椭圆、双曲线切线方程的一个简便求法

中学数学研究2009年第6期

的直线方程.

分析:要求A的内外角平分线所在的直

线方程,只要分别求出它们的斜率即可,由角平

分线到两边的角相等,很容易求出斜率.

解:设A的角平分线为AM,由AB到

AM的角等于AM到Ac的角可知:

kAc--kAM

,解得k-=711k

AM或+.忌

AB+.‰

忌=一专,所以直线AM的方程为:ll:7x—

Y一17=0或Z2:+7y一31=0,它们分别是

A的内外角平分线所在的直线方程.因为内

角平分线内分对边,所以点B,C应在AM的

异侧.经验证,点B,C在直线l1的异侧,而点

B,C在直线z2的同侧.因而z1:7x—y一17=0

为A内角平分线所在直线方程,z2:z+7y一

31=0为A的外角平分线所在的直线方程.

例7已知集合A={(,Y)IY一√3z≤

0},集合B={(z,Y)I+(Y一口)≤1},若A

nB=B,求a的取值范围.

解:Y一√3z≤0表示直线Y一√3z=0右下

方的平面区域,+(Y—a)≤1表示圆+

(Y一口)=1的内部和圆周上的点的集合,要使

AnB=B,只要z+(Y一口)≤1的区域全部

在Y一√3z≤0区域的右下方即可,所以圆心到

直线的距离大于这个圆的半径就可以了.

I一一I

即d=L>1,由于a<0,所以口<一2.

总之,线性规划不光能解决目标函数在线

性约束条件下的最值问题,还可以解决与平面

区域有关的问题,而且运算量较小.因此可以促

进思维能力创新,请在复习中认真体会,仔细推

敲.

参考文献

[1]高考复习专题二,2009年高考复习预测.中学数学

教学增刊.

[2]陈贵伦.直线与椭圆位置关系问题的换元解法,中

学数学教学(.,).2009,1.

簟■j-}_}业,'}j-}-}-}j-}-}jkr,'簟j.},Ij●}1■}j-}_}■}—j●}-}——j_}j-}1-'}j-}—_}1■}j-}j-

椭圆,双曲线切线方程的一个简便求法

江西省吉安县二中(343100)罗章军

大家都知道,求椭圆,双曲线切线方程通常

用导数法,△法等,但运算量都较大.笔者运用

线性规划知识找到一种求椭圆,双曲线切线方

程新法,较为简便实用.现简述如下.

定理1若直线z:Y=如+m为椭圆

f.znncosa

(口>0,b>o,∈[0,27f))的切线,

(Yo—Osm0'

设z=k.zo+m—Yo,贝0仃mx=0或tIli=0.其

中k为直线z的斜率.

证明:若l与椭圆相切,则椭圆上的点都在

z的同侧,据线性规划知识可知,对于椭圆上任一

点P(xo,Yo),=kXo+m—Yo>/o或≤0,

.liII=0或一=0,当且仅当P为切点时等

号成立.

例1为使直线j,z+m与椭圆+

25=1有两个公共点,求的范围.

解:设=.z+6为椭圆+25=1的切

线,令z=xo+b-yo,其~中.1(x

osO

∈[.,

27r),因为=13+b=0或z.m=一13+b

=0'...Y=z±13为已知椭圆的切线,所以m

∈(一13,13).

例2求函数s=的值域.

解:令P(2cos0,sin0),Q(一4,一3),则

==一

sinO-

一

(f-

一

2cosO42eosO4=足'...s的值域+一

(一)''

2009年第6期中学数学研究

即为椭~圆{x0=2

cos0

上的点P与Q连线的斜

lY0一slnU

率范围,设过Q的切线方程为Y+3=k(z+

4),令z=o—Y0+4k一3,则z=2kcosO—

sin0+4k一3,由=0或Zmi:0,得

4k一3±而:0,.?.k:—3+43.

[学,学].

