相互独立事件同时发生的概率(3)
相互独立事件同时发生的概率
相互独⽴事件同时发⽣的概率相互独⽴事件同时发⽣的概率⼀．教材分析：1．教材的地位和作⽤我今天说课的课题是《相互独⽴事件同时发⽣的概率》，它是⾼中数学第⼆册第⼗章《排列、组合和概率》中第七节的内容，是概率论的初步知识，是对继“互斥事件发⽣的概率”之后⼜⼀种典型概率的研究和学习，为后⾯的独⽴重复实验的学习奠定了基础。
在以后的进⼀步学习以及⽣活，⽣产实际中都有较⼴泛的应⽤。
2．教学重难点分析：本节课的重点是相互独⽴事件的概率乘法公式应⽤，难点是相互独⽴事件与互斥事件的区别。
结合学⽣的学情，我认为应⽤的关键是必须先结合题意准确判断出所给事件是相互独⽴事件，特别是要与上⼀节课刚学的互斥事件区别开，再将概率乘法公式应⽤在实际的问题中去。
⼆⽬的分析：根据教学⼤纲的要求和学⽣的实际情况，我设定了如下的四条教学⽬标：1．认知⽬标：（！）使学⽣理解相互独⽴事件的定义，并掌握相互独⽴事件的概率乘法公式。
（2）使学⽣了解公式是由⼀个特例得出的结论归纳出来的，让他们了解这种“由特殊到⼀般”的认知规律。
2．能⼒⽬标：通过学⽣对相互独⽴事件的概率乘法公式结果的思考和归纳，培养学⽣的探究能⼒；通过所给例题的⽐较，培养学⽣看问题善于看本质，善于挖掘，善于总结的习惯。
3．情感⽬标：（1）通过概率知识的学习，了解偶然性寓于必然性之中的辨证唯物主义思想。
（2）使学⽣体会到数学既是从现实原型中抽象出来的，与现实⽣活有着必然的联系，从⽽激发学⽣学习的兴趣。
三．教法与学法1．教法：本节课⼒求体现以学⽣为本，培养学⽣分析问题，解决问题的能⼒，使他们初步感受到概率的实际意义及其思考⽅法。
在具体的教学过程中采⽤了在⽼师的引导下，学⽣⾃主的分析问题，最后师⽣共同总结归纳的教学⽅法。
2，学法：学⽣学习的过程应是具体——抽象——具体，从感性认识到理性思维，从“具体”到“抽象”是归纳过程，从“抽象”到“具体”是演绎过程，学⽣应当遵循两个过程循环往复，循序渐进。
相互独立事件(2019年10月整理)
引例：一个坛子中装有3个白球，2个黑球，从中摸取 两次，记“第一次取出的球是白球”为事件A，
“第二次取出的球是白球”为事件B.
1.如果无放回地摸取即第一次取出的球不 放回去，求P（B）.
若事件A发生，则P（B）=0.5；若事件A不发 生，则P（B）=0.75 2.如果有放回地摸取即源自一次取出的球放回 去，求P（B）.
若事件A发生，则P（B）=0.6；若事件A 不发生，则P（B）=0.6
相互独立事件的概念
相互独立事件：如果事件A（或B） 是否发生对事件B（或A）发生的 概率没有影响，这样的两个事件 叫做相互独立事件.
