初三数学相似提高练习与常考题和培优综合题含解析
中考数学相似的综合题试题附详细答案
一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，抛物线过点，．为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点M的坐标．【答案】（1）解：设直线的解析式为（）∵，∴解得∴直线的解析式为∵抛物线经过点，∴解得∴（2）解：∵轴，则，∴，∵点是的中点∴∴解得，（不合题意，舍去）∴（3）解：∵，，∴，∴∵∴当与相似时，存在以下两种情况：∴解得∴∴ ,解得∴【解析】【分析】（1）运用待定系数法解答即可。
（2）由（1）可得直线AB的解析式和抛物线的解析式，由点M（m,0）可得点N，P用m 表示的坐标，则可求得NP与PM，由NP=PM构造方程，解出m的值即可。
（3）在△BPN与△APM中，∠BPN=∠APM，则有和这两种情况，分别用含m的代数式表示出BP，PN，PM，PA，代入建立方程解答即可。
2．如图，BD是□ABCD的对角线，AB⊥BD，BD=8cm，AD=10cm，动点P从点D出发，以5cm/s的速度沿DA运动到终点A，同时动点Q从点B出发，沿折线BD—DC运动到终点C，在BD、DC上分别以8cm/s、6cm/s的速度运动.过点Q作QM⊥AB，交射线AB于点M，连接PQ，以PQ与QM为边作□PQMN.设点P的运动时间为t(s)（t>0），□PQMN与□ABCD重叠部分图形的面积为S（cm2）.（1）AP=________cm（同含t的代数式表示）.（2）当点N落在边AB上时，求t的值.（3）求S与t之间的函数关系式.（4）连结NQ，当NQ与△ABD的一边平行时，直接写出t的值.【答案】（1）（10-5t）（2）解：如图①，当点N落在边AB上时，四边形PNBQ为矩形．∵PN∥DB，∴△APN∽△ADB，∴AP：AD=PN：DB，∴（10－5t）：10=8t：8，120t=80，∴．（3）解：分三种情况讨论：a)如图②，过点P作PE⊥BD于点E，则PE=3t．当时，．b)如图③，过点P作PE⊥BD于点E，则PE=3t，设PN交AB于点F，则．当时，．c)如图④，当时，PF=8-4t，FB=3t，PN=DB=QM=8，∴FN=4t，DQ=6(t-1)，∴BM=DQ=6(t-1)．∵∠GBM=∠A，∠DBA=∠GMB，∴△BGM∽△ABD，∴GM：BM=DB：AB，解得：GM=8t-8，∴S=S平行四边形PNMQ-S△FMN-S△BMG=8（9t-6）－ ×4t×（9t-6）－ ×（6t-6）（8t-8）= ．综上所述：（4）解：分三种情况讨论．①当NQ∥AB时，如图5，过P作PF⊥BD于F，则PF=3t，DF=4t，PN=FQ=BQ=8t，∴BD=8t+8t+4t=8，解得：．②当AD∥NQ，且Q在BD上时，如图6．∵PNQD和PNBQ都是平行四边形，∴PN=DQ=BQ，∴8t+8t=8，解得：．③当AD∥NQ，且Q在DC上时，如图7，可以证明当Q与C重合，即直线NQ与直线BC重合时，满足条件，如图8，此时DQ=AB= =6，t= =2．综上所述：或或．【解析】【解答】解：（1）（10-5t）；【分析】（1）由题意可得，DP=5t,所以AP=AD-DP=10-5t;（2）由欧勾股定理的逆定理可得∠ABD=，所以根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得，当点N落在边AB上时，四边形PNBQ为矩形；由平行线分线段成比例定理可得比例式：,则可得关于t的方程，解方程即可求解；（3）由（2）知，当□PQMN全部在□ABCD中时，运动时间是秒，由已知条件可知，点Q 在BD边上的运动速度是8cm/s，在DC边上的运动速度是6cm/s，所以当点Q运动到C点时，点P也运动到了点A，所以分3种情况：a)如图②，过点P作PE⊥BD于点E，当0 < t ≤时， S=BQ PE；b)如图③，过点P作PE⊥BD于点E，设PN交AB于点F，当< t ≤ 1 时，S =（PF+BQ）PE；c)如图④，当 1 < t ≤ 2 时， S =平行四边形PNMQ的面积-三角形FNM的面积-三角形BMG 的面积；（4）由题意NQ与△ABD的一边平行可知，有3种情况：①当NQ∥AB；②当AD∥NQ，且Q在BD上时；③当AD∥NQ，且Q在DC上时。
中考数学 相似 培优练习(含答案)附答案解析
一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．（1）求证：AD=DE；（2）若CE=2，求线段CD的长；（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC∵AB=BC，∴△ABD≌CBD∴∠ABD=∠CBD在⊙O中，AD与DE分别是∠ABD与∠CBD所对的弦∴AD=DE；（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB，∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴，∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，∴CD= ；（3）解：延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，AD= ，AB=10，∴BD=3 ，∵EM⊥AB，AB是⊙O的直径，∴，∴∠BEP=∠EDB，∴△BPE∽△BED，∴，∴BP= ，∴DP=BD-BP= ，∴S△DPE：S△BPE=DP：BP=13：32，∵S△BCD= × ×3 =15，S△BDE：S△BCD=BE：BC=4：5，∴S△BDE=12，∴S△DPE= ．【解析】【分析】（1）根据已知条件AB是⊙O的直径得出∠ADB=90°，再根据等腰三角形的三线合一的性质即可得出结论。
（2）根据圆内接四边形的性质证得∠CED=∠CAB，再根据相似三角形的判定证出△CED∽△CAB，得出对应边成比例，建立关于CD的方程，即可求出CD的长。
（3）延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长，再证明△BPE∽△BED，根据相似三角形的性质得对应边成比例求出BP的长，然后根据等高的三角形的面积之比等于对边之比，再由三角形面积公式即可求解。
2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，C，点D （m，4）在直线AC上，点B在x轴正半轴上，且OB=2OC．点E是y轴上任意一点，连结DE，将线段DE按顺时针旋转90°得线段DG，作正方形DEFG，记点E为（0，n）．（1）求点D的坐标；（2）记正方形DEFG的面积为S，① 求S关于n的函数关系式；② 当DF∥x轴时，求S的值；（3）是否存在n的值，使正方形的顶点F或G落在△ABC的边上？若存在，求出所有满足条件的n的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）解：∵点D（m，4）在直线AC上；∴4= m+8，解得m=﹣3，∴点D的坐标为（﹣3，4）（2）解：①如图1，过点D作DH⊥y轴于H，则EH=|n﹣4|∴S=DE2=EH2+DH2=（n﹣4）2+9；②当DF∥x轴时，点H即为正方形DEFG的中心，∴EH=DH=3，∴n=4+3=7，∴S=（7﹣4）2+9=18（3）解：∵OB=2OC=16，∴B为（16，0），∴BC为：；①当点F落在BC边上时，如图2，作DM⊥y轴于M，FN⊥y轴于N．在△DEM与△EFN中，，∴△DEM≌△EFN（AAS），∴NF=EM=n﹣4，EN=DM=3∴F为（n﹣4，n﹣3）∴n﹣3=﹣（n﹣4）+8，∴n= ；②当点G落在BC边上时，如图3，作DM⊥y轴于M，GN⊥DM轴于N，由①同理可得△DEM≌△GDN，∴GN=DM=3，DN=EM=n﹣4，∴点G纵坐标为1，∴，∴x=14，∴DN=14+3=17=n﹣4，∴n=21；③当点F落在AB边上时，如图4，作DM⊥y轴于M，由①同理可得△DEM≌△EFO，∴OE=DM=3，即n=3；④当点G落在AC边上时，如图5．∵∠CDE=∠AOC=90°，∠DCE=∠OCA，∴△DCE∽△OCA，∴，∴，∴n= ，显然，点G不落在AB边上，点F不落在AC边上，故只存在以上四种情况．综上可得，当n= 或21或3或时，正方形的顶点F或G落在△ABC的边上．【解析】【分析】（1）根据点D在直线AC上；于是将D（m，4）代入直线AC的解析式得出m=-3,从而得出D点的坐标；（2）①如图1，过点D作DH⊥y轴于H，根据和y轴垂直的直线上的点的坐标特点及y轴上两点间的距离，则DH=|n-4|,根据正方形的面积等于边长的平方及勾股定理得出S=DE2=EH2+DH2=（n﹣4）2+9；②当DF∥x轴时，点H即为正方形DEFG的中心，故EH=DH=3，n=7，将n=7代入函数解析式即可得出S的值；（3）首先找到C点的坐标，得出OC的长度，然后根据OB=2OC=16得出B点的坐标，利用待定系数法得出直线BC的解析式，①当点F落在BC边上时，如图2，作DM⊥y轴于M，FN⊥y轴于N．利用AAS判断出∴△DEM≌△EFN，根据全等三角形对应边相等得出NF=EM=n﹣4，EN=DM=3从而得出F点的坐标，根据F点的纵坐标的两种不同表示方法得出关于n的方程，求解得出n的值；②当点G落在BC边上时，如图3，作DM⊥y轴于M，GN⊥DM轴于N，由①同理可得△DEM≌△GDN，GN=DM=3，DN=EM=n﹣4，从而得出G点的纵坐标为1，根据点G的纵坐标列出方程，求解得出N的值；③当点F落在AB 边上时，如图4，作DM⊥y轴于M，由①同理可得△DEM≌△EFO，OE=DM=3，即n=3；④当点G落在AC边上时，如图5．首先判断出△DCE∽△OCA，根据相似三角形对应边成比例得出 C E∶ A C = C D∶ O C，从而得出关于n的方程，求解得出n的值，综上所述得出所有答案。
中考数学 相似 培优练习(含答案)及答案解析
中考数学相似培优练习(含答案)及答案解析一、相似1．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∴代入，得解得∴抛物线对应二次函数的表达式为：（2）解：如图，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作点．由得对称轴为直线x=1，∴∴∴为等腰直角三角形．∴∴∴∴为等腰三角形．设∴在中，∴∴整理，得解得，∴点P的坐标为或（3）解：存在点M，使得∽．如图，连结∵∴为等腰直角三角形，∴由（2）可知，∴∴分两种情况．当时，∴，解得．∴∴当时，∴，解得∴∴综上，点M的坐标为或【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由（1）中的解析式易求得抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D（1，4），点C（0，3），由题意可设点P（1，m），计算易得△DCF为等腰直角三角形，△DEP为等腰三角形，在直角三角形PED和APQ中，用勾股定理可将PE、PA用含m的代数式表示出来，根据PA=PE可列方程求解；（3）由△DCM∽△BQC所得比例式分两种情况：或，根据所得比例式即可求解。
2．如图,在一个长40 m、宽30 m的矩形小操场上,王刚从A点出发,沿着A→B→C的路线以3 m/s的速度跑向C地.当他出发4 s后,张华有东西需要交给他,就从A地出发沿王刚走的路线追赶,当张华跑到距B地2 m的D处时,他和王刚在阳光下的影子恰好落在一条直线上.（1）此时两人相距多少米(DE的长)?（2）张华追赶王刚的速度是多少?【答案】（1）解：在Rt△ABC中：∵AB=40，BC=30，∴AC=50 m.由题意可得DE∥AC，∴Rt△BDE∽Rt△BAC，∴ = ，即 = .解得DE= m.答：此时两人相距 m.（2）解：在Rt△BDE中：∵DB=2，DE=，∴BE=2 m.∴王刚走的总路程为AB+BE=42 m.∴王刚走这段路程用的时间为 =14(s).∴张华用的时间为14-4=10(s)，∵张华走的总路程为AD=AB-BD=40-2=37（m）,∴张华追赶王刚的速度是37÷10≈3.7（m/s）.答：张华追赶王刚的速度约是3.7m/s.【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC=50 m，利用平行投影的性质得DE∥AC，再利用相似三角形的性质得出对应边的比相等可求得DE长.（2）在Rt△BDE中,根据勾股定理得BE=2 m，根据题意得王刚走的总路程为42 m，根据时间=路程÷速度求得王刚用的时间，减去4即为张华用的时间，再根据速度=路程÷时间解之即可得出答案.3．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC.延长BC到点D，使CD＝CA，连接AD交⊙O于点E.（1）求证：△ABE≌△CDE；（2）填空：①当∠ABC的度数为________时，四边形AOCE是菱形；②若AE＝6，BE=8，则EF的长为________.【答案】（1）证明：∵AB=AC，CD=CA，∴∠ABC=∠ACB，AB=CD．∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ECD=∠BAE，∠CED=∠ABC．∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，∴∠CED=∠AEB，∴△ABE≌△CDE（AAS）（2）60；【解析】【解答】解：（2）①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形；理由是：连接AO、OC．∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC+∠AEC=180°．∵∠ABC=60，∴∠AEC=120°=∠AOC．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°．∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°．∵∠ACB=∠CAD+∠D．∵AC=CD，∴∠CAD=∠D=30°，∴∠ACE=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠OAE=∠OCE=60°，∴四边形AOCE是平行四边形．∵OA=OC，∴▱AOCE是菱形；②由（1）得：△ABE≌△CDE，∴BE=DE=8，AE=CE=6，∴∠D=∠EBC．