第二十一章一元二次方程封面设计问题与一元二次方程
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九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》PPT课件
化简，得 x2 75x 350 0 ①
3600cm2
50cm
100cm
该方程中未知数 的个数和最高次 数各是多少？
问题2:要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队 之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计 划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多 少个队参加比赛?
解：根据题意，列方程：
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
学习目标
1.理解一元二次方程的概念.（难点） 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问 题.(重点）
导入新课
复习引入
1.下列式子哪些是方程？
2+6=8
没有未知数
2x+3
代数式
5x+6=22 x+3y=8 x-5＜18
讲授新课
一 一元二次方程的概念
问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各 切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一 个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那 么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为 xcm,则盒底的长为（100－ 2x)cm,宽为(50－2x)cm,根据 方盒的底面积为3600cm2,得 x
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x, 系数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
二 一元二次方程的根 一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫 作一元二次方程的解（又叫做根）.
3600cm2
50cm
100cm
该方程中未知数 的个数和最高次 数各是多少？
问题2:要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队 之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计 划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多 少个队参加比赛?
解：根据题意，列方程：
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
学习目标
1.理解一元二次方程的概念.（难点） 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问 题.(重点）
导入新课
复习引入
1.下列式子哪些是方程？
2+6=8
没有未知数
2x+3
代数式
5x+6=22 x+3y=8 x-5＜18
讲授新课
一 一元二次方程的概念
问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各 切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一 个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那 么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为 xcm,则盒底的长为（100－ 2x)cm,宽为(50－2x)cm,根据 方盒的底面积为3600cm2,得 x
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x, 系数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
二 一元二次方程的根 一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫 作一元二次方程的解（又叫做根）.
人教版九年级上册数学精品教学课件 第21章 一元二次方程 第3课时 几何图形与一元二次方程
27 cm
21cm
分析:这本书的长宽之比为 9 : 7 ，正中央的长方形
的长宽之比为 9 : 7 ，上下边衬与左右边衬的宽度
之比为 9 : 7 .
解析：设中央长方形的长和宽分别为 9a
和 7a，由此得到上下边衬宽度之比为
27 cm
1 (27 9a) : 1 (21 7a)
2
2
9(3 a) : 7(3 a)
当 x = 4 时，58 − 2x = 50.
答：羊圈的边 AB 和 BC 的长各是 25 m，8 m 或 4 m，
50 m.
变式 如图，要利用一面墙 (墙长为 25 m) 建羊圈，用
80 m 的围栏围成面积为 600 m2 的矩形羊圈，则羊圈的
边 AB 和 BC 的长各是多少米？ 解：设 AB 的长是 x m. 列方程，得
解得
x1=
17 3
229
0.62，x2=
17
3
229
10.71
(舍).
∴ x≈0.62，则 3x≈1.86，2x≈1.24.
答：横、竖小路的宽度分别约为 1.86 m、1.24 m.
方法点拨
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不 会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使 列方程容易些（目的是求出小路的宽，至于实际 施工，仍可按原图的位置修路）.
九年级数学上（RJ） 教学课件
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第3课时 几何图形与一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型；（难点） 2. 能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. （重点）
人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程》一元二次方程PPT精品课件
答：共有10个队参加了比赛.
当堂小练
3. 一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对 调后得到一个两位数,这两个两位数之积是2296, 则这个两位数是多少？
解：设这个数十位上数字为x,则个位数字为(10-x), 原数为10x+(10-x)=9x+10. 对调后得到的数为10(10-x)+x=100-9x. 依题意(9x+10)(100-9x)=2296. 解得 x1=8, x2=2. 当x=8时，这个两位数是82；当x=2时，这个两位数是28.
∴每千克核桃应降价6元. 此时,售价为60-6=54(元) ， 54 ×100%=90%.
60
答: 该店应按原售价的九折出售.
课堂小结
增长率问题 平 均 变 化 率 问 题 降低率问题
a(1+x)2=b，其中 a 为增长前的量，x 为 增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量.
a(1-x)2=b，其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低 后的量.注意 1 与 x 位置不可调换.
