问：烦请您具体说说怎麽用隐函数求导法来求椭圆的切线方程
高数隐函数偏导数的求法及其应用-文档资料
0
f
u
(
x y
1)
fv ( xz
yz x), y
整理得 x fu xzfv ,
y
fu yzfv
把 y 看成x, z 的函数对z 求偏导数得
1
y
fu
( z
1)
y fv ( xy xz z ),
整理得 y 1 fu xyfv . z fu xzfv
1、二元函数极值的定义
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x, y) ： 若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数 在 ( x0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数在( x0 , y0 ) 有极
可能极值点，
先构造函数F ( x, y) f ( x, y) ( x, y)，
其中 为某一常数，可由
f f
x y
( (
x, x,
y) y)
x y
( (
x, x,
y) y)
0, 0,
( x, y) 0.
解出 x, y, ，其中x, y 就是可能的极值点的坐标.
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：
小值；
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
2、多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件）
设函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )具有偏导数，且 在点( x0 , y0 )处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： f x ( x0 , y0 ) 0， f y ( x0 , y0 ) 0 .
过椭圆外一点求椭圆的切线方程
过椭圆外一点求椭圆的切线方程以《过椭圆外一点求椭圆的切线方程》为标题，我们来讨论如何用代数的方法来求解椭圆的切线方程。
在坐标平面中，椭圆是一种二次曲线，它是一个椭圆形状的几何图形，椭圆经常用它的标准方程来表示，它的标准方程如下所示： $$frac{left (x-x_{0}right )^{2}}{a^{2}}+frac{left(y-y_{0}right )^{2}}{b^{2}}=1 $$其中，$(x_{0}, y_{0})$ 为椭圆的中心位置，a,b为椭圆的长短轴长。
当我们给定椭圆的方程，给定一点外部的点$(x, y)$，我们想要求出由这个外部点和椭圆共同确定的切线方程，则要做的步骤是这样的：（1）先用三角函数把椭圆的标准方程的一般式化成按照椭圆的中心坐标$(x_{0},y_{0})$给出的形式：$$ frac{left (x-x_{0}right )^{2}}{a^{2}}+frac{left(y-y_{0}right )^{2}}{b^{2}}=1. $$（2）然后，根据三角函数的关系，把椭圆的标准方程中$ x,y $代入到外部点$(x,y)$，把椭圆的标准方程变成一元二次方程，求出椭圆上一点$(x,y)$，并且把这一点代入椭圆的标准方程中，得到：$$ frac{left (x-x_{0}right )^{2}}{a^{2}}+frac{left(y-y_{0}right )^{2}}{b^{2}}=1. $$（3）最后，在椭圆的标准方程的基础上，把外部点$(x,y)$的坐标值与椭圆上一点的坐标值作差，则可求出切线方程，即：$$ y-y_{0}=frac{b^{2}}{a^{2}}left (x-x_{0}right ). $$ 以上就是求椭圆的切线方程的具体步骤，这个过程利用了三角函数的基本关系，从而可以从定义出椭圆的方程，而再通过算法判定一点，根据这个点的内外状态，就可以求出切线方程。
过椭圆上一点的切线方程公式