定理2若直线l:Y=妇+为双曲线

{xo:=asect).,(a>0,b>0,0EyobtanO(一号,)u'{(>,>,(一_兰_,)【J【=,,,2'2 (詈,))的切线,其中k为直线z的斜率,令

kzo+m—Yo,则(zcos0)=0或(zcosO)~

=0.

证明:①.若直线与双曲线右支相切,当

k>0时,因为双曲线的右支都位于l的右侧,

据线性规划知识可知对于右支上任一点P

(X0,yo),有=kcco+m—Y0>/o,显然此时0

∈(一,詈),.'.cosO>0,.'.有zcosO≥0,因此

(zcos0)TI1i:0,而当k<0同理可得(zcosO)

0.当且仅当P为切点时等号成立.

②.若直线l与双曲线左支相切时,同样可

得0E(詈,警)时有(cos0)rI1i=0或

(zcos0).~x=0.当且仅当P为切点时等号成

立.又因为ZCOS0=(0+m—Yo)ms0=ah+

mcos0一bsin0,由正弦函数的性质可知,若

zmsO在开区间(一号,詈)与(号,萼)存在最大

值或最小值,其值分别为+√6+m2.一

V厂.

综合①②,若直线1:=taz+为双曲线

的切线,则有(zcosO)=0或(ZCOS0)r=x=0.

例3求过点(1,2)且与双曲线等一=1

相切的直线方程的斜率.

解:若P(xo,Yo)为双曲线上任一点,则有

c一苎,设切线

方程为Y一2=k(z一1),令=kxo—0+2一

k,...zcosO=3k一2sin0+(2一志)cosO,由

(zeosO)=0或(zcosO)一=0,得3k±

研:0,...忌:寺.

坐坐业坐业业业坐业~~e,,ale--ale-.ale--ale-业坐业业业业坐业尘业业业坐一

道课本复习题的证法研究与拓展

西北师范大学实验中学(730070)宋波

2.求曲线经过点P处的切线方程

22.求曲线经过点P 处的切线方程例2．已知曲线C ：3()2f x x x =-+，求经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程错解：由'2()31f x x =-，得'(1)2k f ==，所以所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =。错因剖析：此处所求的切线只说经过P 点，而没说P 点一定是切点，于是切线的斜率 k 与'(1)f 不一定相等。比如（如图）当02x π≤≤时，正弦曲线sin y x =在点P 处的切线只有一条：1l ；而经过点P 的切线却有两条：1l 与2l 。正解：设经过点P （1，2）的直线与曲线C 相切于点00(,)x y ，则由'2()31f x x =-，得在点00(,)x y 处的斜率'200()31k f x x ==-，有在点00(,)x y 处的切线的方程为 2000(31)()y y x x x -=--。又因为点00(,)x y 与点P （1，2）均在曲线C 上，有3000200022(31)(1)y x x y x x ?=-+??-=--??，消去0y 得320000(31)(1)x x x x -=--，解得01x =或012x =- ，于是2k =或14 -，所以所求切线方程为2y x =或1944y x =-+。归纳：求曲线经过点P 处的切线方程的方法（1）解题步骤：（1）设出切点坐标00(,)x y ；（2）列关于0x 与0y 的方程组，求解方程组，进而求切线斜率；（3）写出问题的结论。（2）上述列方程组的方法是根据下面三个条件：①切点在曲线上，②已知点在切线上，③切点处的导数等于切线斜率

专题：椭圆地切线方程

“椭圆的切线方程”教学设计马二中向兵一、教学目标知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程； 2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。情感态度与价值观：通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。二、教学重点与难点教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。教学难点：椭圆的切线方程的探究。三、教学流程设计 (一）创设情境复习：怎样定义直线与圆相切？设计意图：温故而知新。由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。 (二）探究新知基础铺垫：问题1、已知椭圆22 :182 x y C +=与直线l 只有一个公共点（1）请你写出一条直线l 的方程；（2）若已知直线l 的斜率为1k =-，求直线l 的方程；（3）若已知切点(2,1)P ,求直线l 的方程；（4 ）若已知切点P ,求直线l 的方程。设计意图：（1 ）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如x y =±=特殊情况过渡到一般情况。切线确定，切点确定。（2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。利用斜截式设直线，联立方程组，消

