2020中考数学复习图形的性质基础练习题3(附答案) (1)

2020中考数学复习图形的性质基础练习题3（附答案）1．如图，在六边形ABCDEF 中，A B E F α∠+∠+∠+∠=，CP DP 、分别平分BCD CDE ∠∠、，则P ∠的度数为（ ）A ．11802α-oB ．11802α-oC ．12α D ．13602α-o 2．如图，已知AOB ∠，以点O 为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA ，OB 于点E ，F ，再以点E 为圆心，以EF 长为半径画弧，交弧①于点D ，画射线.OD 若26AOB ∠=o ，则BOD ∠的补角的度数为( )A ．38oB ．52oC ．128oD ．154o3．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC =6，DE =3，则△BCE 的面积等于（）A ．6B ．8C ．9D ．184．以长为8cm 、6cm 、10cm 、4cm 的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，是某住宅小区平面图，点B 是某小区“菜鸟驿站”的位置，其余各点为居民楼，图中各条线为小区内的小路.从居民楼点A 到“菜鸟驿站”点B 的最短路径是（）A ．A C G EB ----B ．AC E B --- C ．AD GE B ---- D ．AF E B ---6．如图，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转45°后得到△A ′B ′C ′，若∠A ＝45°，∠B ′＝100°，则∠BCA ′的度数是（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°7．下列图形中不可能是正多边形的是（ ）A ．三角形B ．正方形C ．四边形D ．梯形8．将正方形ABCD 与等腰直角三角形EFG 如图摆放，若点M 、N 刚好是AD 的三等分点，下列结论正确的是（ ）①△AMH ≌△NME ；②12AM BF =；③GH ⊥EF ；④S △EMN ：S △EFG ＝1：16A ．①②③④B ．①②③C ．①③④D ．①②④9．如图，矩形ABCD 的外接圆O 与水平地面有唯一交点A ，圆O 的半径为4，且»BC＝2»AB ．若在没有滑动的情况下，将圆O 向右滚动，使得O 点向右移动了98π，则此时该圆与地面交点在（ ）上．A ．»AB B ．»BC C ．»CD D ．»DA10．如图，已知ΔABC 和ΔDCE 均是等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，连接FG ，则下列结论： ①AE=BD ；②AG =BF ；③FG ∥BE ；④CF=CG.其中正确的结论为____________.11．指出命题“对顶角相等”的题设和结论，题设_____，结论_____．12．在半径为7cm 的圆中，若弦AB ＝7cm ，则弦AB 所对的圆周角的度数是_____ 13．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，其中4,8AB BC ==，则AE 的长度为__________．14．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，E 为线段AB 的中点，D 点是射线AC 上的一个动点，将△ADE 沿线段DE 翻折，得到△A′DE ，当A′D ⊥AB 时，则线段AD 的长为_____．15．如图，已知AD ∥BC ,∠B ＝30°，DB 平分∠ADE ，则∠ADE ＝________；16．如图，已知：等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，BC ＝2，E 为边AB 上任意一点，以CE 为斜边作等腰Rt △CDE ，连接AD ，下列说法：①∠BCE ＝∠AED ；3中正确的结论有_____．（填写所有正确结论的序号）17．如图，在四边形ABCD 中，2AB =，2BC =，3CD =，1DA =，且90ABC ∠=︒，则BAD ∠=______度.18．如图，点E 在正方形ABCD 内，△ABE 是等边三角形，点P 是对角线AC 上的一个动点，若AC ＝4，则PD +PE 的最小值为_____．19．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝3，BC 为半圆O 的直径，将△ABC 沿射线CB 方向平移得到△A 1B 1C 1．当A 1B 1与半圆O 相切于点D 时，平移的距离的长为_____．20．如图，C 是线段AB 上一点，M 是AC 的中点，N 是CB 的中点，如果AB=10cm ．求：MN 的长．21．