概率统计和随机过程课件第五章随机变量的数字特征

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随机过程课件打印版

当An An 1 , n 1
当An An 1 , n 1
9
A1 A2
连续性定理
A1 A2

则称P为（Ω，F）上的概率，（Ω，F，P）称为概率空间，P（A）为事件A的概率。
An Ai 新事件：lim n i 1
lim An Ai
n i 1
3 对于R n中的任意区域， a1 , b1; a2 , b2 ;;a n , bn ，其中 ai bi , i 1,, n
F b1 , b2 ,, bn F b1 ,, bi 1 , ai , bi 1 ,bn F b1 ,, bi 1 , ai , bi 1 ,, b j 1 , a j , b j 1 ,, bn ，
d P({e : g( X ) y, e X }) dy
如果上式右端概率的导数对于y处处存在，那么这个导数就给出了随机变量Y的概率密度
fY ( y)
19
20
n维联合分布函数F x1 , x 2 , x n 具有下列性质 :
三、边缘分布
若二维联合分布函数中有一个变元趋于无穷，则其极限函数便是一维分布函数，对于这种特殊性质，我们称其为边缘分布。对于任意两个随机变量X,Y，其联合分布函数为： F ( x, y ) 则： FX ( x ) P ( X x ) P ( X x , Y ) F ( x , )
P( X x,Y y) P((X x) (Y y)) P( X x)P(Y y)kFra biblioteknpkq
nk
, k 0 ,1 , 2 n
p
P(X k)

k
k!

107518-概率统计随机过程课件-第五章(第三,四节 )

第三节常用随机变量的数学期望和方差数学期望和方差的定义及计算公式 (一)离散型随机变量的数学期望和方差}{iiix X P x EX ==∑,}{)()]([iiix X P x g X g E ==∑,}{)(2iiix X P EX x DX =-=∑,222)()(EX EX EX X E DX -=-=,},{),()],([jiijjiy Y x X P y x g Y X g E ===∑∑,(二) 连续型随机变量的数学期望和方差⎰+∞∞-=dx x xf EX )(,⎰+∞∞-=dx x f x g X g E )()()]([,⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y x g Y X g E ),(),()],([, ⎰+∞∞-=dx x xf EX X)(⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xf ),(, ⎰+∞∞-=dy y yf EY Y)(⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x yf ),(222)()(EX EX EX X E DX -=-=,⎰+∞∞--=dx x f EX x DX )()(2,nnnR ndxdx dx x x x f x x x g X X X g E n⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⎰21212121),,,(),,,()],,,([ .(三) 数学期望和方差的性质 b EX k b X k E ini iini i+=+∑∑==11)(,若X 与Y 相互独立,则EY EX XY E ⋅=)(,DY b DX a c bY aX D 22)(+=++,若nX X X ,,,21⋅⋅⋅相互独立,则nnEX EX EX X X X E ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅2121)(,ini iin i iDX k b X k D ∑∑===+121)( ,例1 设X 服从(0—1)分布:求EX ,DX .解 p p p EX =-⨯+⨯=)1(01,p p p EX =-⨯+⨯=)1(01222, )1()(222p p p p EX EX DX -=-=-=.例2 设X 服从二项分布),(p n B , 即 kn kknp p C k X P --==)1(}{ ,n k ,,1,0⋅⋅⋅= 求EX ,DX .解 (由于直接比较繁杂,采用分解的方法)若nX X X ,,,21⋅⋅⋅相互独立, 同服从(0—1)分布,p X P p X P ii-====1}0{,}1{, n i ,,1⋅⋅⋅=,则 ),(~1p n B X X ni i∑==,p EX i=, )1(p p DX i -=.np p X E X E EX ni in i n i i====∑∑∑===111)(,∑∑====ni in i i DX X D DX 11)()1()1(1p np p p ni -=-=∑= .例 3 设X 服从泊分布)(λ∏，即!}{k e k X P kλλ-== ，⋅⋅⋅=,2,1,0k求EX ,DX .解 ∑∑∞+=∞+=----=⋅=011)!1(!k k k kk ek e k EX λλλλλλλλλ=⋅=-e e ，∑∑∞+=∞+=---=⋅=0122)!1(!k k kkk ke k e k EX λλλλ∑+∞=--+-=1)!1(]1)1[(k kk k e λλ222)!2(λλλ∑∞+=---=k k k e λλλ∑∞+=---+11)!1(k k k eλλλλλλλλ+=⋅+⋅=--22e e e e ，于是λλλλ=-+=-=2222)()(EX EX DX 。

