圆的切线方程求法.
求点在圆外到圆的切线方程的快速方法
求点在圆外到圆的切线方程的快速方法要求点在圆外到圆的切线方程，可以采用以下步骤：
1．确定圆的方程：首先需要知道圆的方程，通常表示为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)是圆心坐标，r是圆的半径。
2．确定点在圆外的条件：如果点(x_0, y_0)在圆外，那么(x_0-a)^2 + (y_0-b)^2 > r^2。
3．设定切线方程：设切线方程为y-y_0 = k(x-x_0)，其中k是切线的斜率。
4．利用圆心到切线的距离等于半径：由于切线与圆相切，圆心到切线的距离应该等于圆的半径，即|((a-x_0)/sqrt(1+k^2)) - ((b-y_0)/sqrt(1+k^2))| = r。
5．解方程求得切线斜率：将上述方程化简后得到关于k的一元二次方程，解这个方程可以得到k的两个可能值。
6．写出切线方程：对于每个k的值，都可以写出对应的切线方程y-y_0 = k(x-x_0)。
需要注意的是，由于过圆外一点可以作两条切线，因此求得的k可能会有两个值，对应的两条切线中，一条是标准的切线，另一条是垂直于圆心的直线，其方程为x=x_012。
此外，有一种快速求解的方法是基于圆的切线定义，直接写出切线方程的形式，如(x-a)*(x_0-a) + (y-b)*(y_0-b) = r^2，其中(a, b)是圆心坐标，(x_0, y_0)是给定的点3。
这种方法适用于熟练掌握圆的切线性质并能够迅速应用到具体问题中的情况。
求圆的切线方程的几种方法
求圆的切线方程的几种方法例：已知圆的方程是 x ²+y ²=r ².求经过圆上一点 M(x ₀，y ₀)的切线的方程。
解法一：利用斜率求解当点M 在坐标轴上时上面方程同样适用。
解法二：利用向量求解如图2,设直线上不同于M(x ₀,y ₀)的一点P(x,y)∵OM ⊥PM∴|OM °+|PM °=|OP ²∴x 02+y 02+(x −x 0)2+(y −y 0)2=x 2+y 2整理得： x 0x +y 0y =x 02+y 02,因为点M 在圆上，所以 x 02+y 02=r 2,所求的直线方程为:x ₀x+y ₀y=r ².当P 和M 重合时上面方程同样通用。
如图，设切线的斜率为，则 k ⋅k OM =−1,∵k Ont =y 0x 0,∴k =−x 0y 0经过点M 的切线方程是：y −y 0=−x 0y 0(x −x 0)整理得 x 0x +y 0y =x 02+y 02.因为点M 在圆上，所以 x 02+y 02=r 2.所求的直线方程为： x ₀x+y ₀y=r².因为点M 在圆上，所以 x 02+y 02=r 2.所求的直线方程为:x ₀x+y ₀y=r³.(这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在)整理得： x 0x +y 0y =x 02+y 02如图2，设切线上的任意一角的坐标(x ，y) ∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−x 0y 0−y )∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0∴x ₀x(x ₀-x)+y ₀x(y ₀-y)-0解法三：利用几何特征求解解法四：用待定系数法求解1、利用点到直线的距离求解设所求直线方程的斜率为k ，则直线方程为： y-y ₀=k(x-x ₀),即:kx-y+y ₀-kx ₀=0 (1) 原点O(0.0)到切线的距离等于半径 00√1+k 2=r化简整理得 (r 2−x 02)k 2+2x 0y 0k +r 2−y 02=0(2)因为 x 02+y 02=r 2所以(2)式可化为： y 02k 2+2x 0y 0k +x 02=0 解得： k =−x 0y 0代入(1)式整理得 y =x 02+x 02x +y 0因为点M 在圆上，所以 x 02+y 02=r 2.所求的直线方程为:x ₀x+y ₀y=r ³.当斜率不存在时上面方程同样适用。
求圆切线方程的公式
求圆切线方程的公式求圆的切线方程是解析几何中的一个基本问题。