∵∠CED=∠ABC=∠ACB，∴△ECD∽△CFB，∴ = ．∵∠AFE=∠BFC，∠AEB=∠FCB，∴△AEF∽△BCF，∴ = ，∴EF= = ．故答案为：①60°；② ．【分析】（1）由题意易证∠ABC=∠ACB，AB=CD；再由四点共圆和已证可得∠ABC=∠ACB=∠AEB，∠CED=∠AEB，则利用AAS可证得结论；（2）①连接AO、CO.宪政△ABC是等边三角形，再证明四边形AOCE是平行四边形，又AO=CO可得结论；②先证△ECD∽△CFB，可得EC：ED=CF：BC=6:8；再证△AEF∽△BCF，则AE：EF=BC：CF，从而求出EF.4．如图1，图形ABCD是由两个二次函数与的部分图像围成的封闭图形，已知A(1，0)、B(0，1)、D(0，﹣3)．（1）直接写出这两个二次函数的表达式；（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；（3）如图2，连接BC、CD、AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C 与点E是对应顶点）的点E的坐标．【答案】（1）解：（2）解：存在，理由：当该内接正方形的中心是原点O，且一组邻边分别平行于x轴、y轴时，设M（x,-x2+1）为第一象限内的图形ABCD上一点，M'（x,3x2-3）为第四象限内的图形上一点，∴MM'=（1-x2）-3（3x2-3）=4-4x2，由抛物线的对称性知，若有内接正方形，则2x=4-4x2，即2x2+x-2=0，x= 或（舍），∵0< ，∴存在内接正方形，此时其边长为（3）解：解：在Rt△AOD中，OA=1，OD=3，∴AD= ，同理CD= .在Rt△BOC中，OB=OC=1，∴BC= .①如图（1）当△DBC~△DAE时，因∠CDB=∠ADO，∴在y轴上存在一点E，由得，得DE= ，因D（0，-3），∴E（）；由对称性知在直线DA右侧还存在一点E'使得△DBC~△DAE'，连接EE'交DA于F点，作E'M⊥OD，垂足为M，连接E'D，∵E、E'关于DA对称，∴DF垂直平分EE'，∴△DEF~△DAO，∴，有，∴， .因，∴，又，在Rt△DE'M中，DM= ，∴OM=1，得∴，使得△DBC~△DAE的点E的坐标为（0， ,）或；如图（2）当△DBC~△ADE时，有∠BDC=∠DAE，，即，得AE= .当E在直线DA左侧时，设AE交y轴于P点，作EQ⊥AC，垂足为Q.由∠BDC=∠DAE=∠ODA，∴PD=PA，设PD=x，则PO=3-x，PA=x，在Rt△AOP中，由得，解得，则有PA= ，PO= ，因AE= ，∴PE= ，在△AEQ中，OP∥EQ，∴，得，又，∴QE=2，∴E（），当E'在直线DA右侧时，因∠DAE'=∠BDC，又∠BDC=∠BDA，∴∠BDA=∠DAE'，则AE'∥OD，∴E'（1，），则使得△DBC~△ADE的点E的坐标为或 .综上，使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标有4个，即（0， ,）或或或【解析】【解答】（1）∵二次函数经过点A（1,0），B（0,1）代入得解得∴二次函数；∵二次函数经过点A（1,0），D（0,-3）代入得解得∴二次函数 .【分析】（1）由A（1,0），B（0，1）代入二次函数解出k，m的值可得二次函数y1的表达式；由A（1,0），D（0，-3）代入二次函数解出k，m的值可得二次函数y1的表达式；（2）判断是否存在，可以列举出一种特殊情况：当该内接正方形的中心是原点O，且一组邻边分别平行于x轴、y 轴时，则可设点M（x,-x2+1）在y1图象上，则该正方形存在另一点M'（x,3x2-3）在y2图象上，由邻边相等构造方程解答即可；（3）对于△BDC与△ADE相似，且C于D对应，那么就存在两种情况：①当点B对应点A，即△DBC~△DAE，此时点E的位置有两处，一处在y轴上，另一处在线段AD的右侧；②当点B对应点DA时，即△DBC~△ADE，些时点E 有两处，分别处于线段AD的左右两侧；结果两种情况所有的条件解出答案即可.5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，顶点A、C的坐标分别为（﹣1，2），（3，2），点B 在x轴上，点B的坐标为（3，0），抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）点P是抛物线上的一点，当S△PAB= S△ABC时，求点P的坐标；（3）若点N由点B出发，以每秒个单位的速度沿边BC、CA向点A移动，秒后，点M 也由点B出发，以每秒1个单位的速度沿线段BO向点O移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点N的移动时间为t秒，当MN⊥AB时，请直接写出t的值，不必写出解答过程．【答案】（1）解：将点A（﹣1，2），C（3，2），代入抛物线y=﹣x2+bx+c中，得，解得∴抛物线y=﹣x2+2x+5.（2）解：∵点A（-1,2），B（3,0），C（3,2），∴BC⊥x轴，AC=4，BC=2，∴，∴设直线AB为y=mx+n,将点A（-1,2），B（3,0），代入可得，解得，∴直线AB为y=，设点P（x，），过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，则M（x，），∴PM= ，∴即，∴或，解得，则点P .（3）解：当时，如图1，点N在BC的线段上，BN= ，BM= ，∵MN⊥AB，∴，又∵A（-1,2），B（3,0），C（3,2），∴AC∥x轴，BC∥y轴，∴∠ACB=90°，∴，∴又∵∠MBN=∠ACB=90°，∴△BNM~△CAB，∴，则，解得t= .当时，点N在线段AC上，如图2，MN与AB交于点D，BM= ,由A（-1,2），B(3,0)，得AB= ，设AD=a，则BD= ,∵∠ADN=∠ACB=90°, ∠DAN=∠CAB,∴△ADN~△ACB，∴；则 = ，则a=∵∠BDM=∠ACB=90°, ∠DBM=∠CAB,∴△BDM~△ACB，∴ =，则解得 .综上， .【解析】【分析】（1）将点A（﹣1，2），C（3，2），代入抛物线y=﹣x2+bx+c中，联立方程组解答即可求出b和c的值；（2）由A（-1,2），B（3,0），C（3,2）可求出直线AB 的解析式和，从而求出 .设PP（x，），过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，则M（x，），可得代入求出P的横坐标x的值，再代入抛物线的解析式求出点P的纵坐标；（3）首先要明确时间t表示点N运动的时间，由点M，N的速度可求出它们当到达终点时的时间t，取其中的较小值为t所能取到的最大值；由点M只在线段OB上运动，点N在线段BC和线段AC上运动，则要分成两部分进行讨论，当点N在线段BC上时和当点N在线段AC上时，并分别求出相应时间t的取值范围；结合相似三角形的判定和性质得到相应边成比例，列方程解答即可.6．如图，抛物线y=ax2+bx+c过原点O、点A （2，﹣4）、点B （3，﹣3），与x轴交于点C，直线AB交x轴于点D，交y轴于点E．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；（2）直线AF⊥x轴，垂足为点F，AF上取一点G，使△GBA∽△AOD，求此时点G的坐标；（3）过直线AF左侧的抛物线上点M作直线AB的垂线，垂足为点N，若∠BMN=∠OAF，求直线BM的函数表达式．【答案】（1）解：将原点O（0,0）、点 A （2，﹣4）、点 B （3，﹣3），分别代入y=ax2+bx+c，得，解得，∴y=x2-4x= ，∴顶点为（2，-4）.（2）解：设直线AB为y=kx+b，由点A（2，-4），B（3，-3），得解得，∴直线AB为y=x-6.当y=0时，x=6，∴点D（6，0）.∵点A（2，-4），D（6,0），B（3，-3），∴OA= ，OD=6，AD= ，AF=4，OF=2，DF=4，AB= ，∴DF=AF，又∵AF⊥x轴，∴∠AD0=∠DAF=45°，∵△GBA∽△AOD，∴，∴，解得，∴FG=AF-AG=4- ，∴点G（2，）.（3）解：如图1，∵∠BMN=∠OAF，，∴∠MBN=∠AOF，设直线BM与AF交于点H，∵∠ABH=∠AOD，∠HAB=∠ADO，∴∴，则，解得AH= ，∴H（2，）.设直线BM为y=kx+b，∵将点B、G的坐标代入得，解得．∴直线BM的解析式为y= ；如图2，BD=AD-AB= ．∵∠BMN=∠OAF，∠GDB=∠ODA，∴△HBD∽△AOD．∴，即，解得DH=4．∴点H的坐标为（2，0）．设直线BM的解析式为y=kx+b．∵将点B和点G的坐标代入得：，解得k=-3，b=6．∴直线BM的解析式为y=-3x+6．综上所述，直线MB的解析式为y= 或y=-3x+6．【解析】【分析】（1）将原点O（0,0）、点A （2，﹣4）、点B （3，﹣3），分别代入y=ax2+bx+c，联立方程组解答即可a,b,c的值，得到二次函数解析式；将解析式配成顶点式，可得顶点；（2）由△GBA∽△AOD，可得，分别求出AD，AB，OD的长即可求出AG，由点A的坐标，即可求出点G；（3）点M在直线AF的左侧，可发出垂足N可以在线段AB上，也可以在AB的延长线上，故有如图1和如图2两种可能；设直线BM与直线AF的交点为H，由（2）可知，参加（2）的方法可求出点H的坐标，从而求出直线BM的解析式.7．如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（-3，0）。
2020-2021初三数学相似的专项培优练习题(含答案)含详细答案
2020-2021初三数学相似的专项培优练习题(含答案)含详细答案一、相似1．在△ABC中，∠ABC=90°．（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC= ，求tanC的值；（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC= ，，直接写出tan∠CEB的值．【答案】（1）解：∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB=∠BNC=90°，∴∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBN=90°，∴∠BAM=∠CBN，∵∠AMB=∠NBC，∴△ABM∽△BCN（2）解：如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N.∵∠BAP+∠1=∠CPM+∠1=90°，∴∠BAP=∠CPM=∠C，∴MP=MC∵tan∠PAC=，设MN=2m,PN=m,根据勾股定理得，PM=,∴tanC=（3）解：在Rt△ABC中，sin∠BAC= = ，过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，∵∠DEB=90°，∴CH∥AG∥DE，∴ =同（1）的方法得，△ABG∽△BCH∴，设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，∵AB=AE，AG⊥BE，∴EG=BG=4m，∴GH=BG+BH=4m+3n，∴，∴n=2m，∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，在Rt△CEH中，tan∠BEC= =【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出∠AMB=∠BNC=90°，根据同角的余角相等得出∠BAM=∠CBN，利用两个角对应相等的两个三角形相似得出：△ABM∽△BCN；（2）过点P作PF⊥AP交AC于F，在Rt△AFP中根据正切函数的定义，由tan∠PAC=,同（1）的方法得，△ABP∽△PQF，故,设AB= a，PQ=2a，BP= b，FQ=2b（a＞0，b＞0），然后判断出△ABP∽△CQF，得从而表示出CQ，进根据线段的和差表示出BC，再判断出△ABP∽△CBA，得出再得出BC，从而列出方程，表示出BC,AB，在Rt△ABC中，根据正切函数的定义得出tanC的值；（3）在Rt△ABC中，利用正弦函数的定义得出：sin∠BAC=,过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，根据平行线分线段成比例定理得出，同（1）的方法得，△ABG∽△BCH ，故，设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，根据等腰三角形的三线合一得出EG=BG=4m，故GH=BG+BH=4m+3n，根据比例式列出方程，求解得出n与m的关系，进而得出EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，在Rt△CEH中根据正切函数的定义得出tan∠BEC的值。
数学相似的专项培优练习题含答案
一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣ x+ 与x轴、y轴分别交于点B、A，与直线y= 相交于点C．动点P从O出发在x轴上以每秒5个单位长度的速度向B匀速运动，点Q从C出发在OC上以每秒4个单位长度的速度，向O匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2）．（1）直接写出点C坐标及OC、BC长；（2）连接PQ，若△OPQ与△OBC相似，求t的值；（3）连接CP、BQ，若CP⊥BQ，直接写出点P坐标．【答案】（1）解：对于直线y=﹣ x+ ，令x=0，得到y= ，∴A（0，），令y=0，则x=10，∴B（10，0），由，解得，∴C（，）．∴OC= =8，BC= =10（2）解：①当时，△OPQ∽△OCB，∴，∴t= ．②当时，△OPQ∽△OBC，∴，∴t=1，综上所述，t的值为或1s时，△OPQ与△OBC相似（3）解：如图作PH⊥OC于H．∵OC=8，BC=6，OB=10，∴OC2+BC2=OB2，∴∠OCB=90°，∴当∠PCH=∠CBQ时，PC⊥BQ．∵∠PHO=∠BCO=90°，∴PH∥BC，∴，∴，∴PH=3t，OH=4t，∴tan∠PCH=tan∠CBQ，∴，∴t= 或0（舍弃），∴t= s时，PC⊥BQ．【解析】【分析】（1）根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出A,B点的坐标，解联立直线AB,与直线OC的解析式组成的方程组，求出C点的坐标，根据两点间的距离公式即可直接算出OC,OB的长；（2）根据速度乘以时间表示出OP=5t，CQ=4t，OQ=8-4t，①当OP∶OC=OQ∶OB时，△OPQ∽△OCB，根据比例式列出方程，求解得出t的值；②当OP∶OB=OQ∶OC时，△OPQ∽△OBC，根据比例式列出方程，求解得出t的值，综上所述即可得出t的值；（3）如图作PH⊥OC于H．根据勾股定理的逆定理判断出∠OCB=90°，从而得出当∠PCH=∠CBQ时，PC⊥BQ．根据同位角相等二直线平行得出PH∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出OP∶OB=PH∶BC=OH∶OC,根据比例式得出PH=3t，OH=4t，根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义，由tan∠PCH=tan∠CBQ，列出方程，求解得出t的值，经检验即可得出答案。