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时
学习目标
1.会分析实际问题中的数量关系并会列一元二次方程.
（重点）
2.正确分析问题中的数量关系.
（难点）
3.会找出实际问题中的相等关系并建模解决问题.
新课导入
知识回顾
1.解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
A．560(1＋x)2＝315
B．560(1－x)2＝315
C．560(1－2x)2＝315
D．560(1－x2)＝315
新课讲解
2 某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利 润是25万元，若利润平均每月的增长率为x，则依题意 列方程为( D ) A．25(1＋x)2＝82.75 B．25＋50x＝82.75 C．25＋25(1＋x)2＝82.75 D．25[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝82.75
当堂小练
3. 一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对 调后得到一个两位数,这两个两位数之积是2296, 则这个两位数是多少？
解：设这个数十位上数字为x,则个位数字为(10-x), 原数为10x+(10-x)=9x+10. 对调后得到的数为10(10-x)+x=100-9x. 依题意(9x+10)(100-9x)=2296. 解得 x1=8, x2=2. 当x=8时，这个两位数是82；当x=2时，这个两位数是28.
∴每千克核桃应降价6元. 此时,售价为60-6=54(元) ， 54 ×100%=90%.
60
答: 该店应按原售价的九折出售.
课堂小结
增长率问题 平 均 变 化 率 问 题 降低率问题
a(1+x)2=b，其中 a 为增长前的量，x 为 增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量.
a(1-x)2=b，其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低 后的量.注意 1 与 x 位置不可调换.
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时
学习目标
1.会分析实际问题中的数量关系并会列一元二次方程.
（重点）
2.正确分析问题中的数量关系.
（难点）
3.会找出实际问题中的相等关系并建模解决问题.
新课导入
知识回顾
1.解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
A．560(1＋x)2＝315
B．560(1－x)2＝315
C．560(1－2x)2＝315
D．560(1－x2)＝315
新课讲解
2 某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利 润是25万元，若利润平均每月的增长率为x，则依题意 列方程为( D ) A．25(1＋x)2＝82.75 B．25＋50x＝82.75 C．25＋25(1＋x)2＝82.75 D．25[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝82.75
人教版九年级上册数学精品教学课件 第21章 一元二次方程 第1课时 传播问题与一元二次方程
x(x 1) 10. 2
解得 x1＝5，x2＝−4(舍去)．∴ x＝5.
答：共有 5 个人参加聚会．
归纳 握手问题及球赛单循环问题要注意重复进行了 一次，所以要在总数的基础上除以 2.
【变式题】某中学组织初三学生开展足球比赛，以班为
单位，采用主客场赛制 (即每两个班之间都进行两场比 赛)，计划安排 72 场比赛，则共有多少个班级参赛？ 解：设共有 x 个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场
第 2 轮传染后人数 x(x + 1) + x + 1
根据示意图，列表如下：
传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数
1
1 + x = (1 + x)1 1 + x + x(1 + x) = (1 + x)2
解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.
根据题意，得 (1 + x)2 = 121.
小 分
支
支
x
…… 支干
x2 = −12 (不合题意，舍去).
x
答：每个支干长出 11 个小分支.
主干 1
交流讨论 1. 在分析引例和例 1 中的数量关系时它们有何区别？
每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染.
2. 解决这类传播问题有什么经验和方法？ （1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答； （2）可利用表格梳理数量关系； （3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
A. x2 = 1980 C. 1 x(x - 1) = 1980
2
B. x(x + 1) = 1980 D. x(x - 1) = 1980
2. 有一根月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支
人教版九年级数学上册21.3.3探究3“封面设计”课件
答：横典条幅例的精宽为析米，竖条幅的宽为 米.
第3课时 几何图形与一元二次方程
(（1)1养）鸡主场要的集面中问积在能几题达何到图11形8的0要m面2积吗设问? 题计, 这一类问本题的书面积的公式封是等面量关,系封. 面长27㎝,宽21cm正中央
此得到上下边衬宽度之比为：
外方三程是边 的用哪一木个栏根个围合成乎与实,木际栏整意长义4个0?m. 封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬
方程是（ B ）
A．x2+130x-1400=0
B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0
D．x2-65x-350=0
x 80cm x
50cm
x
x
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长25m),另
外三边用木栏围成,木栏长40m.
