专题：椭圆的切线方程
专题椭圆的切线方程
“椭圆的切线方程”教学设计马鞍山二中刘向兵一、教学目标知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程；2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。
过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。
情感态度与价值观：通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。
二、教学重点与难点教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。
教学难点：椭圆的切线方程的探究。
三、教学流程设计(一）创设情境复习：怎样定义直线与圆相切设计意图：温故而知新。
由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。
定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。
(二）探究新知 基础铺垫：问题1、已知椭圆22:182x y C +=与直线l （1）请你写出一条直线l 的方程；（2）若已知直线l 的斜率为1k =-，求直线l （3）若已知切点(2,1)P ,求直线l 的方程； （4）若已知切点P ,求直线l 的方程。
设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如x y =±=（2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。
利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
切线斜率确定，切线不确定。
（3）已知切点求切线，只有唯一一条。
利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
由于切点是整数点，运算简洁。
切点确定，切线确定。
可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。
问题一般化：猜想：椭圆2222:1x y C a b+=与直线l 相切于点00(,)P x y ，则切线l 的方程（椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课）设计意图：类比经过圆上一点P(x 0，y 0)的切线的方程为200x x y y r +=进行猜想，培养学生合情推理的能力。
椭圆外一点的切线方程
椭圆外一点的切线方程
椭圆是一种常见的平面图形，其由一组点构成，满足到两个定点的距离之和为常数的性质。
在椭圆上取一点P，我们可以通过求出该点处椭圆的切线方程来研究椭圆的性质。
具体来说，我们先求出椭圆的参数方程，即：
x = a*cos(t)
y = b*sin(t)
其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴，t是参数。
接下来，我们考虑椭圆上一点P(x0,y0)，以及该点的切线L。
设切线L的斜率为k，则L的方程为：
y-y0 = k*(x-x0)
由于P在椭圆上，因此有：
(x0/a)^2 + (y0/b)^2 = 1
同时，P处于L上，因此有：
y0 = k*x0 - k*x + y
将L的方程代入上式，得到：
(x0/a)^2 + ((k*x0 - k*x + y)/b)^2 = 1
化简后得到一个关于x的二次方程：
(k^2/a^2 + 1/b^2)*x^2 - 2*k*y0/b^2*x + (y0^2/b^2 - 1) = 0 由于L是切线，因此该方程有且只有一个解，即判别式为0：
(-2*k*y0/b^2)^2 - 4*(k^2/a^2 + 1/b^2)*(y0^2/b^2 - 1) = 0 解出k，带入L的方程即可得到切线方程。
求椭圆切线方程(3篇)
第1篇椭圆是平面解析几何中的一种基本曲线，其方程一般形式为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴，且 $a > b$。
在数学分析、几何学以及物理学中，椭圆切线方程的研究具有重要意义。
本文将探讨椭圆切线方程的求解方法。
一、椭圆切线的几何性质椭圆的切线具有以下几何性质：1. 切线与椭圆相切于一点，且在该点处切线斜率存在。
2. 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其切线斜率 $k$ 与椭圆上切点坐标 $(x_0, y_0)$ 满足关系 $k = -\frac{b^2}{a^2} \cdot\frac{x_0}{y_0}$。
3. 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其切线方程可以表示为 $y = kx + m$，其中 $m$ 为切线在 $y$ 轴上的截距。
二、椭圆切线方程的求解方法1. 直接法直接法是指直接根据椭圆的方程和切线的几何性质，推导出椭圆切线方程的方法。
设椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上的切点坐标为 $(x_0,y_0)$，切线斜率为 $k$。
根据切线斜率的几何性质，有 $k = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{x_0}{y_0}$。
