青岛版数学九年级下册5.2反比例函数
青岛版九年级数学下册第五章《反比例函数(1)》课件
所以y= -2/x .
方法巩固：
例2 已知y是x的反比例函数，且当x=2时，y=-3, 求这个反比例函数关系式？
解：设所求的反比例函数关系式为 y=k/x，把x=2,y=-3代入上式，得
-3=k/2, 解得K=-6. 所以，这个反比例函数关系式为
y=84/x t=200/v q=-10/p 形如y=k/x（k是常数，k≠0）的函数叫做反比例函数
反比例函数y=k/x，则 xy=k，k是常数，且k≠0
学以致用
（3）圆柱的体积是60cm³，它的高h（cm）与底面的半径r(cm).
（3）由圆柱的体积公式得πr²h=60，于是h=60/πr²，由于分母上自 变量r的次数是2，所以，h不是底面半径r的反比例函数
2.甲、乙两地相距200 km， 一辆汽车从甲开往乙，写出 汽车行驶时间t(时)与汽车平 均速度v(km/h)的函数关系式.
3.两个实数的积是-10，写出其 中一个因数q与另一个因数p之 间的函数关系式.
y=84/x
t=200/v
No Iqm=-1a0/pge
§请大家观察这几个式子有什么共同特点？
一人
个云
在：
路“
上读
。万
”卷
从书
古，
至行
今万
，里
学路
习。
和”
旅今
行人
都说
是：
相“
辅要
相么
You made my day!
成读 的书
两，
件要
事么
。旅
。行
，
身
体
和
灵
魂
总
要
青岛版九年级下册数学《反比例函数》PPT教学课件
以上三个问题的函数解析式为：
v 800 t
y 10 x
16 800 n
根据上述三个解析式回答： 1.你能说出它们的共同特征吗？ 2.你能用一个一般形式表示出来吗？
一般地，形如 y k （k是常数,且k≠ 0）的函数, x
叫做反比例函数.
∴k=2
x
∴ y2
x
（2）当x=a时，y=2a，
当2a=3a+2时，解得a=4，
检验a=4是原分式方程的解，
∴当a=4时，点B在反比例函数图象上；
当a≠4 时，点B不在反比例函数图象上．
反比例函数的图象和性质
1.形状 反比例函数的图象是由两支曲线组成的， 因此称反比例函数的图象为双曲线.
2.位置 当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内;在 每一个象限内,y随x的增大而减小; 当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内,y随 x的增大而增大.
y x
6y
y6
5
x
4
3
2
2
1
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
-6
-6
作反比例函数图象时应注意哪些问题？
1.列表时,选取的自变量的值,既要易于计算,又要便于描点, 尽量多取一些数值(取互为相反数的一对一对的数),多描一些点, 这样既可以方便连线，又可以使图象精确． 2.描点时要严格按照表中所列的对应值描点，绝对不能把点的 位置描错． 3.一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线,连线时必须用 光滑的曲线连接各点,不能用折线连接． 4.图象是延伸的，注意不要画的有明确端点． 5.曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴相交.
青岛版九年级数学下册第五章《反比例函数》公开课课件
有古
一人
个云
在：
路“
上读
。万
”卷
从书
古，
至行
今万
，里
学路
习。
和”
旅今
行人
都说
是：
相“
辅要
相么
You made my day!
成读 的书
两，
件要
事么
。旅
。行
，
身
体
和
灵
魂
总
要
我们，在路上……
函数解析式又是什么呢？
B O
PA
B O
PA
例3 如图5-12，已知C、P的坐 y
标分别为（2，y）和（x，3√2 ）
在反比例函数解析式
y=
12 x
B
C P
上，过C、P作x轴的垂线，垂
R
足分别为点A，Q.过C、P作y
O AQ
x
轴的垂线，垂足分别为点B，
R.
图5-12
(1)矩形OACB与矩形OQPR 的面积分别是多少?
(2)设CA与PR交于点D,求矩 形OACB与矩形OQPR的公共 部分的面积?
例4 如图5-13，已知反比例函数 y k x
的图像与y=ax+b相交于点
A（-2，3），B （3，m）。 求k及a，b的值。
A3
3
-2 0 B
图5-13
练习：1.如图,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x 轴,
S1、S2有什么关系？为什么？
任取一点向两坐标轴作垂线得到的
矩形面积是一个定值，为｜k |.
