椭圆、双曲线切线方程的一个简便求法
cfd椭圆型方程 双曲线方程
椭圆型方程和双曲线方程在数学和物理学中都是重要的方程形式。
它们在描述各种自然现象和工程问题中起着非常重要的作用。
本文将分别介绍椭圆型方程和双曲线方程的相关知识和应用。
一、椭圆型方程1.1 椭圆型方程的定义椭圆型方程是指二次型方程中的常对称阵为正定的方程。
具体而言，一个椭圆型方程可以写成如下形式：a(x^2) + 2bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0其中a，b，c为实数且满足a*c - b^2>0。
当a*c - b^2=0时，方程表示一个退化的椭圆。
1.2 椭圆型方程的性质椭圆型方程描述的图形是一个椭圆，其性质包括但不限于：（1）椭圆对称性：椭圆与x轴和y轴对称。
（2）离心率：椭圆的长轴和短轴之比称为椭圆的离心率，是一个重要的椭圆参数。
（3）焦点、直径、面积等椭圆的相关性质。
1.3 椭圆型方程的应用椭圆型方程在物理学、工程学和金融学等领域有着广泛的应用。
在天体力学中，行星公转的轨道可以用椭圆型方程描述；在工程学中，椭圆型方程可以用于描述声波在二维介质中的传播等。
二、双曲线方程2.1 双曲线方程的定义双曲线方程是指二次型方程中的常对称阵为否定定的方程。
具体而言，一个双曲线方程可以写成如下形式：a(x^2) - c(y^2) = 1其中a，c为实数且满足a*c - 1<0。
当a*c - 1=0时，方程表示一个退化的双曲线。
2.2 双曲线方程的性质双曲线方程描述的图形是一个双曲线，其性质包括但不限于：（1）双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两支趋向于并成的方向平行。
（2）双曲线的焦点、直径、面积等相关性质。
2.3 双曲线方程的应用双曲线方程在物理学、工程学和经济学等领域也有着广泛的应用。
在电磁学中，电磁波的传播可以用双曲线方程描述；在经济学中，需求曲线和供给曲线的交点通常可以用双曲线方程来表示。
椭圆型方程和双曲线方程是数学中重要的方程形式，它们在各个领域都有着广泛的应用。
过椭圆外一点求椭圆的切线方程
过椭圆外一点求椭圆的切线方程以《过椭圆外一点求椭圆的切线方程》为标题，我们来讨论如何用代数的方法来求解椭圆的切线方程。
在坐标平面中，椭圆是一种二次曲线，它是一个椭圆形状的几何图形，椭圆经常用它的标准方程来表示，它的标准方程如下所示： $$frac{left (x-x_{0}right )^{2}}{a^{2}}+frac{left(y-y_{0}right )^{2}}{b^{2}}=1 $$其中，$(x_{0}, y_{0})$ 为椭圆的中心位置，a,b为椭圆的长短轴长。
当我们给定椭圆的方程，给定一点外部的点$(x, y)$，我们想要求出由这个外部点和椭圆共同确定的切线方程，则要做的步骤是这样的：（1）先用三角函数把椭圆的标准方程的一般式化成按照椭圆的中心坐标$(x_{0},y_{0})$给出的形式：$$ frac{left (x-x_{0}right )^{2}}{a^{2}}+frac{left(y-y_{0}right )^{2}}{b^{2}}=1. $$（2）然后，根据三角函数的关系，把椭圆的标准方程中$ x,y $代入到外部点$(x,y)$，把椭圆的标准方程变成一元二次方程，求出椭圆上一点$(x,y)$，并且把这一点代入椭圆的标准方程中，得到：$$ frac{left (x-x_{0}right )^{2}}{a^{2}}+frac{left(y-y_{0}right )^{2}}{b^{2}}=1. $$（3）最后，在椭圆的标准方程的基础上，把外部点$(x,y)$的坐标值与椭圆上一点的坐标值作差，则可求出切线方程，即：$$ y-y_{0}=frac{b^{2}}{a^{2}}left (x-x_{0}right ). $$ 以上就是求椭圆的切线方程的具体步骤，这个过程利用了三角函数的基本关系，从而可以从定义出椭圆的方程，而再通过算法判定一点，根据这个点的内外状态，就可以求出切线方程。
双曲线切线方程公式推导
综述：x²/a²-y²/b²=1.对x求导：2x/a²-2yy′/b²=0.（x0,y0）的切线斜率y′=x0b²/y0a²（x0,y0）的切线方程：（y-y0）＝x0b²/y0a²（x-x0）。
注意到b²x0²-a²y0²＝a²b².切线方程k可化简为：x0x／a²-y0y／b²＝1。