2020-2021九年级数学相似的专项培优易错试卷练习题及答案解析
2020-2021九年级数学相似的专项培优易错试卷练习题及答案解析一、相似1．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=4求BN的长；（2）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图2所示，请在BC上画一点D，使C，D 是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）；（3）如图3，正方形ABCD中，M，N分别在BC，DC上，且BM≠DN，∠MAN=45°，AM，AN分别交BD于E，F.求证：①E、F是线段BD的勾股分割点；②△AMN的面积是△AEF面积的两倍．【答案】（1）解：（1）①当MN为最大线段时，∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴BM= = = ，②当BN为最大线段时，∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴BN= = =5，综上，BN= 或5；（2）解：作法：①在AB上截取CE=CA；②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；点D即为所求；如图2所示．（3）解：①如图3中，将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE．∵∠DAF+∠BAE=90°﹣∠EAF=45°，∠DAF=∠BAH，∴∠EAH=∠EAF=45°，∵EA=EA，AH=AF，∴△EAH≌△EAF，∴EF=HE，∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，∴∠HBE=90°，在Rt△BHE中，HE2=BH2+BE2，∵BH=DF，EF=HE，∵EF2=BE2+DF2，∴E、F是线段BD的勾股分割点．②证明：如图4中，连接FM，EN．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°，∵∠MAN=45°，∴∠EAN=∠EDN，∵∠AFE=∠FDN，∴△AFE∽△DFN，∴∠AEF=∠DNF，，∴，∵∠AFD=∠EFN，∴△AFD∽△EFN，∴∠DAF=∠FEN，∵∠DAF+∠DNF=90°，∴∠AEF+∠FEN=90°，∴∠AEN=90°∴△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形；∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，∴AM= AF，AN= AE，∵S△AMN= AM•AN•sin45°，S△AEF= AE•AF•sin45°，∴ =2，∴S△AMN=2S△AEF．【解析】【分析】（1）此题分两种情况：①当MN为最大线段时，②当BN为最大线段时，根据线段的勾股分割点的定义，利用勾股定理分别得出BM的长；（2）利用尺规作图，将线段AC,CD,DB转化到同一个直角三角形中，①在AB上截取CE=CA；②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；这样的作图可以保证直角的出现，及AC 是一条直角边，③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；这样的作图意图利用垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，即BD=DF，从而实现将三条线段转化到同一直角三角形的目的；（3）①如图3中，将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE．根据正方形的性质及旋转的性质得出∠EAH=∠EAF=45°，AH=AF，利用SAS判断出△EAH≌△EAF，根据全等三角形对应边相等得出EF=HE，根据正方形的每条对角线平分一组对角，及旋转的性质得出∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，故∠HBE=90°，在Rt△BHE中，HE2=BH2+BE2，根据等量代换得出结论；②证明：如图4中，连接FM，EN．根据正方形的性质及对顶角相等判断出△AFE∽△DFN，根据相似三角形对应角相等，对应边成比例得出∠AEF=∠DNF， AF∶DF =EF∶FN ，根据比例的性质进而得出AF∶EF =DF∶FN,再判断出△AFD∽△EFN，根据相似三角形对应角相等得出∠DAF=∠FEN，根据直角三角形两锐角互余，及等量代换由∠DAF+∠DNF=90°，得出∠AEF+∠FEN=90°，即∠AEN=90°，从而判断出△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形；根据等腰直角三角形的边之间的关系AM= AF，AN= AE，从而分别表示出S△AMN与S△AEF，求出它们的比值即可得出答案。
人教新版九年级下学期压轴培优综合练习卷：《相似》(含答案)
压轴培优综合练习卷：《相似》一．解答题1．已知：如图边长为2的正方形ABCD 中，∠MAN 的两边分别交BC 、CD 边于M 、N 两点，且∠MAN ＝45°①求证：MN ＝BM +DN ；②若AM 、AN 交对角线BD 于E 、F 两点．设BF ＝y ，DE ＝x ，求y 与x 的函数关系式．2．将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A 1CB 1＝∠ACB ＝90°，∠A 1＝∠A ＝30°．（1）将图1中△A 1B 1C 绕点C 顺时针旋转45°得图2，点P 1是A 1C 与AB 的交点，点Q 是A 1B 1与BC 的交点，求证：CP 1＝CQ ；（2）在图2中，若AP 1＝a ，则CQ 等于多少？（3）将图2中△A 1B 1C 绕点C 顺时针旋转到△A 2B 2C （如图3），点P 2是A 2C 与AP 1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP 1C ∽△CP 1P 2？这时线段CP 1与P 1P 2之间存在一个怎样的数量关系？．3．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C 的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l 交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．1（1）当t为何值时，AD＝AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．5．已知点E在△ABC内，∠ABC＝∠EBD＝α，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°．（1）当α＝60°时（如图1），①判断△ABC的形状，并说明理由；②求证：BD＝AE；（2）当α＝90°时（如图2），求的值．6．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC＝45°时，求证：AD＝DE；（2）如图②，当∠ABC＝30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC＝α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）7．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？8．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．（1）求证：△ODM∽△MCN；（2）设DM＝x，OA＝R，求R关于x的函数关系式；（3）在动点O逐渐向点D运动（OA逐渐增大）的过程中，△CMN的周长如何变化？说明理由．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△BAP中，∠BAP＝90°，已知∠CBO＝∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE＝OC．（1）求证：AP＝AO；（2）求证：PE⊥AO；（3）当AE＝AC，AB＝10时，求线段BO的长度．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE•CA．（1）求证：BC＝CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD ＝，求DF的长．11．已知：RT△ABC与RT△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，EF＝8cm，AC＝16cm，BC＝12cm．现将RT△ABC和RT△DEF按图1的方式摆放，使点C与点E 重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，并按如下方式运动．运动一：如图2，△ABC从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿EF方向向右匀速运动，DE 与AC相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动；运动二：在运动一的基础上，如图3，RT△ABC绕着点C顺时针旋转，CA与DF交于点Q，CB 与DE交于点P，此时点Q在DF上匀速运动，速度为，当QC⊥DF时暂停旋转；运动三：在运动二的基础上，如图4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，解答下列问题（1）在RT△ABC从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时s；（2）在整个运动过程中，设RT△ABC与RT△DEF的重叠部分的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段AB的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．12．某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动．活动情境：如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠（折痕EG分别与AB、DC交于点E、G），使点B落在AD边上的点F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P．所得结论：当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：甲：△AEF的边AE＝cm，EF＝cm；乙：△FDM的周长为16cm；丙：EG＝BF．你的任务：（1）填充甲同学所得结果中的数据；（2）写出在乙同学所得结果的求解过程；（3）当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时：①试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论；②丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG＝BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF＝x）的函数关系式，并问当x为何值时，S 最大？最大值是多少？13．如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC．（1）求证：AC＝AD+CE；（2）若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A、B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）14．已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．15．在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB＝1：2，EF⊥CB，求证：EF＝CD．（2）如图2，AC：AB＝1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．16．如图，∠C＝90°，点A、B在∠C的两边上，CA＝30，CB＝20，连接AB．点P从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC的方向运动，到点C停止．当点P与B、C两点不重合时，作PD⊥BC交AB于点D，作DE⊥AC于点E．F为射线CB上一点，使得∠CEF＝∠ABC．设点P运动的时间为x秒．（1）用含有x的代数式表示CE的长．（2）求点F与点B重合时x的值．（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）．求y与x之间的函数关系式．17．如图，边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B 在第一象限．