想一想
y k x
•P
Q
• S1 S2
青岛版(新)数学九年级下册 5.2反比例函数
青岛版（新）数学九年级下册 5.2 反比例函数一、概念介绍在数学中，反比例函数是指一种特殊的函数关系，表示为y = k/x，其中k为常数。
当x增大时，y的值会减小；当x减小时，y的值会增大。
其特点是x和y之间的积始终保持不变。
反比例函数也可以表示为y = kx^(-1)，可以看出，反比例函数是一个一次函数的倒数。
二、图像特点1.角平分线：反比例函数图像上的任意两点和原点连线的夹角都相等。
2.对称中心：反比例函数的图像关于坐标轴的交点与原点连线的垂直平分线交于一点，该点称为对称中心。
3.渐近线：对于反比例函数，当x趋近于无穷大时，y趋近于0；当x趋近于0时，y趋近于无穷大。
因此，反比例函数的图像有两条渐近线，即x轴和y轴。
三、性质和运算1.性质：–反比例函数的定义域是除了0以外的实数集，值域也是除了0以外的实数集。
–反比例函数的图像在x轴和y轴上有渐近线。
–反比例函数的图像关于对称中心对称。
2.运算：–反比例函数的乘法：两个反比例函数相乘仍然是一个反比例函数。
–函数与常数的乘法：反比例函数与一个常数相乘，仍然是一个反比例函数。
–函数的加法：两个反比例函数相加得到的是一个通式为y = k(x+a)(x+b)的二次函数。
四、解题方法反比例函数常常出现在数学习题和实际问题中，解决这类问题的方法一般可以分为以下几步：1.将问题翻译为数学语言，使用变量表示未知量。
2.根据问题的要求，建立反比例函数的数学模型，列出方程。
3.解方程，求解未知量。
4.检验解的合理性，回答问题。
举个例子：例题：一辆车以每小时60公里的速度行驶，行驶时间为6小时，求该车行驶的距离。
解答：根据题意，我们可以建立反比例函数的数学模型：距离 = 速度× 时间。
设x为时间（小时），y为距离（公里），则反比例函数为 y = 60/x。
代入题中已知条件，可以得到方程 y = 60/6，解方程得到 y = 10。
因此，该车行驶的距离为10公里。
青岛版数学九年级下册5.2《反比例函数》教案
《反比例函数》教案第一课时教学目标知识与技能：1．从现实情境和已有的知识、经验出发、讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数、函数概念的理解；2．使学生理解并掌握反比例函数的概念；3．能判断一个函数是否为反比例函数，并用待定系数法求函数解析式．过程与方法：1．经历对两个变量之间相依关系的讨论，培养学生的辩证唯物主义观点；2．经历抽象反比例函数概念的过程，发展学生的抽象思维能力，提高数学化意识；3．经历在实际问题中探索数量关系的过程，养成用数学思维方式解决实际问题的习惯，体会函数的建模思想．情感、态度与价值观：1．经历抽象反比例概念的过程，体会数学学习的重要性，提高学生学习数学的兴趣；2．通过分组讨论，培养学生合作交流意识和探索精神．教学重点理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式．教学难点理解反比例函数的概念．教学流程一、情境引入复习：什么是函数？问题：京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化．你能写出关于t的解析式吗？1463vt引出课题：今天，我们就来研究这种形式的函数．二、探究归纳下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请直接写出解析式．（1）某住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化．（2）已知北京市的总面积为1.68×104km2，人均占有面积S（单位：km2/人）随全市总人口n（单位：人）的变化而变化．1000y x=，41.6810S n ⨯= 归纳概念：一般地，形如k y x=（k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数.强调：自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．例题指引：例1．用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系：（1）一个游泳池的容积为2000m 3，游泳池注满水所用时间t （单位：h ）随注水速度v （单位：m 3/h ）的变化而变化；（2）某长方体的体积为1000cm 3，长方体的高h （单位：cm ）随底面积S （单位：cm 2）的变化而变化；（3）一个物体重100N ，物体对地面的压强p （单位：Pa ）随物体与地面的接触面积S （单位：m 2）的变化而变化．例2．已知y 是x 的反比例函数，并且当x ＝2时，y ＝-3，求这个反比例函数的表达式．三、应用提高1．下列哪些关系式中的y 是x 的反比例函数？ 4y x =，3y x =，2y x =-，61y x =+，21y x =-，21y x=，123xy =. 2．已知y 与x 2成反比例，并且当x ＝3时，y ＝4．（1）写出y 关于x 的函数解析式；（2）当x ＝1.5时，求y 的值；（3）当 y ＝6时，求x 的值.四、体验收获说一说你的收获．1．今天我们学习了哪些知识？2．我们是如何形成反比例函数概念的？3．如何根据已知条件确定反比例函数的解析式？五、课内检测1．在下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）A ．85y x =+B ．37y x =+C ．5xy =D ．22y x= 2．已知函数7m y x -=是正比例函数，则m ＝ .3．已知函数75m y x -=是反比例函数，则m ＝ . 4．已知y 是x 的反比例函数，并且当x ＝3时，y ＝－8.。
青岛版九年级数学下册第五章《反比例函数2》优课件
探究1:
市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤 气储存室. (1)储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)有怎 样的函数关系? (2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2,施工队施工 时应该向下掘进多深? (3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时,碰上了坚 硬的岩石.为了节约建设资金,储存室的底面积应改为多 少才能满足需要(保留两位小数)?
