求圆的切线方程的各类方法
求两圆公切线方程的简捷方法
求两圆公切线方程的简捷方法
一、外公切线公式的求法：
设大圆半径为R，小圆半径为r，圆心距为d
过小圆圆心作垂直于大圆的半径(此半径与外公切线垂直)
则有l^2=d^2-(R-r)^2
故l=根号d^2-(R-r)^2
(l是公切线长)
二、内公切线公式的求法：
设大圆半径为R，小圆半径为r，圆心距为d
平移内公切线使公切线的一端端点与小圆圆心重合
则有l^2=d^2-(R+r)^2
故l=根号d^2-(R+r)^2
扩展资料：
外公切线与连心线夹角的正弦值=圆心距分之大圆半径减小圆半径；内公切线与连心线夹角的正弦值=圆心距分之大圆半径加小圆半径。
公切线的条数与两圆的位置关系如下：
若两圆相离，则有4条公切线；
若两圆外切，则有3条公切线（两外切，一内切）；
两圆相交，则有2条公切线（外切）；
若两圆内切，则有1条公切线；
若两圆内含，则有0条公切线。
高考数学 圆的切点弦方程的九种求法知识点分析.doc
圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。
本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。
一、预备知识：1、在标准方程022=++++F Ey Dx y x 022=++++F Ey Dx y x 下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：200))(())r b y b y a x a x =--+--（（ ； 在一般方程022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ） 下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：0220000=++++++F y y E x x Dyy xx 。
2、两相交圆011122=++++F y E x D y x （0412121>-+F E D ）与022222=++++F y E x D y x （0422222>-+F E D ） 的公共弦所在的直线方程为：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 。
3、过圆022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点),11y x P （作圆的切线，其切线长公式为：F Ey Dx y x PA ++++=112121||。
4、过圆022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点),11y x P （作圆的切线，切点弦AB 所在直线的方程为：211))(())r b y b y a x a x =--+--（（（在圆的标准方程下的形式）；0221111=++++++F y y E x x Dyy xx （在圆的一般方程下的形式）。
二、题目 已知圆044222=---+y x y x 外一点P （-4，-1），过点P 作圆的切线PA 、PB ，求过切点A 、B 的直线方程。
「精品」人教A版高中数学必修二课件：4.2.2圆的切线方程-精品课件
注：此时切线一般有两条，故k有二解， 若只求出一解，需考虑__k_不__存__在____
例2 : 求过点A(2,4)向圆x2 y2 4所引
的切线方程。
y A( 2,4 )
解：设所求圆的切线方程为 :
y 4 k(x 2)
o
x
圆心0,0, r 2, kx y 4 2k 0
掌握圆的切线方程的类 型,及求切线方程的 方法。
直线与圆的位置关系及判别方法:
y
y
y
d
Or x
d
Or x
d
Or x
相交 几何法 d<r
代数法Δ>0
相切 d=r Δ=0
相离 d>r Δ<0
圆的切线方程的几种基本类型:
1.过圆上一点的切线方程 2.过圆外一点的切线方程 3.已知斜率的切线方程
一、过圆上一点的切线方程：
结论一：
过圆上x2一 点y2切线r 2方程是 M (x0, y0 )
x0 x y0 y r 2 y
M (x0 , y0 )
O
x
结论二：
过圆(x a)2 ( y b)2 r2上一点(x0, y0 )的切 线方程为：(x0 a)(x a) ( y0 b)( y b) r2.
