7实数
沪科版数学七年级下册《实数的概念与分类》教学设计
沪科版数学七年级下册《实数的概念与分类》教学设计一. 教材分析《实数的概念与分类》是沪科版数学七年级下册的一个重要内容，主要介绍了实数的概念、分类和性质。
本节课的内容包括实数的定义、实数的分类（有理数和无理数）、实数的性质（数轴、绝对值、相反数、平方根等）以及实数的运算。
这些内容是学生进一步学习数学的基础，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在七年级上册已经学习了有理数的概念和运算，对于数的概念有一定的了解。
但是，学生对于无理数的概念和性质可能比较陌生，需要通过实例和讲解来加深理解。
此外，学生可能对于实数的分类和运算规则有一定的困惑，需要通过大量的练习来巩固。
三. 教学目标1.了解实数的概念和分类，能够正确区分有理数和无理数。
2.掌握实数的性质，包括数轴、绝对值、相反数、平方根等。
3.学会实数的运算规则，能够进行实数的加减乘除运算。
4.培养学生的数学思维和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.实数的分类：有理数和无理数的区别和特点。
2.实数的性质：数轴、绝对值、相反数、平方根的理解和应用。
3.实数的运算：加减乘除运算的规则和计算方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提出问题和解决问题的方式引导学生思考和探索。
2.使用多媒体教学辅助工具，如PPT、视频等，以直观的方式展示实数的概念和性质。
3.采用小组合作学习的方式，让学生通过讨论和交流来加深对实数概念的理解。
4.提供大量的练习题和实例，让学生通过实践来巩固实数的运算规则。
六. 教学准备1.教学PPT：制作PPT，包括实数的概念、分类、性质和运算的讲解和示例。
2.练习题：准备一些练习题，包括有理数和无理数的区分、实数的性质和运算等。
3.教学工具：准备黑板、粉笔、多媒体设备等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题：“什么是实数？”引起学生的思考，引导学生回顾数的概念。
2.呈现（15分钟）使用PPT呈现实数的概念和分类，讲解实数的性质和运算规则。
第7课时 实数
第7课时 实数预学目标1．初步了解无理数的概念，掌握它与含根号的数之间的关系，并尝试根据定义判断一个数是不是无理数．2．阅读实数的定义和分类，尝试判断一个数是有理数还是无理数．3．初步理解数轴上的点与实数之间一一对应的关系．4知识梳理1．用定义判断无理数是______________，它们都是_______数，所以用根号表示的数不一定都是无理数．π_______(填“是”或“不是”)无限不循环小数，所以π____ (填“是”或“不是”)无理数，可见无理数不一定用根号表示．0.101 001 000 1…(每两个“1”之间依次多一个“0”) ______ (填“是”或“不是”)无限小数，_______(填“是”或“不是”)不循环小数，所以它____(填“是”或“不是”)无理数．0.101 001 000 1是_______(填“有限”或“无限”)小数，所以它_______(填“是”或“不是”)无理数，像2．数轴上的点与实数之间的一一对应关系数轴上的点，有的表示有理数，有的表示无理数，而有理数和无理数统称为实数，因此数轴上的点与_______数一一对应．3．在数轴上作出表示无理数的点可以看做是一个直角边长都为1的直角三角形的斜边长．______、______的直角三角形的斜边长．如图1，点A 表示０，点B 表示1，作BC ⊥AB ，垂足为B ，且BC ＝１，则AC ，在数轴上截取AD ＝AC ，则点D 的点．试在图2的点．换，你能作出吗？例题精讲例l 在实数－43，..0.5757，0.121 121 112…，π，18，0.3513.141 59中，无理数有 ( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个提示：根据无理数的定义判断，弄清有理数与无理数的区别：无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；任何一个有理数都可以化为分数的形式，无理数则不能．解答：C ．点评：本题的关键是理解无理数的定义，弄清它的本质．无理数是无限不循环小数，常见的无理数有三类：开方开不尽的数，；特殊数，如π；构造的数，如0.101 001 0001…(每两个“1”之间依次多一个“0”)不是分数，它3. 141 59是π的近似值，是一个有限小数，3，因此虽然有根号，但也是有理数．例2 2______，绝对值是_______．提示：在求绝对值时，先判断2是它本身，负数的绝对值是它的相反数”来确定是取2本身还是取其相反数．22．点评：本题考查估算能力和绝对值的性质，要能估算出的整数部分是2，值是2点几，比2大，还要熟悉绝对值计算的结果就是其本身和相反数中的一种．热身练习1．判断题．