过椭圆上一点的切线方程公式结论：过椭圆 \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 上一点 p（x_{0}，y_{0}）切线方程为\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1推导：法一：利用判别式△=0设直线 l：y-y_{0}=k(x-x_{0})联立直线与椭圆方程，消去y，此时只有斜率k为未知数，利用联立后方程中△=0可以解出k将k代回直线化解即可，但化解过程会有些复杂法二：对椭圆求导用隐函数求导的方法可以求出 \frac{dy}{dx}=-\frac{b^{2}x}{a^{2}y} 将p点代入后可列出直线方程：y-y_{0}=-\frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}} (x-x_{0}) 化解后可得：a^{2}y_{0}y+b^{2}x_{0}x=a^{2}y_{0}^{2}+b^{2}x_{0}^{2}上式两边同时除以a²b²即可得\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1法三：仿射变化令x^{’}=\frac{x}{a}y^{'}=\frac{y}{b} 此时椭圆化为单位圆 x^{'}+y^{'}=1 p点坐标写为（\frac{x_{0}}{a},\frac{y_{0}}{b}）由圆切线方程易得p点处切线方程为\frac{x_{0}}{a}x^{'}+\frac{y_{0}}{b}y^{'}=1由仿射不变性代回得椭圆上p点处切线方程\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1推导方法还有很多，在此就不一一叙述了结论虽然好用，不过在大题里不可以直接用。
如果要用需要先写出步骤（设方程联立△=0或根据对称性得到某一区域的函数求导），有步骤后再直接写出直线方程。
过椭圆外一点求椭圆的切线方程
过椭圆外一点求椭圆的切线方程椭圆是数学中的一种经典的问题，由于它具有许多有趣的性质及其复杂的结构，因此被广泛应用于实际问题中。
由于椭圆的形状并不像圆那样是圆形的，因此在研究椭圆上某一点到圆周上其它点的连线时，会发现它们存在一定的规律，其中就包括椭圆上过某一点外一点求椭圆的切线方程。
任意给定一个椭圆的标准方程：$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为椭圆的长轴半径和短轴半径，椭圆上的任意一点$P(xi,eta)$，则当这个点外另一个点$Q(x_0,y_0)$固定时，可以推导出椭圆切线的方程为： $$frac{x}{x_0}+frac{y}{y_0}=m$$$$frac{(x-xi)(y_0-eta)}{(x_0-xi)(y-eta)}=1$$ 上面的式子其实都可以算出椭圆切线方程，但是两者有一定的运用区别：1.点$P$不是椭圆上的点时，就可以用第一式：$frac{x}{x_0}+frac{y}{y_0}=m$求出椭圆的切线方程，其中$m$为椭圆切线的斜率，$x_0$和$y_0$分别为点$Q$的横纵坐标；2.当点$P$是椭圆上一个点时，就可以用第二式：$frac{(x-xi)(y_0-eta)}{(x_0-xi)(y-eta)}=1$求出椭圆的切线方程，其中$xi$和$eta$分别为点$P$的横纵坐标，$x_0$和$y_0$分别为点$Q$的横纵坐标。
因此，我们在求解椭圆上某一点外一点求椭圆切线方程时，要根据实际情况选择适当的方法；即当椭圆上的点不定时，可以用第一式算出切线斜率；当椭圆上的点是固定的时，就可以用第二式求出椭圆的切线方程，其实现过程相当的简单，只要把解析几何的思想用起来，就可以解决这个问题。
本文分析了椭圆上某一点外一点求椭圆的切线方程的问题，首先给出了一个椭圆的标准方程，由此推出了求解椭圆上某一点外一点求椭圆的切线方程所采用的方法，即当椭圆上的点不定时，可以用第一式算出切线斜率；当椭圆上的点是固定的时，就可以用第二式求出椭圆的切线方程。
利用隐函数定理解高考中二次曲线的切线问题
利用隐函数定理解高考中二次曲线的切线问题导数给高中数学增添了新的活力，也是高考的热点内容.纵观历年高考，有很多导数试题与高等数学中的隐函数导数有关.本文是在高三备考复习中，对近些年来全国和若干省（市）高考数学卷中的把关题和压轴题做一些简单分析，旨在为备考初等数学与高等数学的衔接知识方面起抛砖引玉的作用.一、隐函数定理设函数F（x，y）在包含（x0，y0）的一个开集上连续可微，并且满足条件F（x0，y0）=0，Fy（x0，y0）≠0，则存在以（x0，y0）为中心的开方块D×E（D=（x0-δ，x0+δ），E=（y0-η，y0+η）），使得（1）对任何一个x∈D，恰好存在唯一的一个y∈E，满足方程F （x，y）=0.这就是说，方程F（x，y）=0确定了一个从D到E的函数y=f（x）；（2）函数y=f（x）在D连续可微，它的导数可按下式计算dydx=-Fx（x，y）Fy（x，y）.二、问题已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）.