通信原理-随机过程课件

一个随机过程在时间上是否具有某种稳定的统计特性。如果一个随机过程在长时间观察下表现出稳定的统计特性，则称该随机过程具有遍历性。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常需要进行线性变换以实现调制、解调、滤波等操作。
控制系统
在控制系统中，线性变换被广泛应用于系统的分析和设计，如传递函数、状态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换被广泛应用于图像的增强、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布，是描述随机信号频域特性的重要参数。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来定义，将随机信号的时域表示转换为频域表示。

随机变量及数字特征PPT课件

三、连续型随机变量
1、连续型随机变量及其分布密度若随机变量 X ，存在非负函数 f (x) ，有
b
P (a X b ) P { X [a ,b ]} af(x )d x
则称 X 为连续型随机变量，称函数 f (x) 为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。
密度函数 f (x) 的性质：
概率 P(aXb) 就是面积值
例1 设随机变量 X 有概率密度
f(x) 0 A
axb(ab) 其它
则称 X 服从区间[a，b ]上的均匀分布（常用分布），
试求常数A。
解由密度函数的性质可得： f(x)dx1
得

f (x)dx
b
A dx A x
b
A(ba)1
解：设 1 元本金所带来的赢利为 X 元，
费站的汽车数不超过3辆的概率。
解：由于 X～P(10)，所求概率为
P{X 3} P { X 0 } P { X 1 } P { X 2 } P { X 3 }
14 100e 1010e 10102e 10103e 10 0! 1 ! 2! 3! 0.0103
X0 1 2 3 4 5
p p0 p1 p2 p3 p4 p5
（2）恰有 3 人反应为阳性的概率。
P ( X 3 ) P 3 C 5 3 0 .4 5 3 0 .5 5 5 3 0.275653
例4 （3）求至少有 2 人反应为阳性的概率。 X B(5 , 0.45)
用 X 表示在 n 次试验中事件A发生的次数，则
P { X k } C n kp k( 1 p )n k
（1）、二项分布若一个随机变量 X 的概率分布律是：

随机变量和随机过程的数字特征比较PPT教学课件

源自32020/12/10
4
注：随机变量的二阶矩函数反映两个随机变量的关联程度。随机过程的自相关函数表征了该随机过程在两个时刻
之间的关联程度。
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5
四、随机变量的相关系数&随机过程的自相关系数函数
区别：随机变量的相关系数反映两个随机变量之间的线性关联程
度；随机过程的自相关系数函数反映随机过程在任意两个时刻
的的线性关联程度
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7
随机变量和随机过程的数字特征比较
一、数学期望
区别：
随机变量的数学期望描述的是随机变量的集中特性，是统计平均或集合平均，常简称均值，与时间无关。
随机过程X(t)的数学期望是一个确定的时间函数，是随机过程在某时刻t的的统计平均，每个样本函数都是在它的上下摆动。
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1
二、方差
区别：
随机变量的方差是用来度量随机变量偏离其数学期望的程度，或者说是随机变量在数学期望附近的离散程度，它描述的是随机变量取值分布的离散特性。
随机过程的方差描述的随机过程所有的样本函数相对于数学期望的离散程度，它是时间的函数。
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三、随机变量的矩函数&随机过程的自相关函数
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(高等数学)概率统计与随机过程

