【精编】数学选修22人教A讲义：模块综合试卷

模块综合试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在复平面内，复数z ＝2i1＋i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点 共轭复数的定义与应用 题点 共轭复数与点的对应 答案 D解析 ∵z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z 在复平面内对应的点位于第四象限．2．曲线y ＝sin x ＋e x (其中e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在点(0,1)处的切线的斜率为( ) A ．2 B ．3 C.13D.12考点 求函数在某点处的切线斜率或切点坐标 题点 求函数在某点处的切线的斜率 答案 A解析 ∵y ′＝cos x ＋e x ，∴k ＝y ′|x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，故选A. 3．观察下列等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，….猜想第n (n ∈N *)个等式应为( ) A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9 B ．9(n －1)＋n ＝10n －9 C ．9n ＋(n －1)＝10n －1 D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10 考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 B解析 注意观察每一个等式与n 的关系，易知选项B 正确． 4．ʃ2π0|sin x |dx 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．4考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 D解析 ʃ2π0|sin x |dx ＝ʃπ0sin xdx ＋ʃ2ππ(－sin x )d x ＝－cos x |π0＋cos x |2ππ＝1＋1＋1＋1＝4.5．已知在正三角形ABC 中，若D 是BC 边的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD ＝2.若把该结论推广到空间，则有：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若三角形BCD 的重心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 C解析 由题意知，O 为正四面体的外接球和内切球的球心．设正四面体的高为h ，由等体积法可求得内切球的半径为14h ，外接球的半径为34h ，所以AOOM ＝3.6．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A.12 B ．－1 C ．0D ．1考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 D解析 由f ′(x )＝3－12x 2＝3(1＋2x )(1－2x )＝0，解得x ＝±12，∵－12∉[0,1](舍去)．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，f ′(x )<0， ∴f (x )在[0,1]上的极大值为 f ⎝⎛⎭⎫12＝32－4×⎝⎛⎭⎫123＝1.又f (0)＝0，f (1)＝－1，∴函数最大值为1.7．若函数f (x )＝ax 2＋ln x 的图象上存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，1) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)考点 导数与曲线的切线问题 题点 切线存在性问题 答案 A解析 易知f ′(x )＝2ax ＋1x(x >0)．若函数f (x )＝ax 2＋ln x 的图象上存在垂直于y 轴的切线， 则2ax ＋1x ＝0存在大于0的实数根，即a ＝－12x2<0.8．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3 考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面的应用 答案 B解析 若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与“a ，b ，c 是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a ，b ，c 是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确． 9．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为( ) A ．900元 B ．840元 C ．818元D ．816元 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 用料、费用最少问题 答案 D解析 设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意，得l ＝15×483＋12×2⎝⎛⎭⎫3x ＋48x ＝240＋72⎝⎛⎭⎫x ＋16x (x >0)，l ′＝72⎝⎛⎭⎫1－16x 2. 令l ′＝0，解得x ＝4或x ＝－4(舍去)． 当0<x <4时，l ′<0；当x >4时，l ′>0. 故当x ＝4时，l 有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选D. 10．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)>F (2x －1)的实数x 的取值范围为( ) A ．(－1,2) B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎝⎛⎭⎫12，2D ．(－2,1)考点 利用导数研究函数的单调性 题点 已知函数值大小求未知数 答案 A解析 ∵f (x )是奇函数，∴不等式xf ′(x )<f (－x )等价于xf ′(x )<－f (x )即xf ′(x )＋f (x )<0， ∵F (x )＝xf (x )，∴F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，即当x ∈(－∞，0]时，F ′(x )<0，函数F (x )为减函数． ∵f (x )是奇函数，∴F (x )＝xf (x )为偶函数，且当x >0时，为增函数，即不等式F (3)>F (2x －1)等价于F (3)>F (|2x －1|)，∴|2x －1|<3，∴－3<2x －1<3，得－1<x <2，故选A.11．若由曲线y ＝x 2＋1，直线x ＋y ＝3以及两坐标轴的正半轴所围成的图形的面积为S ，则S 等于( )A.73B.83 C ．3 D.103考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 需分割的图形的面积求解 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝5，所以所求面积为图中阴影部分的面积．所以S ＝ʃ10(x 2＋1)d x ＋ʃ31(3－x )d x ＝13＋1＋⎝⎛⎭⎫9－92－⎝⎛⎭⎫3－12＝103. 12．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值 考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值 答案 C解析 当k ＝1时，f ′(x )＝e x ·x －1，f ′(1)≠0， ∴x ＝1不是f (x )的极值点．当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x －2)， 显然f ′(1)＝0，且在x ＝1附近的左侧f ′(x )<0， 在x ＝1附近的右侧f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取到极小值．故选C .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________． 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 答案 5解析 z ＝(2－i)2＝3－4i ，所以|z |＝|3－4i|＝32＋(－4)2＝5.14．已知不等式1－3x ＋a <0的解集为(－1,2)，则ʃ20⎝⎛⎭⎫1－3x ＋a d x ＝________. 考点 利用微积分基本定理求定积分 考点 利用微积分基本定理求定积分 答案 2－3ln 3解析 由1－3x ＋a <0，得－a <x <3－a ，又不等式1－3x ＋a<0的解集为(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝－1，3－a ＝2，解得a ＝1， ∴ʃ20⎝⎛⎭⎫1－3x ＋a d x ＝ʃ20⎝⎛⎭⎫1－3x ＋1d x ＝[x －3l n (x ＋1)]|20＝2－3ln 3.15．