元，得到一元二次方程，判别式0?=。切线斜率确定，切线不确定。（3）已知切点求切线，只有唯一一条。利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。由于切点是整数点，运算简洁。切点确定，切线确定。可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。问题一般化：猜想：椭圆22 22:1x y C a b +=与直线l 相切于点00(,)P x y ，则切线l 的方程？（椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课）设计意图：类比经过圆上一点P(x 0，y 0)的切线的方程为2 00x x y y r +=进行猜想，培养学生合情推理的能力。由于具体的求解过于繁琐，思想方法同问题1，所以上课时没必要花费时间进行求解，做成微课方便学生课后时间自己解决。探究：在椭圆中，有关切线问题，还可以求哪些量？

曲线的切线方程

导数的几何意义、曲线的切线方程：一、框架 1.命题分析：本题型在高考解答题主要是在第(1)问中出现，也有可能在选择题或填空题中出现，若为解答题，主要考点为：(1)导数的几何意义;(2)直线与函数图象相切的条件。 2.几何意义：函数()x f 在0x 处的导数就是曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率，即斜率为()0'x f . 3.物理意义：函数()s f t =在0t 处的导数就是曲线()s f t =在0t 时刻的速度. 4.曲线)(x f y =上在点())(,00x f x 处的切线方程为))(()(00'0x x x f x f y -=-. 5.切线方程的求解方程问题：第一步：判切点：求曲线的切线方程时先分清是“在点处”的切线方程还是“过点”的切线方程。切点已知直接求，切点未知设切点；第二步：求斜率（导数）：通常若切点为())(,00x f x ，则在该点处曲线的斜率为()0'x f ；第三步：用公式：所对应的曲线)(x f y =上在点())(,00x f x 处的切线方程为))(()(00'0x x x f x f y -=-。 6.利用切线方程（或切线的性质）判断参数的值（或取值范围）第一步：求斜率（导数）：求出函数()x f y =在0=x x 处的导数()0'x f ，即函数()x f y =的图象在点 ())(,00x f x 处切线的斜率；第二步：列关系式：根据已知条件，列出关于参数的关系式；第三步：求解即可得出结论。 7.注意点：求曲线的切线方程时先分清是“在点处”的切线方程还是“过点”的切线方程。切点已知直接求，切点未知设切点。二、方法诠释类型一：在某点的切线方程例1．求曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程。解： y ′＝3x 2－2，∴k ＝y ′|x ＝1＝3－2＝1，∴切线方程为y ＝x －1. 类型二：过某点(某点不在曲线上)的切线方程例2．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解：点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 3 0－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 2 0，即x 30x 0－2 ＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)，即27x －y －54＝0. 综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0. 类型三：过某点(某点在曲线上)的切线方程,例如例3的第(2)问例3．(1)求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 在原点(0,0)处的切线方程。 (2)求过原点(0,0)且与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 相切的切线方程．解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，设切线的斜率为k ，k ＝f ′(0)＝2，f (0)＝0，所求的切线方程为y ＝2x . (2)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，f (0)＝0，所求的切线方程为y ＝2x . 当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)(x 0≠0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 2 0－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0 ＝x 2 0－3x 0＋2，② 由①②得x 0＝32，k ＝y 0x 0＝－14. 所以所求曲线的切线方程为y ＝2x 或y ＝－14x . 三、巩固训练

椭圆经典结论

椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即0202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是

用导数求切线方程的四种类型

用导数求切线方程的四种类型浙江曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法．类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（）Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 解：由2 ()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为 (1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --= 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|． 01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用?法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0?=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．

高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条经典法则

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）高三数学备课组椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2 的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和 A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.