切线方程是研究切线以及切线的斜率方程，涉及几何、代数、物理向量、量子力学等内容。
是关于几何图形的切线坐标向量关系的研究。
分析方法有向量法和解析法。
向量法：设圆上一点A为(x0,y0),则该点与圆心O的向量OA(x0-a,y0-b)，因为过该点的切线与该方向半径垂直，则有切线方向上的单位向量与向量OA的点积为0。
设直线上任意点B为(x,y)，则对于直线方向上的向量AB(x-x0,y-y0)，有向量AB与OA的点积。
AB●OA=(x-x0)(x0-a)+(y0-b)(y-y0)=(x-a+a-x0)(x0-a)+(y0-b)(y-b+b-y0)=(x-a)(x0-a)+(y-b)( y0-b)-(x0-a)^2-(y0-b)^2=0，故有(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=(x0-a)^2+(y0-b)^2=r^2。
分析-解析法：设圆上一点A为(x0,y0),则有:(x0-a)^2+(y0-b)^2=r^2，对隐函数求导，则有:2(x0-a)dx+2(y0-b)dy=0dy/dx=(a-x0)/(y0-b)=k。
(隐函数求导法亦可证明椭圆的切线方程，方法相同)或直接k1=(y0-b)/(x0-a); k*k1=-1;(k1为与切线垂直的半径斜率。
)得k=(a-x0)/(y0-b) (以上处理是假设斜率存在，在后面讨论斜率不存在的情况)。
一直椭圆上切线的斜率求切线方程
一直椭圆上切线的斜率求切线方程椭圆是一个常见的二次曲线，具有很多特性和性质。
其中一个重要的性质是，对于椭圆上的任意一点，都有且只有一条切线经过该点。
本文将详细介绍如何求解椭圆上切线的斜率，并进一步推导出切线的方程。
首先，我们来回顾一下椭圆的定义和性质。
椭圆是平面上一组点的集合，满足到两个给定点（焦点）的距离之和等于常数的特性。
椭圆也可以通过其半长轴（a）和半短轴（b）来描述。
根据定义，椭圆的方程可以表示为：(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1其中，(h,k)是椭圆的中心点。
这个方程可以被用来求解椭圆上的点的坐标，并进一步计算切线的斜率。
要求解椭圆上的切线斜率，我们需要先求解椭圆上的点的坐标，然后计算每个点处的切线的斜率。
接下来，我们将详细介绍这个过程的步骤。
步骤1：找到椭圆上的点的坐标要找到椭圆上的点的坐标，我们可以使用椭圆的方程。
假设我们已经知道椭圆的半长轴（a）、半短轴（b）、中心点（h,k）和一点的横坐标（x）。
我们可以将这些值代入椭圆方程，然后解方程得到相应的纵坐标（y）。
这样就可以得到椭圆上的点的坐标。
步骤2：计算切线的斜率要计算椭圆上某点处的切线的斜率，我们可以使用求导的方法。
首先，我们求出椭圆方程关于x的导数，然后将该导数代入到求解椭圆上某点的纵坐标之前，生成一个带有x和y的方程，另一个方程是椭圆方程。
假设我们已经找到了椭圆方程关于x的导数，假设为dy/dx。
现在我们可以使用这个导数来计算椭圆上某点处的切线的斜率。
在这个点处，椭圆方程和其导数都成立。
我们可以将这两个方程相乘，然后通过移到x项和y项到方程两个边来得到一个方程。
步骤3：写出切线方程现在我们已经得到了椭圆上某点处的切线的斜率，我们可以使用该点的坐标和切点的斜率来写出切线的方程。
切线的方程可以写为：y - y1 = m(x - x1)其中，(x1,y1)是切点的坐标，m是切线的斜率。
二次曲线的切线方程及应用
二次曲线的切线方程及应用[摘要] 本文主要利用隐函数求导的方法推导常见二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）上某点处的切线方程，并得出一般二次曲线的切线方程及切点弦方程，再将相应结论进行应用。
