2016年秋季新版青岛版九年级数学上学期4.5、一元二次方程的应用同步练习
九年级数学上册一元二次方程的实际应用同步练习及答案
一元二次方程的实际应用——典型题专项训练知识点 1 用一元二次方程解决几何图形问题1．某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10 m．设游泳池的长为x m，则可列方程为( )A．x(x－10)＝375 B．x(x＋10)＝375C．2x(2x－10)＝375 D．2x(2x＋10)＝3752．如图2－6－1所示，某小区计划在一块长20 m，宽15 m的矩形荒地上建造一个花园(图中阴影部分)，使得花园所占面积为荒地面积的一半，其中每个角上的扇形都相同，则每个扇形的半径x是多少？(精确到0.1 m)图2－6－1知识点 2 用一元二次方程解决动态几何图形问题3．如图2－6－2，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，BC＝6 cm，动点P，Q 分别从点A，C出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时点Q以2 cm/s的速度向点D移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动．经过多长时间，P，Q两点之间的距离是10 cm?图2－6－24．教材习题2.9第2题变式题如图2－6－3所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm, 点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 cm/s.当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动．经过几秒后，△PCQ的面积为Rt△ACB面积的四分之一？图2－6－35．如图2－6－4所示，一根木棍OE垂直平分柱子AB，AB＝200 cm，OE＝260 cm，一只老鼠C由柱子底端点A以2 cm/s的速度向顶端点B爬行，同时，另一只老鼠D由点O以3 cm/s的速度沿木棍OE爬行，当老鼠C在线段OA上时，是否存在某一时刻，使两只老鼠与点O组成的三角形的面积为1800 cm2？若存在，求出爬行的时间；若不存在，请说明理由．图2－6－46．如图2－6－5，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A沿边AB向点B 以1 cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，经过x s 后△PDQ的面积等于28 cm2，则x的值为( )A．1或4 B．1或6C．2或4 D．2或62－6－52－6－67．如图2－6－6，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝12 cm，点D从点A开始沿AB 边以2 cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，则点D出发________时，四边形DFCE的面积为20 cm2.8．某单位准备将院内一块长30 m、宽20 m的长方形空地建成一个矩形花园．要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图2－6－7所示．要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)图2－6－79．如图2－6－8所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止．(1)几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?(2)几秒后，PQ的长度等于5 cm?(3)△PBQ的面积能否等于7 cm2?图2－6－810．如图2－6－9，已知一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心2010海里的圆形区域(包括边界)都属台风区．当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向的B处，且AB＝100海里，若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求经过多长时间轮船最初遇到台风；若不会，请说明理由．图2－6－91．A2．解：根据题意，得4×14πx2＝12×20×15，解得x1≈6.9，x2≈－6.9(舍去)．答：每个扇形的半径x大约是6.9 m.3．解：设经过x s，P，Q两点之间的距离是10 cm，根据题意，得62＋(16－5x)2＝102，整理，得25x2－160x＋192＝0，解得x1＝1.6，x2＝4.8.答：经过1.6 s或4.8 s，P，Q两点之间的距离是10 cm.4．解：设经过x s后，△PCQ的面积为Rt△ACB面积的四分之一．根据题意，得12(6－x)(8－x)＝12×6×8×14，化简，得x2－14x＋36＝0，解得x1＝7＋13(舍去)，x2＝7－13.所以经过(7－13)s后，△PCQ的面积为Rt△ACB面积的四分之一．5．解：存在．因为OE垂直平分AB，AB＝200 cm，所以OA＝100 cm.当老鼠C在OA上运动时，设两只老鼠同时爬行x s时，两只老鼠与点O组成的△COD 的面积为1800 cm2，则AC＝2x cm，OC＝(100－2x)cm，OD＝3x cm.由S△OCD＝12OC·OD，得12(100－2x)·3x＝1800.整理，得x2－50x＋600＝0.解得x1＝20，x2＝30.当x＝20时，2x＝40<100；当x＝30时，2x＝60<100，所以x＝20和x＝30均符合题意．所以当两只老鼠同时爬行20 s或30 s时，它们与点O组成的△COD的面积为1800 cm2.6．C [解析] ∵S矩形ABCD－S△APD－S△BPQ－S△CDQ＝S△PDQ，∴12×6－12×12x－12×2x(6－x)－12×6×(12－2x)＝28，化简、整理，得x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4.7．1 s或5 s [解析] 设点D出发x s时，四边形DFCE的面积为20 cm2，由题意，得12×12×12－12×4x2－12×(12－2x)2＝20，化简、整理得x2－6x＋5＝0，解得x1＝1，x2＝5.8．