求曲线在点某处或过某点的切线方程

2求曲线在点某处或过某点的切线方程 1.求曲线在某点处的切线例1．求曲线33y x x =+在点(2,14)P --处的切线方程分析：由在点(2,14)P --处的切线，可知(2,14)P --是切线的切点。由导数的几何意，可得切线的斜率等于函数33y x x =+在2x =-处的导数，再由直线的点斜式方程可求得切线方程解：由'2()33f x x =+，得切线的斜率为'(2)15k f =-=，所以切线方程为1415(2)y x +=+，即1516y x =+ 归纳：这类问题就是已知点P 是切点，求切线方程。可以先求出函数在该点处的导数，它也就是切线的斜率，再运用直线的点斜式方求出切线方程练习：求曲线12ln(21)y x =++在点(0,1)P 处的切线方程解：由14()2(21)2121 f x x x x ''=??+=++，得切线的斜率为(0)4k f '==，故所求的切线方程为 14(0)y x -=-，即410x y -+= 2.求曲线经过点P 处的切线方程例2．已知曲线C ：3()2f x x x =-+，求经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程错解：由'2()31f x x =-，得'(1)2k f ==，所以所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =。错因剖析：此处所求的切线只说经过P 点，而没说P 点一定是切点，于是切线的斜率 k 与'(1)f 不一定相等。比如（如图）当02x π≤≤时，正弦曲线sin y x =在点P 处的切线只有一条：1l ；而经过点P 的切线却有两条：1l 与2l 。正解：设经过点P （1，2）的直线与曲线C 相切于点00(,)x y ，则由'2()31f x x =-，得在点00(,)x y 处的斜率'200()31k f x x ==-，

专题椭圆的切线方程

设计意图：温故而知新。由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。 (二）探究新知基础铺垫：问题1、已知椭圆22 :182 x y C +=与直线l （1）请你写出一条直线l 的方程；（2）若已知直线l 的斜率为1k =-，求直线l （3）若已知切点(2,1)P ,求直线l 的方程；（4 ）若已知切点P ,求直线l 的方程。设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如 x y =±= （2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。切线斜率确定，切线不确定。（3）已知切点求切线，只有唯一一条。利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。由于切点是整数点，运算简洁。切点确定，切线确定。可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。

求曲线的切线方程的几种方法

2017届高三数学二轮复习——求曲线)(x f y =的切线方程的几种方法课前预习 1、已知函数()ln (,)f x m x nx m n =+∈R ，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为220x y --=，则m n += 2、若x 轴是曲线 3ln )(+-=kx x x f 的一条切线，则=k 3、已知曲线x y =与x y 8=的交点为P ，两曲线在点P 处的切线分别为21,l l ，则切线21,l l 与y 轴所围成的三角形的面积为 4、已知函数x x f =)(，x a x ln )(g =，R a ∈.若曲线)(x f y =与曲线)(x g y =相交，且在交点处有相同的切线，则切线方程为 5、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线)0(2>= x x y 和)0(3>=x x y 均相切，切点分别为),(11y x A 和),(22y x B ,则=2 1x x 典型例题例1、已知函数 x x x f 32)(3-=．（1）求)(x f 在点)1,1(-处的切线方程；（2）若过点)1(t P ，存在3条直线与曲线)(x f y =相切，求t 的取值范围．

例2、已知函数为常数）b a b ax x x x f ,(2 5)(23+++=，其图象是曲线C ． (1)当2-=a 时，求函数)(x f 的单调递减区间； (2)已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一个点B ，在点B 处作曲线C 的切线2l ，设切线21l l ，的斜率分别为21,k k ．问：是否存在常数λ，使得12 k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．例3、对于函数 )(x f ，)(g x ，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数)(x f 和)(g x 在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点．设函数)0()(2≠-=a bx ax x f ，()x x ln g =．（1）当0,1=-=b a 时，判断函数 )(x f 和)(g x 是否相切，并说明理由；（2）已知0>=a b a ，，且函数)(x f 和)(g x 相切，求切点P 的坐标．