为 2 的直线相切，求切线方程。 3
解：设圆的切线方程为：y 2 x b 3
圆心0,0, r 13,2x 3y 3b 0
0 0 3b
13 b 13
22 32
3
圆的切线方程为：2x 3y 13 0或2x 3y 13 0
y
M (x0 , y0 )
如何求圆的切线方程
如何求圆的切线方程圆是我们生活中常见的几何图形之一，它具有许多有趣的性质和特点。
其中一个重要的性质就是圆与其切线之间的关系。
在本文中，我们将探讨如何求圆的切线方程。
在开始之前，我们先来回顾一下圆的基本定义和性质。
圆是由一组距离中心点相等的点组成的闭合曲线。
其中心点到圆上任意一点的距离称为半径，而直径则是通过圆心的两个点之间的距离。
圆的切线是与圆上一点相切且与半径垂直的直线。
要求圆的切线方程，我们首先需要确定切点的坐标。
假设圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
我们需要找到一个点(x₀, y₀)在圆上，然后求出该点的切线方程。
为了找到切点的坐标，我们可以使用以下方法之一：1. 已知切点坐标：如果我们已经知道切点的坐标(x₀, y₀)，那么我们可以直接使用这些坐标来确定切线方程。
2. 已知切线斜率：如果我们知道切线的斜率k，那么我们可以使用切线与半径垂直的性质来求得切点的坐标。
首先我们可以通过圆心和切点的坐标求出切线的斜率k₁，然后我们可以使用垂直直线的性质求得切线的斜率k₂。
如果k₁和k₂互为相反数，那么切线的斜率就是k。
一旦我们确定了切点的坐标，我们可以使用切点和斜率来求得切线方程。
切线方程的一般形式为y = mx + c，其中m为斜率，c为截距。
现在让我们通过一个具体的例子来解释如何求圆的切线方程。
假设有一个圆，其方程为(x-2)² + (y-3)² = 5²。
我们想要求出圆上点(4, 6)处的切线方程。
我们可以计算圆心的坐标为(2, 3)，半径为5。
然后我们可以通过圆心和切点的坐标求得切线的斜率k₁。
k₁ = (y₀ - b) / (x₀ - a) = (6 - 3) / (4 - 2) = 3/2接下来，我们可以使用垂直直线的性质求得切线的斜率k₂。
k₂ = -1 / k₁ = -2/3由于切线与点(4, 6)相切，我们可以使用该点和斜率来求得切线方程。
两个圆的公切线方程
两个圆的公切线方程
两个圆的公切线方程可以通过以下步骤来确定：
确定两个圆的圆心坐标和半径。
圆1：圆心坐标(x1, y1)，半径r1
圆2：圆心坐标(x2, y2)，半径r2
计算两个圆心之间的距离d：
d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
判断两个圆是否相交或包含：
如果 d > r1 + r2，表示两个圆相离，没有公切线。
如果 d = r1 + r2，表示两个圆相切于外公切线。
如果 d = |r1 - r2|，表示一个圆完全包含另一个圆，有一条内公切线。
如果|r1 - r2| < d < r1 + r2，表示两个圆相交于两条公切线。
计算公切线斜率k：
k = (y2 - y1) / (x2 - x1)
计算两条公切线的截距b：
外公切线的截距b1：
b1 = y1 - k * x1 - r1 * sqrt(1 + k^2)
内公切线的截距b2：
b2 = y1 - k * x1 + r1 * sqrt(1 + k^2)
得到公切线的方程：
外公切线方程：
y = k * x + b1
内公切线方程：
y = k * x + b2
这样就得到了两个圆的公切线方程。
根据具体的圆心坐标、半径和公切线类型（外公切线或内公切线），可以计算出相应的公切线方程。
需要注意的是，如果两个圆相离或相切于一个点，那么它们没有公切线；如果一个圆完全包含另一个圆，只存在一条内公切线。
圆的切点弦方程推导三种方法
切点弦方程的推导方法主要有三种，分别是：方法一：利用切线性质和切线方程推导1. 设切点为 $P(x_0, y_0)$，切线方程为 $y - y_0 = k(x - x_0)$。
2. 将切线方程代入圆的方程 $x^2 + y^2 = r^2$，得到 $(1 + k^2)x^2 + 2k(y_0 - kx_0)x + (y_0^2 - 2k^2x_0^2 + k^2x_0^2) = 0$。
3. 由于 $P(x_0, y_0)$ 在圆上，因此 $x_0$ 是上述方程的根，即 $(1 + k^2)x_0^2 + 2k(y_0 - kx_0)x_0 + (y_0^2 - 2k^2x_0^2 + k^2x_0^2) = 0$。
4. 整理得到切点弦方程为$(1 + k^2)x_0^2 + 2k(y_0 - kx_0)x_0 + (y_0^2 - 2k^2x_0^2 + k^2x_0^2) = r^2$。
方法二：利用切线性质和切点坐标推导1. 设切点为 $P(x_0, y_0)$，切线方程为 $y - y_0 = k(x - x_0)$。
2. 将切线方程代入圆的方程 $x^2 + y^2 = r^2$，得到 $(1 + k^2)x^2 - 2k(y_0 - kx_0)x + (y_0 - kx_0)^2 - r^2 = 0$。
3. 由于 $P(x_0, y_0)$ 在圆上，因此 $x_0$ 是上述方程的根，即 $(1 + k^2)x_0^2 - 2k(y_0 - kx_0)x_0 + (y_0 - kx_0)^2 - r^2 = 0$。