（Ⅰ）点P（x0，y0）是椭圆C上一点，求过P点的椭圆C的切线方程；（Ⅱ）点P（x0，y0）是椭圆C外一点，过P引椭圆C的切线PA、PB，点A、B为切点，求直线AB的方程.解：（Ⅰ）根据隐函数定理f′（x）=dydx=-2xa22yb2=-xb2ya2，过P的切线斜率k=-x0b2y0a2，过P的切线方程为y-y0=--x0b2y0a2（x-x0），整理得x0xa2+y0yb2=1.（Ⅱ）设切点A（x1，y1）、B（x2，y2），由（1）知切线PA：x1xa2+y1yb2=1，切线PB：x2xa2+y2yb2=1，由直线PA、PB的交点为P（x0，y0），所以直线AB的方程为x0xa2+y0yb2=1.三、推广命题1 已知圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2.（1）点P（x0，y0）是圆C上一点，则过P点的圆C的切线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.（2）点P（x0，y0）是圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2外一点，过P引圆C的切线PA、PB，点A、B为切点，则直线AB的方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.命题2 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）.（1）点P（x0，y0）是双曲线C上一点，则过P点的双曲线C的切线方程为x0xa2-y0yb2=1.（2）点P（x0，y0）是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）外一点，过P引双曲线C的切线PA、PB，点A、B为切点，则直线AB的方程为x0xa2-y0yb=1.命题3 已知抛物线C：x2=2py（p>0）.（1）点P（x0，y0）是抛物线C上一点，则过P点的抛物线C 的切线方程为x0x=2p・y0+y2.（2）点P（x0，y0）是抛物线C：x2=2py（p>0）外一点，过P引抛物线C的切线PA、PB，点A、B为切点，则直线AB的方程为x0x=2p・y0+y2.四、在高考中的应用图1【例1】如图1，以椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆.过椭圆右焦点F（c，0）（c>b）作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A.连结OA交小圆于点B.设直线BF是小圆的切线.（Ⅰ）证明c2=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；（Ⅱ）设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明OP・OQ=12b2.解：（Ⅰ）F（c，0），则A（c，b），所以OA的方程为y=bcx.由y=bcx，x2+y2=b2得B（bca，b2a），则根据隐函数定理，小圆O在B点的切线BF的方程为bcax+b2ay=b2，又该切线过点F（c，0），所以c2=ab，M（0，a），（Ⅱ）由（1）知切线BF的方程为cx+by=ab，由方程组x2a2+y2b2=1，cx+by=ab，得x1x2=a4b-a2b3a3+b3，y1y2=a2b3-a3b2a3+b3，x1x2+y1y2=a4b-a2b3a3+b3+a2b3-a3b2a3+b3=a3b（a-b）（a+b）（a2-ab+b2）.又c2=ab，a2=b2+c2，a2=b2+ab.a+b=a2b，a-b=b2a.x1x2+y1y2=a4b-a2b3a3+b3+a2b3-a3b2a3+b3=a3b（a-b）（a+b）（a2-ab+b2）=12b2，所以OP・OQ=x1x2+y1y2=12b2.图2【例2】在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1（0，-3）和F2（0，3）为焦点、离心率为32的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量OM=OA+OB.求点M的轨迹方程.解：根据题意，椭圆半焦距长为3，半长轴长为a=ce=2，半短轴长b=1，即椭圆的方程为x2+y24=1.设点P坐标为（cosθ，2sinθ）（其中0所以点M的轨迹方程为（1x）2+（2y）2=1（x>0且y>0）.评析：例1是过圆上的点作圆的切线，例2是过椭圆上的点作椭圆的切线，都是研究切线的直线方程，是命题1的应用.