过一点求曲线的切线方程的三种类型

过一点求曲线的切线方程的三种类型舒云水过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒ 1.已知曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x P ，求曲线在该点处的切线方程﹒ 这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型﹒其求法为：先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率，后写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，并化简﹒ 例1 求曲线33)(23+-=x x x f 在点)1,1(P 处的切线方程﹒ 解：由题设知点P 在曲线上， ∵x x y 632-='，∴曲线在点)1,1(P 处的切线斜率为3)1(-='f ，所求的切线方程为)1(31--=-x y ，即43+-=x y ﹒ 2. 已知曲线)(x f y =上一点))(,(11x f x A ，求过点A 的曲线的切线方程﹒ 这种类型容易出错，一般学生误认为点A 一定为切点，事实上可能存在过点A 而点A 不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为))(,(00x f x P ，先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率（用0x 表示），写出切线方程 )(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，再将点A 坐标),(11y x 代入切线方程得)(01x f y -=)(0x f ')(01x x -，求出0x ，最后将0x 代入方程

)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -求出切线方程﹒ 例2 求过曲线x x y 23-=上的点)1,1(-的切线方程﹒ 解：设切点为点)2,(0300x x x -，232-='x y ，切线斜率为2320-x ，切线方程为))(23()2(020030x x x x x y --=--﹒ 又知切线过点)1,1(-，把它代入上述方程，得 )1)(23()2(100030x x x x --=---﹒ 解得10=x ，或2 10-=x ﹒ 所求切线方程为)1)(23()21(--=--x y ，或)21)(243()181(+-=+--x y ，即02=--y x ，或0145=-+y x ﹒ 上面所求出的两条直线中，直线02=--y x 是以)1,1(-为切点的切线，而切线0145=-+y x 并不以)1,1(-为切点，实际上它是经过了点)1,1(-且以)87,21(-为切点的直线，如下图所示﹒这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点﹒ 3. 已知曲线)(x f y =外一点))(,(11x f x A ，求过点A 作的曲线的切线方程﹒ 这种类型的题目的解法同上面第二种类型﹒ 例3 过原点O 作曲线6324+-=x x y 的切线，求切线方程﹒（2009年全国卷Ⅰ文21题改编）

椭圆、双曲线切线方程的一个简便求法

椭圆、双曲线切线方程的一个简便求法中学数学研究2009年第6期的直线方程. 分析:要求A的内外角平分线所在的直线方程,只要分别求出它们的斜率即可,由角平分线到两边的角相等,很容易求出斜率. 解:设A的角平分线为AM,由AB到 AM的角等于AM到Ac的角可知: kAc--kAM ,解得k-=711k Ac AM或+.忌 AB+.‰ 忌=一专,所以直线AM的方程为:ll:7x— Y一17=0或Z2:+7y一31=0,它们分别是 A的内外角平分线所在的直线方程.因为内角平分线内分对边,所以点B,C应在AM的异侧.经验证,点B,C在直线l1的异侧,而点 B,C在直线z2的同侧.因而z1:7x—y一17=0 为A内角平分线所在直线方程,z2:z+7y一 31=0为A的外角平分线所在的直线方程. 例7已知集合A={(,Y)IY一√3z≤ 0},集合B={(z,Y)I+(Y一口)≤1},若A nB=B,求a的取值范围. 解:Y一√3z≤0表示直线Y一√3z=0右下方的平面区域,+(Y—a)≤1表示圆+ (Y一口)=1的内部和圆周上的点的集合,要使