在解析几何中，圆是一个重要的几何图形，而圆的切线是与圆相切且只与圆相切的直线。
求解圆的切线方程可以帮助我们研究圆与直线的关系，进一步拓展解析几何的应用。
我们需要了解什么是圆的切线。
对于一个圆，任意一条与圆相切的直线都称为该圆的切线。
圆的切线有以下几个特点：①切线与圆相切于一个点，该点在圆上；②切线垂直于半径。
那么如何求解圆的切线方程呢？我们以一个圆的切线问题为例进行讲解。
假设有一个圆，圆心坐标为（a，b），半径为r。
我们要求圆上一点P（x，y）与圆的切线方程。
我们需要确定切点的坐标。
由于切线与圆相切于一个点，所以切点P必定在圆上，即满足圆的方程。
圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，代入切点的坐标，得到(x-a)²+(y-b)²=r²。
然后，我们需要确定切线的斜率。
切线与圆相切于一个点，并且垂直于半径，所以切线的斜率与半径的斜率的乘积为-1。
半径的斜率可以通过圆心和切点的坐标计算得到，即斜率k=(y-b)/(x-a)。
切线的斜率为-1/k。
接下来，我们可以通过点斜式或一般式来确定切线方程。
若选择点斜式，切线方程为(y-y₁)=k(x-x₁)，其中(x₁,y₁)为切点坐标，k为切线的斜率。
代入切点的坐标和切线的斜率，得到切线方程为(y-y₁)=(-1/k)(x-x₁)。
若选择一般式，切线方程为Ax+By+C=0。
由于切线通过切点坐标，所以将切点坐标代入一般式方程，得到A(x₁)+B(y₁)+C=0。
我们可以求得圆的切线方程为(y-y₁)=(-1/k)(x-x₁)或Ax+By+C=0。
在实际问题中，我们可以根据已知条件确定圆的切线方程。
例如，已知圆心坐标和半径，我们可以通过上述方法求得切线方程，进而研究圆与直线的相关性质。
总结一下，求解圆的切线方程是解析几何中的一个基本问题。
求圆的切线方程的几种方法
求圆的切线方程的几种方法圆的切线是通过圆上特定点并且与该点垂直于圆心的直径所确定的线段。
求圆的切线方程有多种方法，下面将介绍其中的几种常见方法。
【方法一：向径垂直于切线】设圆心为O，半径为r，圆上一点为P，切点为A，连接O和P。
由于切线与向径垂直，所以OP与PA垂直。
根据垂直关系，我们可以得到以下的条件：1.斜率关系：由于向径OP与切线的斜率相乘等于-1，即斜率m1*m2=-1、假设斜率为m，则有m*∞=-1（∞代表垂直线的斜率）即m=0。
所以切线的斜率为0。
2.切点坐标关系：假设切线方程为y = kx + b，由于切点A的坐标为(x1, y1)，代入切线方程中即可求得切线的方程。
【方法二：利用切线的性质求斜率和截距】在方法一中，我们先求出了切线的斜率为0。
然后，我们可以利用切点的特性求出切线的截距。
1.斜率求解：由于切线的斜率为0，所以利用两点的斜率公式，我们可以得到以下的关系式：m=(y2-y1)/(x2-x1)=(y1-y1)/(x1-x1)=0即y1-y1=0，即y1=y12.求截距：假设切点坐标为(x1,y1)，则切线方程为y=b。
因为切点A在切线上，所以代入切线方程中即可求出截距。
【方法三：利用切线与半径的垂直性质】由于切线与半径垂直，所以可以利用向径的特性求出切线的斜率和截距。
1.斜率求解：假设斜率m，则向径OP的斜率为m1=(y-y1)/(x-x1)。
根据垂直性质，切线的斜率m与向径的斜率m1满足m*m1=-12.求截距：设切线方程为y = kx + b。
代入切点(x1, y1)得到：y1 = k * x1 + b。
再根据切线与半径垂直的性质，可以利用点斜式的截距形式求解截距。
【方法四：坐标代入法】设圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，切点坐标为(x1,y1)。
则可以把切线方程代入圆方程，将圆方程中的x和y替换成x1和y1，即可得到切线方程。
【方法五：利用直角三角形的性质】在方法一中，我们已经得到了切线与向径OP垂直，假设角POA为θ，则tanθ = m = (y1 - y) / (x1 - x)。
圆切线方程公式
圆切线方程公式圆切线方程是几何学中的重要概念，用来描述一个直线与给定圆相切的情况。
圆切线方程公式可以通过圆的半径和切点的坐标来确定。