工队施工时应该向下掘进多深?
解: 把S=500代入 S 104 ,得
d
500 10 4
d
解得
d=20
如果把储存室的底面积定为500 m 2 ,
施工时应向地下掘进20m深.
(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时,碰上了 坚硬的岩石.为了节约建设资金,储存室的底面积应改 为多少才能满足需要(保留两位小数)?
市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室.
(1)储存室的底面积S(单位:m2)与其深度 d(单位:m)有怎样的函数关系?
解: (1)根据圆柱体的体积公式,
我们有
s×d= 10 4
变形得 S 104
d
即储存室的底面积S是 其深度d的反比例函数.
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2,施
（1）求p与S的函数关系式, 画出函数的图象.
p 600 (s 0) P是S的反比例函数. s
2:
探 某校科技小组进行野外考察，途中遇到片十几米 究 宽的烂泥湿地.为了安全、迅速通过这片湿地，他
们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临 时通道，从而顺利完成了任务. 如果人和木板对湿 地地面的压力合计为600 N,随着木板面积S(m2)的 变化,人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化?
青岛版九年级数学下册反比例函数课件
AOBP的面积是6.请写出 这个反比例函数的解析式.
2.若△BPO的面积是5，那么
函数解析式又是什么呢？
B O
P
A
3.如图,点P是x轴上的一个动点,过点P作x轴的 垂线PQ交双曲线于点Q,连结OQ, 当点P沿x轴正 半方向运动时,Rt△QOP面积( ).
A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.保持不变 D.无法确定
视察思考
y k x
•P
S1 S2
•Q
R • S3
想一想：S1、S2有什么关系？为什么？
结论：任取一点向两坐标轴作垂线得到的矩形面积是一个定值，
为｜k |.
y k x
•P
Q
• S1 S2
S3
想一想：S1、S2、S3等于多少?
小试牛刀
1.如图，点P是反比例函数
y=
k x （k 是常数，k ≠
0）
图象上的一点，若矩形
小试牛刀
挑战自我
解析：不能相交；假设相交于点A(a，b)，则应有
ab=k1=k2，这与k1≠k2相矛盾. 所以不能相交.
想一想：反比例函数 y k 上那个点距离原点最近？
x
随堂练习
教材第22页课后练习1、2题.
本课小结
一、反比例函数中k的几何性质
反比例函数图象上任取一点，其横纵坐标的乘积 为反比例系数│k│.相关的函数关系式；
再根据要求运用函数性质解决问题.
注意： 任意两个反比例函数的图象均相交.
知识讲授
典型例题：
解析：（1）由反比例函数的几何性质可知： S 矩 O 形 A C S 矩 BO 形 Q P K R 15
(2)以求得P（5,3）,故可知 OA=3，AD=PQ=3，所以：
2019青岛版初中数学九年级下册5.2反比例函数课件(共20张PPT)
史海漫游
诸葛亮先生家住茅草屋 中，途中有一片十几米的 烂泥湿地，如果徒步行走 会陷入泥潭中。 刘备心生一计让其好兄 弟关羽张飞在途中铺设了 若干块木板并且顺利抵达 诸葛亮家中。 关羽张飞一脸迷茫的问 道刘备：“大哥，这是何 故？”
1.理解反比例函数的概念和意义； 2.能用待定系数法求反比例函数关系式； 3.体会函数在解决实际问题中的作用.
我们再回顾刚才三顾茅庐的问题
当压力F一定时，压强p与受力面积s的函数关系是
测 学
使 你 自 知
F p S
通过本节课的学习，
你有什么收获？
还有什么困惑？
一设
二代
三解
四写
转化
三种表示方法
数学方法
数学思想
反比例函数的定义
反 比 例 函 数
当堂检测
1.D 2.3 3.X≠-2 1 1 4. y ,
k 一般地，形如 y （k是常数,且k≠ 0）的函数叫做反比例函 x
使 你 提 高
注： ① k≠ 0，x ≠ 0，y ≠ 0
② y=
1 k= x
kx-1 （k≠ 0）
xy = k（ k≠ 0）
6
机会属于开拓者
你能举出反比例函数的例子吗？
胜利属于坚持者
三角形的面积为36cm2，底边长y（cm）与该底边的高（cm）
新知探究
1.面积为84m2的矩形花圃，写出矩形 的宽y（m）和长x（m）之间的函数 表达式。
84 y x
自 学
2.甲乙两地之间相距200km，写出汽 车行驶的时间t（h）与汽车的平均 速度v（km）之间的函数表达式
3.两个实数的乘积为-10，写出其中 一个因数q与另一个因数p之间的函 数表达式
九年级数学下册 5.2 反比例函数 青岛版
y
y
P
PB
0Q
x
x A0
P(m,n)
o
x
P/
A
K S△ 2
S矩形 K
S 2|K| △
总结2：以上几点揭示了双曲线上的点构成的几何图形的一类性质.