计算：(1)50°24′×3＋98°12′25″÷5；(2)100°23′42″＋26°40′28″＋25°30′16″×4.22．正方形网格中的每个小正方形边长都是1，（1）请在图中画出等腰△ABC ，使AB ＝AC 5BC 2；（2）在△ABC 中，AB 边上的高为 ．23．如图，点C在射线OA上，射线CE平分∠ACD，射线OF平分∠COB，并与射线CD交于点F．（1）依题意补全图形；（2）若∠COB+∠OCD＝180°，求证：∠ACE＝∠COF．24．已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N.求证：（1）AE=DB；（2）△CMN为等边三角形.25．如图，在6×10的网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点叫作格点，△ABC的三个顶点和点D，E，F，G，H，K均在格点上，现以D，E，F，G，H，K中的三个点为顶点画三角形．(1)在图①中画出一个三角形与△ABC全等，如△DEG；(2)在图②中画出一个三角形与△ABC面积相等但不全等，如△HFG.26．如图，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB 并延长交直线AD于点E．（1）如图，求∠QEP的度数；（2）如图，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝4，求BQ的长．27．四边形ABCD中，AB=BC，∠B=∠C=90°，P是BC边上一点，AP⊥PD，E是AB 边上一点，∠BPE=∠BAP．（1）如图1，若AE=PE，直接写出CPPB=______；（2）如图2，求证：AP=PD＋PE；（3）如图3，当AE=BP时，连BD，则PEBD=______，并说明理由．参考答案1．A【解析】【分析】由多边形内角和定理求出∠A+∠B+∠E+∠F+∠CDE+∠BCD ＝720°①，由角平分线定义得出∠BCP ＝∠DCP ，∠CDP ＝∠PDE ，根据三角形内角和定理得出∠P+∠PCD+∠PDE ＝180°，得出2∠P+∠BCD+∠CDE ＝360°②，由①和②即可求出结果. 【详解】在六边形 A BCDEF 中，∠A+∠B+∠E+∠F+∠CDE+∠BCD ＝(6-2)×180°＝720°①， Q CP 、DP 分別平分∠BCD 、∠CDE ，∴∠BCP ＝∠DCP ，∠CDP ＝∠PDE ，Q ∠P+∠PCD+∠PDE ＝180°，∴2(∠P+∠PCD+∠PDE)＝360°，即2∠P+∠BCD+∠CDE ＝360°②， ①-②得:∠A+∠B+∠E+∠F-2∠P ＝360°，即α-2∠P ＝360°，∴∠P=12α-180°， 故选:A.【点睛】本题考查了多边形内角和定理、角平分线定义以及三角形内角和定理;熟记多边形内角和定理和三角形内角和定理是解题关键.2．C【解析】【分析】根据作一个角等于一直角的作法即可得出结论．【详解】由题意可得：26AOB AOD ∠=∠=o ，262652BOD o o o ∴∠=+=，BOD ∴∠的补角的度数18052128=-=o o o ，故选C ．【点睛】本题考查的是余角与补角，熟知作一个角等于已知角的步骤是解答此题的关键．3．C【解析】【分析】作EH ⊥BC 于H ，根据角平分线的性质得到EH=DE=3，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作EH ⊥BC 于H ，∵BE 平分∠ABC ，CD 是AB 边上的高线，EH ⊥BC ，∴EH=DE=3，∴△BCE 的面积=12×BC×EH=9， 故选C ． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.4．C【解析】【分析】根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【详解】分成四种情况：①4cm ，6cm ，8cm ；②4cm ，6cm ，10cm ；③6cm ，8cm ，10cm ；④4cm ，8cm，10cm，∵4+6=10，∴②不能够成三角形，故只能画出3个三角形．故选C．【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键.5．D【解析】【分析】根据两点之间线段最短即可判断.【详解】从居民楼点A到“菜鸟驿站”点B的最短路径是A-E-B，故选D.【点睛】此题主要考查点之间的距离，解题的关键是熟知两点之间线段最短.6．A【解析】【分析】利用三角形内角和定理以及旋转不变性解决问题即可．【详解】由题意∠B＝∠B′＝100°，∠A＝45°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣100°﹣45°＝35°，∵∠ACA′＝45°，∴∠BCA′＝∠ACA′﹣∠ACB＝45°﹣35°＝10°，故选：A．