解：设小道进出口的宽度应为x m，根据题意，得(30－2x)(20－x)＝532.整理，得x2－35x＋34＝0.解得x1＝1，x2＝34.∵34>30，∴不合题意，舍去，∴x＝1.答：小道进出口的宽度应为1 m.9．解：(1)设x s后，△PBQ的面积等于4 cm2.此时AP＝x cm，BP＝(5－x)cm，BQ＝2x cm.由S△PBQ＝12BP·BQ＝4，得12(5－x)·2x＝4.整理，得x2－5x＋4＝0.解得x1＝1，x2＝4.当x＝4时，2x＝8>7，说明此时点Q越过点C，不符合要求，舍去，∴1 s后，△PBQ的面积等于4 cm2.(2)设y s后PQ的长度等于5 cm，此时AP＝y cm，BP＝(5－y)cm，BQ＝2y cm.由BP2＋BQ2＝52，得(5－y)2＋(2y)2＝52.整理，得y2－2y＝0.解得y1＝0(不合题意，舍去)，y2＝2.∴2 s后，PQ的长度等于5 cm.(3)假设△PBQ的面积能等于7 cm2，此时点P，Q的运动时间为z s，则12(5－z)·2z＝7，整理，得z2－5z＋7＝0.∵(－5)2－4×7＝－3<0，∴方程没有实数根，∴△PBQ的面积不可能等于7 cm2.10．解：假设轮船途中会遇到台风，且经过t h最初遇到，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连接CE，则AC＝20t，AE＝AB－BE＝100－40t.∵AC2＋AE2＝EC2，∴(20t)2＋(100－40t)2＝(2010)2，400t2＋10000－8000t＋1600t2＝4000，t2－4t＋3＝0，(t－1)(t－3)＝0，解得t1＝1，t2＝3(不合题意，舍去)．答：若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会遇到台风，经过1 h轮船最初遇到台风．。
九年级数学上册 4.5 一元二次方程的应用 点击中考中一元二次方程的应用素材 (新版)青岛版
点击中考中一元二次方程的应用构造一元二次方程模型解决实际问题是中考的热点之一，下面以2004年部分中考试题为例加以说明．一、市场经营问题例1、某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加了10％，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的平均月增长率．解：设3月份至5月份营业额的平均月增长率为x ．由题意，得2400(110)(1)633.6x ++=％，整理，得()21 1.44x +=，解得120.2 2.2x x ==-，（不合题意，舍去）．所以，3月份到5月份营业额的平均月增长率为20％．二、农业税问题例2、今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税，某乡今年人均上缴农业税25万，若两年后人均上缴农业税为16万，假设这两年降低的百分率相同．（1）求降低的百分率；（2）小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？（3）小红所在的乡约有16 000农民，问该乡农民明年减少多少农业税？解：（1）设降低的百分率为x ，由题意，得 225(1)16x -=，解得120.220 1.8x x ===％，（不合题意，舍去）．（2）小红家减少的农业税额为2520420⨯⨯=％（元）．（3）全乡减少的农业税额为25201600080000⨯⨯=％ （元）．三、环保问题例3、据某城市的统计资料显示，到2003年末该城市堆积的垃圾已达50万吨，不但侵占了大量土地，而且已成为一个重要的污染源，从2004年起，该城市采取有力措施严格控制垃圾的产生量，但根据预测，每年仍将产生3万吨的新垃圾，垃圾处理已成为该城市建设中的一个重要问题．（1）若2000年末该城市堆积的垃圾为30万吨，则2001年初至2003年末产生的垃圾总量为 万吨．已知2001年产生的垃圾量为5万吨，求从2001年初至2003年末产生的垃圾量的年平均增长率是多少？2.2363.606；结果保留两个有效数字）（2）若2004年初，该城市新建的垃圾处理厂投入运行，打算到2008年底前把所堆积的新、旧垃圾全部处理完，则该厂平均每年至少需处理垃圾多少万吨？解：（1）由题意，得503020-=（万吨）．设从2001年初至2003年末产生的垃圾量的年平均增长率为x ．由题意，得255(1)5(1)5030x x ++++=-，解这个方程，得123322x x -+-==（不合题意，舍去），即3302x -+=％． （2）5035135+⨯=（万吨）． 四、几何问题例4、如图，正方形ABCD 的边长为12，划分成1212⨯个小正方形格．将边长为n （n 为整数，且211n ≤≤）的黑白两色正方形纸片按图中的方式黑白相间地摆放，第一张n n ⨯的纸片正好盖住正方形ABCD 左上角的n n ⨯个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(1)(1)n n -⨯-的正方形．如此摆放下去，最后直到纸片盖住正方形ABCD 的右下角为止．请你认真观察思考后，回答下列问题：（1）由于正方形纸片边长n 的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：（2）设正方形ABCD 被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为1S ，未被盖住的面积为2S ．①当2n =时，求12:S S 的值；②是否存在使得12S S =的n 值，若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由． 解：（1）依次为：11，10，9，8，7．A B CD（2）22221(12)(1)2512S n n n n n n ⎡⎤=+---=-+-⎣⎦． ①当2n =时，21222521234121224110S S =-+⨯-==⨯-=，，所以12:34:11017:55S S ==．②若12S S =时，则有2212512122n n -+-=⨯，即225840n n -+=，解之，得12421n n ==，（舍去）．所以当4n =时，12S S =，即这样的n 值是存在的．。
九年级数学上册第4章一元二次方程4.1一元二次方程练习(新版)青岛版