λk
k!
e −λ
式中 λ = np。
二、
随机变量与分布函数
[随机变量及其概率分布函数]
每次试验的结果可以用一个变量 ξ 的数值来表示，这个变量的
取值随偶然因素而变化，但又遵从一定的概率分布规律，这种变量称为随机变量，用 ξ ,η ,···表示。它是随机现象的数量比。给定随机变量 ξ ，它的取值不超过实数 x 的事件的概率 P( ξ ≤ x)是 x 的函数，称为 ξ 的概率分布函数，简称分布函数，记作 F(x) ，即 F(x)=P( ξ ≤ x ) [分布函数的基本性质] 1° lim F ( x ) = 0 lim F ( x ) = 1
f ( xk ) ≤ x
∑p
k
当 ξ 是连续型随机变量时，其分布密度为 p(x)，则 G(x)=
∫
f ( y )≤ x
p( y) d y
[随机矢量的联合分布函数与边缘分布函数]
如果 ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n 联系于同一组条件下的 n 个随机
变量，则称 ξ (ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n )为 n 维随机变量或随机矢量。若(x1 , x2 ,···，xn)是n维实数空间Rn上的一点，则事件“ ξ1 ≤ x1 , ξ 2 ≤ x2 , ···, ξ n ≤ x n 的概率 F ( x1 , x 2 , L, x n ) = P(ξ 1 ≤ x1 , ξ 2 ≤ x 2 , L , ξ n ≤ x n ) 作为x1 , x2 ,···, xn的函数，称为随机矢量 ξ (ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n ) 的联合分布函数。设 ( ξ i1 , ξ i2 , ···, ξ im ) 是 ( ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n ) 中任意取出 m(m ≤ n) 个分量构成的 m 维随机变量，则称 ( ξ i1 , ξ i2 , ···, ξ im ) 的联合分布函数为( ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n ) 的 m 维边缘分布函数。这时，如果分别记 ( ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n ) 与 ( ξ i1 , ξ i2 , ···, ξ im ) 的分布函数为 F(x1,x2,···,xn) 与

随机过程的基本概念以统计特性.ppt

随机性：一次试验，随机过程必取一个样本函数，但所取的样本函数带有随机性。因此，随机过程不仅是时间t 的函数，还是可能结果的函数，记为 X(t, )，简写成 X(t) 。
《随机信号分析》教学组
8
3 、随机过程的定义
定义1：设随机试验E的样本空间为S={ξ}，对其每一个元素 i (i 1,2都,3以)某种法则确定一个样本函数，X由(t,全i )部元素{ξ}
样本函数集合
X (t, ) ＝ X (t,i ), i 1, 2,
为了简便起见，随机过程常省略代表试验结果的参
量ξ。随机过程常用大写字母 X (表t)示,Y，(t样) 本函数常
用小写字母
x (表t),示x，(tk)表, 示, 第x (kt个) 样本函数。
1
2
k
随机过程＝
样本变量集合
X (t, )
由随机过程的定义可知，在确定t值上，随机过程变为随机变量，仪器记录的结果是n维随机变量X(t1),X(t2),…,X(tn)，如果说记录时间间隔△t= ti-ti-1相当小(n足够大)时，多维随机变量 X(t1), X(t2) ,…, X(tn) 可以足够完整表示出随机过程 X(t)。
《随机信号分析》教学组
4
一定义
1.接收机噪声电压观测方式：对相同接收机同时观测
从试验可知，每次得到的结果不同，且变化的规律不能用一个确定的函数来描述
5
0
-5
0
50
100
150
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5
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概率统计基础

