪几个要素? 提示线段与有向线段是不同的,有向线段有长度、方向、端点等 要素.
3.向量就是有向线段吗? 提示不是,二者不是同一概念,它们只是一种对应关系.
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4.向量与有向线段的区别与联系 (1)区别:数学中的向量是自由向量,只有大小与方向两个要素.与 起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就相同;有向线段则 有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小与方向相同,也 是不同的有向线段. (2)联系:向量可以用有向线段来表示.
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4.填空:平行向量 (1)定义:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量a与b平 行,通常记作a∥b. (2)规定:零向量与任一向量平行,即对于任意的向量a,都有0∥a. (3)共线向量:任意一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此 平行向量也叫做共线向量. 5.做一做:下列说法正确的是( ) A.向量������������与向量������������是相等向量 B.与实数类似,对于两个向量a,b有a=b,a>b,a<b三种关系 C.两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线一定平行 D.若两个向量是共线向量,则向量所在的直线可以平行,也可以重 合 解析由相等向量和平行向量的定义知,D正确,A,B,C不正确. 答案D
3.做一做:下列说法正确的是( ) A.向量的模是一个正实数 B.零向量没有方向 C.单位向量的模等于1个长度单位 D.零向量就是实数0 解析向量的模是一个非负实数,它的方向是任意的,但它不是实 数0,故A,B,D均错,只有C正确. 答案C
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四、向量的关系 问题思考 1.向量由其模和方向所确定.对于两个向量a,b,就其模等与不等, 方向同与不同而言,有哪几种可能情形? 提示有四种情形:模相等,方向相同;模相等,方向不相同;模不相等, 方向相同;模不相等,方向不相同. 2.填空: 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,向量a与b 相等,记作a=b.任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段 来表示,并且与有向线段的起点无关.因为向量完全是由它的方向 和模确定. 3.如果两个向量所在的直线互相平行,那么这两个向量的方向有 什么关系? 提示方向相同或相反.
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4.填空:(1)有向线段:带有方向的线段叫做有向线段,其方向是由 起点指向终点.以 A 为起点、 B 为终点的有向线段记作������������(如图所示), 线段 AB 的长度也叫做有向线段������������的长度,记作|������������|.书写有向线段 时,起点写在终点的前面,上面标上箭头.
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判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)数量可以比较大小,向量也可以比较大小. ( ) (2)平行向量方向一定相同. ( ) (3)不相等向量一定不平行. ( ) (4)与零向量相等的向量是零向量. ( ) (5)与任何向量都平行的向量是零向量. ( ) (6)共线向量一定在一条直线上. ( ) (7)若两向量平行,则这两向量的方向相同或相反. ( )
(2)有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的 起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了.
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5.做一做:下列说法正确的是( ) A.身高是一个向量 B.温度有零上温度和零下温度之分,故温度是向量 C.有向线段由方向和长度两个要素确定
D.有向线段������������和有向线段������������的长度相等
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思பைடு நூலகம்辨析
5.做一做:已知向量a如图所示,下列说法不正确的是( A.也可以用 ������������ 表示 B.方向是由M指向N C.起点是M D.终点是M 解析由向量的表示知,A,B,C正确,D不正确. 答案D
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三、向量的模及两个特殊向量 问题思考 1.向量的模可以为0吗?可以为1吗?可以为负数吗? 提示向量的模可以为0,可以为1,但不可以为负数. 2.填空:向量的模及两个特殊向量
(1)向量的长度(模):向量������������的大小,也就是向量������������的长度(或模), 记作|������������|.
(2)两个特殊向量: ①零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作0,零向量的方向是任 意的. ②单位向量:长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.
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解析有向线段������������和有向线段������������的起点与终点互换,其方向相 反,长度相等,故 D 项正确.
答案D
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二、向量的表示
问题思考 1.对于一个实数,可以用数轴上的点表示;对于一个角的正弦、余 弦和正切,可以用三角函数线表示;对于一个二次函数,可以用一条 抛物线表示…….数学中有许多量都可以用几何方式表示,你认为 如何用几何方式表示向量最合适? 提示由于向量既有大小又有方向,因此可用有向线段来表示.