又因为切点 $(x_0, y_0)$ 满足椭圆方程，所以 $\frac{x_0^2}{a^2} +\frac{y_0^2}{b^2} = 1$。
联立上述两个方程，解得 $x_0 = \frac{a^2k}{\sqrt{k^2 + b^4/a^4}}$，$y_0 = \frac{b^2}{\sqrt{k^2 + b^4/a^4}}$。
将 $x_0$ 和 $y_0$ 代入切线方程 $y = kx + m$，得 $y = k \cdot\frac{a^2k}{\sqrt{k^2 + b^4/a^4}} + m$。
专题_椭圆的切线方程
“椭圆的切线方程”教学设计马二中向兵一、教学目标知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程；2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。
过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。
情感态度与价值观：通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。
二、教学重点与难点教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。
教学难点：椭圆的切线方程的探究。
三、教学流程设计(一）创设情境复习：怎样定义直线与圆相切？设计意图：温故而知新。
由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。
定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。
(二）探究新知基础铺垫：问题1、已知椭圆22:182x yC+=与直线l只有一个公共点（1）请你写出一条直线l的方程；（2）若已知直线l的斜率为1k=-，求直线l的方程；（3）若已知切点(2,1)P,求直线l的方程；（4）若已知切点)2P,求直线l的方程。
设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如x y=±=特殊情况过渡到一般情况。
切线确定，切点确定。
（2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。
利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
切线斜率确定，切线不确定。
（3）已知切点求切线，只有唯一一条。
利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
由于切点是整数点，运算简洁。
切点确定，切线确定。
可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。
问题一般化：猜想：椭圆2222:1x y C a b+=与直线l 相切于点00(,)P x y ，则切线l 的方程？（椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课）设计意图：类比经过圆上一点P(x 0，y 0)的切线的方程为200x x y y r +=进行猜想，培养学生合情推理的能力。
专题椭圆的切线方程
“椭圆的切线方程”教学设计马鞍山二中刘向兵一、教学目标知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程；2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。
过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。
情感态度与价值观：通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。
二、教学重点与难点教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。
教学难点：椭圆的切线方程的探究。
三、教学流程设计(一）创设情境复习：怎样定义直线与圆相切？设计意图：温故而知新。
由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。
定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。
(二）探究新知基础铺垫：问题1、已知椭圆22:182x yC+=与直线l只有一个公共点（1）请你写出一条直线l的方程；（2）若已知直线l的斜率为1k=-，求直线l的方程；（3）若已知切点(2,1)P,求直线l的方程；（4）若已知切点)2P,求直线l的方程。
设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如x y=±=特殊情况过渡到一般情况。
切线确定，切点确定。
（2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。
利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
切线斜率确定，切线不确定。
（3）已知切点求切线，只有唯一一条。
利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
由于切点是整数点，运算简洁。
切点确定，切线确定。
可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。