1.方差分析的假设条件包括：数据呈正态分布、各组方差相等、样本独立随机抽取。 2.如果假设条件不满足，可能会导致结果不准确或误导性结论。 3.在进行方差分析前，需要对数据进行检验以确保满足假设条件。
方差分析与回归分析
▪ 单因素方差分析
1.单因素方差分析用于比较一个因素多个水平下的均值差异。 2.通过计算F值和P值，可以判断不同组别之间是否存在显著性差异。 3.如果存在显著性差异，需要进一步进行多重比较以确定具体哪些组别之间存在差异。
▪ 多维随机变量的条件概率密度函数
1.条件概率密度函数：在已知部分随机变量取值的情况下，描述剩余随机变量取值的概率密度分布情况的函数。 2.条件概率密度函数的计算：通过联合概率密度函数与边缘概率密度函数的比值得到。
多维随机变量及其分布
▪ 多维随机变量的独立性
1.独立性：如果多维随机变量的联合概率密度函数等于各随机变量边缘概率密度函数的乘积，则称这些随机变量相互独立。 2.判断独立性的方法：通过联合概率密度函数与边缘概率密度函数的比值是否等于1来判断。
▪ 保险精算
1.利用概率模型评估风险：保险精算师使用概率模型来评估潜在的风险，并据此设定保费价格和确定赔付金额。 2.预测损失：通过概率模型，精算师可以预测未来的损失金额，从而确保保险公司的财务稳定性。
▪ 金融衍生品定价
1.随机过程：金融衍生品的价格变动可以通过概率模型，如随机过程，来进行模拟和预测。 2.风险中性概率：在衍生品定价中，利用风险中性概率可以帮助我们确定衍生品的公平价格。
概率统计基础
多维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
▪ 多维随机变量及其分布定义
1.多维随机变量：在一个随机试验中，如果每个可能的结果可以用多个数值来表示，这些数值构成的向量就称为多维随机变量。 2.分布函数：用来描述多维随机变量的概率分布情况的函数，给出任意取值范围内的概率。

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9
例2 X ~ N ( , 2 ), 求 E ( X ) .
解 E( X ) x
令 x

1 2

( x ) 2
2
2
e
dx
v
2

v

（v ）
1 2

e
2
dv

10
常见随机变量的数学期望
分布参数为p 的 0-1分布 B(n,p) P()
k
k 1 n
n! k!( n k )!
p (1 p )
k
nk
np
k 1
( n 1)! ( k 1)!( n k )!
k k
p
k 1
(1 p )
( n 1) ( k 1)
np Cn1 p (1 p )
k 0
n 1
( n 1) k
np
数学期望的性质
成立的条件？注意：X ,Y 相互独立
22
y Y E f ( x, y )dxdy X x 21 1 1 2 dx y (1 3 y )dy 0 0 2 2

5 8
23
例4 设 (X ,Y ) ~ N (0,1;0,1;0),
胜者甲甲乙甲
甲
乙
乙
4
引例2 测量 50 个圆柱形零件直径（见下表）
尺寸（cm） 8 数量（个） 8
9 10 11 12
7 15 10 10 50
则这 50 个零件的平均直径为
8 8 9 7 10 15 1110 12 10 50 10.14cm
5
换一个角度看，从这50个零件中任取一个零件，它的尺寸为随机变量X , 则X 的概率分布为
求Z
X Y
2
2
பைடு நூலகம்
的数学期望.
2 2 解 E (Z ) x y f ( x, y ) dxdy

2 0
x y
2
0
2
1 2

x y 2
2
2
e
dxdy

1 2

re 2 rdr d
r
2
(计算)
4
xdx (1 3 y )dy
2 0
1
4 3

1 4
0
xdx y (1 3 y )dy
2 0
1
5 8
20
E( X Y )

( x y ) f ( x, y )dxdy

xf ( x, y )dxdy yf ( x, y )dxdy
数学期望的性质
E ( X ) E (Y )
4 3 5 8 47 24
21
E ( XY )
x
0 2
( xy) f ( x, y )dxdy
1

1
xdx y (1 3 y )dy 0 2 2
2
1
4 5 5 3 8 6
E ( X ) E (Y )
P( X xk ) pk , k 1,2,
若无穷级数
xk p k
k 1