AnB=B,只要z+(Y一口)≤1的区域全部在Y一√3z≤0区域的右下方即可,所以圆心到直线的距离大于这个圆的半径就可以了. I一一I 即d=L>1,由于a<0,所以口<一2. 总之,线性规划不光能解决目标函数在线性约束条件下的最值问题,还可以解决与平面区域有关的问题,而且运算量较小.因此可以促进思维能力创新,请在复习中认真体会,仔细推敲. 参考文献 [1]高考复习专题二,2009年高考复习预测.中学数学教学增刊. [2]陈贵伦.直线与椭圆位置关系问题的换元解法,中学数学教学(.,).2009,1. 簟■j-}_}业,'}j-}-}-}j-}-}jkr,'簟j.},Ij●}1■}j-}_}■}—j●}-}——j_}j-}1-'}j-}—_}1■}j-}j- 椭圆,双曲线切线方程的一个简便求法江西省吉安县二中(343100)罗章军大家都知道,求椭圆,双曲线切线方程通常用导数法,△法等,但运算量都较大.笔者运用线性规划知识找到一种求椭圆,双曲线切线方程新法,较为简便实用.现简述如下. 定理1若直线z:Y=如+m为椭圆 f.znncosa ,. (口>0,b>o,∈[0,27f))的切线, (Yo—Osm0' 设z=k.zo+m—Yo,贝0仃mx=0或tIli=0.其

切线方程的求法

切线方程的求法例1、已知曲线1y x = （1）求曲线在点()1,1P 处的切线方程（2）求曲线过点()1,0Q 处的切线方程（3）求满足斜率为13 -的曲线的切线方程答案：（1）20x y +-= （2）440x y +-= （3）30x y +-=或30x y ++= 解析： (1)∵21y x '=- 又()1,1P 是曲线上的点， ∴P 是切点，所求切线的斜率为()11k f '==- 所以曲线在P 点处的切线方程为()11y x -=-- 即20x y +-= (2)显然()1,0Q 不在曲线1y x =上，则可设过该点的切线的切点为1,A a a ?? ??? ，则该切线斜率为()121k f a a '==- 则切线方程为()21 1y x a a a -=--．① 将()1,0Q 代入方程①得()21101a a a -=--，解得12 a =，故所求切线方程为440x y +-=.

(3)设切点坐标为1,A a a ?? ???，则切线的斜率为22113 k a =-=-，解得a = ∴ 3A ?或3A ?'- ? ?．代入点斜式方程得即切线方程为.：30x y +-=或30x y ++= 注：（1）在一点，则该点即为切点（2）过一点，该点不一定是切点，需要设出切点后，在进行计算！（3）高考中，直线的表达形式一般为一般式表达，即0Ax By C ++=的形式！

练习题 1、曲线sin x y x e =+在点()0,1处的切线方程是？ 2、曲线32y x x =+-在点P 处的切线平行于直线41y x =-，则点P 的坐标为？ 3、若曲线3y x ax =+在坐标原点处的切线方程是20x y -=，则实数a ？ 4、曲线2ln y x =在点()1,0处的切线方程为？ 5、设函数()()321f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为？ 6、曲线()1x y ax e =+在点()0,1处的切线的斜率为2-，则a =＿＿＿＿ 7、若函数()x e f x x =在x a =处的导数值与函数值互为相反数，求a 的值. 答案

专题：椭圆的切线方程

“椭圆的切线方程”教学设计马鞍山二中刘向兵一、教学目标知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程； 2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。情感态度与价值观：通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。二、教学重点与难点教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。教学难点：椭圆的切线方程的探究。三、教学流程设计 (一）创设情境复习：怎样定义直线与圆相切？设计意图：温故而知新。由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。 (二）探究新知基础铺垫：问题1、已知椭圆22 :182 x y C +=与直线l 只有一个公共点（1）请你写出一条直线l 的方程；（2）若已知直线l 的斜率为1k =-，求直线l 的方程；（3）若已知切点(2,1)P ,求直线l 的方程；（4 ）若已知切点P ,求直线l 的方程。设计意图：（1 ）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如x y =±=。先由特殊情况过渡到一般情况。切线确定，切点确定。（2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。利用斜截式设直线，联立方程组，消

