苏科版九年级上数学期末复习试卷四(一元二次方程)
用一元二次方程解决问题九年级数学上学期期末考试真题汇编(苏科版)
专题03 用一元二次方程解决问题一．选择题（共4小题）1．（2022春•通州区期末）一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相等，则经过三轮传染后患流感的人数共有（）A．7个B．49个C．121个D．512个【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x，根据“一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其正值代入64（1+x）中即可求出结论．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x，依题意得：1+x+x（1+x）＝64，解得：x1＝7，x2＝﹣9（不合题意，舍去），∴64（1+x）＝64×（1+7）＝512，∴经过三轮传染后患流感的人数共有512个．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．（2021秋•常州期末）为保护人民群众生命安全，减少交通事故，自2020年7月1日起，我市市民骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定，某头盔经销商经过统计发现：某品牌头盔从5月份到7月份销售量的月增长率相同，若5月份销售200个，7月份销售288个，设月增长率为x则可列出方程（）A．200（1+x）＝288B．200（1+2x）＝288C．200（1+x）2＝288D．200（1+x2）＝288【分析】根据从5月份到7月份销售量的月增长率相同，根据5月份销售200个，7月份销售288个，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设月增长率为x，根据题意得，200（1+x）2＝288，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2022春•泰兴市期末）某超市销售一批玩具，平均每天可售出120件，每件盈利4元，市场调查发现售价每涨1元，销售量减少10件；售价每降1元，销售量增加10件爱动脑的嘉嘉发现：在一定范围内，涨a元与降b元所获得的利润相同，则a与b满足（）A．a﹣b＝4B．a﹣b＝8C．a+b＝4D．a+b＝8【分析】将利润用函数关系表达出来，由于涨价、降价时的销售量变化幅度一致，所以利润可用一元二次函数表示，再利用一元二次函数的对称性解决即可．【解答】解：由题意得，（4+a）（120﹣10a）＝（4﹣b）（120+10b），解得a﹣b＝8，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，根据题干信息整理出一元二次函数式是解题的关键．4．（2022春•工业园区校级期末）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（）A．102+（x﹣1）2＝x2B．（x+1）2＝x2+102C．x2＝（x﹣1）2+12D．（x+1）2＝x2+12【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有（x﹣1）尺，根据勾股定理可列出方程．【解答】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺，在R t△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，∴102+（x﹣1）2＝x2，故选：A．【点评】此题考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．二．填空题（共4小题）5．（2021秋•盱眙县期末）要利用一面很长的围墙和100米长的隔离栏建三个如图所示的矩形羊圈，若计划建成的三个羊圈总面积为400平方米，则羊圈的边长AB为多少米？设AB＝x米，根据题意可列出方程的为（100﹣4x）x＝400．【分析】设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米，然后根据矩形的面积公式列出方程．【解答】解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x＝400，故答案为：（100﹣4x）x＝400．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．6．（2021秋•广陵区期末）某书店第一天销售500本图书，之后两天的销售量按相同的增长率增长，第三天的销售量为720本，若设每天的增长率为x，可列方程为500（1+x）2＝720．【分析】利用第三天的销售量＝第一天的销售量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：500（1+x）2＝720．故答案是：500（1+x）2＝720．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．（2022春•姜堰区期末）某地区加大教育投入，2020年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2022年，教育经费投入为2420万元，则年平均增长率为10% ．【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），2021年要投入教育经费是2000（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2022年的教育经费数额，即可列出方程求解．【解答】解：设年平均增长率为x，根据题意得：2000（1+x）2＝2420，解得：x＝0.1＝10%，或x＝﹣2.1（不合题意舍去）．即：年平均增长率为10%．故答案是：10%．【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．掌握增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量是本题的关键．8．（2022春•海门市期末）《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为x（x﹣12）＝864．【分析】如果设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步，根据面积为864，即可得出方程．【解答】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步．根据矩形面积＝长×宽，得：x（x﹣12）＝864．故答案为：x（x﹣12）＝864．【点评】本题为面积问题，考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握好面积公式即可进行正确解答；矩形面积＝矩形的长×矩形的宽．三．解答题（共4小题）9．（2022春•亭湖区校级期末）某水果店标价为10元/kg的某种水果经过两次降价后价格为8.1元/kg，并且两次降价的百分率相同．时间/天x销量/kg120﹣x储藏和损耗费用/元3x2﹣64x+400（1）求该水果每次降价的百分率；（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示，已知该水果的进价为4.1元/kg，设销售该水果第x天（1≤x＜10）的利润为377元，求x的值．【分析】（1）设该种水果每次降价的百分率为x，由题意得关于x的一元二次方程，解方程并根据题意作出取舍即可；（2）根据题意列方程即可得到结论．【解答】解：（1）设该种水果每次降价的百分率为x，由题意得：10（1﹣x）2＝8.1，解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去），∴x＝0.1＝10%，∴该种水果每次降价的百分率为10%；（2）根据题意得，（8.1﹣4.1）×（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）＝377，解得，x＝9或x＝11（不合题意舍去），答：x的值为9．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理清题中的数量关系正确地列出方程是解题的关键．10．（2022春•兴化市期末）某超市销售一种衬衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出28件衬衫，此时每天销售获利1008元．（2）在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，问每件衬衫应降价多少元？（3）该衬衫每天的销售获利能达到1300元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能，请说明理由．【分析】（1）利用平均每天的销售量＝20+2×每件衬衫降低的价格，可求出平均每天的销售量；利用每天的销售总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出此时每天销售获利；（2）设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，根据每天销售该衬衫获利1200元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件盈利不少于25元，即可得出每件衬衫应降价10元；（3）不能，设每件衬衫降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，平均每天可售出（20+2y）件，根据每天销售该衬衫获利1300元，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，即可得出该方程没有实数根，即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元．【解答】解：（1）若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出20+4×2＝28（件），此时每天销售获利（40﹣4）×28＝1008（元）．故答案为：28；1008．（2）设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20，当x＝10时，40﹣x＝40﹣10＝30＞25，符合题意；当x＝20时，40﹣x＝40﹣20＝20＜25，不符合题意，舍去．答：每件衬衫应降价10元．（3）不能，理由如下：设每件衬衫降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，平均每天可售出（20+2y）件，依题意得：（40﹣y）（20+2y）＝1300，整理得：y2﹣30y+250＝0，∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0，∴该方程没有实数根，即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．11．（2022春•海安市期末）某校准备在一块长为25米，宽为20米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子（如图所示），在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为x米．（1）花园内的小路面积为（﹣10x2+45x）平方米（用含x的代数式表示）．（2）若草坪面积为440平方米时，求这时道路宽度x的值．