【例3】如图3，设抛物线方程为x2=2py（p>0），M为直线y=-2p 上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，|AB|=410，求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py（p>0）上，其中点C满足OC=OA+OB（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）证明：由题意设M（x0，-2p），则根据隐函数定理，直线AB的方程为x0x=2p×-2p+y2，即x0x-py+2p2=0.由x0x-py+2p2=0，x2=2py得x2-2x0x-4p2=0，①图3即2x0=x1+x2.所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x0=2时，直线AB的方程为2x-py+2p2=0，方程①即为x2-4x-4p2=0，因此x1+x2=4，x1x2=-4p2，kAB=2p.由弦长公式得|AB|=1+k2（x1+x2）2-4x1x2=1+4p216+16p2.又|AB|=410，所以p=1或p=2，因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.（Ⅲ）由（Ⅰ）知x1+x2=2x0，则y1+y2=2x20+4p2p.由题意得C（x1+x2，y1+y2），即C（2x0，2x20+4p2p）.当x0=0时，则x1+x2=2x0=0，此时，点M（0，-2p）符合题意.当x0≠0时，设D（x3，y3），由题意可得x23=2py3，y3-2x20+4p2px3-2x0=-px0，x0x3+2x02-py3+2x20+4p2p2+2p2=0.解关于x0，x3，y3的方程组，经验检该方程组无解.所以x0≠0时，不存在符合题意的M点.综上所述，仅存在一点M（0，-2p）符合题意.图4【例4】设点P（x0，y0）在直线x=m（y≠±m，0解：（Ⅰ）设A（xA，yA），N（xN，xN），AN垂直于直线y=x，则，yA-xNxA-xN=-1，xN=xA+yA2，N（xA+yA2，xA+yA2）.设G（x，y），则x=1m+xA+xA+yA23=13m+12xA+16yA，y=xA+yA2+yA3=16xA+12yA，解得xA=94x-34y-34m，yA=-34x+94y+14m，代入双曲线方程x2-y2=1，并整理得9（x-13m）22-9y22=1，即G点所在的曲线方程为（x-13m）229-y229=1.（Ⅱ）设P（m，y0），则根据隐函数定理得过P的双曲线切线方程为mx-y0y=1，又M（1m，0）满足上述方程，A、M、B三点共线.点评：例3是过抛物线外一点作抛物线的两切线，例4是过双曲线外一点作双曲线的两切线，都是研究切点弦所在的直线方程，是以上命题（2）的应用.五、评析（1）在近几年高考试题中有关过曲线上点的切线、曲线外一点引曲线的两切线的切点弦问题出现频率高，而且以压轴题为主.（2）用隐函数定理解这种题型比用常规方法（判别式法、转化为求导数、解方程组等）要省事.（3）这种题型具有明显的高等数学背景，它对进一步学习高等数学来说是非常必须的，具有较好的选拔功能，同时也具有导学和导教功能.。
妙用“隐函数的导数法”求圆锥曲线的切线方程 精品
妙用“隐函数的导数法”求圆锥曲线的切线方程【摘要】 本文通过隐函数相关理论解决中学数学教学中求圆锥曲线的切线方程问题，以一个小问题为出发点，引出隐函数的导数带来便利之处，由此可以培养高中学生思维能力，学习数学运算技巧，并为高中数学教师研究数学课堂教学提供借鉴。
【关键词】 圆锥曲线 切线 隐函数 导数随着新课程进一步的深入，高中数学课堂教学对教师的专业素质提出了更高的要求，对高中数学教师的数学专业知识容量提出了新的挑战，为此笔者重新对高等数学内容进行学习，寻找高中数学各模块知识在高等数学中的渊源，以更好地有针对地进行课堂教学。
圆锥曲线的切线问题是导数知识与解析几何知识交汇点，也是最近几年高考的热点问题。
如何利用导数这一工具解决此类问题，笔者在此提几点自己看法。
1．问题的提出数学问题是学生学习数学的核心，是学生提高数学素质的媒介，也是教师引导学生学习数学思想，领悟数学思想方法的一个平台。
对数学问题进行适当的变换不仅能拓展学生的知识面，也有利于提高学生的能力，更能让学生体会到新课程大环境下学科思想。
例如在求抛物线的切线方程我们会发现一个有趣的现象。
例1已知抛物线C ：2y x =及C 上一点A （1，1），过A 作C 的切线，求切线方程。