求曲线在点处的切线方程

一、求曲线3231y x x x =-+-在点(2,3)P -处的切线方程. 二、已知成本C 与产量q 的函数关系式为C=2q 2+5,求产量q=80时的边际成本. 三、确定抛物线方程2y x bx c =++中的常数b c 、,使其与直线2y x =在2x =处相切. 四、求下列函数的单调区间: 1. 42()23f x x x =-- 2. 32()23f x x x =- 3. 42()23617f x x x =-+ 五、求下列函数的极值: 1. 32()23121f x x x x =+-+ 2. 32()(10)f x x x =- 3. 2()(2)f x x x =- 4. 32()32412f x x x x =+-+ 六、求下列函数在指定区间上的最大值和最小值: 1. 32()23121f x x x x =+-+,[3,3]x ∈- 2. 32()2153624,[1,4]f x x x x x =-+-∈ 3. 543 ()551,[1,2]f x x x x x =-++∈- 七、设函数3232y x ax bx c x x =+++=-=在处有极大值,在处有极小值-10,求常数 a b c 、、, 八、函数32 26[2,2]y x x m =-+-在区间上有最大值3,求它的最小值九、三次函数()f x 当3x =时有极小值0,又:曲线()y f x =上点(1,8)处的切线过(3,0)点. 求()f x 的表达式十、要靠墙建造6间猪圈(如图),若新砌墙的总长度为36米,求每间猪圈的最大面积【导数的应用练习题(文科)答案】一、2|1,50.x k y x y ='==--=方程为二、8080|4|320q q C q =='==.

专题：椭圆的切线方程doc资料

专题：椭圆的切线方程

设计意图：温故而知新。由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。 (二）探究新知基础铺垫：问题1、已知椭圆22 :182 x y C +=与直线l （1）请你写出一条直线l 的方程；（2）若已知直线l 的斜率为1k =-，求直线l 的方程；（3）若已知切点(2,1)P ,求直线l 的方程；（4 ）若已知切点P ,求直线l 的方程。设计意图：（1 ）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如 x y =±= （2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。切线斜率确定，切线不确定。（3）已知切点求切线，只有唯一一条。利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。由于切点是整数点，运算简洁。切点确定，切线确定。可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。

专题：椭圆的切线方程

“椭圆的切线方程”教学设计马鞍山二中文恫兵一、教学目标知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程； 2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。情感态度与价值观：通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。二、教学重点与难点教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。教学难点：椭圆的切线方程的探究。三、教学流程设计（一）创设情境复习：怎样定义直线与圆相切？设计意图：温故而知新。由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。定义做类比, 都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。（二）探究新知基础铺垫： X 1 2 3 问题1、已知椭圆C ：— 8 1与直线1只有一个公共点设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如 x 2 2, y 2。先由特殊情况过渡到一般情况。切线确定，切点确定。（2 ）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式 0。切线斜率确定，切线不确定。（3 ）已知切点求切线，只有唯一一条。利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式 0。由于切点是整数点，运算简洁。切点确定，切线确定。可总结由（2）（ 3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式 0。（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。问题一般化： 2 2 X y 猜想：椭圆C : r 牙1与直线I 相切于点P （X o , y 。），则切线I 的方程? 1 请你写出一条直线1的方程； 2 若已知直线I 的斜率为k 1，求直线I 的方程; 3 若已知切点P （2,1）,求直线I 的方程；（4）若已知切点 ,求直线I 的方程。

高考之【圆锥曲线篇】-秒杀技巧切线方程

大招九圆锥曲线的切线方程及其应用现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆上一点的切线方程为；当在圆外时，过点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为。那么，在圆锥曲线中，又将如何？我们不妨进行几个联想。联想一：（1）过椭圆上一点切线方程为；（2）当在椭圆的外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：证明：（1）的两边对求导，得，得，由点斜式得切线方程为，即。（2）设过椭圆外一点引两条切线，切点分别为、。由（1）可知过、两点的切线方程分别为：、。又因是两条切线的交点，所以有、。观察以上两个等式，发现、满足直线，所以过两切点、两点的直线方程为。评注：因在椭圆上的位置（在椭圆上或椭圆外）的不同，同一方程表示直线的几何意义亦不同。联想二：（1）过双曲线上一点切线方程为；（2）当在双曲线的外部时，过引切线有两条，