【点睛】本题考查三角形内角和定理，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．D【解析】【分析】根据正多边形的性质依次判定各项后即可解答.【详解】选项A，三角形中的等边三角形是正三角形；选项B，正方形是正四边形；选项C，四边形中的正方形是正四边形；选项D，梯形的上底与下底不相等所以梯形不可能是正多边形.故选D.【点睛】本题考查了正多边形的性质，熟知每条边都相等、每个角都相等的多边形是正多边形是解决问题的关键.8．A【解析】【分析】利用三角形全等和根据题目设未知数，列等式解答即可.【详解】解：设AM＝x，∵点M、N刚好是AD的三等分点，∴AM＝MN＝ND＝x，则AD＝AB＝BC＝3x，∵△EFG是等腰直角三角形，∴∠E＝∠F＝45°，∠EGF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠BGN＝∠ABF＝90°，∴四边形ABGN是矩形，∴∠AHM＝∠BHF＝∠AMH＝∠NME＝45°，∴△AMH≌△NMH（ASA），故①正确；∵∠AHM＝∠AMH＝45°，∴AH＝AM＝x，则BH＝AB﹣AH＝2x，又Rt△BHF中∠F＝45°，∴BF＝BH＝2x，AMBF＝12，故②正确；∵四边形ABGN是矩形，∴BG＝AN＝AM＋MN＝2x，∴BF＝BG＝2x，∵AB⊥FG，∴△HFG是等腰三角形，∴∠FHB＝∠GHB＝45°，∴∠FHG＝90°，即GH⊥EF，故③正确；∵∠EGF＝90°、∠F＝45°，∴EG＝FG＝BF＋BG＝4x，则S△EFG＝12•EG•FG＝12•4x•4x＝8x2，又S△EMN＝12•EN•MN＝12•x•x＝12x2，∴S△EMN：S△EFG＝1：16，故④正确；故选A．【点睛】本题主要考察三角形全等证明的综合运用，掌握相关性质是解题关键. 9．B【解析】【分析】根据题意得出圆的周长以及圆转动的周数，进而得出与地面相切的弧．【详解】∵圆O半径为4，∴圆的周长为：2π×r=8π，∵将圆O向右滚动，使得O点向右移动了98π，∴98π÷8π=12…2π，即圆滚动12周后，又向右滚动了2π，∵矩形ABCD的外接圆O与水平地面相切于A点，»BC=2»AB，∴»AB=16×8π=43π＜2π，»AB+»BC=12×8π=4π＞2π，∴此时»BC与地面相切，∴此时该圆与地面交点在»BC上，故选B．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及圆的周长公式等知识，得出O点转动的周数是解题关键．10．①②③④【解析】【分析】首先由SAS判定△BCD≌△ACE，即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD=∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，同理证得CF=CG，则④正确，可得∠FCE=60°，可得△CFG是等边三角形，则可得∠CFG=∠FCB，则FG∥BE，可得③正确．【详解】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE=BD，（①正确）∠CBD=∠CAE，∵∠BCA=∠ACG=60°，AC=BC，∴△BCF≌△ACG（ASA），∴AG=BF，（②正确）∴CF=CG（④正确），且∠ACD=60°∴△CFG是等边三角形，∴∠CFG=∠FCB=60°，∴FG∥BE，（③正确）正确的有①②③④．【点睛】本题的关键是熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，应用数形结合思想．11．两个角是对顶角，这两个角相等．【解析】【分析】根据命题的定义即可解答.【详解】对顶角相等．题设：两个角是对顶角；结论：这两个角相等；故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等．【点睛】本题考查命题，熟悉命题的设定过程是解题关键.12．30°或150°【解析】【分析】弦所对的弧有优弧和劣弧，故弦所对的圆周角也有两个，它们的关系是互补关系；弦长等于半径时，弦所对的圆心角为60°，由此解答即可．【详解】如图，弦AB所对的圆周角为∠C，∠D，连接OA、OB，因为AB=OA=OB=7cm，所以，∠AOB=60°，根据圆周角定理知，∠C12∠AOB=30°，根据圆内接四边形的性质可知，∠D=180°﹣∠C=150°，所以，弦AB所对的圆周角的度数30°或150°．故答案为：30°或150°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理及等边三角形的判定与性质，解答此题时要注意一条弦所对的圆周角有两个，这两个角互为补角．13．5【解析】【分析】由折叠的AE=EC,设AE=x,则EB=8-x,利用勾股定理求解即可.【详解】由折叠的AE=EC,设AE=x,则EB=8-x∵矩形ABCD∴∠B=90°∴42+（8-x）2=x2∴x=5故AE=5.