三招求圆的切线方程
过一点求圆的切线方程
过一点求圆的切线方程
在几何学中，“过一点求圆的切线方程”是一个非常有用的概念。
一个圆的半径是由它的中心点和任意一点确定的，所以我们可以在圆的某一点上计算出准确的切线方程。
让我们以圆(x-2)^2 + (y+1)^2 = 5为例，来进行说明。
首先，复习以下几何学概念：
* 圆形具有唯一的中心，它称为圆心，坐标(2, -1)；
* 圆的半径是指从圆心出发，到圆上任意一点的距离，半径长度为
sqrt(5)；
* 圆的法线是从圆心出发，沿着圆的方向水平的直线，这里的法线方程为y=-1。
然后，我们可以使用求导的方法求出过这一点的切线方程。
首先，用微积分的方法求出圆的方程：
d/dx[(x-2)^2 + (y+1)^2 - 5] = 2(x-2) + 2(y+1) dy/dx = (y+1) / (x-2)
因为我们想求的是切线方程，所以我们需要求出这个圆的法线方程。
圆的法线方程是：y = (-1 / (x-2))x + (1 / (x-2))
接下来，我们就可以求出过给定点的切线方程，这里的切线方程为：y = (-1 / (x-2))x + ((1-y0) / (x-2))
其中，y0为给定点的坐标，如果给定点为(2,-2)，则过此点的切线方程为：y = (-1 / (x-2))x + (3 / (x-2))
综上所述，本文介绍了如何求出过一点求圆的切线方程的方法，即先求出圆的方程，然后求出法线方程，再求出过给定点的切线方程。
通过此方法，我们可以轻松地计算出某一圆上某一点的准确切线方程。
圆和直线相切的公式
圆和直线相切的公式当直线与圆相切时，直线的方程和圆的方程存在以下几个关系：1.直线与圆的切点在直线上。
2.直线与圆的切点的切线与直线垂直。
3.直线与圆的切点的切线斜率等于直线的斜率。
现在，我们将分别介绍这些条件，并推导得出相切的公式。
1.直线与圆的切点在直线上：设直线的方程为 y = mx + c，圆的方程为 (x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆的圆心坐标，r为半径长度。
为了找到直线与圆的切点，我们将方程代入圆的方程，得到：(x-a)² + (mx + c - b)² = r²将方程展开，得到:x² - 2ax + a² + m²x² + 2mcx + c² + b² - 2bmx = r²整理后，得到方程：(1 + m²)x² + 2(mc - am - bm)x + a² + c² + b² - 2ab - r² = 0如果直线与圆相切，方程只有一个根，也就是说，二次方程的判别式为零。
因此，判别式为：(2(mc - am - bm))² - 4(1 + m²)(a² + c² + b² - 2ab - r²) = 02.直线与圆的切点的切线与直线垂直：通过求得的切点，我们可以获得切线的斜率。
与直线垂直意味着切线的斜率的乘积与直线的斜率为-1、设直线的斜率为m，切线的斜率为k。
通过求导数得到切线的斜率k=-1/m。
3.直线与圆的切点的切线斜率等于直线的斜率：这个条件可以由上述条件推导得出。
当直线与圆相切时，直线的斜率等于切线的斜率。
现在，我们通过一个例子来解释这些公式的应用。
假设有一个以坐标原点为中心的圆，半径为r。
直线通过点(0,h)，与圆相切。
点在圆上的切线方程公式推导
点在圆上的切线方程公式推导
点在圆上的切线方程公式推导可以通过几何方法和解析几何方法进行推导。
这里我用解析几何的方法来给你解释一下。
假设有一个圆的方程为( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 )，圆心坐标为((a, b))，半径为(r)。
现在我们要找到圆上一点(P(x_1, y_1)) 处的切线方程。
首先，我们需要确定切点(P(x_1, y_1)) 处的切线斜率。
切线的斜率可以通过圆的导数来求得。
圆的方程可以视为(f(x, y) = (x-a)^2 + (y-b)^2 - r^2 = 0)，对(f(x, y)) 求偏导数，即可得到法线的斜率。
接着，我们求得切线的斜率后，利用点斜式即可得到切线的方程。
具体步骤如下：
求圆的导数：(f(x, y) = (x-a)^2 + (y-b)^2 - r^2 = 0)，对(x) 和(y) 分别求导数，得到(\frac{df}{dx}) 和(\frac{df}{dy})。
求切线斜率：在点(P(x_1, y_1)) 处，计算(\frac{dy}{dx}) 的值。
利用点斜式：使用点斜式(y - y_1 = k(x - x_1)) 来得到切线的方程。