【分析】（1）由亭子边长是小路宽度的5倍，可得出亭子边长是5x米，利用花园内的小路面积＝小路的长度×小路的宽度，即可用含x的代数式表示出花园内的小路面积；（2）利用草坪的面积＝长方形花园的面积﹣小路的面积﹣亭子的面积，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1米，亭子边长是小路宽度的5倍，∴亭子边长是5x米，∴花园内的小路面积为（25﹣5x）x+（20﹣5x）x＝（﹣10x2+45x）平方米．故答案为：（﹣10x2+45x）．（2）依题意得：25×20﹣（﹣10x2+45x）﹣（5x）2＝440，整理得：x2+3x﹣4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣4（不合题意，舍去）．答：这时道路宽度x的值为1．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出花园内的小路面积；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．12．（2022春•海陵区校级期末）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据调查“冰墩墩”每盒进价8元，售价12元．（1）商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“冰墩墩”售价每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望“冰墩墩”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？（2）实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了2a元，月销量比（1）中最低销量270盒增加了60a盒，于是月销售利润达到了1650元，求a的值．【分析】（1）设每盒的售价为x元，则月销量为（570﹣20x）盒，根据月销量不低于270盒，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；（2）利用月销售利润＝每盒的销售利润×月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）设每盒的售价为x元，则月销量为330﹣20（x﹣12）＝（570﹣20x）（盒），依题意得：570﹣20x≥270，解得：x≤15．答：每盒售价最高为15元；（2）依题意得：（15﹣2a﹣8）×（270+60a）＝1650，解得：a1＝1，a2＝﹣2（不合题意，舍去）．答：a的值为1．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．一．选择题（共4小题）1．（2021秋•沭阳县校级月考）把一块长与宽之比为2：1的铁皮的四角各剪去一个边长为10厘米的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖的盒子，如果这个盒子的容积是1500立方厘米，设铁皮的宽为x厘米，则正确的方程是（）A．（2x﹣20）（x﹣20）＝1500B．10（2x﹣10）（x﹣10）＝1500C．10（2x﹣20）（x﹣20）＝1500D．10（x﹣10）（x﹣20）＝1500【分析】如果设铁皮的宽为x厘米，那么铁皮的长为2x厘米，根据“这个盒子的容积是1500立方厘米”，可列出方程．【解答】解：设铁皮的宽为x厘米，那么铁皮的长为2x厘米，依题意得10（2x﹣20）（x﹣20）＝1500．故选：C ．【点评】本题中隐藏的条件是长方体盒子的高为10厘米，然后利用体积公式列出方程．2．（2021秋•工业园区校级月考）某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两人之间都握了一次手，所有人共握了45次手，设共有x 位同学聚会，则x 满足的关系式为（ ）A ．12x （x +1）＝45B ．12x （x ﹣1）＝45C ．x （x +1）＝45D ．x （x ﹣1）＝45【分析】此题利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x 人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为12x （x ﹣1）解决问题即可． 【解答】解：由题意列方程得，12x （x ﹣1）＝45．故选：B ．【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，主要由x 人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为12x （x ﹣1），利用这一基本数量关系类比运用解决问题． 3．（2022春•福山区期末）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x 2+2x ﹣35＝0即x （x +2）＝35为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是（x +x +2）2．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x ＝5．则在下面四个构图中，能正确说明方程x 2﹣5x ﹣6＝0 ）A ．B ．C．D．【分析】根据题意，画出方程x2﹣5x﹣6＝0，即x（x﹣5）＝6的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．【解答】解：方程x2﹣5x﹣6＝0，即x（x﹣5）＝6的拼图如图所示；中间小正方形的边长为x﹣（x﹣5）＝5，其面积为25，大正方形的面积：（x+x﹣5）2＝4x（x﹣5）+25＝4×6+25＝49，其边长为7，因此，D选项所表示的图形符合题意，故选：D．【点评】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．4．（2022秋•铜山区校级月考）可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在R t△ABC中，∠C＝90°，AC=a2，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（）A．CD的长B．BD的长C．AC的长D．BC的长【分析】在R t△ABC中，利用勾股定理进行计算，可得BD2+aBD＝b2，从而可得BD的长该方程方程x2+ax＝b2的一个正根．【解答】解：∵AD＝AC=a 2，∴AB＝AD+BD=a2+BD，在R t△ABC中，∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴（a 2）2+b 2＝（a 2+BD ）2， ∴a 24+b 2=a 24+aBD +BD 2， ∴BD 2+aBD ＝b 2，∵BD 2+aBD ＝b 2与方程x 2+ax ＝b 2相同，且BD 的长度是正数，∴BD 的长该方程x 2+ax ＝b 2的一个正根，故选：B ．【点评】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，利用勾股定理及各边长得出BD 2+aBD ＝b 2是解题的关键．二．填空题（共4小题）5．（2021秋•溧阳市期末）老李有一块长方形菜地（长大于宽），面积为180m 2，他利用菜地宽处修了一个宽为3m 的蓄水池，修完后老李发现他的菜地刚好变成一个正方形菜地．那么老李原来的菜地周长为 54 m ．【分析】根据“如果它的长减少3m ，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多3m ，利用矩形的面积公式列出方程即可．【解答】解：∵长减少3m ，菜地就变成正方形，∴设长方形的宽为xm ，则长为（x +3）m ，根据题意得：x （x +3）＝180，解得：x 1＝12，x 2＝﹣15（不符合题意，舍去），则x +3＝15，这个长方形菜地的长为15m ，宽为12m ，所以老李原来的菜地周长为：2×（15+12）＝54m ．故答案为：54．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，找到等量关系．6．（2022•广陵区校级一模）如图，某小区有一块长为36m ，宽为24m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为600m 2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 2 m ．【分析】将矩形绿地平移后，根据图中的等量关系列出方程即可求出答案．【解答】解：设人行通道的宽度为x ，将矩形绿地平移，如图所示，∴AB＝2x，GD＝3x，ED＝24﹣2x由题意可列出方程：36×24﹣600＝2x×36+3x（24﹣2x）解得：x＝2或x＝22（不合题意，舍去）故答案为：2【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于中等题型．7．（2021秋•锡山区校级月考）《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+12x+m＝0，构造图2，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为4√6−6．【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为3，先计算出大正方形的面积＝阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．【解答】解：x2+12x+m＝0，x2+12x＝﹣m，∵阴影部分的面积为60，∴x2+12x＝60，设4a＝12，则a＝3，同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为3x的矩形，得到大正方形的面积为60+32×4＝60+36＝96，则该方程的正数解为√96−6＝4√6−6，故答案为：4√6−6．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．（2022春•惠山区期末）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x 2+ax ＝b 2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x 2+x ﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD ，先折出AD ，BC 的中点E ，F ，再沿过点A 的直线折叠使AD 落在线段AF 上，点D 的对应点为点H ，折痕为AG ，点G 在边CD 上，连接GH ，GF ，线段BF 、DG 、CG 和GF 中，长度恰好是方程x 2+x ﹣1＝0的一个正根的线段为 DG ．【分析】首先根据方程x 2+x ﹣1＝0解出正根为√5−12，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段BF ＝0.5排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设DG ＝m ，则GC ＝1﹣m ，从而可以用m 表示等式．【解答】解：设DG ＝m ，则GC ＝1﹣m ．由题意可知：△ADG ≌△AHG ，F 是BC 的中点，∴DG ＝GH ＝m ，FC ＝0.5，根据勾股定理得AF =√52．∵S 正方形＝S △ABF +S △ADG +S △CGF +S △AGF ，∴1×1=12×1×12+12×1×m +12×12×（1﹣m ）+12×√52×m ， ∴m =√5−12．∵x 2+x ﹣1＝0的解为：x =−1±√52， ∴取正值为x =√5−12．∴这条线段是线段DG ．故答案为：DG ． 【点评】此题考查的是一元二次方程的解法，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键．