25m
(1) 养鸡场的面积能达到180m2吗?
3米解答：：2设米横横条条幅幅的的宽宽为为（x米米舍，，去竖竖）条条幅幅的的宽宽为为3x米米，. 由题可知 1 A(答解如能某解设（A方 方3解解设能设 C如能(如即如米（答方 (解如如如某第几分解常能（3答C如答（A几331．．．．．实实00)：:果运农：中2程程方:中运中果运果图，1：程得果果果农3何析：见运2：果：1何设 设--养） ） 课 ）0xxxxx22际际x上 图 用 场 设 央 的的 程 央 用 央能 用 图 1求 横 的能 换 图 场 图 :设 几 用 横 图 横 图-22222养上x这2xxx鸡与，主时主+++--1))问问)下形一要道长哪 哪,长一长 ,一形道条哪 ,一形要形道何一条形条形11((-(鸡得下请请本111=22场直在要要3334题题3335边不元建路方个 个方元方 元不路幅个 种不建与路图元幅不幅与00几200场边给给书00000的角宽集集---xx与与xxxxxx衬规二一宽形根 根形二形 二规的的根 设规一一宽形二的规的一(x何--的衬出出的舍))---面)三为中中11+==111一一=的则次个为的合 合的次的 次则宽宽合 未则个元为面次宽则宽元图44长的设设长66444去5积3角在在200元元××000宽应方长长乎 乎长方长 方应为乎 知应长二积方为应为二x.x46形0采采00为计计宽9）x000米米能形几几00米图==二二x177度割程方和实 实和程和 程割实 数割方次是程割次===与，=方方之xc，0088，，达有何何000，条条=m0次次m米米米为或解形宽际 际宽解宽 解或际 的或形方等解或方一1案案比.x由由到关 图 图,，长(6(方方， ， ，2x根补决的分意意分决分决补意方补的程量决补程:元361;;=1平平1的形形如如x左为程程.竖竖竖据2成与养别义 义别与别 与成义 法成养问关与成8二x：2移移.问的的果果0右3条条条题规面鸡为为面为 面规，规鸡题系面规???次m22得得16题面面不不边米幅幅幅意1正则积场积积则是则场积则999.21x方到到,：积积aa能能a吗)BBB衬DD的)3的的的得中图有有有图否图有图,,(程和和和x养养(．．．．．图图直问问,,?x宽x矩22请宽请宽宽:央形关关关形可形关形777鸡鸡xxxxx22角题题为aaa形222为为为22的的的的以的,,,,x，，由由由找场找找场找+++--2三,,272地6632666矩实实实更实则则=这这x出的出出的出55)555角xc面xx形米米米际际际简际宽宽xxx类类m各一各各一各)-----形33上0333长...问问问单问为为依问问部边部部边部550555两修00宽题题题地题000((题题题分 靠 分 分 靠 分322==直===筑00之解....00意的的0001面墙面面墙面--角同xx比决得面面2积积积积(())边墙墙米米样(上积积之之之之1：的长长，，宽面公公间间间间平22长长的的，式式55(的的的的13方舍为为mm道图问上)是是关关关关和))去（（路,,题下等等另另系系系系2等)33（,？边量量22,,,,于再再再再--图衬xx关关斜运运运运))中米米与系系边用用用用阴，，左.. 的规规规规影列列右平则则则则部方方边方图图图图分程程衬是形形形形）得得之这的的的的，比类面面面面余问积积积积下：题公公公公的的式式式式.部等列列列列分量出 出 出 出种关方方方方上系程程程程草，;;;;坪即．用要勾使股草定坪理的列面方积程为.540平方
第3课时 几何图形与一元二次方程
(（1)1养）鸡主场要的集面中问积在能几题达何到图11形8的0要m面2积吗设问? 题计, 这一类问本题的书面积的公式封是等面量关,系封. 面长27㎝,宽21cm正中央
此得到上下边衬宽度之比为：
外方三程是边 的用哪一木个栏根个围合成乎与实,木际栏整意长义4个0?m. 封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬
方程是（ B ）
A．x2+130x-1400=0
B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0
D．x2-65x-350=0
x 80cm x
50cm
x
x
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长25m),另
外三边用木栏围成,木栏长40m.