4.1 一元二次方程1. 下列方程一定是关于x 的一元二次方程的是 （ ）A. 2120x x+-= B. 223x y += B. C. 22(1)0a x += D. 12xy = 2. 已知1是关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++= 的一个根 ，则m 的值是（ ）A ．1 B. -1 C. 0 D. 无法确认3. 地理兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组成员各赠送一件，全组共互赠了132件，如果全组有x 名同学，则根据题意可以列出的方程是（ ）A. (1)132x x +=B. (1)132x x -=B. C. 2(1)132x x +=D. 2(1)132x x -=4.若方程2(1)0m x -=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A. 1m ≠B. 0m ≥C. 0m ≥且1m ≠D. 任意实数5.目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系. 某校去年上半年发给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年．．．发放的资助金额的平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ）A. 2438(1)389x +=B. 2389(1)438x +=C. 389(12)438x +=D. 438(12)389x +=6．只含有 个未知数的 次数是 的整式方程叫做一元二次方程。
7. 任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成 的形式.这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中2ax 、bx 、c 分别叫做二次项、一次项和常数，a 、b 分别叫 系数和 系数.8.下列方程：①20x =；②21x x =-；③20ax bx c ++=；④(1)0x x -=；⑤2(1)x x x -=；⑥2110x x++=；⑦221x x +-；⑧222k x x x =- 其中，一元二次方程有 .(填序号)9. 把方程(2)3(1)x x x -=+化为一元二次方程的一般形式是 ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 .10. 已知1x =是一元二次方程20x ax b ++=的一个根，则代数式222a b ab ++的值是 .11. 把下列关于的一元二次方程划为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项：（1） (5)(21)4x x --=（2） 22(8)6(21)x x x +=+-.12. 教材或资料会出现这样的题目：把方程2122x x -=化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答：（1） 下列式子中，哪些是2122x x -=方程所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号） ①21202x x --=；② 21202x x -++=；③ 224x x -=； ④ 2240x x -++=；20--=（2） 方程2122x x -=化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数、一次项系数和常数项之间具有什么关系？13. 若一元二次方程2(1)(1)0a x b x c ++++=化为一般形式后为23210x x +-=，试求222a b c +-的值得算数平方根.14. 已知x 关于的方程22(9)(3)50m x m x -++-=.（1）当m 为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的解；（2）当m 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项，一次项系数及常数项.15. 如图，某小区规划在一个长30m ，宽20m 的矩形ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条鱼AB 平行，另一条于AD 平行，其余部分种花草.要使每一块花草面积都为782m ，那才能通道宽应设计成多少米？设通道的宽为x m ，由题意列出方程.第15题图16. 若关于x 的方程1(3)(6)90m m x m x -++-+=是一元二次方程，试求m 的值，并计算这个一元二方程的各项系数之和.参考答案1．C 2. B 3. B 4. C 5. B6. 一 最高 27．20ax bx c ++=（a 、b 、c 是常数，且0a ≠）二次项 一次项6. ①②④⑧9. 2530x x --= 1 -5 -310. 111. (1) 221110x x -+= 2 -11 1(2) 2314630x x --= 3 -14 -6312. (1) ①②③④⑤(2) 若设它的二次项系数为(0)a a ≠，则一次项系数为-2a ，常数项为-4a. 二次项系数：一次项系数： 常数项=1：（-2）：（-4）.13. 2514. (1) 3m =,56x =(2) 3m ≠±,二次项系数为29m -，一次项系数为3m +，常数项为-515．(302)(20)468x x --=16．m=3,各项系数之和为12。
九年级数学上册第4章一元二次方程4用因式分解法解一元二次方程同步练习青岛版(1)(1)