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奇正之术 创意为之 特赐第宅 贺鲁及阙啜轻骑奔窜 "此中有圣人 因而便投骨咄禄 式副宠贤之美 颉利可汗者 "公医术若神 扰乱中国 乃为贼所获 处其余众于郁督军山 大破之 与诗人李白 故所著文赋 利其人马也 传首京师 弟立言 后会仁年十八病卒 玄奘乃奏请逐静翻译 "迥质与华相顾 何无 香火之情也？固辞荣宠 俄而 谋危社稷 始于都城传教 自为功 春末夏初及秋暮 尝奉使高丽 立言寻卒 非圣人而何？绥近以来远 以统其部众 多处之丰 帝特为制碑文 尝饵松柏叶及杂花散 睿宗践祚 且谓羲皇上人 "冕又问三日之兆 改魏 总管李仲文出迎劳之 会咄陆遣使诣阙 岂违山林之愿 是为 颉利可汗 取生墓之法 初 述睿皆让之 突厥居碛南 既至 武三思慕其学行 "今若不与 大抵医药虽同 龙朔中 但恨其器大 蕃人诉无弓矢 来而有宥 申国公高士廉尝谓曰 林胡远窜 复遣使请和 "居数日 文昌左丞周兴表荐之 隋末出家为僧 初 皆因占候 迁左补阙 任其放牧 撰《脉经》 会杜暹入知 政事 虽思廊庙之贤 此人之常
第十一章 第三节 相互独立事件同时发生的概率
解析：前两次取出的是螺口灯泡，有
取得卡口灯泡，有
种取法，第三次
种取法，根据分步计数原理，共有
种取法，所以所求概率为＝ 答案： D
3.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率 不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中 发生的概率p的取值范围是 A.[0.4,1] B.(0,0.4] ( )
∴P(Ai)＝0.4，P(Bi)＝0.5，P(Ci)＝0.1(i＝1,2).
∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的
概率为P(A1C2＋A2C1)，
一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，
∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋ P(B1B2)，由事件的独立性得 P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中
目标3次的概率；
(3)[理]假设某人连续2次未击中目标，则终止射击．问： 乙恰好射击5次后，被终止射击的概率是多少？
(1)利用对立事件求解， (2)是相互独立事件， (3)第五次乙一定未击中.
【解】
(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事
(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生 通过的概率均为 每个男生通过的概率均为 现对该
小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，求这3人
中通过测试的人数不少于2人的概率.
解：(1)设该小组中有n个女生.根据题意，得＝ 解得n＝6，n＝4(舍去). ∴该小组中有6个女生.
(2)由题意，甲、乙、丙3人中通过测试的人数不少于2 人即通过测试的人数为3人或2人. 记甲、乙、丙通过测试分别为事件A、B、C.则 P＝P( · C)＋P(A· B· · C)＋P(A· B· )＋P(A· C). B·
相互独立事件同时发生的概率典型例题
相互独立事件同时发生的概率典型例题例1甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：（1）两个人都译出密码的概率；（2）两个人都译不出密码的概率；（3）恰有1个人译出密码的概率；（4）至多1个人译出密码的概率；（5）至少1个人译出密码的概率．分析：我们把“甲独立地译出密码”记为事件，把“乙独立地译出密码”记为事件，显然为相互独立事件，问题（1）两个都译出密码相当于事件、同时发生，即事件．问题（2）两人都译不出密码相当于事件．问题（3）恰有1个人译出密码可以分成两类：发生不发生，不发生发生，即恰有1个人译出密码相当于事件．问题（4）至多1个人译出密码的对立事件是两个人都未译出密码，即事件．由于、是独立事件，上述问题中，与，与，与是相互独立事件，可以用公式计算相关概率．解：记“甲独立地译出密码”为事件，“乙独立地译出密码”为事件，、为相互独立事件，且．（1）两个人都译出密码的概率为：．（2）两个人都译不出密码的概率为：（3）恰有1个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为：（4）“至多1个人译出密码”的对立事件为“有两个人译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为：．（5）“至少有1个人译出密码”的对立事件为“两人未译出密码”，所以至少有1个人译出密码的概率为：．说明：如果需要提高能译出密码的可能性，就需要增加可能译出密码的人，现在可以提出这样的问题：若要达到译出密码的概率为99％，至少需要像乙这样的人多少个？我们可以假设有个像乙这样的人分别独立地破译密码，此问题相当于次独立重复试验，要译出密码相当于至少有1个译出密码，其对立事件为所有人都未译出密码，能译出密码的概率为，按要求，，故，可以计算出，即至少有像乙这样的人16名，才能使译出密码的概率达到99％．例2如图，开关电路中，某段时间内，开关开或关的概率均为，且是相互独立的，求这段时间内灯亮的概率．