一动点P沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA，过点P作PD⊥OB于点D．（1）填空：PD的长为用含t的代数式表示）；（2）求点C的坐标（用含t的代数式表示）；（3）在点P从O向A运动的过程中，△PCA能否成为直角三角形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）填空：在点P从O向A运动的过程中，点C运动路线的长为．18．已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8，BC＝6，EF＝10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动，同时，点P 从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：（1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；（2）在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（3）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．19．如图，在直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8．D、E分别是AC、BC边的中点，点P从A出发沿线段AD﹣DE﹣EB以每秒3个单位长的速度向B匀速运动；点Q从点A出发沿射线AB以每秒2个单位长的速度匀速运动，当点P与点B重合时停止运动，点Q也随之停止运动，设点P、Q运动时间是t秒，（t＞0）（1）当t＝时，点P到达终点B；（2）当点P运动到点D时，求△BPQ的面积；（3）设△BPQ的面积为S，求出点Q在线段AB上运动时，S与t的函数关系式；（4）请直接写出PQ∥DB时t的值．参考答案一．解答题1．（1）证明：将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，∵∠M′AN＝∠DAN+∠MAB＝45°，AM′＝AM，BM＝DM′，∵M′A N＝∠MAN＝45°，AN＝AN，∴△AMN≌△AM′N′，∴MN＝NM′，∴M′N＝M′D+DN＝BM+DN，∴MN＝BM+DN．（2）解：∵∠AED＝45°+∠BAE，∠FAB＝45°+∠BAE，∴∠AED＝∠FAB，∵∠ABF＝∠ADE，∴△BFA∽△DAE，∴＝，∴＝，∴y＝．2．（1）证明：∵∠B1CB＝45°，∠B1CA1＝90°，∴∠B1CQ＝∠BCP1＝45°；又B1C＝BC，∠B1＝∠B，∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）∴CQ＝CP1；（2）解：如图：作P1D⊥AC于D，∵∠A＝30°，∴P1D＝AP1；∵∠P1CD＝45°，∴＝sin45°＝，∴CP1＝P1D＝AP1；又AP1＝a，CQ＝CP1，∴CQ＝a；（3）解：当∠P1CP2＝∠P1AC＝30°时，由于∠CP1P2＝∠AP1C，则△AP1C∽△CP1P2，所以将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转30°到△A2B2C时，有△AP1C∽△CP1P2．这时＝＝，∴P1P2＝CP1．3．解：（1）若0＜t≤5，则AP＝4t，AQ＝2t．则＝＝，又∵AO＝10，AB＝20，∴＝＝．∴＝．又∵∠CAB＝30°，∴△APQ∽△ABO．∴∠AQP＝90°，即PQ⊥AC．当5＜t≤10时，同理，可由△PCQ∽△BCO得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC．∴在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC．（2）①如图，在Rt△APM中，∵∠PAM＝30°，AP＝4t，∴AM＝．在△APQ中，∠AQP＝90°，∴AQ＝AP•cos30°＝2t，∴QM＝AC﹣2AQ＝20﹣4t．由AQ+QM＝AM得：2t+20﹣4t＝，解得t＝．∴当t＝时，点P、M、N在一直线上．②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形．设l交AC于H．如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH＝30°．∴MH＝2NH．得20﹣4t﹣＝2×，解得t＝2．如图2，当点N在CD上时，若PM⊥PN，则∠HMP＝30°．∴MH＝2PH，同理可得t＝．故当t＝2或时，存在以PN为一直角边的直角三角形．4．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5．∵AD＝5t，CE＝3t，∴当AD＝AB时，5t＝5，即t＝1；∴AE＝A C+CE＝3+3t＝6，DE＝6﹣5＝1．（2）∵EF＝BC＝4，G是EF的中点，∴GE＝2．当AD＜AE（即t＜）时，DE＝AE﹣AD＝3+3t﹣5t＝3﹣2t，若△DEG与△ACB相似，则或，∴或，∴t＝或t＝；当AD＞AE（即t＞）时，DE＝AD﹣AE＝5t﹣（3+3t）＝2t﹣3，若△DEG与△ACB相似，则或，∴或，解得t＝或t＝；综上所述，当t＝或或或时，△DEG与△ACB相似．5．解：（1）①判断：△ABC是等边三角形．理由：∵∠ABC＝∠ACB＝60°∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°＝∠ABC＝∠ACB∴△ABC是等边三角形②证明：同理△EBD也是等边三角形连接DC，则AB＝BC，BE＝BD，∠ABE＝60°﹣∠EBC＝∠CBD∴△ABE≌△CBD∴AE＝CD，∠AEB＝∠CDB＝150°∴∠EDC＝150°﹣∠BDE＝90°∠CED＝∠BEC﹣∠BED＝90°﹣60°＝30°在Rt△EDC中，∴．（2）连接DC，∵∠ABC＝∠EBD＝90°，∠ACB＝∠EDB＝60°∴△ABC∽△EBD∴又∵∠ABE＝90°﹣∠EBC＝∠CBD∴△ABE∽△CBD，∠AEB＝∠CDB＝150°，∴∠EDC＝150°﹣∠BDE＝90°∠CED＝∠BEC﹣∠BED＝90°﹣（90°﹣∠BDE）＝60°设BD＝x在Rt△EBD中DE＝2x，BE＝在Rt△EDC中CD＝∴，即．6．（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，则∠BDE+∠FDE＝90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠C＝45°，∵MN∥AC，∴∠EBD＝180°﹣∠C＝135°，∵∠BFD＝45°，DF⊥BC，∴∠BFD＝45°，BD＝DF，∴∠AFD＝135°，∴∠EBD＝∠AFD，在△BDE和△FDA中，∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD＝DE；（2）解：DE＝AD，理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，则∠BDE+∠GDE＝90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG＝90°，∴∠BDE＝∠ADG，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，∴∠C＝60°，∵MN∥AC，∴∠EBD＝180°﹣∠C＝120°，∵∠ABC＝30°，DG⊥BC，∴∠BGD＝60°，∴∠AGD＝120°，∴∠EBD＝∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴＝，在Rt△BDG中，＝tan30°＝，∴DE＝AD；（3）AD＝DE•tanα；理由：如图2，∠BDE+∠GDE＝90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG＝90°，∴∠BDE＝∠ADG，∵∠EBD＝90°+α，∠AGD＝90°+α，∴∠EBD＝∠AGD，∴△EBD∽△AGD，∴＝，在Rt△BDG中，＝tanα，则＝tanα，∴AD＝DE•tanα．7．解：（1）∵四边形EGFH为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；（2）设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴，∴，解得x＝48．答：正方形零件的边长为48mm．（3）设EF＝x，EG＝y，∵△AEF∽△ABC∴，∴＝∴y＝80﹣x∴矩形面积S＝xy＝﹣x2+80x＝﹣（x﹣60）2+2400（0＜x＜120）故当x＝60时，此时矩形的面积最大，最大面积为2400mm2．8．（1）证明：∵MN切⊙O于点M，∴∠OMN＝90°；∵∠OMD+∠CMN＝∠OMN＝90°，∴∠OMD+∠CMN＝90°，∠CMN+∠CNM＝90°；∴∠OMD＝∠MNC；又∵∠D＝∠C＝90°；∴△ODM∽△MCN；（2）解：在Rt△ODM中，DM＝x，设OA＝OM＝R；∴OD＝AD﹣OA＝8﹣R，由勾股定理得：（8﹣R）2+x2＝R2，∴64﹣16R+R2+x2＝R2，∴；（3）解法一：∵CM＝CD﹣DM＝8﹣x，又∵且有△ODM∽△MCN，∴，∴代入得到；同理，∴代入得到；∴△CMN的周长为P＝＝（8﹣x）+（x+8）＝16．在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．解法二：在Rt△ODM中，，设△ODM的周长P′＝；而△MCN∽△ODM，且相似比；∵，∴△MCN的周长为P＝．在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．9．（1）证明：∵∠C＝90°，∠BAP＝90°∴∠CBO+∠BOC＝90°，∠ABP+∠APB＝90°，又∵∠CBO＝∠ABP，∴∠BOC＝∠APB，∵∠BOC＝∠AOP，∴∠AOP＝∠APB，∴AP＝AO；（2）证明：如图，过点O作OD⊥AB于D，∵∠CBO＝∠ABP，∴CO＝DO，∵AE＝OC，∴AE＝OD，∵∠AOD+∠OAD＝90°，∠PAE+∠OAD＝90°，∴∠AOD＝∠PAE，在△AOD和△PAE中，，∴△AOD≌△PAE（SAS），∴∠AEP＝∠ADO＝90°∴PE⊥AO；（3）解：设AE＝OC＝3k，∵AE＝AC，∴AC＝8k，∴OE＝AC﹣AE﹣OC＝2k，∴OA＝OE+AE＝5k．由（1）可知，AP＝AO＝5k．如图，过点O作OD⊥AB于点D，∵∠CBO＝∠ABP，∴OD＝OC＝3k．在Rt△AOD中，AD＝＝＝4k．∴BD＝AB﹣AD＝10﹣4k．∵OD∥AP，∴，即解得k＝1，∵AB＝10，PE＝AD，∴PE＝AD＝4K，BD＝AB﹣AD＝10﹣4k＝6，OD＝3在Rt△BDO中，由勾股定理得：BO＝＝＝3．10．（1）证明：∵DC2＝CE•CA，∴＝，∵∠DCE＝∠ACD，∴△CDE∽△CAD，∴∠CDB＝∠DAC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴BC＝CD；（2）解：方法一：如图，连接OC，∵BC＝CD，∴∠DAC＝∠CAB，又∵AO＝CO，∴∠CAB＝∠ACO，∴∠DAC＝∠ACO，∴AD∥OC，∴＝，∵PB＝OB，CD＝，∴＝∴PC＝4又∵PC•PD＝PB•PA∴4•（4+2）＝OB•3OB∴OB＝4，即AB＝2OB＝8，PA＝3OB＝12，在Rt△ACB中，AC ＝＝＝2，∵AB是直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°∴∠FDA+∠BDC＝90°∠CBA+∠CAB＝90°∵∠BDC＝∠CAB，∴∠FDA＝∠CBA，又∵∠AFD＝∠ACB＝90°，∴△AFD∽△ACB∴在Rt△AFP中，设FD＝x，则AF＝，∴在Rt△APF中有，，求得DF＝．方法二；连接OC，过点O作OG垂直于CD，易证△PCO∽△PDA，可得＝，△PGO∽△PFA，可得＝，可得，＝，由方法一中PC＝4代入，即可得出DF＝．11．解：（1）根据题意得，运动一：∵△DEF是等腰三角形，∠ACB＝90°，EF＝8cm，∴EC＝4cm，∴运动一所用时间为：4÷1＝4（秒），运动二：∵当QC⊥DF时暂停旋转，∵CD＝CF，∴DQ＝QF＝2cm∴运动二所用时间为：2＝2（秒），运动三：∵CF＝4cm，∴运动三所用的时间为：4÷1＝4（秒），∴整个过程共耗时4+2+4＝10（秒）；故答案为：10；（2）运动一：如图2，设EC为tcm，则CQ为tcm，∴S△ECQ＝×t×t，∴S与t之间的函数关系式为：y＝t2（0≤t≤4），运动二：如图3，连接CD，在△ECP和△DCQ中，∵∴△ECP≌△DCQ（ASA），∴S与t之间的函数关系式为：y＝8（4＜t＜6），运动三：如图4，四边形QDPC为矩形，∴CF＝4﹣（t﹣6）＝10﹣t，EC＝8﹣CF＝t﹣2，∴S矩形QDPC＝（t﹣2）×（10﹣t），＝t2+6t﹣10；S与t之间的函数关系式为：y＝t2+6t﹣10（6≤t≤10）；（3）存在点Q，理由如下：如图5，运动一：∵点Q在线段AB的中垂线上，连接BQ，∴AQ＝QB，∴AC﹣CQ＝，又∵AC＝16cm，BC＝12cm，解得，CQ＝3.5cm，∵∠DEF＝45°，∴EC＝3.5cm，此时，t为：3.5÷1＝3.5秒．如图6，运动二：同理：CQ＝3.5，过点C作CM⊥DF交DF于点M，CM＝2，在Rt△QCM中，QM＝＝，∴DQ＝2﹣，∴t＝（2﹣）÷+4＝6﹣；运动三时，CQ最大为2＜3.5，所以无解．综上，t＝3.5或6﹣时，点Q正好在线段AB的中垂线上．12．解：（1）AE＝3cm，EF＝5cm；设AE＝x，则EF＝8﹣x，AF＝4，∠A＝90°，42+x2＝（8﹣x）2，x＝3，∴AE＝3cm，EF＝5cm；（2）如答图1，∵∠MFE＝90°，∴∠DFM+∠AFE＝90°，又∵∠A＝∠D＝90°，∠AFE＝∠DMF，∴△AEF∽△DFM，∴，又∵AE＝3，AF＝DF＝4，EF＝5∴，，，，∴△FMD的周长＝4++＝16；（3）①乙的结果不会发生变化理由：如答图2，设AF＝x，EF＝8﹣AE，x2+AE2＝（8﹣AE）2，∴AE＝4﹣，同上述方法可得△AEF∽△DFM，C△AEF＝x+8，FD＝8﹣x，则，＝16②丙同学的结论还成立．