我们来介绍一下圆的基本概念。
圆是由一组距离中心相等的点构成的，中心点到圆上任意一点的距离称为半径。
给定一个圆，我们可以通过圆心坐标和半径来确定一个圆的方程。
在平面几何中，我们常常遇到直线与圆相交或者相切的情况。
当直线与圆相切时，我们可以通过圆的半径和切点的坐标来确定切线方程。
设圆的方程为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
设切点的坐标为(x0, y0)。
根据切线的定义，切线与圆相切于切点，切线与半径垂直。
所以，切线的斜率为圆心到切点的连线的斜率的负倒数。
圆心到切点的连线的斜率可以通过圆心坐标和切点坐标来计算：斜率 k = (y0-b)/(x0-a)切线的斜率为 -1/k，切线过切点 (x0, y0)，所以切线方程为：y - y0 = -1/k (x - x0)将斜率 k 代入，可以得到切线方程的一般形式：y - y0 = - (x - x0) (x0 - a)/(y0 - b)化简后得到：y = (x0 - a)/(y0 - b) (x - x0) + y0这就是圆切线方程的一般形式。
通过圆切线方程公式，我们可以求解给定圆与直线相切的情况。
首先，确定圆的方程和切点的坐标，然后代入公式即可得到切线方程。
需要注意的是，当切线与x轴平行时，其斜率不存在。
此时，切线方程可以简化为：y = y0当切线与y轴平行时，其斜率为无穷大。
此时，切线方程可以简化为：x = x0圆切线方程公式在几何学中有广泛的应用。
它不仅可以用来求解圆与直线相切的问题，还可以应用于求解圆与其他曲线相切的情况。
总结一下，圆切线方程公式是用来描述一个直线与给定圆相切的情况。
通过圆的半径和切点的坐标，我们可以确定切线方程。
圆切线方程公式在几何学中有重要的应用价值，可以帮助我们求解各种与圆相切的问题。
圆的切线方程问题专题(重要知识)
重点辅导
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方法二：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联 立，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0，求出k.
②若通过上述方法只求出一个斜率k，则另一条切线斜率 一定不存在，此时另一切线方程为x＝x0.
注：过圆外一点与圆相切的直线有且只有两条．
重点辅导
3
(2)过圆上一点的圆的切线方程的求法． 利用斜率公式求出圆心和切点连线的斜率，进而求出切 线的斜率，利用点斜式求出切线方程． (3)斜率为k且与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2相切的切线方程的 求法． 方法一：先设切线方程为y＝kx＋b，然后变成一般式kx－ y＋b＝0，利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程求b；
x0＝43， y0＝2 3 5
x0＝43，
，或
y0＝－2
3
5 .
重点辅导
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跟踪训练
∴所求切线方程为 43x＋235y＝4或43x－23 5y＝4， 即2x＋ 5y－6＝0或2x－ 5y－6＝0.
重点辅导
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课堂总结
(1)已知圆 x2 y2 Dx Ey F 0
．
①若已知切点 (x0 , y0 ) 在圆上，则切线只有一条，其方程是
重点辅导
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跟踪训练
(3)解法1：∵32＋02>4，∴点Q在圆外． 设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0. ∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径， ∴ |－1＋3kk|2＝2，∴k＝±25 5， ∴所求切线方程为2x± 5y－6＝0.