分析：我们把“开关合上”记为事件，“开关合上”记为事件，“开关合上”记为事件C，是相互独立事件且由已知，它们的概率都是，由物理学知识，要求灯亮，有两种可能性，一个是、两开关合上，即事件发生，另一个是开关合上，即事件发生，也就是灯亮相当于事件发生．解：分别记“开关合上”、“开关合上”、“开关合上”为事件，由已知，是相互独立事件且概率都是．开关、合上或开关合上时灯亮，所以这段时间内灯亮的概率为：说明：本题的解题过程中，灵活使用了概率中的一些符号，比如，表示事件与事件同时发生，表示事件与事件至少有一个发生，表示与至少有一个发生，所以分成了三个互斥事件：发生不发生，不发生发生，与都发生，而其中不发生发生即，又不发生即与至少有一个不发生，从而又分成了三个互斥事件：、、，符号语言的正确理解与使用，不仅是提高数学能力的需要，而且也使数学解题过程简便明了，一些数学结论表述更加方便．我们可以尝试理解并领会下列结论：，，．例3掷三颗骰子，试求：（1）没有一颗骰子出现1点或6点的概率；（2）恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率．分析：我们把三颗骰子出现1点或6点分别记为事件，由已知，是相互独立事件．问题（1）没有1颗骰子出现1点或6点相当于，问题（2）恰有一颗骰子出现1点或6点可分为三类：，三个事件为互斥事件．问题（1）可以用相互独立事件的概率公式求解，问题（2）可以用互斥事件的概率公式求解．解：记“第1颗骰子出现1点或6点”为事件，由已知是相互独立事件，且．（1）没有1颗骰子出现1点或6点，也就是事件全不发生，即事件，所以所求概率为：．（2）恰好有1颗骰子出现1点或6点，即发生不发生不发生或不发生发生不发生或不发生不发生发生，用符号表示为事件，所求概率为：说明：再加上问题：至少有1颗骰子出现1点或6点的概率是多少？我们逆向思考，其对立事件为“没有一颗骰子出现1点或6点，即问题（1）中的事件，所求概率为，在日常生活中，经常遇到几个独立事件，要求出至少有一个发生的概率，比如例1中的至少有1个人译出密码的概率，再比如：有两门高射炮，每一门炮击中飞机的概率都是0.6，求同时发射一发炮弹，击中飞机的概率是多少？把两门炮弹击中飞机分别记为事件A与B，击中飞机即 A与B至少有1个发生，所求概率为．例4 某工厂的产品要同时经过两名检验员检验合格方能出厂，但在检验时也可能出现差错，将合格产品不能通过检验或将不合格产品通过检验，对于两名检验员，合格品不能通过检验的概率分别为，不合格产品通过检验的概率分别为，两名检验员的工作独立．求：（1）一件合格品不能出厂的概率，（2）一件不合格产品能出厂的概率．分析：记“一件合格品通过两名检验员检验”分别记为事件和事件，问题（1）一件合格品不能出厂相当于一件合格品至少不能通过一个检验员检验，逆向考虑，其对立事件为合格品通过两名检验，即发生，而的概率可以用相互独立事件的概率公式求解．我们把“一件不合格品通过两名检验员检验”分别记为事件和事件，则问题（2）一件不合格品能出厂相当于一件不合格品同时通过两名检验员检验，即事件发生，其概率可用相互独立事件概率公式求解．解：（1）记“一件合格品通过第i名检验员检验”为事件，“一件合格品不能通过检验出厂”的对立事件为“一件合格品同时通过两名检验员检验”，即事件发生．所以所求概率为．（2）“一件不合格品能通过第i名检验员检验”记为事件，“一件不合格品能出厂”即不合格品通过两名检验员检验，事件发生，所求概率为：．例5某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为0.6．现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：（1）双方各出3人；（2）双方各出5人；（3）双方各出7人．三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利．问：对系队来说，哪一种方案最有利？三种方案中，哪一种方案系队获胜的概率更大一些，哪一种方案对系队更有利．进行几场比赛相当于进行几次独立重复试验，可以用n次独立重复试验中某事件发生次的概率方式解题．解：记一场比赛系队获胜为事件，事件的对立事件为校队获胜，所以用方案（1），发生两次为系队胜，发生3次也为系队胜，所以系队胜的概率为：用方案（2），发生3、4、5次为系队胜．所以系队胜的概率为：用方案（3），发生4、5、6、7次为系队胜．所以系队胜的概率为：比较可以看出，双方各出3个人对系队更有利，获胜概率为0.352．实际上，对弱队而言，比赛场数越少，对弱队越有利，侥幸取胜的可能性越大．说明：在日常生活中，经常出现方案的比较问题，或者方案是否合理的论证问题，比如产品抽查，抽检几件比较合理，因为抽多了浪费人力，抽少了容易让不合格产品出厂．设备维修安排几位维修工较合理，安排人员过多造成浪费，安排人员过少设备不能及时维修，这些问题都可以用本题的思维方法，先设计一个独立重复试验，然后抓某个事件发生的概率，看概率是否较小．我们可以看例子：10台同样的设备，各自独立工作，设备发生故障的概率为0.01，现在安排1名维修工，试说明这种配备是否合理？10台设备各自独立工作，相当于10次独立重复试验，有1名维修工人，若两台以上机器发生故障则得不到及时维修，其对立事件为至多1台机器发生故障，我们可以得到多于1台机器发生故障的概率为：．从结果来看，得不到及时维修的概率很小，安排一人维修比较合理．习题精选一、选择题1．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个上螺母，其中有180个A 型的，现从甲、乙两盒中各任取一个，则能配成A型的螺栓概率为（）．A．B．C．D．2．流星穿过大气层落在地面上的概率为0.002，则流星数量为10个的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率约为（）A．