4. 整理得到切点弦方程为$(1 + k^2)x_0^2 - 2k(y_0 - kx_0)x_0 + (y_0 - kx_0)^2 - r^2 = 0$。
方法三：利用切线性质和圆心坐标推导1. 设切点为 $P(x_1, y_1)$，切线方程为 $y - y_1 = k(x - x_1)$。
圆的切点弦方程的九种求法
圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。
本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。
一、预备知识：1、在标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为：（x0-a （)x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ；在一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为： xx0+yy0+Dx+x0y+y0+E+F=0。
222222222、两相交圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0 （D1+E1-4F1>0）与x2+y2+D2x+E2y+F2=0 （D2+E2-4F2>0）的公共弦所在的直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 。
223、过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点P（x1,y1)作圆的切线，其切线长公式为：|PA|=x12+y12+Dx1+Ey1+F。
224、过圆x+y+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点22P（x1,y1)作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：；（x1-a（)x-a)+(y1-b)(y-b)=r2（在圆的标准方程下的形式）xx1+yy1+Dx+x1y+y1。
+E+F=0（在圆的一般方程下的形式）22二、题目已知圆x2+y2-2x-4y-4=0外一点P（-4，-1），过点P作圆的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程。
三、解法解法一：用判别式法求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为k（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：y-(-1)=k[x-(-4)]即 kx-y+4k-1=0 ⎧kx-y+4k-1=0由⎨2 消去y并整2⎩x+y-2x-4y-4=0理得 (1+k2)x2+(8k2-6k-2)x+(16k2-24k+1)=0 ①2222令∆=(8k-6k-2)-4(1+k)(16k-24k+1)=0 ②15解②得 k=0或k=81528分别代入①解得 x=1、x=- 8172858从而可得 A(-,)、B(1,-1)， 1717再根据两点式方程得直线AB的方程为：5x+3y-2=0。
圆的切线与切线长如何求圆与直线的切点和切线长
圆的切线与切线长如何求圆与直线的切点和切线长切线是指线与圆相切于一点且垂直于半径的线段。
在几何中，求解圆与直线的切点和切线长是一个常见而重要的问题。
本文将详细介绍如何求解圆与直线的切点和切线长。
1. 圆的切线定义在圆的几何中，切线是与圆相切于一点的直线。
切线与半径的夹角为90度，且切线的长度为切点到圆心的距离。
2. 圆与直线的切点求解方法要求解圆与直线的切点，需要先确定直线与圆是否有切点，然后再求出切点的坐标。
下面介绍两种常见的切点求解方法。
方法一：代数法设直线的方程为y = kx + b，圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²。
将直线方程代入圆的方程，可以得到关于x的二次方程。
解这个二次方程可以得到x的两个解，即为切点的x坐标。
再将x的值代入直线方程，可以得到切点的y坐标。
这样就求得了圆与直线的切点。
方法二：几何法通过几何的方法也可以求解圆与直线的切点。
具体步骤如下：（1）作一条垂直于直线的直线，过圆心，并延长。
（2）该直线与直线的交点即为圆与直线的切点。
（3）连接切点与圆心，得到切线。
3. 圆与直线的切线长求解方法求解圆与直线的切线长需要先求出切点，然后再计算切线的长度。
下面介绍两种常见的切线长求解方法。
方法一：距离公式设已知切点的坐标为(x₀, y₀)，圆心的坐标为(a, b)。
切线长的计算可以借助距离公式来实现。
切线长即为切点与圆心的距离。
根据勾股定理，切线长d = √((x₀-a)² + (y₀-b)²)。
方法二：直接计算已知切点的坐标为(x₀, y₀)，圆心的坐标为(a, b)，切线与直线的斜率为k。
首先计算切线的方程为y = k(x-x₀) + y₀。
然后将圆的方程(x-a)² + (y-b)² = r²代入切线方程，得到关于x的二次方程。
解这个二次方程可以得到切线上两个点的x坐标。
将x的值代入切线方程，可以得到相应的y坐标。