重点辅导
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跟踪训练
解法2：设切点为M(x0，y0)，则过点M的切线方程为 x0x＋y0y＝4，∵点Q(3,0)在切线上，∴x0＝43① 又M(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，∴x20＋y20＝4② 由①②构成的方程组可解得
圆的切线方程公式证明
已知:圆的方程为:(x - a)²+ (y - b)²= r², 圆上一点P(x0, y0)解:圆心C(a, b)直线CP的斜率:k1 = (y0 - b) / (x0 - a)因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 = - (x0 - a) / (y0 - b)根据点斜式, 求得切线方程：y - y0 = k2 (x - x0)y - y0 = [- (x0 - a) / (y0 - b)] (x - x0)整理得:(x - x0)(x0 - a) + (y - y0)(y0 - b) = 0 (注意:这式也是很好用的切线方程公式) 展开后: x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 - x0²- y0²= 0 ~ (1)因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程:(x0 - a)²+ (y0 - b)²= r²化简: x0²- 2ax0 + a²+ y1²- 2by0 + b²= r²移项: - x0²- y0²= -2ax0 - 2by0 + a²+ b²- r²~ (2)由(2)代入(1), 得: x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 + (-2ax0 - 2by0 + a²+ b²- r²) = 0化简, (x0x - ax - ax0 + a²) + (y0y - yb - by0 + b²) = r²整理, (x0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r²类似地, 对於圆的一般方程:x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0, 过圆上的点的切线方程.2. 已知:圆的方程为:x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0, 圆上一点P(x0, y0)解:圆心C( -D/2, -E/2 )直线CP的斜率:k1 = (y0 + E/2) / (x0 + D/2)因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 = - (x0 + D/2) / (y0 + E/2)根据点斜式, 求得切线方程：y - y0 = k2 (x - x0)y - y0 = [- (x0 + D/2) / (y0 + E/2)] (x - x0)整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 - Ey0/2 -x0²- y0²= 0 ~ (3)因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程:x0²+ y0²+ Dx0 + Ey0 + F = 0移项: - x0²- y0²= Dx0 + Ey0 + F ~ (4)由(4)代入(3), 得: x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 - Ey0/2 + Dx0 + Ey0 + F = 0整理, x0x + y0y + D(x + x0)/2 + E(y + y0)/2 + F = 03a. 已知:圆的方程为:(x - a)²+ (y - b)²= r², 圆外一点P(x0, y0)解: 圆心C(a, b), 设切点为M则切线长PM = √(CP²- MC²) (根据勾股定理)= √[(x0 - a)²+ (y0 - b)²- r²] (CP:两点间距离公式求得, MC:半径长)类似地, 对於圆的一般方程:x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0, 过圆外的点的切线长....3b. 已知:圆的方程为:x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0 , 圆外一点P(x0, y0)解: 圆心C( -D/2, -E/2 ), 设切点为M则切线长PM = √(CP²- MC²) (根据勾股定理)= √[ (x0 + D/2)²+ (y0 + E/2)²- ((√(D²+E²-4F))/2)²](半径:r=(√(D²+E²-4F)) / 2)= √(x0²+ y0²+ Dx0 + Ey0 + F)。
过已知点求圆的切线方程
过已知点求圆的切线方程已知问题：如何求解过已知点的圆的切线方程？解决方案：1. 理论介绍在几何学中，圆是由一组等距离的点构成的图形，其中任意两点与圆心的距离相等。
圆的切线是与圆相切且仅与圆相交于切点的直线。
对于求解过已知点的圆的切线方程，我们可以利用圆的性质和几何分析来解决。
2. 基本概念在进一步讨论之前，需要了解一些基本的几何概念：2.1. 圆心：圆心是圆的中心点，由于圆的对称性质，任意一条过圆心的直径都是圆的一个对称轴。
2.2. 半径：半径是从圆心到圆上的任意点的距离，半径长短决定了圆的大小。