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数 答案 [－3，3]解析 依题意可知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数， 所以f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立， 则Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.16．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．1 12 12 13 14 13 14 17 17 14 15 111 111 111 15考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数阵(表)中的应用 答案1191解析 设第n (n ≥2且n ∈N *)行的第2个数字为1a n ，其中a 1＝1，则由数阵可知a n ＋1－a n ＝n ，∴a 20＝(a 20－a 19)＋(a 19－a 18)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝19＋18＋…＋1＋1＝19×202＋1＝191，∴1a 20＝1191. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知复数z 满足|z |＝2，z 的虚部为1，且在复平面内表示的点位于第二象限． (1)求复数z ；(2)若m 2＋m ＋mz 2是纯虚数，求实数m 的值． 考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数 解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则a 2＋b 2＝2，b ＝1.因为在复平面内表示的点位于第二象限，所以a <0， 所以a ＝－1，b ＝1，所以z ＝－1＋i. (2)由(1)得z ＝－1＋i ，所以z 2＝(－1＋i)2＝－2i ， 所以m 2＋m ＋mz 2＝m 2＋m －2m i. 又因为m 2＋m ＋mz 2是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，－2m ≠0，所以m ＝－1.18．(12分)已知a >5，求证：a －5－a －3<a －2－a . 考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题证明 要证a －5－a －3<a －2－a ， 只需证a －5＋a <a －3＋a －2， 即证(a －5＋a )2<(a －3＋a －2)2， 即证2a －5＋2a 2－5a <2a －5＋2a 2－5a ＋6， 只需证a 2－5a <a 2－5a ＋6， 只需证a 2－5a <a 2－5a ＋6，即证0<6，显然0<6成立，所以a －5－a －3<a －2－a .19．(12分)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值． 考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 解 f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋1(0<x <2π)， 令f ′(x )＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－22， 解得x ＝π或x ＝32π.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如表：所以f (x )的单调增区间为(0，π)和⎝⎛⎭⎫32π，2π，单调减区间为⎝⎛⎭⎫π，32π. f (x )极大值＝f (π)＝π＋2，f (x )极小值＝f ⎝⎛⎭⎫32π＝3π2.20．(12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n －1，且a n >0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明． 考点 数学归纳法证明数列问题 题点 利用数学归纳法证明数列通项问题 解 (1)a 1＝S 1＝a 12＋1a 1－1，所以a 1＝－1±3.又因为a n >0，所以a 1＝3－1. S 2＝a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，所以a 2＝5－ 3.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 32＋1a 3－1，所以a 3＝7－ 5.(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1－2n －1，n ∈N *. 下面用数学归纳法加以证明：①当n ＝1时，由(1)知a 1＝3－1成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时， a k ＝2k ＋1－2k －1成立． 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋12＋1a k ＋1－1－⎝⎛⎭⎫a k 2＋1a k －1 ＝a k ＋12＋1a k ＋1－2k ＋1， 所以a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0， 所以a k ＋1＝2(k ＋1)＋1－2(k ＋1)－1， 即当n ＝k ＋1时猜想也成立． 综上可知，猜想对一切n ∈N *都成立．21．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2. (1)求f (x )的单调区间和极大值；(2)证明对任意x 1，x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 利用导数证明不等式问题(1)解 由奇函数的定义， 应有f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝0. 因此f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c .由条件f (1)＝－2为f (x )的极值，必有f ′(1)＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得a ＝1，c ＝－3. 因此f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， f ′(－1)＝f ′(1)＝0.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0， 故f (x )在区间(－∞，－1)上是增函数； 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0， 故f (x )在区间(－1,1)上是减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在x ＝－1处取得极大值，极大值为f (－1)＝2. (2)证明 由(1)知，f (x )＝x 3－3x (x ∈[－1,1])是减函数， 且f (x )在[－1,1]上的最大值M ＝f (－1)＝2， f (x )在[－1,1]上的最小值m ＝f (1)＝－2. ∴对任意的x 1，x 2∈(－1,1)， 恒有|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝2－(－2)＝4. 22．(12分)已知函数f (x )＝e x ＋2x 2－3x .(1)求证：函数f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极值点；(2)当x ≥12时，若关于x 的不等式f (x )≥52x 2＋(a －3)x ＋1恒成立，试求实数a 的取值范围．考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围 (1)证明 f ′(x )＝e x ＋4x －3，∵f ′(0)＝e 0－3＝－2<0，f ′(1)＝e ＋1>0， ∴f ′(0)·f ′(1)<0.令h (x )＝f ′(x )＝e x ＋4x －3，则h ′(x )＝e x ＋4>0， ∴f ′(x )在区间[0,1]上单调递增， ∴f ′(x )在区间[0,1]上存在唯一零点，∴f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极小值点． (2)解 由f (x )≥52x 2＋(a －3)x ＋1，得e x ＋2x 2－3x ≥52x 2＋(a －3)x ＋1，即ax ≤e x －12x 2－1，∵x ≥12，∴a ≤e x －12x 2－1x .令g (x )＝e x －12x 2－1x ，则g ′(x )＝e x (x －1)－12x 2＋1x2. 令φ(x )＝e x (x －1)－12x 2＋1，则φ′(x )＝x (e x －1)．∵x ≥12，∴φ′(x )>0.∴φ(x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增． ∴φ(x )≥φ⎝⎛⎭⎫12＝78－12e>0.因此g ′(x )>0，故g (x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增， 则g (x )≥g ⎝⎛⎭⎫12＝12e －18－112＝2e －94，∴a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，2e －94.。