三．解答题（共4小题）9．（2021•兴化市模拟）某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元．（1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润；（2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？【分析】（1）根据每天的销售利润＝每件的利润×每天的销售量，即可求出结论；（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80﹣2（x﹣40）]件，根据每天的销售利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）（45﹣30）×[80﹣（45﹣40）×2]＝1050（元）．答：每天的销售利润为1050元．（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80﹣2（x﹣40）]件，依题意，得：（x﹣30）[80﹣2（x﹣40）]＝1200，整理，得：x2﹣110x+3000＝0，解得：x1＝50，x2＝60（不符合题意，舍去）．答：每件工艺品售价应为50元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（2022秋•建湖县校级月考）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为24﹣3x 米；（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．【分析】（1）用绳子的总长减去三个AB的长，然后加上两个门的长即可表示出AD的长；（2）由在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，故长边为22﹣3x+2，令面积为45，解得x．【解答】解：（1）设宽AB为x，则长AD ＝BC ＝22﹣3x +2＝（24﹣3x ）米；（2）由题意可得：（22﹣3x +2）x ＝45，解得：x 1＝3；x 2＝5，∴当AB ＝3时，BC ＝15＞14，不符合题意舍去，当AB ＝5时，BC ＝9，满足题意．答：花圃的长为9米，宽为5米．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，用未知数表示出线段的长是解题的关键．11．（2022秋•江阴市校级月考）如图，在△ABC 中，AB ＝6cm ，BC ＝7cm ，∠ABC ＝30°，点P 从A 点出发，以1cm /s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2cm /s 的速度向C 点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P 、Q 两点同时出发，经过几秒后△PBQ 的面积等于4cm 2？【分析】作出辅助线，过点Q 作QE ⊥PB 于E ，即可得出△PQB 的面积为12×PB ×QE ，有P 、Q 点的移动速度，设时间为t 秒时，可以得出PB 、QE 关于t 的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【解答】解：如图，过点Q 作QE ⊥PB 于E ，则∠＝90°．∵∠ABC ＝30°，∴2QE ＝QB ．∴S △PQB =12•PB •QE ．设经过t 秒后△PBQ 的面积等于4cm 2，则PB ＝（6﹣t ）cm ，QB ＝2t （cm ），QE ＝t （cm ）．根据题意，12•（6﹣t ）•t ＝4． t 2﹣6t +8＝0．t 1＝2，t 2＝4．当t ＝4时，2t ＝8，8＞7，不合题意舍去，取t ＝2．答：经过2秒后△PBQ 的面积等于4cm 2．【点评】本题考查了一元二次方程的运用，注意求得的值的取舍问题．12．（2022秋•宜兴市月考）如图所示，△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．（1）点P 从点A 开始沿AB 边向B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A ，B 同时出发，线段PQ 能否将△ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P 点沿射线AB 方向从A 点出发以1cm /s 的速度移动，点Q 沿射线CB 方向从C 点出发以2cm /s 的速度移动，P 、Q 同时出发，问几秒后，△PBQ 的面积为1cm 2？【分析】（1）设经过x 秒，线段PQ 能否将△ABC 分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；（2）分三种情况：①点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上（0＜t ≤4）；②点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上（4＜6）；③点P 在射线AB 上，点Q 在射线CB 上（t ＞6）；进行讨论即可求解．【解答】解：（1）设经过x 秒，线段PQ 能将△ABC 分成面积相等的两部分 由题意知：AP ＝x ，BQ ＝2x ，则BP ＝6﹣x ，∴12（6﹣x ）•2x =12×12×6×8， ∴x 2﹣6x +12＝0，∵b 2﹣4ac ＜0，此方程无解，∴线段PQ 不能将△ABC 分成面积相等的两部分；（2）设t 秒后，△PBQ 的面积为1①当点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上时此时0＜t ≤4由题意知：12（6﹣t ）（8﹣2t ）＝1， 整理得：t 2﹣10t +23＝0，解得：t 1＝5+√2（不合题意，应舍去），t 2＝5−√2，②当点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 的延长线上时此时4＜t ≤6，由题意知：12（6﹣t ）（2t ﹣8）＝1， 整理得：t 2﹣10t +25＝0，解得：t 1＝t 2＝5，③当点P 在线段AB 的延长线上，点Q 在线段CB 的延长线上时此时t ＞6，由题意知：12（t ﹣6）（2t ﹣8）＝1， 整理得：t 2﹣10t +23＝0，解得：t 1＝5+√2，t 2＝5−√2，（不合题意，应舍去），综上所述，经过5−√2秒、5秒或5+√2秒后，△PBQ 的面积为1．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．。
苏科版九年级数学上册初三期末综合复习卷四
C D E F A B O x y 4 4 A ． O x y 4 4 B ． O x y 4 4 C ． O x y 4 4 D ．初中数学试卷 灿若寒星整理制作宜兴外国语学校初三期末综合复习卷（四） 班级 姓名一、选择题1．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+2=0两实数根为x 1、x 2，则x 1+x 2=（ ）A ． 3B ． ﹣3C ． 1D ． ﹣1 2．若=，则的值为（） A． B． C． D ．3．若二次函数y=（a+1）x 2+3x+a 2﹣1的图象经过原点，则a 的值必为（ ）A ． 1或﹣1B ． 1C ． ﹣1D ． 04．已知圆锥的底面的半径为3cm ，高为4cm ，则它的侧面积为（ ）A ． 15πcm 2B ． 16πcm 2C ． 19πcm 2D ． 24πcm 25．下列语句中正确的是（ ）A ． 长度相等的两条弧是等弧B ． 平分弦的直径垂直于弦C ． 相等的圆心角所对的弧相等D ． 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴6．某洗衣机经过连续两次降价，每台售价由原来的1500元降到了990元．设平均每次降价的百分率为x ，则下列方程中正确的是（ ）A ．1500（1+x ）2=990B ．990（1+x ）2=1500C ．1500（1﹣x ）2=990D ．990（1﹣x ）2=15007.现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b =23a a b -+，如：3★5=32-3×3+5，若x★2=6，则实数x 的值是( )A ．4-或1-B ．4或1-C ．4或2-D ．-4或28．如图，点C 、D 是以线段AB 为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E 、F 分别是线段CD ，AB 上的动点，设AF=x ， AE 2－FE 2=y ，则能表示y 与x 的函数关系的图象是（ ）二、填空题9．在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果已知袋中只有4个红球，且摸出红球的概率为，那么袋中的球共有 个．10．若A （﹣4，y 1），B （﹣1，y 2），C （1，y 3）为二次函数y=x 2+4x ﹣5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 ．11．已知一组数据1，2，x ，5的平均数是4，则x 是 ．这组数据的方差是 ．12．关于x 的一元二次方程kx 2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．13．圆弧的半径为3，弧所对的圆心角为60°，则该弧的长度为 ．14．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠OAB=40°，则∠ACB 为 ．15.如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6ｍ的正三角形ABC ，母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B 处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是 ｍ．（结果不取近似数）16．如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE ，那么DE 长的最小值是 ．17.如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器 台．18.如图是一块学生用直角三角板，其中∠A ′=30°，三角板的边框为透明塑料制成（内、外直角三角形对应边互相平行且三处所示宽度相等）．将直径为4cm 的⊙O 移向三角板，三角板的内△ABC 的斜边AB 恰好等于⊙O 的直径，它的外△A ′B ′C ′的直角边A ′C ′恰好与⊙O 相切（如图2），则边B ′C ′的长为 cm ．三、解答题19．解方程：（1）x 2=2x （2）2x 2﹣4x ﹣1=0 （3）y y y 22)1(3-=-A第20题20．在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：①AB=DC；②∠ABE=∠DCE；③AE=DE；④∠A=∠D小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张．请结合图形解答下列两个问题：（1）当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定△BEC是等腰三角形吗？说说你的理由；（2）请你用树状图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果（用序号表示），并求以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使△BEC不能构成等腰三角形的概率．21.