[关键词] 二次曲线切线方程切点弦方程有关二次曲线的切线方程及其应用问题，近年来在各类考试中出现的频率颇高，为更好地解决此专题的问题，笔者将常见二次曲线的切线方程及切点弦方程的有关结论及推导过程整理一遍，并简述其应用，以供广大教师及学生参考．1几个常见结论及推导1．在圆上一点处的切线方程为：．（注：为与求其它二次曲线的切线方程所用方法一致，这里利用涉及隐函数求导的方法来推导．）将圆的方程中的y视为关于x的函数（即y是x的隐函数），那么就可以在上式两边分别对x求导数．隐函数求导法则，实际与复合函数求导法则一致，将y看作中间变量，外函数是，内函数为，故．于是有：在两边分别对x求导，得，若，则有．由导数的几何意义知，曲线上某点处切线的斜率是该点的导数值．故对于圆上点，若，则有，此即为在点M处切线的斜率，故所求切线方程为．又，① 为所求．若，由图象可知，此时所求切线方程为：或．又，故所求切线方程为：或．也满足①式．故在圆上一点处的切线方程可统一写为：．2．在椭圆上一点处的切线方程为：．推导过程如下：在两边分别对x求导得：，对于点，若，则有，此即为在点M处切线的斜率．故所求切线方程为，又，故②为所求．若，此时所求切线方程为：或，也满足②式．故在椭圆上一点处的切线方程为：．3．在双曲线上一点处的切线方程为：③．注：推导过程与结论1和结论2的推导过程类似，可让学生动手推导，体会其中的思想．4．在抛物线上一点处的切线方程为：．在两边对x求导，得．对于点，若，则有，此即为在点M处的切线的斜率．故所求切线方程为，即，又在抛物线上，故，因此所求切线方程为：④．若，此时所求切线方程为：也满足④式．故在抛物线上一点处的切线方程为：．结论4的切线方程形式与前3个结论有些不同，引导学生从抛物线的方程的形式观察，得到结论：抛物线的切线方程实际上可写为，进而得到一般性的结论5．将以上四个结论推广，可得到以下结论：5．设是二次曲线上一点，则此曲线在点M处的切线方程为：⑤．注：二次曲线的方程中不含项．此结论推导过程可仿照上述结论的推导过程来完成，这里不再赘述．从结论5出发，进一步思考，若点在二次曲线外，则过点M可作曲线的两条切线，设切点分别为，那么由切点在曲线上及结论5可知，曲线在点A处的切线方程为，曲线在点B处的切线方程为，因点在切线上，故⑥，同理，⑦，综合⑥⑦得，点，的坐标都满足方程．因为经过点的直线是唯一的，故过点A,B的直线方程为：．由此，我们可以得到另一个结论：6．设是二次曲线外一点，则过点M可作曲线的两条切线，设切点分别为，则直线AB的方程（即切点弦方程）为：．由结论6，将曲线方程特殊化为高中常见的二次曲线方程，即可得到关于圆、椭圆、双曲线和抛物线的切点弦方程的相应结论．2应用有关切线方程及切点弦方程的考题，近几年均是热点，比如广州市2013届普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）（简称“广州市一模”）第20题，2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科/理科）第20题，2014年清华等七校自主招生考试（简称“华约卷”）第5题等．2013年广东高考的解析几何题虽和当年广州市一模的解析几何题有较大相似度，但考试结果仍不理想，文[1]指出，2013年的解析几何题“不仅加大了计算量，而且对计算的技巧性的要求大大增强，与压轴题的难度接近（第20题得分2.85分，第21题得分2.13）．”因此，有必要对切线方程及切点弦方程这一专题内容做一个梳理．现将2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学第20题展示如下：已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线 :的距离为 .设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线 ,其中为切点.(Ⅰ) 求抛物线的方程；(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程；(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.略解：(Ⅰ)易得所求抛物线方程是：．(Ⅱ)利用第1部分的结论6，即得所求直线的方程（即切点弦方程）为：，即．（注：高考需将结论6的过程在答卷上推演一遍，因其不是高中课本内的结论.第(Ⅲ)小题解答略．）从此题的解答看，熟知第1部分的几个结论虽可立即得正解，但在高考题的作答中仍要将推导过程再演算一遍，似乎不太便捷，这是因为此题直接考查结论（求切点弦方程），若考查的是利用切点弦方程再求其它问题，那熟知结论的优越性立刻体现．请看2014年华约卷第5题：过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，设直线与轴、轴分别交于点，求的面积的最小值．解析：法一：设，由结论6知，直线的方程为：，，，故的面积．又点在椭圆上，故．由基本不等式得：，即（当且仅当时，等号成立），．