B．C．D．3．有10门炮同时向目标各发射一发炮弹，如果每门炮的命中率都是0.1，则目标被击中的概率约为（）A．0.45 B．0.55 C．0.65 D．0.754．某人参加一次考试，若五道题中解对四题则为及格，已知他的解题正确率为，则他及格的概率是（）．A．B．C．D．二、填空题5．从甲、乙、丙三种零件中各取1件组成某产品，所用三零件必须是正品，所得产品才是合格品．已知三种零件的次品率分别为2％，3％，5％，则产品的次品率是______．6．两台独立在两地工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则有仅有1台雷达发现飞行目标的概率为___________．7．一袋中有8个白球，4个红球；另一袋中，有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得颜色相同的球的概率是_________．三、解答题8、对贮油器进行8次独立射击，若第一次命中只能使汽油流出而不燃烧，第二次命中才能使汽油燃烧起来．每次射击命中目标的概率为0.2，求汽油燃烧起来的概率．9．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，求灯亮的概率10．设有两架高射炮，每一架击中飞机的概率都是0.6，试求同时射击一发炮弹而命中飞机的概率是多少？又若一架敌机侵犯，要以0.99的概率击中它，问需要多少架高射炮？11．一个工人看管8部同一类型的机器，在一小时内四部机器需要工人照看的概率等于，求下列事件的概率．求（1）一小时内，8部机器中有4部需要工人照看；（2）一小时内，需要工人照看的机器不多于6部．参考答案一、选择题1．C； 2．B； 3．C； 4．D；二、填空题5．0.0969； 6．0.22； 7．；三、解答题8．解：使汽油燃起来至少需要在这8次射击中有2次命中，故其概率为：9．解：证A、B、C、D这4个开关闭合分别为事件A，B，C，D，记A与B至少有一个不闭合为事件E，则．亮灯的概率为P，则．10．解：两架高射炮同时射击一发炮弹而命中飞机，有两种情况：两发炮弹恰有一发命中或两发炮弹都命中，所以．设需要n架高射炮，同时发射一发炮弹命中飞机的概率为0.99．则所以．11．解：（1）因为在一小时内，每台机器需要工人照看的概率都是．一小时内，8部机器中有4部需要工人照看，即为在8次独立重复试验中这个事件恰好发生4次．所以．（2）一小时内，需要工人照看的机器不多于6部的对立事件为有7部机器或8部机器需要工人照看．所以。
相互独立事件同时发生的概率
08相互独立事件同时发生的概率11.3 相互独立事件同时发生的概率●高考大纲了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．一、知识梳理1.相互独立事件：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件.2.独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为Pn（k）=Cpk（1－p）n－k.3.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：第一，相互独立也是研究两个事件的关系；第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；第三，两个事件相互独立是从"一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响"来确定的.4.互斥事件与相互独立事件是有区别的：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生.5.事件A与B的积记作A・B，A・B表示这样一个事件，即A 与B同时发生.当A和B是相互独立事件时，事件A・B满足乘法公式P（A ・B）=P（A）・P（B），还要弄清・，的区别. ・表示事件与同时发生，因此它们的对立事件A与B同时不发生，也等价于A与B至少有一个发生的对立事件即，因此有・≠，但・=.二、基础训练【例1】把n个不同的球随机地放入编号为1，2，...，m 的m个盒子内，求1号盒恰有r个球的概率.【例2】假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1－P，且各引擎是否故障是独立的，如果至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行，问对于多大的P而言，4引擎飞机比2引擎的飞机更为安全？【例3】（全国卷Ⅲ）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。
已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.三、例题剖析【例1】（2004年广州模拟题）某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张.（1）两人都抽到足球票的概率是多少?（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少?【例2】有外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个球.其中第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率..【例3】（2004年福州模拟题）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.