【点睛】本题考查的是折叠，熟练掌握勾股定理是解题的关键.14．133或394．【解析】【分析】①延长A'D交AB于H，则A'H⊥AB，然后根据勾股定理算出AB，推断出△ADH∽△ABC，即可解答此题②同①的解题思路一样【详解】解：分两种情况：①如图1所示：设AD＝x，延长A'D交AB于H，则A'H⊥AB，∴∠AHD＝∠C＝90°，由勾股定理得：AB13，∵∠A＝∠A，∴△ADH∽△ABC，∴DH AH ADBC AC AB==，即51213DH AH x==，解得：DH＝513x，AH＝1213x，∵E是AB的中点，∴AE＝12AB＝132，∴HE＝AE﹣AH＝132﹣1213x，由折叠的性质得：A'D＝AD＝x，A'E＝AE＝132，∴sin∠A＝sin∠A'＝1312521313`132xHEA E-==,解得：x＝133；②如图2所示：设AD＝A'D＝x，∵A'D⊥AB，∴∠A'HE＝90°，同①得：A'E＝AE＝132，DH＝513x，∴A'H＝A'D﹣DH＝x﹣513＝813x，∴cos∠A＝cos∠A'＝8`121313`132xA HA E==，解得：x＝394；综上所述，AD的长为133或394．故答案为133或394．【点睛】此题考查了勾股定理，三角形相似，关键在于做辅助线15．60°【解析】【分析】直接利用平行线的性质以及角平分线的性质得出∠ADB=∠BDE，进而得出答案．【详解】∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵DB平分∠ADE，∴∠ADB=∠BDE=12∠ADE，∵∠B=30°，∴∠ADB=∠BDE=30°，则∠ADE的度数为：60°．故答案为：60°．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠ADB的度数是解题关键．16．①③④【解析】【分析】首先根据已知条件看能得到哪些等量条件，然后根据得出的条件来判断各结论是否正确．【详解】∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，∴AB=AC=22，BC=2，CD=DE=22CE；∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；①∵∠B=∠DEC=45°，∴180°-∠BEC-45°=180°-∠BEC-45°；即∠AEC=∠BCE；故①正确；③∵CD AC EC BC=，∴CD CE AC BC=，由①知∠ECB=∠DCA，∴△BEC∽△ADC；∴∠DAC=∠B=45°；∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故③正确；②由③知：∠DAC=45°，则∠EAD=135°；∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；因此△EAD与△BEC不相似，故②错误；④△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大；由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时，AD=1；故S梯形ABCD=12（1+2）×1=32，故④正确；故答案为①③④．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．17．135【解析】【分析】根据勾股定理可得AC的长度，再利用勾股定理逆定理可证明∠DAC=90°，进而可得∠BAD 的度数．【详解】∵AB=2，BC=2，∠ABC=90°，∴=，∠BAC=45°，∵12+（）2=32，∴∠DAC=90°，∴∠BAD=90°+45°=135°，故答案是：135．【点睛】考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．18．【解析】首先求得正方形的边长，从而可得到BE的长，然后连接BP则PD＝BP，则PD＋PE＝PE ＋BP，故当点E、P、B在一条直线上时，PD＋PE有最小值．【详解】解：如图所示：连接BP．∵在正方形ABCD中，AC＝4，∴AB＝22AC＝22．∵△ABE为等边三角形，∴BE＝AB＝22．∵ABCD为正方形，∴PB＝PD，∴PE＋PD＝PB＋PE．∵PB＋PE≥BE，∴当点E、P、B在一条直线上时，PD＋PE有最小值，最小值＝BE＝22.故答案为22．【点睛】本题主要考查的是正方形的性质、等边三角形的性质、轴对称图形的性质，找出PD＋PE取得最小值的条件是解题的关键．19．4 3【解析】【分析】连结OG，如图，根据勾股定理得到BC＝4，根据平移的性质得到CC1＝BB1，A1C1＝AC＝3，A1B1＝AB＝5，∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，根据切线的性质得到OD⊥A1B1，根据相似三角形的性质即可得到结论．