用因式分解法解一元二次方程一、填空题1.如果两个因式的积是零，那么这两个因式至少有__________等于零；反之，如果两个因式中有__________等于零，那么它们之积是__________.2.方程x2－16=0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程___________或___________，分别解得：x1=_________，x2=_________.3.填写解方程3x(x+5)=5(x+5)的过程解：3x(x+5)__________=0(x+5)(__________)=0x+5=__________或__________=0∴x1=__________，x2=__________4.用因式分解法解一元二次方程的关键是（1）通过移项，将方程右边化为零（2）将方程左边分解成两个__________次因式之积（3）分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程（4）分别解这两个__________，求得方程的解5.x2－(p+q)x≠qp=0因式分解为____________.6.用因式分解法解方程9=x2－2x+1(1)移项得__________；（2）方程左边化为两个平方差，右边为零得__________；（3）将方程左边分解成两个一次因式之积得__________；（4）分别解这两个一次方程得x1=__________，x2=__________.二、选择题1.方程x2－x=0的根为A.x=0B.x=1C.x1=0，x2=1D.x1=0，x2=－12.方程x(x－1)=2的两根为A.x1=0，x2=1B.x1=0，x2=－1C.x1=1，x2=－2D.x1=－1，x2=2 3.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是A.(2x －2)(3x －4)=0 ∴2－2x=0或3x －4=0B.(x+3)(x －1)=1 ∴x+3=0或x －1=1C.(x －2)(x －3)=2×3 ∴x －2=2或x －3=3D.x(x+2)=0 ∴x+2=04.方程ax(x －b)+(b －x)=0的根是A.x1=b ，x2=aB.x1=b ，x2=a 1C.x1=a ，x2=b 1D.x1=a2，x2=b25.已知a2－5ab+6b2=0，则a b b a等于21331D.2 31321C.2 31B.3 21A.2或或解方程1.x2－25=02.(x+1)2=(2x －1)23.x2－2x+1=44.x2=4x四、求证如果一个一元二次方程的一次项系数等于二次项系数与常数项之和，则此方程必有一根是－1.参考答案一、1.一个因式 一个因式 零2.(x+4)(x －4) x+4=0 x －4=0 4 －43.－5(x+5) 3x －5 0 3x －5 －5 354.一 一元一次方程5.(x －p)(x －q)=06.9－(x2－2x+1)=0 32－(x －1)2=0 (3－x+1)(3+x －1)=0 4 －2二、1.C 2.D 3.A 4.B 5.C 三、1.解：(x+5)(x －5)=0∴x+5=0或x －5=0∴x1=5，x2=－52.解：(x+1)2－(2x －1)2=0(x+1+2x －1)(x+1－2x+1)=0∴3x=0或－x+2=0，∴x1=0，x2=23.解：x2－2x －3=0(x －3)(x+1)=0∴x －3=0或x+1=0，∴x1=3，x2=－14.解：x2－4x=0x(x －4)=0∴x=0或x －4=0，∴x1=0，x2=4四、证明：设这个一元二次方程为 ax2+(a+c)x+c=0(a≠0)则(ax+c)(x+1)=0∴ax+c=0或x+1=0∴x1=－a c，x2=－1.。
青岛版初中数学九年级上册《一元二次方程》跟踪练习
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《一元二次方程》跟踪练习
一. 选择题
1. 如果(a－1)x2＋ax＋a2－1＝0 是关于 x 的一元二次方程，那么必有（ ）
A. a≠0
B. a≠1
4. C
5. C
6. a≠±1
7. 4
8. k＝±3
9. 1
k 2 1 0
10.
解：（1）当
k
1
0
，即 k＝1 时，原方程为一元一次方程，
（2）依据题意，有 k2－1. 由题意得：a ＝2，b＝－3 ∵ax2＋bx＋c＝0 的一个根是 1
C. a≠－1
D. a＝±－1
2. 某种产品原来每件的成本是 100 元，由于连续两次降低成本 ，现在的成
本是 81 元，设平均每次降低成本的百分率为 x，则所得方程为（ ）
A. 100(1＋x)2＝81
B. 100(1－x)2＝81
C. 81 (1－x)2＝100
D. 81(1＋x)2＝100
3. 若 a－b＋c＝0，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有一根是（ ）
∴a＋b＋c＝0 ∴c＝－(a＋b)＝－2＋3＝1
1 y2 c 0, 变变变 ∴4
1 y2 1 0
4
，解得：y1＝2，y2＝－2
12. （1）(4－x)2＋(3＋x)2＝52；
（2）设花园的宽为 xm，x(19－2x)＝24；
（3）n(n－1)＝132； （4）14400(1＋x)2＝16900
（3）有 n 支球队参加排球联赛，每队都与其余各队比赛 2 场，联赛的总场 次为 132 次，问共有多少支球队参加联赛？
秋开学九年级数学上册 第3章 一元二次方程同步训练 青岛版
第3章 一元二次方程检测题（本检测题满分：120分 时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共36分）1.下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A.22310x x+-= B.25630x y --= C.220ax x -+= D.22(1)0a x bx c +++=2.已知2121003m x x m -++=是关于x 的一元二次方程，则的值为（ ） A.2 B.23 C.32 D.无法确定 3.若(0)n n ≠是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m n +的值为（ ）A.1B.2C.-1D.-24.方程b a x =-2)(（）的根是（ ）A.x a =B.x (a =±C.x a =±+x a =±5.方程2(2)9x -=的解是（ ）A.125,1x x ==-B.125,1x x =-=C.1211,7x x ==-D.1211,7x x =-=6.如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A.14k >- B.14k >-且0k ≠ C.14k <- D.14k ≥-且0k ≠ 7.定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知20(0)ax bx c a ++=≠是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A.a c =B.a b =C.b c =D.a b c ==8.