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有理数与无理数的差都是有理数． ( )(2)无限小数都是无理数． ( )(3)两个无理数的和不一定是无理数． ( )2．实数－2，0.3，17，－π中，无理数的个数是 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．下列各数：3.5，227，3. 141 6，－π，902，3.51，355133，1390，4.121121112…，7.030 303中，有理数有____________________________，无理数有_________________________．4．与数轴上所有点建立一一对应关系的是 ( )A ．整数B ．有理数C ．无理数D ．实数5．若m 的整数部分，则m ＝_______．6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则在△ABC 的三条边中，边长为无理数的边有 ( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条参考答案1．(1)×(2)×(3)√2．A3．3.5，227，3. 141 6，902，3. 51，355113，1390，7. 030 303 －π，4. 121 121 112…4．D 5．3 6．C。
人教版七下数学第07讲 实数中蕴含的数学思想及实数大小比较技巧(学生版)
第07讲 实数中蕴含的数学思想及实数大小比较技巧（原卷版） 第一部分 专题典例剖析+针对训练专题1特殊到一般的思想专题解读：各种特殊情形往往包含着一般性的规律，我们常常通过研究特殊情形时问题的答案或解法，然后猜想、归纳出一般性的规律，并把这个规律运用到一般情形．例如我们通过研究一些正数、0、负数的平方根或立方根，从而归纳、总结出平方根、立方根的性质．典例1 请你观察下列计算过程：因为112=121，所以121=11；用样，因为1112=12321，所以12321=111；…；由此猜想76543211234567898=________．针对训练11．观察下面的式子：√1+13=2√13，√2+14=3√14，√3+15=4√15⋯请你将猜想到的规律用含正整数n （n ＞1）的式子表示出来是 ．专题2 转化思想专题解读：转化思想就是将一个待解决的问题A ，转化为另一个较容易解决或已经解决的问题B ，从而获得问题A 的答案．转化思想是数学中的核心思想．如：求一个负数的立方根转化为求一个正数立方根的相反数，求无理数的混合运算可以通过取近似数转化为有理数的运算，比较两个同次根无理数的大小可以转化为比较两个有理数的大小．典例2 （2021秋•信都区期中）比较大小：−√13和−√25．针对训练22．（2021秋•榆阳区校级月考）通过估算比较√6+12与32的大小？专题3 分类思想专题解读：当一个问题包含有多种情形时，需要逐一讨论，然后汇总得出问题的答案．如在本章中对实数进行分类时，如果按不同的标准，就有不同的分类方法．实数⎩⎨⎧无理数有理数， 实数⎪⎩⎪⎨⎧负实数正实数0．典例3 求方程(21x －3)2＝9中x 的值．针对训练33．求x 的值：4（x ﹣1）2＝25．专题4 数形结合思想专题解读：“数”与“形”是对立统一的，借助于数轴，可以把抽象的无理数或实数直观地表示出来，达到“以形启数”、“以数助形”的目的．典例4 实数a 、b 在数轴上的位置如图6－1所示，请化简|a ＋b|＋2)(a b -．图6－1针对训练44．（2021秋•福田区校级期末）a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则：（1）用“＜、＞、＝”填空：﹣b ＞ 0，b ﹣a ＞ 0，a ﹣c ＜ 0；（2）化简：|﹣b |﹣|b ﹣a |+|a ﹣c |．5．（2021春•崇川区校级月考）已知点A 、B 、C 在数轴上表示的数a 、b 、c 的位置如图所示： 化简：√b 33−√a 2−|b +c |+√(a −b −c)2．专题5 实数的大小比较在比较两个实数大小时候，要根据题目的特点，选用不同的方法，下面给出几种常见的比较方法． 方法一、绝对值比较法典例5 比较－6与－3的大小．典例6 当0＜x ＜1时，x 2,x ,x1从小到大的顺序是 .方法三、取近似值法 典例7 比较－417和3π-的大小． 方法四、平方法典例8 比较35和8的大小方法五、放缩法典例9 比较27+与257-的大小．针对训练56．（2021秋•双牌县期末）比较大小：6√3 7√2（填＞，＜，＝）．7．（2021秋•南京期末）比较大小：√3 √2+1．（填“＞”、“＜”或“＝”）．8．（2021秋•鼓楼区期末）比较大小：√13−1 3（填“＞”、“＜”或“＝”）．9．（2012春•淮北校级月考）规定一种新运算：a △b ＝a •b ﹣a +1，如3△4＝3×4﹣3+1，请比较﹣3△√2与√2△（﹣3）的大小．。
实数(7)