连结OG ，如图， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝5，AC ＝3，∴BC ＝22AB AC -＝4，∵Rt △ABC 沿射线CB 方向平移，当A 1B 1与半圆O 相切于点D ，得△A 1B 1C 1，∴CC 1＝BB 1，A 1C 1＝AC ＝3，A 1B 1＝AB ＝5，∠A 1C 1B 1＝∠ACB ＝90°，∵A 1B 1与半圆O 相切于点D ，∴OD ⊥A 1B 1，∵BC ＝4，线段BC 为半圆O 的直径，∴OB ＝OC ＝2，∵∠GEO ＝∠DEF ，∴Rt △B 1OD ∽Rt △B 1A 1C 1，∴11111OB OD A B A C =，即1253OB =，解得OB 1＝103， ∴BB 1＝OB 1﹣OB ＝103﹣2＝43， 故答案为43．【点睛】本题考查了切线的性质，平移的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键.20．5.【解析】【分析】根据中点的性质可得出MC=12AC ，CN=12CB ，根据图即可得出MN 的长度． 【详解】解：因为，M是AC的中点，N是CB的中点所以，MC=12AC，CN=12CB所以，MN=MC+CN=12AC+12CB=12(AC+CB) =12×10=5【点睛】本题主要考查了利用中点性质转化线段之间的倍分关系，长度带单位的一定注意不要漏掉长度的单位，比较简单．21．(1)170°50′29″.(2)229°5′14″.【解析】【分析】（1）先做乘除法，度与度，分与分，秒与秒对应相乘除，最后做加法；（2）先做乘法，然后做加法，度与度，分与分，秒与秒对应相加，秒的结果满60，则化为分，分的结果若满60，则转化为度.【详解】解：(1)50°24′×3＋98°12′25″÷5；50°24′×3=150°72′98°12′25″÷5=19.6°2.4′5″=19°38′29″50°24′×3+98°12′25″÷5=150°72′+19°38″29″=170°50′29″；(2)100°23′42″＋26°40′28″＋25°30′16″×4.25°30′16″×4=100°120′64″=102°1′4″100°23′42″＋26°40′28″＋102°1′4″=228°64′74″= 229°5′14″【点睛】此类题是进行度、分、秒的加法、减法．乘除法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．22．（1）详见解析；（2.【解析】【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可；（2）利用三角形的面积，构建方程求解即可. 【详解】（1）△ABC如图所示．（2）设CD⊥AB，∵S△ABC=12•AB•CD=4-12×2×1-12×2×1-12×1×1，∴35，35．【点睛】本题考查作图，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用面积法构建方程解决问题．23．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据角平分线的定义得到∠ACE=12∠ACD，∠COF=12∠COB．根据同角的补角相等得到∠ACE=∠COF．【详解】解：（1）补全图形，如图所示：（2）证明：∵CE平分∠ACD，OF平分∠COB，∴∠ACE＝12∠ACD，∠COF＝12∠COB．∵点C在射线OA上，∴∠ACD+∠OCD＝180°．∵∠COB+∠OCD＝180°，∴∠ACD＝∠COB．∴∠ACE＝∠COF．【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义的运用，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．24．证明略【解析】【分析】证明：(1)∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB(SAS)．∴AE＝DB．(2)由(1)可知：△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，即∠CAM＝∠CDN．∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，∠ACM＝∠BCE＝60°．又点A、C、B在同一条直线上，∴∠DCE＝180°－∠ACD－∠BCE＝180°－60°－60°＝60°，即∠DCN＝60°．∴∠ACM＝∠DCN．在△ACM和△DCN中，∴△ACM≌△DCN(ASA)．∴CM＝CN．又∠DCN＝60°，∴△CMN为等边三角形．【详解】请在此输入详解！25．(1)见解析；(2)见解析.【解析】【分析】（1）观察图形，根据△ABC的特征，利用全等三角形的判定方法即可得出符合题意的答案；（2）结合图形，根据三角形面积求法即可得出答案．