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长等于（ ）A ．3 C ．6 D ．99.某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） A. B.C.D. 10.当代数式532++x x 的值为7时，代数式2932-+x x 的值为（ ）A.4B.2C.-2D.-411.若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围 是（ ）A.1m <-B.1m <C.1m >-D.1m >12.若关于x 的一元二次方程21230()a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A.2B.1C.0D.-1二、填空题（每小题3分，共15分）13.若22(3)49x m x +-+是完全平方式，则的值等于________．14.无论取任意实数，多项式222416x y x y +--+的值总是_______数． 15.如果，那么x 与y 的关系式是________． 16.如果关于x 的方程022=--k x x 没有实数根，则k 的取值范围为_____________.17.已知1x =-是关于x 的方程2220x ax a +-=的一个根，则a =_______．三、解答题（共69分）18.（9分）在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：22a b a b ⊕=-，求方程（4⊕3）⊕24x = 的解．19.（9分）若关于x 的一元二次方程012)1(22=-++-m x x m 的常数项为0，求m 的值.20.（10分）已知的值． 21.（10分）求证：关于x 的方程01)12(2=-+++k x k x 有两个不相等的实数根．22.（10分）若关于的一元二次方程2(2)210a x ax a --++=没有实数解，求30ax +>的解集（用含a 的式子表示）．23．（10分）若方程22x x -的两根是和，方程 的正根是，试判断以为边的三角形是否存在．若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由．24．（11分）在长为，宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长.第24题图第3章 一元二次方程检测题参考答案1.D 解析：选项A 是分式方程；选项B 是二元二次方程；选项C 中只有在满足0a ≠的条件下才是一元二次方程；选项D 二次项系数2(1)0a +≠恒成立.故根据定义判断选D.2.C 解析：由题意得212m -=，解得32m =.故选C.3.D 解析：将x n =代入方程得220n mn n ++=，∵ 0n ≠，∴ 20n m ++=， ∴ 2m n +=-.故选D.4.A 解析：原方程可化为x a -= x a =5.A 解析：∵ 2(2)9x -=，∴ 23x -=±,∴ 125,1x x ==-.故选A.6.B 解析：依题意得2220(21)410，，k k k ⎧≠⎪⎨+-⨯>⎪⎩解得14k >-且0k ≠.故选B ． 7.A 解析：依题意得2040，，a b c b ac ++=⎧⎨-=⎩整理得2()4a c ac +=, ∴ 2()0a c -=,∴ a c =.故选A ．8.B 解析：设1x 和2x 是方程22870x x -+=的两个根，解方程22870x x -+=，得∴ ∴ 这个直角三角形的斜边长等于3，故选B. 9.B 解析：设这两年平均每年绿地面积的增长率是，由题意知所以这两年平均每年绿地面积的增长率是. 10.A 解析：∵ 2357x x ++=，即232x x +=，∴ 2396x x ,+=∴ 代数式223923(3)2624x x x x +-=+-=-=.故选A.11. B 解析：根据题意得2240 ＞Δm =-，解得1＜m ．故选B ．12.C 解析：根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于或等于0，且二次项系数不为0，即可求出整数a 的最大值．根据题意得412(-1)0Δa =-≥，且10a -≠，解得43a ≤，且1a ≠，则整数a 的最大值为0.故选C. 13.10或 解析：若22(3)49x m x +-+是完全平方式，则37m -=±，∴ 1210,4m m ==-． 14.正 解析：()222224161(2)11110x y x y x y +--+=-+-+≥>. 15. 解析：原方程可化为[]24()50x y -+=，∴.16.1k <- 解析：根据题意得Δ＝224(2)41()440b ac k k -=--⨯⨯-=+<，则1k <-．17.2-或1 解析：将1x =-代入方程2220x ax a +-=，得220a a +-=,解得122,1a a =-=.18.解：∵ 22a b a b ⊕=-，∴ 2222(43)(43)77x x x x ⊕⊕=-⊕=⊕=-．∴ 22724x -=．∴ 225x =．∴ 5x =±．19.解:由题意得21010，，m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-.所以当1m =-时，关于的一元二次方程012)1(22=-++-m x x m 的常数项为.20.解：原方程可化为， ∴ ，∴ 2()(6)z xy -=-=136． 21.证明：∵ Δ＝2224(21)41(1)450b ac k k k -=+-⨯⨯-=+>恒成立， ∴ 方程有两个不相等的实数根．22.解：∵ 关于x 的一元二次方程2(2)210a x ax a --++=没有实数根， ∴ 2(2)4(2)(1)480a a a a ---+=+<，∴ 20a <-<．∵ 30ax +>,即3ax >-，∴ 3x a <-． ∴ 所求不等式的解集为3x a<-.23.解：不存在.理由：解方程22x x -，得1x =,22x = 方程的两根是 ．所以的值分别是 ． 因为，所以以为边的三角形不存在． 24.解：设小正方形的边长为. 由题意得2108480%108x ⨯-=⨯⨯.解得 122, 2x x ==-.经检验，12x =符合题意，22x =-不符合题意，舍去. ∴ 2x =.答：所截去小正方形的边长为.。