25m
(1) 养鸡场的面积能达到180m2吗?
3米解答：：2设米横横条条幅幅的的宽宽为为（x米米舍，，去竖竖）条条幅幅的的宽宽为为3x米米，. 由题可知 1 A(答解如能某解设（A方 方3解解设能设 C如能(如即如米（答方 (解如如如某第几分解常能（3答C如答（A几331．．．．．实实00)：:果运农：中2程程方:中运中果运果图，1：程得果果果农3何析：见运2：果：1何设 设--养） ） 课 ）0xxxxx22际际x上 图 用 场 设 央 的的 程 央 用 央能 用 图 1求 横 的能 换 图 场 图 :设 几 用 横 图 横 图-22222养上x这2xxx鸡与，主时主+++--1))问问)下形一要道长哪 哪,长一长 ,一形道条哪 ,一形要形道何一条形条形11((-(鸡得下请请本111=22场直在要要3334题题3335边不元建路方个 个方元方 元不路幅个 种不建与路图元幅不幅与00几200场边给给书00000的角宽集集---xx与与xxxxxx衬规二一宽形根 根形二形 二规的的根 设规一一宽形二的规的一(x何--的衬出出的舍))---面)三为中中11+==111一一=的则次个为的合 合的次的 次则宽宽合 未则个元为面次宽则宽元图44长的设设长66444去5积3角在在200元元××000宽应方长长乎 乎长方长 方应为乎 知应长二积方为应为二x.x46形0采采00为计计宽9）x000米米能形几几00米图==二二x177度割程方和实 实和程和 程割实 数割方次是程割次===与，=方方之xc，0088，，达有何何000，条条=m0次次m米米米为或解形宽际 际宽解宽 解或际 的或形方等解或方一1案案比.x由由到关 图 图,，长(6(方方， ， ，2x根补决的分意意分决分决补意方补的程量决补程:元361;;=1平平1的形形如如x左为程程.竖竖竖据2成与养别义 义别与别 与成义 法成养问关与成8二x：2移移.问的的果果0右3条条条题规面鸡为为面为 面规，规鸡题系面规???次m22得得16题面面不不边米幅幅幅意1正则积场积积则是则场积则999.21x方到到,：积积aa能能a吗)BBB衬DD的)3的的的得中图有有有图否图有图,,(程和和和x养养(．．．．．图图直问问,,?x宽x矩22请宽请宽宽:央形关关关形可形关形777鸡鸡xxxxx22角题题为aaa形222为为为22的的的的以的,,,,x，，由由由找场找找场找+++--2三,,272地6632666矩实实实更实则则=这这x出的出出的出55)555角xc面xx形米米米际际际简际宽宽xxx类类m各一各各一各)-----形33上0333长...问问问单问为为依问问部边部部边部550555两修00宽题题题地题000((题题题分 靠 分 分 靠 分322==直===筑00之解....00意的的0001面墙面面墙面--角同xx比决得面面2积积积积(())边墙墙米米样(上积积之之之之1：的长长，，宽面公公间间间间平22长长的的，式式55(的的的的13方舍为为mm道图问上)是是关关关关和))去（（路,,题下等等另另系系系系2等)33（,？边量量22,,,,于再再再再--图衬xx关关斜运运运运))中米米与系系边用用用用阴，，左.. 的规规规规影列列右平则则则则部方方边方图图图图分程程衬是形形形形）得得之这的的的的，比类面面面面余问积积积积下：题公公公公的的式式式式.部等列列列列分量出 出 出 出种关方方方方上系程程程程草，;;;;坪即．用要勾使股草定坪理的列面方积程为.540平方
21.3.实际问题与一元二次方程(封面设计)2
解得 （不合题意舍去） х1 1 х2 25
返 回
х m,则草坪的长为
答：道路宽为1米。
实际问题与一元二次方程（三）
合 作 展 示
变 式
• 如图22.3-1，要设计一本 书的封面，封面长27㎝， 宽21㎝，正中央是一 个与 整个封面长宽比例相同的 矩形．如果要使四周的彩 色边衬所占面积是封面面 积的四分之一，上、下边 衬等宽，左、右边衬等宽， 应如何设计四周边衬的宽 度（精确到0.1㎝ ）？
80