绝对收敛，则称其和为随机变量 X 的数学期望
记作 E( X )
E ( X ) xk p k
k 1
7

定义2 设 X 为连续型随机变量, 其密度函数为
f (x)
若广义积分
xf ( x)dx
例如：Cauchy分布的密度函数为
f ( x)

1
(1 x )
2
,
x | x|
2
但 | x | f ( x)dx
(1 x )
dx
发散
它的数学期望不存在
（为什么?）
13
随机变量函数的数学期望设X 为离散型随机变量，概率分布为
x
0
(1 e
x
) dx
4
137 60
E (M ) E( N )

137 1
60
11
5
可见，并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿命长11倍之多.
28

D1
y
1 2

x y 2
2
2
e
x
2
dxdy x
D2
1 2

x y 2
2
2
e
dxdy
y
2

2
第五章随机变量的数字特征
分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的某些特征，因而不需要求出它的分布函数. 例如：
评定某企业的经营能力时，只要知道该企业人均赢利水平；研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平均粒数及每粒的平均重量；
检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，又要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好;
1 , f ( x ) b a 0, x e , f ( x) 0,
期望
a x b, a b 其它
2 1
x 0, 其它
( x ) 2
2 2

N(,
2)
f ( x)
1 2
e

12
注意：不是所有的随机变量都有数学期望
P( X xi ) pi , i 1,2,
Y = g(X ), 若级数
g ( xi ) pi
i 1

绝对收敛，则
E (Y )
g(x ) p
i i 1

i
14
设X 为连续型随机变量，密度函数为f (x) Y = g(X ), 若广义积分

g ( x) f ( x)dx
E (max{ X , Y }) E (min{ X , Y })

31
数学期望的性质
E (C ) = C
E (aX ) = a E (X ) E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
E ai X i C ai E ( X i ) C i 1 i 1
k 1, 2 ,, 5
(1 e ) , FM ( x) Fk ( x) 0, k 1
5
5
x
x 0, 其它，
5e f M ( x)
x
(1 e 0,
x
) ,
4
x 0, 其它，
27
E (M )

xf M ( x) dx 5xe
绝对收敛，则称此积分为随机变量 X 的数学期望
记作 E( X )
E ( X ) xf ( x)dx

随机变量的数学期望的本质 —— 加权平均，它是一个数不再是随机变量
8
例1
X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) .
n k 0
n
解 E ( X ) kCnk p k (1 p) nk
k 1, 2 ,, 5
FN ( x) 1 (1 Fk ( x)),
k 1
5
1 e 0,
5 x
,
x 0, 其它，
26
5e f N ( x) 0,
5 x
,
x 0, 其它，
即 N ~ E( 5),
E(N )
1 5
(2) 设整机寿命为 M max { X k }
概率分布
P ( X 1) p P ( X 0) 1 p
P ( X k ) Cn p (1 p )
k k nk
期望
p
k 0,1,2,, n
P( X k )
np
e
k

k! k 0,1,2,

11
分布
区间(a,b)上的均匀分布 E()
概率密度
2
§5.1 随机变量的数学期望
引例1 甲乙两学生参加数学竞赛, 观察其胜负初复决赛赛赛甲乙总加权平均成算术绩平均 3:3:4 2:3:5 2:2:6 73.7 70.0 66.8 73.2 70.1 67.8
90 85 53 228 76 88 80 57 225 75 甲
X
P
8
8 50
9
7 50
10
15 50
11
10 50
12
10 50
则这 50 个零件的平均直径为
D k P( X k ) kpk 10.14
k 8 k 8 12 12
称之为这 5 个数字的加权平均，数学期望的概念源于此
6
数学期望的定义
定义1 设 X 为离散型随机变量，其概率分布为
2
dx )

e
( x y )
2
2
dxdy
4
0

e
0
( x y )
2
2
dxdy
30
4
0
4

2

e
0
( x y )
2
2