青岛版九年级数学上《第四章一元二次方程》单元检测试卷(有答案)
【期末专题复习】青岛版九年级数学上册第四章一元二次方程单元检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A. x1=1，x2=2B. x1=1，x2=﹣2C. x1=﹣1，x2=﹣2D. x1=﹣1，x2=23.下列关于的方程：① ；② ；③ ；④ 中，一元二次方程的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣7x+10=0的两个根，则该三角形的周长是（）A. 9B. 12C. 9或12D. 不能确定5.方程mx2-3x=x2-mx+2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为（）A. ｍ≠０B. ｍ≠１C. ｍ≠－１D. ｍ≠±１6.若关于x的方程x2﹣x+sina=0有两个相等的实数根，则锐角a为（）A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°7.若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. k＜2B. k≠0C. k＜2且k≠0D. k＞28.已知⊙O的半径为1，点A到圆心O的距离为a，若关于x的方程x2﹣2x+a=0不存在实数根，则点A与⊙O 的位置关系是（）A. 点A在⊙O外B. 点A在⊙O上C. 点A在⊙O内D. 无法确定9.把方程x2﹣10x=﹣3左边化成含有x的完全平方式，其中正确的是（）A. x2﹣10x+（﹣5）2=28B. x2﹣10x+（﹣5）2=22C. x2+10x+52=22D. x2﹣10x+5=210.关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2－1＝0有一根为0，则m的值为( )A. 1或－1B. 1C. －1D.二、填空题（共10题；共30分）11.当m＝________时，关于x的方程(m－2)x m2－2＋2x－1＝0是一元二次方程．12.若x=2是一元二次方程x2﹣2a=0的一个根，则a=________．13.受益于国家支持新能源汽车发展，番禺区某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计2015年利润为2亿元，2017年利润为2.88亿元．则该企业近2年利润的年平均增长率为________．14.已知关于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1=0有两个相等的实数根，则b的值是________．15.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，m的取值范围为________.16.已知方程x2﹣2x﹣1=0的两根为m和n，则代数式m3﹣2m2﹣n+ ﹣mn2=________．17.如果关于x的一元二次方程2x2+6x+3=0有两个实数根α、β，那么（α﹣1）2+（β﹣1）2的值是________．18.已知方程x2+（k﹣1）x﹣3=0的一个根为1，则k的值为________．19.若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个实数根，则k的取值范围是________．20.如图所示，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需要551平方米，设修建的路宽为x米，根据题意，可列方程为________ ．三、解答题（共9题；共60分）21.解方程：（1）x2+2x﹣9999=0（用配方法求解）；（2）3x2﹣6x﹣1=0（用公式法求解）22.已知关于x的方程（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．23.甲、乙两人同时从环形跑道上同一点出发，沿顺时针方向跑步，甲的速度比乙快，过一段时间，甲第一次从背后追上乙，这时甲立即背转方向，以原来的速度沿逆时针方向跑去，当两人再次相遇时，乙恰好跑了四圈，求甲的速度是乙的几倍？24.某花店将进货价为20元/盒的百合花，在市场参考价28～38元的范围内定价36元/盒销售，这样平均每天可售出40盒，经过市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每盒下调1元，则平均每天可多销售10盒，要使每天的利润达到750元，应将每盒百合花在售价上下调多少元？25.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？26.某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．27.泰兴鑫都小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副，鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元．（1）填表：（2）如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9200元，那么十月份的销售单价应是多少元？28.已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答问题：当t为何值时，△PBQ是直角三角形？29.（2017·台州）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根，比如对于方程，操作步骤是：第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）;第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C 的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D 的横坐标为n即为该方程的另一个实数根。
2015-2016学年度青岛版九年级数学上第四章一元二次方程检测题及答案