【详解】(1)如图①所示，△DEF(或△KHE，△KHD)即为所求．(2)如图②所示，△KFH(或△KHG，△KFG)即为所求．【点睛】本题考查了格点的特征、全等三角形的判定方法及三角形的面积求法，熟练运用格点的特征是解决问题的关键.26．（1）60°，理由见解析；（2）BQ＝26﹣22．【解析】【分析】（1）先证明出△CQB≌△CPA，即可得出∠QEP=60°；（2）作CH⊥AD于H，如图2，证明△ACP≌△BCQ，则AP=BQ，由∠DAC=135°，∠ACP=15°，得出AH=3，CH=33，即可得出PH=CH=33，即可得出结论．【详解】（1）如图1，∵PC＝CQ，且∠PCQ＝60°，则△CQB和△CPA中，PC QCPCQ ACB AC BC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CQB≌△CPA（SAS），∴∠CQB＝∠CPA，又因为△PEM和△CQM中，∠EMP＝∠CMQ，∴∠QEP＝∠QCP ＝60°．（2）作CH⊥AD于H，如图2，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，∴CP=CQ，∠PCQ=6O°，∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ，即∠ACP=∠BCQ，在△ACP和△BCQ中，CA CB ACP BCQ CP CQ ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACP ≌△BCQ （SAS ）， ∴AP ＝BQ ，∵∠DAC ＝135°，∠ACP ＝15°，∴∠APC ＝30°，∠PCB ＝45°，∴△ACH 为等腰直角三角形，∴AH ＝CH ＝2AC ＝2×4＝22 ，在Rt △PHC 中，PH ＝3CH ＝26，∴PA ＝PH ﹣AH ＝26﹣22，∴BQ ＝26﹣22．【点睛】本题考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质．27．（131；（2）证明见解析；（3）22． 【解析】【分析】（1）首先证明∠P AB =30°，设PB =a ，可得AB =BC 3=，求出PC 即可解决问题；（2）如图2中，延长DP 交AB 的延长线于M ，作MN ⊥DC 交DC 的延长线于N ．首先证明PE =PM ，再证明△ABP ≌△MND （ASA ）即可解决问题；（3）如图3，延长DP 交AB 的延长线于M ，作MN ⊥DC 交DC 的延长线于N ．首先证明DN =PB =AE ，EB =BM =CN ，设AE =PB =DN =x ，EB =BM =CN =y ，求出PE ，BD 即可解决问题．【详解】（1）如图1．∵AE =PE ，∴∠EAP =∠EP A ．∵∠EPB =∠P AE ，∴∠EPB =∠P AE =∠EP A ．∵∠B =90°，∴∠P AB +∠APB =90°，∴3∠P AE =90°，∴∠P AE =30°．设PB =a ，则AB =BC 3=a ，∴PC =BC ﹣PB 3=a ﹣a ，∴33PC a a PB a-==-1． 故答案为：31-．（2）如图2，延长DP 交AB 的延长线于M ，作MN ⊥DC 交DC 的延长线于N ．∵AP ⊥DM ，∴∠APM =∠PBM =90°．∵∠P AE +∠APB =90°，∠APB +∠BPM =90°，∴∠P AE =∠BPM ．∵∠EPB =∠P AE ，∴∠EPB =∠BPM ．∵∠EPB +∠PEB =90°，∠BPM +∠PMB =90°，∴∠PEB =∠PMB ，∴PE =PM ．∵∠CBM =∠BCN =∠N =90°，∴四边形BCNM 是矩形，∴BC =MN =AB ，BC ∥MN ，∴∠DMN =∠BPM =∠P AB ．∵∠ABP =∠N =90°，∴△ABP ≌△MND （ASA ），∴P A =DM ．∵DM =DP +PM =DP +PE ，∴P A =DP +PE ．（3）如图3，延长DP 交AB 的延长线于M ，作MN ⊥DC 交DC 的延长线于N ．由（2）可知：PE =PM ，△ABP ≌△MND ，四边形BCNM 是矩形，∴PB =DN ，设PB =DN =x ，∴AE =PB =DN =x ．∵PE =PM ，PB ⊥EM ，∴EB =BM ．∵BM =CN ，∴BE =BM =CN ，设BE =BM =CN =y ，则CD =x ﹣y ，BC =AB =x +y ．在Rt △PBE 中，PE 22x y =+在Rt △DCB 中，BD 2222()()22x y x y x y =-++=+∴2222222x y PE BD x y +==+ 故答案为：22． 【点睛】本题考查了四边形综合题、直角梯形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。