工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求．右图是过球心O及A，B，E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD．请你结合图中的数据，计算这种铁球的直径．22. 某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和成本进行了调研，结果如下：每件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图1），每件商品的成本Q（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线的一部分上的点来表示（如图2）．（说明：图1，图2中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本．）请你根据图象提供的信息回答：（1）每件商品在3月份出售时的利润（利润=售价-成本）是多少元？（2）求图2中表示的每件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式；（3）你能求出三月份至七月份每件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系式吗？若该公司共有此种商品30000件，准备在一个月内全部售完，请你计算一下至少可获利多少元？23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上一点O为圆心，OB为半径作⊙O，交AC于点E，交AB于点D，且∠BEC=∠BDE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）连接OC交BE于点F，若，求的值．24．如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，求它的解析式；（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围．。
苏科版九年级数学上册初三期末复习《一元二次方程》(.12.22).docx
初中数学试卷 马鸣风萧萧初三数学期末复习《一元二次方程》(2016.12.22)姓名_________一、知识回顾：1. 只含有 个未知数，且未知数的最高次数是 次的 方程叫一元二次方程. 一般形式为 _______________________________________________.2.一元二次方程的解法： .3.一元二次方程)0a (0c bx ax 2≠=++根的判别式为 ，它的根的情况是：① ______________________________________________________；② ；③ .4 . 设一元二次方程)0a (0c bx ax 2≠=++的两根x 1、x 2，则x 1+x 2= ；x 1.x 2= .5. 一元二次方程的应用：审、设、列、解、验、答二、知识应用1. 关于x 的一元二次方程()01122=-+++m x x m 有一根为0，则m= .2. 已知关于x 的一元二次方程x 2+bx+b ﹣1=0有两个相等的实数根，则b 的值是 ，此时方程的两个根为 .3．如果关于x 的方程0122=+-x mx 有两个不相等的实数根，则m 的范围为 .4．已知方程x 2-5x+2=0的两个解分别为x 1、x 2，则x 1+x 2= ；x 1.x 2= ，x 1－x 2= ， x 1+x 2－x 1•x 2的值为 .5．已知52-是一元二次方程042=+-c x x 的一个根，则c= ，另一个根是 .6．方程x 2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．7．若()()06522222=-+-+y x y x ,则()22y x += . 8.已知__________212,01422=++=++a a a a a 则,若,03222=--y xy x 则=+yy x 2 . 9.某种商品原价50元，因销售不畅，3月份降价10%，从4月份开始涨价，5月份的售价为64.8元，则4、5月份两个月平均涨价率为 .10. 用适当的方法解方程①()41x 92=- ②()x x x 2213-=- ③ 02y 6y 32=+- ④039)13(2=+--x x11.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x 档次的产品一天的总利润为y 元（其中x 为正整数，且1≤x ≤10），求出y 关于x 的函数关系式；（2）若生产第x 档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．练习：1．若()511||=-+m x m 是一元二次方程，则m 的值为 .2．若x 2=4x ，则x= ；若x 2－6x －2=0，则31x 2－2x+1= . 3．已知2是关于x 的一元二次方程x 2+4x-p=0的一个根，则该方程的另一个根是 .4．某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到6.345元，则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是_______________．5．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）A ．x 2+130x-1400=0B ．x 2+65x-350=0C ．x 2-130x-1400=0D ．x 2-65x-350=06．解方程：⑴2412x x =+ ⑵)12(-x 2=2x⑶22)1(9)12(+=-x x ⑷14)3)(23(+=++x x x7．已知关于x 的一元二次方程x 2+kx –(k －2)=0. (1) 求证：不论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 当k =3时，用配方法解此一元二次方程.8．已知，关于x 的方程x m mx x 2222+-=-的两个实数根1x 、2x 满足12x x =，求实数m 的值.9．已知：□ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程21024m x mx -+-=的两个实数根．⑴当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；⑵若AB 的长为2，那么□ABCD 的周长是多少？。
苏科版九年级上册数学一元二次方程单元过关试卷含答案
苏科版九年级数学上册一元二次方程单元过关试卷含答案班级姓名得分一、选择题1.下列方程中关于x的一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.一元二次方程3x2-x-2=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A. 3，，B. 3，1，C. 3，，2D. 3，1，23.关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A. B. 1 C. 1或 D. 34.若a为方程x2+x﹣5＝0的解，则a2+a+1的值为（）A. 16B. 12C. 9D. 65.方程x2=4的解是（）A. B.C. ，D. ，6.用配方法解一元二次方程2x2-4x+1=0，变形正确的是（）A. B. C. D.7.一元二次方程x2-4x+3=0的解是（）A. B. ，C. D. ，8.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式为()A. B.C. D.二、填空题9.已知m是一元二次方程x2-x-4=0的一个根，则代数式2+m-m2的值是______．10.方程x2－1＝0的解是________．11.如果a是方程x2-2x-1=0的根，那么代数式3a2-6a的值是______．12.一元二次方程x2﹣9=0的解是____．13.把方程y2-4y=6（y+1）整理后配方成（y+a）2=k的形式是______．14.一元二次方程x2+x=3中，a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ，则方程的根是______ ．15.一元二次方程3x2=4-2x的解是______．三、解答题16.已知m是方程x2+x-1=0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m-1）的值．17.要做一个容积为750 cm3，高为6 cm，底面长比宽多5 cm的无盖长方体铁盒．(1)若设长方体底面宽xcm，则长方体底面长为____________cm，根据题意，可列方程为____________；(2)将(1)中的方程化为一般形式是____________；(3)x可能大于9.1吗？x可能小于8.9吗？请说说你的理由．18.先化简，再求值：（x+1﹣）÷（﹣4），其中x为一元二次方程x2﹣3x＝0的解．19.解方程（1）（2x+3）2-81=0；（2）y2-7y+6=0．20.已知m是方程x2-2x-3=0的一个根，求2m2-4m的值．21.有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程x2-12x+k=0的两根，求k的值．22.关于x的一元二次方程ax2-5x+a2+a=0的一个根是0，求a的值及另一根．答案和解析1. D2.A3.C4.D5.D6.C7.D8.B9.-210.x1=1，x2=-1 11.3 12.x1=3，x2=-3 13.（y-5）2=31 14.；1；-3；x1=-1+，x2=-1-15.x1=，x2=16.解：由题意可知：m2+m-1=0，17.解：（1）（x＋5）；6x（x＋5）＝750；（2）x2+5x-125＝0；（3）x不可能大于9.1，也不可能小于8.9，18.解：原式====，由x2-3x=0，得x1=0，x2=3，当x=0时，原分式无意义，当x=3时，原式=．19.解：（1）（2x+3）2=81，2x+3=±9，所以x1=3，x2=-6；（2）（y-1）（y-6）=0，y-1=0或y-6=0，所以y1=1，y2=6．21.解：若边长3为等腰三角形的腰长，则3是方程x2-12x+k=0的一个根，把x=3代入得：9-36+k=0，解得：k=27，解方程x2-12x+27=0得：x=3或x=9，由于长为3，3，9的线段不能构成等腰三角形，故应舍去，若边长3为等腰三角形的底边，则方程x2-12x+k=0有两个相等的实根，则△=144-4k=0，解得：k=36，这时方程x2-12x+36=0有两个相等的解为6，且符合题意，故k=36．22.解：当x=0时，a2+a=0，解得：a1=-1，a2=0．又∵原方程为一元二次方程，∴a=-1，∴原方程为-x2-5x=0，∴方程的另一根为--0=-5．故a的值为-1，方程的另一根为x=-5．。
苏科版九年级上期末专题：第一章一元二次方程(含答案解析)