第4章 一元二次方程检测题（本检测题满分：100分，时间：90分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A.22310x x+-= B.25630x y --= C.220ax x -+= D.22(1)0a x bx c +++= 2.2121003m x x m -++=是关于x 的一元二次方程，则的值应为（ ） A.m ＝2 B.23m = C.32m = D.无法确定 3.若(0)n n ≠是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m n +的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-24. (2014·江苏苏州中考)下列关于x 的方程有实数根的是（ ）A.x 2-x ＋1＝0B.x 2＋x ＋1＝0C.(x -1)(x ＋2)＝0D.(x -1)2＋1＝05.（2014·天津中考）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7 天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为（ ） A.12x (x +1)=28 B.12x (x -1)=28 C.x (x +1)=28 D.x (x -1)=286.如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．14k >-B ．14k >-且0k ≠ C ．14k <- D ．14k ≥-且0k ≠ 7.定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知20(0)ax bx c a ++=≠是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ．a b c ==8.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）A ．3 C ．6 D ．99.某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） A. B. C.D.10.当代数式532++x x 的值为7时，代数式2932-+x x 的值为（ ）A.4B.2C.-2D.-4 二、填空题（每小题3分，共24分）11.若22(3)49x m x +-+是完全平方式，则的值等于________．12.无论取任何实数，多项式222416x y x y +--+的值总是_______数．13.如果，那么的关系是________．14.如果关于x 的方程022=--k x x 没有实数根，则k 的取值范围为_____________.15. (2014·江西中考)若α,β是方程x 2-2x -3=0的两个实数根，则α2+β2=_____________.16.已知1x =-是关于x 的方程2220x ax a +-=的一个根，则a =_______．17. (2014·甘肃白银中考)一元二次方程（a +1）x 2-ax +a 2-1=0的一个根为0，则a =_______.18.三角形的每条边的长都是方程的根,则三角形的周长是__________．三、解答题（共46分）19.（5分）在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：22a b a b ⊕=-，求方程（4⊕3）⊕24x =的解．20.（5分）若关于x 的一元二次方程012)1(22=-++-m x x m 的常数项为0，求m 的值.21.（5分）如果的值．22.（5分）(2014·南京中考)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x .（1）用含x 的代数式表示第3年的可变成本为万元；（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分 率x .23.（6分）(2014·株洲)已知关于x 的一元二次方程（a +c ）x 2+2bx +（a -c ）=0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长.（1）如果x =-1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.24．（6分）在长为，宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长.25．（6分）若方程的两根是和，方程的正根是，试判断以为边的三角形是否存在．若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由．26.（8分）如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点处．甲沿着喀什路以 的速度由西向东走，乙沿着北京路以的速度由南向北走．当乙走到点以北 处时，甲恰好到点处．若两人继续向前行走，求两个人相距 时各自的位置．第4章 一元二次方程检测题参考答案第24题图1.D 解析：A 选项是分式方程；B 选项是二元二次方程；C 选项中只有在满足0a ≠的条件下才是一元二次方程；D 选项二次项系数2(1)0a +≠恒成立.故根据定义判断选D.2.C 解析：由题意得212m -=，解得32m =.故选C. 3.D 解析：将x n =代入方程得220n mn n ++=，∵0n ≠，∴20n m ++=， ∴2m n +=-.故选D.4.C 解析：把A,B 选项中a ,b ,c 的对应值分别代入b 2-4ac 中，A,B 选项中b 2-4ac <0，故A,B 选项中的方程都没有实数根.而选项D 中，由(x -1)2＋1=0得(x -1)2=-1,因为(x -1)2≥0，所以(x -1)2+1=0没有实数根.只有选项C 中的方程有实数根.5.B 解析：每个队都要和剩下的(x -1)个队各赛１场，所以每个队各赛（x -1）场，x 个队共赛x （x -1）场，因为每场比赛都是两个队参加，这样每个队的比赛场数都重复计算了一次，所以这x 个队共比赛12x (x -1)场，所以列方程为12x (x -1)=28. 6.B 解析：依题意得2220(21)410k k k ⎧≠⎪⎨+-⨯>⎪⎩，，解得14k >-且0k ≠.故选B ． 7.A 解析：依题意得2040a b c b ac ++=⎧⎨-=⎩，，代入得2()4a c ac +=, ∴ 2()0a c -=,∴ a c =.