这样就可以得到点在圆上的切线方程公式。
需要注意的是，如果切线经过圆心，那么切线的斜率不存在，此时切线方程将是垂直于x 轴或y 轴的直线方程。
希望这个解答能够帮助到你！。
【数学课件】圆的切线方程
圆的标准方程
1 圆的标准方程：（x-a)2+(y-b)2=r2
特例：x2+y2=r2 2 使用圆的标准方程的条件：
所给条件与圆心坐标及 半径联系紧密。
练习：已知圆过点P（2，-1）和直线 x-y=1相切，它的圆心在直线 y=-2x上，求圆的方程。
答案： (x-1)2+(y+2)2=2 (x-9)2+(y+18)2=338
∴点(-2,4)在已知圆外,过该点的圆的切线有两条
设过点(-2,4)的圆的切线方程为y-4=k(x+2) 即 kx-y+2k+4=0 ①
由圆心(1,0)到该切线的距离等于半径,得
k-0+2k+4 K2+1
=3 解得: k=-7 24
代入①得- 7 x-y-2×7 +4=0 即 7x+24y-82=0
最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身
点在圆上的切线方程公式推导
点在圆上的切线方程公式推导
【实用版】
目录
1.引言
2.切线的定义和性质
3.圆的方程和切线的关系
4.切线方程的推导过程
5.结论
正文
1.引言
在几何学中，切线是一个基本的概念。
给定一个圆和一点在圆上，我们可以通过连接这一点和圆心得到一条切线。
本文将介绍如何推导点在圆上的切线方程公式。
2.切线的定义和性质
切线是指与圆相切且与圆只有一个公共点的直线。
根据切线的定义，我们可以得到以下性质：
- 切线与过切点的半径垂直。
- 切线上的任意一点到圆心的距离等于圆的半径。
3.圆的方程和切线的关系
设圆的方程为 (x - a) + (y - b) = r，其中 (a, b) 为圆心坐标，r 为半径。
现在考虑一点 P(x0, y0) 在圆上，我们要求过点 P 的切线方程。
4.切线方程的推导过程
为了推导切线方程，我们需要先找到切线的斜率。
根据切线与半径垂直的性质，我们可以得到切线的斜率为：
k = - (x0 - a) / (y0 - b)
然后，我们可以利用点斜式方程得到切线方程：
y - y0 = k(x - x0)
将 k 的表达式代入，得到：
y - y0 = - (x0 - a) / (y0 - b) * (x - x0)
整理得：
(x0 - a) * (y - y0) + (y0 - b) * (x - x0) = r
这就是点在圆上的切线方程公式。
5.结论
通过以上推导，我们得到了点在圆上的切线方程公式。
这个公式可以帮助我们在给定一个圆和一点在圆上的情况下，求出过该点的切线方程。
相切的圆的方程
相切的圆的方程一、引言相切的圆是指两个圆的外切或内切于同一点的情况。
在数学中，我们可以通过方程来描述相切的圆。
本文将介绍相切的圆的方程，并探讨这些方程的特点和应用。
二、外切的圆的方程当两个圆外切于同一点时，我们可以通过求解两个圆的半径和圆心之间的关系来得到相切的圆的方程。
设有两个圆的方程分别为：圆1：(x - a₁)² + (y - b₁)² = r₁²圆2：(x - a₂)² + (y - b₂)² = r₂²其中，(a₁, b₁)和(a₂, b₂)分别为两个圆的圆心坐标，r₁和r₂分别为两个圆的半径。
根据两个圆外切的条件，我们可以得到以下关系：(a₁ - a₂)² + (b₁ - b₂)² = (r₁ + r₂)²这个方程描述了两个圆外切于同一点的情况。
三、内切的圆的方程当两个圆内切于同一点时，我们同样可以通过求解两个圆的半径和圆心之间的关系来得到相切的圆的方程。
设有两个圆的方程分别为：圆1：(x - a₁)² + (y - b₁)² = r₁²圆2：(x - a₂)² + (y - b₂)² = r₂²根据两个圆内切的条件，我们可以得到以下关系：(a₁ - a₂)² + (b₁ - b₂)² = (r₁ - r₂)²这个方程描述了两个圆内切于同一点的情况。
四、相切圆的性质和应用1. 切点坐标：两个相切圆的切点坐标可以通过求解方程组来得到。
将圆的方程代入进行求解，可以得到切点的坐标。
2. 切线方程：两个相切圆的切线方程可以通过切点坐标来确定。
从切点出发，分别过两个圆心的直线即为切线。
3. 切线长度：两个相切圆的切线长度可以通过半径和切点坐标来计算。
利用勾股定理，可以得到切线长度的表达式。
4. 相切圆的包络线：当一个圆沿着一条直线移动时，与该直线相切的圆的轨迹称为包络线。
圆上一点的切线方程
圆上一点的切线方程圆是几何中非常基础的图形，常常出现在各种几何问题中。
其中一个常见的问题是如何求过圆上某一点的切线方程。