，即的面积的最小值为．法二：（利用椭圆的参数方程求解）因点在椭圆上，故可设，由结论6知，直线的方程为：，故，的面积（当且仅当，即或时，等号成立），故的面积最小值为．解法一与解法二虽具体利用的知识不同，但其求解思路是一致的，关键的一步在于写出直线PQ的方程，而在自主招生或竞赛类考试中，直接写出二次曲线的切线方程或切点弦方程是允许的．因此，教师可将有关二次曲线的切线方程及切点弦方程问题形成一个小专题，根据学生水平及实际需要，适当讲解以上结论作为拓展，为学生获得更佳成绩打好基础．3小结由于高中阶段没有涉及到隐函数求导的内容，因此高考题在考纲范围内只能考查形如的抛物线的切点弦方程，对于一般水平的学生，教师只需讲透高中常见的解法即可．而第1部分的结论是常见二次曲线的有关切线方程和切点弦方程的结论，结论5、结论6将常见二次曲线的切线方程、切点弦方程统一起来，得到一般二次曲线的切线方程、切点弦方程．实践表明，对于能力较强的学生，是可以理解第1部分的几个结论的推导，并且利用这些结论对于他们应对自主招生或竞赛类考试有一定的帮助．参考文献[1] 彭建开.于平凡处见“真功夫”——2013年高考广东理科试题第20题解析[J].广东教育(高中版), 2013(7·8): 59-60．。
求椭圆切线方程(3篇)
第1篇椭圆是平面解析几何中的一种基本曲线，其方程一般形式为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴，且 $a > b$。
在数学分析、几何学以及物理学中，椭圆切线方程的研究具有重要意义。
本文将探讨椭圆切线方程的求解方法。
一、椭圆切线的几何性质椭圆的切线具有以下几何性质：1. 切线与椭圆相切于一点，且在该点处切线斜率存在。
2. 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其切线斜率 $k$ 与椭圆上切点坐标 $(x_0, y_0)$ 满足关系 $k = -\frac{b^2}{a^2} \cdot\frac{x_0}{y_0}$。
3. 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其切线方程可以表示为 $y = kx + m$，其中 $m$ 为切线在 $y$ 轴上的截距。
二、椭圆切线方程的求解方法1. 直接法直接法是指直接根据椭圆的方程和切线的几何性质，推导出椭圆切线方程的方法。
设椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上的切点坐标为 $(x_0,y_0)$，切线斜率为 $k$。
根据切线斜率的几何性质，有 $k = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{x_0}{y_0}$。
又因为切点 $(x_0, y_0)$ 满足椭圆方程，所以 $\frac{x_0^2}{a^2} +\frac{y_0^2}{b^2} = 1$。
联立上述两个方程，解得 $x_0 = \frac{a^2k}{\sqrt{k^2 + b^4/a^4}}$，$y_0 = \frac{b^2}{\sqrt{k^2 + b^4/a^4}}$。
将 $x_0$ 和 $y_0$ 代入切线方程 $y = kx + m$，得 $y = k \cdot\frac{a^2k}{\sqrt{k^2 + b^4/a^4}} + m$。
椭圆双曲线公式
椭圆双曲线公式椭圆双曲线公式是数学中非常重要的一个公式，它可以描述椭圆和双曲线的形状，以及它们在平面上的位置关系。
本文将介绍椭圆双曲线公式的定义、性质和应用。
一、椭圆双曲线的定义椭圆和双曲线都是在平面上由一些点构成的图形，它们的形状和位置关系可以用椭圆双曲线公式来描述。
这个公式是一个二次方程，它的一般形式为：Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0其中，A、B、C、D、E、F都是实数，而且A和C不同时为零。
这个方程所代表的图形有以下几种情况：1、当B - 4AC > 0时，方程所代表的图形是椭圆。
2、当B - 4AC = 0时，方程所代表的图形是一条抛物线。
3、当B - 4AC < 0时，方程所代表的图形是双曲线。
二、椭圆双曲线的性质椭圆和双曲线都有一些共同的性质，它们可以用椭圆双曲线公式来证明。
下面是椭圆双曲线的一些性质：1、椭圆和双曲线都是对称的，它们的轴线、焦点和直径都有对称性。