苏科版九年级数学上册期末专题： 第一章 一元二次方程一、单选题（共10题；共30分）1.一元二次方程x 2+x ﹣6=0的根的情况是（ ）A. 有两个相等的实根B. 没有实数根C. 有两个不相等的实根D. 无法确定 2.下列方程中，没有实数根的是（ ）A. x 2﹣4x+4=0B. x 2﹣2x+5=0C. x 2﹣2x=0D. x 2﹣2x ﹣3=03.一个多边形有9条对角线，则这个多边形的边数是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 84.已知方程x 2+bx+a=0有一个根是-a （a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（ ）A. abB. a bC. a+bD. a-b 5.用配方法解方程x 2+8x+7=0，则配方正确的是（ ）A. (x +4)2=9B. (x −4)2=9C. (x −8)2=16D. (x +8)2=57 6.如图，将边长为2cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm 2 ， 则它移动的距离AA′等于（ ）A. 0.5cmB. 1cmC. 1.5cmD. 2cm7.关于 x 的方程 x 2+(k −24)x +k +1=0 的两个根互为相反数，则 k 值是（ ）A. −1B. ±2C. 2D. −28.如果一元二次方程x 2+12x+27=0的两个根是x 1 ， x 2 ， 那么x 1+x 2的值为（ ）A. －6B. －12C. 12D. 279.若关于x 的一元二次方程mx 2﹣x= 14 有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A.m≥﹣1B.m≥﹣1且m≠0C.m ＞﹣1且m≠0D.m≠010.若关于x 的方程x 2+(2k+1)x-2+k 2=0有实数根，则k 的取值范围是 ( )A. k<94B. k≤-94C. k>94D. k≥-94 二、填空题（共10题；共30分）11.方程（x ﹣3）2=x ﹣3的根是________．12.若关于x 的一元二次方程ax 2﹣bx+2=0（a≠0）的一个解是x=1，则3﹣a+b 的值是________． 13.一元二次方程 x 2−3x +1=0 根的判别式的值为________.14.方程（x ﹣3）（x ﹣9）=0的根是________．15.方程4x 2﹣kx+6=0的一个根是2，那么k=________16.已知x1=3是关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根，则方程的另一个根x2是________。
苏科版初三数学上册《一元二次方程》单元测试卷及答案解析
苏科版初三数学上册《一元二次方程》单元测试卷及答案解析一、选择题1、下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．﹣3（x+1）2=2（x+1）C．x2﹣x（x﹣3）=0 D．2、已知，是一元二次方程的两个根，则的值是( )A．3 B．-3C．2 D．-23、摩拜共享单车计划2017年10、11、12月连续3月对深圳投放新型摩拜单车，计划10月投放深圳3000台，12月投放6000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为x，则可列方程4、方程的解为A．B．，C．，D．，5、把方程x-2x-5=0配方成（x+m）2=n的形式，正确的结果是（）A．(x+1)2=6 B．(x-1)2=6C．(x+2)2=9 D．(x-2)2=96、关于的方程的一个根为，则另一个根为（）A．B．C．D．7、已知m，n是方程x2+2x﹣1=0的两根，则代数式的值为（）A．9 B．C．3 D．±8、已知一元二次方程的两根为a，b，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．9、如果x＝2是方程x2－3x＋k＝0的一个根，那么常数k的值为( )A．1 B．2 C．－1 D．－210、如果多项式p=a2+2b2+2a+4b+5，则p的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11、方程x2﹣5x=0的解是_______．12、以3和4为根的一元二次方程是________________________．13、据统计，某市农村居民人均纯收入由2012年的14000元增长到2014年的16940元，则这个市从2012年到2014年的年平均增长的百分率是________．14、设a、b是方程x2+x-2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为_______．15、如果x1、x2是一元二次方程x2-6x-5=0的两个实根，那么x12+x22＝_______．16、当m=______关于x的方程是一元二次方程．17、方程x²-x=0的根是______．18、写出一个一元二次方程，它的根分别为3和-2并且二次项系数为1，_________________19、已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的两个实数根为x1，x2，若x＋x ＝4，则m的值为___________.20、若方程x2－px + q = 0的两个实数根是2，－3，则二次三项式x2－px + q可以分解为_________三、计算题21、解下列方程：(1) x2+4x-45=0 (2) (x-5)2-2x+10=022、解方程：（1）（2）四、解答题23、已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+（2k﹣1）=0，（1）求证：该方程有两个不相等的实数根．（2）若此方程有一个根是1，求出方程的另一个根．24、某化肥厂去年四月份生产化肥500吨，因管理不善，五月份的产量减少了，从六月起强化管理，该厂产量逐月上升，七月份产量达到648吨．该厂五月份的产量为______吨；直接填结果求六、七两月产量的平均增长率．25、诸暨某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；用x的代数式表示每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．26、如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=8cm，AC=10cm，动点A从点A出发以1cm/s的速度沿AB边运动，同时动点Q从点B出发以2cm/s的速度沿BC边运动．设运动时间为t秒．（1）若△PBQ的面积等于8cm2，求t的值；（2）若PQ的长等于cm，求t的值．参考答案1、B2、B3、A4、B5、B6、B7、C8、A9、B10、B11、x1=0，x2=512、x2－7x＋12＝0．13、10%14、201615、4616、217、0，118、x2-x-6=019、-1或-3 20、（x－2）（x + 3）21、(1)x1=5，x2="-9" (2)x1=5，x2=722、（1）x1＝4＋，x2＝4－；（2）x1＝1，x2＝．23、（1）见解析；（2）x=3．24、（1）450 ；（2）20%.25、(1)、；；(2)、20元或10元；(3)、不能，理由见解析．26、（1）当P、Q经过2或4秒时，△PBQ的面积为8cm2；（2）当t为1或时，PQ的长等于cm．【解析】1、分析：根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可．详解：A．当a=0时，不是一元二次方程，故此选项错误；B．是一元二次方程，故此选项正确；C．不是一元二次方程，故此选项错误；D．不是一元二次方程，故此选项错误．故选B．点睛：本题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2、分析：由韦达定理即可求解.详解：由题意可得：.点睛：考查了韦达定理.3、分析：设增长率为x，10月投放3000（1+x）台，12月投放3000（1+x）2台，由此即可列出方程求解．详解：设增长率为x，由题意得3000（1+x）2=6000．故选：A．点睛：此题考查从实际问题抽象出一元二次方程，解决变化类问题，可利用公式a（1+x）2=b，其中a是变化前的原始量，b是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率是解题的关键．4、分析：先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．详解：x（x-2）=3x，x（x-2）-3x=0，x（x-2-3）=0，x=0，x-2-3=0，x1=0，x2=5，故选：B．点睛：本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．5、分析：在把5移项后，左边应该加上一次项系数-2的一半的平方，即可得到结果详解：方程变形得:,配方得:,即,故选B.点睛：此题考查了解一元二次方程-配方法,利用此方法解方程时,首先将方程常数项移到右边,二次项系数化为1,然后两边加上一次项系数一半的平方,左边化为完全平方式,右边合并为一个非负数,开方即可求出解.6、分析：根据一元二次方程的两根之和等于－5求解.详解：设另一个根为a，则根据根与系数的关系可得－2＋a＝－5，解得a＝－3.故选B.点睛：已知一元二次方程的一个根，求所含的字母系数的方法有：①把已知的根代入到原方程中，求出字母系数，再把字母系数的值代回到原方程求出另一个根；②用两根之和或者两根之积求解.7、∵m，n是方程x2+2x﹣1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=﹣1，∴==3．故选C．点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根分别为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=．同时也考查了二次根式的化简求值．8、解：由根与系数关系得：．故选．9、把x＝2代入x2－3x＋k＝0，得22－3×2＋k＝0，∴k=2.故选B.10、解：p=a2+2b2+2a+4b+5=（a+1）2+2（b+1）2+2≥2，故选B．点睛：本题考查配方法的应用、非负数的性质．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用配方法和非负数的性质解答．11、解：x2﹣5x=0，x(x-5)=0，∴x1=0，x2=5．故答案为：x1=0，x2=5．12、设以3和4为根的一元二次方程为x2 +mx+n=0，根据根与系数的关系得：3+4=-m，3×4=n，解得：m=-7，n=12．所以方程为x2－7x＋12＝0．13、试题分析：设年平均增长率为x，根据题意可得：14000，则，，解得：(舍去)，即年平均增长率为10%．14、解：∵a是方程x2+x﹣2017=0的根，∴a2+a﹣2017=0，∴a2=﹣a+2017，∴a2+2a+b=﹣a+2017+2a+b=2017+a+b，∵a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=2017﹣1=2016．15、根据韦达定理，得则x12+x22＝16、由题意得：，∴m=2，故答案为：2.【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键.17、x²-x=0，x(x-1)=0，∴x1=0，x2=1，故答案为：0，1.18、试题解析：设方程为x2+mx+n=0，∵方程的两个根分别为3，-2，∴3-2=-m， 3×（-2）=n，解得m=-1，n=-6，∴该方程为x2-x-6=019、试题解析：由韦达定理可得：即解得：或经检验，都符合题意.故答案为：或点睛：一元二次方程根与系数的关系：20、根据一元二次方程根与系数的关系可得:p=2+(-3)=-1,q=2×(-3)=-6,所以二次三项为,利用十字相乘法因式分解可得:,故答案为.21、试题分析：（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．试题解析：解：（1）x2+4x﹣45=0，（x﹣5）（x+9）=0，x﹣5=0，x+9="0，" x1=5，x2=﹣9；（2）（x﹣5）2﹣2x+10=0，整理得：x2﹣12x+35=0，（x﹣5）（x﹣7）=0，x﹣5=0，x﹣7="0，" x1=5，x2=7．22、试题分析：(1)、本题首先将原方程进行配方，然后利用直接开平方的方法求出答案；(2)、本题首先将方程利用十字相乘法进行因式分解，从而求出方程的解．试题解析：(1)、，，则解得：；(2)、移项可得：，因式分解可得：(x-1)(2x-1)=0，解得：．