过两切点的弦所在直线方程为：。（证明同上）联想三：（1）过圆锥曲线（A，C不全为零）上的点的切线方程为k；（2）当在圆锥曲线（A，C不全为零）的外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：证明：（1）两边对求导，得得，由点斜式得切线方程为化简得………………….① 因为…………………………………………………② 由①－②×2可求得切线方程为：（2）同联想一（2）可证。结论亦成立。根据前面的特点和圆上点的切线方程，得到规律：过曲线上的点的切线方程为：把原方程中的用代换，用代换。若原方程中含有或的一次项，把用代换，用代换，得到的方程即为过该点的切线方程。当点在曲线外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：通过以上联想可得出以下几个推论：推论1：（1）过抛物线上一点切线方程为；（2）过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：推论2：（1）过抛物线上一点切线方程为

过圆锥曲线上一点的切线方程的另一种初等求法

过圆锥曲线上一点的切线方程的另一种初等求法先看一个具体问题：求过椭圆13422=+y x 上一点)23,1(P 的切线方程．在中学阶段解决此类问题，一般采用?方法，即设切线方程为)1(23-=-x k y ，代入13 42 2=+y x ，整理得关于x 的一元二次方程： 03124)128()43(2222=--++-++k k x k k x k ，通过判别式?＝0)3124)(43(4)128(2222=--+-+-k k k k k ，解得2 1-=k ，故所求切线方程为042=-+y x ．这种方法思路直，用到知识少，学生容易掌握，不足之处是运算量偏大，出错率高．那么能否给出一种求解思路简单，而运算量又较小的方法呢？命题：),(00y x P 为圆锥曲线0),(:=y x f C 上一点，则曲线C 上过P 点的切线方程为0)2,2(),(00=---y y x x f y x f （＊）证明：因0),(=y x f 为二次曲线方程，知方程（＊）代表的是一条直线，记为l ．假设直线l 与曲线C 除了点),(00y x P 外还有一个公共点),(111y x P ，则有0),(11=y x f 和0)2,2(),(101011=---y y x x f y x f 同时成立，从而0)2,2(1010=--y y x x f ，这表明),(111y x P 关于点),(00y x P 的对称点)2,2(10102y y x x P --也在曲线C 上，因1,P P 点在直线l 上，故2P 点也在直线l 上，可见直线l 与曲线C 有三个公共点，这与直线与二次曲线最多只有两个公共点矛盾，从而证明了直线l 与曲线C 有且只有一个公共点．（１）当0),(=y x f 表示椭圆时，由于椭圆是封闭曲线，直线l 就是切线，方程（＊）即为切线方程．（２）当0),(=y x f 表示双曲线时，只要断定直线l 与双曲线的渐近线不平行，就能证明直线l 就是切线，方程（＊）为其切线方程．设双曲线C 方程：)0,0(122 22>>=-b a b y a x ，则方程（＊）： 020********=-+-x b y a y y a x x b ．当00≠y 时，其斜率0202y a x b k =，因渐近线斜率为a b ±，若a b y a x b =0202 或 a b y a x b -=0 202，则,000=-ay bx 或,000=+ay bx 从而0202202=-y a x b ，与

椭圆、双曲线切线方程的一个简便求法

2.求曲线经过点P处的切线方程

专题：椭圆地切线方程

曲线的切线方程

椭圆经典结论

用导数求切线方程的四种类型

高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条经典法则

求曲线在点某处或过某点的切线方程

专题椭圆的切线方程

求曲线 的切线方程的几种方法

过一点求曲线的切线方程的三种类型

椭圆、双曲线切线方程的一个简便求法

切线方程的求法

专题：椭圆的切线方程

求曲线在点处的切线方程

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专题：椭圆的切线方程

高考之【圆锥曲线篇】-秒杀技巧切线方程

过圆锥曲线上一点的切线方程的另一种初等求法

求曲线的切线方程的几种方法