分析：此题若通过直线与抛物线的位置处理方法，很容易就能得出结果；若运用导数的几何意义也不难得到结果：先求出y 关于x 的导数再将A 点的横坐标代入得到切线的斜率2，即所求的切线方程为21y x =-。
变式1 将题中C 的方程改成2x y =。
分析：通过传统求切线方程方法易得1122y x =+；如果运用导数去求呢？学生肯定会发现表示曲线C 的方程不是函数所以也不能求导，怎么办？笔者在教学中得到这样几种解题思路：①在方程C 中将,x y 互换也就是将x 看成关于y 的函数求导即得2x y '=，再在写切线程时也将,x y 互换可得12(1)x y -=-即1122y x =+；②将方程C 改写成两个函数y =y '=因为点A 在x 轴上方，所以斜率为12；③研究②将y =y '=可得12y y'=此时过A 点的切线斜率为12。
一直椭圆上切线的斜率求切线方程
一直椭圆上切线的斜率求切线方程椭圆是一个常见的二次曲线，具有很多特性和性质。
其中一个重要的性质是，对于椭圆上的任意一点，都有且只有一条切线经过该点。
本文将详细介绍如何求解椭圆上切线的斜率，并进一步推导出切线的方程。
首先，我们来回顾一下椭圆的定义和性质。
椭圆是平面上一组点的集合，满足到两个给定点（焦点）的距离之和等于常数的特性。
椭圆也可以通过其半长轴（a）和半短轴（b）来描述。
根据定义，椭圆的方程可以表示为：(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1其中，(h,k)是椭圆的中心点。
这个方程可以被用来求解椭圆上的点的坐标，并进一步计算切线的斜率。
要求解椭圆上的切线斜率，我们需要先求解椭圆上的点的坐标，然后计算每个点处的切线的斜率。
接下来，我们将详细介绍这个过程的步骤。
步骤1：找到椭圆上的点的坐标要找到椭圆上的点的坐标，我们可以使用椭圆的方程。
假设我们已经知道椭圆的半长轴（a）、半短轴（b）、中心点（h,k）和一点的横坐标（x）。
我们可以将这些值代入椭圆方程，然后解方程得到相应的纵坐标（y）。
这样就可以得到椭圆上的点的坐标。
步骤2：计算切线的斜率要计算椭圆上某点处的切线的斜率，我们可以使用求导的方法。
首先，我们求出椭圆方程关于x的导数，然后将该导数代入到求解椭圆上某点的纵坐标之前，生成一个带有x和y的方程，另一个方程是椭圆方程。
假设我们已经找到了椭圆方程关于x的导数，假设为dy/dx。
现在我们可以使用这个导数来计算椭圆上某点处的切线的斜率。
在这个点处，椭圆方程和其导数都成立。
我们可以将这两个方程相乘，然后通过移到x项和y项到方程两个边来得到一个方程。
步骤3：写出切线方程现在我们已经得到了椭圆上某点处的切线的斜率，我们可以使用该点的坐标和切点的斜率来写出切线的方程。
切线的方程可以写为：y - y1 = m(x - x1)其中，(x1,y1)是切点的坐标，m是切线的斜率。
对椭圆求导的详细过程
对椭圆求导的详细过程椭圆是一种常见的二次曲线，其方程为x²/a² + y²/b² = 1。
在数学中，求导是一种重要的运算，它可以帮助我们求出函数的变化率和极值等信息。
下面将详细介绍对椭圆求导的过程。
首先，我们需要将椭圆的方程写成函数形式。
由于椭圆的方程中包含两个变量x和y，我们需要将其中一个变量表示为另一个变量的函数。
具体来说，我们可以将y表示为：y = b√(1 - x²/a²)将y代入椭圆的方程中，得到：x²/a² + b²(1 - x²/a²)/b² = 1化简后可得：x²/a² + 1 - x²/a² = 1即：x²/a² = 1 - y²/b²将y表示为x的函数后，我们就可以对椭圆进行求导了。
对上式两边同时求导，得到：2x/a² dx/dt = -2y/b² dy/dt将dy/dx表示为x的函数，得到：dy/dx = -b²x/(a²y)这就是椭圆的导数公式。
需要注意的是，由于椭圆是一个二次曲线，其导数是一个一次函数，因此我们可以通过求导来确定椭圆的切线斜率。
接下来，我们可以利用导数公式来求解椭圆的切线斜率。
假设我们要求解椭圆上点(x0, y0)处的切线斜率，那么我们可以将x0和y0代入导数公式中，得到：dy/dx = -b²x0/(a²y0)这个式子就是椭圆在点(x0, y0)处的切线斜率。
需要注意的是，当y0=0时，导数不存在，这意味着椭圆在x轴上的点没有切线。
最后，我们可以利用切线斜率公式来求解椭圆在某一点处的切线方程。
假设我们要求解椭圆上点(x0, y0)处的切线方程，那么我们可以利用点斜式公式，得到：y - y0 = dy/dx(x0)(x - x0)将dy/dx代入上式中，得到：y - y0 = -b²x0/(a²y0)(x - x0)这个式子就是椭圆在点(x0, y0)处的切线方程。