实数（7）一 填空题1.56的平方根是 ；36的立方根是 ；81的平方根是 ；3343的算术平方根是 ；144的立方根是 ；63)81(-的立方根是2.若2b +和5的立方根，则a= ，b=3.若a<440-=m <b ，则a 、b 的值分别为4.a 的两个平方根是方程3x+2y=2的一组解，则a=5.已知a a a =-+-20092008，则a-20082= 6.如果一个数的平方根是a+3和2a-15，则这个数是 7.已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，则3a b13+++-d c ab 的值是8.若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则3222252cd ba b a ++-的值是 9.已知x 、y 都是实数，且422+-+-=x x y ，则y x 的平方根是10. 已知064.0)1(,121)7(32-=+=-y x ，则代数式3245102y y x x ++--的值是二 解答题1．解方程（1）2x 2=8 （2）126942-=x （3）x 2 = 49 (4) 9x 2=1625（5）4x 2—3=3.25 （6）（x+2）3= 125 （7）（2x-1）3=-8 （8）340+512x 3=-3（9）16x 2-361=0 （10）（x-1）2=25 (11) 169x 2=100 （12）2（4x-3）2=6(13) x 3-3=0 (14) （11）x 3—3=0.375 (15)-8(x-3)3=27 (16)(3x-2)3=8（17）8x 3+125=0 （18）64x 2-81=0 （19）(3x+2)2=16 （20）2x 2-0.5=0（21）31(21)42x -=- （22）01813=+x （23） 4)4(3=-x （24） 09)3(313=-+x2. 求值 （1）225 （2）16.0- （3）289144±（4）225 （5）2516-（6）0169.0± (7)(8)44.1（9）610- (10) 16949- (11)2)134(--（1344.1-21.1 (15)22422-+ (16)93353⋅+（17）)52)(53(-+ (18)221435-333332-+（21）1)31(3334-++ (22)55535- (23) 364 (24) 3125- （25）(26) (27)3027.0-(28)327125- （29） 3008.0- （30）38321+ （31）327102--- （32）3216.0412(484--)（33）3809.0-- （34） 23)1(1-+- （35）)33(3- （36）)212(2- （37）322322-+- （38）221213- （39）()23232-+-（40）2+32—52 （41）6(61-6) （42）|23-|+|23-|-|12-| (43）2328127()3+-+- （44）332)52()25(-- （45）2226(21)(63)-+---(46)32236415131691008.0-+-+⨯ (47) 0)01.0()1(100101.023+--+- 3.若28-++=b a a M 是（a+8）的算术平方根，423+--=b a b N 是（b-3）的立方根，求M+N 的平方根4.(1)已知m,n 为实数，且2620m n ++-=，解关于x 的方程(m+2)x 2+n 2=m-1 (2)若03)2(12=-+-+-z y x ，求z y x ++的值(3)△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，其中a 和b 满足()0322=-+-b a ，求c 的取值范围5.观察例题：∵974<<，即372<<，∴7的整数部分为2，小数部分为)27(-.请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果2的小数部分为a ，3的小数部分为b ，求532-+b a 的值6.计算：2211112++= ; 2211112+++2211123++=_______;2211112+++2211123+++2211134++= 由此猜想22111(1)n n +++=_______;2222222211111111111112233420032004++++++++++++L =7.(1)若实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图，化简：a b c a b c a ---+--(2)如图，A ，B 两点的坐标分别是(1,2),(4, 2)，c 点的坐标为（3,3）．（1）求△ABC 的面积；（2）将△ABC 向下平移3个单位，得到△A ′B ′C ′，则A ′，B ′，C ′的坐标分别是多少？（3）△A ′B ′C ′的面积是多少？(3)如图,平面内有四个点，它们的坐标分别是 )22,1(A )22,3(B )2,4(C )2,1(D ⑴依次连接A 、B 、C 、D ，围成的四边形是什么图形？并求它的面积⑵将这个四边形向下平移23个单位长度，四个顶点的坐标变为多少？。
2023八年级数学上册第二章实数7二次根式第3课时二次根式的混合运算教案(新版)北师大版