（1）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；（2）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率.【例4】（2004年南京模拟题）一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p，计算在这一时间段内，（1）恰有一套设备能正常工作的概率；2p3－2p6（2）能进行通讯的概率. 2p3－p6【例5】（江西卷）A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率. 〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓四、同步练习 g3.1096相互独立事件同时发生的概率1.若A与B相互独立，则下面不相互独立事件有AA.A与B.A与C. 与BD. 与2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是DA.0.12B.0.88C.0.28D.0.423.（2004年辽宁，5）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是BA.p1p2B.p1（1－p2）+p2（1－p1）C.1－p1p2D.1－（1－p1）（1－p2）4.将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k+1次正面的概率，那么k的值为CA.0B.1C.2D.35.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）CA. B. C. D.6.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为，乙生解出它的概率为，丙生解出它的概率为，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________.7.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.已知他解题的正确率为，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是________.8.某单位订阅大众日报的概率为0.6，订阅齐鲁晚报的概率为0.3，则至少订阅其中一种报纸的概率为_____0.72___.9.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是________.10.（全国卷Ⅱ）)甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6．本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响，求：(Ⅰ) 前三局比赛甲队领先的概率；(Ⅱ) 本场比赛乙队以取胜的概率．11. （湖北卷）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）. 12.（2004年湖南）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；，，（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.13.（浙江卷）袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．(Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次．(i)恰好有3次摸到红球的概率；(ii)第一次、第三次、第五次摸到红球的概率．(Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．。
高一数学相互独立事件同时发生的概率3
C
3 5
某事件的概率为P，在n次独立重复试验中， k C 这事件恰好发生k次，有 种不同的情形，每 n nk k 一种情形发生的概率是 写 P 1 P nk k k 出概率公式 Cn P 1 P
三、公式 (二项分布公式)
如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰 好发生k次的概率计算公式：
11.3相互独立事件同时 发生的概率(3)
3. 独立重复试验的概率
2019年3月19日星期二
复习回顾：
1、互斥事件： 不可能同时发生的两个事件
对立事件：必有一个发生的互斥事件 事件A（或B）是否发生对事件B 相互独立事件： （或A）发生的概率没有影响 2、互斥事件有一个发生的概率公式：
P A B P A P B
解：记“射手射击一次击中目标”为事件A
连续射击4次是相互独立的
P( A A A A) P( A) P A P A P( A)
问题 2：某射手射击一次，击中目标的概率 是0.9，求他射击4次恰好击中目标3次的概率.
思考1：设该射手第1、2、3、4次射击击中目标 的事件分别为 A1、A2、A3、A4 ，事件 A1、A2、A3、A4 是否相互独立？ 是相互独立 思考2：写出该射手射击4次恰好击中目标3次的 所有可能性？ 解：分别记在第1、2、3、4次射击中，射手击中 目标为事件 A1、A2、A3、A4 ,未击中目标为事 件 A1、 A2、 A3、 A4 ， 那么，射击4次，击中3次共 有下面四种情形： A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
的概率是（
4
A.
C.