在本篇文章中，我们将详细介绍这个问题的解法。
首先，让我们来回忆一下什么是切线。
对于一个点，它可以在图形上任意移动，但是在某一个时刻，它的运动方向只有一个，这个方向就是它在该点处的切线方向。
切线是与图形在该点处相切的一条直线，且只有这条直线与图形相切。
因此，我们可以用以下公式来表示过圆上一点的切线方程。
假设圆的方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，过圆上一点$(x_0,y_0)$的切线方程为$y-y_0=k(x-x_0)$。
其中，$k$是切线的斜率。
为了求解这个问题，首先需要找到切点的坐标，也就是过圆心和点$(x_0,y_0)$的直线与圆的交点。
我们可以通过解以下方程组来求解切点的坐标。
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$y-y_0=k(x-x_0)$将第二个方程代入第一个方程中，可以得到一个关于$x$的二次方程，解出$x$的两个根，代入第二个方程中即可求出对应的$y$值。
此时，就得到了切点的坐标$(x_t,y_t)$。
在得到切点的坐标后，我们就可以求出切线的斜率$k$。
因为切线是过点$(x_0,y_0)$和点$(x_t,y_t)$的直线，所以可以通过这两点的坐标计算出切线的斜率。
根据斜率的定义，$k=\frac{y_t-y_0}{x_t-x_0}$。
最后，通过将切点的坐标代入直线方程中，就可以得到过圆上一点的切线方程$y-y_0=k(x-x_0)$了。
总结一下，求过圆上一点的切线方程，需要按以下步骤进行：1. 求出过圆心和点$(x_0,y_0)$的直线方程。
2. 将直线方程代入圆的方程中，得到关于$x$的二次方程，解出$x$的两个根，代入直线方程中即可求出切点的坐标$(x_t,y_t)$。
3. 通过切点和圆上点$(x_0,y_0)$的坐标计算出切线的斜率$k$。
圆的切线方程
课题：圆的切线方程一、知识点拨：圆的切线方程的几种基本类型:1.过圆上一点的切线方程2.过圆外一点的切线方程3.已知斜率的切线方程二、典型分析（一）、过圆上一点的切线方程：例1：已知圆的方程是x2 + y2 = r2，求经过圆上一点M(x0，y0)的切线的方程。
2204P (1x y +=练习、已知C:，求过点的切线方程。
结论一：过圆222x y r +=上一点00(,)M x y 切线方程是 200x x y y r += 结论二：22200200()()(,) ()()()().x a y b r x y x a x a y b y b r -+-=--+--=过圆上一点的切线方程为： 结论三：22000(,)x y Dx Ey F x y ++++=过圆上一点的切线方程为： 00000.22x x y y xx yy DE F ++++++= 注：此性质可以推广到抛物线、椭圆、双曲线。
如：2y+2=2x y x =4在点（，4）处的切线方程：即4x-y-4=02。
222.:(2)4,C x y A l +-=例已知）的切线的方程（二）、过圆外一点的切线方程：设切线方程为 y －0y = k (x －0x )(1) 利用圆心到切线的距离等于圆半径，待定 k ;(2) 利用联立方程组消去一元后判别式等于零，待定 k ;注：此时切线一般有两条，故 k 有二解，若只求出一解，需考虑k 不存在。
22:(2,4)4A x y +=例3求过点向圆所引的切线方程。
（三）、已知斜率的切线方程:222:13,3x y +=-例4设圆的方程为它与斜率为的直线相切，求切线方程。
一般化问题：已知直线l 的斜率为k ，且与圆x 2 + y 2 = r 2只有一个公共点。
求直线l 的方程。
解：（几何法）设方程为斜截式，y=kx+b, 根据d = r ，结论：例5：自点A (-3，3)发射的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆2x +2y -4x-4y +7=0相切，求反射光线所在直线的方程.1.1,1||222k r kx y k r b r kb d +±=+±=∴=+=求得切线方程是：三、课后追踪2209P x y +=1、求过圆上一点的切线方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三招求圆的切线方程
江西省永丰中学 吴全根
求圆的切线方程主要分为已知切线的斜率k 或已知切线上一点两种情况，而已知切线上一点又可分为点在圆上和点在圆外两种情况，面对这几种情况各采用什么方法求圆的切线方程呢？下面教你三招.