甬道归边
化 难 为 易
180
下一页
实际问题与一元二次方程（三）
拓 广 探 索
方法二
解析过程 2X
100
140-2X 80 140 80-X 40 X
180
解:设甬道的宽度为Xm，则由题意得
1 (140 2 x)(80 x) 140 80 (1 ) 6
返 回
实际问题与一元二次方程（三）
中国现代花鸟画大全
人民教育出版社
图1
下一页
实际问题与一Leabharlann 二次方程（三）合 作 展 示
变 式
解析过程
中国现代花鸟画大全
•A：正中央是一 个与整个封面长宽 比例相同的矩形 B：四周的彩色 边衬所占面积 是封面面积的 四分之一
中央矩形 长、宽比 是 9： 7
上下边衬与 左右边衬的 宽度之比是 9:7 中央矩形所占 面积是封面面 积的四分之三
设计方案图纸为如图，草坪总面积540m2
20
32
返 回
实际问题与一元二次方程（三）
合 作 展 示
第二类方案
设计方案图纸为如图，
20
草坪总面积540m2
解析过程
返 回
х m,则草坪的长为
答：道路宽为1米。
实际问题与一元二次方程（三）
合 作 展 示
变 式
• 如图22.3-1，要设计一本 书的封面，封面长27㎝， 宽21㎝，正中央是一 个与 整个封面长宽比例相同的 矩形．如果要使四周的彩 色边衬所占面积是封面面 积的四分之一，上、下边 衬等宽，左、右边衬等宽， 应如何设计四周边衬的宽 度（精确到0.1㎝ ）？
80
甬道归边
化 难 为 易
180
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实际问题与一元二次方程（三）
拓 广 探 索
方法二
解析过程 2X
100
140-2X 80 140 80-X 40 X
180
解:设甬道的宽度为Xm，则由题意得
1 (140 2 x)(80 x) 140 80 (1 ) 6
返 回
实际问题与一元二次方程（三）
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变 式
解析过程
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•A：正中央是一 个与整个封面长宽 比例相同的矩形 B：四周的彩色 边衬所占面积 是封面面积的 四分之一
中央矩形 长、宽比 是 9： 7
上下边衬与 左右边衬的 宽度之比是 9:7 中央矩形所占 面积是封面面 积的四分之三
设计方案图纸为如图，草坪总面积540m2
20
32
返 回
实际问题与一元二次方程（三）
合 作 展 示
第二类方案
设计方案图纸为如图，
20
草坪总面积540m2
解析过程
九年级数学上册新课内容 第二十一章 一元二次方程 第课时 实际问题与一元二次方程—平均变化率问题
月份与5月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，
现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同. （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
2021/12/11
第十七页，共二十页。
拓展 提升 (tuò zhǎn)
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现 有的21名快递(kuài dì)投递业务员能否完成今年6月份的快递投 递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
2021/12/11
第九页，共二十页。
变式训练(xùnliàn)
解：设平均每次下调的百分率为x. 根据(gēnjù)题意,得5 000（1-x）2=4 050.
解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）. 答：平均每次下调的百分率为10%.