2、椭圆和双曲线都有一些重要的参数，如焦点距离、半长轴、半短轴等，它们可以用椭圆双曲线公式来计算。
3、椭圆和双曲线都有一些重要的定理，如焦点定理、切线定理等，它们可以用椭圆双曲线公式来证明。
4、椭圆和双曲线在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用，如建筑设计、天文学、电子工程等。
三、椭圆双曲线的应用椭圆双曲线公式在各个领域都有广泛的应用，下面是一些典型的应用：1、建筑设计：椭圆双曲线可以用来设计建筑物的拱形结构，如教堂、体育馆等。
2、天文学：椭圆双曲线可以用来描述行星、彗星和卫星的轨道，以及天体的引力场。
3、电子工程：椭圆双曲线可以用来设计天线、滤波器、反射器等电子器件，以及分析电路的频率响应。
4、数学教育：椭圆双曲线是数学中的一个重要概念，它可以用来讲解二次方程、向量、矩阵等数学知识。
四、结论椭圆双曲线公式是数学中一个重要的公式，它可以用来描述椭圆和双曲线的形状和位置关系。
椭圆双曲线具有对称性、参数性、定理性和应用性等特点，它在建筑设计、天文学、电子工程和数学教育等领域都有广泛的应用。
(完整版)椭圆双曲线的经典结论
椭圆双曲线的经典结论一、椭 圆点 P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点 P 处的外角 .PT 平分△ PF 1F 2在点 P 处的外角， 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离 . 以焦点半径 PF 1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切 . 若 P 0(x 0,y 0) 在椭圆 21 a b 22 2x y 22 1 2 2a b 2x 0x y 0y 2 2a b 2若 P 0(x 0,y 0) 在椭圆弦 P 1P 2 的直线方程是 1. 2 y2 x ，则过 P 0 的椭圆的切线方程是 x 02x a 外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 y0 y1. b 2 1. P 1、P 2，则切点 2 椭圆 x2 a 2 F 1PF 22 椭圆 x2 a 2 |MF 1 | a 2 y b 2 1 (a > b > 0) 的左右焦点分别为 F 1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 则椭圆的焦点角形的面积为 S F 1PF 2 b 2tan . 2 2 yb 2 ex 0, |MF 2| a ex 0( F 1( c,0) , F 2(c,0) 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 1(a >b >0)的焦半径公式： M (x 0,y 0)). AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点，则 MF ⊥NF. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、 A 2为椭圆长轴上的顶点， A 1P 和 A 2Q 交于点 M ，A 2P 和 A 1Q 交于点 N ，则 MF ⊥NF. 22AB 是 椭 圆 x 2 y 2a 2b 2b 2 ，a 2b 2x 02。
a y 0 1的不平行于对称轴的弦，M (x 0,y 0) 为 AB 的中点， k OM kAB 即K AB 若 P 0(x 0,y 0) 在 椭 x 0x y 0y 2 ab 22 x0 2 a 2 x 2a2 yb 2 1 内 ， 则 被 Po 所 平 分 的中 点弦 的 方程 2y 0 b 2若 P 0(x 0,y 0) 在 椭 圆2x2 ay 2 b 21 内 ， 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.8.9.10. 11. 12. 13.2 x 2 a2 yb2x0x y0y2a b2二、双曲线点P处的切线PT平分△ PF1F2在点P处的内角.PT平分△ PF1F2在点P 处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.