1.教材：确保每位学生都提前准备好北师大版《数学》八年级上册教材，翻到第二章实数7二次根式相关内容，以便课堂上随时翻阅和标注。
2.辅助材料：
-准备与二次根式混合运算相关的教学图片，如含有二次根式的实际应用题目图片，以直观展示数学在生活中的运用。
-制作动态图表，展示二次根式乘除运算的过程，帮助学生理解运算规则。
-设计课堂小测验，测试学生对二次根式混合运算规则的理解程度和运算能力，根据测试结果调整教学策略，针对性地进行辅导。
-利用课堂反馈表，让学生自我评价学习效果，反思学习过程，促进学生的自我管理和自我提升。
2.作业评价：
-对学生的课后作业进行认真批改，点评作业中的亮点和不足，及时反馈学生的学习效果，帮助学生明确自己的学习进步和需要改进的地方。
简要回顾本节课学习的二次根式混合运算内容，强调重点和难点。肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
根据本节课学习的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
学生学习效果
1.知识与技能：
-学生能够理解并掌握二次根式混合运算的规则，包括二次根式的乘除法运算，以及与整数、分数的混合运算。
-学生通过对比、归纳等学习方法，加深了对二次根式混合运算规则的理解，提高了逻辑思维能力和数学素养。
3.情感态度与价值观：
-学生在学习过程中，逐渐消除了对二次根式混合运算的恐惧和畏难情绪，增强了自信心和耐心。
-学生认识到数学与现实生活的紧密联系，培养了学以致用的意识，增强了学习数学的兴趣和动力。
-学生通过拓展知识的学习，拓宽了知识视野，激发了探索学科前沿的兴趣，培养了创新精神和探索意识。
核心素养数学学习后，已具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。在本章节的学习中，他们在知识层面，对二次根式的概念和基本性质有初步了解，但混合运算的掌握程度参差不齐。在能力方面，学生的运算能力和问题解决能力有待提高，特别是将二次根式与整数、分数结合进行混合运算时，需要加强练习以提升熟练度和准确性。
实数的教学设计(精编7篇)
实数的教学设计(精编7篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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第7章 实数 复习课件 2021--2022学年青岛版八年级数学下册
4、立方根的性质：
①一个正数有一个正的立方根；
②0的立方根是0；
③一个负数有一个负的立方根。
5、开立方：
求一个数的立方根的运算叫开立方。
1.下列说法正确有( C )
5
25
2
⑴5是25的算术平方根;⑵
√
√ 6 是 36 的一个平方根; ⑶ 4
的平方根是－4；⑷
√ 0的平方根与算术平方根都是0。
cm，则另一条直角边的长是（ C ）
A. 4cm B.4 3 cm C.6cm
D.6 3 cm
2．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的
周长为（ C
）
A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33
A
B
C
D
A
B
D
C
3．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙
上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶
4 17 5 4 17 5
2
2
4.0 17 4.5 4.0 17 4.5
2
2
1、与数轴上的点是一一对应关系的是（ D ）
A.有理数 B.无理数 C.整数 D.实数
16 ,
2、下列各数中3.14,π,0.161161116……, 3 5，
22
,
7
A.3个
4、如果一个正数的两个平方根为 2a 7 和 a 1
(2a-7)+(a+1)=0
9
则这个正数是_____
9
５.若 m n 2 2 n 3，则m ____
n
n-2≥0
2-n≥0
∴n=2 ∴m=2
七个实数基本定理
从开始学习数学分析至今，我们共学习了七个实数基本定理，他们分别是： ○1127页中间值定理 ○256页单调有界有极限定理 ○3确界定理 ○459页区间套定理 ○5附录4Borel 有限覆盖定理 ○662页有界必有限 ○764页Cauchy 收敛原理 书上证明各定理的思路是：从○1出发证明○2及○3，并证明○1、○2、○3相互等价，此过程中得到：“单调上升有上界数列的极限即为数列上确界”这一加强结论。
由○2及此加强结论可证出○4，再由○4分别证出○5及○6，由○6证出○7。
下面给出这七个实数基本定理之间相互等价的证明，大概思路如下：⇔⇔⇒⇔⇒⇒⇒①④⑦②⑥②③⑤④详细证明如下： ⇒①④已知有区间套[]{},n n a b 满足()lim 0n n n b a →∞-=，[][]()11,,n n n n a b a b n ++⊂∀。