证明：如答图2，∵B、F关于GE对称，∴BF⊥EG于P，过G作GK⊥AB于K，∴∠FBE＝∠KGE，在正方形ABCD中，GK＝BC＝AB，∠A＝∠EKG＝90°，∴△AFB≌△KEG，∴BF＝EG．由上述可知AE＝4﹣，△AFB≌△KEG，∴AF＝EK＝x，AK＝AE+EK＝AF+AE＝4﹣+x，S＝×8＝0.5×8（AE+AK）＝4×（4﹣+4﹣+x）＝S＝，（0＜x＜8）当x＝4，即F与AD的中点重合时S最大，S最大＝40．13．（1）证明：∵BD⊥BE，∴∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，∵∠C＝90°，∴∠2+∠E＝180°﹣90°＝90°，∴∠1＝∠E，∵在△ABD和△CEB中，，∴△ABD≌△CEB（AAS），∴AB＝CE，∴AC＝AB+BC＝AD+CE；（2）（i）如图，过点Q作QF⊥BC于F，则△BFQ∽△BCE，∴＝，即＝，∴QF＝BF，∵DP⊥PQ，∴∠APD+∠FPQ＝180°﹣90°＝90°，∵∠APD+∠ADP＝180°﹣90°＝90°，∴∠ADP＝∠FPQ，又∵∠A＝∠PFQ＝90°，∴△ADP∽△FPQ，∴＝，即＝，∴5AP﹣AP2+AP•BF＝3•BF，整理得，（AP﹣BF）（AP﹣5）＝0，∵点P与A，B两点不重合，∴AP≠5，∴AP＝BF，由△ADP∽△FPQ得，＝，∴＝；（ii）线段DQ的中点所经过的路径（线段）就是△BDQ的中位线MN．由（2）（i）可知，QF＝AP．当点P运动至AC中点时，AP＝4，∴QF＝．∴BF＝QF×＝4．在Rt△BFQ中，根据勾股定理得：BQ＝＝＝．∴MN＝BQ＝．∴线段DQ的中点所经过的路径（线段）长为．14．（1）证明：∵PQ⊥AQ，∴∠AQP＝90°＝∠ABC，在△APQ与△ABC中，∵∠AQP＝90°＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△AQP∽△ABC．（2）解：在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得：AC＝5．∵∠QPB为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．∵∠QPB为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝PQ，由（1）可知，△AQP∽△ABC，∴，即，解得：PB＝，∴AP＝AB﹣PB＝3﹣＝；（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．∵∠QBP为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝BQ．∵BP＝BQ，∴∠BQP＝∠P，∵∠BQP+∠AQ B＝90°，∠A+∠P＝90°，∴∠AQB＝∠A，∴BQ＝AB，∴AB＝BP，点B为线段AP中点，∴AP＝2AB＝2×3＝6．综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6．15．（1）证明：如图1，在△ABC中，∵∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，∴∠CAD＝∠B＝90°﹣∠ACB．∵AC：AB＝1：2，∴AB＝2AC，∵点E为AB的中点，∴AB＝2BE，∴AC＝BE．在△ACD与△BEF中，，∴△ACD≌△BEF，∴CD＝EF，即EF＝CD；（2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四边形EQDH是矩形，∴∠QEH＝90°，∴∠FEQ＝∠GEH＝90°﹣∠QEG，又∵∠EQF＝∠EHG＝90°，∴△EFQ∽△EGH，∴EF：EG＝EQ：EH．∵AC：AB＝1：，∠CAB＝90°，∴∠B＝30°．在△BEQ中，∵∠BQE＝90°，∴sin B＝＝，∴EQ＝BE．在△AEH中，∵∠AHE＝90°，∠AEH＝∠B＝30°，∴cos∠AEH＝＝，∴EH＝AE．∵点E为AB的中点，∴BE＝AE，∴EF：EG＝EQ：EH＝BE：AE＝1：＝：3．16．解：（1）∵∠C＝90°，PD⊥BC，∴DP∥AC，∴△DBP∽△ABC，四边形PDEC为矩形，∴，CE＝PD．∴．∴CE＝6x；（2）∵∠CEF＝∠ABC，∠C为公共角，∴△CEF∽△CBA，∴．∴．当点F与点B重合时，CF＝CB，9x＝20．解得．（3）当点F与点P重合时，BP+CF＝CB，4x+9x＝20，解得．当时，如图①，＝﹣51x2+120x．当≤x≤时，如图②，＝＝（20﹣4x）2．（或）．17．解：（1）∵△AOB是等边三角形，∴OB＝OA＝AB＝4，∠BOA＝∠OAB＝∠ABO＝60°．∵PD⊥OB，∴∠PDO＝90°，∴∠OPD＝30°，∴OD＝OP．∵OP＝t，∴OD＝t，在Rt△OPD中，由勾股定理，得PD＝故答案为：（2）如图（1）过C作CE⊥OA于E，∴∠PEC＝90°，∵OD＝t，∴BD＝4﹣t．∵线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，∴∠BPC＝60°．∵∠OPD＝30°，∴∠BPD+∠CPE＝90°．∴∠DBP＝∠CPE∴△PCE∽△BPD∴，∴，，∴CE＝，PE＝，OE＝，∴C（，）．（3）如图（3）当∠PCA＝90度时，作CF⊥PA，∴△PCF∽△ACF，∴，∴CF2＝PF•AF，∵PF＝2﹣t，AF＝4﹣OF＝2﹣tCF＝，∴（）2＝（2﹣t）（2﹣t），求得t＝2，这时P是OA的中点．如图（2）当∠CAP＝90°时，C的横坐标就是4，∴2+t＝4∴t＝（4）设C（x，y），∴x＝2+t，y＝，∴y＝x﹣，∴C点的运动痕迹是一条线段（0≤t≤4）．当t＝0时，C1（2，0），当t＝4时，C2（5，），∴由两点间的距离公式得：C1C2＝2．故答案为：2．18．解：（1）当D在AC上时，∵DE＝DF，∴EC＝CF＝EF＝5，∴t＝5．（2）存在．∵AP＝t，∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，∴∠CQE＝45°＝∠DEF，∴CQ＝CE＝t，AQ＝8﹣t，当0≤t＜5时，①AP＝AQ，t＝8﹣t，∴t＝4；②AP＝PQ，作PH⊥AC于H，AH＝HQ＝AQ＝4﹣t，∵PH∥BC，∴△APH∽△ABC，∴＝，∴＝，∴t＝；③AQ＝PQ，作QI⊥AB于I，AI＝PI＝AP＝t（等腰三角形的性质三线合一），∵∠AIQ＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，∴△AIQ∽△ACB，∴＝，∴＝，∴t＝，④当5≤t≤10时，AQ＝PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，同理可求出，FC＝QC＝10﹣t，BP＝10﹣t，PH＝（10﹣t）＝8﹣t，BH＝（10﹣t）＝6﹣t，QG＝QC﹣GC＝QC﹣PH＝10﹣t﹣（8﹣t）＝2﹣，PG＝HC＝6﹣（6﹣t）＝t，PQ＝AQ＝8﹣（10﹣t）＝t﹣2，∴PQ2＝PG 2+QG 2，（t﹣2）2＝（t）2+（2﹣）2，解得：t＝秒，其它情况不符合要求，综合上述：当t等于4秒、秒、秒、秒时△APQ是等腰三角形．（3）由勾股定理：CE＝CQ＝t，∵sin A＝＝＝，cos A＝＝＝，∴PW＝t，AW＝t，∴QW＝8﹣t﹣t＝8﹣t，∴PQ2＝PM2+Q W2＝（t）2+（8﹣t）2＝t2﹣t+64，PE2＝PH2+EH2＝（t+8﹣t）2+（t﹣t）2＝t2﹣t+64，①∠PQE＝90°，在Rt△PEQ中PQ2+QE2＝PE2，∴t1＝0（舍去）t2＝；②∠PEQ＝90°，PE2+EQ2＝PQ2t＝0（舍去）t2＝20（舍去）1∴此时不存在；③当∠EPQ＝90°时PQ2+PE2＝EQ2，t＝（舍去）t2＝4，1综合上述：当t＝或t＝4时，△PQE是直角三角形．19．解：（1）已知Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，由勾股定理得：BC＝＝＝10，又由D，E分别是AC，BC的中点，∴AD＝4，DE＝3，BE＝5，∴当点P到达终点B时所用时间t＝（4+3+5）÷3＝4（秒），答t的值为4秒．（2）当点P运动到点D时，所用时间为秒，所以AQ＝×2＝，∴BQ＝6﹣＝，∴△BPQ的面积＝BQ•AP＝×4＝；（3）①如图，当点P在AD上（不包含D点），由已知得：AQ＝2t，AP＝3t，∴BQ＝AB﹣AQ＝6﹣2t，已知∠A＝90°，∴△BPQ的面积S＝BQ•AP＝（6﹣2t）•3t＝﹣3t2+9t，所以Q在线段AB上运动时，S与t的函数关系式为S＝﹣3t2+9t．②如图当点P在DE（包括点D、E）上，过点P作PF⊥AB于F，则PF＝AD＝4，∴△BPQ的面积S＝BQ•PF＝（6﹣2t）•4＝12﹣4t，所以此时Q在线段AB上运动时，S与t的函数关系式为S＝12﹣4t．③当点P在BE上（不包括E点），由已知得：BP＝3+4+5﹣3t＝12﹣3t，过点P作PF⊥AB于F，∴PF∥AC，∴△BPF∽△BCA，∴＝，∴＝，∴PF＝，∴△BPQ的面积S＝BQ•PF＝（6﹣2t）•＝﹣t+，所以Q在线段AB上运动时，S与t的函数关系式为S＝﹣t+，（4）若PQ∥DB，则点P、Q必在DB同侧．分两种情况：①当点Q在AB上，点P在AD上时，假设PQ∥DB成立，则△AQP∽△ABD，∴＝，∴＝，此时方程的解是t＝0，但此解不符合题意，则PQ∥DB不成立，②当3＜t＜4时，点Q在AB延长线上，点P在EB上，此时PB＝12﹣3t，PE＝3t﹣7，BQ＝2t﹣6．若PQ∥DB，设直线PQ交DE与N，∵DE∥AB，∴△PEN∽△PBQ，∴EN：BQ＝PE：PB，则EN＝；又∵NQ∥DB，∴EN：ED＝EP：EB，则EN＝，所以＝，解得t＝符合题意．综上所述，当t＝时，PQ∥DB．。
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一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6。
P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N设AP=x.（1）在△ABC中，AB＝ ________；（2）当x＝________时，矩形PMCN的周长是14；（3）是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明。
【答案】（1）10（2）5（3）解：∵PM⊥AC，PN⊥BC，∴∠AMP=∠PNB=∠C=90º.∴AC∥PN，∠A=∠NPB.∴△AMP∽△PNB∽△ABC.当P为AB中点时，可得△AMP≌△PNB此时S△AMP=S△PNB= ×4×3=6而S矩形PMCN=PM·MC=3×4=12.所以不存在x的值，能使△AMP的面积、△PNB的面积与矩形PMCN面积同时相等.【解析】【解答】（1）∵△ABC为直角三角形，且AC=8，BC=6，（ 2 ）∵PM⊥AC PN⊥BC∴MP∥BC，AC∥PN（垂直于同一条直线的两条直线平行），∴，∵AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x，∴矩形PMCN周长=2（PM+PN）=2（ x+8- x）=14，解得x=5；【分析】在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6根据勾股定理，可求出AB的长；AP=x，可以得到矩形PMCN的周长的表达式，构造方程，解方程得到x值.可以证明△AMP∽△PNB∽△ABC，只有当P为AB中点时，可得△AMP≌△PNB，此时S△AMP=S△PNB，分别求出当P为AB中点时△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积比较即可.2．阅读下列材料，完成任务：自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．任务：（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为________；（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为________；（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．请从下列A、B两题中任选一条作答．A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含n，b的式子表示）；B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n 个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含m，n，b的式子表示）．【答案】（1）（2）（3）；；或；或【解析】【解答】（解：（1）∵点H是AD的中点，∴AH= AD，∵正方形AEOH∽正方形ABCD，∴相似比为： == ；故答案为：；（ 2 ）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，∴△ACD与△ABC相似的相似比为：，故答案为：；（ 3 ）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，∴AF：AB=AB：AD，即 a：b=b：a，∴a= b；故答案为：②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和 a，则b： a=a：b，∴a= b；故答案为：B、①如图2，由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，∴DN= b，Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，∵矩形FMND∽矩形ABCD，∴FD：DN=AD：AB，即FD： b=a：b，解得FD= a，∴AF=a﹣ a= a，∴AG= = = a，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即 a：b=b：a得：a= b；Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，∵矩形DFMN∽矩形ABCD，∴FD：DN=AB：AD即FD： b=b：a解得FD= ，∴AF=a﹣ = ，∴AG= = ，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即：b=b：a，得：a= b；故答案为：或；②如图3，由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，∴DN= b，Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，∵矩形FMND∽矩形ABCD，∴FD：DN=AD：AB，即FD： b=a：b，解得FD= a，∴AF=a﹣ a，∴AG= = = a，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即 a：b=b：a得：a= b；Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，∵矩形DFMN∽矩形ABCD，∴FD：DN=AB：AD即FD： b=b：a解得FD= ，∴AF=a﹣，∴AG= = ，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即：b=b：a，得：a= b；故答案为： b或 b．【分析】由题意可知，用相似多边形的性质即可求解。