以焦点半径PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆P在左支）若P0（x0,y0）在双曲线是x a02x y b02yab1.若P0（x0,y0）在双曲线线切点为P1、P2，双曲线22xy22ab一点F1PF2相切. （内切：P在右支；外切：22ab222x y22a b21（a>0,b >0）x2则切点弦2y1(a> 0,b > 0)上，则过P0 的双曲线的切线方程外，则过Po 作双曲线的两条切P1P2 的直线方程是x02x y0ya2a> 0,b > o）的左右焦点分别为则双曲线的焦点角形的面积为Sb21.F1，F1PF2F2，点P 为双曲线上任意b2cot .222xy22 ab 当M ( x0 , y0 )在右支上时，|MF1| ex0 a, |MF2| ex0 a.当M ( x0 , y0 )在左支上时，|MF1| ex0 a, |MF2 | ex0双曲线a> 0,b > o）的焦半径公式：（F1（ c,0）F2(c,0)设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交P 、Q两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.过双曲线一个焦点A1P 和A2Q交于点2xAB 是双曲线2a2的中点，则K OMF 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点，M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.b2K AB1（a>0,b >0）的不平行于对称轴的弦，M（x0,y0）为AB若P0(x0,y0) 在双曲线 2 a2 x02 a方程是x02xa2y0yb2b2x2 022x y21（a>0,b >0）内，则被Po 所平分的中点弦的b2y02.b2 .，即K ABb2x02。
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椭圆、双曲线切线方程的一个简便求法
中学数学研究2009年第6期
的直线方程.
分析:要求A的内外角平分线所在的直
线方程,只要分别求出它们的斜率即可,由角平
分线到两边的角相等,很容易求出斜率.
解:设A的角平分线为AM,由AB到
AM的角等于AM到Ac的角可知:
kAc--kAM
,解得k-=711k
Ac
AM或+.忌
AB+.‰
忌=一专,所以直线AM的方程为:ll:7x—
Y一17=0或Z2:+7y一31=0,它们分别是
A的内外角平分线所在的直线方程.因为内
角平分线内分对边,所以点B,C应在AM的
异侧.经验证,点B,C在直线l1的异侧,而点
B,C在直线z2的同侧.因而z1:7x—y一17=0
为A内角平分线所在直线方程,z2:z+7y一
31=0为A的外角平分线所在的直线方程.
例7已知集合A={(,Y)IY一√3z≤
0},集合B={(z,Y)I+(Y一口)≤1},若A
nB=B,求a的取值范围.
解:Y一√3z≤0表示直线Y一√3z=0右下
方的平面区域,+(Y—a)≤1表示圆+
(Y一口)=1的内部和圆周上的点的集合,要使
AnB=B,只要z+(Y一口)≤1的区域全部
在Y一√3z≤0区域的右下方即可,所以圆心到
直线的距离大于这个圆的半径就可以了.
I一一I
即d=L>1,由于a<0,所以口<一2.
总之,线性规划不光能解决目标函数在线
性约束条件下的最值问题,还可以解决与平面
区域有关的问题,而且运算量较小.因此可以促
进思维能力创新,请在复习中认真体会,仔细推
敲.
参考文献
[1]高考复习专题二,2009年高考复习预测.中学数学
教学增刊.
[2]陈贵伦.直线与椭圆位置关系问题的换元解法,中
学数学教学(.,).2009,1.
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椭圆,双曲线切线方程的一个简便求法
江西省吉安县二中(343100)罗章军
大家都知道,求椭圆,双曲线切线方程通常
用导数法,△法等,但运算量都较大.笔者运用
线性规划知识找到一种求椭圆,双曲线切线方
程新法,较为简便实用.现简述如下.
定理1若直线z:Y=如+m为椭圆
f.znncosa
,.
(口>0,b>o,∈[0,27f))的切线,
(Yo—Osm0'
设z=k.zo+m—Yo,贝0仃mx=0或tIli=0.其
中k为直线z的斜率.