一、公式法 可求过圆上一点的切线方程. 公式如下：
① 过圆x 2+y 2= r 2上点P （x 0,y 0)的切线方程为x 0x+y 0y= r 2.
② 过圆（x-a)2+(y-b)2= r 2上点P （x 0,y 0)的切线方程为（x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2. ③ 过圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0上点P （x 0,y 0)的切线方程 x 0x+y 0y+D 2
0x x ++E 20y y ++F=0 . 点评：（1）公式②中当a=b=0时即为公式①.
（2）上述公式是利用“圆的切线垂直过切点的半径”这一性质推导的，当切线的斜率不存在时公式也适用.
（3）当你忘记了这些公式，可利用公式推导方法求之.
例1 求过点A （4，1）且与圆（x-2)2+(y+1)2=8 相切的切线方程.
解一：（公式法） (4-2)2 +(1+1)2=8 ∴ 点A （4，1）在圆上，
∴ 圆的切线方程为（4-2)(x-2)+(1+1) (y+1)=8,即x+y-5=0.
解二：（公式推导法） 圆心C （2，-1）∴k AC =1 ∴ 过点A 的切线的斜率k= -1. ∴ 所求切线方程为y-1= -1(x- 4),即x+y-5=0.
二、待定系数法 可求过圆外一点P(x 0,y 0)的圆的切线方程或求已知切线的斜率k 的切线方程. 此时可设圆的切线方程为y-y 0=k(x-x 0)或y=kx+b,然后利用“圆心到直线的距离等于半径” 这一性质求k .
例2 求过点M （2，4）向圆（x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程.
解：设所求切线方程为y-4=k(x-2)即kx-y-2k+4=0 (倾斜角不为900）, d=114
232=++-+k k k ,∴k=7
24,∴切线方程为24x-7y-20=0. 当倾斜角为900时，切线方程为x=2. ∴ 过M 点的切线方程为24x-7y-20=0或 x=2. 点评：因为过圆外一点P （x 0,y 0）引圆的切线有两条，故用此法求切线的斜率k 一般有两个值, 若k 只有一个值，说明还有一条切线，其斜率不存在，方程为x=x 0 ，应补回来.
三、判别式法 其依据是圆的切线的定义.
例3 已知圆C ：x 2+y 2+2x-4y+3=0 ，若圆C 的切线在坐标轴上的截距绝对值相等，求此切线方程.
解：（1）当截距不为0时，设切线方程为y=-x+b 或y=x+c 分别代人圆C 的方程得2x 2-2(b-3)x+(b 2- 4b+3)=0，或2x 2+2 (c-1)x+(c 2- 4c+3)=0
直线与圆相切，上述两方程均有等根，∴∆=0，由此可得：b=3 或 b= -1,c=5 或 c=1 ∴切线方程为x+y-3=0 或x+y+1=0 或x-y+5=0 或x-y+1=0.
(2) 当截距为0时，类似可求此时切线的方程为y=(2±6)x.
点评：（1）此题也可以用方法二求解；（2）截距相等时别忘了截距为0的情况.。