2.3. 弦：弦是连接圆上两个点的线段，当弦的两个端点重合时，称之为直径。
2.4. 切线：切线是与圆相切且仅与圆相交于切点的直线。
3. 求解过已知点的圆的切线方程的方法在已知圆的前提下，我们需要找到过给定点的切线。
下面介绍两种求解过已知点的圆的切线方程的方法。
3.1. 切线的性质对于切线的性质，我们可以得出以下结论：- 切线与半径垂直于切点。
- 圆的切点与圆心、切线上的点构成的直角三角形的两个锐角和为90°。
- 切线对应的切点在圆上。
3.2. 法一：几何分析通过几何分析，我们可以按照以下步骤求解过已知点的圆的切线方程：步骤1：已知圆的方程和已知点的坐标。
设已知圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，已知点的坐标为(x₀,y₀)。
步骤2：计算圆心到已知点的距离。
d = √[(x₀-a)²+(y₀-b)²]步骤3：计算切点坐标。
切点P(x₁,y₁)的坐标可通过以下公式计算：x₁ = a + r * (x₀-a) / dy₁ = b + r * (y₀-b) / d步骤4：利用切点和圆心的坐标，计算切线的斜率。
切线的斜率k = (y₁-b) / (x₁-a)步骤5：利用斜率k和切点的坐标，利用直线的点斜式求解切线方程。
切线方程的一般形式为y = kx + c，其中直线上的点为切点P(x₁,y₁)。
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率为1的切线方程。 4.求与圆C ( x 2)2 ( y 2)2 2 相切 ，且在两坐
标轴上截距相等的直线方程。
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五、作业
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5.已知直线 l1 : 4 x 3 y 2 0 ， l2 : 3x 4 y 4 0。 求以直线 l1, l2 为切线且半径为1的圆的方程。
经过圆外一点可以作两条切线
思路一：求切点坐标 设切点坐标 A( x, y)
( x a) 2 ( y b) 2 r 2 kCA k AM 1
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三、经过圆外一点，求圆的切线方程
2 已知圆C的方程为 ( x a)2 ( y b)2 r ，
二、经过圆上一点，求圆的切线方程
例1：已知圆C的方程为 ( x 1)2 ( y 1)2 5 ， 求经过圆上一点 M (2,3) 的切线方程。
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二、经过圆上一点，求圆的切线方程
例2：已知圆C的方程为 x 2 y 2 r 2 ，求经过 圆上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线方程。
例2：已知圆C的方程为 ( x 1)2 ( y 3)2 1 ， 求过点 M (2,4) 的切线方程。
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四、总结
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四、练习
1.求圆C x 2 y 2 4 x 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程。
2.已知圆C的方程为 x 2 ( y 2) 2 1，求经过原点 的切线方程。
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练习：已知圆C的方程为 x 2 y 2 10 ，
求经过点P（1,3）的圆的切线方程。
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三、经过圆外一点，求圆的切线方程
2 已知圆C的方程为 ( x a)2 ( y b)2 r ，
求经过圆外一点 M ( x0 , y0 ) 的切线l方程。
分析：1.特殊情况 2.一般情况：
一、复习讨论
1、圆的切线有何性质？
圆心与切点间的距离等于半径 圆心与切点的连线与切线垂直
2、怎样判断一条直线和圆是否相切？
d r
0
3、两条直线垂直，它们的斜率有什么关系？
k1 k2 1
4、直线的点斜式方程是怎样的？
y y0 k ( x x0 )
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二、经过圆上一点，求圆的切线方程
2 已知圆C的方程为 ( x a)2 ( y b)2 r ，
求经过圆上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线l方程。
分析：1.特殊情况
2.一般情况： 经过圆上一点可以作一条切线
Hale Waihona Puke 连结CM， CM l kCM kl 1
求出l的点斜式方程化为一般式
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求经过圆外一点 M ( x0 , y0 ) 的切线l方程。
分析：1.特殊情况 2.一般情况：
经过圆外一点可以作两条切线
思路二：求切线斜率 设斜率为k，即 y y0 k ( x x0 )
(1)由d r列方程求k
(2)由 0列方程求k
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三、经过圆外一点，求圆的切线方程