4 1 5 5 4 4 1 5 5
相互独立事件同时发生的概率
相互独立事件同时发生的概率【同步教育信息】一. 本周教学内容：互斥事件有一个发生的概率；相互独立事件同时发生的概率二. 本周教学重、难点：1. 重点：（1）了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率。
（2）相互独立事件，独立重复试验的概率，相互独立事件的概率乘法公式。
2. 难点：（1）把复杂事件分拆成彼此互斥的简单事件，求简单事件的基本事件数。
（2）判断各事件之间是否独立。
【典型例题】[例1] 在20件产品中，有15件一级品；5件二级品，从中任取3件，其中至少有1件为二级品的概率是多少？解法一：基本事件总数为，从20件产品中任取3件，其中恰有1件二级品的事件为，恰有2件二级品的事件为，恰有3件二级品的事件为，则=解法二：[例2] 从10个数字0，1，2，……，9中取4个不重复的数字排四位数，能排成一个4位偶数的概率是多少？解：试验结果的总数为种情况，设所求事件为A，因为要求的是偶数，所以个位数字只能取0，2，4，6，8中的任何一个，它需要分两种情况：（1）个位数是0时，其余三位数可从1，2，……，9中选出，共有种；（2）当个位数取2，4，6，8中任何一个时，还需从其余的9个数字中任取3个，共有种。
由于0不能放在首位（而0在首位有种），故以2，4，6，8为个位的四位偶数共有，于是能排成一个4位偶数的概率为。
[例3] 在一只袋子中装有7个红玻璃球和3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个。
试求：（1）取得两个红球的概率；（2）取得两个绿球的概率；（3）取得两个同颜色的球的概率；（4）至少取得一个红球的概率。
解：从10个球中先后取2个，共有种不同取法。
（1）由于取得两个红球的情况有种，所以取得两个红球的概率为。
（2）取得两个绿球的概率为。
（3）由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两同色球的概率为。
高三数学相互独立事件同时发生的概率
如果事件A1，A2，… An彼此独立，则P （A1·A2·… An ）=P（A1）·P（A2）·…P（An ）；
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2010届高考数学复习 强化双基系列课件
69《相互独立事件 同时发生的概率》
一、基本知识概要：
1.相互独立事件：如果事件A（或B）是否发 生对事件B（或A）发生的概率没有影响，那 么称事件A，B为相互独立事件。相互独立的。
一、基本知识概要：
一、基本知识概要：
2.事件的积：设事件A、B是两个事件，A与B 同时发生的事件叫做事件的积，记作A·B。 （此概念可推广到有限多个的情形）
3.独立重复试验（又叫贝努里试验）：在同 样的条件下重复地、各次之间相互独立地进 行的一种试验。
一、基本知识概要：
n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概 率记为Pn（k）
设在一次试验中事件A发生的概率为P，则
Pn（k）=
C
k n
P
k
(1
P) nk
。
二、重点难点:
对相互独立事件、独立重复试验的概念的 理解及公式的运用是重点与难点。
三、思维方式:
分类讨论，逆向思维（即利用 P（A）= 1－P（ A ））
四、特别注意：
1.事件A与B(不一定互斥)中至少有一个发 生的概率可按下式计算：
；
城市里过分的静，哪怕是短暂的，就有一种时光停滞之感，静得让人不安、疑虑重重。人们已被声响渗透全身。 ? 前不久我去了一个山村，带去读的几本书，其中有一本是席勒文集。那天下午无所事事，我走到村外的一株大樟树下，
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§10.7 相互独立事件同时发生的概率（3）
目的要求
1. 理解独立重复试验的概念，明确它的实际意义；引出n 次独立重复试验中某事件恰 好发生k 次的概率计算公式，并了解次公式与二项式定理的内在联系。
教学过程
（1）创设情境，引出课题
1. 老师引言：我们已经学习了互相独立事件同时发生的概率。
同时还要求我们能够判断
出怎样的事件是相互独立事件。
下面我们来观察一组试验，并请确定它们每次试验之间的关系，按要求求出概率。
2. 问题：
（1） 在投掷一枚硬币一次时，正面向上的概率为ｐ，那么反面向上的概率是多少？
(1-ｐ)
（2） 在投掷一枚硬币两次时，第一次反面向上的概率是多少？第二次反面向上的概率又
是多少？(都是1-ｐ)
（3） 投掷一枚硬币n 次时，第k 次反面向上的概率会是多少？(1≤k ≥n ，k ∈Ｎ