23、分析：（1）表示出根的判别式，判断其值大于0即可得证；（2）把x=1代入方程求出k的值，再利用根与系数的关系求出另一根即可．详解：（1）方程x2﹣（k+2）x+（2k﹣1）=0．∵a=1，b=﹣（k+2），c=2k﹣1，∴△=（k+2）2﹣4（2k﹣1）=（k﹣2）2+4＞0，则该方程有两个不相等的实数根；（2）把x=1代入方程得：1﹣k﹣2+2k﹣1=0，解得：k=2，设另一根为a，则有a+1=k+2=4，解得：a=3，即方程另一根为x=3．点睛：本题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解答本题的关键．24、分析：（1）利用四月份的生产量×（1-10%）可得五月份的产量；（2）设六、七两个月的产量平均增长率为x，根据题意可得：五月份的生产量×（1+增长率）=六月份的产量，再用六月份的生产量×（1+增长率）=七月份的产量，即五月份的产量×（1+增长率）2=七月份的产量．详解：（1）500（1-10%）=450（吨），故答案为：450；（2）设六、七两个月的产量平均增长率为x，依题意得：450（1+x）2=648，（1+x）2=1.44，解得x1=0.2=20%，x2=-2.2=-220%（不合题意舍去），答：六、七两月产量的平均增长率为20%．点睛：此题主要考查了增长率问题，若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2=后来数．25、分析：(1)、根据销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量；每件利润=原售价－进价－降价，列式即可；(2)、根据总利润=单件利润×数量，列出方程即可；(3)、根据(2)中的相关关系方程，判断方程是否有实数根即可．详解：(1)、20+2x；40－x；(2)、根据题意可得：(20+2x)(40－x)=1200，解得：即每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1200元；(3)、(20+2x)(40－x)=2000，，∵此方程无解，∴不可能盈利2000元．点睛：本题主要考查的是一元二次方程的实际应用问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是要根据题意列出方程．26、分析：（1）由题意，利用勾股定理求得AB=6，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm2，则PB=6﹣t，BQ=2t，根据三角形面积的计算公式，S△PBQ=BQ•PB，列出方程，解答出即可；（2）可设P、Q两点运动t秒时，则PB=6﹣t，BQ=2t，根据勾股定理，可得PQ2=BP2+BQ2，代入整理即可求出．详解：（1）AB==6，设P、Q经过t秒时，△PBQ的面积为8cm2，则PB=6﹣t，BQ=2t．∵∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，∴，（6﹣t）2t=8，解得：t1=2，t2=4．答：当P、Q经过2或4秒时，△PBQ的面积为8cm2；（2）设P、Q两点运动t秒时，PQ的长等于cm，则29=（6﹣t）2+（2t）2，解得：t1=1，t2=．答：当t为1或时，PQ的长等于cm．点睛：本题考查了一元二次方程的实际运用，勾股定理的实际运用，利用三角形的面积和勾股定理建立方程是解决问题的关键．。
苏科版九年级上册 一元二次方程测试题
九上一元二次方程测试题班级姓名得分一、选择题1.下面关于x的方程中：①ax2+x+2=0；②3(x−9)2−(x+1)2=1；③x+3=1x；④x2−a=0(a为任意实数)；⑤√x+1=x−1.一元二次方程的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 42.若关于x的一元二次方程x2+2(k−1)x+k2−1=0有实数根,则k的取值范围是( )A. k≥1B. k>1C. k<1D. k≤13.某钢铁厂一月份生产钢铁560吨,从二月份起,由于改进操作技术,使得第一季度共生产钢铁1850吨,问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x,则可得方程()A. 560(1+x)2=1850B. 560+560(1+x)2=1850C. 560(1+x)+560(1+x)2=1850D. 560+560(1+x)+560(1+x)2=18504.若一元二次方程(2m+6)x2+m2-9=0的常数项是0,则m等于()A. −3B. 3C. ±3D. 95.已知实数a,b分别满足a2−6a+4=0,b2−6b+4=0,则ba +ab的值是( )A. 7 或2B. 7C. 9D. −96.关于x的一元二次方程x2+2(m−1)x+m2=0的根的情况是( )A. 无法确定B. 有两个不等实根C. 有两相等实根D. 有实根7.下列方程是一元二次方程的是( )A. ax2+bx+c=0B. 3x2−2x=3(x2−2)C. x3−2x−4=0D. (x−1)2+1=08.若关于x的一元二次方程(k+1)x2+2(k+1)x+k−2=0有实数根,则k的取值范围在数轴上表示正确的是( )A. B.C. D.9.为喜迎G20,某校团委举办了以“G20”为主题的学生绘画展览,为美化画面,要在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸,并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等(如图),若设彩纸的宽度为xcm,根据题意可列方程为( )A. (30+2x)(20+2x)=1200B. (30+x)(20+x)=1200C. (30−2x)(20−2x)=600D. (30+x)(20+x)=60010.已知x,y满足{2x−3y=1 ①3x−2y=5 ②,如果①×a+②×b可整体得到x+11y的值,那么a,b的值可以是( )A. a=2,b=−1B. a=−4,b=3C. a=1,b=−7D. a=−7,b=511.关于x的一元二次方程(m−1)x2+2x+m2−5m+4=0,常数项为0,则m值等于( )A. 1B. 4C. 1或4D. 0二、填空题12.已知关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是______．13.关于x的一元二次方程(k−1)x2+6x+k2−k=0的一个根是0,则k的值是______．14.三角形的两边长分别是3和4,第三边长是方程x2−13x+40=0的根,则该三角形的周长为______．15.−1是方程x2+bx−5=0的一个根,则b=______,另一个根是______．16.若关于x的一元二次方程(k−1)x2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是______．17.原价100元的某商品,连续两次降价后售价为81元,若每次降低的百分率相同,则降低的百分率为______．18.已知方程x2−2x−5=0的两个根是m和n,则2m+4n−n2的值为______ ．19.若把代数式x2−8x+17化为(x−ℎ)2+k的形式,其中h,k为常数,则ℎ+k=______．20.如果关于x的一元二次方程kx2+1=x2−x有一根为2,则k的值是______ ．三、计算题（21.解方程．(1)(3x+2)2=25(2)3x2−1=4x(3)(2x+1)2=3(2x+1)(4)x2−7x+10=0．四、解答题22.为进一步发展基础教育,自2016年以来,某县加大了教育经费的投入,2016年该县投入教育经费6000万元.2018年投入教育经费8640万元.假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率,请你预算2019年该县投入教育经费多少万元．23.关于x的一元二次方程x2−(k+3)x+2k+2=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于1,求k的取值范围．24.已知关于x的一元二次方程x2−(m−3)x−m=0(1)求证：方程有两个不相等的实数根(2)如果方程的两实根为x1、x2,且x12+x22−x1x2=7,求m的值25.当涂县某旅行社为吸引外地市民组团来大青山风景区旅游,推出了如图对话中的收费标准,上海某单位组织员工去大青山风景区旅游,共支付旅行社旅游费用27000元,请问该单位这次共有多少员工去大青山风景区旅游？26.如图,某小区计划在一块长为32m,宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570m2,则道路宽x为______m.27.已知关于x的一元二次方程x2+(2x+1)x+k2=0①有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)设方程①的两个实数根分别为x1,x2,当k=1时,求x12+x22的值．。
苏教版九年级数学上册1.2 一元二次方程的解法 练习题(含答案)
1.2一元二次方程的解法注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共21题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•崇川区期末）一元二次方程x2﹣3x＝0的两个根是（）A．0和﹣3 B．0和3 C．1和3 D．1和﹣32．（2020春•如皋市期末）下列所给方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣6x+9＝0 B．2x2﹣3x+5＝0 C．x2+3x+5＝0 D．2x2+9x+5＝03．（2020•吴中区二模）一元二次方程2x2﹣2x0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断4．（2020•海安市模拟）把方程x2﹣x﹣5＝0，化成（x+m）2＝n的形式得（）A．B．C．D．5．（2020春•邗江区校级期中）关于代数式﹣x2+4x﹣2的取值，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣2 B．有最大值2 C．有最大值﹣6 D．恒小于零6．（2019秋•宿豫区期末）某同学在解关于x的方程ax2+bx+c＝0时，只抄对了a＝1，b＝﹣8，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c是原方程的c的相反数，则原方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个根是x＝1 D．不存在实数根二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）7．（2020•无锡二模）方程x2+x﹣2＝0的解是．8．（2020春•如皋市期末）已知方程x2﹣6x﹣2＝0，用配方法化为a（x+b）2＝c的形式为．9．（2020•仪征市模拟）如表是学生小明探究关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的根的情况，则4a+b的值是．x﹣2 ﹣1 0 1 2 3x2+ax+b 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 010．（2020春•广陵区校级期中）当x＝时，代数式x2﹣x与x﹣1的值相等．11．（2020•海门市一模）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+2）x+m2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．12．（2020•宝应县一模）关于x的一元二次方程x2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为．13．