故选A ．8.B 解析：设1x 和2x 是方程22870x x -+=的两个根，解方程22870x x -+=，得∴∴ 这个直角三角形的斜边长是3，故 选B.9. B 解析：设这两年平均每年绿地面积的增长率是，由题意知所以这两年平均每年绿地面积的增长率是.10.A 解析： 当2357x x ++=时，即232x x +=， ∴ 代数式223923(3)23224x x x x +-=+-=⨯-=.故选A. 11.10或 解析：若22(3)49x m x +-+是完全平方式，则37m -=±，∴ 1210,4m m ==-． 12.正 解析：()222224161(2)11110x y x y x y +--+=-+-+>≥. 13. 解析：原方程可化为[]24()50x y -+=，∴.14.1k <- 解析：∵ Δ＝224(2)41()440b ac k k -=--⨯⨯-=+<，∴ 1k <-．15.10 解析：由根与系数的关系可得α+β=2，αβ=-3，所以α2+β2=(α+β）2-2αβ=22-2×(-3）=4+6=10.16.2-或1 解析：将1x =-代入方程2220x ax a +-=得220a a +-=,解得122,1a a =-=.17.1 解析：∵ 一元二次方程（a +1）x 2-ax +a 2-1=0的一个根为0，∴ a +1≠0且a 2-1=0，∴ a =1.18.6或10或12 解析：解方程2680x x -+=，得14x =,22x =.∴ 三角形的每条边的长可以为2、2、2或2、4、4或4、4、4（2、2、4不能构成三角形，故舍去），∴ 三角形的周长是6或10或12.19.解：∵ 22a b a b ⊕=-，∴ 2222(43)(43)77x x x x ⊕⊕=-⊕=⊕=-．∴ 22724x -=．∴ 225x =．∴ 5x =±．20.解:由题意得21010m m ⎧-=⎨-≠⎩，，即当1m =-时，关于的一元二次方程012)1(22=-++-m x x m 的常数项为.21.解：原方程可化为， ∴，∴ 2()(6)z xy -=-=136． 22.分析：（1）由第1年的可变成本为2.6万元可以表示出第2年的可变成本为2.6(1+x )万元，则第3年的可变成本为2.6(1+x )2万元，故可以得出答案；（2）根据“养殖成本=固定成本+可变成本”建立方程求解即可.解：（1）2.6(1+x )2.（2）根据题意，得4+2.6(1+x )2=7.146，解这个方程，得x 1=0.1，x 2=-2.1（不合题意，舍去）.答：可变成本平均每年增长的百分率是10%点拨：若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b （当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“-”）.23.分析：（1）直接将x =-1代入得出关于a ，b 的等式，进而得出a =b ，即可判断△ABC 的形状；（2）利用根的判别式得出关于a ，b ，c 的等式，进而判断△ABC 的形状；（3）利用△ABC 是等边三角形，则a =b =c ，代入方程求出即可.解：（1）△ABC 是等腰三角形.理由：∵ x =-1是方程的根，∴ （a +c ）×（-1）2-2b +（a -c ）=0，∴ a +c -2b +a -c =0，∴ a -b =0，∴ a =b ，∴ △ABC 是等腰三角形.（2）∵ 方程有两个相等的实数根，∴ （2b ）2-4（a +c ）（a -c ）=0，∴ 4b 2-4a 2+4c 2=0，∴ a 2=b 2+c 2，∴ △ABC 是直角三角形.（3）∵ △ABC 是等边三角形，∴ （a +c ）x 2+2bx +（a -c ）=0，可整理为2ax 2+2ax =0，∴ x 2+x =0，解得x 1=0，x 2=-1.点拨：此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理的逆定理等知识，由已知正确获取等量关系是解题关键.24.解：设小正方形的边长为.由题意得2108480%108x ⨯-=⨯⨯，解得 122, 2x x ==-.经检验，12x=符合题意，22x=-不符合题意，舍去，∴2x=.答：截去的小正方形的边长为.25.解：解方程，得．方程的两根是．所以的值分别是．因为，所以以为边的三角形不存在．26.解：设经过 s，两人相距，根据题意得：，化简得，解得,（不符合实际情况，舍去）.当时，36，,所以当两人相距时，甲在点以东处，乙在点以北处.。
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一元二次方程的应用
填空题：
1、某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降价的百分率为X，根据题意列出的方程是：。
2、某县2008年农民人均年收入为4800元计划到2010年农民人均年收入翻一番，设人均年收入的平均增长率为X，根据题意列出的方程是：。
3、某果农2006年的年收入为5万元，由于党的惠农政策的落实，2008年年收入增加到7.2万元，则平均每年的增长率是。
4、某制药厂两年前生产一吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产一吨这种药品的成本是81万元，则这种药品的成本的下降率为。
5、上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，则a= 。
选择题：
在某次聚会上，每两人都握一次手，所有人共握了10次，设有X人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）
A x(x+1)=10 Bx(x+1)x2=10 C x(x-1)=10
（2010贵州铜仁）某商品原价为180元，连续两次提价x％后售价为300元，下列所列方程正确的是（）
A．180(1＋x％)＝300 B．80(1＋x％)2＝300
C．180(1－x％)＝300 D．180(1－x％)2＝300
解答题
8、某工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际金融风暴的影响，5月份的产值下降到81万元，求下降的百分率。
那平均每月产值下降的百分率呢？
9、某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？。