要证存在唯一的[]1,n n n r a b ∞=∈ ，且lim lim n n n n b a r →∞→∞==记{}n a 全体上界组成的集合为B ，\A =B R 。
由[][]()11,,n n n n a b a b n ++⊂∀，知121n n a a a b b ≤≤⋅⋅⋅≤≤≤⋅⋅⋅。
显然11a -∈A ，11b +∈B ，且{}n b ⊂B ，故知A B、不空；由A =B R \知A B 、不漏；,a b ∀∈A ∀∈B ，由于a 不是{}n a 的上界，因此存在{}0n n a a ∈，使0n a a <。
而b 是{}n a 上界之一，所以0n a b ≤，故0n a a b <≤，即a b <，故不乱，因此|A B 构成实数的一个分划。
由①知，存在唯一的r ，,a b ∀∈A ∀∈B ，有a b ≤。
下证[]1,n n n r a b ∞=∈ ，即,n n n a r b ∀≤≤若∃N ，使n a r >，则2n n a r a +<，因此2n a r +∈A ，而2n a r r +>，与,a a r ∀∈A ≤矛盾。
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超级演练 知识拓展
同步冲刺 能力冲浪 归纳总结
有一个人，是他第一个发现了除有理数外 的数，却被抛进大海，你想知道这其中的曲折 离奇吗？
这得追溯到2500年前，有个叫毕达哥拉斯 的人，他是一个伟大的数学家，他创立了毕达 哥拉斯学派，这是一个非常神秘的学派，他们 以领袖毕达哥拉斯为核心，认为毕达哥拉斯是 至高无尚的，他所说的一切都是真理。 毕达哥拉斯( Pythagoras) 认为“宇宙间的一切
3
2
1 1
2 -1
0
1
2
例：把下列实数表示在数轴上，
并比较它们的大小（用“＜”号连 接）
2 , 2, 1 , 3 2, 1.5
在数轴上表示的两个实数，右边的数总 比左边的数大。
在实数范围内，每一个数都可以用数轴 上的点来表示；
反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
实数与数轴上的点一一对应。
现象都能归结为整数或整数之比，即都可用
有理数来描述。
但后来，这学派的一位年轻成员希伯索斯 (Hippasus) 发现边长为1的正方形的对角线的 长不能用有理数来表示，这就动摇了毕达哥拉 斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌，他们试 图封锁这一发现，然而希伯索斯偷偷将这一发 现传播出去，这为他招来了杀身之祸，在他逃 回家的路上，遭到毕氏成员的围捕，被投入大 海。 他这一死，使得这类数的计算推迟了500 多年，给数学的发展造成了不可弥补的损失。 这是怎样的一类数呢？
2
, 2 1
像 7,
3, 12 的数是无理数。
25
25 5 25是有理数
有一定的规律，但不循环的无限小数 都是无理数。
例如：
0.1010010001…〔两个1之间依次多1个0〕
—234.232232223…〔两个3之间依次多1个2〕
0.12345678910111213 …〔小数部分有相继的正 整数组成〕
阿基米德
（古希腊）
祖冲之
(南北朝)
刘徽
（魏晋时期）
至2002年底，科学家们用超级计算机已把
的值算到小数点后12411亿位.
（1）若正方形的边长是6，则它的面积是 （2）若正方形的边长是a，则它的面积是 （3）若正方形的面积是25，则它的边长是 （4）若正方形的面积是2，则它的边长是
36
a
2
5
2
把两个边长为1的小正方形通过剪、 拼，设法得到一个大正方形
1 1 1 1
2
2
是不是有理数？
2 是不是整数？ 2 是不是分数？
2 2
2 2
∴绝对值等于 2 的数是 2 和 2
填空：
3 （1） 3 的相反数是__________ （2） 3 的相反数是
5 （3） 5 ___________
3
6 （4）绝对值等于 6 的数是 _________
把下列实数表示在数轴上，并 比较它们的大小（用“＜”号 1 连接） , 2, 2 , 2 , 1.5
实数 无理数
有理数
实数 正无理数 无理数 （无限不循环小数）
整数 有理数 分数
有理数和无理数统称为实数。 正有理数
或有理数 零 负有理数
负无理数
把数从有理数扩充到实数以后，有理数的 相反数和绝对值的概念同样适用于实数。 例如： 2 和 2互为相反数 ∵
结论： 2 既不是整数，也不是分数。
所以， 2 不是有理数。
用这种方法可以得到一系列越来越接近 2
的 近似值。
2 1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 6
我们把这无理数
例如：
,
判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？
6,
2
,
1. 2 3,
22 , 7,
22 , 36 7
36
1.232232223 (两个3之间依次多一个2)
有理数是： 无理数是：
1. 2 3
6 ,
2 ,
1.232232223 (两个3之间依次多一个2)
有理数和无理数统称为实数。