（2019春•太仓市期末）对任意的两实数a，b，用min（a，b）表示其中较小的数，如min（2，﹣4）＝﹣4，则方程x•min（2，2x﹣1）＝x+1的解是．14．（2019秋•邗江区校级期末）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6，（a，b，m均为常数，a≠0）则关于x的方程a（x﹣m+2）2+b＝0的根是．三、解答题（本大题共7小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（2017秋•卢龙县期末）解方程：（1）（y+2）2＝（3y﹣1）2（2）x2+4x+2＝0（配方法）16．（2020春•如皋市期末）解下列方程：（1）x（2x﹣1）＝2x﹣1；（2）x2﹣4x﹣3＝0．17．（2019秋•海州区校级期末）若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根．（1）求b的值；（2）当b取正数时，求此时方程的根．18．（2019秋•宜兴市期末）已知关于x的一元二次方程2x2+（2k+1）x+k＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．19．（2020春•张家港市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．20．（2019春•灌云县期末）已知A＝a+2，B＝a2﹣3a+7，C＝a2+2a﹣18，其中a＞2．（1）求证：B﹣A＞0，并指出A与B的大小关系；（2）指出A与C哪个大？说明理由．21．（2019春•江都区期末）某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式ax2+bx+3的性质（a、b为常数）”时，进行了如下活动．【实验操作】取不同的x的值，计算代数式ax2+bx+3的值．x…﹣1 0 1 2 3 …ax2+bx+3 …0 3 4 …（1）根据上表，计算出a、b的值，并补充完整表格．【观察猜想】实验小组组员，观察表格，提出以下猜想．同学甲说：“代数式ax2+bx+3的值随着x的增大而增大”．同学乙说：“不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4”．…（2）请你也提出一个合理的猜想：【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也可能是错误的．（3）请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以说理．答案解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•崇川区期末）一元二次方程x2﹣3x＝0的两个根是（）A．0和﹣3 B．0和3 C．1和3 D．1和﹣3【分析】利用因式分解法求解可得．【解析】∵x2﹣3x＝0，∴x（x﹣3）＝0，则x＝0或x﹣3＝0，解得x＝0或x＝3，故选：B．2．（2020春•如皋市期末）下列所给方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣6x+9＝0 B．2x2﹣3x+5＝0 C．x2+3x+5＝0 D．2x2+9x+5＝0【分析】若方程有两个不相等的实数根，则△＝b2﹣4ac＞0，可据此判断出正确的选项．【解析】A、△＝36﹣4×9＝0，原方程有两个相等的实数根，故A错误；B、△＝9﹣4×2×5＝﹣31＜0，原方程没有实数根，故B错误；C、△＝9﹣4×5＝﹣11＜0，原方程没有实数根，故C错误；D、△＝81﹣4×2×5＝41＞0，原方程有两个不相等的实数根，故D正确．故选：D．3．（2020•吴中区二模）一元二次方程2x2﹣2x0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【分析】根据根的判别式公式，求该方程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案．【解析】根据题意得：△＝（﹣2）2﹣4×20，即该方程有两个相等的实数根，故选：B．4．（2020•海安市模拟）把方程x2﹣x﹣5＝0，化成（x+m）2＝n的形式得（）A．B．C．D．【分析】直接利用配方法将原式变形进而得出答案．【解析】x2﹣x﹣5＝0，x2﹣3x＝15，x2﹣3x15，（x）2．故选：C．5．（2020春•邗江区校级期中）关于代数式﹣x2+4x﹣2的取值，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣2 B．有最大值2 C．有最大值﹣6 D．恒小于零【分析】先利用配方法将代数式﹣x2+4x﹣2转化为完全平方与常数的和的形式，然后根据非负数的性质进行解答．【解析】∵﹣x2+4x﹣2＝﹣（x2﹣4x+4）+4﹣2＝﹣（x﹣2）2+2，又∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2≤0，∴﹣（x﹣2）2+2≤2，∴代数式﹣x2+4x﹣2有最大值2．故选：B．6．（2019秋•宿豫区期末）某同学在解关于x的方程ax2+bx+c＝0时，只抄对了a＝1，b＝﹣8，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c是原方程的c的相反数，则原方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个根是x＝1 D．不存在实数根【分析】利用题意得x＝﹣1为方程x2﹣8x﹣c＝0的根，则可求出c＝9，所以原方程为x2﹣8x+9＝0，然后计算判别式的值判断方程根的情况．【解析】x＝﹣1为方程x2﹣8x﹣c＝0的根，1+8﹣c＝0，解得c＝9，所以原方程为x2﹣8x+9＝0，因为△＝（﹣8）2﹣4×9＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）7．（2020•无锡二模）方程x2+x﹣2＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1．【分析】利用因式分解法解方程．【解析】（x+2）（x﹣1）＝0，x+2＝0或x﹣1＝0，所以x1＝﹣2，x2＝1．故答案为x1＝﹣2，x2＝1．8．（2020春•如皋市期末）已知方程x2﹣6x﹣2＝0，用配方法化为a（x+b）2＝c的形式为（x﹣3）2＝11．【分析】方程移项后，两边加上一次项系数一半的平方，变形得到结果，即可作出判断．【解析】方程x2﹣6x﹣2＝0，移项得：x2﹣6x＝2，配方得：x2﹣6x+9＝11，即（x﹣3）2＝11．故答案为：（x﹣3）2＝11．9．（2020•仪征市模拟）如表是学生小明探究关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的根的情况，则4a+b的值是2．x﹣2 ﹣1 0 1 2 3x2+ax+b 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0【分析】把表中的两组值代入x2+ax+b得到关于a、b的方程组，解方程组求出b、c，然后计算4a+b的值．【解析】根据题意得，解得，所以方程为x2﹣2x﹣3＝0，所以4a+b＝4×1﹣2＝2．故答案为2．10．（2020春•广陵区校级期中）当x＝1时，代数式x2﹣x与x﹣1的值相等．【分析】根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解．【解析】依题意得：x2﹣x＝x﹣1，∴x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，解得：x＝1．故答案为：1．11．（2020•海门市一模）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+2）x+m2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m．【分析】利用判别式的意义得到△＝（2m+2）2﹣4m2＞0，然后解不等式即可．【解析】根据题意得△＝（2m+2）2﹣4m2＞0，解得m．故答案为m．12．（2020•宝应县一模）关于x的一元二次方程x2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为k≥2．【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的范围．注意二次根式是非负数．【解析】∵关于x的一元二次方程x2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（）2﹣4×1×（﹣1）＞0且k﹣2≥0，解得：k≥2．故答案为：k≥2．13．（2019春•太仓市期末）对任意的两实数a，b，用min（a，b）表示其中较小的数，如min（2，﹣4）＝﹣4，则方程x•min（2，2x﹣1）＝x+1的解是x或x．【分析】分2＜2x﹣1和2x﹣1≤2两种情况，分别列出方程，解之可得．【解析】①若2＜2x﹣1，即x＞1.5时，x+1＝2x，解得x＝1（舍）；②若2x﹣1≤2，即x≤1.5时，x（2x﹣1）＝x+1，解得x或x，故答案为：x或x．14．（2019秋•邗江区校级期末）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6，（a，b，m均为常数，a≠0）则关于x的方程a（x﹣m+2）2+b＝0的根是x＝﹣7或x＝4．【分析】将方程变形为a（﹣x﹣2+m）2+b＝0，将﹣x﹣2看做原方程中的x可得答案．【解析】∵方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6，∴方程a（x﹣m+2）2+b＝0的根满足﹣x﹣2＝5或﹣x﹣2＝﹣6，解得x＝﹣7或x＝4，故答案为：x＝﹣7或x＝4．三、解答题（本大题共7小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（2017秋•卢龙县期末）解方程：（1）（y+2）2＝（3y﹣1）2（2）x2+4x+2＝0（配方法）【分析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用配方法解方程．【解析】（1）y+2＝±（3y﹣1）y+2＝3y﹣1，y+2＝﹣（3y﹣1）y1，y2；（2）x2+4x+4＝2（x+2）2＝2x+2x1＝﹣2，x2＝﹣2．16．（2020春•如皋市期末）解下列方程：（1）x（2x﹣1）＝2x﹣1；（2）x2﹣4x﹣3＝0．【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用配方法求解可得．【解析】（1）∵x（2x﹣1）﹣（2x﹣1）＝0，∴（2x﹣1）（x﹣1）＝0，则2x﹣1＝0或x﹣1＝0，解得x＝0.5或x＝1；（2）∵x2﹣4x＝3，∴x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，∴x﹣2，∴x＝2．17．（2019秋•海州区校级期末）若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根．（1）求b的值；（2）当b取正数时，求此时方程的根．【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）由（1）可知b＝2，根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解析】（1）由题意可知：△＝（b+2）2﹣4（6﹣b）＝0，解得：b＝2或b＝﹣10．（2）当b＝2时，此时x2﹣4x+4＝0，∴x1＝x2＝218．（2019秋•宜兴市期末）已知关于x的一元二次方程2x2+（2k+1）x+k＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）根据因式分解法求出方程的两根，然后列出不等式即可求出答案．