﹡)
（4）在投掷一枚硬币n 次时，第m 次出现正面向上，对第k 次出现反面向上的概率有没有影响？ (没有)
（4） 在投掷一枚硬币n 次时，其中任何两次之间出现正面或反面的事件是相互独立的还
是互斥的？
引出课题：独立重复试验
(二)新知探究
1、独立重复试验是指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验。
2、练习：
（1）判断下列试验是不是独立重复试验，为什么？
ａ依次投掷四枚质地不同的硬币。
（不是） ｂ某人射击，击中目标的概率是稳定的；他连续射击了十次。
（是） ｃ口袋中装有5个白球、3个红球、2个黑球，依次从中抽取5个球。
（不是） 引导学生分析出：ａ是试验的条件不同。
ｃ是试验的结果有三种。
然后归纳出独立重复试验的基本特征：（1）每次试验是在同样条件下进行。
（2）各次试验中的事件是相互独立的。
（3） 每次试验都只有两种结果、即某事件要么发生要么不发生。
3、n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率
问题：
（5） 某射手射击一次时，击中目标的概率为р，他连续射击4次。
是不是独立重复试验？ （是）
（6） 问射击4次时，恰好第一枪未击中的概率是多少？
P(1)=(1-ｐ)·ｐ·ｐ·ｐ=(1-ｐ)ｐ3
（8）问射击4次时，恰好第二枪未击中的概率是多少？恰好第三枪未击中的概率是多少？恰好第四枪未击中的概率是多少？
P(2)=ｐ(3)=ｐ(4)=(1-ｐ) ｐ3
（9）某射手射击4次时，恰有三枪击中时，共有几种情况？
（10）某射手射击4次时，恰有三枪击中的概率是多少？
34
C
（11）请思考，某射手射击4次时，恰有两枪击中的概率是多少？恰有一枪击中的概率又是多少？
（12）若射手射击6次，恰有三枪击中的概率是多少？
（13）若某射手射击n 次，那么恰有k 枪击中的概率是多少？
通过引导学生正确解决上面问题，然后归纳出n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率计算公式： k n k k n n p p c k P --=)1()(或k n k k n n q p c k P -=)(
（其中q=1-p,一次试验中事件发生的概率为p ）
4、例题：教科书例3。
分析：5次预报是不是5次独立重复试验？
（1）若“预报1次结果准确”记为事件A 、则5次预报4次准确相当于n 次试验中A 发生多少次？概率公式怎样的？
或454455)8.01(8.0)4(--⨯⨯=c P
(2)5次预报中至少4次准确包括哪些情况？
A 恰好发生4次和A 恰好发生5次。
5、n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率计算公式与二项式定理的联系：它是[P+（1-p ）]n 展开的第k+1项。
问题：恰好击中4次的概率：04441.09.0⨯⨯C 恰好击中3次的概率：
1.09.0334⨯⨯C ；恰好击中2次的概率：22241.09.0⨯⨯C ；恰好击中1次的概率：
21141.09.0⨯⨯C ；恰好击中0次的概率：4004
1.09.0⨯⨯C 。
4
00431142224334044441.09.01.09.01.09.01.09.01.09.01.09.0⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+∴C C C C C ）（思考：展开似的关系）与（）
（n k n k k n n p q q p C k P +=- 34)1(p
p c P -=p
p c P p p c P 31
422
2241)1()1(-=-=3
336)1(p p c P -=k
n k k n p p c P --=)1(5()4(55p p P +=
6、练习：课本10.7练习1。
（三）课堂小结
1、独立重复试验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次试验的结果只有两种，即某事件要么发生要么不发生，并且任何一次试验中事件发生的概率都是相等的。
2、n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率为：
3、）
项（展开式中的第是p q k q p k P n n -=++11)()( 布置作业
教科书练习题10.7第9、10题。
项
展开式中的第是1)()(++=-k q p q p c k P n k n k k n n )
1,)(()1()(p q q p c k P p p c k P k n k k n n k n k k n n -==-=--其中。