证明:若l与椭圆相切,则椭圆上的点都在
z的同侧,据线性规划知识可知,对于椭圆上任一
点P(xo,Yo),=kXo+m—Yo>/o或≤0,
.
'
.liII=0或一=0,当且仅当P为切点时等
号成立.
例1为使直线j,z+m与椭圆+
25=1有两个公共点,求的范围.
解:设=.z+6为椭圆+25=1的切
线,令z=xo+b-yo,其~中.1(x
.
o
:
=
5
1
s
2
i
c
n
osO
∈[.,
27r),因为=13+b=0或z.m=一13+b
=0'...Y=z±13为已知椭圆的切线,所以m
∈(一13,13).
例2求函数s=的值域.
解:令P(2cos0,sin0),Q(一4,一3),则
==一
sinO-
一
(f-
一
3)
2cosO42eosO4=足'...s的值域+一
(一)''
2009年第6期中学数学研究
即为椭~圆{x0=2
.
cos0
上的点P与Q连线的斜
lY0一slnU
率范围,设过Q的切线方程为Y+3=k(z+
4),令z=o—Y0+4k一3,则z=2kcosO—
sin0+4k一3,由=0或Zmi:0,得
4k一3±而:0,.?.k:—3+43.
.
.
[学,学].
定理2若直线l:Y=妇+为双曲线
{xo:=asect).,(a>0,b>0,0EyobtanO(一号,)u'{(>,>,(一_兰_,)【J【=,,,2'2 (詈,))的切线,其中k为直线z的斜率,令
kzo+m—Yo,则(zcos0)=0或(zcosO)~
=0.
证明:①.若直线与双曲线右支相切,当
k>0时,因为双曲线的右支都位于l的右侧,
据线性规划知识可知对于右支上任一点P
(X0,yo),有=kcco+m—Y0>/o,显然此时0
∈(一,詈),.'.cosO>0,.'.有zcosO≥0,因此
(zcos0)TI1i:0,而当k<0同理可得(zcosO)
=
0.当且仅当P为切点时等号成立.
②.若直线l与双曲线左支相切时,同样可
得0E(詈,警)时有(cos0)rI1i=0或
(zcos0).~x=0.当且仅当P为切点时等号成
立.又因为ZCOS0=(0+m—Yo)ms0=ah+
mcos0一bsin0,由正弦函数的性质可知,若
zmsO在开区间(一号,詈)与(号,萼)存在最大
值或最小值,其值分别为+√6+m2.一
V厂.
综合①②,若直线1:=taz+为双曲线
的切线,则有(zcosO)=0或(ZCOS0)r=x=0.
例3求过点(1,2)且与双曲线等一=1
相切的直线方程的斜率.
解:若P(xo,Yo)为双曲线上任一点,则有
c一苎,设切线
方程为Y一2=k(z一1),令=kxo—0+2一
k,...zcosO=3k一2sin0+(2一志)cosO,由
(zeosO)=0或(zcosO)一=0,得3k±
研:0,...忌:寺.
坐坐业坐业业业坐业~~e,,ale--ale-.ale--ale-业坐业业业业坐业尘业业业坐一
道课本复习题的证法研究与拓展
西北师范大学实验中学(730070)宋波
人教版新教材高中数学第二册(下B)146
页第8题(2)
证明:c+2C2+3C3+…十c:=?
2—(∈N).
一
,问题的证法研究
笔者在教学中,根据此等式的结构特征,利
用组合数的意义,运用联想,类比,转化等数学思想方法,多角度,多方向思维,得到了多种不同的证法.通过这种一题多解的教学,对激发学?
42?
生兴趣,拓宽思路,提高思维能力大有好处.下面给出这道题的六种证法,其中前三种为常见证法,后三种为创新证法.
证法1:左边=1[(C十2C2+…+7z)
+(C+2C2+…+,zc)]=—{[(c+(,z一
1)c一]+[2c+(一2)c一]+…+[(,2—
2)c一+2C2]+[(一1)c一+c]十c:十
,zc:}=—专{[(c+(一1)C]+[2c+(一。