【解析】（1）由题意，得△＝（2k+1）2﹣8k＝（2k﹣1）2∵（2k﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）由求根公式，得，x2＝﹣k．∵方程有一个根是正数，∴﹣k＞0．∴k＜019．（2020春•张家港市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；（2）利用因式分解法可求出AB，AC的长，分BC为直角边及BC为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论．【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，解得：x1＝k，x2＝k+1．当BC为直角边时，k2+52＝（k+1）2，解得：k＝12；当BC为斜边时，k2+（k+1）2＝52，解得：k1＝3，k2＝﹣4（不合题意，舍去）．答：k的值为12或3．20．（2019春•灌云县期末）已知A＝a+2，B＝a2﹣3a+7，C＝a2+2a﹣18，其中a＞2．（1）求证：B﹣A＞0，并指出A与B的大小关系；（2）指出A与C哪个大？说明理由．【分析】（1）根据完全平方公式把原式变形，根据非负数的性质解答；（2）把C﹣A的结果进行因式分解，根据有理数的乘法法则解答．【解答】（1）证明：B﹣A＝（a2﹣3a+7）﹣（a+2）＝a2﹣3a+7﹣a﹣2＝a2﹣4a+5＝（a2﹣4a+4）+1＝（a﹣2）2+1，∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+1≥1，∴B﹣A＞0，∴B＞A；（2）解：C﹣A＝（a2+2a﹣18）﹣（a+2）＝a2+2a﹣18﹣a﹣2＝a2+a﹣20＝（a+5）（a﹣4）∵a＞2，∴a+5＞0，当2＜a＜4时，a﹣4＜0，∴C﹣A＜0，即A＞C，当a＞4时，a﹣4＞0，∴C﹣A＞0，即A＜C当a＝4时，C﹣A＝0，即A＝C．21．（2019春•江都区期末）某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式ax2+bx+3的性质（a、b为常数）”时，进行了如下活动．【实验操作】取不同的x的值，计算代数式ax2+bx+3的值．x…﹣1 0 1 2 3 …ax2+bx+3 …0 3 4 …（1）根据上表，计算出a、b的值，并补充完整表格．【观察猜想】实验小组组员，观察表格，提出以下猜想．同学甲说：“代数式ax2+bx+3的值随着x的增大而增大”．同学乙说：“不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4”．…（2）请你也提出一个合理的猜想：当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的（答案不唯一）【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也可能是错误的．（3）请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以说理．【分析】（1）通过解方程组求得a、b的值．（2）可以根据二次函数y＝ax2+bx+3的图象性质进行猜想；（3）举出反例．【解析】（1）当x＝﹣1时，a﹣b+3＝0；当x＝1时，a+b+3＝4．可得方程组．解得：．当x＝2时，ax2+bx+3＝3；当x＝3时，ax2+bx+3＝0．故答案是：3；0；（2）言之有理即可，比如当x＜1时，（ax2+bx+3）随x的增大而增大；当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的；故答案是：当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的（答案不唯一）；（3）甲的说法不正确．举反例：当x＝1时，y＝4；但当x＝2时，y＝3，所以y随x的增大而增大，这个说法不正确．乙的说法正确．证明：﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．∵（x﹣1）2≥0．∴﹣（x﹣1）2+4≤4．∴不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4．。
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初三数学期末复习四（一元二次方程）
一、基础练习
1.方程22(2)(3)20m
m x m x --+--=是一元二次方程，则____m =. 2.已知x 2+3x+5的值为11，则代数式3x 2+9x+12的值为 .
3．若2x 2－3xy －20y 2=0，且 y ≠0， 则x y
= _________. 4．关于x 的方程0)12(2
=++-a x a x 的根的情况（ ）
（A ）有一个实数根 （B ）无实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个不等的实数根
5.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为 ( )
A ．x(x ＋1)＝1035
B ．x(x －1)＝1035×2
C ．x(x －1)＝1035
D ．2x(x ＋1)＝1035
6．已知αβ，为方程2420x x ++=的两实根，则=-+βαα32 ． 7．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为_________.
8.如果关于x 的方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同，则m 的值为_________。
9．解方程：
①22)25(96x x x -=+- ②2
410x x +-=（配方法） ③22(1)5(1)20x x ---+=
二、例题精讲
例1：（1）若关于x 的方程kx 2－6x+9=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。
（2）m 取何值时，关于x 的方程mx 2+2(m －1)x+ m －3=0有两个实数根?
例2：已知：关于x 的一元二次方程2(32)220(0)mx m x m m -+++=>．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中12x x <）．若y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值范围满足什么条件时，2y m ≤．
例3：学校广场有一段25米长的旧围栏（如图中用线段AB 来表示）。
现打算利用该围栏的一部分（或）或为一边，围造一块面积为100平方米的长方形草坪（即图中的CDEF ，CD<CF ）。
已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建造新围栏的价格是每米4.5元。
设利用旧围栏CF 的长度为x 米，修建草坪围栏所需的总费用为y 元。
⑴求出y 与x 之间的函数关系式并写出自变量x 的取值范围； ⑵若计划修建费为150元，则应利用旧围栏多少米？
⑶若计划修建费只有120元，则能否完成该草坪围栏的修建任务？请说明理由。
例4：某工厂从今年一月份起，每月生产收入是22万元，但在生产过程中会引起环境污染；若再按现状生产，将会受到环保部门的处罚，每月罚款2万元，如果投资111万元治理污染，治污系统可在一月份启用，这样该厂不但不受处罚，还可以降低生产成本，使1至3月的生产收入以相同的百分率逐月增长。
经测算，投资治污后，1月份的生产收入为25万元，1至3月份的生产累计收入可达91万元，3月份以后，每月生产收入稳定在3月份水平。
（1）求出投资污后2月、3月平均每月生产收入增长的百分率，（参考：3.62=1.912、 11.56=3.402）
(2)如果把利润看做是生产累计收入减去治理污染的投资额或环保部门罚款额,试问治理污染多少个月后,所投资金开始见成效(治理污染所获利润不小于不治理污染情况下所获利润)
D A B C
E F
初三数学期末复习四作业
1．下面关于x 的方程中①a x 2+bx+c=0；②3（x-9）2-（x+1）2=1；③x+3=1x
；④（a 2+a+1）x 2-a=0；
．一元二次方程的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2．下列一元二次方程中，无实数根的方程是（ ）
（A ）012=+x （B ）02=+x x （C ）012=-+x x （D ）02=-x x
3．已知反比例函数y ab
x =,当x ＞0时,y 随x 的增大而增大,则关于x 的方程2
20ax x b -+=的根 的情况是（ ）A.有两个正根 B.有两个负根 C.有一个正根一个负根 D.没有实数根
4．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m 元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是 （ ）A.甲 B.乙 C.丙 D. 乙或丙
5．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）A ．8人 B ．9人 C ．10人 D ．11人
6．已知方程3x 2－19x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是_________，m=_________。
7．设方程2730x x -+=的两个实数根分别为1x 和2x ，则12x x += ，21x x ⋅ 。
8．如果x 2－2(m+1)x+m 2+5是一个完全平方式，则m=_________。
9．如果b 是方程02
=++b ax x 的根，b ≠0，则=+b a 。
10．一元二次方程x 2+px+q=0两个根分别是2+ 3 和2－ 3 ，则p=_________，q=_________。
11.解方程：①x 2－22x+2=0 ②3x 2+8x-3=0 ③（4）x 2
④3x 2－4x －2=0（配方法） ⑤（x －2）（x －5）=－2 ⑥22)52(4)32(9-=+x x
⑦x-2=x （x-2） ⑧ 3028)32(5)32(2=----x x ⑨022=-+x x
12．已知a 、b 、c 是三角形的三边，判别方程b 2x 2+(b 2+c 2－a 2)x+c 2=0根的情况。
13．已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x
（1）求证：无论k 取何值时方程总有实数根。
（2）若等腰△ABC 的一边长为1，另两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求这个三角形的周长。
14.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）设后来该商品每件降价x 元，，商场一天可获利润y 元．
①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
②求出y 与x 之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x 取何值时，商场获利润不少于2160元？
15.如图，在矩形ABCD 中，AB=10cm ，BC=20cm ．P 、Q 两点同时从A 点出发，分别以1 cm ／秒和2cm ／秒的速度沿A —B 一C —D 一A 运动，当Q 点回到A 点时，P 、Q 两点即停止运动，设点P 、Q 运动时间为t 秒．
(1)当P 、Q 分别在AB 边和BC 边上运动时，设以P 、B 、Q 为顶点的三角形面积为s ，请写出s 关于t 的函数解析式及自变量t 的取值范围．
(2)在整个运动过程中，t 取何值时，PQ 与BD 垂直。