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初三数学相似提高练习与常考题和培优综合题(含解析) 一．选择题（共19小题）1．如果2x=3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（）A．=B．=3 C．= D．=2．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（）A．B．C．D．3．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，=，要使DE∥BC，还需满足下列条件中的（）A．=B．=C．=D．=4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（）A．B．C．D．5．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A． B．C．D．6．如图，已知D是△ABC中的边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分线交边AC于E，交AD于F，那么下列结论中错误的是（）A．△BDF∽△BEC B．△BFA∽△BEC C．△BAC∽△BDA D．△BDF∽△BAE 7．如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（）A．∠DAC=∠ABC B．AC是∠BCD的平分线C．AC2=BC•CD D．=8．在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D=60°，∠E=80°，，那么∠B的度数是（）A．40°B．60°C．80°D．100°9．如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么△AEF和△ABC的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：910．在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E，F分别在线段AB，CD上），记它们的面积分别为S ABCD和S BFDE，现给出下列命题：①若=，则tan ∠EDF=；②若DE2=BD•EF，则DF=2AD，则（）A．①是假命题，②是假命题B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题D．①是真命题，②是真命题11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（）△ACDA．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：612．小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米B．40米C．90米D．80米13．如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，BE，AD分别为∠ABC，∠CAB 的角平分线，AB=6，则DE的长为（）A．3 B．3 C．3 D．514．如图，AB，CD都垂直于x轴，垂足分别为B，D，若A（6，3），C（2，1），则△OCD与四边形ABDC的面积比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：815．如图，在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（）A．=B．AD，AE将∠BAC三等分C．△ABE≌△ACD D．S△ADH=S△CEG16．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（）A．B．C．D．17．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：2518．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB 交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（）A．1：B．1：C．1：2 D．2：319．如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．C．D．二．填空题（共11小题）20．已知：3a=2b，那么= ．21．如图，D为△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中是AD和AB的比例中项．22．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，△ADE∽△ABC，如果AB=4，BC=5，AC=6，AD=3，那么△ADE的周长为．23．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是边AB的中点，现有一点P位于边AC上，使得△ADP与△ABC相似，则线段AP的长为．24．如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与△OPQ相似，那么这个三角形是．25．如图，点M是△ABC的角平分线AT的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点M，且∠ADE=∠C，那么△ADE和△ABC的面积比是．26．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，联结DE，交对角线AC于点F，如果=，CD=6，那么AE= ．27．如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E 是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值为．28．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，联结CE并延长，交对角线BD于点F，交BA的延长线于点G，如果DE=2AE，那么CF：EF：EG= ．29．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，DO：BO=1：2，点E在CB的延长线上，如果S△AOD：S△ABE=1：3，那么BC：BE= ．30．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则S△EDF：S△BFC：S△BCD等于．三．解答题（共10小题）31．如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于E，点F是DE延长线上一点，联结AF．（1）如果=，DE=6，求边BC的长；（2）如果∠FAE=∠B，FA=6，FE=4，求DF的长．32．已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边AB、BC上，∠ACD=∠B，AG与CD相交于点F．（1）求证：AC2=AD•AB；（2）若=，求证：CG2=DF•BG．33．如图，AC是圆O的直径，AB、AD是圆O的弦，且AB=AD，连结BC、DC．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）延长AB、DC交于点E，若EC=5cm，BC=3cm，求四边形ABCD的面积．34．如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DG•CF=DM•EG；（2）在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．35．已知：如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BE⊥DC，垂足为点E，交AC于点F．求证：（1）△ABF∽△BED；（2）=．36．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2=CE•CB．（1）求证：AE⊥CD；（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB．37．如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3．（1）求EF的长；（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．38．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2=GE•GD．（1）求证：∠ACF=∠ABD；（2）连接EF，求证：EF•CG=EG•CB．39．如图，已知正方形ABCD，点E在CB的延长线上，联结AE、DE，DE与边AB交于点F，FG∥BE且与AE交于点G．（1）求证：GF=BF．（2）在BC边上取点M，使得BM=BE，联结AM交DE于点O．求证：FO•ED=OD•EF．40．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E是边BC上的两个点，且BD=DE=EC，过点C作CF∥AB交AE延长线于点F，连接FD并延长与AB交于点G；（1）求证：AC=2CF；（2）连接AD，如果∠ADG=∠B，求证：CD2=AC•CF．41．已知点E在△ABC内，∠ABC=∠EBD=α，∠ACB=∠EDB=60°，∠AEB=150°，∠BEC=90°．（1）当α=60°时（如图1），①判断△ABC的形状，并说明理由；②求证：BD=AE；（2）当α=90°时（如图2），求的值．42．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）43．如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A、B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）44．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．45．如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12）．动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿x轴向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC方向运动；当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段PQ和OB相交于点D，过点D作DE∥x轴，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）．（1）当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形．（2）△PQF的面积是否发生变化？若变化，请求出△PQF的面积s关于时间t 的函数关系式；若不变，请求出△PQF的面积．（3）随着P、Q两点的运动，△PQF的形状也随之发生了变化，试问何时会出现等腰△PQF？相似提高题与常考题和培优题(含解析)参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．（2017•徐汇区一模）如果2x=3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（）A．=B．=3 C．= D．=【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的是哪个即可．【解答】解：∵2x=3y，∴=，∴选项A不正确；∵2x=3y，∴=，∴==3，∴选项B正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴选项C不正确；∵2x=3y，∴==，∴∴选项D不正确．故选：B．【点评】此题主要考查了比例的性质和应用，要熟练掌握．2．（2017•浦东新区一模）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（）A．B．C．D．【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定得出即可．【解答】解：只有选项C正确，理由是：∵AD=2，BD=4，=，∴==，∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，根据选项A、B、D的条件都不能推出DE∥BC，【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．3．（2017•静安区一模）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，=，要使DE∥BC，还需满足下列条件中的（）A．=B．=C．