问题一般化：猜想：椭圆2222:1x y C a b+=与直线l 相切于点00(,)P x y ，则切线l 的方程？（椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课）设计意图：类比经过圆上一点P(x 0，y 0)的切线的方程为200x x y y r +=进行猜想，培养学生合情推理的能力。
椭圆在点处的切线方程
椭圆在点处的切线方程椭圆是一种常见的几何图形，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
在研究椭圆的性质时，切线是一个重要的概念。
本文将介绍椭圆在点处的切线方程，以及相关的数学知识。
一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴。
椭圆的形状由长轴和短轴的长度决定，短轴的长度为2b。
二、椭圆的方程椭圆的标准方程为(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1。
其中，a和b分别为长轴和短轴的长度。
这个方程描述了椭圆上所有点的坐标。
三、椭圆的切线在椭圆上取一点P，过该点作一条直线L，使得该直线与椭圆相切。
这条直线L称为椭圆在点P处的切线。
切线的斜率等于椭圆在该点处的导数。
四、设椭圆的标准方程为(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1，点P的坐标为(x0,y0)。
则椭圆在点P处的切线方程为y-y0=(b^2/a^2)*(x-x0)。
五、实例分析以椭圆(x^2/4)+(y^2/9)=1为例，求点(1,2)处的切线方程。
首先，求出点(1,2)处的导数。
对椭圆的标准方程两边同时求导，得到2x/a^2+2y/b^2*y'=0。
将x=1，y=2代入，得到2/a^2+4/9*y'=0，即y'=-9/8。
然后，代入切线方程的公式，得到y-2=(9/16)*(x-1)，即9x-16y+14=0。
六、总结本文介绍了椭圆的定义、方程、切线的概念，以及椭圆在点处的切线方程的求解方法。
椭圆是一种重要的几何图形，在数学和应用领域都有广泛的应用。
掌握椭圆的相关知识，对于深入理解数学和物理等学科都有很大的帮助。
椭圆曲线的切线方程和切点弦方程
椭圆曲线的切线方程和切点弦方程
概述
椭圆曲线是数学中的一种曲线形式，具有许多应用领域，包括密码学和计算机科学。
切线是椭圆曲线上的一条直线，与曲线相切于某一点。
切点弦是连接切线切点和另一点的直线。
本文将介绍如何求解椭圆曲线的切线方程和切点弦方程的相关知识。
椭圆曲线的切线方程
在椭圆曲线上选择一点P，我们可以通过求解该点处曲线的导数来得到切线的斜率。
将该斜率和该点的坐标代入直线方程y = mx + b，即可得到椭圆曲线上过该点的切线方程。
具体步骤如下：
1. 求解曲线在点P的导数，即椭圆曲线的斜率m。
2. 将斜率和点P的坐标代入直线方程y = mx + b。
3. 解方程得到b的值。
4. 得到切线方程。
椭圆曲线的切点弦方程
切点弦是连接切线切点和另一点的直线，我们可以通过利用切线方程和切点的坐标来求解切点弦方程。
具体步骤如下：
1. 使用椭圆曲线的切线方程，将切点的坐标代入切线方程得到斜率。
2. 利用切点和斜率代入直线方程y = mx + b。
3. 解方程得到b的值。
4. 得到切点弦方程。
总结
椭圆曲线的切线方程和切点弦方程可以通过求解切线的斜率和代入直线方程来得到。
这些方程可以在研究和应用领域中有重要的作用。
对于更复杂的椭圆曲线，求解切线方程和切点弦方程可能会更加复杂，需要进一步的数学技巧和方法。
以上是关于椭圆曲线的切线方程和切点弦方程的简要介绍。
希望对您的研究和学习有所帮助。
椭圆一点处的切线方程
椭圆一点处的切线方程一、椭圆的定义与性质椭圆可以用数学方式定义为平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个固定点称为焦点，常数称为焦距。
椭圆还有一个重要的参数，即长半轴和短半轴，分别表示椭圆的长和宽。
椭圆具有许多重要的性质。
首先，椭圆是一个闭合曲线，它的内部被圆形所包围。
其次，椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于焦距。
此外，椭圆的两个焦点和中心共线，并且椭圆的两个焦点之间的距离等于长半轴的两倍。
椭圆还具有对称性，即椭圆关于x 轴和y轴都具有对称性。
二、椭圆上一点处的切线方程在椭圆上的任意一点，都存在唯一的切线。
切线是与曲线仅有一个公共点且与曲线在该点处切于一点的直线。
对于椭圆上的一点P(x,y)，其切线方程可以通过以下步骤求得。
我们需要知道椭圆的方程。
椭圆的标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
假设椭圆的中心为原点(0,0)，则椭圆上的一点P(x,y)满足该方程。
我们需要求出椭圆上一点处的斜率。
椭圆上一点处的切线斜率等于曲线在该点处的导数。
对椭圆的标准方程进行求导，可以得到导数的表达式。
然后将椭圆上一点的横坐标x代入导数表达式中，即可得到切线的斜率。
我们可以利用点斜式或一般式来表示切线方程。
点斜式通过一点的坐标和斜率来表示直线方程，而一般式则通过直线的一般形式Ax+By+C=0来表示直线方程。
三、切线方程的实例为了更好地理解椭圆上一点处的切线方程，我们来看一个实例。
假设椭圆的方程为(x/4)^2 + (y/3)^2 = 1，而我们要求解椭圆上的一点P(2,1)处的切线方程。
根据椭圆的方程可知，a=4，b=3。
然后，求解椭圆的导数表达式，得到导数为dy/dx = -3x/4y。