2021/12/11
第十页，共二十页。
巩固 训练 (gǒnggù)
2021/12/11
第十九页，共二十页。
内容(nèiróng)总结
第一部分 新课内容。第9课时 实际问题与一元二次方程（1）——平均变化率问题。1. 连 续增长两次问题、病毒传染问题：原量×（1+增长百分率）2=新量.。2. 连续下降两次问题：原
No 量×（1-下降百分率）2=新量.。【例1】已知有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流
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第二页，共二十页。
典型 例题 (diǎnxíng)
知识点1：病毒传染问题 【例1】已知有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流 感. （1）求每轮传染中平均(píngjūn)一个人传染了几个人； （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
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现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同. （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
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第十七页，共二十页。
拓展 提升 (tuò zhǎn)
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现 有的21名快递(kuài dì)投递业务员能否完成今年6月份的快递投 递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
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第九页，共二十页。
变式训练(xùnliàn)
解：设平均每次下调的百分率为x. 根据(gēnjù)题意,得5 000（1-x）2=4 050.
解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）. 答：平均每次下调的百分率为10%.
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巩固 训练 (gǒnggù)
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内容(nèiróng)总结
第一部分 新课内容。第9课时 实际问题与一元二次方程（1）——平均变化率问题。1. 连 续增长两次问题、病毒传染问题：原量×（1+增长百分率）2=新量.。2. 连续下降两次问题：原
No 量×（1-下降百分率）2=新量.。【例1】已知有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流
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典型 例题 (diǎnxíng)
知识点1：病毒传染问题 【例1】已知有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流 感. （1）求每轮传染中平均(píngjūn)一个人传染了几个人； （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
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人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.1一元二次方程》第2课时教学设计
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.1一元二次方程》第2课时教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，也是难点之一。
本章主要介绍一元二次方程的定义、解法及其应用。
通过本章的学习，学生能够掌握一元二次方程的基本概念，熟练运用各种方法解一元二次方程，并能够将一元二次方程应用到实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于方程的概念和解法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的定义、解法和应用还比较陌生，需要通过本节课的学习来掌握。
同时，由于一元二次方程的内容较为抽象，学生可能存在理解上的困难，需要教师通过生动形象的讲解和丰富的教学手段来帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法，并能够将其应用到实际问题中。
2.过程与方法：学生能够通过观察、实验、推理等方法探索一元二次方程的解法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度价值观：学生能够体验到数学与生活的紧密联系，增强学生对数学的兴趣和自信心。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的定义，一元二次方程的解法。
2.难点：一元二次方程的解法，特别是因式分解法和公式法的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入一元二次方程，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.启发式教学法：通过提问、讨论等方式激发学生的思考，引导学生主动探索一元二次方程的解法。
3.示范教学法：教师通过讲解和示范，使学生掌握一元二次方程的解法。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2.学具：教材、练习册、笔记本。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例引入一元二次方程，如“一个物体从静止开始做直线运动，加速度为2m/s^2，问物体在5秒后的速度是多少？”让学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.呈现（10分钟）教师引导学生观察这个实例，提出问题：“这个问题的解法是什么？”学生可能回答是“2m/s^2 * 5s = 10m/s”，教师进一步引导学生思考：“这个解法是否适用于所有的一元二次方程？”从而引出一元二次方程的定义。
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2
2
把 x 27 3 , y 21 3 代入（3）、（4），
2
2
得 a 54 27 3 ,b 42 法2： 由（3）、（4）变形，
得 x 27 2a(5), y 21 2b(6) . 把（5）、（6）分别代入（1）、（2），
得关于a、b的二元方程组：
尝试挑战
已知量：封面长27cm，宽21cm. 未知量：四周边衬的宽度，中央长方形的长和宽.
如何理解“正四中周央的是彩 一 色个边与衬整所个占封面面积长是度封 比 面例面相积同的的四长分方之形一” 这句话？
中央长方形的长宽之比是9:7 . 长宽之积为 3 21 27cm2
4
尝试挑战
已知量：封面长27cm，宽21m. 未知量：四周边衬的宽度，中央长方形的长和宽. 设上面边衬宽度和左面边衬宽度分别为a cm和b cm，中央长方形的长和宽分别为x cm和y cm．
x 27 18t(7), y 2114t(8) .
再把（7）、（8）代入（1）可得：t 6 3 3 .
4
所以，a 54 27 3 ,b 42 21 3 .