=D．=【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定得出即可【解答】解：只有选项D正确，理由是：∵AD=2，BD=4，=，∴==，∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，根据选项A、B、C的条件都不能推出DE∥BC，故选D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．4．（2017•普陀区一模）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例，可以解答本题．【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴，∵AH=2，BH=1，BC=5，∴AB=AH+BH=3，∴，∴，故选D．【点评】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．5．（2017•郑州一模）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A． B．C．D．【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．6．（2017•闵行区一模）如图，已知D是△ABC中的边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分线交边AC于E，交AD于F，那么下列结论中错误的是（）A．△BDF∽△BEC B．△BFA∽△BEC C．△BAC∽△BDA D．△BDF∽△BAE 【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断．【解答】解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA．故C正确．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴△BFA∽△BEC．故B正确．∴∠BFA=∠BEC，∴∠BFD=∠BEA，∴△BDF∽△BAE．故D正确．而不能证明△BDF∽△BEC，故A错误．故选A．【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角．7．（2017•普陀区一模）如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（）A．∠DAC=∠ABC B．AC是∠BCD的平分线C．AC2=BC•CD D．=【分析】已知∠ADC=∠BAC，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；D选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．【解答】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC=∠BAC，如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：①∠DAC=∠ABC或AC是∠BCD的平分线；②=；故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．8．（2017•杨浦区一模）在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D=60°，∠E=80°，，那么∠B的度数是（）A．40°B．60°C．80°D．100°【分析】根据可以确定对应角，根据对应角相等的性质即可求得∠B的大小，即可解题．【解答】解：∵，∴∠B与∠D是对应角，故∠B=∠D=60°．故选B．【点评】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，考查了对应边比值相等的性质，本题中求∠B和∠D是对应角是解题的关键．9．（2017•松江区一模）如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么△AEF和△ABC的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9【分析】由△AEF∽△ABC，可知△AEF与△ABC的周长比=AE：AB，根据cosA==，即可解决问题．【解答】解：∵BE、CF分别是AC、AB边上的高，∴∠AEB=∠AFC=90°，∵∠A=∠A，∴△AEB∽△AFC，∴=，∴=，∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB，∵cosA==，∴∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB=1：3，故选B．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．10．（2017•海宁市校级模拟）在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E，F分别在线段AB，CD上），记它们的面积分别为S ABCD和S BFDE，现给出下列命题：①若=，则tan∠EDF=；②若DE2=BD•EF，则DF=2AD，则（）A．①是假命题，②是假命题B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题D．①是真命题，②是真命题【分析】①由已知先求出cos∠BFC=，再求出tan∠EDF，即可判断；②由S△DEF=DF•AD=BD•EF，及DE2=BD•EF，可得DF•AD=DF2，即DF=2AD．【解答】解：①设CF=x，DF=y，BC=h．∵四边形BFDE是菱形，∴BF=DF=y，DE∥BF．∵若=，∴=，∴=，即cos∠BFC=，∴∠BFC=30°，∵DE∥BF，∴∠EDF=∠BFC=30°，∴tan∠EDF=，所以①是真命题．②∵四边形BFDE是菱形，∴DF=DE．∵S△DEF=DF•AD=BD•EF，又∵DE2=BD•EF（已知），∴S△DEF=DE2=DF2，∴DF•AD=DF2，∴DF=2AD，所以②是真命题．故选D．【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的性质、锐角三角函数、三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用面积法确定两条线段之间的关系，属于中考常考题型．11．（2017•青浦区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD 相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6【分析】首先根据S△ACD：S△ABC=1：2，可得AD：BC=1：2；然后根据相似三角形的面积的比的等于它们的相似比的平方，求出S△AOD：S△BOC是多少即可．【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，而且S△ACD：S△ABC=1：2，∴AD：BC=1：2；∵AD∥BC，∴△AOD～△BOC，∵AD：BC=1：2，∴S△AOD：S△BOC=1：4．故选：B．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，要熟练掌握．12．（2017•松江区一模）小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米B．40米C．90米D．80米【分析】在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，利用对应边成比例可得所求的高度．【解答】解：∵在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，∴1.5：2=教学大楼的高度：60，解得教学大楼的高度为45米．故选A．【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：在相同时刻，物高与影长的比相同．13．（2017春•萧山区校级月考）如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，BE，AD分别为∠ABC，∠CAB的角平分线，AB=6，则DE的长为（）A．3 B．3 C．3 D．5【分析】连结OE，OD．先证明∠CAB+∠CBA=90°，由角平分线的定义可证明∠DAB+∠EBA=45°，接下来，利用圆周角定理可知可证明∠AOE+∠BOD=90°，则△EOD为等腰直角三角形，最后利用特殊锐角三角函数值可求得ED的长．【解答】解：连结OE，OD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠CAB+∠CBA=90°．∵BE，AD分别为∠ABC，∠CAB的角平分线，∴∠DAB+∠EBA=45°．由圆周角定理可知∠AOE=2∠ABE，∠DOB=2∠DAB，∴∠AOE+∠BOD=90°．∴∠EOD=90°．∵AB=6，∴OE=OD=3．∴ED=OE=3．故选：B．【点评】本题主要考查的是圆周角定理以及其推理的应用、特殊锐角三角函数值，得到△EOD为等腰直角三角形是解题的关键．14．（2017春•萧山区校级月考）如图，AB，CD都垂直于x轴，垂足分别为B，D，若A（6，3），C（2，1），则△OCD与四边形ABDC的面积比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：8【分析】先求得线段OA所在直线的解析式，从而可判断点C在直线OA上，根据△OCD∽△OAB得=（）2=，继而可得答案．【解答】解：设OA所在直线为y=kx，将点A（6，3）代入得：3=6k，解得：k=，∴OA所在直线解析式为y=x，当x=2时，y=×2=1，∴点C在线段OA上，∵AB，CD都垂直于x轴，且CD=1、AB=3，∴△OCD∽△OAB，∴=（）2=，则△OCD与四边形ABDC的面积比为1：8，故选：D．【点评】本题主要考查坐标与图形的性质及相似三角形的判定与性质，根据题意判断出点O、C、A三点共线是利用相似三角形的判定与性质得前提和关键．15．（2016•威海）如图，在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分线交BC 于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（）A．=B．AD，AE将∠BAC三等分C．△ABE≌△ACD D．S△ADH=S△CEG【分析】由题意知AB=AC、∠BAC=108°，根据中垂线性质得∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，从而知△BDA∽△BAC，得=，由∠ADC=∠DAC=72°得CD=CA=BA，进而根据黄金分割定义知==，可判断A；根据∠DAB=∠CAE=36°知∠DAE=36°可判断B；根据∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE=72°可得∠BAE=∠CAD，可证△BAE≌△CAD，即可判断C；由△BAE ≌△CAD知S△BAD=S△CAE，根据DH垂直平分AB，EG垂直平分AC可得S△ADH=S，可判断D．△CEG【解答】解：∵∠B=∠C=36°，∴AB=AC，∠BAC=108°，∵DH垂直平分AB，EG垂直平分AC，∴DB=DA，EA=EC，∴∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，∴△BDA∽△BAC，∴=，又∵∠ADC=∠B+∠BAD=72°，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=72°，∴∠ADC=∠DAC，∴CD=CA=BA，∴BD=BC﹣CD=BC﹣AB，则=，即==，故A错误；∵∠BAC=108°，∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，∴∠DAE=∠BAC﹣∠DAB﹣∠CAE=36°，即∠DAB=∠DAE=∠CAE=36°，∴AD，AE将∠BAC三等分，故B正确；∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=72°，∠CAD=∠CAE+∠DAE=72°，∴∠BAE=∠CAD，在△BAE和△CAD中，∵，∴△BAE≌△CAD，故C正确；由△BAE≌△CAD可得S△BAE=S△CAD，即S△BAD+S△ADE=S△CAE+S△ADE，∴S△BAD=S△CAE，又∵DH垂直平分AB，EG垂直平分AC，∴S△ADH=S△ABD，S△CEG=S△CAE，∴S△ADH=S△CEG，故D正确．故选：A．【点评】本题主要考查黄金分割、全等三角形的判定与性质及线段的垂直平分线的综合运用，掌握其性质、判定并灵活应用是解题的关键．16．（2016•淄博）如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（）A．B．C．D．【分析】先作出作BF⊥l3，AE⊥l3，再判断△ACE≌△CBF，求出CE=BF=3，CF=AE=4，然后由l2∥l3，求出DG，即可．【解答】解：如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACE=90°，∵∠BCF+∠CFB=90°，∴∠ACE=∠CBF，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF，∴CE=BF=3，CF=AE=4，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7∴AB==5，∵l2∥l3，∴=∴DG=CE=，∴BD=BG﹣DG=7﹣=，∴=．故选A．【点评】此题是平行线分线段成比例试题，主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解本题的关键是构造全等三角形．17．（2016•随州）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到=，==，结合图形得到=，得到答案．