接下来，将点P(2,1)的横坐标2代入导数表达式中，得到切线的斜率为dy/dx = -3*2/4*1 = -3/2。
我们可以使用点斜式或一般式来表示切线方程。
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“椭圆的切线方程”教学设计马鞍山二中 文恫兵一、 教学目标知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程；2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。
过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。
情感态度与价值观： 通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。
二、 教学重点与难点教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。
教学难点：椭圆的切线方程的探究。
三、 教学流程设计 （一）创设情境复习：怎样定义直线与圆相切？ 设计意图：温故而知新。
由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。
定义做类比, 都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一 元二次方程中的判别式等于零来解决。
（二）探究新知 基础铺垫：X 1 2 3问题1、已知椭圆C ：—81与直线1只有一个公共点设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如 x 2 2, y 2。
先由特殊情况过渡到一般情况。
切线确定，切点确定。
（2 ）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。
利用斜截式设直线，联立方程组，消 元，得到一元二次方程，判别式 0。
切线斜率确定，切线不确定。
（3 ）已知切点求切线，只有唯一一条。
利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0。
由于切点是整数点，运算简洁。
切点确定，切线确定。
可总结由（2） （ 3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二 次方程，判别式 0。
（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切 点得到椭圆切线的一般方法。
问题一般化：2 2X y猜想：椭圆C : r 牙1与直线I 相切于点P （X o , y 。
），则切线I 的方程?1 请你写出一条直线1的方程；2 若已知直线I 的斜率为k 1，求直线I 的方程;3 若已知切点P （2,1）,求直线I 的方程；（4）若已知切点 ,求直线I 的方程。
a b（椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课）设计意图：类比经过圆上一点P（X o，y o）的切线的方程为X o X y°y r2进行猜想，培养学生合情推理的能力。
由于具体的求解过于繁琐，思想方法同问题1,所以上课时没必要花费时间进行求解，做成微课方便学生课后时间自己解决。
探究：在椭圆中，有关切线问题，还可以求哪些量？例：已知圆的方程是X2 + y2 = r2，求经过圆上一点P(X°, y°)的切线的方程。
经过圆上一点P(X o, y o)的切线的方程为X o X y o y r2，且直线OP垂直于切线, 所以，k°p k切线=-1，1•点与圆设点P(X o，y o)，圆(X a)2 (y b)2r2则2 2 2点在圆内(X。
a) (y o b) r，点在圆上(x o a)2 (y o b)2 r2，点在圆外(X。
a)2(y o b)2r2由圆C方程及直线I的方程，消去一个未知数，得一元二次方程，设一元二次方程的根的判别式为△，则I与圆C相交0，I与圆C相切o，I与圆C相离o类比到圆中:2r与直线I相切于点P(x o,y o)，且点P(x o,y o)在第一象限，若直线I与X轴、y轴分别交于点B、A.2B(-,0)，所以k AB 直;X o y o(4) |AB| |AP| | BP| 2 |AP| |BP| 取“=”b2¥ 也可理解为a趋于b时，k AB趋于凶) a y o y o2. | OP |2 2r，当且仅当| AP| | BP| r 时,结论(i)过点P的切线方程为(2) Q OP AB k OP k AB 时，椭圆圆，所以k op k AB X o X1；2a2y o y r ；(可以用极限的思想理解，当椭圆中的a b(3)过点P的切线方程为X o X y o y2 与X轴、y轴分别交于点B、A , A(0, —)，y o已知圆C : x2y2(椭圆中k AB由2014年浙江咼考题最后一道题 2 [2014 •浙江卷]如图，设椭圆C ：笃a 2爲 1(a b 0),动直线l 与椭圆C 只有一个公共 b 点P,且点P 在第一象限.(1 )已知直线I 的斜率为k ，用a ，b , k 表示点P 的坐标； (2)若过原点 O 的直线丨1与I 垂直，证明：点 P 到直线丨1的距离的最大值为 a -b . 2 x 如图，设椭圆C : p ab 2 1(a b 0)，动直线I 与椭圆C 只有一个公共点 P ,且点P 在第一象限. (1 )已知直线I 的斜率为k ，用a , b , k 表示点P 的坐标; y = kx + m (1)解：设直线I 的方程为y = kx + mk <o)，由x 2 联立消去 y 得(b 2 + a 2k 2) x 2+ 2a 2kmx + a 2n i - a 2b 2= o. 