4
4
解决问题
方法1：设上、下边衬的宽均为9xcm，左、右边衬的宽均 为7xcm，则中央的矩形的长为（27-18x）cm，宽 为（21-14x）cm．于是可列出方程
问题3 如何把文字语 言翻译成数学符号语 言？
长宽之比是9:7 . 长宽之积为 3 21 27cm2
4
尝试挑战
已知量：封面长27cm，宽21m. 未知量：四周边衬的宽度，中央长方形的长和宽. 设上面边衬宽度和左面边衬宽度分别为a cm和b cm，中央长方形的长和宽分别为x cm和y cm．
四个未知数x、y、a、b， 它们之间还存在怎样 的数量关系？
目标检测
（1）方案1：长为 9 1 米，宽为7 米.
7
方案2：长为 9 米，宽为 7 1 米.
9
方案3：长为8米，宽为8米. （2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，
第二十一章 一元二次方程 封面设计问题
与一元二次方程
北京市海淀区中关村中学 杨爱青
尝试挑战
问题1 设计边衬的宽度 要求几个未知数？哪几 个，为什么？
如图21.3-1，要设计一本书 的封面，封面长27cm，宽 21cm，正中央是一个与整 个封面长宽比例相同的矩 形．如果要使四周的彩色 边衬所占面积是封面面积 的四分之一，上、下边衬 等宽，左、右边衬等宽， 应如何设计四周边衬的宽 度（结果保留小数点后一 位）？
x:y=9:7 xy 3 21 27
4
尝试挑战
看看“图形”告诉了我们什么？ 把“图形语言”翻译成数学 符号语言可得：
2a x 27, 2b y 21
问题4 怎么解决“封面设计问题”？
解决问题
前面我们设了4个“元”x和y、a和b，它们分别
代表中央长方形的长和宽 、上面边衬宽度和左
(27 2a) : (21 2b) 9 : 7,
(27
2a)(21
2b)
3 4
21
27.
解决问题
将(27 2a) : (21 2b) 9 : 7 化简，可得 a : b 9 : 7 .
设 a 9t,b 7t .
将a 9t,b 7t 代入（5）、（6）得：
解决问题
方法2：设中央长方形的长、宽分别为9xcm，7xcm，
则上、下边衬的宽均为 27 9x cm，左、
右边衬的宽均为
9x
271x273xcm27．22于1 是可列出方程
4
解方程，得 x 3 3
2
27 9x 54-27 3 1.8, 21 7x 42 21 3 1.4
面边衬宽度，它们之间存在如下的数量关系：
xy 3 21 27(1), x : y 9 : 7(2) 4
2a x 27(3), 2b y 21(4)
问题5 请你解 这个方程组， 并与同学交流 一下你的解 法．
解决问题
方法1：
由（2）设 x 9t, y 7t .
代入（1），得 x 27 3 , y 21 3 .
(27 18x)(2114x) 3 27 21 4
整理，得 16x2 48x 19 0
解方程，得
x1
6
3 4
3
，x2
6
3 4
3
(不合题意舍去）.
9x 54-27 3 1.8,7x 42 21 3 1.4
4
4
答:上下边衬的宽为 1.8 cm，左右边衬的宽为1.4 cm.
2
4
2
4
答:上下边衬的宽为 1.8 cm，左右边衬的宽为1.4 cm.
回顾反思
问题6 通过这节课，你对“封面设计问题”有什 么新的认识，有何收获和体会？
回顾反思
请同学们回顾“封面设计问题”的探究过程， 回答以下问题： （1）探究解题的过程大致包含哪几个步骤？ （2）在 “封面设计问题”的探究过程中，你遇到 了哪些困难，是如何解决的？
布置作业
教科书习题21.3第5，8，9题．
目标检测
1．如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方 形拼成，则每个小长方形的面积为（ A ）．
A.400cm2 C.600cm2
B.500cm2
D.4000cm2
目标检测
2．学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米 的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方 形花圃. （1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使 它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平 方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案. （2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况 下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能， 请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理 由.
尝试挑战
如图21.3-1，要设计一本书的封面，封面长27cm，
宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同
的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面
面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等
宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点
后一位）？
问题2 题目中还有哪 些已知量、未知量， 它们之间存在怎样的 数量关系？