【解答】解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，∴=，∵DE∥AC，∴==，∴=，∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．18．（2016•泰安）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE 平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（）A．1：B．1：C．1：2 D．2：3【分析】由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据已知条件得到，根据三角形的角平分线定理得到=，求出AD=AB，BD=AB，过C作CF⊥AB于F，连接OE，由CE平分∠ACB交⊙O于E，得到OE⊥AB，求出OE=AB，CF=AB，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠B=30°，∴，∵CE平分∠ACB交⊙O于E，∴=，∴AD=AB，BD=AB，过C作CF⊥AB于F，连接OE，∵CE平分∠ACB交⊙O于E，∴=，∴OE⊥AB，∴OE=AB，CF=AB，∴S△ADE：S△CDB=（AD•OE）：（BD•CF）=（）：（）=2：3．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的角平分线定理，三角形的面积的计算，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．19．（2016•泸州）如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F 在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．C．D．【分析】过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理得到AF===2，根据平行线分线段成比例定理得到OH=AE=，由相似三角形的性质得到==，求得AM=AF=，根据相似三角形的性质得到==，求得AN=AF=，即可得到结论．【解答】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2∵BF=2FC，BC=AD=3，∴BF=AH=2，FC=HD=1，∴AF===2，∵OH∥AE，∴==，∴OH=AE=，∴OF=FH﹣OH=2﹣=，∵AE∥FO，∴△AME∽FMO，∴==，∴AM=AF=，∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，∴==，∴AN=AF=，∴MN=AN﹣AM=﹣=，故选B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出辅助线，求出AN与AM的长是解题的关键．二．填空题（共11小题）20．（2017•闵行区一模）已知：3a=2b，那么= ﹣．【分析】由3a=2b，可得=，可设a=2k，那么b=3k，代入，计算即可求解．【解答】解：∵3a=2b，∴=，∴可设a=2k，那么b=3k，∴==﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了比例的基本性质，是基础题，利用设“k”法比较简单．21．（2017•宝山区一模）如图，D为△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC 时，那么图中AC 是AD和AB的比例中项．【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ACD∽△ABC的关系，根据相似三角形的性质，可得答案．【解答】解：在△ACD与△ABC中，∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴=，∴AC是AD和AB的比例中项．故答案为AC．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，比例线段，得出△ACD∽△ABC 是解题的关键．22．（2017•静安区一模）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，△ADE ∽△ABC，如果AB=4，BC=5，AC=6，AD=3，那么△ADE的周长为．【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的性质求出DE及AE的长，进而可得出结论．【解答】解：如图，∵△ADE∽△ABC，∴==，即==，解得DE=，AE=，∴△ADE的周长=AD+AE+DE=3++=；故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．23．（2017•黄浦区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是边AB的中点，现有一点P位于边AC上，使得△ADP与△ABC相似，则线段AP 的长为4或．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再分△ADP∽△ABC与△ADP∽△ACB 两种情况进行讨论即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB==10．∵D是边AB的中点，∴AD=5．当△ADP∽△ABC时，=，即=，解得AP=4；当△ADP∽△ACB时，=，即=，解得AP=．故答案为：4或．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．24．（2017•闵行区一模）如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与△OPQ相似，那么这个三角形是△CDB ．【分析】连接BC、BD，由正方形的性质得出∠BCD=∠QOP，由勾股定理得：OP=BC=，证出，得出△OPQ∽△CDB即可．【解答】解：与△OPQ相似的是△BCD；理由如下：连接BC、BD，如图所示：则∠BCD=90°+45°=135°=∠QOP，由勾股定理得：OP=BC=，∵OQ=2，CD=1，∴，∴△OPQ∽△CDB；故答案为：△CDB．【点评】本题考查了相似三角形的判定定理、正方形的性质以及勾股定理；熟练掌握相似三角形的判定定理和勾股定理是解决问题的关键．25．（2017•浦东新区一模）如图，点M是△ABC的角平分线AT的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点M，且∠ADE=∠C，那么△ADE和△ABC的面积比是1：4 ．【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：∵AT是△ABC的角平分线，∵点M是△ABC的角平分线AT的中点，∴AM=AT，∵∠ADE=∠C，∠BAC=∠BAC，∴△ADE∽△ACB，∴=（）2=（）2=1：4，故答案为：1：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．26．（2017•闵行区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，联结DE，交对角线AC于点F，如果=，CD=6，那么AE= 4 ．【分析】由=推出AF：FC=2：3，由四边形ABCD是平行四边形，推出CD∥AB，推出==，由此即可解决问题．【解答】解：∵=，∴AF：FC=2：3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴△AEF∽△CDF，∴==，∵CD=6，∴AE=4，故答案为4．【点评】本题考查相似三角形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，求出AF：CF的值是关键，属于中考常考题型．27．（2017•徐汇区一模）如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP ⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值为．【分析】如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．根据•AP•BE=•DF•AQ，利用勾股定理求出BE、DF即可解决问题．【解答】解：如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD=120°，∴S△ABE=S△ADF=S平行四边形ABCD，在Rt△CDH中，∵∠H=90°，CD=AB=2a，∠DCH=60°，∴CH=a，DH=a，在Rt△DFH中，DF===2a，在Rt△ECG中，∵CE=a，∴CG=a，GE=a，在Rt△BEG中，BE===a，∴•AP•BE=•DF•AQ，∴==，故答案为．【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法求线段的长，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．28．（2017•青浦区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，联结CE并延长，交对角线BD于点F，交BA的延长线于点G，如果DE=2AE，那么CF：EF：EG= 6：4：5 ．【分析】设AE=x，则DE=2x，由四边形ABCD是平行四边形得BC=AD=AE+DE=3x，AD∥BC，证△GAE∽△GBC、△DEF∽△BCF得==、==，即=，设EF=2y，则CF=3y、GE=y，从而得出答案．【解答】解：设AE=x，则DE=2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=AE+DE=3x，AD∥BC，∴△GAE∽△GBC，△DEF∽△BCF，∴==，==，∴=，设EF=2y，则CF=3y，∴EC=EF+CF=5y，∴GE=y，则CF：EF：EG=3y：2y：y=6：4：5，故答案为：6：4：5．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．29．（2017•金山区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O 点，DO：BO=1：2，点E在CB的延长线上，如果S△AOD：S△ABE=1：3，那么BC：BE= 2：1 ．【分析】由平行线证出△AOD∽△COB，得出S△AOD：S△COB=1：4，S△AOD：S△AOB=1：2，由S△AOD：S△ABE=1：3，得出S△ABC：S△ABE=2：1，即可得出答案．【解答】解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∵DO：BO=1：2，∴S△AOD：S△COB=1：4，S△AOD：S△AOB=1：2，∵S△AOD：S△ABE=1：3，∴S△ABC：S△ABE=6：3=2：1，∴BC：BE=2：1．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、梯形的性质以及三角形的面积关系；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．30．（2017春•萧山区月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则S△EDF：S△BFC：S△BCD等于1：4：6 ．【分析】先根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，再由三角形中位线定理得到DE=BC，证明△DEF∽△BCF，然后根据相似三角形的性质和三角形的面积关系求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵点E是边AD的中点，∴DE=BC，∵DE∥BC，∴△EDF∽△BFC，相似比为=，∴=（）2=，=，∴S△EDF：S△BFC：S△BCD=1：4：6；故答案为：1：4：6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．三．解答题（共10小题）31．（2017•闵行区一模）如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于E，点F是DE延长线上一点，联结AF．（1）如果=，DE=6，求边BC的长；（2）如果∠FAE=∠B，FA=6，FE=4，求DF的长．【分析】（1）由DE与BC平行，得到两对同位角相等，进而得到三角形ADE 与三角形ABC相似，由相似得比例求出BC的长即可；（2）由两直线平行得到一对同位角相等，再由已知角相等等量代换得到∠FAE=∠ADF，根据公共角相等，得到三角形AEF与三角形ADF相似，由相似得比例求出DF的长即可．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴==，∵DE=6，∴BC=9；（2）∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∵∠B=∠FAE，∴∠FAE=∠ADE，∵∠F=∠F，∴△AEF∽△DAF，∴=，∵FA=6，FE=4，【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．32．（2017•杨浦区一模）已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边AB、BC 上，∠ACD=∠B，AG与CD相交于点F．（1）求证：AC2=AD•AB；（2）若=，求证：CG2=DF•BG．【分析】（1）证明△ACD∽△ABC，得出对应边成比例AC：AB=AD：AC，即可得出结论；（2）由相似三角形的性质得出∠ADF=∠ACG，由已知证出△ADF∽△ACG，得出∠DAF=∠CAF，AG是∠BAC的平分线，由角平分线得出，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴AC：AB=AD：AC，∴AC2=AD•AB；（2）证明：∵△ACD∽△ABC，∴∠ADF=∠ACG，。