掌握好这些性质,对解题十分有益
注意：面积与P的位置无关
•P
R •S3
S1 S2
•Q
S1=S2=S3
y k P、Q 、R三点在反比例函数 x 为什么？
（3）s=1.6mm2时，y= =80米；
问题二：
反比例函数中 y k (k≠0)比例系数k的几何意义 x
1、在 y k 的图像上，过一点p(3,4)分别作x轴Y轴的垂 x
线PM,PN,交X轴,Y轴于M，N，则矩形PMON的面积S= 。
12
拓展一
若P(m,n)为 y k （k>O)图像上的点，则下列矩形的面积为
拓展三
( 3 ) 设 P ( m ,n ) 关 于 原 点 的 对 称 点 是 P ( m , n ) ,过 P 作 x 轴 的 垂 线 与 过 P 作 y 轴 的 垂 线 交 于 A 点 ,则
y
o
P/
P(m,n)
x
A
SΔPAP12|APAP|12|2m||2n|2|k|
y
k x
(k
0)
面积不变性
(1)过P作x轴 的 垂 ,垂线 足A,为 则
y
y
P(m,n)
P(m,n)
oA
x
oA
x
S OA 1 2 POA A P 1 2|m |•|n|1 2|k|
（2）若将此题改为过P点作y轴的垂线段,其结论成 立吗?
青岛版初中数学九年级下册《5.2反比例函数》PPT课件 (1)
两不同函数的值比较大小的方法：
y1
1、过交点作垂
线，将图像分区
y2
-1
2、看图高低, 定值大小
巩固提升(教案T10)
已知一次函数
y1
kx
b（k
0）Байду номын сангаас反比例函数
y2
m x
(m
0)
的图象相交于A、B两点，其横坐标分别是-1和3，
当 y1 时 y，2 实数的取值范围是( ) A
A．x 1 或 0 x 3
C
y
y1 A(1,y1)
y2
B(2,y2)
o 1, 2
x
数形结合法的应用---两不同函数值的大小比较问题
思考：
(1)①当x取相等的值时，对应的函数值越大，则它的 图像相对来说就越 （填“高”或“低”）． ②你发现点A(B)的左右两侧图像的高低有什么 变化？也就是函数值的大小有什么变化？ (2)运用类似的方法，观察第四象限内的图像.
2、已知反比例函数的图像经过点（a，b），则它的图像一 定也经过（ ）
A．(－a,－b) B．(a,－b) C．(－a，b) D．（0，0） 3、教案19页，T2
今天你学到了哪些 知识？
达标检测(见教案)T1---7 达标检测答案： 1.D 2.B 3.D 4.A5.A,6.x≠1,7.2
祝老师们： 身体健康，工作顺利！
祝同学们： 踏踏实实每一天， 扎实高效每节课！
结论：正比例函数与反比例函数的交点关于原点
成中心对称
(二).k的几何意义:
y
A
Do
B
x
C
例2．如图1，正比例函数 y kx (k 0)
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4.已知函数25(1)m
y m x -=+是反比例函数且图像在第二、四象限内，则m 的值是_______________;
5、当k>0时，反比例函数1k y x +=
的图象在 象限。
6、当k<0时，反比例函数k y x =
的图象在 象限。
（二）根据图象完成下列填空
1、已知反比例函数12m y x -=
的图象如图1所示，则m 。
２、已知点A(x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、 C (x 3,y 3)在反比例函数5y x =-
的图象上，并且x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1、y 2、y 3的大小关系是___________：
（三）、下面给出了反比例函数x y 4=
和x y 4-=得图象，你知道那个是x y 4-=的图像吗？为什么？
教学活动4 四、课堂小结.
1、反比例函数的图象是双曲线。
2、当K 〉0时，图象的两个分支分布在第一、三象限内；在每个象限内Y 随X 的增大而减小。
3、当K 〈 0时，图象的两个分支分布在第二、四象限内；在每个象限内Y 随X 的增大而增大。
4、反比例函数图像关于原点对称，且关于直线y x =和y x =-对称。
五、思考：反比例函数、正比例、一次函数的性质有何异同？
作业布置 教材：
4647P -，3、8
60P 2、3
教学反思
O x 图1 y。