由于I 与C 只有一个公共点，所以 4a 4k 2m 2 a 2 km P 的坐标为一『+ a 2k 2， 一 a 2k 2 b 2,a 2kb 2 得m 2 a 2k 2 b 2(*)，解得点 又点P 在第一象限，故m 所以点P 的坐标为P(2 b 2= 1, 4a 2(m 2 b 2)(b 2 a 2k 2) o ，化简 b 2m b 2 + a 2k 2. Ja 2k 2~b 2 Ja 2k 2 b 2(2)设点P(x o , y o ),且点P(x o ,y o )在第一象限，用点P 的坐标X o , y o 表示椭圆的切线 方程；⑵解：P(X o ,y °)，则由(1 )知x 0 a 2k _a 2k _b 2，yo b 2 则可设过点 P 切线I 的方程为y y o k(x X o )消参得 X o y oa 2k 2b 2 a 2k 皆k 学代a y o入 y y o k(x x o )得 y y o 化为整式2 2x y 。
1 a b2 .2 a y o y b x °x 2 2. 2 2a y ob X o 两边同除以 ^(x a y o 2 2 . 2 2 a y o b X o 2 2a b ),a 2b 2得椭圆的切线方程 所以，过切点P(x o ,y o )的椭圆的切线方程 X o ) 2 2 a b (因 P 在椭圆上，所以X o X y o y2aX o X a2 1,与圆的切线方程做类比， 形式相仿。
b 2 yov 1b 2 1.⑶连接OP 切线I 的斜率为k 切线，直线0P 的斜率为k op ,求证k op k 切线二定值;⑶由(2)中所得的丸a 2k b 2kb 2X oa 2y oy o又因为也y o o ,kop ，所以k op k AB b 2宀佶2 -疋值X o X o oa(与圆的k op k 切线=-1做类比，可以用极限的思想理解，当椭圆中的 a b 时,椭圆加强为了圆，所以 b 2 K OP k AB~ 1)a2X问题2、已知椭圆C :笃2y2 1与直线I 相切于点P(x o , y o )，且点P(x o , y o )在第一象限, b 若直线I 与x 轴、y 轴分别交于点B 、A ，求线段| AB |的最小值。
直线AB 的方程设为y kx m,A(0,m), B(m,0)， k若直线I 与x 轴、y 轴分别交于点B 、A .若过原点O 的直线11与I 垂直交与点D,证明:则根据两点间的距离公式可得I AB |2 2mk 22m ，又因为前面根据直线和椭圆相切已求出m 2 a 2k 2 b 2 (*)，代入可得| AB |2m 2a 2k 2b 2a 2禺 k 2a 2b 2 (a 2k 2a 2b 22ab (ab)2，线段|AB |的最小值为a b .当且仅当 a 「kk 4~2k 2时，取到F 面再继续讨论“ 2X o过的k oP k ABb 2~2知， 此时k oP 22 !o_aX o32bx o 23a 2ax o2X oa ,代入 k oP 22a bX oI PA |22 X o(y o m)22X o(kx o )2(1 k 2)XoPA |2a b3a2 a ・| PA I a,|P >B| ba a bb 3x o 2 3 2 a y o问题3、已知椭圆C ：%a2yb 2 1与直线I 相切于点 2y o，代入P(x °,y °)，且点 P(x o , y o )在第一象限,由前面已证2 所以可得到，2b l3 a ”取到时的条(1 -)x o 2a£得a3兀得12 3X o 2a (1 为b a| PD | | AB | 定值. x °x y °y证明：由于过点P 的切线I 方程为二孑1,直线l 与x 轴、y 轴分别交于点B 、A ， a b _4 4_ a b ~22X o y o故直线l 1的方程为 b 2 2 所以 A(o,—),B(—,o)，则 |AB | y o xo由于直线I 1过原点o 且与 I ky o X o |l 垂直, x + ky = 0,所以点P 到直线I i 的 距离 |PD |____ Jk 2 1 b 2X o 面已证过 b 2X o 2 ， 代入得 a y o |PD| | ky o X o | |PD| 2 |AB| |a | 2a ::a 4y o 2b 2| a 2X o | b 22y_ b 2 点P 在第一象限.若过原点o 的直线 问题4、如图，设椭圆 2 2 a X o y o bx o y o l |a 21 ~4~ a X o? 2c = 定值(c 为椭圆的半焦距) | ”a 4y o 2 b 4X o 2b 2| b 4y o 21(a b 0)，动直线I 与椭圆C 只有一个公共点P,且 l i 与I 垂直，证明：点P 到直线l i 的距离的最大值为 a b .证明：方法一、 由于直线I 1过原点O 且与I 垂直，故直线11的方程为x + ky = 0,所以点P 到直线 —a 2k b 2k 2 2 距离 d =杓 aF b 2+ a 2k整理得d =1 + k 2a 2—b b 2 + a 2+ a 2k 2+ b"2・因为a 2k 2+2ab ,所以kv a — b 2 b 2+ a 2+ a 2k 2+『苗 +『+ 2ab"fa 2—b 2 当且仅当k 2= b时等号成立.a所以，点P 到直线11的距离的最大值为 a - b .方法二、由前面证过的问题2与问题3的结论，线段|AB|的最小值为 a b ,2 2 2 2|PD | |AB| |a b | a b =定值，可得点P 到直线11的距离| PD |的最大值为a — b .。